Quadratische Matrizen

¡¢£¤¥£¤ ¦£§¥¤¡
1
Quadratische Matrizen, Autor: Florian Modler
(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )
Quadratische Matrizen
Was ist das Besondere an den quadratischen
Matrizen?
Florian Modler
07.02.2008
a
a
⎛ a a a
11 12 13
⎛ 11 12 ⎞ ⎜
a21 a22 a
⎟
⎜ ⎟ 23
a21 a
⎝ 22 ⎠ ⎜ a31 a32 a ⎟
33
0
⎛ a1 1 ⎞
⎛1 0⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ 4 8 9 ⎟
⎝ 0 1⎠ ⎜ ⎟
⎝0 6 an
⎠
⎝
⎞
⎠
In diesem Artikel wollen wir versuchen, aufzuzeigen, was das Besondere an den quadratischen
Matrizen ist und kurz ansprechen, dass sich dadurch Möglichkeiten des Invertierens oder der
Determinantenberechnung ergeben. Für genauere Ausführungen über Invertieren von Matrizen oder
der Determinante verweisen wir auf die entsprechenden Hauptartikel.

2
Quadratische Matrizen, Autor: Florian Modler
(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )
Stimmen bei einer Matrix Zeilen- und Spaltenanzahl überein, so spricht man von einer
quadratischen Matrix.
Für quadratische Matrizen (und zwar nur (!) für quadratische Matrizen) sind das Invertieren
und die Determinantenberechnung definiert.
Quadratische Matrizen sind also zum Beispiel:
⎛ a
⎜
⎝ a
a
11 12
a
21 22
⎞
⎟
⎠
oder aber auch
⎛ 1 5 9 13⎞
⎜
⎟
⎜
2 6 10 14
⎟
⎜ 3 7 11 15⎟
⎜
⎟
⎝ 4 8 12 16⎠
.
Bildet die Verknüpfung der Matrizenmultiplikation und Matrizenadditionen einen Ring?
Im Allgemeinen nicht, da die Matrizen verschiedene Dimensionen haben und somit die
Kommutativität der Matrizenmultiplikation keinen Sinn machen würden.
Es gibt aber einen Spezialfall:
Sei r ∈ N und R : = M
,
( K)
mit folgenden Verknüpfungen:
⎧R× R → R ⎧R× R → R
+ : ⎨
,•
: ⎨
⎩( A, B) ֏ A + B ⎩( A, B)
֏ A•
B
n n
Wir sprechen also von den quadratischen Matrizen!
Korollar zur Proposition:
( R , + ,•)
bildet einen Ring.
Wir überprüfen die einzelnen Axiome, die für einen Ring gelten müssen, nach:
1. Kommutativität der Addition:
Dies ist trivialerweise erfüllt, denn die Addition zweier Matrizen ist komponentenweise
erklärt und innerhalb der Matrix gelten die Gesetze im Körper.
2. Assoziativität der Addition:
Dies ist trivialerweise erfüllt, denn die Addition zweier Matrizen ist komponentenweise
erklärt und innerhalb der Matrix gelten die Gesetze im Körper.
3. Nullelement der Addition:
⎛ 0 … 0 ⎞
⎜ ⎟
Das Nullelement der Matrixaddition ist die Nullmatrix 0 : = ⎜ ⋮ ⋱ ⋮ ⎟ . Auch hier gilt dies,
⎜ ⎟
⎝0
⋯ 0 ⎠
da die Addition von Matrizen komponentenweise erklärt ist und außerdem die Null das
additive neutrale Element in jedem Körper ist.
4. Additives Inverses der Addition:
Das Additive Inverse ist die Matrix − A = − ( a i , j
) .

3
Quadratische Matrizen, Autor: Florian Modler
(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )
5. Assoziativität der Multiplikation:
Man kann leicht zeigen, dass für drei beliebige Matrizen A, B und C gilt A( BC) = ( AB)
C .
6. Einselement der Multiplikation:
Das Einselement der Matrixmultiplikation von quadratischen Matrizen ist die Einheitsmatrix
⎛1 0⎞
E n
: = ⎜ ⎟ . Die Darstellung ist etwas verfälscht. Die Matrix soll auf der Diagonalen
⎝ 0 1⎠ natürlich nur Einsen und sonst nur Nullen haben.
7. Distributivgesetze:
Man kann ebenfalls sehr leicht zeigen, dass für drei beliebige quadratische Matrizen
A• ( B + C)
= A• C + A• C gilt.
Die Menge der quadratischen Matrizen bilden also einen Ring mit Einselement.
Bemerkung:
• Für n größer gleich 2 ist der Ring nicht nullteilerfrei.
Auch hier geben wir ein Gegenbeispiel an:
⎛ 0 1⎞⎛ 0 1⎞ ⎛0 0⎞
⎜
0 0
⎟⎜
0 0
⎟ = ⎜
0 0
⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 0 1⎞ ⎛ 0 0⎞
Aber ⎜ ⎟ ≠ 0 : = ⎜ ⎟
⎝ 0 0⎠ ⎝ 0 0⎠
Daraus folgt, dass der Ring nicht nullteilerfrei ist.
• Auch die Matrizenmultiplikation quadratischer Matrizen ist nicht kommutativ, wie ein
⎛ a b ⎞
einfaches Beispiel für die Matrizen A:
= ⎜ ⎟
⎝ c d ⎠ und : ⎛ e f ⎞
B = ⎜ ⎟
⎝ g h ⎠ liefert:
⎛ a b ⎞⎛ e f ⎞ ⎛ ae + bg af + bh⎞
Es gilt zum einen AB = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ , und zum anderen
⎝ c d ⎠⎝ g h ⎠ ⎝ ce + dg cf + dh ⎠
⎛ e f ⎞⎛ a b ⎞ ⎛ ea + fc eb + fd ⎞
BA = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ g h ⎠⎝ c d ⎠ ⎝ ga + hc gb + hd ⎠ .
Skalarmatrizen:
⎛λ
0 ⎞
λ ∈ K → λ : = ⎜ ⎟ [auf der Diagonalen stehen nur λ]
⎝ 0 λ ⎠
→ λ A = Aλ ∀A∈ R,
λ ∈ K
Bei den Skalarmatrizen sind diese Skalarmatrizen also kommutativ mit allen beliebgen Matrizen
A. Dies ist aber ein Sonderfall. Im Allgemeinen gilt die Kommutativität bei
der Matrizmultiplikation nicht.

4
Quadratische Matrizen, Autor: Florian Modler
(florian.modler@stud.uni-hannover.de , http://www.stud.uni-hannover.de/~fmodler/ )
Mehr als lesenswert ist das englische PDF von Kaare Brandt Petersen und Michael Syskind
Pedersen:
(http://www.imm.dtu.dk/pubdb/views/edoc_download.php/3274/pdf/imm3274.pdf)