Funktionenfolgen und punktweise und gleichmäßige Konvergenz

Funktionenfolgen (inkl. punktweise und
gleichmäßige Konvergenz)
Was versteht man unter einer Funktionenfolge?
Das ist recht einfach. Das Wort „Funktionenfolgen“ besteht aus zwei Bestandteilen. Das
erste ist „Funktionen“ und das zweite „Folgen“. Beide Wörter sind uns geläufig. Es handelt
sich also um eine Folge von Funktionen. Das einfachste Beispiel ist wohl die Funktionenfolge
n
f : x ֏ x . n durchläuft hier die natürlichen Zahlen. Die Folgenglieder lauten demnach
n
4
x, x², x³, x ,... .
Diese Funktionenfolgen können nun, wie übliche Folgen auch, gegen eine Funktion f
konvergieren. Hierbei unterscheidet man (so ähnlich wie bei Stetigkeit) zwei verschiedene
„Arten“ von Konvergenz. Diese behandeln wir jetzt:
Punktweise Konvergenz:
Zunächst die knallharte Definition. Damit sie schön übersichtlich ist (:-P) mit Quantoren:
Sei M eine nichtleere Menge und weiter seien f , fn
: M → N Abbildungen.
( fn)
n∈N heißt punktweise konvergent gegen f, wenn für jedes x ∈ M die Folge ( fn( x))
n∈N
gegen f ( x ) konvergiert.
∀ ε > 0 ∀x ∈ M ∃n ∈ N ∀n ≥ n :| f ( x) − f ( x) | ≤ ε
0 0
n
Anschaulich kann man sich dies so klar machen:

Gleichmäßige Konvergenz:
( fn)
heißt gleichmäßig konvergent gegen f, wenn das n∈N n
0
in der vorstehenden Definition
nicht von x abhängt, wenn also:
∀ ε > 0 ∃n ∈ N ∀x ∈ M ∀n ≥ n :| f ( x) − f ( x) | ≤ ε
0 0
n
Anschaulich sieht das so aus:
Für jedes ε > 0 muss es ein n
0
geben, so dass alle f
n
für n ≥ n0
im „ε - Streifen um f“
liegen.
Wichtig ist, dass das n
0
in der Definition von x unabhängig ist.

Wichtige Erkenntnisse im Zusammenhang dieser Konvergenz:
• Aus gleichmäßiger Konvergenz folgt die punktweise Konvergenz.
Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch!
Um das zu zeigen, betrachten wir ein Gegenbeispiel:
Wir betrachten die Funktionenfolge fn
:
Die Funktionenfolge ( f )
n
n∈N x
R → R mit x ֏ .
n
ist punktweise konvergent gegen die Nullfunktion,
gleichmäßige Konvergenz liegt aber nicht vor.
Begründung:
x
Für jedes x ∈ R ist die Folge ( fn( x)) n∈N = ( )
n∈N n
als Vielfaches der Folge 1
n
Null konvergent, das zeigt, dass ( f ) punktweise gegen Null geht.
n
n∈N ( )n
∈N
gegen
Die Konvergenz ist aber nicht gleichmäßig, schon für ε = 1 ist es nicht möglich, ein n
0
zu
finden, so dass | fn
( x) | ≤ ε für alle x und alle n ≥ n0
; ist nämlich n
0
irgendeine natürliche
Zahl, so braucht man nur n = n0
und x = 2n0
zu wählen, dann ist nämlich | fn
( x ) | = 2 ,
also nicht ≤ ε .
• Der punktweise Limes stetiger Funktionen muss nicht unbedingt stetig sein.
(D.h. wenn die einzelnen Folgenglieder der Funktionenfolge (bedenke, dass dies
Funktionen sind!) stetig sind, dann muss die Funktion, gegen die die Funktionenfolge
konvergiert, nicht unbedingt stetig sein.)
Das folgende Beispiel zeigt dies:
n
Wir betrachten die durch f : x ֏ x auf [0, 1] definierte Funktionenfolge ( f ) . Sie
konvergiert punktweise gegen
n
n
f
⎧0, falls x ∈[0,1)
: x → ⎨
⎩1, falls x = 1
Denn 1 n n
→ 1 und x → 0 für 0 ≤ x < 1 .
So sieht die Funktionenfolge aus:

• Der gleichmäßige Limes stetiger Funktionen ist immer stetig.
(D.h. wenn die einzelnen Folgenglieder der Funktionenfolge, also die Funktionen, stetig
sind, und die Funktionen gleichmäßig gegen eine Funktion konvergiert, dann ist diese
Funktion auf jeden Fall stetig.
• Wenn fn
֏ f gleichmäßig konvergiert, so folgt daraus die Differenzierbarkeit von f,
falls alle f
n
differenzierbar sind und die Folge ( f '
n)
gleichmäßig konvergent ist, in
diesem Fall gilt lim f ' = f ' .
n
Es ist dann also (lim f )' = lim f ' . Wir können unter starken Voraussetzungen also
n
n
Ableitung und Limes vertauschen.
• Aus fn
֏ f (gleichmäßig) folgt im Falle der Integrierbarkeit der f
n
, dass auch f
b
b
∫ n ∫ .
a
a
integrierbar ist und dass lim f ( x) dx = f ( x)
dx