1 Prädikatenlogik

1 Prädikatenlogik
1.1 Prädikatenlogischer Kalkül
Kalkül:
Axiome:
ϕ → (ψ → ϕ) (A1)
(ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ)) (A2)
(¬ϕ → ¬ψ) → (ψ → ϕ) (A3)
∀ξϕ → ϕ[ξ ← σ] (für jede kollisionsfreie Substitution) (A4)
∀ξ(ϕ → ψ) → (ϕ → ∀ξψ) (für alle ϕ mit ξ ∉ ϕ) (A5) Schlussregeln:
ϕ,ϕ→ψ
(MP)
ψ
ϕ
(G) ∀ξϕ
Satz (Deduktionstheorem):
Es seien ϕ, ϕ 1 , . . . , ϕ n und ψ beliebige prädikatenlogische Formeln.
• Ist ϕ geschlossen, dann gilt:
{ϕ 1 , . . . , ϕ n } ∪ {ϕ} ⊢ ψ ⇔ {ϕ 1 , . . . , ϕ n } ⊢ ϕ → ψ
• Enthält ϕ die freien Variablen ξ 1 , . . . , ξ n , dann gilt:
{ϕ 1 , . . . , ϕ n } ∪ {ϕ} ⊢ ψ ⇔ {ϕ 1 , . . . , ϕ n } ⊢ (∀ξ 1 . . . ∀ξ n ϕ) → ψ
Der prädikatenlogische Kalkül ist korrekt und vollständig.
1.2 Resolutionskalkül
Im Resolutionskalkül für die Prädikatenlogik ist das Verfahren das gleiche wie
in der Aussagenlogik mit folgenden Ergänzungen:
• In Formeln mit Allquantor wird der Quantor weggelassen
• Variablen können durch Terme ersetzt werden
Formeln mit Existenzquantoren bilden einen Sonderfall, den wir hier nicht berücksichtigen.
Beispiel:
Alle Menschen sind sterblich
Sokrates ist ein Mensch
Also: Sokrates ist sterblich.
Daraus wird formalisiert:
∀x(Mensch(x) → Sterblich(x))
Mensch(Sokrates)
Also: Sterblich(Sokrates)
Kalkül:

1 PRÄDIKATENLOGIK
1 ¬Mensch(x) ∨ Sterblich(x) Prämisse 1
2 Mensch(Sokrates) Prämisse 2
3 ¬Sterblich(Sokrates) Negation der Konklusion
4 ¬Mensch(Sokrates) ∨ Sterblich(Sokrates) x=Sokrates in 1
5 Sterblich(Sokrates) Auslöschung 2 und 4
6 f Auslöschung 3 und 5
Beispiel:
∀x∀y(V erheiratet(x, y) → V erheiratet(y, x))
V ater(Hans, Erna)
Mann(Hans)
F rau(Erna)
F rau(Silke)
V erheiratet(Silke, Hans)
∀x∀y∀z((V erheiratet(x, y) ∧ V ater(x, z)) → Mutter(y, z))
Also: Mutter(Silke, Erna)
Kalkül:
1 ¬V erheiratet(x, y) ∨ V erheiratet(y, x) Prämisse 1
2 V ater(Hans, Erna) Prämisse 2
3 Mann(Hans) Prämisse 3
4 F rau(Erna) Prämisse 4
5 F rau(Silke) Prämisse 5
6 V erheiratet(Silke, Hans) Prämisse 6
7 ¬V erheiratet(x, y) ∨ ¬V ater(x, z) Prämisse 7
∨Mutter(y, z)
8 ¬Mutter(Silke, Erna) Negation der Konklusion
9 ¬V erheiratet(x, Silke) ∨ ¬V ater(x, Erna) y=Silke, z=Erna in 7
∨Mutter(Silke, Erna)
10 ¬V erheiratet(x, Silke) ∨ ¬V ater(x, Erna) Auslöschung 8 und 9
11 ¬V erheiratet(Hans, Silke) x=Hans in 10
∨¬V ater(Hans, Erna)
12 ¬V erheiratet(Hans, Silke) Auslöschung 11 und 2
13 ¬V erheiratet(Silke, Hans) x=Silke, y=Hans in 1
∨V erheiratet(Hans, Silke)
14 ¬V erheiratet(Silke, Hans) Auslöschung 13 und 12
15 f Auslöschung 6 und 14
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