Foliensammlung - Lehrstuhl fÃ¼r Thermodynamik - Technische ...

1.0 

Wärmetransportphänomene 

Sommersemester 2013 

Wolfgang Polifke - polifke@td.mw.tum.de 

Moritz Schulze - 289 16525 - schulze@td.mw.tum.de 

Technische Universität München - Thermodynamik Wärmetransportphänomene – SS13 1 - 1

Worum geht’s? 

1.0 

Thermodynamik: 2. Hauptsatz 

Temperaturunterschiede gleichen sich aus! 

Wärme fließt von heiß nach kalt . 


Welche Transportmechanismen gibt es? 

Mit welcher Leistungsdichte [W/m 2 ] wird Wärme übertragen? 

Wie lange dauert der Temperaturausgleich? 

Wie kann ich Wärmeübertragung beeinflussen? 


Anwendungen 

1.1 Anwendungen 

Energietechnik 

Heizung & Kühlung (HVAC) 

Kühlung elektronischer Bauteile 

Automobile 

Luft- und Raumfahrt 

Biologie, Klima 



Carnots Wärmekraftmaschine 

Temperaturunterschiede zwischen Arbeitsmedium und thermischen Reservoirs verringern den 

Wirkungsgrad Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine 

p 

Q + 

Q - 

V 


Gasturbine 




Gasturbine - Schaufelkühlung 



Generatorkühlung (bis 600MW mit H 2 ) 


Anwendungen 





Automobile 





Freie Konvektion im Wohnraum (1) 

Video HeizungLinks.mpeg 



Freie Konvektion im Wohnraum (2) 

Video HeizungRechts.mpeg 


Solarthermie am Lehrstuhl 



Solare Meerwasserentsalzung 



Anwendungen 





Automobile 





Cray 2 (1985, 1.9GFlops, 2048MByte, 30’000’000$) 


Cray & Fluorinet 




CPU / VGA Kühlung mit Heatpipe 


Anwendungen 





Automobile 




Brennstoffzellenfahrzeug 


http://www.whnet.com/4x4/fuelcell.html 


Speicher- / Antriebssystem 




Abbildung 4.2: Konfiguration des Kühlkreislaufs mit größtmöglicher Funktio- 

Technische Universität München - Thermodynamik Wärmetransportphänomene – SS13 1 - 20 


Brennstoffzelle mit MHD Speicher 

Dissertation D. Wenger, TUM, 2009 

4.2 Modellierung eines Fahrzeug-Brennstoffzellensystems 

Metallhydridspeicher 

Fahrzeugkühler 

Brennstoffzelle

Anwendungen 





Automobile 




Apollos Hitzeschild 




Ariane 5 (FAZ, 12. Dezember 2002) 

Auch im zweiten Anlauf ist der Flug der 

neuen europäischen Trägerrakete Ariane 

5-Plus am späten Mittwochabend 

spektakulär fehlgeschlagen. [...] 

Schuld an dem Desaster könnte ein 

Schaden am Haupttriebwerk sein. Die 

Rakete sei drei Minuten nach dem Start 

völlig“ außer Kontrolle geraten [...] 

” 

Ein Kühlsystem des Haupttriebwerks 

Vulcain-2 sei nach 178 Sekunden Flug 

ausgefallen, [...] 



MTU: Strahltriebwerk mit Zwischenkühlung 

courtesy G. Wilfert, MTU 


Anwendungen 





Automobile 




Kühlelemente 



Was ist Wärme? 

1.2 Begriffliche Grundlagen 

thermische Energie (Einheit: Joule), die aufgrund von Temperaturunterschieden 

- ohne Arbeitsleistung - über die Systemgrenzen transportiert wird 

eine Prozessgröße, z.B. beim ruhenden, geschlossenen System 

∆U = Q + W 

Wärme Q ist keine Zustandsgröße und nicht mit innerer Energie U oder 

Temperatur T zu verwechseln! 


Wärmeübertragung . . . 


. . . ist ein spontaner physikalischer Austauschprozess zwischen zwei Systemen im 

thermischen Kontakt 

. . . zwischen zwei von der Umgebung isolierten Systemen führt zum thermischen 

Gleichgewicht 

. . . ist im Allgemeinen mit Entropieproduktion verbunden und deshalb irreversibel 

. . . wird von thermischen Ungleichgewichten getrieben und verläuft im Allgemeinen 

zeitabhängig - und lässt sich trotzdem fast immer quasistationär betrachten 


Aufgaben des Ingenieurs 


Analyse von Transportprozessen: 

Welche Transportmechanismen gibt es? 

Mit welchen Größen beschreibe ich den Transport? 

Minimierung oder Maximierung der Wärmeübertragung: 

Gebäude- und Kältetechnik, H 2 -Speicherung, Apollo 

Wärmetauscher, Heizkessel und -körper, Kühl- und Klimaaggregate 

Kontrolle von Temperaturen, niedrige Kosten, Gewicht, etc. 



Einordnung ins wissenschaftliche Umfeld 

Wärme- (und Stoff-) transport 

Fluiddynamik 

Thermodynamik 

Gasdynamik 

Statistische 

Mechanik 



Erhaltungsgleichungen für Masse, Impuls & Energie 

Massenerhaltungsgleichung: 

d 

dt 

∫ 

V 

∫ 

ρdV + 

∂V 

ρw i dA i = 0 

Die Impulserhaltung wird durch drei Gleichungen für die Koordinatenrichtungen x j 

(mit j = 1, 2, 3) ausgedrückt: 

∫ ∫ 

∫ ∫ 

d 

ρw j dV + ρw j w i dA i = σ ji dA i + ρf i dV 

dt 

V 

∂V 

∂V 

V 

Energieerhaltungsgleichung: 

∫ ∫ ( 

d 

ρudV + ρ u + p ) ∫ 

w i dA i = − 

dt V 

∂V ρ 

∂V 

∫ 

˙q i dA i + 

V 

˙ωdV 



Fluiddynamik: Auftrieb und Widerstand 



WTP: Temperatur der Schaufel, Wärmeströme 

Fluidmechanik ist Teil des Problems! 



Erhaltungsgrößen und deren Flüsse 

In Thermodynamik und Fluidmechanik gelten Erhaltungsgleichungen für 

Stoff - Energie - Impuls 

Die Intensitäten entsprechender Transportprozesse interessieren uns! 

Diese werden charakterisiert durch den jeweiligen Fluss: 

Fluss := 

transportierte Größe 

Fläche, Zeit 


Transportgesetze 


Fluss = Transportkoeffizient × Potentialgefälle 

Beispiele: 

Strom ∼ Leitfähigkeit × Spannung 

Wärmefluss ∼ Wärmeleitfähigkeit × ∆T 

Schubspannung ∼ Viskosität × ∆Geschwindigkeit 

Stoffstrom ∼ Diffusionskoeffizient × ∆Konzentration 



Wichtige Transportmechanismen 

Wärmeleitung 

molekularer / diffusiver Transport von Wärme 

Wärmestrahlung 

elektromagnetische Wellen (Licht, Infrarot) 

Konvektion 

Transport von Masse, Impuls, Energie durch Strömung 

(Enthalpiestrom!) 



Konvektiver Wärmeübergang 

Wärmeübertragung zwischen: 

Festkörper und strömendem (!) Fluid 

Kombination zweier Transportmechanismen: 

Wärmeleitung & Konvektion 

Konvektion sorgt für hohe Temperaturunterschiede in Wandnähe 

und intensiviert so die Wärmeübertragung zwischen Körper und 

Fluid. 


Feuerwehr Analogie 




Wärmeleitung 

Ein molekularer, ”diffusiver” Transportprozess 

Die Wärmestromdichte ˙q bei der Wärmeleitung beschreibt der Ansatz von Fourier : 

˙q = −λ ∂T 

∂x 



Konvektion und konvektiver Wärmeübergang 

Energie- bzw. Enthalpietransport durch (makroskopische) Bewegung eines Fluids 

Den konvektiven Wärmeübergang zwischen Wänden und Fluid beschreibt der 

Ansatz von Newton : 

˙q = α h (T h − T 0 ) = α c (T 0 − T c ) 




Energietransport durch elektromagnetische Wellen (0.1 - 1000 µm) 

˙q = α Rad (T h − T c ) 



Oberflächentemperatur CPU 

Beispiel 1.4.1: 

Laptop CPU mit 15W Leistungsaufnahme (stationärer Betrieb) 

Oberfläche: 0,002 m 2 

Warmeübergangskoeffizient α = 150 W/m 2 K 

Umgebungslufttemperatur 24 ◦ C 

Gesucht: Oberflächentemperatur T W 

Wärmestromdichte: 

Mit Newton’s Ansatz folgt: 

˙q w = 

T W = ˙q w 

α + T ∞ = 

15 W 

0, 002 m 2 = 750 W m 2 

750 W /m2 

150 W /m 2 K + 24◦ C = 74 ◦ C 


Lehr- und Lernmaterialien 

1.3 Organisatorisches 

⎫ 

Arbeitsunterlagen 

⎪⎬ 

Übungsaufgaben Fachschaft 

Foliensammlung ⎪⎭ 

⎫ 

Folien 

Klausuraufgaben⎪⎬ 

Moodle 

Musterlösungen 

eXerzitien 

⎪⎭ 


Literatur 


Polifke & Kopitz: 

Wärmeübertragung 

Pearson, 2009, 49,- 

www.pearson.de 

Bibliothek MW 

0703/MTA 720f 2005 L 19 



Vorläufige Terminplanung für Wärmetransportphänomene/Thermodynamik 1 

Termine (vorläufig) 

im Sommersemester 2013 

Dienstag 

18:30 – 19:30 

2001/0001 

15.4.13 - 19.4.13 TD1 

Mittwoch 

Donnerstag 

16:30 – 17:30 8:15 – 9:55 

2001/0001 2001/0001 

Vorlesung 

Vorlesung 

22.4.13 - 26.4.13 TD1 

Zentralübung 

Vorlesung 

29.4.13 - 3.5.13 TD1 

6.5.13 - 10.5.13 TD1 

13.5.13 - 17.5.13 TD1 

20.5.13 - 24.5.13 TD1 

27.5.13 - 31.5.13 TD1 

Zentralübung 

Abgabe HA1 

Übung 

Abgabe HA2 

Übung 

Abgabe HA3 

Vorlesung 

Abgabe HA4 

Übung 

Abgabe HA5 

Vorlesung 

Feiertag 

Vorlesung 

Vorlesung 

Feiertag 


2.0 

Inhalte der Vorlesung 

Einleitung 

Wärmeleitung 

2. Grundbegriffe der Wärmeleitung 

Fourier’scher Ansatz für die Wärmeleitung 

Fourier’sche Differentialgleichung für die Temperatur 

Randbedingungen 

3. Stationäre Wärmeleitung 

4. Instationäre Wärmeübertragung 

Strahlung 


Ähnlichkeitsgesetze 


2.1 Fourier’sches Gesetz 

Fourier’scher Ansatz für Wärmeleitung durch eine Platte (global) 

Wärme dQ pro Zeiteinheit dt: 

T 1 

Q . 

A 

⇒ 

dQ 

Wärmestrom 

∼ A 

∼ 1 s 

∼ T 1 − T 2 

T 2 

˙Q = λA T 1 − T 2 

s 

bzw. Wärmestromdichte 

s 

˙q = λ T 1 − T 2 

s 

mit Wärmeleitfähigkeit λ [W/m-K]. 


Wärmeleitfähigkeiten 


Schäume 

CO2 

Wärmedämmstoffe 

H2 

|-- Gase --| 

Plastik 

Öl Wasser 

Fasern 

Eis 

Quecksilber 

|--- Flüssigkeiten ---| 

Oxide 

nicht-metallische Feststoffe 

Zink 

|-- Metalle --| 

Nickel Aluminium 

Legierungen 

Silber 

0.01 0.1 1 10 100 1000 



Fourier’sches Gesetz (lokal, Vektorschreibweise) 

Wärmestromdichte im Körper: 

T(x,y,z) 

• 

q x (x,y,z) 

• • 

∆x 

T(x+∆x,y,z) 

(x, y, z) − T (x + ∆x, y, z) 

˙q x = lim λT 

∆x→0 ∆x 

= −λ ∂T 

∂x , 

˙q y = . . . = −λ ∂T 

∂y , 

˙q z = . . . = −λ ∂T 

∂z . 

Fourier’sches Gesetz: 

˙⃗q(⃗x) = −λ∇T (⃗x). 


2.2 Fourier’sche DGL 

Fourier’sche Differentialgleichung 

∂ 2 T 

∂x 2 

+ ∂2 T 

∂y 2 

+ ∂2 T 

∂z 2 

+ ˙ω λ = 1 a 

∂T 

∂t 

mit der Temperaturleitfähigkeit a ≡ λ 

ϱ c 

[ ] m 

2 

s 

und der Wärmequellendichte ˙ω 

[ W 

m 3 ] 

. 


Randbedingung 1. Art 

Dirichlet’sche Randbedingung 

2.3 Randbedingungen 

T W = f (t) 

T(x,t 3 ) 

T W T(x,t 2 ) 

T(x,t 1 ) 

x 

Realisierung: Wärmeübergangskoeffizient α → ∞. 



Neumann’sche Randbedingung 

˙q W = g(t) und damit ∂T 

∂x 


∣ = − g(t) 

W 

λ 

ε 

q W 

λ 

ε 

x 

T(x,t 2 ) 

T(x,t 1 ) 

Realisierung: Wärmequelle mit vorgegebener Leistung 




Wärmeleitender Körper, von Fluid überströmt. 

Newton & Fourier: α(T W − T ∞ ) = λ ∂T 

∣ 

∂x 

∣ 

W 

Fluid 

q W,F 

Körper (λ) 

q W,K 

T(x,t) 

T W 

T ∞ 

λ/α 

x 


Randbedingung 3. Art (2) 


allgemein: α, T ∞ , T (x, t) zeitveränderlich. 

speziell: α, T ∞ , T (x) konstant. 

1. Grenzfall: λ endlich, ˙q W ,K endlich, α → ∞: 

⇒ T W → T ∞ , Randbedingung 1. Art. 

2. Grenzfall: λ endlich, T W − T ∞ endlich, α → 0: 

⇒ ∂T 

∂x ∣ , ˙q W → 0, Adiabasie. 

W 


2.4 Zusammenfassung 

Grundbegriffe der Wärmeleitung 

Fourier’sches Gesetz: Wärmestromdichte ˙q als Funktion der Temperatur T und 

Wärmeleitfähigkeit λ, z.B. für x-Richtung: ˙q x = −λ ∂T 

∂x . 

Fourier’sche Differentialgleichung für T (⃗x, t) in Abhängigkeit von Anfangs- und 

Randbedingungen sowie Wärmequellen. 

Herleitung durch Bilanz am infinitesimalen Kontrollvolumen. 

Randbedingungen für die Fourier’sche DGL: 

RB1: Wandtemperatur T gegeben 

RB2: Wandwärmestromdichte ˙q W gegeben 

RB3: Wärmeleitung zur Wand = Wärmeübergang an die Umgebung, 

λ ∂T 

∂x 

mit Wärmeübergangskoeffizient α. 

∣ = α(T W − T ∞ ). 

W 


3.0 


Einleitung 

Wärmeleitung 



Quasi-1D Geometrien: Platte, Zylinder, Kugel 

Wärmedurchgang & PécletGleichungen 

Wärmeleitung mit Wärmequellen 

2D Wärmeleitung & Formfaktoren 

Isothermen und Wärmestromlinien 


Strahlung 




3.0 

Grundgesetze der Wärmeleitung nach Fourier 

Fourier’scher Ansatz für die Wärmeleitung: 

⃗˙q = −λ∇T . 

Fourier’sche DGL für die Temperatur in verschiedenen Koordinatensystemen: 

∂ 2 T 

∂x + ∂ 2 T 

2 ∂y + ∂ 2 T 

2 ∂z + ˙ω 2 λ = 1 a 

∂ 2 T 

∂r + 1 ∂T 

2 r ∂r + ∂ 2 T 

∂z + ˙ω 2 λ = 1 a 

∂ 2 T 

∂r + 2 ∂T 

2 r ∂r + ˙ω λ = 1 a 

∂T 

∂t 

∂T 

∂t 

∂T 

∂t 

— ”kartesisch”, 

— ”zylindrisch”, 

— ”sphärisch”. 


3.1 Einfache Geometrien 

in diesem Kapitel: Quasi-1D, stationäre Wärmeleitung 

Fourier’sches Gesetz der Wärmeleitung: 

˙q x = −λ ∂T 

∂x . 

Fourier’sche DGL (stationär) für die ” 

einfachen Körper“: 

∂ 2 T 

2 

∂x +∂ T 

2 ∂y + ∂ 2 T 

2 ∂z + ˙ω 2 λ = 1 ∂T 

a ∂t 

∂ 2 T 

∂r + 1 ∂T 

2 

2 r ∂r +∂ T 

∂z + ˙ω 2 λ = 1 ∂T 

a ∂t 

∂ 2 T 

∂r + 2 ∂T 

2 r ∂r + ˙ω λ = 1 ∂T 

a ∂t 

— ”Platte”, 

— ”Zylinder”, 

— ”Kugel”. 


3.1 Einfache Geometrien 

Quasi-1D Wärmeleitung in den ” 

einfachen Körpern“ 

...stationär, ohne Quellen: 

Fourier’sche DGL → Laplace’sche DGL: 

T 2 

d 2 T 

dr 2 

+ n r 

dT 

dr = 0, 

λ 

T a 

mit 

n=0 Platte (ebene Geometrie), 

n=1 Hohlzylinder, 

T 1 

α i 

α a 

T i 

r 1r2 

Q . 

n=2 Kugelschale. 


Geometrie Hohlzylinder / Kugelschale 

3.1 Einfache Geometrien Stationäre Wärmeleitung im Hohlzylinder 

T m 

Q 

T m T 1 

T 2 

r 1 

α 

α 2 

1 

r 2 

T ∞ 


3.1 Einfache Geometrien Stationäre Wärmeleitung in der Kugelschale 

Kugelschale 

Temperatur, Wärmestromdichte und Wärmestrom 

T (r) = C 1 

r 

+ C 2 , 

T (r) = T 1 + (T 2 − T 1 ) 

˙q(r) = 

( ) dT 

−λ 

dr 

r 

˙Q = 4π λ (T 1 − T 2 ) 

( ) 

1 

r 1 

− 1 r 2 

( 1 

r − 1 r 1 

) 

1 

r 2 

− 1 r 1 

(Hyperbel), 

= λ T 1 − T 2 

r 2 1 

r 1 

− 1 ( ˙q nimmt wie 1 

r 2 

r 2 

(konstant). 

ab), 


Temperaturverläufe nach Péclet 

3.1 Einfache Geometrien Dimensionslose Darstellung 

Platte: T (x) = T 1 + (T 2 − T 1 ) x s , 

Zylinder: T (r) = T 1 + (T 2 − T 1 ) ln (r/r 1) 

ln (r 2 /r 1 ) , 

Kugel: T (r) = T 1 + (T 2 − T 1 ) 

( 1 

r − 1 r 1 

) 

1 

r 2 

− 1 . 

r 1 



Dimensionslose Darstellung 

Definiere eine dimensionslose Temperatur: 

→ Temperaturprofile von 

θ ≡ T − T 1 

T 2 − T 1 

, θ = 0 → 1 

Platte: ξ ≡ x , θ(ξ) = ξ, 

s 

Zylinder: ξ ≡ r r 1 

, θ(ξ) = ln(ξ) 

ln(ξ 2 ) , 

Kugel: ξ ≡ r r 1 

, θ(ξ) = 

1 

ξ − 1 

1 

ξ 2 

− 1 . 

. . . mit ξ 2 = r 2 /r 1 



Dimensionslose Temperaturprofile θ(ξ) 

... für Platte, Zylinder, Kugel: 

1.0 

1.0 

1.0 

θ 

θ 

θ 

0.5 

0.5 

0.5 

0.0 

0.0 

0.5 

1.0 

ξ 

0.0 

1.0 

1.5 

2.0 

ξ 

0.0 

1.0 

1.5 

ξ 

2.0 

θ(ξ) = ξ 

θ(ξ) = ln(ξ) 

ln(ξ 2 ) 

θ(ξ) = 

1 

ξ − 1 

1 

ξ 2 

− 1 


3.2 Wärmedurchgang & Péclet- Gleichungen Péclet- Gleichung für die Platte 

Wärmedurchgang und Péclet-Gleichungen 

Platte mit beidseitigem Wärmeübergang 

Lineares T -Profil in der Platte: 

T i 

T 1 

λ 

α 2 

, A 

T (x) = C 1 x + C 2 , 

q, Q 

Wie bestimme ich die 

Wandtemperaturen T 1 , T 2 

(bzw. Konstanten C 1 , C 2 ) aus den 

Umgebungsbedingungen T i , T a ? 

α 1 

, A 

s 

x 

T 2 

T a 


3.2 Wärmedurchgang & Péclet- Gleichungen Wärmedurchgangskoeffizient 

Ankoppeln an die Umgebungsbedingungen 

Wärmestrom im stationären Fall: 

α 1 A (T i − T 1 ) = λ } {{ } s A(T 1 − T 2 ) = α 2 A (T 2 − T a ) . 

} {{ } 

} {{ } 

Zufuhr 

Abfuhr 

Durchgang 

Eliminieren der Wandtemperaturen T 1 , T 2 : 

T i − T a 

˙Q = 

1 

α 1 A + s 

λA + 1 = 

α 2 A 

Reihenschaltung“ thermischer Widerstände: 

” 

T i − T a 

R α1 + R λ + R α2 

= T i − T a 

R ges 

. 

R α = 1 

αA — Wärmeübergang , R λ = s 

λA — Wärmeleitung. 


3.2 Wärmedurchgang & Péclet- Gleichungen Wärmedurchgangskoeffizient 

Graphische Lösung für den Wärmedurchgang 

... maßstäbliche Abbildung der Wärmewiderstände 

T i 

T 1 

λ 

T 

α 1 

T 2 

α 2 

T a 

~ R 

1/α 1 s/ λ 1/α 2 

λ/α 1 s 

λ/α 2 


3.2 Wärmedurchgang & Péclet- Gleichungen Péclet Gleichung Kugelschale 

Péclet Gleichung Kugelschale 

T (r) = C 1 

r 

+ C 2 , 

T (r) = T 1 + (T 2 − T 1 ) 

( ) dT 

˙q(r) = −λ 

dr 

r 

( 1 

r 

− 1 r 1 

) 

1 

r 2 

− 1 , (Hyperbel) 

r 1 

= λ T 1 − T 2 

r 2 1 

r 1 

− 1 , ( ˙q nimmt wie 1 

r 2 

r 2 

ab) 

˙Q = 

1 

α 1 r 2 1 

+ 1 λ 

4π (T i − T a ( 1 

− 1 ) 

r 1 r 2 

+ 1 

α 2 r 2 2 


3.2 Wärmedurchgang & Péclet- Gleichungen 

Paradoxon“ des kritischen Radius 

” 

Normierter Wärmedurchgang Φ 

. . . als Funktion des Außenradius ρ = r 2 /r 1 bei verschiedenen Biot-Zahlen Bi. 

Φ 

1.4 

1.2 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

Bi = 1/3 

Bi = 1/2 

Bi = 1 

Bi = 2 

0 

2 

4 

6 

8 

r 2 / r 1 




” 

Beispiel zum kritischen Radius: Fernwärmeleitung 

Bi = 125 

4000 

Q [W/m] 

3000 

2000 

Fernwärmeleitung: 

∆T = 60 K, 

λ = 0.08 W/m-K, 

α 2 

= 20 W/m 2 -K, 

r 1 = 0.5 m. 

1000 

0 

0.50 

0.55 

0.60 

r 2 

0.65 

0.70 

0.75m 



Beispiel zum kritischen Radius: Heizungsrohr 

Bi = 5/8 


” 

21.0 

20.5 

20.0 

Q [W/m] 

19.5 

19.0 

18.5 

18.0 

Heizungsrohr: 

∆T = 60 K, 

λ = 0.08 W/m-K, 

α 2 

= 5 W/m 2 -K, 

r 1 = 0.01 m. 

10 

12 

14 

16 

18 

r 2 

20 

22 

24mm 


3.3 Wärmeleitung mit Quellen 

Temperaturprofil θ(ξ) 

... in Platte mit konstanter Wärmequellendichte ˙ω. 

θ 

θ 

1 

2 

+ 1 Bi 

1 

Bi 

Bi > 1 

1 

2 

1 

ξ 

1 

Bi 

1 

ξ 

θ(ξ) = 1 2 + 1 Bi − ξ2 

2 . 



Bsp. 3.3.1: Kerntemperatur Mikroprozessor 

Konvektiv gekühlte CPU mit 15W thermischer Leistung. 

Bsp. 1.4.1: α = 150 W/m 2 -K → Oberflächentemperatur T W ≈ 74 ◦ C. 

λ, ω 

α, T W , A 

s = 3mm 

Gesucht: 

T (0) im Kern des Prozessors? 

(T max = 80 ◦ C !!) 

Oberfläche A = 0,002 m 2 und Dicke s = 3 mm, 

Rückseite adiabat, 

konstante Wärmeleitfähigkeit λ = 2 W/m-K, 

homogene Wärmequellendichte ˙ω. 



Bsp. 3.3.1: Kerntemperatur Mikroprozessor (2) 

Homogene Wärmequellendichte: 

˙ω = 

˙Q 

A s = 2,5 × 106 W m 3 

Ebene Geometrie → n = 0. 

Maximaltemperatur an der adiabaten Rückwand r = 0: 

T (0) = T ∞ + ˙ωs2 

2λ 

( 

1 + 2λ ) 

= 79,6 ◦ C. 

αs 



Bsp. 3.3.1: Kerntemperatur Mikroprozessor (3) 

Sensitivität gegenüber Wärmeübergangskoeffizient α ? 

Biot-Zahl bei α = 150 W/m 2 -K: 

Bi = αs 150 × 0.003 

= = 0,225. 

λ 2 

Bi ∼ R λ /R α → Wärmeübergangswiderstand ist wesentlich! 

Bei α = 200 W/m 2 -K: 

Oberflächentemperatur T W = T (s) = 61,5 ◦ C, 

Maximaltemperatur T (0) = 67,1 ◦ C 

Biot-Zahl Bi = 0,3. 


3.4 2D Wärmeleitung – Formfaktoren 

Zweidimensionale Wärmeleitung 

. . . in prismatischen Körpern, konstante Randtemperaturen T 1 , T 2 , stationär, keine Quellen 

T 2T1 

λ 

b a 

Laplace-Gleichung: 

∂ 2 T 

∂x 2 

+ ∂ 2 T 

∂y 2 = 0 

Wärmestrom ˙Q wird mit Hilfe eines geometrieabhängigen Formfaktors S berechnet: 

˙Q = λ S (T 1 − T 2 ) 

Dabei ist S = S L × l = längenbezogener Formfaktor S L × Länge l. 



Schacht (außen quadratisch, innen quadratisch oder kreisförmig) 

T 2T1 

λ 

b a 

a 

b > 1,4 : S L = 

a 

b < 1,4 : S L = 

2π 

0,93 ln ( a 

2π 

0,785 ln ( a 

b 

b) 

− 0,0502 

) 

T 2 

T 1 

λ 

S L = 

d a 

2π 

ln(1,08 a/d) 



Rohrleitungen im (halb)unendlichen Gebiet 

λ 

r 1 

T 1 T 2 

r 2 

S L = 

2π 

ln ( u + √ u 2 − 1 ), 

a 

u = a2 − r 2 1 − r 2 2 

2r 1 r 2 

. 

λ 

T 2 

S L = 

r 

T 1 

a 

S L 

≈ 

2π 

( √ ), 

a 

ln 

r + a 2 

r 

− 1 2 

2π 

ln(2a/r) für a r > 5. 



Péclet Gleichung & Formfaktoren für Platte/Zylinder/Kugelschale 

Ebene Platte: 

˙Q = A ˙q x = A λ s (T 1 − T 2 ). 

... und damit: 

S Platte = A s . 

Ganz ähnlich: 

S Zylinder = 

S Kugel = 

2π l 

ln(r 2 /r 1 ) , 

4π 

1 

− 1 . 

r 1 r 2 


3.5 Isothermen und Wärmestromlinien 

Graphische Methode zur Analyse der Wärmeleitung in 2D: 

Rechteck mit adiabaten Wänden, konstanter Wärmeleitfähigkeit λ. 

Q 

Q 

T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T n 

Wärmestrom ˙Q und Querschnittsfläche sind konstant, 

⇒ Wärmefluss ˙q und damit Temperaturgradient ∂T /∂x sind konstant, 

⇒ Abstände der Isothermen T n − T (n−1) sind konstant. 

(Details z.B. bei Incropera & DeWit) 



Wärmeleitung bei veränderlichem Querschnitt 

˙q x ∼ 1 

∆y 

dT 

dx ∼ 1 

∆x 

T 1 

T 2 

T 3 

T ... 

T n 

Q 

Q 

y 

x 

Wärmestrom ˙Q konstant, 

˙q = ˙Q/A und damit Temperaturgradient ∂T /∂x nehmen mit x zu! 

⇒ Abstand der Isothermen nimmt ab! 



Isothermen und Adiabaten stehen senkrecht zu einander 

˙Q = ∑ ˙Q i , 

˙Q i = −λA i 

dT 

ds ≈ −λ ∑ ∆y l ∆T 

∆s . 

Q 

T 1 T 2 T 3 T n 

Q 


Nutze Symmetrien ! 


T 1 

T 2 

Wärmestrom ˙Q konstant, Wärmefluss ˙q nimmt nach außen hin ab! 



Numerische Lösung der Fourier-DGL 

. . . in einem Quadrat mit Quelle im Zentrum: 



Variable Materialeigenschaften 

Ist die Wärmeleitungtfähigkeit λ(⃗x) in der Raute gröser oder kleiner als im Aussenbereich? 


Stationäre Wärmeleitung 


Stationäre, quasi-1D Wärmeleitung in Platte, Hohlzylinder, Kugelschale. 

Péclet-Gleichungen 

Wärmedurchgang als Reihenschaltung thermischer Widerstände: 

1 

α i A 

r 2 -r 1 

λA 

1 

α a A 

Platte: T i T 1 T 2 T a 

1 

α i 2r 1 πL 

ln(r 2 /r 1 ) 

λ2πL 

1 

α a 2r 2 πL 

Zylinder: T i T 1 T 2 T a 

1 

α i 4πr 2 1 

1 1 

r 1 

1 

α a 4πr 2 2 

Kugel: T i T r2 1 T 2 T a 

λ4π 



Stationäre Wärmeleitung (2) 

Dimensionslose Größen: kompakte und übersichtliche Darstellung. 

Wärmequelle & RB 3: parabolisches Temperaturprofil in P/Z/K. 

Die Biot-Zahl 

Bi ≡ αR λ ∼ Wärmeleitwiderstand 

Wärmeübergangswiderstand 

ist eine wichtige dimensionslose Kennzahl z.B. für ” 

kritischen Radius“, oder 

Wärmeleitung mit Quellen. 

Formfaktoren S bzw. S L für Wärmeströme bei (quasi-)2D Geometrien 

grafische Methode für 2D Wärmeleitung. 


4.0 


Einleitung 

Wärmeleitung 




Methode der Blockkapazität 

Dimensionslose Kennzahlen von Biot und Fourier 

Strahlung 




4.0 

Sprungantwort“ eines Festkörpers 

” 

. . . ein instationäres Wärmeleitungsproblem 

Anfangs: 

T (⃗x, t = 0) = T 0 im Körper. 

T (⃗x, t = 0) = T ∞ außerhalb. 

T 0 

α, A 

Gesucht: 

T (⃗x, t) im Körper für t > 0. 

Fouriersche DGL: 

V 

ρc 

λ 

T(x,t) 

 

∂T (⃗x, t) 

∂t 

= a∇ 2 T (⃗x, t). 

T ∞ 

... plus Rand- / Koppelbedingungen. 


4.1 Methode der Blockkapazität Sprungantwort einer Blockkapazität 

Näherungsmethode der Blockkapazität 

. . . für die Sprungantwort eines gut leitenden Körpers 

R α ≫ R λ 

→ T (⃗x, t) ≈ T (t)! 

T 0 

α, A 

1/αA 

V 

ρc 

λ 

T(t) 

ρcV 

T(t) - T ∞ 

T ∞ 


...noch eine Analogie 


Blockkapazität ∼ 

gut durchmischter (gerührter) Behälter 

T 0 

α, A 

T 0 

1/αA 

U, A 

V 

ρc 

λ 

T(x,t) 

V 

ρcV 

ρc 

T 0 - T ∞ 

T(x,t) 

T ∞ 

T ∞ 



Bsp. 4.1.2: Rumfords Apfelkuchen 

Graf Rumford über den Apfelkuchen: 

When dining, I had often observed that some particular dishes retained their 

heat much longer than others, and that apple pies . . . remained hot for a 

surprising length of time? 

Halbwertszeit für Apfelkuchen 

(Dicke L = 2 cm, Dichte ρ = 800 kg/m 3 , Wärmekap. c = 1800 J/kg-K, 

Wärmleitfähigkeit λ = 0.6 W/m-K, WÜK α = 6 W/m 2 -K) 

⇒ 

t H = ρ c V 

α A ln 2 = ρ c L ln 2 ≈ 3330s. 

α 

Abkühlung von 100 ◦ C auf 40 ◦ C bei 20 ◦ C Umgebungstemperatur: θ = 0,25 → 

zwei Halbwertszeiten, also beinahe zwei Stunden ! 


4.1 Methode der Blockkapazität Thermometerfehler der 1. Art 

Thermometerfehler der 1. Art 

Gemessene und tatsächliche Badtemperatur θ bzw. θ B 

θ(τ) 

1,5 

∆θ ∞ 

1,0 

θ B (τ) 

0,5 

0 

θ(τ) 

1 2 

τ 


4.2 Biot- und Fourier-Zahl Gültigkeitsbereich der ” 

Näherung Blockkapazität“ 

Sprungantwort der ebenen Platte 

Entwicklung der Temperaturprofile T (x, t) für verschiedene Biot-Zahlen 


Temperaturprofile θ(ξBi) 

... bei konstanter Wärmequellendichte ẇ. 

4.2 Biot- und Fourier-Zahl Gültigkeitsbereich der ” 

Näherung Blockkapazität“ 

θ 

θ 

1 

2 

+ 1 Bi 

1 

Bi 

Bi > 1 

1 

2 

1 

ξ 

1 

Bi 

1 

ξ 

R λ ≪ R α 

R λ ≫ R α 

∆T λ ≪ ∆T α 

∆T λ ≫ ∆T α 


4.2 Biot- und Fourier-Zahl Definition & Interpretation der Fourier-Zahl 

Fourier-Zahl 

. . . mehr als eine entdimensionierte Zeit! 

Fourier-Zahl 

mit der Temperaturleitfähigkeit 

Fo ≡ at 

L 2 

[ ] m 

2 

a ≡ λ ρc 

s 

Thermisches Diffusionslängenmaß L a ∼ √ at 

Damit interpretiert man die Fourier-Zahl wie folgt 

Fo ∼ 

( ) 2 La 

∼ 

L 

( ) 2 Thermisches Diffusionslängenmaß 

. 

geometrisches Längenmaß 


Instationäre Wärmeleitung 


In einem ” 

gut wärmeleitenden“ Körper mit Biot-Zahl 

Bi ≡ αL 

λ ∼ 

Wärmeleitwiderstand ∼ 1/λL 

Wärmebergangswiderstand ∼ 1/αA ≪ 1 

ist die Temperatur nahezu homogen. 

Methode der Blockkapazität“ (für Bi ≪ 1): 

” 

Bilanziere innere Energie dU = ρc V dT und Wärme dQ = ˙q A dt, 

→ DGL für den Temperaturverlauf T (t). 

Lösung für die Sprungantwort“ : exponentielles Abklingen 

” 

θ = e −t/t ref −(n+1) Fo Bi 

= e mit 

der Fourier-Zahl Fo ≡ at 

L 2 . 

Thermometerfehler der 1. Art - systematischer Messfehler auf Grund der 

thermischen Trägheit des Temperatursensors. 

Lässt sich quantitativ erfassen (und damit korrigieren). 



Sprungantwort Blockkapazität & Kennzahlen von Biot und Fourier 

{ 

} 

t 

θ = exp{−τ} = exp − 

= exp 

ρcV /(αA) 

⎧ 

⎪⎨ 

− αAL2 

λV ⎪⎩ 

AL 

⎧⎪ 2 

AL 

AL 2 ⎨ 

⎫⎪ = L Platte 

V = 2πRlR 2 

⎬ 

= 2R Zylinder = (n + 1)L. 

πR 2 L 

⎪ 4πR 2 R 2 

⎩ 

4/3πR = 3R Kugel ⎪ ⎭ 3 

λ 

ρc 

}{{} 

a 

t 

L 2 ⎫⎪ ⎬ 

⎪ ⎭ 

. 

⇒ θ = exp{−(n + 1) Bi Fo}, mit n = 0, 1, 2 für P/Z/K. 


5.0 

sowosamma . . . 

Einleitung 

Wärmeleitung 


5. Physikalische Grundlagen 

Begriffe & Definitionen 

Strahlungsgesetze für Schwarze Körper 

Wellenlängenabhängigkeiten der thermischen Strahlung 

Gesetz von Kirchhoff 

6. Wärmeübertragung durch Strahlung 




5.0 

Mechanismen des Wärmetransports 

1 Wärmeleitung 

2 Wärmestrahlung 

3 Konvektion 


Anwendungen 

5.0 

Solarthermie, globales Klima (Treibhauseffekt). 

Lagerfeuer, Kachelofen, Raumklima. 

metallbedampfte Wärmeschutzfenster. 

Thermoskanne. 

Kesselfeuerung. 

Infrarotfotographie, Thermographie. 


5.1 Begriffe und Definitionen 

Wärmestrahlung ... 

. . . ist ”thermisch angeregte” elektromagnetische Strahlung. 

. . . wird von Materie mit Temperaturen T > 0 K emittiert . 

. . . hat Wellenlängen im Bereich λ = 0.1µm – 1 mm. 

Ultraviolett – 0.38 µm – Sichtbares Licht – 0.78 µm – Infrarot 

Nicht thermisch angeregt sind: 

Röntgen- und γ-Strahlung (ionisierend, λ < 0.01 µm). 

Mikro-, Radar- und Radiowellen (λ > 1 mm). 

fluoreszentes Leuchten, LEDs, ... 


Strahlungsaustausch 


Jeder Körper ist Quelle (Emitter) und Empfänger thermischer Strahlung. 

Die Intensität der Emission hängt stark von der Temperatur ab (∼ T 4 ). 

Einfallende Strahlung wird absorbiert oder reflektiert oder transmittiert. 



Absorption / Reflexion / Transmission 

Definition: 

α ≡ ˙Q A 

˙Q 

ρ ≡ ˙Q R 

˙Q 

Absorptionsgrad 

Reflexionsgrad 

. 

Q 

. . 

Q R 

Q E 

τ ≡ ˙Q T 

˙Q 

Energieerhaltung: 

Transmissionsgrad 

˙Q = ˙Q A + ˙Q R + ˙Q T 

. 

Q A 

. 

Q T 

T 

⇒ α + ρ + τ = 1 


Klassifizierung 


α = 1; ρ = 0; τ = 0, 

Einfallende Strahlung wird totalabsorbiert – ” 

Schwarzer Körper“ . 

ρ = 1; α = 0; τ = 0, 

Diffuse Totalreflektion – ” 

Weisser Körper“ . 

τ = 1; α = 0; ρ = 0, 

strahlungsdurchlässiger, ” 

diathermaner Körper“. 

τ = 0; α + ρ = 1, 

” Oberflächenstrahler“. 



Emissionsvermögen & Spektrale Intensität 

Die Wärmestrahlung eines Körpers hängt ab von 

Temperatur, 

Wellenlänge, 

Material & Oberflächenbeschaffenheit. 

Emissionsvermögen“ (∼ Wärmefluss): 

” 

in den Halbraum emittierte Strahlungsenergie 

e(T ) ≡ 

Zeit, Oberfläche dA, Wellenlängen λ = 0 → ∞ 

Spektrale Intensität“ : 

” 

e λ (T , λ) ≡ de 

dλ = 

Emissionsvermögen 

Wellenlängen λ → λ + dλ 

[ W 

m 3 ] 

[ W 

m 2 ] 


5.2 Schwarze Körper 

Schwarzer Körper, schwarzer Strahler 

Aus dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik folgt (Kirchhoff, 1898): 

Ein total absorbierender ” 

schwarzer Körper“ 

(α = 1; ρ = 0; τ = 0) emittiert mit 

maximaler Strahlungsintensität. 

Diese maximale Intensität nennt man die Schwarzkörperstrahlung : 

e λS (T , λ) = ?. 

Ein heißer schwarzer Körper leuchtet! 



Realisierung des schwarzen Körpers 

Hohlraum mit absorbierenden Wänden und kleiner Öffnung dient als 

Standardstrahler für Referenzzwecke. 

(Kirchhoff, 1898) 

T 



5.2.1. Planck’sches Strahlungsgesetz 

(Max Planck, 1901) 

für die spektrale Intensität des schwarzen Körpers: 

e λS (T , λ) = 

c 1 

λ 5 [ exp ( c 2 

λ T 

) 

− 1 

]. 

c 1 = 2πc 2 h = 3,741 × 10 −16 Wm 2 , 

c 2 = c h 

k 

= 1,438 × 10−2 mK, 

c – Lichtgeschwindigkeit → Elektrodynamik, 

h – Planck’sche Konstante → Quantenmechanik, 

k – Boltzmann Konstante → Statistische Thermodynamik. 



Planck’sches Strahlungsgesetz 

Strahlungsintensität e λs (λ,T) 

[W/m 3 ] 

10 15 

10 14 

10 13 

10 12 

10 11 

10 10 

10 9 

10 8 

10 7 

6000K 

800K 

3000K 

500K 

1600K 

10 6 

violett rot 2 4 6 8 10 [µm] 12 

sichtbarer Bereich Wellenlänge 

(0,4 bis 0,7µm) 


Weitere Strahlungsgesetze 


Stefan-Boltzmann’sches Gesetz (Stefan 1879, Boltzmann 1884): 

Gesamtemission in den Halbraum: 

e S (T ) = 

Stefan-Boltzmann Konstante 

∫ ∞ 

0 

e λS (T , λ) dλ = σ T 4 . 

σ = 5,67 × 10 −8 W 

m 2 K 4 . 

Wien’sches Verschiebungsgesetz (1891): 

Maximum der Intensität bei λ max mit 

λ max T = 2898 µmK 


5.4 Nicht-schwarze Strahler Emissionsgrad eines grauen Strahlers 

Grauer Strahler 

. . . mit wellenlängenunabhängigem Emissionsgrad 

e λ (λ,T) 

ε = 0,75 

schwarzer Strahler 

grauer Strahler 

λ 

Spektrale Intensität e λ (T , λ) = ɛ e λS (T , λ) 

bzw. Emissionsvermögen e(T ) = ɛ σ T 4 , 

mit ” 

Emissionsgrad“ ɛ = ɛ(T ) < 1. 


Realer Strahler 

5.4 Nicht-schwarze Strahler Der reale Strahler 

e λ (λ,T) 

ε = 0,75 

schwarzer Strahler 

grauer Strahler 

realer Strahler 

λ 

” Realer Strahler“ e λ(T , λ) = ɛ λ e λS (T , λ), mit spektralem Emissionsgrad“ 

” 

ɛ λ = ɛ λ (T , λ) < 1. Gesamt-Emissionsgrad ɛ als Mittel über alle Wellenlängen: 

ɛ(T ) = 

∫ ∞ 

0 ɛ λ(T , λ) e λ,S (T , λ) dλ 

. 

e S (T ) 


5.4 Nicht-schwarze Strahler Der reale Strahler 

Spektraler und Gesamt-Absorptionsgrad 

” Spektraler Absorptionsgrad“ α λ(T , λ) ≡ ˙Q A 

˙Q 

∣ 

∣ 

λ→λ+dλ 

∫ ∞ 

” Gesamt-Absorptionsgrad“ α(T ) ≡ 0 α λ(T , λ) b λ (λ) dλ 

∫ ∞ 

0 b . 

λ(λ) dλ 

(Gesamt-) α groß 

(Gesamt-) α klein 


5.5 Kirchhoff’sches Gesetz 

Kirchhoff’sches Gesetz 

Strahlungsaustausch ”1” (diffus) ↔ ”2” (schwarz) 

Im thermischen Gleichgewicht: 

T 1 = T 2 = T , 

e λ,1 = α λ,1 e λ,2 (Bilanz für ”1”). 

e λ,1 

Strahlungsleistung: 

e λ,1 = ɛ λ,1 e λ,S (T , λ), 

e λ,2 = e λ,S (T , λ). 

Ergo: 

ɛ λ,1 e λ,S (T 1 , λ) = α λ,1 e λ,S (T 2 , λ), 

⇒ ɛ λ,1 = α λ,1 , q.e.d. 

α λ,1 

e λ,2 

e λ,2 

ρ λ,1 

e λ,2 

"1" "2" 



Grundlagen der Wärmestrahlung 

Körper mit T > 0 K emittieren Wärmestrahlung (elektromagnetische 

Strahlung mit Wellenlänge 0,1 µm < λ < 1 mm). 

Der schwarze Körper absorbiert vollständig und emittiert mit maximaler 

Intensität. Technisch näherungsweise realisierbar durch einen Hohlraum mit 

kleiner Öffnung. 

Planck, Wien und Stefan-Boltzmann bestimmen spektrale bzw. gesamte 

Strahlungsintensität des schwarzen Körpers. 

Die spektralen Koeffizienten der Absorption α, Reflexion ρ und Transmission τ 

sind ≤ 1 und im Allgemeinen wellenlängenabhängig, beim grauen Strahler 

jedoch konstant. 

Strahlung des diffusen Strahler ist richtungsunabhängig. 

Emissions- und Absorptionsgrad diffus-grauer Strahler sind gleich 

(Gesetz von Kirchhoff) . 


6.0 


Einleitung 

Wärmeleitung 


5. Physikalische Grundlagen 

6. Wärmeübertragung durch Strahlung 

Strahlungsaustauschbeziehungen 

Strahlungs-Wärmeübergangskoeffizient 

Schwarzkörperfunktionen 




6.1 Strahlungsaustauschbeziehungen 

Wärmeübertragung durch Strahlungsaustausch 

... zwischen diffus-grauen Platten (Kirchhoff !) 

Nettowärmestrom von ”1” nach ”2”: 

A 

˙Q 1→2 = A 1 Σ 12 (T 4 1 − T 4 2 ). 

mit Austauschkoeffizient 

σ 

Σ 12 ≡ 

1 

+ 1 . 

− 1 

ɛ 1 ɛ 2 

2 ,T 2 

1 ,T 1 



Herleitung des Austauschkoeffizienten (1) 

... durch ”Strahlverfolgung” 

2 3 

Von ”1” nach ”2”: ˙q →2 = α 2 

∑ ∞ 

0 (1 − α 1) n (1 − α 2 ) n e 1 . 



Herleitung des Austauschkoeffizienten (2) 

Mit a ≡ (1 − α 1 )(1 − α 2 ) und ∑ ∞ 

0 an = 1 

1−a : 

Nettostrahlungsleistungsdichte: 

˙q →2 = α 2 e 1 

∞ 

∑ 

und analog ˙q →1 = . . . = α 1e 2 

1 − a . 

0 

a n = α 2e 1 

1 − a , 

˙q 1→2 = α 2e 1 − α 1 e 2 

1 − a 

= α 2ɛ 1 σT 4 1 − α 1 ɛ 2 σT 4 2 

1 − a 

Mit Kirchhoff α i = ɛ i 

˙Q 1→2 = A ɛ 1ɛ 2 σ(T1 4 − T2 4 ) 

1 − (1 − ɛ 1 )(1 − ɛ 2 ) = A σ ( 

1 T 

4 

ɛ 1 

+ 1 ɛ 2 

− 1 1 − T2 

4 

} {{ } 

Σ 12 

) 

— q.e.d. 



Konvexer Körper im geschlossenen Raum 

Für diffus-graue Strahler: 

mit 

˙Q 1→2 = A 1 Σ 12 (T 4 1 − T 4 2 ). 

Σ 12 = 

Falls A 1 

A 2 

≪ 1 : 

σ 

( 

1 1 

+ − 1 

ɛ 1 ɛ 2 

) 

A1 

A 2 

. 

ε1, A 1 , T 1 

T 2 

ε2, A 2 , T 2 

T 1 T 2 

T 1 

Σ 12 = ɛ 1 σ. 


Strahlungsschutzschirm 


n Schirme zwischen ”1” und ”2”, 

ɛ 1 = ɛ 2 = ɛ: 

˙Q 1→2 = A Σ 12 

1 + n (T 4 1 − T 4 2 ). 

T 1 

ε 1 

T a T b T n 

ε ε 

ε 

T 2 

ε2 

S 1 

S 2 

S n 


6.3 Strahlungs-Wärmeübergangskoeffizient 

Beispiel: Strahlung und Konvektion parallel 

Elektronisches Gerät mit der Wandtemperatur T W 1 in Fabrikhalle. 

Wärmeabgabe konvektiv an die Umgebungsluft (T ∞ ): 

˙Q K = A α K (T W 1 − T ∞ ). 

Strahlungsaustausch mit den Hallenwänden (T W 2 ): 

Gesamtwärmestrom: 

˙Q St = A Σ 12 (T 4 W 1 − T 4 W 2) = A α St [T W 1 − T W 2 ]. 

˙Q = ˙Q K + ˙Q St = A [α K (T W 1 − T ∞ ) + α St (T W 1 − T W 2 )]. 

Falls T W 2 ≈ T ∞ : 

˙Q = A (α K + α St ) (T W 1 − T ∞ ). 


6.4 Schwarzkörperfunktionen 

Schwarzkörperfunktionen 

... zur integralen Erfassung von Wellenlängenabhängigkeiten. 

Definition: 

F λ 0 (λT ) ≡ 

∫ λ 

0 ɛ λ,S(T , λ ′ ) dλ ′ 

∫ ∞ 

0 ɛ λ,S(T , λ ′ ) dλ ′ ∼ 

Anteil im Bereich 0 → λ 

. 

Gesamte Emission 

10 14 

10 13 

ε λ 

10 12 

F 0 -> λ 

10 11 

10 -7 10 -6 10 -5 

2 3 4 5 6 7 8 9 

2 3 4 5 6 7 8 9 

λ 



Auswertung der Schwarzkörperfunktion 

Definition: 

∫ λ 

F0 λ 0 

(λT ) ≡ 

ɛ λ,S(T , λ ′ ) dλ 

∫ ′ 

∞ 

0 ɛ . 

λ,S(T , λ ′ ) dλ ′ 

Gesetze von Planck & Stefan-Boltzmann: 

F λ 0 = 

∫ λ T 

0 

c 1 /σ 

(λ ′ T ) 5 [exp(c 2 /λ ′ T ) − 1] d λ′ T 

⇒ F λ 0 

ist Funktion von (λT ) und nicht von (T , λ) ⇒ Tabelle: 

λT 

×1000 

[m K] 1,448 2,195 2,676 3,582 4,745 9,374 22,83 

F λ 0 (λT ) [-] 0,01 0,1 0,2 0,4 0,6 0,9 0,99 



Beispiel: Spektrale Verteilung Solarstrahlung 

Sonne: schwarzer Körper bei Temperatur T = 5800 K. 

F λ 0 (λT ) = 0,01 für λT = 1,448 × 10 −3 m K, d.h. 

1 % der Strahlungsleistung im Intervall 0 < λ < λ 1% mit 

λ 1% = 1,448 × 10−3 m K 

5800K 

= 0,24 µm. 

F λ 0 (λT ) = 0,99 für λT = 22,83 × 10 −3 m K, d.h. 


λ 99% = 22,83 × 10−3 m K 

5800K 

N.B.: sichtbarer Bereich 0,4 bis 0,7 µm. 

= 3,94 µm. 



Beispiel: Spektrale Verteilung bei Umgebungstemperatur 

Grauer Körper bei Temperatur T = 300 K. 


λ 1% = 1,448 × 10−3 m K 

300K 

= 4,83 µm. 


λ 99% = 22,83 × 10−3 m K 

300K 

→ selbst λ 1% liegt deutlich im Infraroten ! 

= 76,1 µm. 


Treibhauseffekt (1) 

6.5 Der Treibhauseffekt 

1 % 99 % 1 % 

99 % 

4 

4 

e λ,S (5800, λ) 

10 14 2 

8 

6 

4 

10 13 2 

8 

6 

4 

3 

2 

7 

6 

5 

4 

3 

2 

10 8 

e λ,S (300, λ) 

10 12 2 

8 

6 

4 

10 -7 2 3 4 5 6 7 8 

10 -6 2 3 4 5 6 7 8 

10 -5 2 3 4 5 6 7 

λ [m] 

7 

6 

5 

4 

10 7 


Treibhauseffekt (2) 

6.5 Der Treibhauseffekt 



Wärmeübertragung durch Strahlung 

. . . ist wegen der T 4 -Abhängigkeit vor allem bei hohen Temperaturen wichtig, oder 

wenn andere Wärmetransportmechanismen schwach sind. 

Netto-Wärmeströme zwischen zwei diffus-grauen Strahlern berechnet man 

durch Strahlungsaustauschbeziehungen 

˙Q = A 1 Σ 12 (T 4 1 − T 4 2 ) 

Der Austauschkoeffizient Σ 12 hängt ab von Geometrie und Emissionsgraden. 

Strahlungsschutzschirme werden häufig genutzt, um den 

Strahlungswärmestrom zu reduzieren. 



Wärmeübertragung durch Strahlung (2) 

Der Strahlungs-Wärmeübergangskoeffizient α St ∼ T 3 ist oft hilfreich bei 

Wärmeübertragungsproblemen mit Strahlung und Konvektion. 

Mithilfe der Schwarzkörperfunktionen sind verschiedene Aspekte der spektralen 

Verteilung der Emission von schwarzen oder grauen Körpern einfach zu 

erfassen. 

Viele Gase sind im Infraroten optisch undurchlässig (trüb) – dies spielt eine 

wichtige Rolle bei der Gas- oder Flammenstrahlung in Brennkammern oder 

beim Treibhauseffekt. 


7.0 


Einleitung 

Wärmeleitung 



7 Massen- und Energiebilanzen beim konvektiven Transport 

Rührreaktor mit Heizung 

Rohrleitung mit Wärmeverlust 

8 Wärmeübertrager 

9 Grundbegriffe Thermofluiddynamik 

10 Konvektiver Wärmeübergang und Nußelt-Zahl 



Massen und Energiebilanzen in integraler Form 

Ruhendes, offenes System mit Volumen V , Strömungsgeschwindigkeit ⃗w 

7.0 

Massenbilanz: 

Energiebilanz: 

∫ 

∂ 

∂t 

V 

∫ 

ρ u dV + 

∫ ∫ 

∂ 

ρ dV + ρ w i dA i = 0. 

∂t V 

∂V 

∂V 

[ ( 

ρ u + p ) ] 

w i + ˙q i 

ρ 

∫ 

dA i = 

V 

˙ω dV . 

• u – innere Energie, h = u + p/ρ – Enthalpie. 

• kin. Energie, Volumenkräfte, Viskosität vernachlässigt. 


7.1 Gerührter Behälter 

Gerührter, durchströmter Behälter mit Heizung 

Ideal gerührter Behälter: 

• T (⃗x, t) ∼ T (t) 

• Zustand ” 

A“ = Zustand im Reaktor 

• Zustand ” 

E“ ≠ Zustand im Reaktor 

Massenstrom ṁ E = const. 

Heizung ˙Q el = const. 

Wärmeverluste 

˙Q ∞ = −UA B (T − T ∞ ) 

U 

Anfangstemperatur T 0 = T ∞ 

ZulauftemperaturT E = T ∞ 

Gesucht: Temperatur T (t) =?. 


7.2 Rohrströmung 

Wärmeverluste bei Rohrströmung 

α a 

U 

dQ 

T ∞ 

r a 

m 

α i 

r i 

H(x) 

H(x+dx) 

x 

dx 

T 0 

T m (x) 

T m (x+dx) 

d ˙Q 2π dx (T m (x) − T ∞ ) 

= −( 1 

+ 1 ln r 1 

+ · · · + 1 ) ≡ −U 2πr a dx (T m (x) − T ∞ ). 

α i r i λ 1 r i α a r a 



Massen- und Energiebilanzen beim konvektiven Transport 

Mit einem Massenstrom ṁ eines Fluids mit Temperatur T und 

Wärmekapazität c geht ein konvektiver Enthalpiestrom Ḣ = ṁ c T einher. 

Massen- und Energiebilanzen liefern Temperaturverläufe T (t) bzw. T (x) 

in Rührreaktoren, Rohrleitungen oder Wärmeübertragern. 

Ursache (Temperaturdifferenz T − T ∞ ) und Wirkung (Änderung der 

Temperatur dT ) sind zueinander proportional 

→ zeitlich bzw. räumlich exponentielles Abklingen 


8.0 


Einleitung 

Wärmeleitung 





Anwendungen, Bauformen & Kennzahlen 

Betriebscharakteristik, Nachrechnen & Auslegen 

Gegenstrom-Wärmeübertrager 

Übertragungsfähigkeit, Wirkungsgrad & mittlere Temperaturdifferenz 

Wärmeübertrager mit Phasenumwandlung 





Doppelrohrwärmeübertrager 

8.0 

Gegenstrom: 

T h 

Gleichstrom: 

T h 

' T c 

T' 

h 

T' 

h 

T c 

T c 

' 

T c 

''1'' 

''2'' 

''1'' 

''2'' 

. 

T h, m h 

. 

T c, m c 

''2'' 

' T h 

. 

T h, m h 

' T c 

''2'' 

' T h 

''1'' 

' T c 

''1'' 

. 

T c, m c 


Rohrbündel-Wärmeübertrager 

8.0 


Kompakt-Wärmeübertrager 

8.0 


8.1 Einflussgrößen & Kennzahlen 

Einflussgrößen Wärmeübertrager 

. 

m' h 

, c p,h 

, T' h 

. 

m h 

, c p,h 

, T h 

heiß 

. U A 

Q 

kalt 

. 

m' c 

, c p,c 

, T' c 

. 

m c 

, c p,c 

, T c 


8.1 Einflussgrößen & Kennzahlen 

Kennzahlen & Auslegungsparameter 

Dimensionlose Temperaturerhöhungen: 

θ h ≡ T h − T ′ h 

T h − T c 

, 

θ c ≡ T ′ c − T c 

T h − T c 

. 

Verhältnis der Wärmekapazitätströme: Ċ r ≡ Ċmin 

Ċ max 

. 

Dimensionlose Übertragungsfähigkeit (NTU): 

N ≡ UA 

Ċ min 

∼ 

Übertragene Wärme 

Enthalpiedurchsatz . 

Wirkungsgrad: 

ɛ ≡ 

˙Q 

Ċ min (T h − T c ) ∼ 

Übertragene Wärme 

max. übertragbare Wärme . 


8.2 Betriebscharakteristik, Nachrechnen & Auslegen 

Nachrechnen eines Wärmeübertragers 

Gegeben: T h , T c , Ċh, Ċc, UA. 

Gesucht: T ′ h , T ′ c, ˙Q. 

Lösung durch Betriebscharakteristik, aufgelöst nach θ c 

θ c = θ c (Ċ r , N). 

1.0 

C r (N,θ h ) = const 

0.8 

Nachrechnung 

θ C 

0.6 

Auslegung 

0.4 

0.2 

0.0 

0 

1 

2 

N 

3 

4 

5 


8.2 Betriebscharakteristik, Nachrechnen & Auslegen 

Auslegen eines Wärmeübertragers 

Gegeben: T h , T h ′, T c, T c ′ oder Ċc, Ċh. 

Gesucht: UA bzw. N. 

Lösung durch Betriebscharakteristik aufgelöst nach N: 

N = N(θ c , Ċ r ) 

1.0 

C r (N,θ h ) = const 

0.8 

Nachrechnung 

θ C 

0.6 

Auslegung 

0.4 

0.2 

0.0 

0 

1 

2 

N 

3 

4 

5 


8.3 Betriebscharakteristik Gegenstrom-Wärmeübertrager 

Globale Energiebilanz 

. . . eliminiert eine Unbekannte 

Vom heißen zum kalten Strom übertragene Wärme ist gleich der Änderung der 

Enthalphieströme (1. Hauptsatz für ein offenes System): 

˙Q = Ċh(T h − T ′ h) = Ċc(T ′ c − T c ), 

⇒ 

T h − T h 

′ = Ċc T c ′ − T c 

, 

T h − T c Ċ h 

T h − T c 

⇒ θ h = Ċr θ c . 

falls Ċc < Ċh und somit Ċr = Ċc/Ċh. 

Betriebscharakteristik F (θ c , Ċr, N) = 0 durch detaillierte Bilanz: 

θ c = θ c (Ċr, N) oder 

N = N(Ċr, θ c ). 



Lokale Bilanz am Kontrollvolumen dV 

. . . liefert die (bauformabhängige) Betriebscharakteristik 

. . 

C h , T h . C h (T h +dT h ) 

dQ 

. 

C c , T c 

. 

C c (T c +dT c ) 

dx 

Zugeführte Energie = Abgeführte Energie 

Ċ h T h (x) = d ˙Q(x) + Ċh T h (x + dx), 

Ċ c T c (x + dx) + d ˙Q(x) = Ċc T c (x). 



Betriebscharakteristik Gegenstrom 

Auslegungsrechung: 

N(θ c , Ċr) = 1 

1 − Ċr 

ln 

( ) 

1 − Ċrθ c 

. 

1 − θ c 

Nachrechung: 

θ c = 1 − exp [ −N(1 − Ċr) ] 

1 − Ċr exp [ ]. 

−N(1 − Ċr) 

N.B.: dies gilt für Ċc < Ċh, andernfalls θ c → θ h 



Beispiel 8.3.1: Auslegen Gegenstrom 

. 

T h , m h 

. 

T c , m c 

T' h 

“1” T' “2” 

c 

Kühlwasser: 1 kg/s mit Eintrittstemperatur T c = 10 ◦ C. Heißer Strang: 

T h = 90 ◦ C → T ′ h = 60◦ C, Massenstrom ṁ h = 2 kg/s. 

Gesucht: 

wärmeübertragende Fläche A ? 

Austrittstemperatur Kühlwasser T ′ c ? 

Wärmeleistung ˙Q ? 



Beispiel 8.3.1: Auslegen Gegenstrom (2) 

U-Wert am inneren Rohr ca. 3660 W/m 2 -K, 

spezifische Wärmekapazität c p = 4200 J/kg-K. 

→ Wärmekapazitätsströme 

Ċ c = c p ṁ c = 4200 × 1 W K = 4200W K , 

Ċ h = c p ṁ h = 4200 × 2 W K = 8400W K , 

Ċ r = Ċc 

Ċ h 

= 1 2 . 

Für die bezogenen Temperaturänderungen gilt 

θ h = T h − T ′ h 

T h − T c 

= 

90 − 60 

90 − 10 = 0,375, θ c = θ h 

Ċ r 

= 0,75. 



Beispiel 8.3.1: Auslegen Gegenstrom (3) 

Mit der Betriebscharakteristik berechnet man die Übertragungsfähigkeit 

( ) 

N(θ c , Ċr) = 1 1 − 

ln Ċrθ ( ) 

c 1 1 − 0,375 

= 

1 − Ċr 1 − θ c 1 − 1/2 ln = 2 ln(2,5) = 1,83 

1 − 0,75 

Damit Übertragerfläche und Wärmestrom 

A = N Ċmin 1,83 × 4200 

= m 2 = 2,1 m 2 , 

U 3660 

˙Q = Ċc(T c ′ − T c ) = Ċc θ c (T h − T c ) 

= 4200 × 0,75 × (90 − 10) W = 252 kW. 

Für die Austrittstemperatur des Kühlwassers gilt 

T ′ c = T c + (T h − T c )θ c = 10 ◦ C + (90 − 10)0,75 ◦ C = 70 ◦ C. 



Beispiel 8.3.2: Nachrechnen 

Mehr Kühlwasser ṁ c = 1, 5 kg/s (und U = 3900 W/m 2 -K) ! 

Austrittstemperaturen T ′ = ?, Wärmestrom ˙Q = ? 

Ċ c = c p ṁ c = 4200 × 1, 5 W K = 6300W K , 

Ċ r = Ċc 

Ċ h 

= 0,75, 

N = U A 

Ċ min 

= 

3900 × 2,1 

6300 

= 1,3. 

⇒ θ c (N, Ċr) = 1 − e−N(1−Ċ r ) 1 − e−0,325 

= = 0,606, 

1 − Ċre−N(1−Ċ r ) 1 − 0,75 e−0,325 Technische Universität München - Thermodynamik Wärmetransportphänomene – SS13 8 - 15


Beispiel 8.3.2: Nachrechnen (2) 

T c ′ = T c + (T h − T c )θ c 

= 10 ◦ C + (90 − 10) × 0,606 ◦ C = 58,5 ◦ C, 

θ h = Ċr θ c = 0,75 × 0,606 = 0,455, 

T h ′ = T h − (T h − T c )θ c 

= 90 ◦ C − (90 − 10) × 0,455 ◦ C = 53,6 ◦ C, 

˙Q = Ċc(T c ′ − T c ) = Ċc θ c (T h − T c ) 

= 6300 × 0,606 × (90 − 10) W = 305 kW. 


8.4 Wirkungsgrad eines Wärmeübertragers 

Idealer Wärmeübertrager 

Reversibel, keine Entropie-Produktion: ∆T → 0. 

T h 

T c 

“1” “2” 

T h 

T c 

T h = T ′ c ! 

T ′ h = T c ! 

⇒ Ċh = Ċc. 



Idealer asymmetrischer Wärmeübertrager 

. . . d.h. Ċ h ≠ Ċ c : 

˙Q = Ċ h (T h − T ′ h) = Ċ c (T ′ c − T c ). 

˙Q max = Ċmin(T h − T c ) 



Wirkungsgrad eines Wärmeübertragers 

Oder 

ɛ ≡ 

˙Q 

˙Q max 

= 

⎧ 

⎪⎨ 

⎪⎩ 

Damit für die Betriebscharakteristik 

Ċ c (T ′ c − T c ) 

Ċ min (T h − T c ) = θ c; Ċ c < Ċh, 

Ċ h (T h − T ′ h ) 

Ċ min (T h − T c ) = θ h; Ċ h < Ċc. 

ɛ = θĊmin . 

N = N(ɛ, Ċr), 

ɛ = ɛ(Ċ r , N). 

Wärmeleistung eines Wärmeübertragers: 

˙Q = ɛ Ċmin(T h − T c ). 



Betriebscharakteristik Gegenstromübertrager 

. . . formuliert mit dem Wirkungsgrad 

1.0 

0.8 

ε 

0.6 

C_R = 0, 0.25, ... , 1 

0.4 

0.2 

0.0 

0 

2 

4 

ɛ = 1 − exp [ −N(1 − Ċr) ] 

1 − Ċr exp [ ]. 

−N(1 − Ċr) 

N 

6 

8 

10 


8.5 Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz 

Mittlere Temperaturdifferenz 

Definiere 

damit 

∆T m ≡ 1 ∫ 

(T h − T c )dA. 

A 

A 

˙Q = U A ∆T m . 

Man findet für Gleich- und Gegenstrom: 

∆T m = ∆T log ≡ ∆T 2 − ∆T 

( ) 1 

. 

∆T 

ln 2 

∆T 1 

(wie schon beim Wärmeübergang im Rohr...) 


8.5 Mittlere logarithmische Temperaturdifferenz 

Beispiel 8.5.2.: Auslegungsrechnung mit ∆T log 

Wärmestrom: ˙Q = ṁ h c p (T h − T ′ h ) = 2 kg 

s 

Energiebilanz Kühlwasser: T ′ c = T c + 

Somit 

˙Q 

ṁ c c p 

× 4200 J 

kgK 

= 10 ◦ C + 252000 W 

× (90 − 60) K = 252 kW. 

1 kg 

s ×4200 J 

kgK 

= 70 ◦ C. 

∆T 1 = T h − T c ′ = (90 − 70) ◦ C = 20 ◦ C, ∆T 2 = T h ′ − T c = 50 ◦ C, 

∆T log = ∆T 2 − ∆T 

( 1 

= (50 − 20) ◦ C 

∆T 

ln 2 ln ( ) 

50 

= 32,7 ◦ C, 

20 

⇒ A = 

∆T 1 

) 

˙Q 

U ∆T log 

= 

252000 W 

3660 W 

m 2 K 32,7 K = 2, 1 m2 . 


8.6 Wärmeübertrager mit Phasenübergang 

Wärmeübertrager mit Phasenübergang 

Verdampfung, T c = const. 

Kondensation, T h = const. 


8.6 Wärmeübertrager mit Phasenübergang 

Betriebscharakteristik Verdampfer 

T c = const. und entsprechend Wärmekapazität Ċ c → ∞ : 

⇒ θ c = 0. 

Ċ r → 0. 

Vereinfachte Betriebscharakteristik: 

N = N(θ h ). 

Wärmestrombilanz (für beliebigen Typ WT): 

N = − ln(1 − ɛ), 

ɛ = 1 − exp(−N). 


8.7 Weitere Bauformen 

Gleichstrom-Wärmeübertrager 

Vergleich Gegenstrom ↔ Gleichstrom: 

ɛ(N, Ċr) = 1 − exp [ −N(1 + Ċr) ] 

, 

1 + Ċr 

N(ɛ, Ċ r ) = − ln [ 1 − ɛ(1 + Ċ r ) ] 

1 + C r 

lim ɛ ↑↑ = 1 Gleichstrom, 

N→∞ 1+Ċ r 

lim ɛ ↑↓ = 1 Gegenstrom. 

N→∞ 

⇒ Gegenstrom hat höheren Wirkungsgrad solange Ċ r > 0!. 



Kreuzstrom-Wärmeübertrager 

(unvermischt) 



Kreuzstrom-Wärmeübertrager 

(einseitig quergemischt) 


Wärmeübertrager 


In einem Wärmeübertrager wird Wärme zwischen zwei Fluiden übertragen, die 

den Wärmeübertrager durchströmen. Die Temperaturänderungen der 

Teilströme sind voneinander abhängig. Im Rekuperator sind die Arbeitsmedien 

durch (Rohr-)Wände voneinander getrennt. 

Bauformen: Gegen-, Gleich-, Kreuzstrom, Kondensator & Verdampfer 

Kennzahlen: θ h , θ c , Ċ r , N, η 

Die Betriebscharakteristik ɛ = ɛ(N, Ċ R ) für den Wirkungsgrad ɛ ≡ θĊmin 

erlaubt das Auslegen oder das Nachrechnen 

basiert auf lokalen und globalen Massen- und Energiebilanzen 

ist nicht immer analytisch darstellbar → grafische Methoden 

Alternative: ˙Q = U A ∆T m 

mit der logarithmische Temperaturdifferenz ∆T log ≡ ∆T 2 − ∆T 

( ) 1 

. 

∆T 

ln 2 

∆T 1 


9.0 


Einleitung 

Wärmeleitung 






Begriffe & Ergebnisse der Strömungslehre 

Hydrodynamische Grundgesetze viskoser Fluide 

Reynolds-, Péclet- und Prandtl-Zahl 

Grenzschicht-Konzept 




9.0 

Rekapitulation: Konvektiver Wärmeübergang 

. . . zwischen strömendem Fluid und begrenzender Wand 

Beteiligte Transportmechanismen: 

Konvektion 

(Mitnahme durch Strömung) 

Wärmeleitung 

Ziel: Bestimmung des Wäermeübertragungskoeffizienten α ! 


9.0 

Energiebilanz bei Rohrströmung 

. . . mit mittlerer Fluidtemperatur T m (x) im Rohr 

q . 

T W 

m 

T m 

α 

r i 

T 0 

x 

dx 

T m 

(x) T m 

(x+dx) 

ṁ, Ḣ = ṁ c T m(x) − konvektiver Massen- & Energietransport 

˙q ∼ α(T W − T m ) − Wärmeübergang 

α − gegeben! 

T (x, r) − nicht bekannt! 



. . . vom Fluid an die Rohrwand 

9.0 

q . 

T W 

λ 

r i 

T 0 

u(x,r) 

x 

T(x,r) 

dx 

T m (x) T m (x+dx) 

u(r) − Profil der Axialgeschwindigkeit. 

u(r i ) = 0 − Kein konvektiver Transport an der Wand! 

∂T (x, r) 

˙q(x, r i ) = −λ ∂r ∣ . 

ri 

→ 

Profile T (x, r), u(x, r) müssen bekannt sein! 


9.0 

Vorschau: Bestimmung des Wärmeübergangskoeffizienten α mittels 

Korrelationen für die Nußelt-Zahl: [Nu ≡ αL 

λ .] 

Re, Pr 

} {{ } 

Kennzahlen 

⇑ 

u ∞ , L, ν, a 

} {{ } 

Einflussgrößen 

=⇒ Nu = Nu(Re, Pr) 

} {{ } 

Nußelt-Zahl 

⇓ 

α = Nu λ 

L } {{ } 

Wärmeübergangszahl 

=⇒ ˙q W = α(T W − T ∞ ) 

} {{ } 

Wärmestromdichte 


9.1 Grundbegriffe & Ergebnisse der Strömungslehre 

Grundbegriffe & Ergebnisse der Strömungslehre 

Zähigkeit η und Schubspannung τ 

Grenzschicht 

Turbulenz 

Hydrodynamische Grundgesetze 

Reibungs- bzw. Widerstandsbeiwert c f , c W 

Kennzahlen: 

Reynolds Zahl Re, Prandtl Zahl Pr, Nußelt Zahl Nu 



Viskosität & Schubspannung 

Für raumbeständiges Fluid: 

τ ji ≡ η ∂w j 

∂x i 

[ N 

m 2 ] 

. 

Hier: τ xy = η ∂u 

∂y . 

x 

a 

u ∞ 

τ 

τ 

u( 

x,y) 

a 

L 

Interpretation: 

Kraft in x-Richtung, welche an Fläche ŷ angreift. 

Diffusion von x-Impuls in Richtung y (Impulsstromdichte). 

Gleichgewicht zwischen Schubspannung τ und Druck p bestimmt das 

Geschwindigkeitsprofil u(x, y). 



Reibungs- und Widerstandsbeiwert 

Wandschubspannung: τ W = η 

( ) ∂u 

∂y 

W 

u ∞ 

Widerstandskraft: W = b 

L∫ 

0 

τ W (x)dx 

Reibungsbeiwert: c f (x) = τ W (x) 

ϱu 2 ∞/2 

Widerstandsbeiwert: 

∫ L 

a 

x 

L 

τ W 

u( 

x,y) 

a 

c W (x) = 1 L 

c f (x) dx = c f 

0 



Turbulenz & Reynolds-Zahl 

laminare 

Unterschicht 

Laminare Strömung −→ Turbulente Strömung für Re > Re crit . 

Reynolds-Zahl Re x ≡ u ∞x 

ν 

= ρu2 ∞ 

ηu ∞ /x ∼ Trägheit 

Reibung 


9.2 Die hydrodynamischen Grundgesetze viskoser Fluide 

Hydrodynamische Grundgesetze 

(2D, inkompressibles Fluid mit ρ = const) 

Der Massenerhaltungsatz (Kontinuitätsgleichung): 

∂u 

∂x + ∂v 

∂y = 0. 

Der Impulserhaltungssatz (Navier-Stokes-Gleichungen) 

[ ∂u 

ϱ 

∂t + u ∂u 

∂x + v ∂u ] 

= − ∂p 

( ∂ 2 ) 

u 

+ η 

∂y 

∂x 

∂x 2 + ∂2 u 

∂y 2 + ϱ g x 

[ ∂v 

ϱ 

∂t + u ∂v 

∂x + v ∂v ] 

= − ∂p 

( ∂ 2 ) 

v 

+ η 

∂y 

∂y 

∂x 2 + ∂2 v 

∂y 2 + ϱ g y 

Trägheitskraft Druck-, Zähigkeits-, Feldkraft 



Zum konvektiven Term 

... vgl. ” 

substantielle Ableitung“ oder ” 

materielle Ableitung“ 

Geschwindigkeit variiert mit Ort ⃗x und Zeit t: 

( ) u(t, x, y) 

⃗u(t,⃗x) = 

v(t, x, y) 

y 

y+∆y 

Impulsänderung für Fluidelement dV : 

y 

ρ dV ∆⃗u 

∆t = ⃗F . 

Änderung der Geschwindigkeit eines Fluidelements: 

x 

x+∆x 

∆u = u(t + ∆t, x + ∆x, y + ∆y) − u(t, x, y) = 

= ∂u 

( 

∂u ∂u ∂u 

∆t + ∆x + 

∂t ∂x ∂y ∆y = ∂t + u ∂u 

∂x + v ∂u ) 

∂y 

} {{ } 

konvektiver Term 

∆t. 

x 



Energieerhaltungsgleichung 

Raumbeständiges Fluid (ρ = const.): 

ϱc 

[ ∂T 

∂t + u ∂T 

∂x + v ∂T ] [ ∂ 2 T 

= λ 

∂y ∂x 2 

] 

+ 

∂2 T 

∂y 2 

+ u ∂p 

∂x + v ∂p 

∂y + η φ 

Konvektion Wärmeleitung Kompression Dissipation 

Stationär, Kompression und Dissipation vernachlässigt (Ma < 1): 

u ∂T 

∂x + v ∂T [ ] 

∂ 2 

∂y = a T 

∂x + ∂2 T 

. 

2 ∂y 2 


9.3 Reynolds-, Peclet- und Prandtl-Zahl 

Kennzahlen der Thermofluiddynamik: Reynolds- und Prandtl-Zahlen 

Dimensionslose Form der Erhaltungsgleichungen 

∂ũ 

∂˜x + ∂ṽ 

∂ỹ 

ũ ∂ũ 

∂˜x + ṽ ∂ũ 

∂ỹ 

ũ ∂ṽ 

∂˜x + ṽ ∂ṽ 

∂ỹ 

ũ ∂ ˜T 

∂˜x + ṽ ∂ ˜T 

∂ỹ 

= 0. (Masse), 

= − ∂˜p 

∂˜x + 1 ( ) 

∂2ũ 

Re L ∂˜x + ∂2 ũ 

2 ∂ỹ 2 

= − ∂˜p 

∂ỹ + 1 ( ∂2ṽ 

Re L 

= 

1 

Re L Pr 

( 

∂ 2 ˜T 

∂˜x 2 

(x-Impuls), 

) 

∂˜x + ∂2 ṽ 

(y-Impuls), 

2 ∂ỹ 

) 

2 

+ 

∂2 ˜T 

(Energie). 

∂ỹ 2 


9.4 Das Konzept der Grenzschicht nach Prandtl 

Grenzschicht 

Reibungsfreie Potentialströmung im Kerngebiet , p(s) + ϱ w(s)2 

2 

= const., 

Zähigkeitsbehaftete Strömung in der Grenzschicht . 

Haftbedingung ⃗u = 0 an der Wand 



Plattengrenzschicht 

dynamische Viskosität: η, [kg/m-s = Pa s]. 

kinematische Viskosität: ν = η ρ , [m2 /s]. 

Haftbedingung u(y = 0) = 0. 

Grenzschichtdicke δ(x). 

Freistromgeschwindigkeit u ∞ bei 

y → ∞ bzw. y > δ(x). 



Temperaturgrenzschicht 

u ∞ 

T ∞ 

y,v 

x,u 

ux,y) ( 

T(x,y) 

δ(x) 

δ (x) 

th 

L 

T w 

Wärmestrom an der Wand: 

( ) ∂T 

˙q W = α(x)(T W − T ∞ ) = −λ . 

∂y 

W 

} {{ } 

( ) 

λ ∂T 

⇒ α(x) = − 

T W − T ∞ ∂y 

W 

Im Fluid! 

∼ λ 

δ th 

. 


9.4 Das Konzept der Grenzschicht nach Prandtl Grenzschichtablösung 

Grenzschichtablösung 

... anstatt Bernoulli 

a) 

A 

A 



Stromlinien am Ablösepunkt 

b) 

y 

A 

x 



Wendepunkt bei Ablösung 

c) 

y 

 

A 

WP 

WP 

x 

 

 

 

u 

y 

 

 

0 

 

0; 

 

 

 

u 

y 

 

 

0 

 

0; 

 

 

 

u 

y 

 

 

0 

 

0 



Thermo-Fluiddynamik 

In viskosen Fluiden ist die Schubspannung (= Impulsstromdichte) proportional 

zum Gradienten der Geschwindigkeit, z.B. τ = η ∂u/∂y. 

Das Zusammenspiel von konvektivem und diffusivem Transport bestimmt die 

Profile von Geschwindigkeit und Temperatur in Wandnähe und damit die 

Stromdichten τ W bzw. ˙q W . 

Die wichtigsten Kennzahlen der Thermofluiddynamik sind 

Reynolds-Zahl Re ∼ 

konvektiver Impulsstrom 

diffusiver Impulsstrom , 

Péclet-Zahl Pe ∼ 

Prandtl-Zahl Pr ∼ 

konvektiver Impulsstrom 

, 

Wärmeleitung 

diffusiver Impulsstrom 

. 

Wärmeleitung 


Thermo-Fluiddynamik (2) 


Laminare Strömung schlägt bei ausreichend hoher Reynolds-Zahl in turbulente 

Strömung um, mit verstärktem Austausch von Impuls, Energie und Stoff. 

Bei hoher Reynolds-Zahl unterscheidet man zwischen reibungsfreier 

Kernströmung und wandnaher, dünner Grenzschicht 

In der Grenzschicht sind wandnormale Gradienten ∂u/∂y, ∂T /∂y viel größer als 

Gradienten in Längsrichtung. Daraus resultiert eine wesentliche Vereinfachung 

der Navier-Stokes-Gleichungen, die sog. Grenzschichtgleichungen . 

Dünne Grenzschichten führen zu intensiver Impuls- bzw. Wärmeübertragung. 


10.0 


Einleitung 

Wärmeleitung 







Strömungsphysik des Wärmeübergangs 

Berechung von Wärmeübergangskoeffizienten mittels der Nußelt-Zahl 

Korrelationen für die Nußelt-Zahl 



10.1 Strömungsphysik des Wärmeübergangs 


Geschwindigkeits- und Temperaturprofile in der Grenzschicht → Wärmeübergangskoeffizient 

y 

u 

y 

T 

__ T 

y 

W 

u 

δ 

T 

δ th 

T W 

˙q W = α(T W − T ∞ ) 

˙q W = −λ ∂T 

∣ 

∂y 

∣ 

W 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪ ⎭ 

⇒ α ∼ λ 

δ th 


10.3 Berechung von α mittels der Nußelt-Zahl 

Berechnung des Wärmeüberganskoeffizienten 

. . . mithilfe der Nußelt-Zahl Nu ≡ αL/λ 

Re, Pr 

} {{ } 

Kennzahlen 

⇑ 

u ∞ , L, ν, a 

} {{ } 

Einflussgrößen 

=⇒ Nu = Nu(Re, Pr) 

} {{ } 

Nußelt-Zahl-Korrelation 

⇓ 

α = Nu λ 

L } {{ } 

Wärmeübergangszahl 

=⇒ ˙q W = α(T W − T ∞ ) 

} {{ } 

Wärmestromdichte 


10.4 Korrelationen für die Nußelt-Zahl 

Ebene Platte, laminare Strömung 

Lokale und mittlere Nußelt-Zahl 

im Bereich 10 < Re x < Re krit , 0.01 < Pr < 1000: 

Nu x = 0.332 Rex 

1/2 Pr 1/3 f (Pr), 

Nu L = 0.664 Re 1/2 

L 

Pr 1/3 f (Pr), 

mit einer kritischen Reynolds-Zahl 3.2 × 10 5 < Re krit < 3 × 10 6 , 

und einer Korrekturfunktion f (Pr) für die Prandtl-Zahl: 

Pr = 0,01 0,1 0,7 1 10 100 1000 

f(Pr) = 0,72 0,91 0,99 1,0 1,012 1,027 1,058 



Ebene Platte, turbulente Strömung 

Lokale Nußelt-Zahl im Bereich Re krit < Re x < 10 7 , 0.6 < Pr < 15: 

Nu x = 0.0296 Re 0.8 

x Pr 1/3 . 

Lokale Nußelt-Zahl im Bereich 10 7 < Re x < 10 9 , 0.6 < Pr < 15: 

Nu x = 0.185 

Re x Pr 1/3 

(log 10 Re x ) 2.584 . 

Mittlere Nußelt-Zahl im Bereich 5 × 10 5 < Re < 10 7 , 0.6 < Pr < 1000: 

Nu L = 0.037 ( Re 0.8 − 23100 ) Pr 1/3 . 



Rohrströmung – einfache Korrelationen 

relevantes Längenmaß ist der hydraulische Durchmesser 

D H ≡ 4 A U 

durchströmte Querschnittsfläche 

= 4 . 

benetzter Umfang 

kritische Reynolds-Zahl 2300 ≤ Re krit < 10 4 

laminare, ausgebildete (L > 20 Re D H ) Strömung bei T W = const.: 

Nu ∞ = 3.66. 

turbulente, ausgebildete (L > 10D H ) Strömung : 

Nu ∞ = 0.023 Re 4/5 Pr 1/3 . 

N.B.: siehe Arbeitsunterlagen / Polifke & Kopitz / VDI Wärmeatlas . . . 



Nußelt-Zahl und konvektiver Wärmeübergang 

Nußelt-Korrelationen: 

z. B. Nu = A Re a Pr b . 

Nu = Nu(Re, Pr) 

Gültigkeitsbereich der Korrelationen beachten ! 

(Geometrie, laminar / turbulent, (kritische) Reynolds-Zahlen) 

Wärmeübergangskoeffizient α = Nu λ 

L . 



Interpretationen der Nußelt - Zahl 

Nu ist eine Funktion von Re und Pr, aus der ich α berechne . . .“ 

” 

Fundiertere Sichtweisen: 

⎧ 

α L 

λ 

⎪⎨ 

∂ 

Nu = 

˜T 

∣ 

∂ỹ 

⎪⎩ 

L 

Zur Begründung: 

δ th 

∣ 

W 

⇒ 

– entdim. Wärmeübergangskoeffizient, 

– entdim. Temperaturgradient an der Wand, 

– 

Längenmaß der Strömungsgeometrie 

. 

thermische Grenzschichtdicke 

˙q W = α(T W − T ∞ ) 

} {{ } 

Newton 

= −λ ∂T 

∂y ∣ 

} {{ W 

} 

Fourier 

λ ∂T 

α = − 

T W − T ∞ ∂y ∣ ∼ λ . 

W 

δ th 


11.0 


Einleitung 

Wärmeleitung 



12 Ähnlichkeitsgesetze 

Zum Begriff der Ähnlichkeit 

Bestimmung von Kennzahlen durch Dimensionsanalyse, Π-Theorem 

Auslegung von Modellversuchen 

Darstellung experimenteller Ergebnisse 

Reynolds-Analogie 


11.1 Zum Begriff der Ähnlichkeit 

Physikalische Ähnlichkeit 

proportionale Längen. 

Ähnlichkeit der 

- Geschwindigkeiten, 

- Zeiten, 

- Kräfte, 

- Flüsse, 

- Temperaturen, ... 

ausgedrückt durch Kennzahlen. 


Wichtige Kennzahlen 

11.1 Zum Begriff der Ähnlichkeit 

Bi = αL 

λ = Wärmeleitwiderstand 

Wärmedurchgangswiderstand 

Re = uL 

ν 

= Trägheit 

Reibung 

Pr = ν a = Impulsdiffusion 

Wärmediffusion 

Ma = u c = Strömungsgeschwindigkeit 

Schallgeschwindigkeit 

Fo = at 

L 2 

= Dimensionslose Zeit 


12.3. Dimensionsanalyse / π-Theorem 

11.3 Dimensionsanalyse & Π-Theorem Sprungantwort eines Körpers 

Sprungantwort eines Körpers 

. . . vgl. Kapitel 4 — gute Wärmeleitung mit Bi ≪ 1 wird allerdings nicht vorausgesetzt 

Bsp: Sprungantwort 

T oo 

α, A 

T oo 

T 0 

T 0 , T (⃗x, ,T(t) t) 

λ, ρ, c,V 

T 0 

12 - Ähnlichkeitstheorie & Kennzahlen 6 

Technische Abbildung Universität München - Thermodynamik 4.1: AnalogieWärmetransportphänomene zwischen– SS13 dem Abküh 

11 - 4


Sprungantwort eines Körpers (2) 

T − T ∞ } {{ } 

K 

T − T ∞ 

} ∆T {{ } 

– 

T − T ∞ 

} ∆T {{ } 

– 

⎛ 

⎜ 

= fn ⎝}{{} 

x , }{{} t , }{{} L , }{{} ∆T 

m s m K 

⎛ 

, ρc 

}{{} 

J/m 3 -K 

, λ }{{} 

W/m-K 

, α }{{} 

W/m 2 -K 

⎜ 

⎟ 

= fn ⎝}{{} 

x , }{{} t , }{{} L , ρc∆T , 

} {{ } } λ∆T {{ } , } α∆T {{ } ⎠ 

m s m 

J/m 3 W/m W/m 2 

⎛ 

= fn ⎝ ξ , 

}{{} }{{} t , ρc∆T L 3 , 

} {{ } } λ∆T {{ L} 

, α∆T L 2 ⎠ 

} {{ } 

– s J 

W W 

⎞ 

⎞ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 



Sprungantwort eines Körpers (3) 

T − T ∞ 

} ∆T {{ } 

– 

T − T ∞ 

} ∆T {{ } 

– 

⎛ 

= fn ⎜ 

⎝}{{} 

ξ , 

⎛ 

– 

= fn 

ξ , 

⎜}{{} 

⎝ 

– 

t 

ρc∆T L 3 

} {{ } 

1/W 

λ∆T L 

ρc∆T L 3 

} {{ } 

at 

L 2 = Fo 

⎞ 

, } λ∆T {{ L} 

, } α∆T {{ L} 

2 

⎟ 

⎠ 

W W 

, 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

λ = Bi 

α∆T L2 

} λ∆T {{ L} 

α L 

⇒ θ = θ(Fo, ξ, Bi) . 



Sprungantwort der ebenen Platte 

Temperaturprofile T (x, t) für verschieden Biot-Zahlen 

θ(Fo, ξ; Bi) = 

∞∑ 2 sin δ i 

δ i + sin δ i cos δ i 

i=0 

cos (δ i ξ) exp(−δ 2 i Fo), δ i tan δ i = Bi 



Sprungantwort eines 

T −gut T ∞ 

wärmeleitenden = fn ⎜ Körpers 

∆T ⎝ 

ξ t 

, , λ∆T L 

Sprungantwort eines Körpers (2) ρc∆T L 3 

 

– 

⎛ 

⎜ 

12.3 Dimensionsanalyse & Π-Theorem 

– 

 

1/W 

 

W 

⎞ 

, α∆T L 

2 

⎟ 

⎠ 

W 

⎛ 

⎛ 

T − T ∞ 

λ∆T L α∆T ⎜ 

L2 

T − T ∞ = fn 

 

⎝= fn 

ξ 

∆T x , 

⎜ 

t , L , 

ρc∆T 

∆T , ρc , 

L 

⎝ 

3 λ∆T L λ 

– 

⎟ 

K 

m s m K 

J/m ⎠ 

– 

3 -K 

T − T ∞ 

∆T 

– 

⎛ 

at 

L 2 = Fo 

α L 

λ = Bi W/m-K 

⎞ 

, α 

W/m 2 -K 

⎜ 

= fn ⇒ θ = θ(Fo, ξ, Bi) 

⎟ 

⎝ 

x , t , L , ρc∆T . , 

λ∆T 

, α∆T 

⎠ 

m s m 

J/m 3 W/m W/m 2 


vgl. Kapitel 4, Blockkapazität: 

T − T ∞ 

∆T 

– 

⎛ 

= fn ⎝ ξ , t 

, ρc∆T L 3 , 

λ∆T L 

, α∆T L 2 ⎠ 

θ = exp (−(n + 1)Fo Bi) 

s 

W W 

– 

J 

⎞ 

⎞ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 



11.3 Dimensionsanalyse & Π-Theorem Π-Theorem von Buckingham 

Π-Theorem von Buckingham 

n Variablen 

m Grundeinheiten 

} 

⇒ 

{ 

n − m dimensionslose Π-Gruppen: 

Π 1 = fn(Π 2 , . . . , Π n−m ) 

Weitere dimensionslose Π-Gruppen können leicht formuliert werden, sind aber 

nicht linear unabhängig von den n − m Gruppen. 

z.B. Sprungantwort: 

alternativ: 

Π 3 = αL 

λ = Bi 

Π ′ 3 = αt 

ρcL = αL 

λ 

λt 

ρcL = BiFo 

2 

Vorteilhaft: Π-Gruppe als Effekt A 

Effekt B 


11.4 Auslegung von Modellversuchen 

Gasturbine mit Ringbrennkammer 


Brennkammerkühlung 

11.4 Auslegung von Modellversuchen 

KŸhlkanal: h GT x b GT x l GT 

Brennkammer 

Plexiglasmodell 

Ausschnitt einer 

doppelwandigen 

Brennkammer 

m Mo 

T Mo 

p Mo 

b 

h 

l 


11.5 Darstellung experimenteller Ergebnisse 

Wärmeübergang beheizte Platte 

L 

U, T oo 

T W 

Q . b 

V 

A 

U = 8 − 25m/s, V , A → ˙Q = 15 − 80kW , ∆T = 2K. 



Wärmeübergang Brennkammerwand 

Konvektiv- und Prallkühlung, T W ≈ T K 

. . 

Q = c p m (T' k - T k ) 

T' k 

c -> oo 

. 

m k , T k 

U = 35 - 80 m/s, 

T oo = 800 K, 

p = 6 bar 

. 

Q = (T W -T oo ) 

h 



Gemessener Wärmestrom ˙Q 

50 

Q [W/s] 

0 

-50 

-100x10 3 

20 

40 

60 

80m/s 

U 

+ — elektrisch beheizte Platte ⋄ —Brennkammerwand 



Wärmeübergangskoeffizient α 

100x10 3 

80 

α [W/m 2 -K] 

60 

40 

20 

20 

40 

60 

80m/s 

U 

+ — elektrisch beheizte Platte ⋄ —Brennkammerwand 



Nußelt- vs. Reynolds-Zahl 

2500 

Nu = (0.037 Re 4/5 -871) Pr 1/3 

Electrically Heated Plate 

Water- Cooled Combustor Liner 

2000 

Nu [-] 

1500 

1000 

500 

0.6 

0.8 

1.0 

1.2 

1.4 

1.6 

1.8x10 6 

Re [-] 

Nu = (0.037Re 4/5 − 871)Pr 1/3 


11.6 Analogien 

(Reynolds) Analogien 

...zwischen Wärme- und Impulstransport 

Grenzschichtgleichungen für ebene Platte mit dp 

dx = 0: 

Impulserhaltung: 

Energieerhaltung: 

ũ ∂ũ 

∂˜x + ṽ ∂ũ 

∂ỹ = 1 

Re L 

∂ 2 ũ 

∂ỹ 2 

ũ ∂ ˜T 

∂˜x + ṽ ∂ ˜T 

∂ỹ = 1 

Re L 

1 

Pr 

∂ 2 ˜T 

∂ỹ 2 

mit den Randbedingungen: 

ũ(x, 0) = 0, ũ(x, ∞) = 1, (ṽ(x, 0) = 0). 

˜T (x, 0) = 0, ˜T (x, ∞) = 1. 


Reynolds Analogie 

11.6 Analogien 

für Pr = 1: 

c f 

Re L 

2 = Nu L. 

für Pr ≠ 1, dp 

dx ≠ 0 (Chilton-Colburn): 

c f Re L 

Pr 1/3 

2 

= Nu L . 



Kennzahlen und Ähnlichkeitstheorie 

. . . wichtig für Ingenieur- wie Naturwissenschaften 

. . . nötig zur Auslegung von Modellversuchen bzw. für die allgemein gültige 

Darstellung experimenteller (oder numerischer) Ergebnisse. 

. . . keine Aussage über die funktionale Form der Lösung. 

Kennzahlen bestimmt man 

aus den Differentialgleichungen oder 

aus Einflussgrößen & Einheiten ( ” 

Π-Theorem“ , Dimensionsanalyse). 

Analogien zwischen physikalisch unterschiedlichen Phänomenen sind eine weitere, 

oftmals nützliche Form der Ähnlichkeit. 

Die Reynolds-Analogie besagt, dass bei reibungsbehafteten Strömungen 

Impuls- und Wärmeübertragung einander ähnlich sind. 


12.0 


Einleitung 

Wärmeleitung 




13 Freie Konvektion 

Phänomenologisches 

Boussinesq-Näherung der Grenzschichtgleichungen 

Kennzahlen & Korrelationen 


12.1 Phänomenologisches 

Phänomenologisches 

Dichteunterschiede + Massenkraft → Auftriebskräfte 

Typisch: Temperaturunterschiede + Schwerkraft 

Beispiele: Atmosphäre, Gebäudeklima, passive Kühlung von Elektronik 

Starke Kopplung der Erhaltungsgleichungen für Impuls und Energie 

→ divide et impera 1 nicht mehr möglich. 

1 Ludwig XI von Frankreich 


12.1 Phänomenologisches 

Freie, laminare Konvektion an einer isothermen Wand 

T(y) 

T w -T ∞ 

T w 

T ∞ 

y 

u(y) 

δ t 

x 

δ 


12.2 Grenzschichtgleichungen bei freier Konvektion 

Grenzschichtgleichungen für Masse, Impulse & Energie 

Kontinuität: 

x-Impuls: 

y-Impuls: 

Energiegleichung: 

∂ρu 

∂x + ∂ρv 

∂y = 0 

u ∂u 

∂x + v ∂u 

∂y = −1 ρ 

0 = − 1 ρ 

∂p 

∂x −g + ν ∂2 u 

∂y 2 

∂p 

∂y 

u ∂T 

∂x + v ∂T 

∂y = T 

a∂2 ∂y 2 


12.2 Grenzschichtgleichungen bei freier Konvektion 

Hydrostatischer Druck, Dichteschichtung 

Im ruhenden Fluid (außerhalb der Grenzschicht): 

u ∂u 

∂x + v ∂u = − 1 ∂p 

∂y ρ ∂x − g + ν ∂2 u 

∂y , 2 

⇒ p(x) = −ρ ∞ g x. 

Wegen ∂p/∂y = 0 gilt somit in der Grenzschicht 

u ∂u 

∂x + v ∂u 

∂y 

} {{ } 

Trägheit 

= g ρ (ρ ∞ − ρ) 

} {{ } 

Auftrieb 

+ ν ∂2 u 

. 

∂y 

} {{ 2 

} 

Zähigkeit 

N.B.: ρ = ρ(p, T ) nötig um Gleichungen zu schließen ! 


12.3 Boussinesq-Näherung der Grenzschichtgleichungen 

Boussinesq-Näherung 

Stoffwerte β, λ, ρ, c p , ν ≈ temperaturunabhängig. 

Kompressibilitätseffekte nur im Auftriebsterm 

→ ∂u 

∂x + ∂v = 0. (Divergenzfreie Geschwindigkeit). 

∂y 

Volumenausdehnungskoeffizient β: 

β = − 1 ( ) ∂ρ 

≈ − 1 ρ ∂T 

p 

ρ 

( ) 

ρ∞ − ρ 

= 1 T ∞ − T ρ 

( ) 

ρ∞ − ρ 

; 

T − T ∞ 

damit für den x-Impuls: 

u ∂u 

∂x + v ∂u 

∂y = g β (T − T ∞) + ν ∂2 u 

∂y 2 


12.4 Kennzahlen der freien Konvektion 

Bestimmung der Kennzahlen aus den GSGs 

Dimensionslose Variablen: 

˜x = x L ; ỹ = y L ; ũ = u ; 

u B 

Grenzschichtgleichung für x-Impuls & Temperatur: 

( 

ũ ∂ũ 

∂˜x + ṽ ∂ũ ) u 

2 

B 

∂ỹ L 

( 

ũ ∂θ 

∂˜x + ṽ ∂θ 

∂ỹ 

→ Prandtl-Zahl Pr = ν/a. 

→ Grashof-Zahl (Auftrieb / Zähigkeit): 

θ = T − T ∞ 

T W − T ∞ 

= gβ (T W − T ∞ ) θ + ∂2 ũ 

∂ỹ 2 u B 

L 2 ν, 

) 

uB 

L (T W − T ∞ ) = a L 2 (T W − T ∞ ) ∂2 θ 

∂ỹ 2 , 

Gr L = gβ (T W − T ∞ ) L 3 

ν 2 . 


12.5 Korrelationen für die freie Konvektion 

(Einfache) Korrelationen 

für laminare, freie Konvektion an der senkrechten Wand 

δ(x) 

x 

= 3,93 Ra1/4 x 

h(Pr) , 

Nu x (x) = 0,508 h(Pr) Rax 1/4 ⇒ α ∼ ∆T 1/4 x −1/4 . 

α = 1 L 

vorausgesetzt, dass 10 4 ≤ Ra ≤ 10 9 und mit 

∫ L 

0 

α(x) dx = 4 3 α(L) ⇒ Nu L = 0,679 h(Pr) Ra 1/4 

L . 

Ra x = Gr x Pr = gβ∆Tx 3 

, 

νa 

( ) 

Pr 1/4 

h(Pr) = 

. 

0,952 + Pr 


12.5 Korrelationen für die freie Konvektion Ausblick: Selbstähnliche Lösungen 

DGLs und Lösungen für Stromfunktion f und Temperatur θ 

. . . siehe Kapitel 21, Selbstähnliche Lösungen 

f ′′′ + 3ff ′′ − 2(f ′ ) 2 + θ = 0 

θ ′′ + 3Prf θ ′ = 0 

u x 

u Gr x 

2v 

0,7 

0,6 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

1/ 

2 

Pr=0,01 

* 

T =(T-T )/TW-T 

1,0 

0,8 

Pr=0,01 

0,72 

1 0,6 

0,72 

2 

1 

10 

2 

100 

0,4 

10 

1000 

100 

0,2 

1000 

0 

0 

1 2 3 4 5 6 

7 

0 

0 

1 2 3 4 5 6 

 

y G r x 

 

x 4 

1 /4 

 

y G r x 

 

x 4 

1 /4 



Wärmeübertragung bei freier Konvektion 

Freie Konvektion entsteht durch Volumenkräfte (z.B. Auftriebskräfte), die auf 

ein Fluid inhomogener Dichte wirken. 

Bei freier Konvektion gibt es keine a priori bekannte charakteristische 

Geschwindigkeit → keine Reynolds-Zahl. 

Grashof- bzw. Rayleigh-Zahl ∼ 

Nu=Nu(Gr,Pr) bzw. Nu=Nu(Ra,Pr) 

Auftriebskraft 

Diffusion (Impuls oder Wärme) . 


13.0 


Einleitung 

Wärmeleitung 




Freie Konvektion 


13.0 

Mechanismen des Wärmetransports 


Gasturbine - Schaufelkühlung 

13.0 


Freie Konvektion im Wohnraum 

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Video HeizungLinks.mpeg 


Solare Meerwasserentsalzung 

13.0 


Speicher- / Antriebssystem 

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Wärme- und Stoffübertragung 

Lehrstuhl für Thermodynamik, Lehrstuhl für Anlagen- & Prozesstechnik (Prof. Klein) 

Instationäre Wärmeleitung (auch für große Biot-Zahlen) 

Rippen & Nadeln (zur Erhöhung des Wärmeübergangs) 

Wärmeübergang mit Phasenumwandlung (Kondensation & Sieden) 

Richtungsabhängigkeiten beim Strahlungaustausch 

Durchströmte Rohre und Kanäle (insb. ausgebildete Strömung) 

Stoffübertragung 

Grundlagen 

Diffusion 

Stoffübergang 


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Weitere Angebote des Lehrstuhls für Thermodynamik 

siehe http://www.td.mw.tum.de/tum-td/de/studium/lehre 

Grundlagen thermo-fluiddynamischer Simulation 

Matlab-basiertes, projektorientiertes Praktikum 

wichtige numerische Algorithmen an Beispielen aus der Thermofluiddynamik 

Thermodynamik II 

Verbrennung 

feuchte Luft“ (Dampf-Gas-Gemische) 

” 

Gasdynamik 

Verbrennung 

Reaktionskinetik 

Struktur von Diffusions- und Vormischflammen 

turbulente / mehrphasige Verbrennung 


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Weitere Angebote des Lehrstuhls für Thermodynamik (2) 

siehe http://www.td.mw.tum.de/tum-td/de/studium/lehre 

Grundlagen der Mehrphasenströmung 

Oberflächenspannung & Kapillareffekte 

Gas- und Dampfblasen, Kavitation, Sprays 

Austausch von Impuls, Stoff & Energie zwischen Partikeln und Kontinuum 

Solar Engineering 

Solarthermische und photovoltaische Stromerzeugung 

Solare Gebäudetechnik, Trocknung und Meerwasserentsalzung 

Desalination 

Membran-, thermische, solare Verfahren 

Umweltaspekte 

KFZ-Klimatisierung 

Kälteerzeugung, Kältemittel 

Heiz-/Klimagerät

Foliensammlung - Lehrstuhl fÃ¼r Thermodynamik - Technische ...

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