Einstein-Sasaki-Mannigfaltigkeiten

2.2 Kontaktstrukturen
Eine Metrik g ist Einstein, falls Ric g = λg für eine Konstante λ. Hierbei soll Ric g für die Ricci-
Krümmung bezüglich der Metrik g stehen. Es folgt sofort, dass eine Sasaki-Mannigfaltigkeit nur für
λ = 2(n − 1) Einstein sein kann, also besistzt g eine positive Ricci-Krümmung.
Nehmen wir an, dass S vollständig ist, so ist S automatisch kompakt mit endlicher Fundamentalgruppe
(Theorem of Myer).
Eine einfache Rechnung zeigt, dass eine Sasaki-Metrik g Einstein mit Ricci-Krümmung Ric g = 2(n−
1)g genau dann ist, wenn die Kegelmetrik ˜g Ricci-flach ist, das heißt Ric g = 0.
Eine Sasaki-Mannigfaltigkeit (S, g) erbt eine Reihe geometrischer Strukturen der Kähler-Struktur
von seinem Kegel. Es gibt eine kanonische Projektion p : C(S) → S, welche das r „vergisst“. Wenn
diese Kähler ist, so ist der Kegel (C(S), ˜g) mit einer integrablen komplexen Struktur J und eine Kähler
2-Form ω ausgestattet. Beide sind bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs ˜∇ von ˜g parallel. Die
Kähler-Struktur von (C(S), ˜g), komibiniert mit seiner Kegelstruktur, induziert eine Sasaki-Struktur
auf S = {1} × S ⊂ C(S).
Beispiel 4 Wir geben ein paar Beispiele von Sasaki-Mannigfaltigkeiten.
a) Als ein Beispiel einer Sasaki-Mannigfaltigkeit betrachte S 2n−1 ⊂ R 2n = C n , wobei die rechte Seite
eine natürliche Kählermannigfaltigkeit ist. Wir lesen dies als den Kegel über die Spḧare (ausgestattet
mit der eingebetteten Metrik). Die Kontakt 1-Form auf S 2n−1 ist die Form, die durch den Tangentenvektor
i⃗n assoziiert wird, konstruiert von Einheitsnormalenvektor ⃗n zur Sphäre. i ist hierbei die
komplexe Struktur auf C n ).
b) Ein weiteres Beispiel ist der R 2n+1 mit Koordinaten (⃗x, ⃗y, z), ausgestattet mit der Kontaktform
θ = 1 2 dz + ∑ i
y i ∧ dx i
und Riemannscher Metrik
g = ∑ i
(dx i ) 2 + (dy i ) 2 + θ 2 .
2.2 Kontaktstrukturen
Wir wollen in diesem Abschnitt das Reeb-Vektorfeld noch ein wenig anders einführen und zwar so,
wie wir es brauchen.. Hierbei ist ˜∇ der Levi-Civita-Zusammenhang der Metrik g. Die folgenden Gleichungen
sind ab und an sehr nützlich bei den Beweisen der kommenden Formeln.
˜∇ r
∂ (r ∂
∂ r ∂ r ) = r ∂
∂ r , ˜∇r ∂ X = ˜∇ X (r ∂ ) = X, (2.2)
∂ r ∂ r
˜∇ X Y = ∇ X Y − g(X, Y )r ∂
∂ r .
Hier sind X und Y Vektorfelder auf S (diese können ebenso als Vektorfelder auf C(S) interpretiert
werden), ∇ ist der Levi-Civita-Zusammenhang von g.
Definition 2.2 (Euler-Vektorfeld) Das kanonische Vektorfeld r ∂
∂ r heißt Einstein-Vektorfeld. 8