Fluiddynamik I - Lösung zur ¨Ubung Reibungsbehaftete ... - IFD

Institut für Fluiddynamik
Prof. Dr. T. Rösgen
Fluiddynamik I - Lösung zur Übung Reibungsbehaftete Strömungen
Aufgabe 8.1
1. In dem Ihnen vorliegenden Moody-Diagramm ist eine Kurve mit “hydraulisch glatt”
beschrieben. Es handelt sich um die Einhüllende der für unterschiedliche Verlustkoeffizienten
parametrisierten Kurven.
2. Um die für eine festgelegte Ausflußgeschwindigkeit erforderliche Höhe H zu berechnen,
stellt man die konventionelle, d.h. verlustfreie Bernoulli-Gleichung zwischen der
Wasseroberfläche im Reservoir und dem Rohrende auf. Man erhällt die Ausflußformel
von Toricelli:
u = √ 2gH ⇒ H = u2
2g = 1.27 m
3. Umdie Verluste zu berücksichtigen, stellt man dieverlustbehaftete Bernoulli-Gleichung
zwischen der Wasseroberfläche im Reservoir und dem Rohrende auf:
ρgH = ρ u2
2 +∆p V
Der Term ∆p V kennzeichnet die Verluste, die empirisch mit den Verlustkoeffizienten
ζ i erfast werden. Verluste, die durch Einlaufeffekte, Rohrkrümmer, Flansche etc. verursacht
werden, werden berechnet durch:
∆p V = ρ u2
2 ·ζ
Bei Verlusten durch Rohrdurchströmung spielt die Rohrlänge eine wichtige Rolle:
∆p V = ρ u2
2 λL D
1

Die verlustbehaftete Bernoulli-Gleichung lautet also für den vorliegenden Fall
(
gH = u2
1+ζ 1 +7ζ 2 +2ζ 3 +ζ 4 +λ L )
2
D
Die Reynolds-Zahl berechnet sich zu:
Re D = uD ν = 4·105
Für ein hydraulisch glattes Rohr ergibt sich aus dem Moody-Diagramm bei dieser
Reynolds-Zahl λ = 0.014. Die erforderliche Höhe H ist somit
(
H = u2
1+ζ 1 +7ζ 2 +2ζ 3 +ζ 4 +λ L )
= 9.11 m
2g
D
2

Aufgabe 8.2
• Höhendifferenz z:
Ansatz: Bernoulli-Gleichung zwischen den Punkten 0) und 5), ergänzt um die Summe
der Druckverluste im Rohr 1:
ρ
2 u2 0 +p 0 +ρgh 0 = ρ 2 u2 5 +p 5 +ρgh 5 +∆p V (1)
Mit u 0 = u 5 = 0,p 0 = p 5 = p ∞ ,h 0 = 0 und h 5 = −z folgt:
gz = ∆p V
ρ
Die Summe aller Druckverluste im Rohr 1 setzt sich aus dem Verlust im Saugkorb, im
Rohr selbst und dem Austrittsverlust zusammen:
∆p V = ∆p VRohr1 = ρ ( )
l 1
2 u2 1 ζ F +λ 1 +1 (3)
d 1
Der Verlust am Austritt des Rohres wurde mit ζ = 1 berücksichtigt.
Die mittlere Geschwindigkeit und somit die Reynolds-Zahl lassen sich aus dem gegebenen
Volumenstrom und dem durchströmten Querschnitt errechnen:
u 1 = ˙V = 4 ˙V
A 1 d 2 1 π = 4.86m/s ⇒ Re 1 = u 1d 1
ν
(2)
= 9.63·10 5 (4)
3

Mit:
k S1
d 1
= 8.0·10 −3 (5)
und der Reynolds-Zahl lässt sich die Rohrreibungszahl λ aus dem Moody-Diagramm
entnehmen mit:
λ 1 = 0.035 (6)
Damit erhält man die gesuchte Höhendifferenz:
z = ∆p V
ρg
= 5.66m (7)
• Druck p S im Saugstutzen der Pumpe
Ansatz: Bernoulli-Gleichung zwischen den Punkten 5) und S), ergänzt um die Summe
der Druckverluste ∆p V im Rohr 2:
ρ
2 u2 5 +p 5 +ρgh 5 = ρ 2 u2 S +p S +ρgh S +∆p V (8)
Mit u 5 = 0,p 5 = p ∞ ,h 5 = −z und h S = h P folgt:
p S = p ∞ − ρ 2 u2 S −ρg(z +h P)−∆p VRohr2 (9)
∆p VRohr2 = ρ ( )
l 2
2 u2 S ζ F +ζ K +λ 2 (10)
d 2
u S = ˙V = 4 ˙V = 3.11m/s
A 2 d 2 2π (11)
p S = 1.528·10 4 Pa (12)
• Drucksprung ∆p P der Pumpe
Ansatz: Bernoulli-Gleichung zwischen den Punkten 5) und 4), ergänzt um die Summe
der Druckverluste ∆p V im Rohr 2, Rohr 3 und dem Austrittsverlust:
Es folgt:
ρ
2 u2 5 +p 5 +ρgh 5 = ρ 2 u2 4 +p 4 +ρgh 4 +∆p V −∆p P (13)
∆p P = 2.146·10 5 Pa (14)
4