Signale und Systeme - Schaltvorgänge

Signale und Systeme - Schaltvorgänge
Mario Thurm & Thomas Kaminski
08. Januar 2003
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1.3 Vorbereitende Aufgaben
1.3.1 Tief- und Hochpassschaltung
k = T astgrad = 0.2
τ = Systemzeitkonstante = 20µs
k = t i
T ⇒ f impulsfolge = k t i
= 0.2
20µs = 104 ∗ s −1 = 10kHz
1.3.2 Begriffserklärung
• Anstiegszeit(t r ): Ist eine Kenngröße für die zeitliche Signaländerung von 10% auf 90% des
Sprungwertes.
• Dachabfall(d): Gibt an um welchen Wert sich die Signalamplitude während der Impulsdauer
ändert (bei Hochpass Verformung des Impulsdachs).
• Impulsdauer(t i ): Ist die Zeit in der das Signal über 50% des Maximalamplitude liegt.
• Überschwingen(ü): Ist die Verzerrung am Beginn des Impulses (Amplitude > û).
1.3.3 RC-Tiefpass
Sprungantwort:
Übertragungsfunktion: G(p) = 1
pCR+1
{
0 fuer t < 0
Eingangsfunktion: x e =
U max fuer t > 0
im Bildbereich:
X e (p) = 1 p ∗ U max
Ausgangsfunktion:
X a (p) = G(p) ∗ X e (p)
im Zeitbereich (Korrespondenz 12)
Rechteckimpulsantwort:
x a (t) = U max
(
1 − e
− t
CR
)
= h(t)
Die Rechteckfunktion erhält man durch eine Sprungfunktion (U e1 (p)) und eine neg. Verschiebung
einer Sprungfunktion.
Übertragungsfunktion und Ausgangsfunktion für ((U e1 (p), siehe Sprungantwort oben)
Für den Bereich t > t i wird eine neue Funktion erstellt, dabei wird die Verschiebung im Bildbereich
mit e −pt i
ausgedrückt
Im Anschluß werden beide addiert (U e (p) = U e1 (p) + U e2 (p)).
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Ausgangsfunktion (Bildbereich): U a (p) = U e (p) ∗ G(p)
( )
U a (p) = U 1 max p − e−pt i 1
p
∗
pCR+1
(
)
U max 1 − e − t
CR − 1 + e − (t−t i )
CR
Rücktransformation:
(
)
U a (t) = U max ∗ 1 − e − t
CR − 1 + e − t−t i
CR
1.3.4 CR-RL-Hochpass
CR-Hochpass:
Sprungantwort:
Übertragungsfunktion: G(p) =
Eingangsfunktion:
X e (p) = U max
p
Ausgangsfunktion:
X a (p) = G(p) ∗ X e (p) =
pCR
pCR+1
pCR
pCR+1 ∗ Umax
p
im Zeitbereich (Korrespondenz 8)
x a (t) = U max ∗ CR ∗ 1
CR ∗ e− t
RC
Rechteckimpulsantwort:
(
)
U a = U e ∗ e − 1 t
RC − e
− 1 (t−t 0 )
RC
Übertragungsfunktion: G(p) =
x a (t) = U max ∗ e − t
RC
pCR
pCR+1
(U e (p) = U e1 (p) + U e2 (p)) (U e (p) = U max
p
Ausgangsfunktion:
Korrespondenz 8:
U a (p) = U max ∗ CR ∗ 1
CR ∗ e− t
CR
= h(t)
U a (t) = U max ∗ e − t
CR
Verschiebung:
( )
Eingangsfunktion: U e (p) = U 1 max p − 1 p ∗ e−pt i
3

Ausgangsfunktion:
(
)
U a (t) = U max e − t
CR − e − (t−t i )
CR
RL-Hochpass:
Sprungantwort:
U a = U e ∗ e − R L
Rechteckimpulsantwort:
(
U a = U e ∗ e − R t
L − e
− R L
t
(t−t 0 ) )
1.3.5 Laplace Transformation Sprungantwort
U c (t) = LC
[
mit γ =
√ (
R
L
1 − e− R 2L t
γ
) 3
4
− 1
LC
(
R
2L sinh γt + γ cosh γt ) ] ∗ U max
LC
1.3.6 Sprungantwort u c (t)
allgemeiner Fall:
[ (
)]
u a (t) = h(t) = U max 1 − e −δt cosh(ωt) + δ ω ∗ sinh(ωt)
Aperiodischer Fall:
( ) 2
für R
2L >
1
LC ⇒ δ2 > ω0
2 [ (
u c (t) = h(t) = U max 1 − e −δt
cosh(ωt) + δ ω ∗ sinh(ωt) )]
Periodischer ( ) Fall:
2
für R
2L <
1
LC ⇒ δ2 < ω0
2 [ ( )]
u c (t) = h(t) = U max 1 − e −δt cos(ω e t) + δ ω e
∗ sin(ωt)
Aperiodische Grenzfall:
für ω = 0
u c (t) = u c (t) = h(t) = U max
[
1 − e −δt (1 + δt) ] 4

1.3.7 aperiodischer Grenzfall
p 1/2 = − R 2L ± √ √√√ (
(
R
2L) 2 −
1
LC
)
für den aperiodischen Grenzfall gilt:
(
R
2L
) 2
√
√
=
1
LC ⇒ R = 2L ∗ 1
LC ⇒ R = 2 ∗ 90mH ∗ 1
90mH∗10nF = 6kΩ
1.3.8
Bilder
3 Auswertung
2.3.2.1
Der RC-Tiefpass mit einer Systemzeitkonstanten von τ = 20µs liefert bei einer f = 1kHz
die vollständige Sprungantwort. Begründen kann man diese Aussage damit, dass schon nach
5 ∗ τ = 100µs der Ladevorgang des Kondensators nahezu vollständig abgeschlossen ist. Die Impulsdauer
(t i = 200µs) ist doppelt so groß wie die vollständige Ladezeitvorgang. Somit ist bei
einer Systemzeitkonstanten von τ = 20µs eine vollständige Sprungantwort realisierbar. Dagegen
ist dies bei einer Zeitkonstanten von τ = 100µs nicht möglich (siehe Anhang).
Impulsdauer und Anstiegszeit:
Gleichung τ = 20µs τ = 100µs
( )
t impuls = τ ∗ ln e t i
τ + 1 berechnet: t impuls = 200µs
gemessen: t impuls = 200µs
( t i
)
t r = τ ∗ ln 9∗e τ +1
+ 1
e t i τ +9
berechnet: t r = 44µs gemessen:
t r = 40µs
Tabelle 1: ja ja.
berechnet: t impuls = 212µs
gemessen: t impuls = 217µs
berechnet: t r = 142µs gemessen:
t r = 149µs
2.3.2.2
Das Netzwerk besitzt die Eigenschaften eines Tiefpasses.
(
û a = û e ∗ 1 − e − t i
τ )
τ = 100µs und t i = 20µs
berechnet: û a = 362mV ⇒ gemessen: û a = 300mV
2.3.3.1
5

Die Oszillogramme des CR- und RL-Gliedes weisen kaum Unterschiede auf, da sie beide als
Hochpass fungieren. Die Zeitkonstante des Systems entspricht dem Zeitpunkt, in dem die Ausgangsspannung
nur noch 37% der Eingangsspannung entspricht. Unter Verwendung der Cursor
wurde eine Zeitkonstante von τ = 21µs bestimmt. Die minimale Abweichung zur gegebenen
Systemzeitkonstanten liegt in der Genauigkeit der Oszilloskopanzeige begründet (siehe Anhang).
2.3.3.2
Aufgabe ist die Impulsdauer t i solange zu verändern, bis der Dachabfall d = 10% beträgt.
Das heißt, dass die Ausgangsspannung zum Zeitpunkt t i 90% der Eingangsspannung betragen
soll ⇒ u a (t i ) = 0, 9 ∗ u e . Dies erreicht man durch eine Änderung des Tastgrades, bis sich der
erwünschte Dachabfall von 10% einstellt.
τ = 90µs und t i = τ ∗ k
bei einer Impulsdauer von t i = 6, 9µs beträgt der Dachabfall d = 10% - die entsprechende
Ausgangsspannung u a ist 1, 838V groß.
2.3.3.3
Beim RL-Glied ist im Einschaltmoment die Spannung aufgrund der Induktivität kurzzeitig viel
größer als û e . Außer dieser Überhöhung gibt es keine Unterschiede im Verhalten der Schaltungen.
2.3.4.1 und 2.3.4.2
Der aperiodische Grenzfall, der im Oszillogramm 2.3.4.1 dargestellt ist, tritt bei einem Widerstandswert
von R = 6kΩ ein (Impulsdauer maximal, kein Überschwingen). Die Anstiegszeit
der Sprungantwort beträgt t r = 100µs. Für die aperiodische Dämpfung - siehe Oszillogramm
3.2.4.2 - wurde der Widerstand auf R = 10kΩ erhöht, die Anstiegszeit betrug t r = 200µs. Folglich
ist die Anstiegszeit doppelt so groß.
2.3.4.3
Durch die Verkleinerung des Widerstandes auf R = 1kΩ wird eine periodische Dämpfung realisiert.
Die Periodendauer der Schwingung beträgt ca. 200µs. Somit besitzt die Schwingfrequenz
einen Wert von 5kHz (siehe Abbildung).
2.3.4.4
Durch Variation von R auf 3, 3kΩ ergab sich ein Überschwingen in der Sprungantwort von 10%.
Demzufolge beeinflusst der Widerstand das Dämpfungsverhalten des Reihenschwingkreises. Die
Anstiegszeit beträgt dabei ca. 66µs.
2.3.4.5
Durch Variation der Impulsbreite - über den Tastgrad - wurde ein annährende Gleichheit der
(gedämpften) Schwingamplituden während der Impulsdauer und der Impulspause erreicht. Die
Begründung für diesen Sachverhalt kann von unserer Seite nicht erfolgen, da die statistische
Signifikanz - mittels Autokorellation - über die Standardabweichung der Residuen nicht bekannt
6

ist (siehe Abbildung).
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