Diskrete Signale und..

Deutsche Telekom
Fachhochschule Leipzig
Telekommunikationsinformatik
Kommunikationstechnik
Zeitdiskrete Signale und Systeme
Prof. Dr.-Ing. Ines Rennert
Deutsche Telekom
Fachhochschule Leipzig
Leipzig, 17.07.2002

Einleitung
Einleitung
Die rasante Entwicklung der digitalen Signalverarbeitung schuf prinzipiell
neue Möglichkeiten, Nachrichten mit digitalen Mitteln zu übertragen und zu
verarbeiten. Die systemtheoretische Basis für digitale Signalübertragung und -
verarbeitung stellen die zeitdiskreten Signale und Systeme dar. Mit den
Methoden der zeitdiskreten Signale und Systeme werden mathematische
Modelle bereit gestellt, die es ermöglichen, die verschiedenartigsten
Anwendungen bezüglich ihrer technischen Zusammenhänge zu durchleuchten.
Voraussetzungen für die Behandlung zeitdiskreter Signale und Systeme werden
in besonderem Maße durch die Mathematik auf den Gebieten Folgen und
Reihen, komplexe Zahlen sowie Integraltransformationen geboten.
Das Ziel der systemtheoretischen Ausbildung ist auf die Befähigung der
Studierenden ausgerichtet, zeitdiskrete Signale und Systeme im Zeit-, Bildund
Frequenzbereich zu analysieren und zu beurteilen. Mit den Methoden der
zeitdiskreten Signale und Systeme wird ihnen ein Handwerkszeug zur
Verfügung gestellt, das sie befähigt, nicht nur die Erscheinungen der
Kommunikationstechnik zu untersuchen, sondern auch Vorgänge anderer
Fachgebiete, wie z.B. in der Informations-, Meß- und Regelungstechnik, besser
zu durchschauen.
Da Simulationsprogramme seit Jahren mehr und mehr zum notwendigen
Werkzeug werden und die Vielschichtigkeit dieser Werkzeuge zunimmt, sollen
Fertigkeiten mit dem Umgang des Simulationsprogrammes MATLAB
erworben werden, um rechenintensive Aufgaben mit ihm zu lösen.

Inhaltsverzeichnis - I -
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
I
Inhaltsverzeichnis
I
Formelzeichen 1
Hinweise zum Simulationsprogramm MATLAB 3
1 Einordnung der zeitdiskreten Signale und Systeme 5
2 Zeitdiskrete Signale 9
2.1 Einleitung ........................................................................................................................9
2.2 Einteilung der Signale ...................................................................................................10
2.3 Beschreibung zeitdiskreter Signale im Zeitbereich .......................................................13
2.3.1 Einleitung ...........................................................................................................13
2.3.2 Ausgewählte zeitdiskrete Signale .......................................................................13
2.3.3 Elementare Operationen .....................................................................................15
2.3.4 Diskrete Faltung .................................................................................................16
2.3.5 Signalabtastung, Rekonstruktion und Quantisierung..........................................22
2.4 Beschreibung zeitdiskreter Signale im Bildbereich.......................................................28
2.4.1 Einleitung ...........................................................................................................28
2.4.2 z-Transformation und inverse z-Transformation ................................................28
2.4.3 Rechenregeln und Korrespondenzen der z-Transformation ...............................31
2.5 Beschreibung zeitdiskreter Signale im Frequenzbereich...............................................35
2.5.1 Einleitung ...........................................................................................................35
2.5.2 Fourier-Transformation für Abtastsignale (FTA) und inverse Fourier-
Transformation für Abtastsignale (IFTA)...........................................37
2.5.3 Diskrete Fourier-Transformation DFT und inverse diskrete Fourier-
Transformation IDFT..........................................................................43
2.5.4 Schnelle Fourier - Transformation (FFT) ...........................................................51
3 Zeitdiskrete Systeme 57
3.1 Einleitung ......................................................................................................................57
3.2 Systemdefinitionen und Systemeigenschaften...............................................................58
3.3 Beschreibung zeitdiskreter Systeme im Zeitbereich......................................................62
3.3.1 Einleitung ...........................................................................................................62

- II - Zeitdiskrete Signale und Systeme
3.3.2 Systembeschreibung mit Differenzengleichung ................................................. 63
3.3.3 Darstellung von Differenzengleichungen in Blockdiagrammen......................... 67
3.3.4 Rekursive und nichtrekursive Systeme............................................................... 68
3.3.5 Impuls- und Sprungantwort................................................................................ 70
3.3.6 FIR- und IIR-Systeme ........................................................................................ 74
3.4 Beschreibung zeitdiskreter Systeme im Bildbereich ..................................................... 77
3.4.1 Einleitung ........................................................................................................... 77
3.4.2 Übertragungsfunktion......................................................................................... 78
3.4.3 Zusammenhang zwischen Übertragungsfunktion und Systemreaktionen .......... 81
3.4.4 Stabilität ............................................................................................................ 82
3.4.5 Zusammenfassendes Beispiel für die Verknüpfung von Zeit- und Bilbereich ... 86
3.5 Beschreibung zeitdiskreter Systeme im Frequenzbereich ............................................. 91
3.5.1 Einleitung ........................................................................................................... 91
3.5.2 Frequenzgang ..................................................................................................... 92
3.5.3 Zeitdiskrete Systeme mit linearem Phasengang ................................................. 96
3.6 Strukturen und Eigenschaften digitaler Filter............................................................ 101
3.6.1 Einleitung ......................................................................................................... 101
3.6.2 Entwurf von IIR–Filtern mittels bilinearer Transformation ............................. 102
3.6.3 Entwurf von FIR – Filtern mit der Fenstermethode.......................................... 110
Anhang 119
Lösungen 121
Literaturverzeichnis 133

Formelzeichen - 1 -
Formelzeichen
arg G(jΩ) Phasengang
arg X(jΩ)
Phasenspektrum
arg X(ji∆f) diskretes Phasenspektrum
δ(kT A )
Einheitsimpuls
DFT{...}
diskrete Fourier-Transformierte
ε(kT A )
Einheitssprungfolge
ϕ (Ω)
Phasengang
f
Frequenz
f A
Abtastfrequenz
F
auf Abtastfrequenz normierte Frequenz
F A
normierte Abtastfrequenz
∆f
diskrete Frequenz
FTA{...}
Fourier-Transformierte eines Abtastsignals
g(kT A )
Impulsantwort
G(jΩ)
Frequenzgang
|G(jΩ)|
Amplitudengang
G P (Ω)
Pseudobetrag
h(kT A )
Sprungantwort
IFTA{...}
inverse Fourier-Transformierte eines Abtastsignals
IDFT{...}
inverse diskrete Fourier-Transformierte
p
Laplace-Operator
t
Zeit
T A
Abtastperiode
T e
Periode des Zeitsignals
ω
Kreisfrequenz
ω A
Abtastkreisfrequenz
Ω
auf die Abtastfrequenz normierte Kreisfrequenz
Ω A
normierte Abtastkreisfrequenz
x, X Signal
x e , X e
Eingangssignal
x a , X a
Ausgangssignal
X(jΩ)
Frequenzspektrum
|X(jΩ)|
Amplitudenspektrum
X(ji∆f)
diskretes Frequenzspektrum
|X(ji∆f)|
diskretes Amplitudenspektrum
z
Variable der z-Transformation
Z{...}
z-Transformierte
Z -1 {...}
inverse z-Transformierte

- 2 - Zeitdiskrete Signale und Systeme

Hinweise zum Simulationsprogramm MATLAB - 3 -
Hinweise zum Simulationsprogramm MATLAB
Aus der Lehreinheit Mathematik ist Ihnen schon das Computeralgebrasystem
Mathcad bekannt, das für die Behandlung von Aufgabenstellungen auf den
verschiedensten mathematischen Gebieten entwickelt wurde. Daß dies nicht
das einzige mathematisch orientierte Programm ist, wird Ihnen bekannt sein.
Das in dieser Kurseinheit verwendete Simulationsprogramm MATLAB besteht
aus einem Grundbaustein, der das Lösen mathematischer Aufgabenstellungen
unterstützt, und aus diversen, aufbauenden Tools, die für unterschiedliche
Anwendungsgebiete entwickelt wurden und die dahinter stehenden
mathematischen Methoden schon anwendungsbezogen bereitstellen. Das Tool
Simulink wird neben MATLAB selber bei der Lösung einer Vielzahl von
Aufgaben herangezogen. Neben den zur CD mitgelieferten Handbüchern ist die
Einführung in MATLAB nach [1] zu empfehlen. Für die im Lehrtext mit
MATLAB besprochenen Beispiele befinden sich im Anhang die erstellten
Programme, so daß die Nachvollziehbarkeit gewährleistet ist sowie eine
Hilfestellung für die eigenständig zu lösenden Aufgaben.

- 4 - Zeitdiskrete Signale und Systeme

Einordnung der zeitdiskreten Signale und Systeme - 5 -
1 Einordnung der zeitdiskreten Signale und Systeme
Die Übertragung von Nachrichten beruht auf der Verarbeitung von Signalen in
Übertragungssystemen. Dabei ist das Signal der physikalische Träger der
Nachricht und in der Nachricht selber sind Informationen eingebettet.
Übertragungssysteme bzw. Systeme allgemein sind in technischen,
ökonomischen, biologischen und sozialen Bereichen zu finden, im weiteren
werden vor allen Dingen technische Übertragungssysteme besprochen. Der
Übertragungsweg einer Nachricht von einer Quelle bis zur Senke setzt sich aus
denen im Bild 1.1 dargestellten Komponenten zusammen.
Störquelle
Nachrichten
-quelle
Aufnah-
me-
Wandler
Sender
Übertragungskanal
Empfänger
Wieder-
gabe-
Wandler
Nachrichten
-senke
Bild 1.1: Nachrichtenkette
Die einzelnen Komponenten sind Übertragungssysteme, die aufgrund ihrer
speziellen Eigenschaften die Signale verarbeiten. Mit Verarbeitung ist u.a. die
Signalwandlung gemeint.
Betrachtet man z. B. die Telefonie, so wird das ursächliche akustische Signal in
ein elektrisches gewandelt und umgekehrt. Weiterhin kann das Signal auf dem
Übertragungsweg gestört und verzerrt werden, dann sind entsprechende
Systeme zur Unterdrückung von Störsignalen und Entzerrer notwendig, um im
Empfänger die Rückgewinnung des gesendeten Signals nur mit geringfügigen
Fehlern zu gewährleisten.
Die Verarbeitung von Signalen kann mit analogen oder digitalen Systemen
erfolgen. Nimmt man aus der Nachrichtenkette (Bild 1.1) nur eine
Komponente, so hat man ein System mit einem Ein- und einem
Ausgangssignal (Bild 1.2).

- 6 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
x e
x e (t)
x a (t)
x a
System
t
t
Bild 1.2: Analoges System mit Ein- und Ausgangssignal
Ein- und Ausgangssignal sind analoge Signale, d.h. zu jedem Zeitpunkt ist
genau ein Funktionswert vorhanden. Die Verarbeitung analoger Signale
erfolgte ursprünglich mit analogen Systemen. Seit ca. 30 Jahren hält die
digitale Signalverarbeitung erfolgreich Einzug, die dabei auftretenden diskreten
Signale sind nur zu festgelegten Abtastzeitpunkten mit quantisierten
Funktionswerten definiert. Um ein analoges Signal digital zu verarbeiten, sind
weitere Komponenten notwendig, das wird im Bild 1.3 dargestellt.
x e (t) x e (kT A ) x eq (kT A ) x aq (kT A ) x a (kT A ) x a (t)
Anti-
Aliasingfilter
Abtasten
und
Halten
A/D-
Wandler
Prozessor
D/A-
Wandler
Rekonstruk.-
System
Bild 1.3: Verarbeitung analoger Signale mit digitalem System
Das analoge Signal wird abgetastet und auf diesem Wert für ein Abtastintervall
gehalten, dabei entsteht ein zeitdiskretes amplitudenkontinuierliches Signal.
Durch den AD-Wandler erfolgt eine Wertquantisierung, so daß am Eingang
des Prozessors ein zeit- und wertdiskretes Signal anliegt. Nach Verarbeitung
dieses Signals im Prozessor wird durch den DA-Wandler und das
Rekonstruktionsfilter ein analoges Signal erzeugt. Die Notwendigkeit des am
Eingang des Systems verwendeten Anti-Aliasing-Filters wird im Abschnitt 2.5
näher erläutert.
Stellt man die analoge und digitale Signalverarbeitung gegenüber,
kristallisieren sich folgende vorteilhafte Merkmale heraus:
Digitale Signalverarbeitung
- zuverlässige Speicherung digitaler Signale,

Einordnung der zeitdiskreten Signale und Systeme - 7 -
- beliebig hohe Genauigkeit,
- Flexibilität bei den Verarbeitungsverfahren durch programmierbare
Bausteine,
- keine Alterung, Drift und Bauteiltoleranzen bei digitalen Schaltungen.
Analoge Signalverarbeitung:
- höhere Verarbeitungsgeschwindigkeit,
- Verarbeitung hochfrequenter Signale,
- einfache Anwendungen benötigen geringen Aufwand.
Da die digitale Signalverarbeitung gerade für den
Kommunikationsinformatiker von besonderer Bedeutung ist, wird in diesem
Lehrbrief auf die wesentlichen mathematischen Aspekte bei idealisierten
Bedingungen eingegangen. Bei der hier vorgenommenen ausschließlichen
Betrachtung zeitdiskreter Signale und Systeme sollte nicht vergessen werden,
daß die Mehrzahl der in der Natur und Technik vorkommenden Signalquellen
und -senken analog ist.

- 8 - Zeitdiskrete Signale und Systeme

Zeitdiskrete Signale - 9 -
2 Zeitdiskrete Signale
2.1 Einleitung
Ein Signal ist die physikalische Darstellung einer Nachricht und somit Träger
dieser Nachricht, wobei die unabhängige Größe eines Signals zeitlich und/oder
örtlich veränderbar sein kann. In den folgenden Betrachtungen werden
ausschließlich zeitliche Änderungen eines Signals besprochen und darauf
aufbauend die spektrale bzw. frequenzmäßige Zusammensetzung eines Signals.
Die Reduzierung auf zeitliche Signale läßt immer noch einen großen
Spielraum, deshalb ist es sinnvoll, eine Einteilung der Signale vorzunehmen,
um die Klasse der Signale, die unter dem Begriff „zeitdiskret“ zu verstehen ist,
genauer zu charakterisieren. In den nachfolgenden Abschnitten werden eine
Einteilung der Signale, ausgewählte zeitdiskrete Signale und deren
Verknüpfung vorgestellt.
Neben der Beschreibung im Zeitbereich, dem Originalbereich, ist die spektrale
Zerlegung von Signalen eine wesentliche Beschreibungsvariante, um die
Frequenzanteile eines Signals zu analysieren. Die Darstellung des
Frequenzspektrums eines Signals erfolgt im Frequenzbereich und beruht auf
den bekannten Methoden der Fourier-Reihen und des Fourier-Integrals. Die
Beschreibung im Frequenzbereich ist ein Spezialfall der Beschreibung im
Bildbereich. Auf diese beiden Beschreibungsmöglichkeiten wird detailliert in
den Abschnitten 2.4 und 2.5 eingegangen.
Um schon aus der Schreibweise des Signals die Beschreibung im Zeit-, Bildoder
Frequenzbereich erkennen zu können, werden folgende Vereinbarungen
getroffen. Im Zeitbereich werden für die Signale Kleinbuchstaben verwendet,
z.B.
x(t), x (kT A ) .
Im Bild- und Frequenzbereich verwendet man Großbuchstaben, z. B.
X(z)
X (jΩ) ; X (jF).

- 10 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Nach Bearbeitung dieses Kapitels werden Sie Kenntnisse über die
Beschreibung zeitdiskreter Signale im Zeit-, Bild- und Frequenzbereich und die
Transformationen in diese Bereiche erworben haben. Sie werden Kenntnisse
über die wesentlichsten Effekte bei der Über- und Unterabtastung von Signalen
gewinnen und über Fertigkeiten beim Umgang mit dem Simulationsprogramm
MATLAB und dem Tool Simulink verfügen.
2.2 Einteilung der Signale
Die Einteilung der Signale wird hinsichtlich verschiedener Gesichtspunkte
vorgenommen. Ein Gesichtspunkt ist die zeitliche Bestimmbarkeit des
Auftretens eines Signals. Man unterscheidet deterministische und stochastische
Signale.
Deterministisches Signal:
Das Signal ist für jeden Zeitpunkt eindeutig bestimmbar. Zur
Beschreibung dieses Signals werden analytische Ausdrücke und
Algorithmen verwendet.
Stochastisches Signal:
Das Signal ist zufällig. Bei der Beschreibung dieses Signals finden die
Mittel und Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung Anwendung.
Ein anderer Gesichtspunkt ist die Verfügbarkeit der Informationsparameter,
damit ist die zeitliche Verfügbarkeit und die Verfügbarkeit der Funktionswerte
gemeint. Hinsichtlich der zeitlichen Verfügbarkeit unterscheidet man
zeitkontinuierliche und zeitdiskrete Signale.
Zeitkontinuierliches Signal:
Das Signal ist zu jedem beliebigen Zeitpunkt definiert.
Zeitdiskretes Signal:
Das Signal ist nur zu bestimmten Zeitpunkten definiert.
Ähnlich verhält es sich bei der Verfügbarkeit der Funktionswerte.

Zeitdiskrete Signale - 11 -
Wertkontinuierliches Signal:
Das Signal kann jeden beliebigen Funktionswert annehmen.
Wertdiskretes Signal:
Das Signal nimmt nur ganz bestimmte Funktionswerte an.
Aus diesen Unterscheidungen der Verfügbarkeit der Informationsparameter
lassen sich vier Kombinationen von Signalen ableiten, die in Tabelle 2.1
zusammengefaßt sind.
Tabelle 2.1: Einteilung der Signale nach der Verfügbarkeit der Informationsparameter
zeitkontinuierlich
zeitdiskret
wertkontinuierlich
x
x
t
kT A
wertdiskret
x q
x q
t
kT A
Die Signale, auf welche sich die folgenden Abhandlungen beziehen, sind
deterministischer Natur und es sind zeitdiskrete wertkontinuierliche oder kurz
zeitdiskrete Signale.
Wie aus Tabelle 2.1 ersichtlich, ist ein zeitdiskretes Signal ein abgetastetes
zeitkontinuierliches Signal. Man kann auch sagen, aus dem
zeitkontinuierlichen Signal werden zu festgelegten Zeitpunkten Proben
entnommen und diese Proben werden durch sogenannte Pins dargestellt
(Bild 2.1).

- 12 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
x
Probenentnahme
x
t
kT A
Bild 2.1: Entnahme von Proben aus einem zeitkontinuierlichen Signal
Beim zeitdiskreten Signal sind zu bestimmten Zeitpunkten kT A Funktionswerte
x(kT A ) vorhanden. Wobei T A die Abtastperiode und f A = 1/T A die
Abtastfrequenz ist. Die mathematische Schreibweise kann einmal durch eine
Folge angegeben werden
{x(kT A )} = {...x(-T A ); x(0); x(T A ); x(2T A ); ...} (2.1)
oder durch die Bildungsvorschrift der Folge
{x(kT A )} = { f(kT A )} (2.2)
Oft wird eine verkürzte Schreibweise angewendet, man verzichtet auf die
Angabe von T A , was auf keinen Fall bedeuten soll, daß T A gleich 1 ist.
Verkürzte Schreibweise
{x(k)} = {x K } = {... x(-1); x(0); x(1); x(2); ...} (2.3)
Um Verwechslungen mit anderen unabhängigenGrößen zu vermeiden, wird
hier die ausführliche Schreibweise angesetzt.

Zeitdiskrete Signale - 13 -
2.3 Beschreibung zeitdiskreter Signale im Zeitbereich
2.3.1 Einleitung
Da der Zeitbereich der Originalbereich der betrachteten Signale ist, wird zuerst
die Beschreibung in diesem Bereich behandelt. In diesem Abschnitt wird auf
die Besonderheiten der zeitdiskreten Signale eingegangen, die bei den
zeitkontinuierlichen nicht auftreten.
Beginnend mit der Vorstellung ausgewählter zeitdiskreter Signale und deren
Verknüpfung werden Sie Kenntnisse erwerben über die Signalabtastung und
die Bedeutung der Abtastzeit für die Signalrekonstruktion. Bei der Bearbeitung
der gestellten Aufgaben werden Sie unter anderem Fertigkeiten beim Umgang
mit dem MATLAB – Tool Simulink erlangen.
2.3.2 Ausgewählte zeitdiskrete Signale
Bestimmte zeitdiskrete Signale haben auf die Untersuchung zeitdiskreter
Systeme besondere Bedeutung und werden nachfolgend charakterisiert. Die
ersten beiden Signale werden zusätzlich mit einer Verschiebung angegeben, bei
den anderen wird darauf verzichtet.
Einheitsimpuls δ(kT A )
{ x(
kT )}
= { δ ( kT )}
A
A
⎧1
= ⎨
⎩0
für k = 0
für k ≠ 0

- 14 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Verschobener Einheitsimpuls δ[(k-n)T A ]
{ x( kT )}
= { δ[(
k − n)
T ]}
A
A
⎧1
= ⎨
⎩0
für k = n
für k ≠ n
x
1
x
1
0
kT A
0 nT A kT A
Bild 2.2: Einheitsimpuls und verschobener Einheitsimpuls
Einheitssprungfolge ε(kT A )
{ x(
kT )}
= { ε ( kT )}
A
A
⎧1
= ⎨
⎩0
für k ≥0
für k < 0
Verschobene Einheitssprungfolge ε[(k-n)T A ]
{ x( kT )}
= { ε[(
k − n)
T ]}
A
A
⎧1
= ⎨
⎩0
für k ≥ n
für k < n
x
1
x
1
0
kT A
0 nT A kT A
Bild 2.3: Einheitssprungfolge und verschobene Einheitssprungfolge
Rampenfolge r(kT A )
{ x(
kT )}
= { r(
kT )}
A
A
⎧kT
= ⎨
⎩ 0
A
für k ≥ 0
für k < 0

Zeitdiskrete Signale - 15 -
Exponentialfolge
kbTA
a
A
{ x ( kT A
) = a
kbT
} { }
x
4T A
2T A
kT A
x
kT A
Bild 2.4: Rampenfolge und Exponentialfolge
Harmonische Schwingungsfolge
{ x ( kT )
ϕ )
A
} { Acos(
ω kT + }
=
A
x
A
-A
kT A
Bild 2.5: Harmonische Schwingungsfolge
2.3.3 Elementare Operationen
Bei Verknüpfungen von zeitdiskreten Signalen sind die Operationen von
Folgen anzuwenden, d.h. die Operationen werden elementeweise ausgeführt.
Skalierung:
{y (kT A )} = A { x(kT A )} bzw. (2.4)
y(kT A ) = A x(kT A ) für ∀ k

- 16 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Addition:
{ y(kT A )} = { x 1 (kT A )} + { x 2 (kT A )} bzw. (2.5)
y(kT A ) = x 1 (kT A ) + x 2 (kT A ) für ∀ k
Multiplikation:
{y(kT A )} = {x 1 (kT A )} ⋅{x 2 (kT A )} bzw. (2.6)
y(kT A ) = x 1 (kT A ) ⋅ x 2 (kT A ) für ∀ k
Übungsaufgaben
2.1 Bilden Sie folgende Signalverknüpfungen! Stellen Sie dazu die gegebenen
Signale dar und führen Sie graphisch die Operationen aus. Das Ergebnis ist
dann zusätzlich durch seine mathematische Beschreibung als Folge anzugeben.
a) {y(kT A )} = {ε(kT A )} + (1/T A ){r(kT A )}
b) {y(kT A )} = 2 {ε(kT A )} - {ε[(k-2)T A ]} - {ε[(k-4)T A ]}
c) {y(kT A ) } = { ε(kT A ) } ⋅ { 2 k }
d) {y(kT A )} = {δ[(k-2)T A ]} {2 k }
e) {y(kT A )} = [ {ε(kT A )} - { ε[(k-10)T A ]} ] ⋅ {cos ( (π/5) k ) }
2.3.4 Diskrete Faltung
Die Faltung ist eine Rechenvorschrift für Folgen, bei der nicht nur eine
elementeweise Multiplikation der Folgen vorgenommen wird, sondern noch
zusätzliche Terme entstehen. Die Faltung findet z.B. Anwendung bei der
Ermittlung der Reaktion eines Systems auf ein spezielles Eingangssignal. Die

Zeitdiskrete Signale - 17 -
Anwendung und Nützlichkeit der Rechenvorschrift Faltung werden in den
Abschnitten 2.4, 2.5, 3.3 und 3.4 erörtert. An dieser Stelle soll ausschließlich
die Ausführung der Faltung erläutert werden. Zuerst wird auf die lineare
Faltung mit einem anschließenden Beispiel eingegangen.
Lineare Faltung
{y(kT A )} = {x 1 (kT A )} ∗ {x 2 (kT A )} = {x 2 (kT A )} ∗ {x 1 (kT A )} (2.7)
∞
∞
⎧
⎫ ⎧
⎫
y ( kTA
)} = ⎨∑
x1(
nTA
) x2[(
k − n)
TA
] ⎬=
⎨ ∑ x1[(
k − n)
TA
] x ( nTA
) ⎬
⎩n= −∞
⎭ ⎩n=−∞
⎭
{
2
Die Faltung ist kommutativ. Die lineare Faltung wird in diesem Abschnitt
vorzugsweise für endliche Folgen durchgeführt. Mit angegebener Schrittfolge
läßt sich {y(kT A )} systematisch berechnen.
1. {x 1 (kT A )} und {x 2 (kT A )} sind endliche Folgen mit N 1 und N 2 als jeweiliger
Dauer der Folgen
2. Die Variable k wird durch n ersetzt.
3. Die Folge {x 2 (nT A )} wird an der Ordinate gespiegelt, es ergibt sich
{x 2 (-nT A )}.
4. Es wird das Produkt aus {x 1 (nT A )} und {x 2 [(k-n)T A ]} gebildet und es
entsteht das Element y(kT A ).
∑ ∞ x1
( nTA
)}{ x [( k − n)
TA
}
∞{
y ]
( kT
A)
=
2
n=
5. Die Folge {x 2 (-nT A )} wird um einen Abtastwert nach rechts verschoben.
6. Die Schritte 4 und 5 werden so lange wiederholt bis alle Überdeckungen der
Folgen {x 1 (nT A )} und {x 2 [(k-n)T A ]} berücksicht wurden. Die berechnete
Folge {y(kT A )} hat eine Dauer von N 1 + N 2 –1.
Anhand des folgenden Beispiels sei die Schrittfolge für die lineare Faltung
zweier Folgen demonstriert.
Beispiel 2.1
1. Es sind die beiden Folgen
{x 1 (kT A )} = {1, 2, 3} und {x 2 (kT A )} = {1, 2, 2, 1}

- 18 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
gegeben und durch lineare Faltung
{x 1 (kT A )} ∗ {x 2 (kT A )}
zu verknüpfen.
2. Es wird k durch n ersetzt.
x 1
x 2 3
2
2
1
1
nT A
nT A
3. Spiegelung von {x 2 (nT A )} an der Ordinate
x 2
2
1
nT A
5. Verschiebung von 4. Multiplikation
{x 2 (-nT A )} um kT A ∑ ∞ y ( kTA
) = { x1
( nTA
)}{ x2[(
k − n)
TA
]}
n=
−∞
kT A = 0
x 2 0
2
y(0)
= ∑{
x1(
nTA
)} { x2
( −nTA
)}
n=
0
1
y(0)
= 1
kT A = 1T A
nT A
4
x 2
2
1
nT A
y(
T
y(
T
y(
T
A
A
A
) = ∑{
x1(
nT
) = 1⋅
2 + 2⋅1
) =
1
n=
0
A
)}{ x [(1 − n)
T
2
A
]}

Zeitdiskrete Signale - 19 -
kT A = 2T A
x 2
2
1
y(2T
y(2T
y(2T
A
A
A
2
) = ∑{
x1(
nT
n=
0
) = 1⋅
2 + 2 ⋅ 2 + 3⋅1
) = 9
A
)}{ x
2
[(2 − n)
T
A
]}
kT A = 3T A
nT A
8
x 2
2
1
y(3T
y(3T
y(3T
A
A
A
3
) = ∑{
x1
( nT
n=
0
) = 1⋅1+
2 ⋅ 2 + 3⋅
2
) = 11
A
)} { x
2
[(3 − n)
T
A
]}
nT A
3
kT A = 4T A
x 2
2
1
kT A = 5T A
nT A
y(4T
y(4T
y(4T
A
A
A
) = 2 ⋅1+
3⋅
2
) =
4
) = ∑{
x1
( nT
n=
0
A
)} { x
2
[(4 − n)
T
A
]}
x 2
2
1
nT A
y(5T
y(5T
y(5T
A
A
A
) = ∑{
x1
( nT
) = 3⋅1
) =
5
n=
0
A
)}{ x [(5 − n)
T
2
A
]}
6. {y(kT A )} = {1, 4, 9, 11, 8, 3}
Zyklische Faltung
Im Unterschied zur linearen Faltung werden hier Folgen betrachtet, die
periodisch mit der Periode N sind. Die Bildungsvorschrift lautet
{y(kT A )} = {x 1 (kT A )} ∗ {x 2 (kT A )} = {x 2 (kT A )}∗{x 1 (kT A )} (2.8)
{ y ( kT
A
N −1
N −1
⎧
⎫ ⎧
)} = ⎨∑
x ( nTA
) x2[(
k − n)
TA
] ⎬=
⎨∑
x1[(
k − n)
T
⎩n=
0
⎭ ⎩n=
0
1 A
] x2
( nTA
)
⎫
⎬
⎭

- 20 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Ebenso wie bei der linearen Faltung gilt auch hier das Kommutativgesetz. Die
systematische Berechnung der Folge {y(kT A )} ist durch die nachfolgende
Schrittfolge schnell durchführbar:
1. {x 1 (kT A )}, {x 2 (kT A )} sind periodische Folgen mit der Periode N.
2. Die Variable k wird durch n ersetzt.
3. Die Folge {x 2 (nT A )} wird an der Ordinate gespiegelt, es ergibt sich
{x 2 (-nT A )}.
4. Berechnung des Elementes y(kT A ) erfolgt nach
y(
kT
A
)
N
=
1
∑ −
n=
0
{ x ( nT
1
)}{ x
[( k − n)
T
5. Die Folge {x 2 (-nT A )} wird um einen Abtastwert nach rechts
verschoben, d. h. k erhöht sich um Eins.
6. Die Schritte 4 und 5 werden solange wiederholt bis y[(N-1)T A ] berechnet
wurde. Die Ausgangsfolge innerhalb einer Periode ist somit
{y(kT A )} = {y(0) ; y(T A ); ... ; y[(N-1)T A ]}.
Beispiel 2.2
Gegeben sind die beiden periodischen Folgen
A
2
1. {x 1 (kT A )} = {x 2 (kT A )} = {1, 2, 2, 1} mit k = k + c N , N = 4.
Für die Verknüpfung dieser beiden Folgen über die zyklische Faltung werden
diese zuerst grafisch dargestellt und dann die Ausgangsfolge anhand einer
Tabelle berechnet.
A
]}.
x 1, x 2
2
1
0 3T A kT A
Bild 2.6: Periodische Folgen {x 1 (kT A )} und {x 2 (kT A )}

Zeitdiskrete Signale - 21 -
Tabelle 2.2: Berechnung der Ausgangsfolge {y(kT A )}
Schritt k
n:
-3 –2 –1 0 1 2 3 4
{x 1 (nT A )}={...1 2 2 1...} y(kT A )
2. 0 {x 2 (nT A )} = ... 2 2 1 1 2 2 1 1 ...
3. 0 {x 2 (-nT A )} = ... 1 2 2 1 1 2 2 1 ...
4.
9
5. 1 {x 2 [(1-n)T A ]} = ...1 2 2 1 1 2 2 ...
4.
8
5. 2 {x 2 [(2-n)T A ]} = ...1 2 2 1 1 2 ...
4.
9
5. 3 {x 2 [(3-n)T A ]} = ...1 2 2 1 1...
4.
10
6. {y (kT A )} = {9, 8, 9, 10} mit k = k + c N, N = 4
Übungsaufgaben
2.2 Falten Sie die beiden Folgen {x (kT A )} = {1, 1, 1, 1} und {δ[(k-1)T A ]}!
2.3 Falten Sie die beiden Folgen {x 1 (kT A )} = {1, 2, 3} und
{x 2 (kT A )} = {4, 5, 6}!
a) {x 1 (kT A )} und{x 2 (kT A )} sind endliche Folgen,
b) {x 1 (kT A )} und {x 2 (kT A )} sind periodische Folgen.

- 22 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
2.3.5 Signalabtastung, Rekonstruktion und Quantisierung
Betrachtet man noch einmal Bild 1.3, so wird das zeitdiskrete Signal {x e (kT A )}
aus der Abtastung des zeitkontinuierlichen Signals x e (t) gewonnen. Aus
mathematischer Sicht ist diese Abtastung als Multiplikation des
zeitkontinuierlichen Signals mit einem Einheitsimpuls {δ[(k-n)T A ]}
aufzufassen. Im nachfolgenden Bild ist die Verknüpfung x(t) mit einem
Einheitsimpuls {δ[(k-n)T A ]} dargestellt. Der Einheitsimpuls blendet aus der
Funktion x(t) einen Funktionswert zum Zeitpunkt t = nT A aus.
x(t){δ[(k-n)T A ]} = x(nT A ){δ[(k-n)T A ]} (2.9)
Es ergibt sich genau ein Abtastwert.
x
δ
1
nT A
t
x
nT A
kT A
x(nT A )
nT A
kT A
Bild 2.7: Ideale Abtastung mit einem Einheitsimpuls
Da die Funktion x(t) im gesamten Bereich von - ∞ < t < ∞ abgetastet werden
soll, ist eine Summe von Einheitsimpulsen mit - ∞ < n < ∞ anzusetzen.
∞
∑
n = −∞
∞
{ [( k − n)
T ]}
= x(
nT ){
[( k − n)
T ]}
∑
x ( t)
δ δ = { x(
kT )} (2.10)
A
n = −∞
A
A
A

Zeitdiskrete Signale - 23 -
x
kT A
Bild 2.8: Ideale Abtastung mit einer Summe verschobener Einheitsimpulse
Bei der Abtastung eines Signals kann bei unglücklicher Wahl der
Abtastperiode T A ein Effekt auftreten, der als Aliasing-Effekt bezeichnet wird.
Um diesen Effekt zu erklären, wird noch einmal Bezug auf die Struktur eines
digitalen Systems zur Verarbeitung eines analogen Signals genommen (Bild
1.3). Setzt man als analoges Eingangssignal
x e (t) = Α sin (ω e t)
an und beaufschlagt den Prozessor mit einer einfachen Verstärkung V, so wird
ein Ausgangssignal erwartet, das durch
x a (t) = V . Α sin (ω e t + ϕ a )
beschrieben wird, also die gleiche Kreisfrequenz wie das Eingangssignal hat.
Um dies zu erreichen, muß bei der Signalabtastung des Eingangssignals x e (t)
eine Abtastperiode T A in Abhängigkeit der Kreisfrequenz ω e gewählt werden,
bei der ein zeitdiskretes Signal entsteht, aus dem durch das
Rekonstruktionsfilter ein analoges Signal mit der Kreisfrequenz ω e eindeutig
(d.h. umkehrbar) rekonstruiert werden kann. Die eindeutige
Rekonstruierbarkeit ist garantiert, wenn das Signal x e (t) mindestens zweimal in
der Periode abgetastet wird. Man spricht dann von einer Überabtastung. Wird
das Signal x e (t) weniger als zweimal in der Periode abgetastet, dann spricht
man von Unterabtastung. Um diese Effekte und die daraus resultierenden
Konsequenzen deutlich zu machen, wird ein Simulink-Modell herangezogen.
Bild 2.9: Simulink-Modell für die Abtastung und Rekonstruktion eines Signals

- 24 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Beispiel 2.3 : Überabtastung
Die Quelle erzeugt eine periodische Sinusschwingung, mit dem Sample/Hold-
Block wird mit einer Abtastperiode von T A = 2ms abgetastet und der
Abtastwert gehalten. Für die Rekonstruktion wird ein Tiefpaß mit der
Grenzfrequenz f g = 0,25 kHz verwendet. Setzt man für die Periodendauer des
Eingangssignals T e = 8ms, so liegt eine Überabtastung des analogen Signals
vor und es entsteht das dargestellte gehaltene zeitdiskrete Signal.
x e
x e
t /10 -4 s
t /10 -4 s
Bild 2.10: Verlauf des analogen Signals und gehaltenen zeitdiskreten Signals bei
Überabtastung
Nach Verarbeitung des Signals {x e (kT A )} im Prozessor und nach
Rekonstruktion wird sich ein Ausgangssignal ergeben, welches genau die
Periodendauer des Eingangssignals hat. Die Phasenverschiebung ϕ a ist auf die
Signalverarbeitung und auf die Phasenverschiebung des Rekonstruktionsfilters
zurückzuführen, der nicht exakt sinusförmige Verlauf hängt mit dem
verwendeten Tiefpaßfilter zusammen. Wie man sieht, sind noch
Optimierungsmöglichkeiten gegeben.
x a
t /10 -4 s
Bild 2.11: Rekonstruiertes Signal bei Überabtastung

Zeitdiskrete Signale - 25 -
Beispiel 2.4: Unterabtastung.
Für die Abtastperiode wurde T A = 5ms gewählt, dann ergibt sich folgendes
zeitdiskrete Signal:
x e
x e
t /10 -5 s
t /10 -5 s
Bild 2.12: Verlauf des analogen und des gehaltenen zeitdiskreten Signals bei
Unterabtastung
Nach Verarbeitung im Prozessor und Rekonstruktion ergibt sich ein Signal mit
einer anderen Frequenz. Die eindeutige Rekonstruierbarkeit ist nicht geglückt,
da die Tastzeit zu groß gewählt wurde.
x a
t /10 -5 s
Bild 2.13: Rekonstruiertes Signal bei Unterabtastung
Bei der Abtastung eines analogen Signals kann eine Überabtastung oder
Unterabtastung auftreten. Die Überabtastung garantiert eine eindeutige
Rekonstruierbarkeit des zeitdiskreten Signals, bei der Unterabtastung ist dies
nicht der Fall. Betrachtet man die Signale bezüglich ihres Frequenzspektrums,
so treten bei Unterabtastung unerwünschte Überlappungen der Spektren auf,

- 26 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
die man als Aliasing-Effekt bezeichnet. Dieser Effekt wird im Abschnitt 2.5
genauer besprochen.
Um diesen Aliasing-Effekt zu vermeiden, ist besonderes Augenmerk auf die
Wahl der Abtastperiode T A bzw. Abtastfrequenz f A in Abhängigkeit der
Signalfrequenzen zu legen. Zur sinnvollen Festlegung der Abtastperiode sei
folgende Bemerkung vorangestellt. Ein analoges Signal wird vor der
Signalverarbeitung (Bild 1.3) auf ein Anti-Aliasing-Filter geführt, um das
Signal in seiner Bandbreite zu beschränken und im wesentlichen auf die für
den Informationsgehalt relevanten Frequenzinhalte zu begrenzen.
Das kontinuierliche mit einem Tiefpaß begrenzte Signal kann aus seinen
Abtastproben zurückgewonnen werden, wenn zwischen Abtastfrequenz ƒ A und
der im bandbegrenzten Signal maximal auftretenden Frequenz ƒ max folgender
Zusammenhang existiert
ƒ A ≥ 2 ƒ max . (2.11)
Dieser Zusammenhang wird als Abtasttheorem von Shannon bezeichnet.
Bezieht man diesen Zusammenhang auf die Periodendauern, so besagt das
Theorem, daß die im Signal vorkommende kürzteste Periodendauer mindestens
zweimal abgetastet werden muß, um die Rekonstruierbarkeit des Signals zu
gewährleisten.
Neben der Zeitdiskretisierung ist das analoge Signal auch noch einer
Amplitudenquantisierung unterworfen. Diese Amplitudenquantisierung tritt auf
bei der AD-Wandlung, bei der Umsetzung von Koeffizienten in endliche
Wortlängen und beim ggf. notwendigen Runden von Rechenergebnissen. Bei
dieser Amplitudenquantisierung tritt ein Fehler auf, der mit
Informationsverlusten verbunden ist. Das ursprüngliche Signal wird aufgrund
der Amplitudenquantisierung verfälscht, diese Verfälschung kann durch ein
Fehlersignal ausgedrückt werden. Dieses Fehlersignal wird als
Quantisierungsrauschen bezeichnet. Auf die gezielte Beeinflussung des
Quantisierungsrauschens bzw. Quantisierungsrauschabstandes soll an dieser
Stelle nur hingewiesen, aber nicht näher eingegangen werden. Betrachtungen
zu diesen Dingen sind weiterführender Literatur zu entnehmen [5].

Zeitdiskrete Signale - 27 -
Übungsaufgaben
2.4. Das Signal x(t) = sin(0,1s -1 t) ⋅ sin(1s -1 t) soll abgetastet werden.
a) Stellen Sie x(t) mit Hilfe von Simulink grafisch dar.
b) Zerlegen Sie mit Hilfe von Additionstheoremen x(t) in eine Summe
trigonometrischer Funktionen. Welche Frequenzen sind im Signal x(t)
enthalten?
c) Wählen Sie eine Tastperiode, die eine Unterabtastung ausschließt. Stellen
Sie das zeitdiskrete Signal durch die Bildungsvorschrift der Folge dar
und berechnen Sie die ersten 5 Werte der Folge.
d) Erweitern Sie das unter a) aufgestellte Simulationsmodell durch einen
Abtaster. Stimmen die Simulationsergebnisse mit denen unter c)
berechneten Werte überein?
e) Für T A wird 5 s festgesetzt. Stellen Sie die Bildungsvorschrift der Folge
auf und berechnen Sie die ersten 5 Werte des zeitdiskreten Signals!
f) Simulieren Sie mit Simulink die Abtastung des Signals x(t) mit T A = 5s.
Was wird die Rekonstruktion des entstandenen zeitdiskreten Signals
ergeben?

- 28 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
2.4 Beschreibung zeitdiskreter Signale im Bildbereich
2.4.1 Einleitung
Transformationen nutzt man generell, um bestimmte Effekte von Signalen und
auch Systemen besser deuten und identifizieren zu können, dies ist bei der
ausschließlichen Betrachtung des Zeitbereiches nicht so schnell und einfach
möglich. Im ersten Moment erscheint die Transformation als zusätzlicher
Aufwand, die Vorteile der Transformation kommen erst mit zunehmenden
Fertigkeiten zum Vorschein. Insbesondere sind diese Vorteile im
Zusammenhang mit Systemen und deren Verknüpfung mit Signalen zu sehen
(Abschnitt 3.3).
Aus der Mathematik sind Ihnen schon Transformationen bekannt, die Ihnen
dort bezüglich der Transformationsvorschriften und Rechenregeln vorgestellt
wurden [4]. Es wird speziell auf Ihre Vorkenntnisse zur Laplace- und z-
Transformation zurückgegriffen.
Im Abschnitt 2.3 wurde die diskrete Faltung im Zeitbereich besprochen, nach
dem Kennenlernen der z-Transformation wird Ihnen der Vorteil der z-
Transformation gerade im Zusammenhang mit der Faltung einleuchten. Nach
dem Studium dieses Abschnittes sollten Sie Fertigkeiten beim Umgang mit
Korrespondenztabellen und Rechenregeln erlangt haben und sich diese
Fertigkeiten bis zum Abschnitt 3.3 bewahren.
2.4.2 z-Transformation und inverse z-Transformation
Durch die z-Transformation wird ein Signal aus dem Zeitbereich
(Originalbereich) {x(kT A )} in den Bildbereich X(z) transformiert. Umgekehrt
geschieht das durch die inverse z-Transformation.

Zeitdiskrete Signale - 29 -
Zeitbereich
{x(kT A )}
Z{x(kT A )}= X(z)
z-Transformation
{x(kT A )} = Z -1 {X(z)}
Inverse z-Transformation
Bildbereich
X(z)
Bild 2.14: Zusammenhang des Zeit- und Bildbereiches über die z-Transformation
Ein zeitdiskretes Signal kann als Summe von Einheitsimpulsen, die mit dem
Amplitudenwerten an den Abtaststellen gewichtet sind, dargestellt werden.
{x(kT A )} = ∑ ∞ x(nT A ) {δ (kT A - nT A )} (2.12)
n= −∞
Überführt man nun dieses Signal vom Zeit- in den Bildbereich, ist jeder
gewichtete und verschobene Impuls zu überführen. Dies geschieht mit dem
Verschiebungssatz der z-Transformation für einen Impuls
x (nT A ) {δ(kT A - nT A )} x (nT A ) z -n (2.13)
Dieser Verschiebungssatz der z-Tranformation wie die z-Transformation selbst
beruhen auf der Laplace-Transformation. Im Laplace-Bereich würde folgendes
korrespondierende Paar mit dem in Glg. (2.13) zu vergleichen sein.
x(t)δ(t-T) x(T) e -pT (2.14)
Legt man T = nT A fest, ist der Zusammenhang zwischen der Variable p der
Laplace - Transformation und der Variable z der z-Transformation:
e pT A
z = (2.15)
Da die Variable p der Laplace - Transformation komplex ist: p = σ + jω, ist
die Variable z der z-Transformation ebenfalls komplex.
z = e
( σ
+ jω
) TA
= e
σ
TA
e
jωTA
(2.16)

- 30 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Liegt ein Signal vor, das aus einer Summe von Einheitsimpulsen besteht, dann
stehen Zeit- und Bildsignal in folgendem Zusammenhang:
Zweiseitige z-Transformation
∑ ∞
n=
−∞
{ x ( kTA
)} = x(
nTA
){ δ ( kTA
− nTA
)} ∑ ∞ X ( z)
= x(
nT A
) z
n=
−∞
bzw.
∑ ∞
n=
−∞
{ x ( k)}
= x(
n){
δ ( k − n)}
∑ ∞ −n
X ( z)
= x(
n)
z (2.17)
= −∞
n
−n
Einseitige z-Transformation
bzw.
∑ ∞
n=
0
{ x(
kTA
)} = x(
nTA
){ δ ( kTA
− nTA
)} ∑ ∞ X ( z)
=
=
n
0
x(
nT A
) z
−n
∑ ∞
n=
0
{ x(
k)}
= x(
n){
δ ( k − n)}
∑ ∞ −n
X ( z)
= x(
n)
z (2.18)
=
n
0
In diesem Abschnitt wird überwiegend die einseitige Transformation
besprochen, da es sich bei den hier besprochenen Folgen um kausale Folgen
handelt, d.h. {x(kT A )} = 0 für k < 0.
Beispiel 2.5:
Das zeitdiskrete Signal {x(kT A )} = {ε(kT A )} ist mit der z-Transformation in den
Bildbereich zu überführen.
Z{
ε ( kT
A
)} =
X ( z)
=
∑ ∞
n=
0
1⋅
z
−n
= 1+
z
−1
+ z
−2
+ ...
Die entstandene unendliche Reihe ist eine binomische Reihe und kann durch
ihre Summenformel ausgedrückt werden.
Z ε kT
= X
1
=
1−
z
{ (
A)}
( )
−1
z
Die z-Transformation vom Zeit- in den Bildbereich wird, wie eben an dem
Beispiel gezeigt, mit der Bildungsvorschrift Glg. (2.18) vorgenommen. Da

Zeitdiskrete Signale - 31 -
schon für etliche, häufig auftretende Signale Korrespondenzen existieren, ist
bei den weiteren Betrachtungen auch auf die vorliegenden Korrespondenzen
und Rechenregeln (Unterabschnitt 2.4.3) zurückzugreifen. Gleiches gilt für die
inverse z-Transformation, also die Transformation vom Bild- in den
Zeitbereich. Die inverse z-Transformation geschieht über die Auswertung des
Linienintegrals
x(
nT ) =
A
1
2πj
∫
C
X ( z)
z
n−1
dz
Ohne nähere Begründungen ist leicht einzusehen, daß die Auswertung dieses
Integrals aufwendig ist und für die hier besprochenen Beispiele die Nutzung
der Korrespondenztabellen und Anwendung der Rechenregeln der z-
Transformation die bequemere und ausreichende Methode ist.
2.4.3 Rechenregeln und Korrespondenzen der z-Transformation
Die im vorangegangenen Abschnitt erwähnten Korrespondenzen und
Rechenregeln dürften aus der Mathematik [4] ebenfalls bekannt sein. Aus
diesem Grund werden die Korrespondenzen und Rechenregeln für die
einseitige z-Transformation ohne Beweis aufgeführt.
Tabelle 2.3: Rechenregeln der z-Transformation
Nr. {x(kT A )} X(z)
1 Linearität { a1 x1( kTA )} + { a2
x2
( kT A
)}
X ( z) a X ( z)
a1 1
+
2 2
−1
2 Spiegelung { x( − )}
X ( z )
3 Verschiebungssatz { x[ ( k − m)
TA ]}
z −m
X ( z)
4 Faltung { x1 ( kTA )}* { x2
( kT A
)}
X
1( z) ⋅ X
2
( z)
Multiplikation mit
bkTA −bTA
5
{ a x( kTA
)}
X ( a z)
einem Faktor
−1
dX
6 Differentiation { kT x( )}
( z)
kT A
A
kT A
z − 1
dz
T A

{ x( k )}
{ }
- 32 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Tabelle 2.4: Korrespondenzen der z-Transformation
Einheitsimpuls
Einheitssprungfolge
Rampenfolge
Nr. {x(kT A )} X(z)
1 δ ( kT )}
1
{
A
2 { ( )}
3
kausale 4 ( )
Exponentialfolgen
kausale
harmonische
Schwingungsfolgen
1
ε kT A
−1
1− z
−1
T A
z
{ r ( kT A
)}
−1
( 1− z ) 2
bkT
1
a A ε kTA
bT −1
1−
a A z
{ }
A
A
{ kT ε A
}
( ) 2
bkT
5 a ( kT )
A
bkT
6 kT ( k 1
A
) T a ε ( kT )
A
T
a
1−
a
A
{ − A
}
( ) 3
A
bkT
7 a kT ( kT )
A ω ) ε
A
{ }
A
1−
a
2T
2
a
1−
a
bT
bT
A
z
z
2bT
bTA
−1
A
cos(
A A
bTA
−1
2bTA
−2
1−
2a
z cos( ωTA
) + a z
{ }
bkT
8 a kT ( kT )
A ω ) ε
z
bT
A
z
−1
−1
z
−1
−2
cos( ωT
sin( ωT
bTA
−1
A
sin(
A A
bTA
−1
2bTA
−2
1−
2a
z cos( ωTA
) + a z
a
z
)
)
Zuerst werden zwei einfache Beispiele besprochen, bevor wir uns einem etwas
umfangreicheren zuwenden.
Beispiel 2.6:
Die Folge der Aufgabe 2.1c ist in den Bildbereich zu überführen.
{ε ( kT A ) 2 k }
Durch {ε(kT A )} wird ausgedrückt, daß die Exponentialfolge 2 k für k < 0 Null
ist, also eine kausale Folge darstellt. Laut Korrespondenz 4 ergibt sich
Z ε kT
1
1−
2z
k
{ (
A)2
} =
−1
Beispiel 2.7.
Die Folge der Aufgabe 2.1d ist in den Bildbereich zu überführen

Zeitdiskrete Signale - 33 -
{δ[(k-2)T A ] 2 k }
Durch den Impuls an der Stelle kT A = 2 wird aus der Exponentialfolge an
dieser Stelle der Wert 4 ausgeblendet. Man kann die Folge also auch auffassen
als einen um zwei Abtastschritte verschobenen Impuls, der mit 4 gewichtet ist.
Mit Korrespondenz 1 und Verschiebungssatz ergibt sich
Z{4δ[(k-2)T A }] = 4 ⋅ z -2
Im Unterabschnitt 2.3.4 wurde die diskrete Faltung vorgestellt und anhand von
Beispielen erläutert. Von der Aufgabe 2.2 liegt die Lösung vor, der
Lösungsweg sollte ausschließlich im Zeitbereich über die lineare Faltung
gewonnen werden. Mit den Mitteln und Methoden der z-Transformation ist
diese Aufgabe ebenfalls zu lösen, wobei sich die Faltung im Bildbereich als
Multiplikation der Bildfunktionen darstellt. Folgende Lösungsschritte sind
dabei zu gehen:
1. ggf. Aufbereitung der Folgen {x 1 (kT A )}, {x 2 (kT A )} in solche, die die
Korrespondenztabellen aufweisen,
2. z-Transformation Glg.(2.17) und Anwendung der entsprechenden
Korrespondenzen und Rechenregeln
{y(kT A )} = {x 1 (kT A )}* {x 2 (kT A )}
Z {x 1 (kT A )}Z {x 2 (kT A )}=Y(z),
3. inverse z-Transformation mittels Korrespondenzen und Rechenregeln
Z -1 {Y(z)} = {y(kT A )}.
Beispiel 2.8:
Es sind zwei Folgen gegeben
und es ist
{x(kT A )} = { 1, 1, 1, 1 } und {δ[(k-1)T A ]}
{x(kT A )} ∗ {δ[(k-1)T A } = {y(kT A )}
gesucht, wobei die Lösung über den Bildbereich ausgeführt wird.
1. Die Folge {x(kT A )} wird in 2 Einheitssprungfolgen zerlegt.
{x(kT A )} = {ε(kT A )} - {ε[(k-4)T A ]}

- 34 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
2.
Z {y(kT A )} = Z {x(kT A ) ∗ δ[(k-1)T A ]}
= Z {ε(kT A ) ∗ δ[(k-1)T A ] - ε[(k-4)T A ] ∗ δ[(k-1)T A ]}
Aus der Faltung im Zeitbereich wird eine Multiplikation im Bildbereich,
weiterhin bleibt laut Linearitätssatz die Differenz des Zeitbereiches im
Bildbereich erhalten.
Z{y(kT A )} = Z{ε(kT A )} Z{δ[(k-1)T A ]} - Z{ε[(k-4)T A ]} Z{δ[(k-1)T A ]}
Mit Hilfe der Korrespondenztabellen und des Verschiebungssatzes läßt sich
schreiben
3.
Y ( z)
Z
−1
1
1−
z
1
1−
z
−1
−4
−1
= z − z z
−1
−1
{ Y ( z)}
Z
−1
⎧ z
⎨
⎩1
− z
−5
z
−
1−
z
= −1
−1
− 1
⎫
⎬
⎭
Wegen des Linearitätssatzes kann jeder Term für sich betrachtet werden, der
Ausdruck 1/(1-z -1 ) ist eine Einheitssprungfolge und die Multiplikation dieses
Ausdruckes mit der Variable z -m drückt eine Zeitverschiebung um m
Tastperioden aus, somit ist die Ausgangsfolge.
{y(kT A )} = {ε[(k-1)T A ]} - {ε[(k - 5)T A ]}
Um das Ergebnis zu veranschaulichen, seien die beiden Folgen dargestellt.
y
1
{ε[(k-1)T A ]}
Bild 2.15: Graphische Ermittlung der Elemente der Ausgangsfolge {y(kT A )}
{y(kT A )} = { 0, 1, 1, 1, 1 }
0 4T A kT A
-1
-{ε[(k-5)T A ]}

Zeitdiskrete Signale - 35 -
Übungsaufgaben
2.5 Stellen Sie die Folgen grafisch dar und bilden Sie die z-Transformierten!
a) {r(kT A )}
b) {kT A ε(kT A )}
2.6 Wenden Sie auf Z{ε(kT A )} die Rechenregel Differentiation an und
transformieren Sie das Ergebnis zurück in den Zeitbereich? Welcher
Zusammenhang besteht zwischen dem Ergebnis und der
Einheitssprungfolge?
⎧ 1
2.7 Die Verknüpfung der beiden Folgen {2ε[(k-1)T A ]} * ⎨
⎩TA
den Bildbereich zu lösen!
r(
kT
A
⎫
) ⎬ ist über
⎭
2.5 Beschreibung zeitdiskreter Signale im Frequenzbereich
2.5.1 Einleitung
Jedes Signal setzt sich aus bestimmten Frequenzen zusammen, man kann
sagen, ein Signal ist durch sein Frequenzspektrum charakterisiert. Zur Analyse
eines Signals bezüglich seiner Frequenzanteile bedient man sich der Fourier-
Transformation. Aus der Mathematik ist die Fourier-Analyse und Fourier-
Transformation für zeitkontinuierliche Signale bekannt. Für zeitdiskrete
Signale wird ebenfalls die Fourier-Transformation verwendet, die natürlich auf
die Besonderheit Zeitdiskretisierung angepaßt ist.
Im Unterabschnitt 2.5.2 wird die Fourier-Transformation für Abtastsignale
erläutert, wobei diese Signale nichtperiodisch sind und hier von Abtastsignalen
von unendlicher Dauer ausgegangen wird. Die diskrete Fourier-

- 36 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Transformation (Unterabschnitt 2.5.3) gestattet die praktisch realisierbare
Behandlung von Signalen mit unendlicher Dauer, wobei hier ausschließlich
periodische Signale besprochen werden. Für nichtperiodische Signale liefert
die diskrete Fourier-Transformation eine Näherung des tatsächlichen
Spektrums dieser Signale, wobei zusätzliche Maßnahmen notwendig sind, um
eine akzeptable Näherung zu erhalten.
Zwischen Fourier -Transformationen für Abtastsignale und der diskreten
Fourier-Transformation besteht folgender Zusammenhang:
x(t)
Abtastung
t = kT A
Fourier-Transformation für
Abtastsignale {x(kT A )}
Kontinuierliches period.
Frequenzspektrum
periodische
Fortführung
Abtastung des
Frequenzspektrums
x(t + cT p )
Abtastung
t = kT A
Diskrete Fourier-Transformation
{x(kT A + cT p )}
Diskretes period.
Frequenzspektrum
Bild 2.16: Zusammenhang zwischen den Frequenzspektren periodischer und
nichtperiodischer abgetaster Signale
Im Unterabschnitt 2.5.4 wird die schnelle Fourier-Transformation vorgestellt,
sie stellt keine neue Transformation dar, sondern ist eine diskrete Fourier-
Transformation, bei der sich wiederholende Rechenoperationen eingespart
werden, dies zieht eine enorme Reduzierung von Rechenzeit nach sich.
Beim Durcharbeiten des Abschnittes 2.5 werden Ihre Kenntnisse der
Signalbeschreibung erweitert in Richtung Frequenzspektrum eines Signals,
wobei Ihnen der Unterschied zwischen den Transformationen gezeigt wird und
Sie die Vorteile der schnellen Fourier-Transformation kennenlernen. Weiterhin
werden Sie Kenntnisse über den schon erwähnten Aliasing-Effekt erlangen und
Sie werden Ihre Fertigkeiten beim Umgang mit dem Simulationsprogramm
festigen.

Zeitdiskrete Signale - 37 -
2.5.2 Fourier-Transformation für Abtastsignale (FTA) und inverse Fourier-
Transformation für Abtastsignale (IFTA)
Die Fourier-Transformation für zeitdiskrete Signale kann auf verschiedenen
Wegen gewonnen werden. Da im vorangegangenen Abschnitt die z-
Transformation beschrieben wurde und man die Fourier-Transformation als
Spezialfall dieser auffassen kann, wird dieser Weg kurz erläutert.
Bei der einseitigen z-Transformation werden kausale Folgen betrachtet. In der
Nachrichtentechnik ist oft der Verlauf des Signals über der gesamten
Zeitachse von Interesse, hier liegt die Anwendung der zweiseitigen z-
Transformation.
∑ ∞
n=
−∞
Z { x(
kT )} = X ( z)
= x(
nT ) z
A
A
−n
Weiterhin ist bekannt, daß die Variable z folgende Zusammensetzung hat
z
σ T A T
e e j ω
= A
.
Da das Ziel das Frequenzspektrum des Signals ist, wird von der Variablen z
nur der frequenzabhängige Anteil weiter genutzt. Es wird gesetzt
z
jωT = e A
.
Damit ergibt sich für die Fourier-Transformation eines Abtastsignals
jnωTA FTA{ x(
kTA
)} = ∑ ∞ −
x(
nTA
) e = X ( jωTA
)
= −∞
n
(2.19)
Oft werden auch die Frequenz f sowie die normierte Frequenz F und
Kreisfrequenz Ω verwendet. Es gilt ωT A = Ω = 2πfT A = 2πF.
FTA{
x(
kT
FTA{
x(
kT
FTA{
x(
kT
A
A
A
)}
)}
)}
=
=
=
∞
∑
n=−∞
∞
∑
n=−∞
∞
∑
n=−∞
x(
nT
A
x(
nT
x(
nT
) e
A
A
) e
) e
− jn2πfT
− jnΩ
A
− jn2πF
=
=
=
X ( jf / f
A
X ( jΩ)
X ( jF)
)

- 38 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Dabei sind Ω und F auf die Abtastperiode bzw. Abtastfrequenz bezogene
Größen und damit maßeinheitslos. In den nachfolgenden Betrachtungen
werden wir häufig die kürzeste Schreibweise X (jΩ) , X (jF) benutzen. Auf die
Angabe von j im Argument wird nicht wie meist in der Literatur verzichtet, um
deutlich zu unterstreichen, daß die entstandene Funktion komplexe Argumente
enthält, wobei der Sonderfall ausschließlicher reeller Argumente damit
eingeschlossen ist.
Wie aus dem Bereich der komplexen Zahlen bekannt ist, kann man komplexe
Ausdrücke in exponentieller Form darstellen und daraus Betrag und Phase
ablesen. Diese Form der Darstellung wählt man auch für das
Frequenzspektrum eines Signals, um ablesen zu können, welche Amplitude
und Phase die jeweiligen Frequenzanteile aufweisen.
Frequenzspektrum
X(jΩ) = |X(jΩ)| e jarg X(jΩ) (2.20)
Amplitudenspektrum (Betrag von X(jΩ) )
2
2
X ( jΩ)
= Re { X ( jΩ)}
+ Im { X ( jΩ)}
(2.21)
Phasenspektrum
Im{ X ( jΩ)}
arg X ( jΩ)
= ϕ ( Ω)
; tanϕ(
Ω)
=
(2.22)
Re{ X ( jΩ)}
Aus einem vorliegenden Frequenzspektrum ist über die inverse Fourier-
Transformation das Abtastsignal berechenbar. Die Transformationsvorschrift
sei hier ohne Herleitung angegeben.
Inverse Fouriertransformation für Abtastsignale
bzw.
π
1
jk
{ x(
kT = ∫ X jΩ
e
Ω
A
)} ( ) dΩ
(2.23)
2π
−π
1/ 2
∫
jk 2πF
{ x(
kT )} = X ( jF)
e dF
A
−1/
2
Zur besseren Veranschaulichung der Berechnung eines Frequenzspektrums und
dessen Eigenschaften werden nachfolgend zwei Beispiele betrachtet.

Zeitdiskrete Signale - 39 -
Vorausgeschickt wird die Darstellung des kontinuierlichen Zeitsignals mit
seinem Amplitudenspektrum. Das Amplitudenspektrum gibt Hinweise für die
Festlegung der Abtasperiode. Man kann gut erkennen, daß bis zur Nullstelle
f = 0,5 kHz die wesentlichsten das Signal charakterisierenden Frequenzen
enthalten sind. Es erscheint sinnvoll, die Abtastfrequenz mit 1kHz festzulegen.
Bild 2.17: Zeitsignal und Amplitudenspektrum einer Sinusschwingung mit einer Periode
Beispiel 2.9:
Das abgetastete Signal
⎧ 2π
⎪sin(
kTA
)
{ x(
kTA
)} = ⎨ Te
⎪
⎩ 0
mit T e = 8ms ,T A = 1ms liegt vor.
x
1
für
0 ≤ kT
A
sonst
≤ 8ms
4 8 kT A /ms
-1
Bild 2.18: Abgetastete Sinusschwingung mit einer Periode bei Überabtastung

- 40 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Eine Periode einer Sinusschwingung wird beschrieben, wobei die Abtastung
dem Abtasttheorem genügt.
Das Signal wird mit Glg. (2.19) in den Frequenzbereich transformiert.
FTA{
x(
kTA
)} = X ( jF)
= ∑ x(
nTA
) e
n=
0
1
FTA{
x(
kTA
)} = X ( jF)
= e
2
1
− e
2
7
− j2πF
− j2⋅5πF
− jn2πF
+ e
− j 2⋅2πF
− e
+
− j 2⋅6πF
1
e
2
1
− e
2
− j2⋅3πF
+
− j 2⋅7πF
Die Frequenzfunktion liegt nun in einer Form vor, die bezüglich der
Auswertung und grafischen Darstellung ungünstig ist. Diese Summe von
Exponentialformen muß zu einem Ausdruck in Exponentialform umgeformt
werden. Die eine Möglichkeit ist die Anwendung der Eulerschen Formel auf
alle Summanden und Zerlegung in Real- und Imaginärteil, mit diesen beiden
Teilen ist dann Betrag und Phase nach Glgn. (2.21) und (2.22) zu bilden. Die
andere Möglichkeit ist die, daß durch Ausklammern von e -j8πF
X ( jF)
= e
⎡
⎢
⎣
1
e
2
+ e
+
1
e
2
−
1
e
2
− e
− j8πF
j6πF
j 4πF
j 2πF
− j 2πF
− j4πF
− j6πF
und einer weiteren Anwendung der Eulerschen Formel
e j x - e - j x = 2j sin x
geschrieben werden kann.
X ( jF)
=
[ 2 sin(6πF
) + 2sin(4πF
) + 2 sin(2πF
)]
e
π
j(
−8πF
)
2
−
1
e
2
Die entstandene Frequenzfunktion enthält einen sogenannten Pseudobetrag,
X P
( F)
= 2 sin(6π F)
+ 2sin(4πF
) + 2 sin(2πF
)
der sowohl negativ als auch positiv sein kann. Wird er negativ, so ist das in der
Phase durch π oder -π zu berücksichtigen. Stellt man X(jF) in der
Exponentialform dar, also durch Betrag und Phase, dann lautet die
Frequenzfunktion
⎥ ⎦
⎤

Zeitdiskrete Signale - 41 -
jarg X(jF )
X(jF) = | X(jF)| e
mit Amplitudenspektrum
X ( jF)
= X
P
( F)
= 2 sin(6π F)
+ 2sin(4πF
) + 2 sin(2πF
)
und Phasenspektrum
⎧ π
⎪ − 8πF
arg X ( jF)
= ⎨
2
π
⎪−
− 8πF
⎩ 2
für
für
X
X
P
( F)
≥ 0
P
( F)
< 0
Im Bild ist das Amplituden- und Phasenspektrum dargestellt, auf der Abszisse
wurde die nicht normierte Größe f benutzt. Die Berechnung des Spektrums
erfolgte mit MATLAB (siehe Anhang).
5
|X(jf/f )|
A 4
3
2
1
4
arg X(jf/f
A
)
0
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-fA/2
f/k Hz
fA/2
2
0
-2
-4
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-fA/2
f/k Hz
fA/2
Bild 2.19: Spektrum einer Sinusschwingung mit einer Periode bei Überabtastung
Für Abtastsignale ergeben sich periodische Spektren, die Periode beträgt f A .
Amplituden - und Phasenspektrum sind symmetrische Funktionen, wobei das
Amplitudenspektrum gerade und das Phasenspektrum ungerade symmetrisch
ist. Es genügt, den Verlauf von Amplituden- und Phasenspektrum im Bereich
von -f A /2 ≤ f ≤ f A /2 zu kennen, um auf eine Periode und damit auf die
gesamte Frequenzachse zu schließen. Die für die Rekonstruktion notwendigen

- 42 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Informationen sind in diesem Frequenzintervall vollständig enthalten, so daß es
notwendig ist, bei der Rekonstruktion durch ein entsprechendes Tiefpaßfilter
mit der Grenzfrequenz f g = f A /2 diesen Bereich zu separieren.
Beispiel 2.10:
Die Sinusschwingung mit nur einer Periode wird mit der Tastperiode von 5ms
abgetastet und das Ergebnis liegt grafisch vor.
x
1
1/√2
0 2 4 6 8
kT A /ms
-1
Bild 2.20: Abgetastete Sinusschwingung mit einer Periode bei Unterabtastung
Die Fourier - Transformierte des Abtastsignals lautet
1 − j 2πf
⋅1ms
− j 2πf
⋅6ms
X ( jF)
= e − e
2
⎡ 1
⎤ ⎡ 1
⎤
X ( jF)
= ⎢ cos(2πfms)
− cos(12πfms)
⎥ + j⎢−
sin(2πfms)
+ sin(12πfms)
⎥
⎣ 2
⎦ ⎣ 2
⎦
Das Amplitudenspektrum (siehe Anhang) für dieses unterabgetastete Signal ist
im nachfolgenden Bild 2.21 dargestellt. Die Eigenschaften, die aus Beispiel
2.10 für das Amplitudenspektrum abgeleitet wurden, wie Symmetrie und
Periodizität, treten natürlich ebenso auf.
Bild 2.21: Amplitudenspektrum einer abgetasteten Sinusschwingung mit einer Periode
bei Unterabtastung

Zeitdiskrete Signale - 43 -
Es kommt wegen der Unterabtastung zu einem Effekt, der als Überlappung
bzw. Aliasing bezeichnet wird, vergleicht man dazu Bild 2.19 und Bild 2.21,
ist dies gut zu erkennen. Dieser Überlappungs- bzw. Aliasingeffekt führt zu
Verlusten von zum Signal gehörenden Frequenzanteilen, es ist nicht möglich,
aus dem Spektrum das Originalsignal korrekt zu rekonstruieren. Für das
Beispiel 2.9 ist die Rekonstruierbarkeit wegen Einhaltung des Abtasttheorems
gegeben.
Übungsaufgaben
2.8 Ermitteln Sie für das abgetastete Signal
⎧ 2π
⎪sin(
kTA
)
{ x(
kTA
)} = ⎨ Te
⎪
⎩ 0
für
0 ≤ kT
A
sonst
≤ 8ms
mit T e = 8 ms und T A = 2 ms
a) die grafische Darstellung der Folge,
b) die Fourier-Transformierte,
c) das Amplituden- und Phasenspektrum!
2.5.3 Diskrete Fourier-Transformation DFT und inverse diskrete Fourier-
Transformation IDFT
Die diskrete Fourier-Transformation dient dazu, periodische Signale bezüglich
ihres Frequenzspektrum zu analysieren. Dabei wird auf das Signal ein
Zeitfenster gelegt, dieses sollte eine ganze Anzahl von Perioden des Signals
enthalten. Das Ergebnis der DFT ist ein diskretes Frequenzspektrum und
entspricht dem sich ergebenden Linienspektrum bei der Fourier - Analyse
zeitkontinuierlicher periodischer Signale. Das Spektrum zeitdiskreter Signale
ist wegen der Abtastung periodisch, die Periode des Spektrums ergibt sich aus
der Abtastfrequenz f p = f A . Die Linien im Spektrum haben einen Abstand von
∆f.
Zur Gewinnung der Transformationsvorschrift wird ausgegangen von Glg.
(2.19) unter Berücksichtigung, daß für die Berechnung des Spektrums des
vollständigen Signals die Betrachtung eines Zeitfensters ausreichend ist.

- 44 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
x
1
Zeitfenster
0 8
kT A /ms
-1
Bild 2.22: Periodisches zeitdiskretes Signal
{x(kT A )} ∑ −
=
K
n
1
0
x(
nT
A
) e
− j 2πfnT
A
(2.24)
Für das Zeitfenster wurde eine Periode T P gewählt, die Periode beginnt bei
n = 0 und endet bei (K-1)T A , sie ist somit KT A lang und umfaßt K Abtastwerte.
T P = KT A
TP
1
TA
= =
K f
(2.25)
A
Die Abtastfrequenz f A ergibt sich somit aus
f
A
K
= = K∆f
,
T
P
wobei ∆f die Frequenz ist, mit der die kontinuierliche Frequenz f diskretisiert
wird.
f = i ∆f (2.26)
∆f wird als diskrete Frequenz bezeichnet.
Die Periode des Spektrums wird bestimmt durch die Abtastfrequenz.
f A = K ⋅ ∆f (2.27)
Wenn im Zeitbereich die Anzahl der Abtastwerte K ist, dann ergeben sich im
Frequenzbereich auch genau K Werte im Abstand ∆f innerhalb der Periode
f A = K∆f. Mit den Gleichungen (2.24), (2.25) und (2.27) läßt sich die
Bildungsvorschrift für die diskrete Fourier-Transformation DFT angeben.
DFT{
x(
kT
A
)} =
X ( ji∆f
) =
K
∑ − 1
n=
0
x(
nT
A
) e
− j2πni
/ K
(2.28)

Zeitdiskrete Signale - 45 -
Diese Summenformel ist für jede Spektrallinie der Periode f A anzusetzen, also
genau K mal. Das Ergebnis ist ein diskretes Spektrum und wird durch die Folge
{X(ji∆f)} = { X(0); X(j∆f); X(j2∆f); ... ; X[j(K-1)∆f] } (2.29)
angegeben. Die Elemente der Folge also die Spektrallinien sind dann in
gewünschter Weise darstellbar mit Betrag und Phase im Amplituden- und
Phasenspektrum oder durch Real- und Imaginärteil.
X(ji∆f) = | X(ji∆f)| e jarg X(ji∆f ) =Re{ X(ji∆f)}+ j Im{ X(ji∆f)}
Die inverse diskrete Fourier-Transformation IDFT sei gleich ohne Herleitung
angefügt. Die Bildungsvorschrift lautet
IDFT{
X ( ji∆f
)} = x(
nT
A
) =
1
K
K
∑ − 1
i=
0
X ( ji∆f
) e
j2πni
/ K
. (2.30)
Wie bei der Transformation vom Zeit- in den Frequenzbereich sind auch hier K
Operationen durchzuführen, das Ergebnis ist das als Folge dargestellte
zeitdiskrete Signal.
In der Literatur wird oft die verkürzte Schreibweise für DFT und IDFT
verwendet
K
DFT: ∑ − X ( i)
=
=
n
1
0
x(
n)
e
− j 2πni
/ K
(2.31)
IDFT :
x(
n)
=
1
K
K
∑ − 1
i=
0
X ( i)
e
j2πni
/ K
(2.32)
Der Faktor K in Gleichung (2.30) und K in Gleichung (2.32) werden in der
Literatur nicht einheitlich gehandhabt, das ist davon abhängig, über welchen
Weg die DFT und IDFT hergeleitet wurde. Die verkürzte Schreibweise enthält
explizit die Zeit- und Frequenzvariablen nicht mehr, da das für einen
Lernenden zu Verwechslungen führen kann und die Durchschaubarkeit
erschwert, wird die ausführliche Schreibweise genutzt, auch wenn sie etwas
aufwendiger erscheint.
Im Abschnitt 2.5.3 wurde zur Erläuterung des Spektrums eines Abtastsignals
eine Sinusschwingung mit einer Periode diskutiert. Die DFT setzt voraus, daß
ein periodisches Signal vorliegt und liefert als Ergebnis das Spektrum für
dieses abgetastete periodische Signal. Wie im vorangegangenen Unterabschnitt

- 46 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
werden auch hier zwei Signale betrachtet, wobei das eine überabgetastet und
das andere unterabgetastet wird.
Beispiel 2.11:
x
1
Zeitfenster
0 8
kT A /ms
Bild 2.23: Überabgetastete Sinusschwingung mit T A =1ms und T e = 8ms
Das Zeitfenster, das hier genau einer Periode mit KT A =8 ms entspricht, liefert
die Abtastwerte für die DFT.
Zeitfenster : x(0) = 0 ; x(T A ) = 1/ 2 ; x(2T A ) = 1 ; x(3T A ) = 1/ 2 ; x(4) = 0 ;
x(5T A ) = -1/ 2 ; x(6T A ) = -1 ; x(7T A ) = -1/ 2 ;
Mit der Abtastperiode T A und der Anzahl der Abtastwerte K = 8 ist die diskrete
Frequenz ∆f nach Gleichung (2.25) berechenbar
∆f = 0,125 kHz.
Damit ist der Abstand zwischen den Spektrallinien vorgegeben und weiterhin
die Periode des Spektrums mit
fp = K ∆f = 1 kHz.
Dies entspricht genau der Abtastfrequenz f A . Die Berechnung des Spektrums
nach Glg.(2.28) wird durchgeführt.
X ( ji∆f
) =
7
∑
n=
0
-1
x(
nT A
) e
− j 2πni
/ 8
Für eine Periode ergibt sich diese Folge von Spektrallinien.
{X(ji∆f)} = {0; -4j; 0; 0; 0; 0; 0; 4j}
Die Teilschritte für die Berechnung sind aus Tabelle 2.5 zu entnehmen.

Zeitdiskrete Signale - 47 -
Tabelle 2.5: Berechnung der Spektrallinien mittels DFT
n
i
0 1 2 3 4 5 6 7 X(ji∆f)
0 0 1/ 2 1 1/ 2 0 -1/ 2 -1 -1/ 2 0
1 0
2 0
jπ / 4
e − jπ / 2
2
j3π / 4
e −
e − 0
2
jπ / 4
e − jπ / 2
jπ / 2
e − jπ / 2
e − jπ / 2
e −
-1 - 0 -
1
2
2
2
2
j3π / 4
e −
e − -4j
2
jπ / 2
e − 0
2
j3π / 4
e − jπ / 4
e − j3π / 4
jπ / 2
0 e − jπ / 4
e −
3 0
- e − jπ / 2
- e − 0
2
2
2
2
4 0 -1/ 2 1 -1/ 2 0 1/ 2 -1 -1/ 2 0
5 0 -
jπ / 4
e − jπ / 2
2
j3π / 4
e −
e − - 0 -
2
jπ / 4
e − jπ / 2
2
j3π / 4
e −
e − -
0
2
jπ / 2
e − jπ / 2
e − jπ / 2
e − jπ / 2
e −
6 0 - -1
0
1 - 0
2
2
2
2
j3π / 4
e − jπ / 4
e − j3π / 4
e − jπ / 4
e −
jπ / 2
7 0 - - e − jπ / 2
- 0 - - e − - 4j
2
2
2
2
Im Bild 2.24 ist diese Periode angegeben und das Spektrum wurde auf der
Frequenzachse periodisch fortgesetzt. Da nur imaginäre Anteile auftreten, ist
zuerst der Imaginärteil von X(ji∆f) und daraus ableitend Amplituden- und
Phasenspektrum dargestellt.
Wie schon bei der FTA sind im Bereich von –f A /2 ≤ f ≤ f A /2 alle das Signal
repräsentierenden Frequenzanteile enthalten, es handelt sich nur um eine
Frequenz, die Frequenz i∆f = 125 Hz, das ist ja gerade die Eigenfrequenz bzw.
Periodendauer von 8ms des Signals. Das Zeitfenster für dieses Beispiel wurde
gleich der Periode des Signals gesetzt 8T A . Bei einer Vergrößerung des
Zeitfensters auf c8T A hätte sich das gleiche Spektrum ergeben mit kleineren
diskreten Frequenzen ∆f = 1/(8cT A ), die Spektrallinien treten natürlich an den
selben Frequenzen auf. Das Frequenzraster hätte sich verkleinert, die
ablesbaren Informationen bezüglich der Frequenzanteile sind natürlich
identisch.

- 48 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Im{X(ji∆f)}
4
Periode des Spektrums
-0,5 0,5 i∆f/kHz
-f A /2 f A /2
-44
|X(ji∆f)|
4 Periode des Spektrums
-0,5 0,5 i∆f/kHz
-f A /2 f A /2
-4
argX(ji∆f)
π/2
Periode des Spektrums
-0,5 0,5 i∆f/kHz
-f A /2 f A /2
-π/2
Bild 2.24: Imaginärteil des Frequenzspektrums, Amplituden- und Phasenspektrum einer
überabgetasteten Sinusschwingung
Beispiel 2.12:
Weiterhin wird das periodische Signal mit T e = 8ms betrachtet, die Abtastung
wird aber auf T A = 5ms festgelegt, es liegt eine Unterabtastung vor. Im Bild
2.25 ist die Abtastfolge über einen größeren Bereich dargestellt, um die
Periodizität der Abtastfolge zu erkennen. Durch die Unterabtastung des Signals
ergibt sich eine Abtastfolge, die eine Periode von KT A = 40ms aufweist. Da die
diskrete Fourier-Transformation davon ausgeht, daß sich außerhalb des
Zeitfensters die Abtastfolge periodisch fortsetzt, wird das Zeitfenster für
dieses Beispiel auf 40ms festgelegt.

Zeitdiskrete Signale - 49 -
x
1
-1
0 8 16 24 32 40
kT A /ms
Bild 2.25 : Unterabgetastete Sinusschwingung mit T A =5ms und T e = 8ms
Für die Berechnung des Spektrums bei einem Zeitfenster von 40ms betragen
die diskrete Frequenz ∆f = 25Hz und die Abtastfrequenz und somit die Periode
des Spektrums f A = 200 Hz. Innerhalb einer Periode treten K = 8
Spektralanteile auf. Auf die Angabe der detaillierten Berechnung sei verzichtet,
dargestellt ist im Bild 2.26 der Imaginärteil der Fourier-Transformierten, der
Realteil ist gegenüber dem Imaginäteil sehr klein.
Im{X(ji∆f)}
4
-0,1 0 0,1 0,2
-f A /2 -4
f A /2 f A
i∆f/kHz
Bild 2.26: Imaginärteil des Frequenzspektrums einer unterabgetasteten Sinusschwingung
Das Spektrum wurde auf der Frequenzachse periodisch fortgesetzt.
Amplituden- und Phasenspektrum lassen sich aus dem gegebenen Spektrum
ableiten. Betrachtet man den Frequenzbereich –f A /2 ≤ f ≤ f A /2, so sind in
diesem Bereich alle Frequenzanteile enthalten, die die Abtastfolge
repräsentieren. Es ist die Frequenz i∆f = 75 Hz abzulesen. Diese Frequenz läßt
auf ein Signal mit der Periodendauer von T e = 13,
3 ms schließen.
Ausgangspunkt der Betrachtungen war ein Signal mit einer Periodendauer 8ms,
welches aber einer Unterabtastung unterworfen war. Durch diese
Unterabtastung wurde das Abtasttheorem verletzt, damit ist die
Rekonstruierbarkeit des ursprünglichen Signals nicht gegeben, es entsteht
durch Rekonstruktion ein Signal mit einer anderen Periodendauer. Dies ist
anhand des Beispiels 2.4 und des rekonstruierten Signals im Bild 2.13 gut
erkennbar.
Bei der Einführung in den Abschnitt 2.5 wurde auf den Zusammenhang
zwischen der Fourier-Transformation von Abtastsignalen FTA und der

- 50 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
diskreten Fourier-Transformation DFT hingewiesen. Anhand der Beispiele für
die Übertastung der Sinusschwingung ist dieser Zusammenhang gut erkennbar.
Im folgenden Bild ist dies dargestellt.
Zeitbereich
Frequenzbereich
|X(jf/f A )
x
Periodische
Fortsetzung
kT A
-f A /2 f A /2
f
Abtastung
|X(ji∆f)|
x
kT A
-f A /2 f A /2 i∆f
Bild 2.27: Zusammenhang zwischen der Fourier-Transformation für Abtastsignale FTA
und der diskreten Fourier-Transformation DFT
Übungsaufgaben
2.9 Für das zeitdiskrete Signal mit
⎧ ⎛ 2π ⎞⎫
{ x(
kT ⎨
⎜
⎟
A
)} = sin kTA
⎬ − ∞ < k < ∞
⎩ ⎝ Te
⎠⎭
für T e = 8ms , T A = 2ms sind zu ermitteln
a) die grafische Darstellung im Bereich von - 8ms ≤ kT A ≤ 8ms,

Zeitdiskrete Signale - 51 -
b) die diskrete Fourier – Transformierte{X(ji∆f)},
c) die Darstellung des Imaginärteils des Frequenzspektrums, des
Amplituden- und Phasenspektrums im Bereich von –f A /2 ≤ i∆f ≤ f A /2 !
2.10 Das entstandene Spektrum ist zu vergleichen mit dem kontinuierlichen
Spektrum der Aufgabe 2.8. Dazu ist das kontinuierliche Spektrum innerhalb
von –f A /2 ≤ f ≤ f A /2 abzutasten.
a) Wie groß ist ∆f ?
b) Geben Sie die Werte für das abgetastete Amplituden- und
Phasenspektrum an! Ermitteln Sie daraus den Real- und Imaginärteil des
Spektrums!
2.5.4 Schnelle Fourier - Transformation (FFT)
Die Abkürzung FFT wurde abgeleitet von der englischen Bezeichnung Fast
Fourier Transform. Wie schon erwähnt, handelt es sich bei der FFT nicht um
eine neue Transformation, sondern um die DFT bei Einsparung redundanter
Operationen. Bei der Berechnung des Spektrums über die DFT müssen bei K
Abtastwerten K 2 Multiplikationen ausgeführt werden. Wendet man die FFT an
und ist K eine Potenz von 2, K = 2 n , dann reduziert sich die Anzahl der
Multiplikationen näherungsweise auf K ld K. Eine sichtbare Reduzierung tritt
natürlich bei vielen Abtastwerten auf z. B. für K = 2 10 sind mit der DFT 2 20
Multiplikationen notwendig und mit der FFT nur 10 ⋅ 2 10 , das entspricht einer
Einsparung von 99% Multiplikationen.
An dieser Stelle sollen nicht die Algorithmen der FFT detailliert besprochen
werden, dies ist z. B. in [3] nachlesbar, sondern es wird an einem einfachen
Fall die Reduzierung veranschaulicht. Weiterhin wird auf die in MATLAB
implementierten Algorithmen der FFT für die Behandlung der schon
besprochenen Beispiele im Unterabschnitt 2.5.3 eingegangen.
Das Prinzip der FFT besteht darin, die Anzahl der Abtastwerte stetig zu
halbieren bis Teilmengen auftreten, die nur 2 Abtastwerte enthalten. Diese
Teilmengen werden transformiert und danach neu geordnet.
Zur Veranschaulichung der Zerlegung sei von 8 Abtastwerten

- 52 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
{x(kT A )}={x(0); x(T A ); x(2T A ); x(3T A ); x(4T A ) ; x(5T A ) ; x(6T A ); x(7T A )}
ausgegangen. Mit der DFT entsprechend Glg. (2.28)
X ( ji ∆ f ) =
7
∑
n = 0
x ( nT A
) e
− j 2πin
/ 8
wird das Spektrum berechnet. Bei 8 Abtastwerten müssen genau 64
Multiplikationen ausgeführt werden, um die gesuchten 8 Spektrallinien zu
erhalten. Dazu ist die e-Funktion für verschiedene Exponenten zu berechnen.
Betrachtet man die Ergebnisse in nachfolgender Tabelle, stellt man fest, dass
sich nicht 64 verschiedene Werte, sondern nur 8 verschiedene Werte für die e-
Funktion ergeben.
Tabelle 2.6 Berechnung des Ausdrucks e -j2πin/8 bei 8 Abtastwerten
e -j2πin/8 x(0) x(T A ) x(2T A ) x(3T A ) x(4T A ) x(5T A ) x(6T A ) x(7T A )
n
i 0 1 2 3 4 5 6 7
X(0) 0 1 1 1 1 1 1 1 1
X(j∆f) 1 1
jπ / 4
e − e − jπ / 2 e − j3π / 4 -1
jπ / 4
- e − jπ / 2
- e − -e X(j2∆f) 2 1
jπ / 2
e − -1
jπ / 2
- e − 1
jπ / 2
e − -1 -
X(j3∆f) 3 1
j3π / 4
e − jπ / 2
- e − e − jπ / 4 -1
j3π / 4
- e − e − jπ / 2 -
j3π / 4
e − jπ
e − jπ
X(j4∆f) 4 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1
X(j5∆f) 5 1
jπ / 4
- e − e − jπ / 2 j3π / 4
-e -1
jπ / 4
e − -
jπ / 2
e −
X(j6∆f) 6 1
jπ / 2
- e − -1
jπ / 2
e − 1
jπ / 2
- e − -1
X(j7∆f) 7 1
j3π / 4
- e − jπ / 2
-e jπ / 4
-e -1
j3π / 4
e − jπ / 2
/ 2
/ 4
e − j3π / 4
/ 2
e − jπ
e − e − jπ / 4
Diese Ergebnisse kann man sich auch in der Gaußschen Zahlenebene
veranschaulichen. Aus dem Ausdruck e -j2πin wird die achte Wurzel gezogen,
also treten genau 8 Lösungen auf. Bei den 64 Zwischenergebnissen, die man
bei der DFT ermittelt, treten somit zahlreiche Wiederholungen auf. Durch
Vermeidung von sich wiederholenden Rechenoperationen läßt sich die Anzahl
der Rechenoperationen stark reduzieren.

Zeitdiskrete Signale - 53 -
e j3π/4 =-e -jπ/4
Imaginärteil
e jπ/2 =-e -jπ/2
e jπ/4 =-e -j3π/4
-1
e -j3π/4
e -jπ/4 1
Realteil
e -jπ/2
Bild 2.28: Darstellung der achten Wurzel einer komplexen Zahl in der Gaußschen
Zahlenebene
Es existieren zwei Methoden für die Reduzierung, die Zerlegung im
Zeitbereich und die Zerlegung im Frequenzbereich. Hier wird die Zerlegung im
Frequenzbereich gezeigt. Im Bild 2.29 ist diese Zerlegung unter Anwendung
der Tabelle 2.5 dargestellt. Die Elemente dieses Diagramms werden im
Unterabschnitt 3.3.3 beschrieben.
x (0)
X(0)
x (T A )
x (2T A )
x (3T A )
x (4T A )
x (5T A )
x (6T A )
x (7T A )
-1
-1
-1
-1
e -j3π/4 -1
e -jπ/2 -1
-1
-1
-1
e -jπ/2 -1
e -jπ/4
-1
e -jπ/2 -1
X (j4∆f )
X (j2∆f )
X (j6∆f )
X (j∆f )
X (j5∆f )
X (3∆f )
X (j7∆f )
Bild 2.29: Blockdiagramm zum FFT-Algorithmus bei Zerlegung im Frequenzbereich mit
K=8
Es werden genau 17 Multiplikationen ausgeführt. Zu beachten ist bei der
Zerlegung im Frequenzbereich, daß die Spektralwerte nicht in der natürlichen
Reihenfolge vorliegen.

- 54 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Beim Auftreten von K Abtastwerten, die nicht einer Zweierpotenz entsprechen,
existieren zusätzliche Algorithmen, um diese Problematik zu lösen. Eine
weitere Problematik ist die hundertprozentig exakte Lage des Zeitfensters über
eine ganze Anzahl von Perioden des Signals. Bei den hier betrachteten
Beispielen, deren Auswahl auf einen maßvollen Aufwand der notwendigen
Berechnungen abzielte, ist das exakte Legen des Zeitfensters ohne
Schwierigkeiten möglich. Geht man aber davon aus, daß Signale verarbeitet
werden, die nicht nur eine Frequenz enthalten, sondern ein ganzes
Frequenzband, und daß die Anzahl der Abtastwerte in anderen
Größenordnungen liegen als die hier betrachteten, dann können durch die nicht
exakte Lage des Zeitfensters Sprungstellen auftreten. Im Spektrum macht sich
dies durch neue Frequenzen bemerkbar, die das ursprüngliche Signal nicht
aufweist. Dieser eingetretene Fehler kann durch die Wichtung der Abtastwerte
vermindert werden. Diese Wichtung wird durch verschiedene Fenster (siehe
dazu auch Unterabschnitt 3.6.3) mit dem Ziel durchgeführt, die Sprungstellen
an den Zeitfenstergrenzen zu beseitigen und somit sanfte Übergänge zu
schaffen. Das durch Wichtung der Abtastwerte entstehende Spektrum kommt
dem tatsächlichen sehr nahe.
Mit der DFT und damit auch der FFT werden periodische Signale bezüglich
ihres Spektrums analysiert. Die Vorteile, die die FFT mit sich bringt, kann man
auch näherungsweise für die Frequenzanalyse nichtperiodischer Signale
nutzen. Legt man ein sehr langes Zeitfenster fest, dann ergibt sich mit der FFT
ein Frequenzspektrum, das eine gute Näherung des tatsächlichen Spektrums
darstellt.
Beispiel 2.13:
x
1
Zeitfenster
0 8
kT A /ms
-1
Bild 2.30: Überabgetastete Sinusschwingung mit T A =1ms und T e = 8ms
Ausgangspunkt ist das Signal im Beispiel 2.11, das mit einem
Simulationsmodell zu (siehe Anhang) zu erzeugen ist. Dieses mit Simulink
erzeugte abgetastete Signal ist bezüglich seines Spektrums mit der FFT zu
analysieren. Das Ausgangssignal am Sample / Hold - Block kann über den
Simout-Block der MATLAB - Umgebung zur weiteren Verarbeitung
bereitgestellt werden. Das Spektrum des abgetasteten Signals, das über die FFT
mittels MATLAB berechnet wurde, ist in den nachfolgenden Bildern

Zeitdiskrete Signale - 55 -
dargestellt. Das Zeitfenster wurde auf 8 ms festgelegt, damit liegen 8
Abtastwerte vor. Die Spektren sind mit denen des Beispiels 2.11 vergleichbar.
Bei der FFT mit MATLAB wird eine Periode des Spektrums von i = 0...K-1
angezeigt, also der Bereich der physikalischen Frequenzen.
5
Im{X(ji∆f)}
0
-5
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
4
|X(ji∆f)|
2
0
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
2
argX(ji∆f)
0
-2
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
i
Bild 2.31: Imaginärteil des Frequenzspektrums, Amplituden- und Phasenspektrum der
überabgetasteten Sinusschwingung
Beispiel 2.14
Die eben durchgeführte Betrachtung wird in gleicher Weise auf das Beispiel
2.12 bezogen.
x
1
0 8 16 24 32 40
kT A /ms
-1
Bild 2.32 : Unterabgetastete Sinusschwingung mit T A =5ms und T e = 8ms

- 56 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Hier handelt es sich um eine Unterabtastung. Das mit Simulink erstellte
Simulationsmodell ( siehe Anhang ) dient zur Übergabe der Abtastwerte an den
Sample/Hold - Block über den Simout - Block an MATLAB. Das in MATLAB
mit der FFT berechnete Spektrum ist nachfolgend angegeben.
Im{X(ji∆f)}
i
Bild 2.33: Imaginärteil des Frequenzspektrums der unterabgetasteten Sinusschwingung
Das Zeitfenster für die Unterabtastung wurde auf 40 ms festgelegt, damit
ergeben sich 8 Abtastwerte. Das Spektrum ist mit dem des Beispiels 2.12
vergleichbar.
Übungsaufgaben
2.11 Führen Sie eine Zerlegung im Frequenzbereich zur Reduzierung der
Rechenoperationen durch, wenn vom Signal 4 Abtastwerte vorliegen.
2.12 Es liegt das Simulationsmodell des Beispiels 2.13 vor. Die Abtastung
des Signals erfolgt mit T A = 1 ms. Ermitteln Sie das Amplitudenspektrum mit
der FFT in MATLAB bei einem Zeitfenster von
a) 16 ms,
b) 12 ms.
c) Welche Effekte stellen Sie fest ?
Zur Erzeugung des Signals nutzen Sie das im Beispiel 2.13 verwendete
Simulationsmodell (siehe Anhang).

Zeitdiskrete Systeme - 57 -
3 Zeitdiskrete Systeme
3.1 Einleitung
Im Kapitel 2 wurden ausführlich zeitdiskrete Signale beschrieben und im Zeit-,
Bild- und Frequenzbereich betrachtet. Um zeitdiskrete Systeme genauer zu
spezifizieren wird noch einmal auf Bild 1.3 Bezug genommen. Nach dem
Abtaster und vor dem Rekonstruktionssystem entstehen zeitdiskrete Signale,
die zwischenliegenden Elemente, also AD-Wandler, Prozessor, DA-Wandler,
werden insgesamt als zeitdiskretes System aufgefaßt.
{x e (kT A )}
Systemerregung
Zeitdiskretes
System
{x a (kT A )}
Systemreaktion
Bild 3.1: Elementares zeitdiskretes System
Dieses zeitdiskrete System ordnet jedem Element einer Eingangsfolge
{ x ( kT e A
)} eindeutig entsprechend eines Algorithmus bzw. Systemoperators f
genau ein Element einer Ausgangsfolge { xa( kTA )} zu.
x ( kT )} = f { x ( kT )}
{
a A
e A
Der Systemoperator beziehungsweise Algorithmus charakterisiert zeitdiskrete
Systeme. Die Beschreibung der Systeme erfolgt wie bei den Signalen im Zeit-,
Bild- und Frequenzbereich. Im nachfolgenden Kapitel werden Sie Kenntnisse
über diese Beschreibungsmethoden erlangen, wobei auf die Kenntnisse aus
dem Kapitel 2 aufgebaut und die Verknüpfung von Signalen und Systemen
betrachtet wird.

- 58 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
3.2 Systemdefinitionen und Systemeigenschaften
Um die Systeme, die nachfolgend besprochen werden, abgrenzen zu können,
sind die Systemeigenschaften zu beschreiben bzw. eine Systemklassifizierung
vorzunehmen.
Statische und dynamische Systeme
Ein statisches System besitzt keine Speicherelemente, so daß x a (kT A ) zum
Zeitpunkt kT A
nur von x ( kT ) zum Zeitpunkt kT A
abhängt.
Beispiel 3.1:
x a (kT A
) = ax
e
e
( kT)
A
A
Dynamische Systeme dagegen besitzen Speicherelemente, es wird auf
zurückliegende Signalwerte zurückgegriffen.
Beispiel 3.2:
x ( kT )= ax( kT) + b x [( k −1 ) T ]
a
A
e
A
a
A
Lineare und nichtlineare Systeme
Für lineare Systeme gilt das Überlagerungs- bzw. Superpositionsprinzip, d.h.
die von unabhängigen Eingangssignalen hervorgerufenen Systemantworten
überlagern sich, es gibt folgende Relation
f [ k1xe 1( kTA) + k2xe2( kTA)]
= k 1
f [ xe
1
( kTA)]
+ k 2
f [ xe2 ( kTA)]
. (3.1)
Beispiel 3.3:
xa( kTA)= axe( kTA)
akx [ ( kT ) + kx ( kT )] = kax ( kT ) + kax ( kT )
1 e1 A 2 e2 A 1 e1 A 2 e2
A
Nichtlineare Systeme erfüllen diese Relation (Glg. 3.1) nicht.

Zeitdiskrete Systeme - 59 -
Beispiel 3.4:
xa( kTA)= axe( kTA)+
b
a[ k x ( kT ) + k x ( kT )] + b≠ k ax ( kT ) + b+ k ax ( kT ) + b
1 e1 A 2 e2 A 1 e1 A 2 e2
A
Zeitinvariante und zeitvariante Systeme
Bei einem zeitinvarianten System ändert sich der Systemoperator f über der
Zeit nicht, d.h. ein Eingangssignal zum Zeitpunkt kT A
ruft eine Systemantwort
hervor, das zum Zeitpunkt ( k − n)
T A
wirkende Eingangssignal eine um nT A
verschobene Systemantwort.
x
a
( kTA)= f [ xe( kTA )]
xa[( k − n) TA]
= f [ xe[( k − n) TA]]
Beispiel 3.5:
xa( kTA) = axe( kTA)
mit { xe( kTA )} = {ε ( kT A
)}
x e
{ xe( kTA )}
{ xa( kTA
)}
f
x a
kT
A
kT
A
Bild 3.2: Zeitinvariantes System
Verschobenes Eingangssignal: x [( k − 2) T ] = ax [( k − 2 ) T ]
a A e A
x e
x a
kT
A
kT
A
Bild 3.3: Zeitinvariantes System
Bei einem zeitvarianten System ändert sich der Systemoperator f über der Zeit.

- 60 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Beispiel 3.6:
xa( kTA) = kTAxe( kTA)
mit { xe( kTA )} = f{ε ( kT A
)}
x e
{ xe( kTA )}
{ xa( kTA
)}
f
x a
kT
A
kT
A
Bild 3.4: Zeitvariantes System
Verschobenes Eingangssignal kT x [( k −2) T ] ≠ x [( k −2
) T ]
x e
A e A a A
x a
kT
A
kT
A
Bild 3.5: Zeitvariantes System
Kausale und nichtkausale Systeme
Bei einem kausalen System hängt das Ausgangssignal zum Zeitpunkt kT A
ausschließlich vom Eingangssignal zum Zeitpunkt kT A
und den
zurückliegenden Zeitpunkten ab.
x
a
[ kTA]= f [ xe( kTA ) , x k T
e[( −1 )
A]
, ... ]
Praktisch realisierbare Systeme besitzen diese Eigenschaft.
Beispiel 3.7:
x ( kT )= ax( kT ) − bx[( k−1
) T]
a
A
e A e A
Systeme, die vor der Systemerregung durch das Eingangssignal eine
Systemreaktion zeigen, heißen nichtkausal.

Zeitdiskrete Systeme - 61 -
Beispiel 3.8:
x ( kT )= x [( k +1 ) T ]
a
A
e
A
Stabile und instabile Systeme
Ein System wird als stabil bezeichnet, wenn es auf ein beschränktes
Eingangssignal mit einem beschränkten Ausgangssignal reagiert. Dies wird als
BIBO-stabil bezeichnet (Bounded-Input-Bounded-Output).
| x ( kT )| ≤ M < ∞ ⇒ | x ( kT )| ≤ M < ∞ für ∀k (3.2)
a A a
Beispiel 3.9:
1
x ( kT ) = x
( k + 1)
( kT )
a A e A
e A e
Systeme, die die Glg. (3.2) nicht erfüllen, die also auf ein beschränktes
Eingangssignal nicht mit einem beschränkten Ausgangssignal reagieren, sind
instabil.
Beispiel 3.10:
x ( kT ) = kx ( kT )
a A e A
Die aufgezeigte Klassifizierung von Systemen demonstriert die
Vielschichtigkeit möglicher Systeme. Nachfolgend konzentrieren wir uns auf
lineare, zeitinvariante und kausale Systeme, die Bezeichnung LTD-System
(linear, time-invariant, discrete) wurde in diesem Zusammenhang geprägt. Es
werden sowohl statische als auch dynamische Systeme besprochen, wobei das
Schwergewicht auf den dynamischen liegt. Die Frage der Stabilität bzw.
Instabilität eines Systems wird anhand der Systembeschreibung im
Unterabschnitt 3.4.4 behandelt.
Übungsaufgaben
3.1 Sind die Systeme linear oder nichtlinear?
xe( kTA)
a) xa( kTA)
= e
b) x ( kT ) = cx [( k −1 ) T ]
a A e A

- 62 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
3.2 Sind die Systeme zeitinvariant oder zeitvariant?
a) xa( kTA) = xe( kTA) − xe[( k −1 ) TA]
b) x kT ) = x ( −kT
)
a
(
A e A
3.3 Stellen Sie die Systemreaktionen für folgende Systeme graphisch dar,
für { xe( kTA )} ist der Einheitsimpuls {δ ( kT A
)} anzusetzen. Handelt es sich um
kausale Systeme?
a) xa( kTA) = xe( kTA) − xe[( k −1 ) TA]
b) x ( kT ) = x [( k +1 ) T ]
a A e A
3.4 Für nachfolgende Systeme ist die Systemreaktion grafisch darzustellen,
für { xe( kTA )} ist die Einheitssprungfolge {ε ( kT A
)} anzusetzen. Sind die
Systeme stabil?
a) xa( kTA) = kxe( kTA)
1
b) xa( kTA)
= xe( kTA)
( k + 1)
3.3 Beschreibung zeitdiskreter Systeme im Zeitbereich
3.3.1 Einleitung
Wie bei den Signalen stellt der Zeitbereich auch bei den Systemen den
Originalbereich dar. Beim Studium dieses Abschnitts werden Sie sich
Kenntnisse aneignen über die Beschreibung zeitdiskreter Systeme mittels
Differenzengleichungen und die Veranschaulichung dieser Gleichungen mittels
Blockdiagrammen. Das Lösen von Differenzengleichungen, also die Reaktion
des Systems auf eine spezielle Systemerregung, soll im Zeitbereich nur auf das
Rekursionsverfahren beschränkt bleiben, wobei Ihnen häufig verwendete
Systemerregungen und die dazugehörigen Systemantworten vorgestellt
werden.

Zeitdiskrete Systeme - 63 -
3.3.2 Systembeschreibung mit Differenzengleichung
Im vorangegangenen Abschnitt 3.2 wurde darauf verwiesen, daß hier Systeme
behandelt werden, die linear, kausal und zeitinvariant sind. Solche Systeme
lassen sich durch eine lineare Differenzengleichung mit konstanten
Koeffizienten beschreiben:
bzw.
a n x a [(k-n)T A ] + a n-1 x a [(k-(n-1))T A ] + ... + a 0 x a (kT A ) =
b m x e [(k-m)T A ] + b m-1 x e [(k-(m-1))T A ] + ... + b 0 x e (kT A )
n
Σ a i x a [(k-i)T A ] =
i=0
m
Σ b j x e [(k-j)T A ] (3.3)
j=0
mit a i , b j als konstante Koeffizienten.
Die Ordnung der Differenzengleichung wird bestimmt durch max (n,m). Um
an dieser Stelle einen Bezug zu einem technischen System herzustellen,
welches durch eine solche Differenzengleichung beschrieben wird, sei ein
Integrator mit geschalteten Kapazitäten angegeben.
Bild 3.6: Integrator mit geschalteter Kapazität
Der Kondensator C 1 wird durch die angelegte Spannung u e aufgeladen.
Befindet sich der Schalter in Stellung 2, fließt die Ladung von C 1 auf C 2 . Die
dort gebildete Spannung erscheint am Ausgang u a . Der Schalter befindet sich
wieder in Stellung 1 und der beschriebene Vorgang wiederholt sich, wobei sich
die Ladungen auf C 2 addieren. Aus diesen Ladungen wird auf die Spannung u a
geschlossen. Die zu dieser Schaltung gehörende Differenzengleichung lautet:

- 64 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
u a (kT A ) = u a [(k-1)T A ] - C 1
u e [(k-1)T A ]. (3.4)
C2
Schreibt man diese Differenzengleichung mit den allgemeingültigen Variablen
x e und x a auf, entsprechend Glg.(3.3), dann beschreibt die
Differenzengleichung
x a (kT A ) = x a [(k-1)T A ] + b 1 x e [(k-1)T A ], b 1 < 0 (3.5)
einen diskreten Integrator. Die integrierende Wirkung ist aus der Gleichung gut
zu erkennen, x a (kT A ) ist abhängig von der Ausgangsgröße zum
zurückliegenden Abtastzeitpunkt und additiv kommt dazu die Eingangsgröße
zum zurückliegenden Zeitpunkt, wegen der Invertierung (siehe Bild 3.6) haben
diese beiden Summanden entgegengesetztes Vorzeichen. Es erfolgt eine stetige
Addition, also eine diskrete Integration.
Mit der Differenzengleichung ist eine allgemeine Systembeschreibung im
Originalbereich, also im Zeitbereich, gegeben, in der die Ausgangs- und
Eingangssignale zum gegenwärtigen Zeitpunkt kT A und zurückliegenden
Zeitpunkten (k-n)T A , mit konstanten Koeffizienten verknüpft, aufgeführt sind.
In der Differenzengleichung selber erscheint für das Eingangssignal noch kein
konkretes Signal, dies ist erst dann der Fall, wenn die Differenzengleichung
gelöst werden soll, d.h. die Systemreaktion auf eine bestimmte Systemerregung
gesucht ist.
Das Lösen der Differenzengleichung kann auf verschiedenen Wegen erfolgen:
1. Im Zeitbereich über
das Rekursionsverfahren mit dem Ergebnis, daß die
Elemente der Ausgangsfolge vorliegen
{x a (kT A )} = { x a (0) ; x a (T A ) ; x a (2T A ) ... },
das Ansatzverfahren mit dem Ergebnis, daß die Bildungsvorschrift der
Ausgangsfolge entsteht
{x a (kT A )} : x a (kT A ) = f(kT A ).
2. Im Bildbereich über
Partialdivision : {x a (kT A )} = { x a (0) ; x a (T A ); ...},
Korrespondenzen der
z-Transformation: {x a (kT A )} : x a (kT A ) = f(kT A ).
Im Zeit- wie im Bildbereich sind geschlossene Lösungen und nicht
geschlossene Lösungen möglich. Die geschlossenen Lösungen haben den
Vorteil, daß zum Gesamtverhalten Aussagen getroffen werden können, das ist
bei den nicht geschlossenen Lösungen nicht in der Form so einfach möglich.

Zeitdiskrete Systeme - 65 -
Die nicht geschlossenen Lösungen haben dagegen den Vorteil, daß sie bei
einfachen Systemen mitunter recht schnell zu Ergebnissen führen. Da bei der
Beschreibung von Systemen im Bildbereich die geschlossene Lösung
besprochen wird, soll hier bei der Betrachtung der Differenzengleichung das
Rekursionsverfahren benutzt werden.
Rekursionsverfahren:
1. Auflösen der Differenzengleichung nach x a (kT A ).
2. Einsetzen eines konkreten Signals (z.B. Einheitsimpuls,
Einheitssprungfolge) für x e (kT A ) und das zeitlich verschobene
Signal x e [(k-1)T A ] , x e [(k-2)T A ] ... .
3. Berechnung von x a (kT A ) beginnend beim Zeitpunkt kT A =0 und unter
Berücksichtigung, daß es sich um ein kausales System handelt
(x a (-T A ) = x a (-2T A ) ... =0).
4. Grafische Darstellung der ersten Elemente der Folge {x a (kT A )} bis
Tendenz erkennbar.
Beispiel 3.11
Am Beispiel des diskreten Integrators sollen diese Schritte nachvollzogen
werden. Die Differenzengleichung ist mit Glg. (3.5) gegeben und gesucht ist
die Systemreaktion auf eine Einheitsprungfolge, wenn b 1 = -1 ist.
Rekursionsverfahren
1. x a (kT A ) = x a [(k-1)T A ] – x e [(k-1)T A ]
2. {x e (kT A )} = { ε (kT A )}
3.
Tabelle 3.1: Berechnung der Ausgangsfolge des diskreten Integrators
k x e (kT A ) x e [(k-1)T A ] x a [(k)T A ] x a [(k-1)T A ]
0 1 0 0 0
1 1 1 -1 0
2 1 1 -2 -1
3 1 1 -3 -2
4 1 1 -4 -3
{x a (kT A )} = {0 ; -1 ; -2 ; -3 ; -4 ; ... }

- 66 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
4.
{x e (kT A )} {x a (kT A )}
Diskreter
Integrator
Nach den ersten Elementen ist die Tendenz erkennbar, es läßt sich bei diesem
Beispiel auch leicht eine geschlossene Lösung aus der grafischen Darstellung
ableiten.
{x a (kT A )} = {-kε (kT A )}
Mit der geschlossenen Lösung ist ein Element zu einem beliebigen Zeitpunkt
nT A berechenbar, ohne wie beim Rekursionsverfahren erst alle
vorangegangenen Elemente berechnen zu müssen.
Übungsaufgaben
3.5 Lösen Sie die Differenzengleichung
x a (kT A ) + x a [(k-1)T A ] + x a [(k-2)T A ] = x e (kT A )
für das Eingangssignal {x e (kT A )} = {ε (kT A )} und stellen Sie {x a (kT A )} grafisch
dar.

Zeitdiskrete Systeme - 67 -
3.3.3 Darstellung von Differenzengleichungen in Blockdiagrammen
Es gibt zwei Möglichkeiten die im vorangegangenen Abschnitt beschriebenen
linearen Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten zu
veranschaulichen, das ist die Darstellung in Blockdiagrammen und die
Darstellung durch Signalflußgraphen. Hier soll die erste Methode besprochen
werden, die zweite Methode stellt genau so die Differenzengleichung wie das
Blockdiagramm dar, es findet aber eine andere Notation Anwendung.
Ein Blockdiagramm enthält folgende Elemente:
Addierer oder Summierer
Verzweigungsstelle
Koeffizientenmultiplizierer
Speicherung um einen Takt
(2 Varianten)
Bild 3.7: Elemente von Blockdiagrammen
Zum Aufstellen des Blockdiagramms sollte man die Differenzengleichung
nach der Ausgangsgröße x a (kT A ) auflösen, mit dieser Größe ist das
Blockdiagramm zu beginnen, es wird “das Pferd von hinten aufgezäumt”.
Diese Ausgangsgröße wird über so viele Speicherelemente zurückgeführt, wie

- 68 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
durch die Differenzengleichung vorgegeben sind, mit Koeffizienten
multipliziert und additiv mit den gewichteten Eingangssignalen, die auch
Speicherungen unterworfen sein können, verknüpft.
Beispiel 3.12:
Wendet man die Blockdiagrammdarstellung auf die Differenzengleichung des
diskreten Integrators an, dann entsteht folgendes Diagramm
x a (kT A ) = x a [(k-1)T A ] + b 1 x e [(k-1)T A ]
x e (kT A ) b 1 x e [(k-1)T A ] x a (kT A )
T
b 1
x a [(k-1)T A ]
T
Bild 3.8: Blockdiagramm für Glg. (3.5)
Übungsaufgaben
3.6 Stellen Sie die Differenzengleichungen im Blockdiagramm dar!
a) x a (kT A ) + x a [(k-1)T A ] - x a [(k-2)T A ] = x e (kT A )
b) x a (kT A ) = x e (kT A ) – x e [(k-1)T A ] +2 x e [(k-2)T A ]
3.3.4 Rekursive und nichtrekursive Systeme
Es treten grundsätzlich zwei Systemstrukturen auf, das sind die rekursiven und
die nichtrekursiven Systeme.
Ein rekursives System ist dadurch gekennzeichnet, daß das Ausgangssignal
x a (kT A ) von den Werten des Eingangssignals x e (kT A ), x e [(k-1)T A ], ... und von
zurückliegenden Ausgangssignalen x a [(k-1)T A ], x a [(k-2)T A ], ... abhängt. Dies
ist an der Systemstruktur anhand der Rückführungen erkennbar.

Zeitdiskrete Systeme - 69 -
Beispiel 3.13
x a (kT A ) + a 1 x a [(k-1)T A ] = b 0 x e (kT A ) + b 1 x e [(k-1)T A ]
Bild 3.9: Rekursives System
Die betrachtete Differenzengleichung ist mit relativ wenigen Elementen in ein
Blockdiagramm umzusetzen. Bei Differenzengleichungen höherer Ordnung
spielt die Minimierung von Elementen eine wesentliche Rolle, auf diese
Minimierungsprobleme soll nicht weiter eingegangen werden.
Ein nichtrekursives System weist keinerlei Rückführungen auf, d.h. das
Ausgangssignal x a (kT A ) ist nur von den Werten des Eingangssignals x e (kT A ),
x e [(k-1)T A ], x e [(k-2)T A ], ... abhängig.
Beispiel 3.14
x a (kT A ) = b 0 x e (kT A ) + b 1 x e [(k-1)T A ] + b 2 x e [(k-2)T A ]
Bild 3.10: Nichtrekursives System

- 70 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
3.3.5 Impuls- und Sprungantwort
Die Systemreaktionen auf ganz bestimmte Systemerregungen sind von
besonderem Interesse und werden häufig verwendet. Das sind die
Systemreaktionen auf den Einheitsimpuls und die Einheitssprungfolge.
Folgende Bezeichnungen werden in diesem Zusammenhang geprägt:
Impulsantwort { gkT ( A
)}:
Systemerregung
{ δ ( kTA)}
Systemreaktion
Zeitdiskretes
System Zeitdiskretes
System { g ( kTA)}
Die Impulsantwort { gkT ( A
)} ist die Systemreaktion auf den Einheitsimpuls
{ δ( kT A
)}.
f δ ( kT )} = { gkT ( A
)} . (3.6)
{
A
Sprungantwort {( hkT A
)}:
Systemerregung
{ ε ( kTA
)}
Zeitdiskretes
System
Systemreaktion
{ h ( kTA
)}
Die Sprungantwort { hkT ( A
)} ist die Systemreaktion auf die
Einheitssprungfolge { ε( kT A
)}.
f ε ( kT )} = { hkT ( A
)}
(3.7)
{
A
Beispiel 3.15
Wir berechnen die Impulsantwort des diskreten Integrators über das
Rekursionsverfahren. Ausgangspunkt ist seine Differenzengleichung ( b 1 =-1).
x a (kT A ) = x a [(k-1)T A ] - x e [(k-1)T A ]

Zeitdiskrete Systeme - 71 -
Tabelle 3.2: Berechnung der Impulsantwort des diskreten Integrators
k x e (kT A ) x e [(k-1)T A ] x a (kT A ) x a [(k-1)T A ]
0 1 0 0 0
1 0 1 -1 0
2 0 0 -1 -1
3 0 0 -1 -1
Impulsantwort lautet {g(kT A )} = {0 ; -1 ; -1 ; -1 ; -1 ; ... }.
δ
1
{δ(kT A )}
Diskreter
Integrator
{g(kT A )}
g
0
kT A
0
-1
kT A
Bild 3.11 : Impulsantwort des diskreten Integrators
Die Sprungantwort des diskreten Integrators wurde im Unterabschnitt 3.3.2.
berechnet.
Bei Kenntnis der Impulsantwort eines Systems ist es möglich, die Reaktion
dieses Systems auf jedes beliebige Eingangssignal zu ermitteln. Von folgenden
geltenden Beziehungen ist auszugehen. Der Zusammenhang zwischen Ein- und
Ausgangssignal ist allgemein
{ xa( kTA )} = f { x ( kT e A)}
. (3.8)
und speziell bei Systemerregung durch Einheitsimpuls gilt Glg. (3.6).
Weiterhin wurde die Beschreibung eines Abtastsignals im Unterabschnitt 2.3.5
als Summe von Einheitsimpulsen, die durch die Werte der Abtastfolge
gewichtet sind, aufgefaßt.
{
A
x ( kT )} =
∞
Σ x (nT A ) {δ [(k-n)T A ]} (3.9)
n=−∞

- 72 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Wendet man auf Glg. (3.8) die Signaldarstellung laut Glg. (3.9) an, so ergibt
sich
{ xa( kTA )} = f
∞
Σ x e (nT A ) {δ [(k-n)T A ]}. (3.10)
n=−∞
Mit Glg. (3.6) kann geschrieben werden
{ x ( kT )}
a A
=
=
∞
Σ x e (nT A ) f {δ [(k-n)T A ]}
n=−∞
∞
Σ x e (nT A ) {g [(k-n)T A ]} (3.11)
n=−∞
Die entstandene Gleichung ist in ähnlicher Form schon besprochen worden, es
handelt sich um die diskrete Faltung, die aus dem Abschnitt 2.3.4 bekannt ist.
Angewendet auf die Signal-System-Verknüpfung ist festzuhalten, daß die
Systemreaktion auf ein beliebiges Eingangssignal sich durch diskrete Faltung
der Impulsantwort mit diesem Eingangssignal ermitteln läßt.
{x a (kT A )} = {x e (kT A )} * {g(kT A )} = {g(kT A )} * { x e (kT A )} (3.12)
=
∞
Σ {x e (nT A )} {g[(k-n)T A ]} =
n=−∞
∞
Σ {g(nT A )} {x e [(k-n)T A ]}
n=−∞
Beispiel 3.16
Lösen wir noch die Frage nach der Systemreaktion des diskreten Integrators
über die Faltung bei dem Eingangssignal {x e (kT A )} = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... }. Die
a priori - Überlegung führt bei diesem Eingangssignal auf ein vermutetes
Ausgangssignal, das aus der Mathematik bei kontinuierlicher
Betrachtungsweise bekannt ist. Das Eingangssignal ist eine steigende Gerade,
durch Integration einer Geraden entsteht eine Parabel, dieser Effekt muß hier
also auch auftreten.
Mit den beiden Folgen von unendlicher Dauer
{g(kT A )} = {0 ; -1 ; -1 ; -1 ; ... }
{x e (kT A )} = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... }
wird die Faltung hier tabellarisch vorgeführt, die grafische Abwicklung ist im
Unterabschnitt 2.3.4 erläutert.
∞
{x a (kT A )} = {x e (kT A )} * {g(kT A )} = Σ {x e (nT A )} {g [(k-n)T A ]}
n=−∞

Zeitdiskrete Systeme - 73 -
Da es sich um ein kausales System handelt, wird das Ausgangssignal bei
kT A =0 beginnen.
n = 0 n = 1 n = 2 ...
k = 0: x a (0) = x e (0) g(0) + x e (1) g(-1T A ) + x e (2T A ) g(-2T A ) + ...
x a (0) = 0
k = 1: x a (T A ) = x e (0)g(T A ) + x e (T A ) g(0) + x e (T A ) g(-T A ) + ...
x a (T A ) = 0
k = 2: x a (2T A ) = x e (0)g(2T A ) + x e (T A ) g(T A ) + x e (2T A ) g(0) + ...
x a (2T A ) = 0 - 1 + 0 + ...
x a (2T A ) = -1
k=3: x a (3T A ) = x e (0)g(3T A ) + x e (T A ) g(2T A ) + x e (2T A ) g(T A ) + ...
x a (3T A ) = 0 - 1 - 2 + ...
x a (3T A ) = -3
k=4: x a (4T A ) = x e (0)g(4T A ) + x e (T A )g(3T A ) + x e (2T A )g(2T A ) + ...
x a (4T A ) = 0 - 1 - 2 + ...
x a (4T A ) = -6
...
{δ(kT A )}
Diskreter
Integrator
{g(kT A )}
Bild 3.12 : Systemantwort des diskreten Integrators auf eine Rampe

- 74 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
3.3.6 FIR- und IIR-Systeme
Betrachtet man zunächst die Differenzengleichung
n
Σ a i x a [(k-i)T A ] =
i=0
m
Σ b j x e [(k-j)T A ]
j=0
und geht davon aus, daß keine Rückführungen des Ausgangssignals existieren
und a 0 = 1 ist, dann liegt das nichtrekursive System
x a (kT A ) =
m
Σ b j x e [(k-j)T A ]
j=0
vor. Setzt man als Systemerregung den Einheitsimpuls an, so ergibt sich eine
Impulsantwort
{g (kT A )} =
m
Σ b j δ [(k-j)T A ]
j=0
die endlich ist, da m bei praktischen Realisierungen nur einen endlichen Wert
annehmen kann. Die Impulsantwort entspricht genau den Koeffizienten b j .
FIR – Systeme
Systeme, die eine Impulsantwort mit endlicher Dauer aufweisen, heißen FIR-
Systeme (Finite Impuls Response). FIR-Systeme sind durch nichtrekursive
Systeme realisierbar.
Beispiel 3.17
x a (kT A ) = x e (kT A ) - x e [(k-1)T A ] + 2x e [(k-2)T A ]
Tabelle 3.3 : Berechnung der endlichen Impulsantwort
k x e (kT A ) x e [(k-1)T A ] x e [(k-2)T A ] x a (kT A )
0 1 0 0 1
1 0 1 0 -1
2 0 0 1 2
3 0 0 0 0
{x a (kT A )} = {g(kT A )} = { 1; -1 ; 2 }

Zeitdiskrete Systeme - 75 -
{ δ ( kTA
)}
Zeitdiskretes
System
{g(kT A )}
Bild 3.13: Impulsantwort eines FIR-Systems
IIR – Systeme
Systeme, die eine Impulsantwort mit unendlicher Dauer aufweisen, heißen IIR-
Systeme (Infinite Impulse Response). Die Realisierung von IIR-Systemen ist
über rekursive Systeme möglich, es existieren Rückführungen der
Ausgangsgröße. Rein theoretisch wäre dies auch über ein nichtrekursives
System mit unendlich vielen Speicherelementen denkbar.
Beispiel 3.18
x a (kT A ) = x e (kT A ) – x a [(k-1)T A ]
Tabelle 3.4: Berechnung der Impulsantwort mit unendlicher Dauer
k x e (kT A ) x a (kT A ) x a [(k-1)T A ]
0 1 1 0
1 0 -1 1
2 0 1 -1
3 0 -1 1
... ... ... ...
{x a (kT A )} = {g(kT A )} = { 1; -1 ; 1 ; -1 ; ... }

- 76 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
{ δ ( kTA
)}
Zeitdiskretes
System
{g(kT A )}
Bild 3.14: Impulsantwort eines IIR-Systems
Übungsaufgaben
3.7 Gegeben ist die nachfolgende Struktur eines zeitdiskreten Systems.
Gesucht sind
a) die Differenzengleichung,
b) die Impulsantwort über das Rekursionsverfahren,
c) die Antwort des Systems auf die Eingangsfolge {x e (kT A )}= {0; 1; 2; 3;...}
über das Rekursionsverfahren.
3.8 Für das Signalflußbild des zeitdiskreten Systems sind zu bestimmen
a) die Differenzengleichung,
b) die Impulsantwort über Rekursionsverfahren.

Zeitdiskrete Systeme - 77 -
3.9 Von einem System ist bekannt die Impulsantwort {g(kT A )} = {1; 2}.
a) Durch welches Blockdiagramm und welche Differenzengleichung ist das
System beschreibbar?
b) Ermitteln Sie die Systemreaktion auf das Eingangssignal {x e (kT A )}= {1;2}
über das Rekursionsverfahren und die Faltung!
3.4 Beschreibung zeitdiskreter Systeme im Bildbereich
3.4.1 Einleitung
Nach der Behandlung der Systembeschreibung im Zeitbereich, dem
Originalbereich, mittels Differenzengleichung soll nun die Beschreibung im
Bildbereich angeführt werden. Im Abschnitt 2.4 wurde die z - Transformation
und inverse z - Transformation für die Beschreibung von Signalen im
Bildbereich verwendet und auf den Zusammenhang mit Systemen
hingewiesen. Der Vorteil der Beschreibung im Bildbereich kommt
insbesondere bei der Signal-System-Verknüpfung zum Tragen. Sie werden
Kenntnisse über das Lösen von Differenzengleichungen über den Bildbereich
erlangen. Weiterhin werden Ihnen Kenntnisse darüber vermittelt, wie die
Beschreibung im Bildbereich Aufschluß über das Stabilitätsverhalten von
Systemen gibt.

- 78 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
3.4.2 Übertragungsfunktion
Wie im Zeitbereich, so gibt es auch im Bildbereich eine allgemeine
Systembeschreibung, die aus der z - Transformation der Differenzengleichung
gewonnen werden kann.
Z{a n × a [(k-n)T A ] + ... + a 1 × a [(k-1)T A ] + a 0 × a (kT A )} =
Z{b m × e [(k-m)T A ] + ... + b 1 × e [(k-1)T A ] + b 0 × e (kT A )}
Die Transformation vom Zeit- in den Bildbereich erfolgt über die
Rechenregeln Linearität und Verschiebungssatz (Tabelle 2.3). Im Bildbereich
entsteht folgende Gleichung
a n X a (z)z -n + ... + a 1 X a (z)z -1 + a 0 X a (z) =
b m X e (z)z -m + ... + b 1 X e (z)z -1 + b 0 X e (z) .
Zu beachten ist, daß die Variablen groß geschrieben werden. Diese Gleichung
wird derart umgeformt, daß auf der linken Seite X a (z) ausgeklammert wird
und auf der rechten Seite X e (z). Es wird der Quotient X a (z)/X e (z) gebildet und
dieser Quotient wird als Übertragungsfunktion bezeichnet.
G(
z)
X
( z)
b
z
+ ... + b z
−m
−1
a
m
1
= =
−n
−1
X
e
( z)
an
z + ... + a1z
+ b
+ a
0
0
(3.13)
Wegen der Kausalität gilt m ≥ n. Die Übertragungsfunktion ist in
Polynomdarstellung angegeben, da der Zähler und Nenner durch Polynome
ausgedrückt sind. Eine weitere übliche Darstellungsform der
Übertragungsfunktion gewinnt man durch die Linearfaktorzerlegung, dabei
wird obige Übertragungsfunktion mit z m erweitert, um nur positive Exponenten
für die Variable z zu erhalten, und die Pol- und Nullstellen werden ermittelt.
Die PN-Darstellung der Übertragungsfunktion hat folgende Form:
X
a
( z)
( z − z
N1)(
z − z
N 2
)...
G(
z)
= = C
. (3.14)
X ( z)
( z − z )( z − z )...
e
P1
P2
Die PN-Darstellung wird genutzt, um im PN-Plan die Pol- und Nullstellen des
Systems abzutragen und Aussagen z.B. über die Stabilität des Systems treffen
zu können. In die z - Ebene werden die Pol- und Nullstellen, wie im Bild
dargestellt, eingetragen.

Zeitdiskrete Systeme - 79 -
Im{z}
doppelte einfache
Polstellen
konjugiert
komplexe einfache
Nullstellen
Re{z}
X
G(
z)
=
X
a
e
( z)
( z)
Z
=
Z
{ g(
kTA
)}
{ δ ( kT )}
A
Bild 3.15: PN-Plan
Eine zweite Möglichkeit, um die Übertragungsfunktion zu ermitteln, geht von
der Kenntnis der Impulsantwort aus. Auf die Systemerregung mit dem
Einheitsimpuls reagiert das System mit der Impulsantwort.
Laut Korrespondenztabelle der z - Transformation (siehe Tabelle 2.4) gilt
Z{δ(kT A )} = 1.
Daraus folgt
G(z) = Z{g(kT A )}.
Weiterhin gilt die einseitige z-Transformation (Glg. (2.18)), damit kann die
Übertragungsfunktion aus der z-Transformierten der Impulsantwort gewonnen
werden.
G(z) = Z{g(kT A )} = ∑ ∞
n=0
g(nT A )z –n (3.15)
Beispiel 3.19
Für den diskreten Integrator sind
a) die Übertragungsfunktion über die Differenzengleichung und
b) über die Impulsantwort zu ermitteln
c) sowie der PN-Plan aufzustellen.
a) Mit der z-Transformation der Differenzengleichung über den Linearitätsund
Verschiebungssatz kann geschrieben werden:

- 80 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
{ x ( kT ) − x [(
k −1)
T ] } = Z − x [(
k −1
T ] }
a
A
a
A
{
e
A
Z )
X
a
( z)
−
z
−1
X
a
( z)
= − X
e
( z)
z
−1
X
a
( z)(1
− z
−1
)
= − X
e
( z)
z
−1
G(
z)
=
X
X
a
e
( z)
( z)
z
= −
1−
z
−1
−1
b) Setzt man als Systeminformation die Impulsantwort des diskreten
Integrators an {g(kT A )} = {0; -1; -1; -1 ... }, dann entsteht eine unendliche
Reihe
G (z) = Z {g(kT A )} = -z -1 - z -2 - z -3 - z -4 ... .
Da diese unendliche Reihe für die weitere Betrachtung unhandlich ist, wird die
Summenformel herangezogen. Dazu ist eine Erweiterung notwendig
G(z) = 1 - [ 1 + z -1 + z -2 + z -3 + ...] .
Der Ausdruck in der eckigen Klammer ist eine binomische Reihe und kann
durch eine Summenformel ausgedrückt werden
G
1
1−
z
− z
1−
z
−1
( z)
= 1−
=
−1
− 1
c) Für den PN - Plan wird die Übertragungsfunktion mit z erweitert.
G ( z)
=
−
1
z −1
Aus dieser Darstellung ist abzulesen, es gibt keine Nullstelle und eine Polstelle
existiert bei z p1 = 1.
Im{z}
1
-1 1 Re{z}
-1
Bild 3.16: PN-Plan des diskreten Integrators

Zeitdiskrete Systeme - 81 -
3.4.3 Zusammenhang zwischen Übertragungsfunktion und
Systemreaktionen
Die Beschreibung im Bildbereich liefert einmal Aussagen zu
Systemeigenschaften und man kann andererseits über die Beschreibung im
Bildbereich die Systemreaktionen als geschlossene Lösung finden. Löst man
die Übertragungsfunktion Glg. (3.13) nach der z-transformierten
Ausgangsgröße auf, dann entsteht, wie zu sehen ist,
X e (z) · G(z) = X a (z)
Ursache · Systembeschreibung = Wirkung
ein einfacher Zusammenhang zwischen Systemerregung (Ursache),
Systemeigenschaft und Systemreaktion (Wirkung), der in dieser Form im
Zeitbereich nicht möglich ist. Um eine Systemreaktion auf eine bestimmte
Systemerregung zu finden, wird das Eingangszeitsignal in den Bildbereich
transformiert, ebenso die Differenzengleichung, aus der die
Übertragungsfunktion gebildet wird. Beide z-Transformierten werden
multiplikativ verknüpft und in den Zeitbereich rücktransformiert, somit
entsteht das Ausgangszeitsignal, die Systemreaktion.
Zeitbereich
Systemerregung
{ x ( kT e A
)}
System
Differenzenglg.
Systemreaktion
{x a (kT A )}
Korrespondenztabellen Rechenregeln
Rechenregeln
z-Transformation
Inverse
z-Transformation
Korrespondenztabellen
Rechenregeln
Bildbereich
X e (z) . G(z) = X a (z)
Bild 3.17: Zusammenhang zwischen Zeit- und Bildbereich

- 82 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Beispiel 3.20
Für den diskreten Integrator soll die Systemreaktion auf die
Einheitssprungfolge ermittelt werden. Die Übertragungsfunktion ist schon
bekannt, somit ist
X a (z) = X e (z) · G(z)
X
X
a
a
( z)
= Z
1
( z)
=
1−
z
{ ε ( kT )}
−1
A
− z
⋅
1−
z
− z
⋅
1−
z
−1
−1
−1
−1
− z
=
(1 − z
−1
−1
−1
{ x ( kT )} = Z { X ( z)
} = − { kε
( kT )}
a
A
a
)
2
Die Lösung war schon aus Unterabschnitt 3.3.2 bekannt. Das hier behandelte
Beispiel war sehr leicht mit der Korrespondenztabelle zu behandeln. Oft sind
umfangreichere Ausdrücke zurückzutransformieren, dann ist erst durch
Partialbruchzerlegung eine handlichere Form zu finden, danach
zurückzutransformieren und damit die Bildungsvorschrift für die
Ausgangsfolge zu ermitteln. Eine weitere Möglichkeit bietet, wie schon
erwähnt, die Partialdivision zum Finden des Ausgangssignals. Die Bildfunktion
X e (z)G(z) wird partiell dividiert, es liegt dann eine unendliche Reihe in z -n vor.
Aus dieser Reihe sind die Elemente der Ausgangszeitfolge ablesbar. Es
entsteht bei diesem Weg nicht die Bildungsvorschrift der Folge.
A
Übungsaufgaben
3.10 Berechnen Sie die Systemreaktion des diskreten Integrators auf das
Eingangssignal
1
{ x
e
( kTA
)} = { r(
kTA
)}.
T
A
3.4.4 Stabilität
Im Abschnitt 3.2 wurden die Begriffe stabil und instabil bei Betrachtung der
Systeme im Zeitbereich geklärt. Die Stabilität ist bei linearen Systemen eine

Zeitdiskrete Systeme - 83 -
systemimmanente Eigenschaft, d. h. aus der Systembeschreibung können
Rückschlüsse auf das stabile bzw. instabile Verhalten gezogen werden. Die
Systembeschreibung „Übertragungsfunktion“ liefert dazu aussagekräftige
Indizien.
Nachfolgend soll es nicht um den mathematischen Beweis der Stabilität gehen,
sondern vielmehr um eine plausible Erklärung. Betrachten wir also die
Übertragungsfunktion
1
G ( z)
= .
−1
1−
a z
Es sind die Fragen zu klären, ist dies ein stabiles oder instabiles System? Unter
welchen Bedingungen ist es stabil? Bildet man die Impulsantwort dazu, dann
müßte sich eine begrenzte Systemreaktion ergeben, wenn das System stabil ist.
k
Die Systemantwort { g( kTA
)} = { a ε ( kTA
)}
ist durch eine multiplikative
Verknüpfung von Einheitsimpulsfolge mit Exponentialfolge beschrieben. Bei
verschiedenen Werten für a ergeben sich die nachfolgend dargestellten
Systemantworten.
g
g
-1 < a < 1
stabil
kT A
kT A
{ δ ( kTA)}
1
1− az
−1
{ g ( kTA)}
g
g
|a| = 1
Stabilitätsgrenze
g
0
kT A
g
0
kT A
|a|> 1
instabil
kT A
kT A
Bild 3.18: Mögliche Impulsantworten für das System mit
G
1
1−
a z
( z)
=
−1
Ob es sich um ein stabiles oder instabiles System oder ein System an der
Stabilitätsgrenze handelt, hängt vom Koeffizienten a ab. Das System ist stabil,
wenn |a| < 1. Betrachtet man die Pol-Nullstellen-Darstellung der
Übertragungsfunktion

- 84 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
G(
z)
=
z
z − a
,
dann hat die Übertragungsfunktion bei z p = a eine Polstelle. Die Lage der
Polstelle ist also ausschlaggebend für die Stabilität. Die Nullstelle hat keinen
Einfluß.
Da man jede Übertragungsfunktion in eine Summe von Partialbrüchen zerlegen
kann, ergibt sich dann die Gesamtimpulsantwort aus der Summe der
Teilimpulsantworten. Bei einem stabilen System strebt jede Teilimpulsantwort
für kT A → ∞ einem endlichen Wert zu; damit erfüllt jeder Pol der
Übertragungsfunktion die Bedingung | z p | < 1.
Die Bedingung an die komplexe Variable z
| z | = 1
wird in der z-Ebene durch den Einheitskreis ausgedrückt.
Als Stabilitätsbedingung kann formuliert werden:
Ein lineares, zeitinvariantes und kausales System ist stabil, wenn alle Polstellen
der Übertragungsfunktion G(z) im Einheitskreis der komplexen z - Ebene
liegen. Liegt nur eine Polstelle außerhalb, dann ist das System instabil. Die
Nullstellen der Übertragungsfunktion haben keinen Einfluß auf die Stabilität.
Im{ z}
1
-1 1
Re{}
z
-1
Bild 3.19: Komplexe z – Ebene

Zeitdiskrete Systeme - 85 -
Stabilität bei FIR - und IIR – Systemen
FIR - Systeme sind stets stabil, da aufgrund der Struktur dieser Systeme nur
endliche Impulsantworten entstehen.
x ( kT
a
A
) =
X
G(
z)
=
X
a
e
m
∑
j=
0
( z)
( z)
b
j
x
e
= b
[(
k − j)
T ]
m
z
−m
A
+ ... + b z
1
−1
Aus der Übertragungsfunktion ist ablesbar, daß ein m – facher Pol im Ursprung
der z - Ebene auftritt, kein Pol in der Nähe des Einheitskreises, das System ist
strukturstabil.
Aufgrund der Rückführungen des Ausgangssignals bei IIR - Systemen, kann
Stabilität oder Instabilität auftreten, es ist eine Prüfung der Polstellen
notwendig.
1 ⎛
m
xa
( kTA
) = ⎜ b x
a
∑ j e
0 ⎝ j=
0
−
X
a
( z)
bm
z
G(
z)
= =
−n
X ( z)
a z
e
n
Alle Pole müssen im Einheitskreis der komplexen Ebene liegen, dann ist das
System stabil. Bei der Ermittlung der Polstellen ist die Übertragungsfunktion
mit z max(n,m) zu erweitern, um für die komplexe Variable z nur positive
Exponenten zu erhalten .
+ b
0
[(
k − j)
TA
] − ∑ ai
xa
[(
k − i)
TA
]
m
+ ... + b z
+ ... + a
−1
1
−1
1z1
n
i=
1
+ b
0
+ a
0
⎞
⎟
⎠
Übungsaufgaben
3.11 Bestimmen Sie aus der Differenzengleichung
x a (kT A ) + 0,5x a [(k-1)T A ] = x e (kT A ) - 2x e [(k-1)T A ]
a) die Übertragungsfunktion,
b) den Pol - Nullstellen – Plan.

- 86 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
c) Ist das System stabil?
3.12 Ein System ist durch die Übertragungsfunktion
1
G ( z)
=
beschrieben.
1 −2
1−
2,5z
− + z
a) Welche Pol- und Nullstellen weist das System auf?
b) Ist es stabil oder instabil ?
3.4.5 Zusammenfassendes Beispiel für die Verknüpfung von Zeit- und
Bilbereich
Als Zusammenfassung für die Beschreibung im Zeit- und Bildbereich wird ein
Beispiel ausführlich erläutert.
Es ist der PN-Plan eines zeitdiskreten Systems gegeben
Im{z}
1
-1 1 Re{z}
-1
Bild 3.20: PN-Plan
und die Impulsantwort des Systems ist zu ermitteln.
Da alle Pole des Systems im Einheitskreis liegen, ist das System stabil, es muß
sich also eine Impulsantwort ergeben, die gegen Null strebt .
Nullstellen : Keine
Polstellen : z p1/2 = + j 0,5 .
Aus den Pol- u. Nullstellen kann man die Übertragungsfunktion entsprechend
Glg (3.14) aufstellen.
G(
z)
=
G(
z)
=
( z − z
X
X
a
e
p1
C
) ( z − z
p 2
)
−2
( z)
Cz
=
( z)
1+
0,25z
=
−2
( z −
C
j0,5) ( z +
j0,5)
=
z
2
C
+ 0,25
(3.16)

Zeitdiskrete Systeme - 87 -
Die Konstante C, die in der Übertragungsfunktion auftreten könnte, wird durch
den PN-Plan nicht wiedergegeben. Es wird gesetzt C=1. Über die
Übertragungsfunktion ist die Differenzengleichung ableitbar, dazu sind in der
Übertragungsfunktion für die unabhängige Variable z durch Umformung nur
negative Exponenten zu erzwingen, um später im Zeitbereich nur mit
gegenwärtigen und zurückliegenden und nicht mit zukünftigen Ein- und
Ausgangssignalen zu arbeiten.
Glg. (3.16) wird umgeformt, d.h. Ein- und Ausgangssignale werden getrennt.
X a (z)(1 + 0.25z -2 ) = X e (z)z -2
Diese Glg. im Bildbereich wird mit dem Verschiebungssatz in den Zeitbereich
überführt:
X a (z) + 0,25z -2 X a (z) = z -2 X e (z)
Verschiebungssatz
x a (kT A ) + 0,25x a [(k-2)T A ]= x e [(k-2)T A ] (3.17)
Die Differenzengleichung Glg. (3.17) stellt ein rekursives System dar, da das
Ausgangssignal zum gegenwärtigen Zeitpunkt x a (kT A ) auf zurückliegende
Ausgangssignale zugreift. Das Blockschaltbild läßt sich schnell nach
Auflösung der Glg. (3.17) nach x a (kT A ) aufstellen.
x a (kT A ) = x e [(k-2)T A ] - 0,25x a [(k-2)T A ]
x e (kT A )
T
T
x a (kT A )
-0,25
Bild 3.21: Blockdiagramm des Systems mit x a (kT A ) = x e [(k-2)TA] - 0,25x a [(k-2)T A ]
Betrachtet man als Eingangssignal den Einheitsimpuls, läßt sich das
Ausgangssignal auf rekursivem Weg oder durch eine geschlossene Lösung
finden. Zuerst wird die rekursive Lösung betrachtet. Da ein kausales System
vorausgesetzt wird, liegt nur dann ein Ausgangssignal vor, wenn ein

- 88 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Eingangssignal anliegt, d. h. für das Ausgangssignal sind alle zurückliegenden
Zeitpunkte (vor dem Einsetzen des Eingangssignals) Null.
Tabelle 3.5: Rekursive Berechnung der Impulsantwort
k x e (kT A ) x e [(k-1)T A ] x e [(k-2)T A ] x a [(k-2)T A ] x a [(k-1)T A ] x a (kT A )
0 1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0
2 0 0 1 0 0 1
3 0 0 0 0 1 0
4 0 0 0 1 0 -0,25
5 0 0 0 0 -0,25 0
6 0 0 0 -0,25 0 (-0,25) 2
... ... ... ... ... ...
...
Das Ausgangssignal kann durch die Elemente der Folge angegeben werden.
{x a (kT A )} = { 0; 0; 1; 0; -0,25; 0 ; (-0,25) 2 ; ...... } (3.18)
Stellt man diese Folge dar, kann man gut die gedämpfte Schwingung erkennen,
siehe dazu Bild 3.22.
Der Nachteil der rekursiven Lösung ist, daß ein Wert zum Zeitpunkt kT A die
Kenntnis aller zurückliegenden Werte voraussetzt, und daß das Abschätzen von
Eigenschaften des Systems insbesondere bei umfangreicheren als dem hier
betrachteten schwierig ist. Der Vorteil der rekursiven Lösung liegt in der
einfacheren Handhabung, wie man sieht.
Beim Finden der geschlossenen Lösung wird die Übertragungsfunktion Glg.
(3.16) nach X a (z) aufgelöst und die z-Transformierte des speziellen
Eingangssignals, hier der Einheitsimpuls, eingesetzt.
X (z) = G(z) X
a
e
(z)
− 2
z
(3.19)
X
a
(z) = ⋅ Z{ δ ( k)
}
−2
1+
0,25z
Da die Ausgangszeitfolge gesucht ist, erfolgt eine Rücktransformation von
Glg. (3.19) in den Zeitbereich.

Zeitdiskrete Systeme - 89 -
Z
−1
−2
−1
⎧ z ⎫
a
( = xa
( kTA
) = Z ⎨ ⋅ 1
−2
⎬
(3.20)
⎩1
+ 0,25z
⎭
{ X z)
}
Die Korrespondenztabelle liefert für diese Bildfunktion keine entsprechende
Zeitfunktion, also ist eine Zerlegung dieser gebrochen rationalen Funktion in
Partialbrüche notwendig. Dazu wird die quadratische Gleichung im Nenner in
Linearfaktoren zerlegt und über Koeffizientenvergleich werden die Zähler der
Partialbrüche bestimmt.
(1 + 0,5 j z
z
−1
−2
)(1 − 0,5
j z
−1
=
)
=
−1
−1
Az Bz
+
−1
−1
(1 + 0,5 j z ) (1 − 0,5 j z )
−1
−1
−1
Az (1 − 0,5 j z ) + Bz (1 + 0,5
−1
−1
(1 + 0,5 j z )(1 − 0,5 j z )
j z
−1
)
Beim Koeffizientenvergleich genügt die Betrachtung der Zähler.
z -2 = Az -1 - jA 0,5z -2 + Bz -1 + jB 0,5z -2
1 = -j A 0,5 + j B 0,5
0 = A + B
Daraus folgt A = j und B = -j.
Die gebrochen rationale Funktion Glg. (3.20) ist durch zwei Partialbrüche
darstellbar.
−1
−1
( = −1
⎧ jz
jz ⎫
xa kTA
) Z ⎨
−
−
⎬
(3.21)
1
⎩(1
+ 0,5 j z ) (1 − 0,5 j z
−1
) ⎭
Für die Rücktransformation in den Zeitbereich ist der Linearitätssatz
anzusetzen, da es sich um eine Differenz von Bildfunktionen handelt.
Weiterhin ist neben der Korrespondenztabelle der Verschiebungssatz zu
verwenden, da beide Partialbrüche mit z -1 multipliziert werden und dies eine
Verschiebung der Zeitfunktion um eine Tastperiode bewirkt.
k −1
k−1
{ x ( kT )} = { j(
−0,5
j)
[( k −1)
T ]} −{ j(0,5
j)
ε[ ( k −1)
T ]}
a
A
ε (3.22)
A
A

- 90 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Diese Darstellung des Ausgangssignals läßt wenig Schlüsse auf den Verlauf
zu, so daß es ratsam ist, durch geschickte Umformung eine aussagekräftige
Lösung zu finden.
{ x
a
( kT
A
)} =
k−1
k −1
k −1
{ j(0,5)
( − j)
− j ) ε [( k −1)
T ]}
Es wird die Exponentialform der komplexen Ausdrücke gewählt
-j = e -jπ/2 und j = e jπ/2 .
Bei Anwendung der Eulerscher Formel kann gesetzt werden
e -j(k-1)π/2 - e j(k-1)π/2 = -2jsin((k-1)π/2) .
Somit ergibt sich die Ausgangsfolge
k −1
{ x ( kT )} = { 2 ⋅0.5
sin(( k −1)
π / 2) ⋅ε
[( k −1)
T ]}
a
A
A
A
{ ε [( k −1)
T ]}
k−2
{ x ( kT )} = 0.5 }{ sin(( k −1)
π /2)}{
a
A
A
(3.23)
Die geschlossene Lösung gibt die Bildungsvorschrift für die Elemente der
Folge an, also die Funktionswerte des Signals zu den Abtastzeitpunkten kT A .
Aus der Bildungsvorschrift ist ablesbar, daß das Signal eine periodische
Schwingung enthält, diese durch eine monoton fallende Exponentialfolge
gewichtet wird und das Produkt aus Exponentialfolge und Schwingung erst ab
kT A = T A wirksam wird, dies ist aus der verschobenen Einheitssprungfolge
ablesbar. Die ersten Elemente der Ausgangsfolge wurden mit der Glg. (3.23)
berechnet, um mit den Ergebnissen des Rekursionsverfahrens vergleichen zu
können.
{x a (kT A )} = { 0; 0; 1; 0; -0,25; 0 ; (-0,25) 2 ; ...... }
Wie zu erwarten, sind beide Lösungen identisch. Es ist zu sehen, daß die
geschlossene Lösung den Vorteil hat, aus der Bildungsvorschrift der Folge
Eigenschaften des Systems abzulesen und jeden Wert zu beliebigen
Tastzeitpunkten zu berechnen, ohne die gesamte Vorgeschichte zu kennen. Zu
übersehen ist natürlich bei der aufgezeigten Berechnung nicht der eindeutige
Nachteil, das Finden der geschlossenen Lösung ist mitunter recht aufwendig,
bei umfangreichen Systemen nimmt der Aufwand stark zu, hier bieten
Simulationsverfahren eine gute Hilfestellung.

Zeitdiskrete Systeme - 91 -
g
1
kT A
Bild 3.22: Impulsantwort eines Systems mit dem konjugiert komplexen Polpaar
z P1,2 = ± 0,5j
Übungsaufgaben
3.13 Auf ein System mit der Übertragungsfunktion
G
z
1+
z − z
−1
( z)
=
−1
−2
wirkt ein Einheitsimpuls. Ermitteln Sie die Systemantwort in geschlossener
Form. Überprüfen Sie Ihre Lösung mit Simulink.
3.5 Beschreibung zeitdiskreter Systeme im Frequenzbereich
3.5.1 Einleitung
Basierend auf der Beschreibung im Bildbereich läßt sich die Beschreibung im
Frequenzbereich ableiten und damit die frequenzmäßige Beeinflussung der
Signale durch die Systemcharakteristiken.
In diesem Abschnitt werden Ihnen Kenntnisse vermittelt über die
Frequenzfunktionen zeitdiskreter Systeme, dabei können Sie gut aufbauen auf
Ihren Fertigkeiten bezüglich der Fourier-Transformation. Auch hier soll das

- 92 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Simulationsprogramm MATLAB aufwendige Rechenoperationen übernehmen
und damit Ihre Fertigkeiten beim Umgang mit dem Simulationsprogramm
festigen und erweitern.
3.5.2 Frequenzgang
Im Unterabschnitt 3.4.2 wurde die Übertragungsfunktion mit
G(
z)
X
( z)
b
z
+ ... + b z
−m
−1
a
m
1
= =
−n
−1
X
e
( z)
an
z + ... + a1z
+ b
0
+ a
0
(3.24)
definiert, wobei sich die unabhängige Variable z zusammensetzt aus
z
= e
pT
A
= e
σT
A
+
jω
T
A
= e
σ T
A
e
jω
T
A
.
Betrachtet man nun das System bezüglich seines Frequenzverhaltens, dann
wird gesetzt
jωT
j
1
A Ω
z = e = e ; Ω = ω TA
= ω
f
A
.
(3.25)
Die Kreisfrequenz Ω ist, wie schon bekannt, eine auf die Abtastperiode T A
bzw. Abtastfrequenz f A normierte Kreisfrequenz. Setzt man in Glg. (3.24) diese
Festlegung nach Glg. (3.25) ein, dann ergibt sich der Frequenzgang eines
Systems.
G(
jΩ)
=
X
X
a
e
( jΩ)
( jΩ)
=
b
m
a
e
n
− j m Ω
e
− jn Ω
+ ... + b e
1
+ ... + a e
1
− j Ω
− j Ω
+ b
0
+ a
0
(3.26)
Eine andere Möglichkeit, um den Frequenzgang eines Systems zu ermitteln,
bietet die Fourier - Transformation von Abtastsignalen. Liegt vom System die
Impulsantwort {g(kT A )} vor, dann gilt
G(jΩ) = FTA {g(kT A )} = ∑ ∞ g ( nT A
) e
n= −∞
und für die Umkehrung
− jnΩ

Zeitdiskrete Systeme - 93 -
{g(kT A )} = IFTA {G(jΩ)} =
1
2π
π
∫
−π
G(
jΩ)
e
j k Ω
dΩ
.
Der Frequenzgang G(jΩ) ist die Fourier - Transformierte der Impulsantwort.
Da es sich um ein Abtastsignal handelt, ist der Frequenzgang periodisch mit
der Periode Ω p = 2 π bzw. ω p = 2 π / T A = 2 π f A . Die Darstellung des
Frequenzgangs wird in genau der selben Form vorgenommen, wie das beim
Frequenzspektrum der Signale im Abschnitt 2.5 erfolgte.
Der Frequenzgang Glg. (3.26) ist eine Funktion mit komplexen Variablen, man
wählt oft die exponentielle Schreibweise dieser Funktion
j arg G(jΩ)
G(jΩ) = |G(jΩ)| e
mit dem Amplitudengang
gebräuchlich ist auch die logarithmische Betrachtung
20 dB lg |G(jΩ)|
2
2
{ G(
jΩ)
} + Im{ G(
j )}
| G(
jΩ) | = Re
Ω
und dem Phasengang
Im{ G(
jΩ)}
ϕ(Ω) = arg G(jΩ); tan ϕ(Ω) =
.
Re{ G(
jΩ)}
Der Phasengang widerspiegelt die Phasenverzerrungen, die ein System auf ein
Signal ausübt. Liegt ein linearer Phasengang und konstanter Amplitudengang
vor, dann würde das Signal durch das System nur zeitlich verschoben werden,
das Signal ist keinen Verformungen unterworfen. Bei einem nichtlinearen
Phasengang treten Verzerrungen auf. Ein Maß für die Linearität der Phase ist
die Gruppenlaufzeit
d
τ ( Ω)
= − arg G(
j Ω)
.
d Ω
Mit dem Frequenzgang kann die Beeinflussung der Signale dargestellt werden,
der Zusammenhang zwischen Signalen und System ist durch die Umformung
der Glg. (3.26) nach der Ausgangsgröße gegeben.
X a (jΩ) = G(jΩ) · Xe(jΩ)
Wirkung = Systembeschreibung · Ursache

- 94 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Dieser Zusammenhang gilt im stationären Zustand für harmonische Signale
und für nichtharmonische Signale, wenn sie durch die Fourier-Transformation,
wie im Abschnitt 2.5 beschrieben, in den Frequenzbereich transformiert
wurden.
Der Frequenzbereich, der beim Frequenzgang zu betrachten ist, ist natürlich
identisch mit dem Bereich der Frequenzspektren Abschnitt 2.5. Die maximal
zu berücksichtigende Frequenz f max darf höchstens so groß wie die halbe
Abtastfrequenz f A sein.
f max ≤ f A /2
Also wird der zu betrachtende Frequenzbereich auf
0 ≤ f < f A /2 beziehungsweise 0 ≤ ω < ω Α /2
begrenzt und die maximal auszuwertende normierte Kreisfrequenz beträgt
Ω max = ω max T A = (ω Α /2) Τ Α
Ω max = π
Wie bei den Frequenzspektren der Signale sind auch hier Amplituden- und
Phasengang symmetrisch, der Amplitudengang ist eine gerade und der
Phasengang eine ungerade symmetrische Funktion. Die Periode beträgt Ω p =
2 π. Somit sind im Bereich von 0 ≤ Ω ≤ π alle das Frequenzverhalten
beschreibenden Informationen enthalten.
Beispiel 3.21
Vom zeitdiskreten Integrator ist der Frequenzgang zu ermitteln.
Ausgangspunkt ist die Übertragungsfunktion.
−1
z
G ( z)
= −
−1
1 − z
=
−
z
1
− 1
Mit z = e jΩ wird
G(
jΩ)
= −
jΩ
e
1
−1
Laut Eulerscher Formel ist die folgende Umformung möglich
G(
jΩ)
=
−1
cosΩ + j sin Ω −1

Zeitdiskrete Systeme - 95 -
Die entstandene Frequenzganggleichung wird in Amplituden- und Phasengang
zerlegt, dazu wird konjugiert komplex erweitert
G
1 − cos( Ω)
jΩ)
=
+ j
2 2
(cos Ω −1)
+ sin ( Ω)
(cos Ω −1)
sin ( Ω)
( 2 2
und Betrag und Phase ermittelt
+ sin
( Ω)
G ( jΩ)
=
1
(cosΩ −1)
2
+ sin
2
Ω
⋅
sin Ω
j arctan
1−
cos Ω
e
Zur Funktion des Phasengangs ist noch eine Bemerkung anzuführen. In
Abhängigkeit von Real- und Imaginärteil, d. h. vom betreffenden Quadranten
ist die Phase zu bestimmen. Da aufgrund der Begrenzung des
Frequenzbereiches nur 0 ≤ Ω ≤ π interessant ist, läßt sich für das Beispiel
feststellen, daß der I. Quadrant der Gaußschen Zahlenebene zugrunde zu legen
ist. Damit liegt der Hauptbereich der Tangensfunktion vor und die
Umkehrfunktion ist ohne Verschiebung anzusetzen. Im Bild sind Amplitudenund
Phasengang dargestellt.
|G(jΩ)|
argG(jΩ)
Ω
Bild 3.23: Amplituden- und Phasengang des diskreten Integrators

- 96 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
3.5.3 Zeitdiskrete Systeme mit linearem Phasengang
Der nahezu lineare Phasenverlauf des eben erläuterten Beispiels ist eher
zufällig. Das System, welches zugrunde lag, ist ein rekursives; bei diesen treten
ebenso nichtlineare Phasengänge auf. Also die lineare Phase ergibt sich nicht
zwangsläufig, sie kann aber gezielt erreicht werden zur Vermeidung von
Phasenverzerrungen. Um Systeme mit linearem Phasengang zu erhalten, kann
man die Symmetrieeigenschaften von Systemen mit endlichen
Impulsantworten, also FIR-Systemen, bewußt ausnutzen. Auf diese Methode
soll näher eingegangen werden.
Endliche Impulsantworten können einen unsymmetrischen Verlauf aufweisen
oder einen symmetrischen oder antimetrischen.
g
g
M-ungerade
kT A
M-gerade
kT A
Bild 3.24: Symmetrischer Verlauf von {g(kT A )}
Es gilt beim symmetrischem Verlauf der Impulsantwort
{g(kT A )}= {g[(M-1-k)T A ]}, M – Länge der Impulsantwortfolge.
g
g
kT A
kT A
M-ungerade
M-gerade
Bild 3.25: Antimetrischer Verlauf von {g(kT A )}
Es gilt beim antimetrischem Verlauf der Impulsantwort
{g(kT A )}= -{g[(M-1-k)T A ]}.

Zeitdiskrete Systeme - 97 -
Für den symmetrischen Verlauf soll beispielhaft die Ermittlung des
Frequenzganges gezeigt werden. Bekanntermaßen ergibt sich der
Frequenzgang aus der Fourier-Transformierten der Impulsantwort.
G(
jΩ)
=
M
∑ − 1
n=
0
g(
nT A
) e
− jnΩ
Es liegt eine Impulsantwort mit symmetrischem Verlauf und einer Länge M
vor, wobei M ungerade ist. Es wird M = 5 gesetzt.
{g(kT A )}= {g(0), g(T A ), g(2T A ), g(3T A ), g(4T A )}
Der Symmetriepunkt liegt bei g(2T A ), wegen der Symmetrie gilt
g(0) = g(4T A ) und g(T A ) = g(3T A ). (3.27)
Der Frequenzgang ergibt sich somit zu
G(jΩ) = g(0) + g(T A )e -jΩ + g(2T A ) e -j2Ω + g(3T A ) e -j3Ω + g(4T A ) e -j4Ω
Um aus dieser Funktion den Amplituden- und Phasengang ablesen zu können,
sind noch einige Umformungen notwendig. Zuerst wird die
M −1
Exponentialfunktion am Symmetriepunkt T A = 2T A ausgeklammert und
2
es wird die Symmetrie nach Glg. (3.27) berücksichtigt
G(jΩ) = (g(0) ( e j2Ω + e -j2Ω ) + g(T A ) ( e jΩ + e -jΩ ) + g(2T A ) ) e -j2Ω .
Setzt man für die Summen der Exponentialfunktionen die Eulersche Formel an,
dann ergibt sich
G(jΩ) = [g(0) 2 cos(2Ω) + g(T A ) 2 cos(Ω) + g(2T A )] e -j2Ω .
Beinnahe steht hier schon die Zerlegung in Betrag und Phase, aber der
Ausdruck in der eckigen Klammer kann sowohl positiv als auch negativ
werden. Diesen Ausdruck bezeichnen wir, wie im Unterabschnitt 2.5.2 als
Pseudobetrag G p (Ω). In Abhängigkeit davon, ob der Pseudobetrag positiv oder
negativ ist, wird zur Phase 0 oder π addiert.
Damit kann für den Frequenzgang des Systems geschrieben werden
G(jΩ) = |G(jΩ)| e jargG(jΩ)

- 98 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
mit Amplitudengang
|G(jΩ)| = |G p (Ω)| = |g(2T A ) + g(0) 2 cos(2Ω) + g(T A ) cos(Ω)|
und Phasengang
ϕ(Ω) = argG(jΩ) =
⎧−2Ω
⎨
⎩−
2Ω+
π
für
für
G ( Ω)
≥ 0
p
G ( Ω)
< 0
p
Betrachtet man noch einmal die Phase, so ist festzustellen, daß der Phasengang
stückweise linear ist und Phasensprünge von π auftreten.
Hier wurde eine beispielhafte Erklärung für Systeme mit linearem Phasengang
dargelegt. Geht man nun von einem System mit beliebiger Länge der
Impulsantwort M aus, dann gilt
G(
jΩ)
= | G(
jΩ)
|
j
e
arg G(
jΩ)
bei symmetrischem Verlauf der Impulsantwort mit Länge M für den
Amplitudengang
M - ungerade
| G(
jΩ)
| = | G
p
M −1
( Ω)
| = | g(
T
2
A
) + 2
M −3
2
∑
k = 0
g(
kT
A
M −1
)cos[( − k)
Ω]|
2
M – gerade
| G(
jΩ) | = | G
p
( Ω) | = | 2
M
−1
2
∑
k=
0
g(
kT
A
M −1
)cos[( − k)
Ω]|
2
(3.28a)
(3.28b)
den Phasengang
M – gerade und ungerade
ϕ(
Ω)
= arg
{ G(
jΩ)
}
⎧
⎪− Ω
= ⎨
⎪− Ω
⎩
M −1
2
M −1
+ π
2
für
G
für G
p
p
( Ω)
≥ 0
( Ω)
< 0
(3.29)
und die Gruppenlaufzeit

Zeitdiskrete Systeme - 99 -
M −1
τ ( Ω)
= .
2
Bei antimetrischem Verlauf der Impulsantwort mit Länge M gilt für den
Amplitudengang
M ungerade
M gerade
M −3
2
M −1
| G ( jΩ)|
= | G
p
( Ω)
| = | 2∑
g(
kTA
)sin[( − k)
Ω] | (3.30a)
2
k=
0
M
−1
2
M −1
| G ( jΩ)|
= | G
p
( Ω)
| = | 2∑
g(
kTA
)sin[( − k)
Ω]|
(3.30b)
2
den Phasengang
M – gerade und ungerade
k=
0
⎧ π M −1
⎪ − Ω
für G
p
( Ω)
≥ 0
ϕ ( Ω)
= arg{ G(
jΩ)
} = ⎨
2 2
(3.31)
3π
M −1
⎪ − Ω
für G
p
( Ω)
< 0
⎩ 2 2
und die Gruppenlaufzeit
M −1
τ ( Ω)
= .
2
Der Phasengang ist bei beiden Varianten (symmetrische und antimetrische
Impulsantwort) stückweise linear, die Gruppenlaufzeit somit konstant, sieht
man von den Sprungstellen beim Vorzeichenwechsel des Pseudobetrages ab.
Bei meßtechnischen Untersuchungen von solchen Systemen hinsichtlich der
Gruppenlaufzeit können an den Stellen der Phasensprünge Impulse im
Diagramm der Gruppenlaufzeit auftreten.
Beispiel 3.22
Für ein System mit folgender Impulsantwort
{g(kT A )}= {2, 2, 3, 2, 2}
ist der Frequenzgang zu berechnen und darzustellen.

- 100 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Im Bild sind Amplituden- und Phasengang dargestellt, nachfolgend sind die
Berechnungen angegeben.
|G(jΩ)|
argG(jΩ)
Ω
Bild 3.26: Amplituden- und Phasengang für ein System mit {g(kT A )}= {2, 2, 3, 2, 2}
Unter Anwendung der eben dargestellten Gleichungen berechnet sich der
Amplitudengang nach
|G(jΩ)| = |G p (Ω)| = |3 + 2( 2 cosΩ + 2cos(2Ω))|
und der Phasengang nach
ϕ(Ω) = argG(jΩ) =
⎧=
− 2Ω
⎨
⎩=
− 2Ω + π
für
für
G
p
( Ω)
≥ 0
G ( Ω)
< 0
p
τ ( Ω)
= 2.
Übungsaufgaben
3.14 Ermitteln Sie den Frequenzgang des Systems mit der
Übertragungsfunktion

Zeitdiskrete Systeme - 101 -
0,2
G ( z)
= .
−2
1+
0,8z
Stellen Sie den Amplituden- und Phasengang grafisch dar.
3.15 Die Impulsantwort von endlicher Dauer eines Systems lautet
⎧ 1
⎫
{ g(
kTA)}
= ⎨ sin( k − 3) ⎬ für 0 ≤ k ≤ 6 .
⎩(
k − 3) π ⎭
Ermitteln Sie den Frequenzgang und stellen Sie Amplituden- und Phasengang
grafisch dar.
Wie groß ist die Gruppenlaufzeit ?
Nutzen Sie für beide Aufgaben zur Darstellung des Frequenzganges das
Simulationsprogramm MATLAB!
3.6 Strukturen und Eigenschaften digitaler Filter
3.6.1 Einleitung
Der Begriff Filter ist bei den analogen Systemen mit dem Frequenzverhalten
verknüpft, man unterscheidet Tiefpaß- Filter, Hochpaß- Filter usw. Bei den
zeitdiskreten Systemen ist das anders. Man verwendet oft nur den Begriff IIR-
Filter, ebenso FIR-Filter. Damit ist nur eine Aussage für das Verhalten
bezüglich ihrer Impulsantwort und für die Strukturen getroffen, keinesfalls für
ihr Frequenzverhalten. Man kann sowohl IIR- als auch FIR- Systeme derart
entwerfen, daß sie Tiefpaß- oder Hochpaßcharakteristiken usw. aufweisen.
In der Überschrift wird der Begriff digital benutzt und wir haben bis jetzt
ausschließlich den Begriff zeitdiskret angesetzt. Die Bezeichnung digital
impliziert neben der Zeitdiskretisierung eine Amplitudenquantisierung. Da
diese Filter durch Hard- oder Softwareimplementierung realisiert werden, ist
die Quantisierung der Filterkoeffizienten notwendig. Diese Quantisierung soll

- 102 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
in den nachfolgenden Erläuterungen aber unberücksichtigt bleiben, so daß die
in den vorangegangenen Abschnitten vorgestellten Beschreibungsmethoden für
zeitdiskrete Systeme hier in diesem Abschnitt Anwendung finden können.
Digitale
Filter
IIR-
Filter
FIR-
Filter
Bilineare
Transformation
Frequenz-
Transformation
Impulsvarianz-
Transf.
Fenstermethode
Frequenzabtastmethode
Minimaxentwurf
Bild 3.27: Digitale Filter und Entwurfsmethoden
Im Bild 3.27 sind für IIR- und FIR- Systeme einige Entwurfsmethoden für die
Filterkoeffizienten angeführt. In den beiden anschließenden Unterabschnitten
wird exemplarisch für jeden der beiden Filtergruppen eine Entwurfsmethode
beschrieben.
3.6.2 Entwurf von IIR–Filtern mittels bilinearer Transformation
Der Entwurf eines zeitdiskreten IIR-Filters beruht darauf, daß als
Ausgangspunkt ein zeitkontinuierliches Filter zugrunde gelegt wird. Der
Entwurf zeitkontinuierlicher Filter ist schon weit fortgeschritten und stark
spezifiziert. Also greift man beim Entwurf zeitdiskreter IIR–Filter auf den
reichen Erfahrungsschatz der zeitkontinuierlichen Filter zurück und
transformiert diese.

Zeitdiskrete Systeme - 103 -
Wie schon angekündigt soll hier nicht die gesamte Palette möglicher
Entwurfsverfahren dargestellt werden, sondern es soll ausschließlich am
Beispiel eines Verfahrens der Entwurf eines zeitdiskreten IIR–Filters
demonstriert werden. Nachfolgend wird die bilineare Transformation
besprochen, sie basiert darauf, daß aus einer zeitkontinuierlichen Filterfunktion
G(p) mit Hilfe der numerischen Integration eine zeitdiskrete Filterfunktion
G(z) gewonnen wird. Die numerische Integration auf der Basis der Trapezregel
liefert folgende Transformationsvorschrift :
Zeitkontinuierliches Filter
G(p)
21−
z
p =
T 1+
z
A
−1
−1 Zeitdiskretes Filter
G(z)
2
TA
2
T
A
+
−
p
p
= z
Mit dieser bilinearen Transformationsvorschrift ist der Zusammenhang
zwischen den Frequenzen im zeitkontinuierlichen ω a und zeitdiskreten Bereich
ω d zu klären. Dazu wird die nachfolgende Gegenüberstellung zur Erläuterung
benutzt.
Zeitkontinuierlicher Bereich
Zeitdiskreter Bereich
2
TA
2
T
A
+ p
− p
= z
Der Laplace – Operator ist eine Der Operator z ist eine
komplexe Variable mit
komplexe Variable mit
T A+
j d T A
p = δ+jω a z = e δ ω
Da hier eine Frequenzbetrachtung vorgenommen wird, ist δ = 0 zu setzen.
2
TA
2
T
A
+ jωa
− jω
a
= e j ω T d A
Darstellung in Exponentialform

- 104 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
2
T A
4
2
T A
4
+ ω e j T
arctan ω a
2
2
a
2
a
+ ω e j T
− arctan ω a
2
A
A
= e j ω T d A
e j 2
a T
2
arctan ω A
= e j ω T d A
Vergleicht man die Phase beider Funktionen, dann ergibt sich der gesuchte
Zusammenhang zwischen den Frequenzen.
2 arctan (ω a T A /2) = ω d T A (3.32)
beziehungsweise
ω a T A = 2 tan(ω d T A /2) (3.33)
Ein weiterer Gesichtspunkt, der zu beachten ist, betrifft die maximale
Betriebsfrequenz, die in beiden Bereichen unterschiedlich ist.
Für den zeitkontinuierlichen Bereich
gilt
- ∞ < ω a < ∞
ω a → - ∞
Für den zeitdiskreten Bereich sind
Glg.(3.32) und die nebenstehende
Bereichsangabe zu berücksichtigen.
ω d =
2 π π
( − ) = −
T A
2 T A
ω a = 0 ω d = 0
ω a → ∞
ω d = π T A
Stellt man sich die Bereiche in der z –
Ebene dar, so wird mit 0 ≤ ω d ≤ π T A
der obere Einheitskreis und mit
- π ≤ ω d ≤ 0 der untere Einheitskreis
T A
beschrieben.

Zeitdiskrete Systeme - 105 -
Bild 3.28a: p-Ebene
Bild 3.28b: z-Ebene mit Einheitskreis
Für das zeitdiskrete System ist somit
eine maximale Betriebsfrequenz von
ω max = π T A
festzulegen.
Die Frequenz ω a → ± ∞ wird in den Punkt (-1;0) der z– Ebene
transformiert. Betrachtet man für beide Bereiche die physikalischen
Frequenzen, dann ist anzugeben
0 ≤ ω a < ∞
0 ≤ ω d ≤ π T A
;
bzw.
0 ≤ f a < ∞ 0 ≤ f d ≤ f A
2
;
π
T A
= ω max
f A
2 = f max
Die maximale Betriebsfrequenz
entspricht der halben Abtastfrequenz.
Nach Klärung des Zusammenhangs zwischen den Frequenzen beider Bereiche
ist die Schrittfolge für den Entwurf des IIR–Filters nachfolgend aufgeführt.
Entwurfsschritte
1. Vorzugeben sind :
- die Übertragungsfunktion eines
zeitkontinuierlichen Bezugsfilters
- die Dämpfungsvorschrift des digitalen Filters
(Grenzfrequenz)
- maximale Betriebsfrequenz des digitalen
Filters
G(p)
f gd , ω gd
f max , ω max

- 106 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
2. - Berechnung der Dämpfungsvorschrift für das
analoge Bezugsfilter
3. - Ermittlung des Frequenzganges des analogen
Filters
- Berechnung der Koeffizienten der
Frequenzganggleichung unter
Berücksichtigung der Dämpfungsvorschrift
des analogen Filters
4. - Ermittlung der Übertragungsfunktion G(z) des
digitalen Filters mit bilinearer Transformation
(G(z) in Polynomform darstellen)
5. - Berechnung der Pol- und Nullstellen von G(p)
und G(z)
- Kontrolle der Pol- und Nullstellen
6. - Ermittlung des Frequenzganges G(jΩ)
- Darstellung von Amplituden- und Phasengang
- Kontrolle der Dämpfungsvorschrift ω gd
7. - Umformung der Übertragungsfunktion G(z)
8. - Ermittlung der Differenzengleichung
9. - Darstellung des Blockdiagramms
ω ga = 2
T A
tan(ω gd
T A
2 )
T
A
= π /ω max
G(p) p=jω = G(jω)
G(p) p
p= 2 z TA z
= 2 z − 1
z + 1
T A
− 1
+ 1
= G(z)
z = e jΩ , Ω = ωT A
G(jΩ)=|G(jΩ)|e jargG(jΩ)
G(z)= B B z −1
0
+
1
+ ...
−1
1 + Az + ...
Beispiel 3.23
Nach den Entwurfsschritten wird der Entwurf eines IIR-Filters beschrieben.
1. Vorgegeben ist ein einfaches analoges Tiefpaßfilter.
1
R
u e (t) C u a (t) G(p) =
1
1+ pRC
Bild 3.29: Analoges Tiefpaßfilter
Die Grenzfrequenz des digitalen Filters bei 3dB-Abfall soll ω gd = 10 3 s -1
betragen und die Abtastfrequenz verhält sich f A : f gd = 10:1.

Zeitdiskrete Systeme - 107 -
2.
2 T
ω ga = tan (ω
A
gd
T A
2 ) ; f 10 4
A = 10 f gd = Hz
2π
2
ω ga =
02 , π ⋅ ms tan (0,1π ) ; T A= 0,2 π ⋅ ms
ω ga = 1034,25 s -1 Ω g = ω gd T A = 0.2 π
3. Die Frequenzganggleichung des analogen Bezugsfilters ergibt sich aus
seiner Übertragungsfunktion unter 1.
1
G(
jω
a
) = 1 + jω
a
RC
Bei Festlegung der Grenzfrequenz des analogen Tiefpasses beim 3dB-
Abfall gilt
1 1
| G(
jω
)|
=
a ω
=
a = ω
,
ga
2
1+
( ω RC)
2
1
RC = = 0, 96688ms
.
ω
ga
4. G(p) G(z)
−1
21−
z
p =
−
TA
1+
z
1
z + 1
G(
z)
=
=
2 z −1
RC
1+
RC z(1
+ 2 ) + 1−
2
T z + 1
T
A
ga
1
A
A
RC
T
G(
z)
=
z + 1
=
z ⋅ 4,07768 − 2,07768
z + 1
za + a
0
1
5. Kontrolle der Null – und Polstellen
p – Bereich
G( p)
= 1
1 + p0,
96680ms
Gz ( ) =
z – Bereich
z + 1
z ⋅4, 07768 −2,
07768
Nullstellen: keine z N1 = -1
Polstellen: p P1 = -1034,25s -1 z P1 = 0,50953

- 108 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Die Null - und Polstellen beider Bereiche werden in
2 z −1
p =
T z + 1
eingesetzt und geprüft.
A
Nullstellen : keine =
Wie kann man diese Angaben deuten?
2 zN1
−1
T z + 1
→−∞
A
N1
Für G(p) liegt eine Nullstelle im
Unendlichen vor, wenn p → ± ∞
strebt.
Für z N1 = -1 strebt G(z) gegen - ∞ .
Polstellen:
p
−1034,25s
P1
− 1
=
2
=
T
A
z
z
P1
P1
−1
+ 1
1034,25s
−1
Es ist einzusehen, daß in Abhängigkeit der Anzahl der Stellen
Rundungsfehler auftreten können. Aus der Kontrolle der Null- und
Polstellen ist abzulesen, daß die Transformation korrekt erfolgte.
6. Aus der Übertragungsfunktion G(z) ist der Frequenzgang und daraus der
Amplituden- und Phasengang berechenbar.
Gz ( ) z= e
jΩ = G( jΩ)
=
Amplitudengang
j
e
ae
Ω
+ 1
+ a
jΩ
0 1
| G( jΩ)|
=
1 + cosΩ
1
2 2
( a0
+ a1
) + a0a1cosΩ
2
; Ω = ωT A
Phasengang im Bereich von 0 < Ω < π
( a1
− a0
)sin Ω
ϕ ( Ω)
= arctan
( a + a )(1 + cosΩ)
1
0

Zeitdiskrete Systeme - 109 -
|G(jΩ)|
argG(jΩ)
Bild 3.30: Amplituden- und Phasengang des IIR-Filters
Ω
Die normierte Grenzfrequenz liegt bei Ω gd = ω gd T A = 0,2π, an dieser
Stelle ist ein Abfall des Amplitudengangs auf 1/ 2 bzw. von 3dB
abzulesen, so wie gewünscht. Die Flanke ist bezüglich ihrer Steilheit noch
verbesserbar, dazu sind aber Filter höherer Ordnung notwendig.
1 1
1
−1
z + 1 1 + z a0 a z −
+
0
7. Gz ( ) = =
−1
=
za0 + a1
a0 + a1z
a1
1
1 +
a z −
0
−1
0, 24523 + 0,
24523⋅z
Gz ( ) =
−1 = B B z −1
0
+
1
− 1
1 − 0,
50952z
1+
Az
8. Aus der Übertragungsfunktion ist die Differenzengleichung durch
Rücktransformation in den Zeitbereich unter Nutzung des Verschiebungsund
Linearitätssatzes der z – Transformation zu ermitteln.
Z -1 { X a (z) + A 1 z -1 X a (z) } = Z -1 { B 0 X e (z) + B 1 z -1 X e (z) }
x a (kT A ) + A 1 x a [(k-1)T A ] = B 0 x e (kT A ) + B 1 x e [(k-1)T A ]
9. Die Umsetzung der Differenzengleichung in ein Blockdiagramm zeigt das
rekursive System, das das gesuchte digitale Filter darstellt.
1

- 110 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Bild 3.31: Blockdiagramm des IIR-Filters
3.6.3 Entwurf von FIR – Filtern mit der Fenstermethode
Beim Entwurf dieser Filter liegt nicht wie bei den IIR-Filtern ein
zeitkontinuierliches Analogfilter zugrunde, sondern es wird direkt die
gewünschte Übertragungsfunktion beziehungsweise der Frequenzgang des
zeitdiskreten Systems durch die Entwurfsmethoden approximiert. Der Entwurf
ist meist so angelegt, daß ein linearer Phasenverlauf des Filters entsteht. Da es
sich hier um ein System mit endlicher Impulsantwort handelt, ist ein FIR-Filter
stets stabil. Die Differenzengleichung eines FIR-Systems lautet
bekanntermaßen
x a (kT A ) =
m
Σ b j x e [(k-j)T A ] (3.34)
j=0
mit m als Ordnung des Filters.
Der Entwurf von FIR-Filtern mittels Fenstermethode ist ein relativ einfaches
Verfahren, die Entwurfsschritte werden nachfolgend beschrieben.
Entwurfsschritte
1. Vorgabe eines gewünschten
Frequenzganges G i (jΩ)
G i
( jΩ)
ϕ i
( Ω)
Ω
Ω

Zeitdiskrete Systeme - 111 -
2. Ermittlung Impulsantwort
Die entstehende Impulsfolge dieses
vorgegebenen Systems wird
unendlich und nichtkausal sein.
1
i
Gi
( jΩ)
e
2π
π
{ g ( kTA
)} = ∫
g i
−π
j Ω k
dΩ
kT A
3. Festlegung einer kausalen
Impulsantwort mit endlicher Dauer
durch Fensterung
Die Form der Fenster kann
verschieden sein. Im Anschluß an die
Entwurfsschritte sind häufig
verwendete Fensterfunktionen
aufgeführt. Die Verwendung
verschiedener Fenster hat den Sinn,
daß durch die Fensterung ein weniger
abruptes Abschneiden der
Impulsantwort erfolgt. Die weichen
Übergänge an den
Impulsantwortgrenzen haben
geringeres Überschwingen des
Amplitudenganges zur Folge. Bei der
Festlegung des Fensters ist weiterhin
zu berücksichtigen, daß ein linearer
Phasengang erwünscht ist. So muß
die Impulsantwort mit endlicher
Länge symmetrisch oder antimetrisch
sein.
4. Ermittlung des Frequenzganges für
diese Impulsantwort mit endlicher
Dauer
Gegebenenfalls sind die Schritte 3
und 4 zu wiederholen, wenn G(jΩ) zu
stark vom Wunschfrequenzgang
G i (jΩ) abweicht. Einmal kann eine
Vergrößerung des Fensters und damit
eine Verlängerung der Impulsantwort
zu steileren Übergängen zwischen
Sperr- und Durchlaßbereich führen,
zum anderen kann durch ein anderes
Fenster das Überschwingen im
Amplitudengang beeinflußt werden.
Rechteckfenster
w
{ g kT )} = { g ( kT )}{ w(
kT )}
(
A i A
A
w g i
M −1
G ( jΩ ) = ∑ gi(
kTA)
w(
kTA)
e
k = 0
M-1
G ( jΩ)
= | G ( jΩ)
| e
kT A
kTA
M-Länge der Impulsantwort
G( jΩ)
ϕ(
Ω)
jϕ ( Ω)
Ω
Ω
− j Ω k

- 112 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
5. Ermittlung der Differenzengleichung x a (kT A ) =
b 0 x e (kT A ) + ... + b n x e [(k-m)T A ]
m - Grad des Filters
m = M-1
6. Darstellung des Blockdiagramms
Zur Verdeutlichung dieses Entwurfsablaufes wird anschließend ein Beispiel
besprochen. Um hier den Rechenaufwand noch in Grenzen zu halten, wird ein
FIR-Filter geringen Grades gewählt. Das Entwerfen eines Filters höherer
Ordnung läuft nach demselben Mechanismus ab, ist aber wesentlich
aufwendiger. Es existieren dazu genügend Programme, die diese
zeitaufwendige Rechenoperation erledigen. Hier folgt das „von Hand“
nachvollziehbare Beispiel
Beispiel 3.24
1. Es ist ein Tiefpaß 6. Ordnung zu entwerfen. Die gewünschte
Frequenzganggleichung lautet:
G i (jΩ) =
− jΩa
⎧ e für | Ω | ≤ Ω
g
; Ω
g
= 1
⎨
⎩0
sonst
Daraus ergibt sich für den Amplitudengang und Phasengang
| G ( jΩ)
| =
i
⎧ 1 für | Ω | ≤ Ω
g
; Ω
g
= 1
⎨
⎩0
sonst
G i
( jΩ)
-Ω g Ω g Ω
( ) Ω ϕ i
-Ω g Ω g Ω

Zeitdiskrete Systeme - 113 -
⎧ − a Ω für | Ω | ≤ Ω
g
; Ω
g
= 1
ϕ
i
( Ω)
= ⎨
⎩ 0 sonst
Bild 3.32: Amplituden- und Phasengang des gewünschten FIR-Filters
2. Berechnung der zu diesem idealen Frequenzgang gehörenden
Impulsantwort
π
1
i
Gi
( jΩ)
2π
−π
{ g ( kTA
)} = ∫
e
j Ω k
dΩ
{ g ( kT )}
i
A
=
1
2π
Ω g
∫
e
−Ω g
− jΩ
a
e
j Ω k
dΩ =
1
2π
1
j(
k − a)
e
j Ω ( k −a)
ω T
g
g
A
− ω T
A
= Ω
g
= −Ω
g
{ g kT )}
⎧ 1
⎫
= ⎨ sin[( k − a)
ω
g
T ] ⎬
⎩ ( k − a)
π
⎭
i
(
A
A
Es ergibt sich eine Impulsantwort mit unendlicher Dauer.
3. Durch Multiplikation der idealen Impulsantwort mit einem
Rechteckfenster wird diese auf eine endliche Länge begrenzt. Die Größe
des Fensters hängt ab von der Vorgabe des Grades des Filters, hier m = 6.
Da ein linearer Phasengang gewünscht ist, muß die endliche
Impulsantwort symmetrisch oder antimetrisch sein. Die unendliche
Impulsantwort ist zu k = a symmetrisch. Für endliche Impulsantworten
mit symmetrischem Verlauf gilt
g(kT A ) = g [(M-1-k)T A ]
sin[( k − a)
ω T ]
g
( k − a)
π
A
=
sin[( M −1−
k − a)
ω T ]
( M −1−
k − a)
π
g
A
mit ω g T A = 1
Zur Festlegung von a wird obige Glg. genutzt. Die Gleichung hat eine
wahre Aussage, wenn gilt
-(k-a)= M-1-k-a.
Mit Vorgabe des Grades m = 6 des zu entwerfenden Filters ergibt sich
zwangsläufig für die Länge der Impulsantwort M = 7, daraus resultiert
a = M −1 = 3.
2
Der Symmetriepunkt der endlichen Impulsantwort liegt bei k = a = 3.

- 114 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Die endliche Impulsantwort wird berechnet mit
⎧ 1
⎨
⎩(
k − 3) π
{ g( kT )} = sin [( k − 3) T ] für 0 ≤ k ≤ 6
A
ω g
{g(kT A )}={0,01497; 0,14472; 0,26786; 1/π; 0,26786; 0,14472; 0,01497}
4. Der Frequenzgang ergibt sich wegen der endlichen und symmetrischen
Impulsantwort nach Glg. (3.28a) und Glg.(3.29)
A
⎫
⎬
⎭
G(jΩ) = |G(jΩ)| e jargG(jΩ) = |G p (Ω)| e jϕ(Ω)
Amplitudengang
|G(jΩ)| = |G p (Ω)| = |0,31831 + 2(0,01497cos(3Ω) + 0,14472 cos(2Ω) +
+ 0,26786cos(Ω))|
Phasengang
⎧− Ω ⋅3
ϕ(
Ω)
= ⎨
⎩− Ω ⋅3
+ π
für G
p
( Ω)
≥ 0
für G ( Ω)
< 0
p
Gruppenlaufzeit
τ(Ω) = 3
|G(jΩ)|
argG(jΩ)
Ω
Bild 3.33: Frequenzgang eines FIR-TP 6. Ordnung bei Verwendung eines
Rechteckfensters

Zeitdiskrete Systeme - 115 -
5. Die unter dem 3. Entwurfsschritt ermittelte Impulsantwort liefert die
Differenzengleichung laut Glg. (3.34)
x a (kT A ) = 0,01497x e (kT A ) + 0,14472x e [(k-1)T A ] + 0,26786x e [(k-2)T A ] +
+ 0,31831x e [(k-3)T A ] + 0,26786x e [(k-4)T A ] +
+ 0,14472x e [(k-5)T A ] + 0,01497x e [(k-6)T A ]
6. Das zur Differenzengleichung gehörende Blockdiagramm hat eine
Transversalstruktur, das Ausgangssignal wird nur durch die
Eingangssignale bestimmt.
x e (kT A )
T T T T T T
0,01497
x a (kT A )
0,14472
0,26786
0,31831
Bild 3.34: Blockdiagramm des FIR-Filters 6. Ordnung
Verwendet man statt des Rechteckfensters ein anderes, so ist ein anderes
Verhalten des Frequenzgangs zu beobachten. Im Bild ist der Frequenzgang des
entworfenen Filters unter Verwendung eines Hann-Fensters dargestellt. Beim
Entwurf wird unter dem Entwurfsschritt 3 die Impulsantwort {g i (kT A )} mit
2π
k
{w(kT A )}= 0,5 – 0,5 cos ( )
6
gewichtet. Für die weiteren Entwurfsschritte ist diese Impulsantwort
{g(kT A )} = {0; 0,03618; 0,20089; 0,31831; 0,20089; 0,03618; 0}
die Grundlage und liefert den im Bild 3.35 dargestellten Frequenzgang.
Festzustellen ist, daß zwar die Schwingneigung geringer ist, aber der Übergang
vom Durchlaß- in den Sperrbereich flacher geworden ist.

- 116 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
|G(jΩ)|
argG(jΩ)
Ω
Bild 3.35: Frequenzgang des FIR-TP 6. Ordnung bei Verwendung eines Hann-Fensters
Betrachtet man die Amplitudengänge beider FIR-Filter, muß man feststellen,
daß die gewünschte Grenzfrequenz nicht erreicht wurde. Der Filterentwurf
wurde wiederholt bei Erhöhung der Filterordnung. Im nachfolgenden Bild sind
die Amplitudengänge zweier FIR-Filter mit einer Filterordnung von 63
dargestellt. Die Berechnung erfolgte mit entsprechenden MATLAB-Befehlen.
|G(j Ω )|
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Rechteckfenster
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
|G(j Ω )|
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Hannfenster
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Ω
Bild 3.36: Amplitudengänge von FIR-Tiefpässen 255.Ordnung

Zeitdiskrete Systeme - 117 -
Durch Erhöhung der Filterordnung ergab sich eine größere Flankensteilheit
und die gewünschte Grenzfrequenz wurde erreicht. Bei die Verwendung des
Hann-Fensters reduzierte sich die Schwingneigung.
Häufig verwendete Fensterfunktionen
Bartlett-Fenster
Bild 3.37: Fensterfunktionen
⎧ 2k
⎪M
−1
⎪ 2k
⎪2
−
{ w(
k)}
= ⎨ M −1
⎪
⎪
0
⎪
⎩
M −1
für 0 ≤ k ≤
2
M −1
für < k ≤ M −1
2
sonst
Hann-Fenster
⎧
2π
k
⎪0.5
− 0,5cos( )
{ w(
k)}
= ⎨
M −1
⎪⎩ 0
für 0 ≤ k ≤ M
sonst
−1

- 118 - Zeitdiskrete Signale und Systeme
Hamm-Fenster
⎧
2π
k
⎪0.54
− 0,46cos( )
{ w(
k)}
= ⎨
M −1
⎪⎩ 0
für 0 ≤ k ≤ M
sonst
−1
Blackman-Fenster
⎧
2π
k
4π
⎪0.42
− 0,5cos( ) + 0,08cos( )
{ w(
k)}
= ⎨
M −1
M −1
⎪⎩
0
für 0 ≤ k ≤ M
sonst
−1
Übungsaufgaben
3.16 Es sind die Koeffizienten eines digitalen nichtrekursiven Filters 7.
Ordnung unter Verwendung eines Rechteckfensters zu berechnen.
Ausgangspunkt ist der gewünschte Frequenzgang eines idealen Tiefpasses
⎧ e
G i (jΩ) = ⎨
⎩0
− jΩa
für | Ω | ≤ Ω
sonst
g
mit f g = 20kHz und f A = 200kHz. Stellen Sie mit MATLAB den Amplituden –
und Phasengang sowie die Gruppenlaufzeit dar.
3.17 Berechnen Sie ein digitales rekursives Filter. Vorgegeben wird ein
analoges Bezugsfilter mit der Übertragungsfunktion
1
G(
p)
=
τ p + 1
und der Dämpfungsvorschrift
| G( jω ))| = 1 2 .
ga
Die gewünschte Grenzfrequenz des digitalen rekursiven Filters beträgt
f gd = 20kHz und die Abtastfrequenz f A = 200kHz. Ermitteln Sie die
Übertragungsfunktion des digitalen Filters mit Hilfe der bilinearen
Transformation.
Stellen Sie mit MATLAB den Amplituden – und Phasengang sowie die
Gruppenlaufzeit dar.

Anhang - 119 -
Anhang
Beispiel 2.9
MATLAB-Programm
% Fouriertransformierte eines Abtastsignals (Bsp29.m)
f = -1:0.0001:1;
fA=1
X=1/sqrt(2)*exp(-j*2*pi*f/fA)+...
...exp(-j*2*2*pi*f/fA)+1/sqrt(2)*exp(-j*3*2*pi*f/fA)-...
1/sqrt(2)*exp(-j*2*5*pi*f/fA)-exp(-j*2*6*pi*f/fA)-...
...1/sqrt(2)*exp(-j*2*7*pi*f/fA);
figure(1)
subplot (2,1,1)
plot(f,abs(X))
grid on
xlabel('f/kHz')
ylabel('|X(jf/fA)|')
text(0.45,-1,'{fA/2}')
text(-0.55,-1,'{-fA/2}')
subplot (2,1,2)
plot(f,angle(X))
grid on
ylabel('arg(X(jf/fA))')
xlabel('f/kHz')
text(0.45,-5.5,'{fA/2}')
text(-0.55,-5.5,'{-fA/2}')
%Amplitudenspektrum
%Phasespektrum
Beispiel 2.10
MATLAB-Programm
% Fouriertransformierte eines Abtastsignals
f = -.2:0.001:.2;
subplot (2,1,1)
FX = (1./sqrt(2))*exp(-j*2*pi*f)-exp(-j*2*pi*f*6); % F.-Transf.
%Xp = (sqrt(2))^-1*cos(2*pi*f)- cos(12*pi*f)+j*[(sqrt(2)^1)*...
%sin(2*pi*f)+ sin(12*pi*f)]; %Pseudobetrag
X = abs(FX);
%Amplitudenspektrum
%X = abs(Xp); %Amplitudespektrum

- 120 - Zeidiskrete Signale und Systeme
plot(f,X)
grid on
ylabel('|X(jf/fA)|')
xlabel('f/kHz')
%set(gca,'ytick',[-4 0 4])
Beispiel 2.13
Simulink-Modell
MATLAB-Programm
N=8;p=fft(simout,N);figure(1);subplot(3,1,1);bar(0:(N-
1),imag(p),0.02);subplot(3,1,2);bar(0:(N-1),abs(p),0.02);
subplot(3,1,3);bar(0:(N-1),sign(round(abs(p))).*angle(p),0.02);
Beispiel 2.14
Simulink-Modell
MATLAB-Programm
N=8;p=fft(simout,N);figure(1);bar(0:(N-1),imag(p),0.02)
Beispiel 3.24
b=fir1(255,1/pi,boxcar(256),'noscale');
[g,f]=freqz(b,1,512,2*pi);figure(2);subplot(2,1,1);
plot(f,abs(g));
b=fir1(255,1/pi,hanning(256),'noscale');
[g,f]=freqz(b,1,512,2*pi);subplot(2,1,2);plot(f,abs(g))

Lösungen - 121 -
Lösungen
Aufgabe 2.1
a)
{ y(
kT
A
⎧ 1+
k
)} = ⎨
⎩ 0
für
für
k
k
≥ 0
< 0
b)
⎧2
für k = 0,1
⎪
{ y(
kTA)}
= ⎨1
für k = 2, 3
⎪
⎩0
sonst
c)
{ y(
kT
A
k
⎧2
)} = ⎨
⎩ 0
für
für
k
k
≥ 0
< 0
d)
{ y(
kT
A
⎧4
)} = ⎨
⎩0
für
für
k
k
= 2
≠ 2
e)
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
cos π k
5
1 0,8 0,3 -0,3 -0,8 -1 -0,8 -0,3 0,3 0,8
{ y(
kT
A
⎧ π
⎪cos
k
)} = ⎨
⎪⎩ 0 5
für
0 ≤ k ≤ 9
sonst

- 122 - Zeidiskrete Signale und Systeme
Aufgabe 2.2
{x(kT A )} ∗ {δ[(k-1)T A ]} = {0, 1, 1, 1, 1}
Aufgabe 2.3
a) {x 1 (kT A )} ∗ {x 2 (kT A )} = {4, 13, 28, 27, 18}
b) {x 1 (kT A )} ∗ {x 2 (kT A )} = {31, 31, 28}
Aufgabe 2.4
a),d)
Scope
Sine Wave
Scope2
1.2
Product
Zero-Order
Hold
0.444s 2+1.333s+1
Transfer Fcn
Scope3
Sine Wave1
Scope1
Scope4
b) x(t) = sin(0,1s -1 t) sin(1s -1 t) = ½ [cos(0,9s -1 t) – cos(1,1s -1 t)],ω 1 = 0,9s -1 ,
ω 2 = 1,1s -1
c) Es wird gewählt ω A = 3s -1 , {x(kT A )} = {0; 0,18; -0,35; 0; 0,64; ...}

Lösungen - 123 -
d) abgetastetes und rekonstruiertes Signal
e) {x(kT A )}= {0; -0,46; -0,46; 0,65; 0,83; ...}
f) abgetastetes und rekonstruiertes Signal
Aufgabe 2.5
−1
T
a), b) A
z
−1
2
(1 − z )
x
2T A
T A
0 T A 2T A kT A
Aufgabe 2.6
z
−1
1
d(
1−
z
dz
{ r(
kT )}
d
d(
kT
A
A
)
−1
−1
) T
A
= ε(
kT
−1
z TA
=
−1
(1 − z )
A
)
2
;
Z
−1
−1
⎧ z TA
⎨ −1
⎩(1
− z )
2
⎫
⎬
⎭
= { kT ε(
kT
A
A
)} =
{ r(
kT )}
A
Aufgabe 2.7
{k(k-1)ε(kT A )}

- 124 - Zeidiskrete Signale und Systeme
Aufgabe 2.8
a)
x
1
-1
0 2 4 6 8
kT A /ms
b)
X(jF) = e -j2πF – e -j6πF
X(jF) = e –j4πF ( e j2πF -e –j2πF ) = e -j4π F ⋅ 2j sin (2πF)
| X(jF) | = |X p (F) | = | 2 sin(2πF) |
⎧π
⎪ − 4πF
arg X ( jF)
= ⎨
2
π
⎪−
− 4πF
⎩ 2
für
für
X
X
P
p
( F)
≥ 0
( F)
< 0
|X(jf/f A )|
2
1.5
1
0.5
0
argX(jf/f A )
-0.5
-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
-fA/2
f/kHz
fA/2
5
2.5
0
-2.5
-5
-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
-fA/2
f/kHz
fA/2
Aufgabe 2.9
a) periodische Fortsetzung des Signals nach Aufgabe 2.8 a)
b) {X(ji∆f)} = {0; -2j; 0; 2j}

Lösungen - 125 -
c)
Im{X(ji∆f)}
2
Periode des Spektrums
-4 0 0,25 0,5
f A /2 f A
-2
i∆f/kHz
|X(ji∆f)|
2
Periode des Spektrums
-4 0 0,25 0,5
f A /2 f A
-2
i∆f/kHz
argX(ji∆f)
π/2
Periode des Spektrums
-π/2
0 0,25 0,5
f A /2 f A
i∆f/kHz
Aufgabe 2.10
a) ∆f = 0,125KHz
b)
f/kHz -0,25 -0,125 0 0,125 0,25
|X(ji∆f)| 0 2 0 2 0
arg X(ji∆f) ±π/2 π/2 m π/2 -π/2 ±π/2
Re{ X(ji∆f)} 0 0 0 0 0
Im{ X(ji∆f)} 0 2j 0 -2j 0
X(jf) abgetastet =X(ji∆f)

- 126 - Zeidiskrete Signale und Systeme
Aufgabe 2.11
x (0)
x (T A )
-1
X(0)
X (j2∆f )
x (2T A )
-1
X (j∆f )
x (3T A ) -1
e -jπ/2
-1
X (j3∆f )
Aufgabe 2.12
a)
10
|X(ji ∆ f)|
8
6
4
2
b)
|X(ji f)| ∆
0
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16
i
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
i
c) Aus dem Spektrum mit dem Zeitfenster von 16 ms sind die das Signal
repräsentierenden Frequenzanteile ablesbar.
i = 2, ∆f = 0,0625kHz, i∆f = 0,125kHz, T e = 8ms
Die diskrete Frequenz ist im Vergleich zum Beispiel 2.13 kleiner.
Das Spektrum mit dem Zeitfenster von 12 ms weicht völlig ab, da durch
die Lage des Zeitfensters ein anderes periodisches Signal vorgetäuscht wird.
Aufgabe 3.1
a) nicht linear b) linear

Lösungen - 127 -
Aufgabe 3.2
a) zeitinvariant b) zeitvariant
Aufgabe 3.3
{ xe( kTA )}
{ xa( kTA
)}
f
a) System ist kausal.
b) System ist nichtkausal.
Aufgabe 3.4
a) System ist instabil.

- 128 - Zeidiskrete Signale und Systeme
b) System ist stabil.
Aufgabe 3.5
{x a (kT A )} = { 1 ; 0 ; 0 ; 1 ; 0 ; 0 ; 1 ; ... }
Aufgabe 3.6
a)
b)

Lösungen - 129 -
Aufgabe 3.7
a) x a (kT A ) + x a [(k-1)T A ] - x a [(k-2)T A ] = x e [(k-1)T A ]
b) {g(kT A )} = { 0; 1; -1; 2; -3; 5; -8; ... }
c) {x a (kT A )} = { 0; 0; 1; 1; 3; 2; 6; ... }
Aufgabe 3.8
a) x a (kT A ) + 0,8x a [(k-2)T A ] = 0,2x e (kT A )
b) {g(kT A )} = { 0,2; 0; -0,16; 0; 0,128; 0; ... }
Aufgabe 3.9
a) x a (kT A ) = x e (kT A ) + 2x e [(k-1)T A ]
b) {x a (kT A )} = { 1; 4; 4}
Aufgabe3.10
{x a (kT A )} = {(- k/2) (k – 1)ε(kT A )} = {0; 0; -1; -3; -6;...}
Aufgabe 3.11
−1
1−
2 z
a) G ( z)
=
−1
1+
0,5 z
=
z − 2
z + 0,5
b)
Im{z}
1
-1 1 Re{z}
-1
c) stabil

- 130 - Zeidiskrete Signale und Systeme
Aufgabe 3.12
a) z N1,2 = 0; z p1 = 0,5; z p2 = 2.
b) instabil
Aufgabe 3.13
{g(kT A )} = {(Az P1 k-1 +Bz P2 k-1 )ε[(k-1)T A ]}
A = 0,724, B = 0,276, z P1 = -1,618, z P2 = 0,618
Aufgabe 3.14
0,2
0,8sin(2Ω)
G ( jΩ)
=
, ϕ(
Ω)
= arctan
1,64 + 1,6cos(2Ω)
1+
0,8cos(2Ω)
|G(jΩ)|
argG(jΩ)
Ω
Aufgabe 3.15
|G(jΩ)|
argG(jΩ)
Ω

Lösungen - 131 -
|G(jΩ)| = |G p (Ω)| = |0.31831 + 2(0,01497cos(3Ω) + 0,14472 cos(2Ω) +
+ 0,26786cos(Ω))|
⎧ − Ω ⋅3
ϕ(
Ω)
= argG(
jΩ)
= ⎨
⎩− Ω ⋅3
+ π
für G ( Ω)
≥ 0
p
für G ( Ω)
< 0
p
Aufgabe 3.16
G(jΩ) = 0,07358 + 0,12732 e -jΩ + 0,17168 e -j2Ω + 0,19673 e -j3Ω +
+ 0,19673 e -j4Ω + 0,17168 e -j5Ω + 0,12732 e -j6Ω + 0,07358 x e e -j7Ω
|G(jΩ)|
argG(jΩ)
Ω
Aufgabe 3.17
G
1+
z
1−
0,50952z
−1
( z)
= 0,24524
−1
|G(jΩ)|
argG(jΩ)
Ω

- 132 - Zeidiskrete Signale und Systeme

Literaturverzeichnis - 133 -
Literaturverzeichnis
[1] Harthun, N. MATLAB-Starthilfe
Unterrichtsblätter, voraussichtlich 1999
[2] Jentschel, H.-J. Digitale Signalverarbeitung
1. Lehrbrief Zeitdiskrete Signale
2. Lehrbrief Zeitdiskrete Systeme
Studienliteratur Elektrotechnik
VMS Verlag Modernes Studieren Hamburg-
Dresden GmbH, 1995
[3] Johnson, J. H. Digitale Signalverarbeitung
Carl Hanser Verlag München Wien 1991
[4] Klehn, K.; Mathematik III, Lehrbrief für den dualen
Ruhland, W.; Studiengang
Linke, A.
Telekommunikationsinformatiker
Deutsche Telekom AG, FH Leipzig 1999
[5] Meyer, M. Signalverarbeitung
Friedr. Vieweg &Sohn Braunschweig/Wiesbaden
1998
[6] Oppeheim, A.V.; Zeitdiskrete Signalverarbeitung
Schafer, R.W. R. Oldenbourg Verlag GmbH, München 1995
[7] Werner, M. Nachrichtentechnik
Friedr. Vieweg &Sohn Braunschweig/Wiesbaden
1998