Wissenswertes über das charakteristische Polynom

Wissenswertes über das charakteristische
Polynom
Zunächst einmal wollen wir die Frage klären, was man überhaupt unter einem Polynom
(bzw. unter einer Polynomfunktion) versteht:
Definition eines Polynoms:
Sei K ein Körper. Ein (formales) Polynom über K ist ein Ausdruck der Form
n
n−1
f ( x) = anx + an−
1x + ... + a0
für a0,..., an− 1,
an
∈ K und x eine Unbestimmte ist.
Die Zahlen a0,..., an− 1,
an
∈ K heißen die Koeffizienten des Polynoms f.
Der Grad eines Polynoms ist definiert als
deg( ) : = max( ∈ N | = 0) .
f i
0
a i
n
K[ x]: = { f = a x + a x + ... + a | f ist Polynom} ist die Menge aller Polynome über dem
n
n−1
n−1 0
Körper K.
0
Ein Polynom f ∈ K[ x]
ist also gegeben durch eine abbrechende Folge ( a , a , a ,...) ∈ K
N .
0 1 2
• Die Menge der Polynomfunktion K[ x ] ist daher ein Untervektorraum des Vektorraums
0
K N der Folgen mit Einträgen im Körper K.
Dabei ist die Addition komponentenweise definiert:
+ : K[ x] × K[ x] → K[ x], ( f , g)
֏ f + g
(Addition der Koeffizienten von f und g)
Die Skalarmultiplikation ist wie folgt definiert:
• : K × K[ x] → K[ x], ( λ, f ) ֏ λ f
(Multiplikation aller Koeffizienten von f mit λ )
Eine Polynomfunktion ist also dasselbe wie eine Linearkombination von 1, x, x², x ³,... .
Folglich ist B = (1, x, x², x³,...)
(Monome) eine abzählbar unendliche Basis vom Vektorraum
K[ x ] .
• Die Menge der Polynomfunktion K[ x ] bildet mit einer zusätzlich definierten
Multiplikation einen kommutativen und nullteilerfreien Ring
Die Multiplikation ist mit • : K[ x] × K[ x] → K[ x], ( f , g)
֏ fg definiert.
Um dies entsprechend auszurechnen, wendet man das Cauchyprodukt an:
n n 2n k
i j k
∑ i ∑ j ∑ k k ∑ i k i
i= 0 j= 0 k = 0 i=
0
fg = ( a x ) • ( b x ) = c x mit c : = a b −
Das Nullelement ist das Nullpolynom ( 0 = 0 • 1+ 0 • x + ... ).
Das Einselement lautet 1 = 1• 1+ 0 • x + ... .

Definition des charakteristischen Polynoms:
Sei A = ( a ) ∈ M
,
( K)
eine quadratische Matrix mit Einträgen im Körper K. Dann heißt
ij
n n
P : = det( A − x • E ) =
A
n
a − x a … a
1,1 1,2 1, n
⋮
a − x … a
2,2 2, n
⋮ … … ⋮
a … … a − x
n,1 n,
n
das charakteristische Polynom von A.
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte der Matrix A.
Definition der Ähnlichkeit von zwei Matrizen:
Zwei Matrizen A, B ∈ M
n,
n( K ) heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix S ∈ GLn
gibt mit
−1
B S AS
= .
Insbesondere ist eine quadratische Matrix diagonalisierbar genau dann, wenn sie ähnlich zu
einer Diagonalmatrix ist.
Ähnliche Matrizen haben dasselbe charakteristische Polynom und insbesondere dieselbe
Determinante!
Wenn wir die Frage beantworten sollen, ob ein Endomorphismus diagonalisierbar ist, es
aber keine darstellende Matrix gegeben ist, dann wählt man sich einfach eine bekannte
B
Basis B des Vektorraums und berechnet die darstellende Matrix A: = M ( ϕ)
und
diagonalisiert dann. Es ist dabei egal, welche Basis wir wählen. Es gilt:
P = P = det( A − ϕ
x • E )
A
n
B

Der Satz von Cayley-Hamilton:
Um diesen Satz einzuführen, benötigen wir etwas Vorarbeit:
Im Folgenden betrachten wir, für einen festen K-Vektorraum, die Menge R : = End ( V ) aller
K-linearen Endomorphismen von V. Ist V endlich-dimensional, so können wir V nach Wahl
n
einer Basis mit dem Standardvektorraum K und R mit dem Matrizenring M
,
( K )
identifizieren.
Sind ϕ,
φ ∈ R , so ist die Summe und das Produkt folgendermaßen definiert:
( ϕ + φ)( v) : = ϕ( v) + φ( v),( ϕ φ)( v) : = ϕ( φ( v))
Der schöne und erstaunliche Satz von Cayley-Hamilton:
Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, ϕ ∈ End ( V ) und P ϕ
das charakteristische
Polynom. Dann gilt P ϕ
( ϕ ) = 0 .
Beispiele:
K
n n
K
Beispiel 1:
⎛1 −1⎞
Sei A = ⎜ ⎟
⎝1 1 ⎠
die darstellende Matrix. Dann gilt P = x² − 2x
+ 2 .
A
Wir überprüfen dies:
⎛1 −1⎞⎛1 −1⎞ ⎛1 −1⎞ ⎛1 0⎞
PA
( A) = A² − 2A + 2En
= ⎜ 2 2
1 1
⎟⎜
1 1
⎟ − ⎜
1 1
⎟ + ⎜
0 1
⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 0 −2⎞ ⎛ 2 −2⎞ ⎛ 2 0⎞ ⎛0 0⎞
= ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 0
⎝ 2 0 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 0 2⎠ ⎝0 0⎠

Beispiel 2:
Sei x = c1 x
1
+ ... + c x , ∀ n > k (*) eine rekursiv definierte Folge und
n n−
k n−k
V = {( x , x ,...) ∈ K
N | (*)} .
1 2
ϕ : V →V ,( x , x ,...) ֏ ( x , x ,...) der Verschiebeendomorphismus.
Sei
1 2 2 3
( i) ( i) ( i)
⎧1,
j = i
Wir wählen die Basis B = ( v1 , v2,..., vk ), vi ∈ ( x1 , x2
,...), x
j
= ⎨ .
⎩0,
j ≠ i
B
Berechne die darstellende Matrix A: = M ( ϕ)
.
ϕ( v1) = ϕ(1,0,0,..., c ,...) = (0,0,..., c ,...) = c v
k + 1
ϕ( v2) = ϕ(0,1,0,..., c ,...) = (1,0,..., c ,...) = v
1
+ c
−1v
...
k + 1
ϕ( v ) = ... = v + c v
k k −1 0 k
k k k k
⎛ 0 1 ... 0 0⎞
⎜
⎟
0 ... 1 0 0
B
⇒ A: = M
B
( ϕ)
= ⎜
⎟
⎜ ... 0 0 1 0 ⎟
⎜
⎟
⎝ ck
ck
−1
... ... 1⎠
Lemma:
k k k −1
Pϕ
= PA
= ( −1) ( x − c1x −... − ck
)
P ( ϕ) = P ( A) = 0 ⇔ (*)
ϕ
A
k
k k k k
charakteristisches Polynom von (*)
P ϕ
( ϕ ) ist ein Endomorphismus ψ , also
Wenn v = ( x1 , x2,...)
, dann gilt:
k
B
ψ = − ϕ − ϕ − − − ∈ .
k k k 1
( 1) ( c1
... ck
) EndK
( V )
ϕ( v) = ( x , x ,...), i = 0,1, 2,...
i+ 1 i+
2
ψ ( v) = (( −1) ( x − c x −... − c x ),...)
k
k + 1 1 k k 1
1. Eintrag
= 0
Analog folgt für die anderen Einträge auch, dass sie Null sind.
⇒ ψ ( v) = (0,0,...)