Fluiddynamik I Skript zur Vorlesung - IFD

Institut für Fluiddynamik
Prof. Dr. L. Kleiser, Prof. Dr. T. Rösgen
Fluiddynamik I
Skript zur Vorlesung
Version Frühjahr 2012, 13.02.2012

3
Inhaltsverzeichnis
1 Fragestellungen, Anwendungen, Methoden 7
2 Definition und Eigenschaften von Fluiden 9
3 Dimensionsanalyse und Ähnlichkeitstheorie 13
3.1 Dimensionen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Dimensionsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3 Buckingham Π-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4 Formalismus zur Dimensionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Ähnlichkeit und Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6 Dimensionslose Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Kinematische Beschreibung des Strömungsfeldes 19
4.1 Lagrangesche und Eulersche Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Substantielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Reynolds-Transporttheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4 Kinematische Eigenschaften von Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.5 Ausgezeichnete Linien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.6 Stromfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Erhaltungssätze 25
5.1 Massenerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.1 Integrale Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.2 Stromröhren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.3 Differentielle Form - Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2.1 Integrale Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2.2 Stromröhren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2.3 Differentielle Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2.4 Impulserhaltung für reibungsfreie Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.3 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3.1 Integrale Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3.2 Differentielle Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3.3 Sonderfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6 Reibungsbehaftete Strömungen 33
6.1 Navier-Stokes-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2 Exakte Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3 Näherungslösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.3.1 Einfluß der Reynolds-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.3.2 Stokes Flow: Schleichende Umströmung einer Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7 Grenzschichten 39
7.1 Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.2 Exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.3 Impulssatz der Grenzschichttheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Inhaltsverzeichnis
8 Turbulenz 45
8.1 Phänomenologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8.2 Statistische Modellierung der Turbulenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.3 Empirischer Ansatz für die turbulente Schubspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.4 Geschwindigkeitsverteilung in der turbulenten Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.5 Turbulente Rohrströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.6 Verlustbehaftete Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
A Grundlagen der Vektor- und Tensoralgebra 55
A.1 Einsteinsche Summenkonvention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A.2 Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A.3 Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
B Grundgleichungen 59
B.1 Massenerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
B.2 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
B.3 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5
Nomenklatur
Lateinische Buchstaben:
a Schallgeschwindigkeit
b Abmessung in z (senkrecht zur Zeichenebene)
c a Auftriebsbeiwert
C p spezifische isobare Wärmekapazität, Druckbeiwert
C v spezifische isochore Wärmekapazität
c p Widerstandsbeiwert
D baroklines Drehmoment
d Profildicke
E Energie
e innere Energie
F Kraft
F(t) Bernoulli-Konstante
F(z) komplexes Potential
f Profilwölbung
g Erdbeschleunigung
h Enthalpie
k Boltzmann-Konstante
k Wärmedurchgangskoeffizient
L Länge
M Molekülmasse
m Masse, Dipolmoment
m ∗ virtuelle Masse
ṁ Massenstrom
n Normale
P Impuls
Pr Prandtl-Zahl
p Druck
Q Wärme, Quellenstärke
˙Q Wärmestrom
R Radius
R Gaskonstante
S Fläche
T Temperatur, Umlaufzeit
t Zeit
U Potential
u Geschwindigkeit, Geschwindigkeit in x-Richtung
V Volumen
˙V Volumenstrom
v Geschwindigkeit in y-Richtung
W Wirbelstreckungsterm
Griechische Buchstaben:
α Wärmeübergangskoeffizient, Anstellwinkel
δ Grenzschichtdicke
Γ Zirkulation

6 Inhaltsverzeichnis
γ Adiabatenexponent
ζ Widerstandsbeiwert
λ Wärmeleitfähigkeit
µ dynamische Zähigkeit
ν kinematische Zähigkeit
ρ Dichte
σ Oberflächenspannung
τ Schubspannung
Φ Potentialfunktion
Ψ Stromfunktion
ω Wirbelstärke
Ω Mittlere Winkelgeschwindigkeit
Koordinaten:
x, x 1 Koordinate eines kartesischen Koordinatensystems
oder Axialkoordinate eines Zylinderkoordinatensystems
y, x 2 Koordinate eines kartesischen Koordinatensystems
z, x 3 Koordinate eines kartesischen Koordinatensystems, komplexe Variable
θ Koordinate eines Zylinderkoordinatensystems (Winkel),
Längenkoordinate eines Kugelkoordinatensystems
oder Argument der komplexen Variable z
r Radialkoordinate eines Kugel- oder Zylinderkoordinatensystems
ψ Breitenkoordinate eines Kugelkoordinatensystems
u, u 1 Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung (kartesische oder Zylinderkoordinaten),
in r-Richtung (Kugelkoordinaten)
v, u 2 Geschwindigkeitskomponente in y-Richtung oder φ-Richtung
w, u 3 Geschwindigkeitskomponente in z-Richtung (kartesische Koordinaten),
in r-Richtung (Zylinderkoordinaten), in ψ-Richtung (Kugelkoordinaten)
Indizes:
W
W
∞
Widerstand
Wand
unendlich

7
Kapitel 1
Fragestellungen, Anwendungen, Methoden
In einer Vielzahl von Bereichen in Natur und Technik hat das Verhalten von Fluiden einen entscheidenden
Einfluß, z.B.
• bei der Bestimmung vom Kräften auf frei umströmte Körper (Autos, Flugzeuge, Schiffe, ...)
• bei der Bestimmung von Energieverlustenbzw. -gewinnen in ”internen” Strömungen (Rohrleitungen,
Strömungsmaschinen, ...)
• bei der Vorhersage des lokalen und globalen Strömungsverhaltens (Wetter, Verbrennung, aerodynamischer
Entwurf, ...)
• bei der passiven und aktiven Beeinflussung von Strömungen (Reibungswiderstand, Lärm, Schwingungen,
...), oder
• bei der Erweiterung des physikalischen Grundlagenverständnisses von Strömungsphänomenen
(Turbulenz, Mischungsverhalten, Verbrennung).
Man kann die ingenieurwissenschaftliche Behandlung solcher Probleme in 3 methodische Gruppen unterteilen.
Bei der theoretischen Vorgehensweise werden u.a. die folgenden Methoden angewandt:
• Formulierung von relevanten (Erhaltungs-)Gleichungen;
• Finden von exakten Lösungen;
• Finden von Ähnlichkeitslösungen (Umwandlung von partiellen in gewöhnliche Differentialgleichungen);
• Modellbildung und Parametrisierung;
• Vereinfachung von Gleichungen durch Approximationen und Näherungslösungen.
Bei experimentellen Untersuchungen werden primär folgende Ziele verfolgt:
• Direkte Sichtbarmachung und Visualisierung von Strömungsphänomenen;
• Quantitative Messungen von Kräften, Momenten (integral) oder Feldgrössen (Druck, Dichte, Geschwindigkeiten,
...);
• Modellversuche basierend auf Ähnlichkeitsbetrachtungen (Wind- u. Wasserkanäle, etc.).

8 1 Fragestellungen, Anwendungen, Methoden
ImRahmendernumerischen Modellierung schließlichwerdendie relevantenGleichungenmit demComputer
gelöst und gemäss der ursprünglichen Vorgaben (Anfangs- und Randbedingungen) ausgewertet.
In allen Fällen werden die kontinuierlichen (Differential-)Gleichungen diskretisiert und gelöst. Je nach
dem Diskretisierungsansatz unterscheidet man insbesondere
• DNS-Verfahren (Direct Numerical Simulation): die vollständige Auflösung aller zeitlichen und
räumlichen Skalen, Erzeugung ”exakter” Lösungen und Durchführung ”numerischer Experimente”.
Es wird keine empirische Modellbildung für die Turbulenz benötigt. DNS Rechnungen sind
sehr aufwendig, und aufgrund des Rechenbedarfs nur geeignet für ”einfache” Probleme.
• LES-Verfahren(LargeEddySimulation):eineVereinfachungdurchreduzierteräumlicheAuflösung
und Mittelung der Gleichungen. Eine empirische Modellierung der ”irrelevanten” kleinen Skalen
wird benutzt. Der Vorteil gegenüber dn DNS Methoden ist ein deutlich reduzierter Rechenaufwand
• RANS (Reynolds-AveragedNavier-Stokes)Verfahren:hierfindet einezeitlicheMittelung derGleichungen
statt. Der Einsatz empirischer Turbulenzmodelle ist notwendig. RANS Rechnungen sind
geeignet für grössere Anwendungsprobleme, soweit die Turbulenzmodellierung funktioniert.

9
Kapitel 2
Definition und Eigenschaften von Fluiden
Die Strömungsmechnik befasst sich im allgemeinen mit der Beschreibung des dynamischen Verhaltens
von Flüssigkeiten und Gasen, oder - verallgemeinert ausgedrückt - von sogenannten Fluiden.
Als Fluid wird dabei ein von der molekularen Struktur abstrahiertes Kontinuum bezeichnet. Im Ruhezustand
kann ein Fluid nur Druckkräfte (Kompression) aufnehmen. Andere Kräfte, wie Zug- und
Scherkräfte führen zu Fließbewegungen. Mit dieser Definition können Fluide von anderen Materialien
wie z.B. Festkörpern unterschieden werden.
Das Kontinuumsprinzip vereinfacht dabei die physikalische Modellierung der betrachteten Fluide.
Anstatt auf die detaillierte molekulare Struktur einzugehen, nimmt man an, daß ein Fluid aus einer
dichten Packung von einzelnen Elementen, den Fluidpartikeln bzw. Fluidelementen besteht, die den
Raum kontinuierlich ausfüllen.
Die Fluidpartikel sind klein gegenüber relevanten Strömungsskalen, aber groß gegenüber molekularen
Skalen. Es gilt:
• Fluidpartikel und Raumpunkte sind einander eineindeutig zugeordnet, d.h. an jedem Raumpunkt
existiert genau ein Fluidpartikel und jedes Fluidpartikel hat eine eindeutige Raumkoordinate,
• die physikalischen Eigenschaften des Fluids werden als Eigenschaften in jedem Punkt (und damit
der Fluidpartikel) durch die Feldgrössen erfasst.
Feldgrößen sind i.a. stetige und differenzierbare Funktionen. Ausnahmen sind Diskontinuitäten, wie
sie z.B. bei Trennflächenoder in Verdichtungsstössenauftreten. Sie lassensich als Ergebniseiner lokalen
Mittelung über die tatsächlichen physikalisch vorhandenen Moleküle auffassen.
Für Strömungen sind oftmals folgende Feldgrössen und Materialkonstanten von Bedeutung:
• ρ Dichte, [ρ] = kg/m 3
• p Druck, [p] = N/m 2 = Pa
• T Temperatur, [T] = K
• u Geschwindigkeit, [u i ] = m/s .
• µ dynamische Viskosität, [µ] = kg/(m·s) = N ·s/m 2 = Pa·s
Die Dichte ρ eines Fluidelementes der Masse ∆m und mit dem Volumen ∆V ist definiert als
∆m
ρ = lim
∆V→λ 3 ∆V ,
wobei λ 3 das limitierende Volumen ist, unterhalb dessen die Anzahl von Molekülen ungenügend für
statistische Aussagen ist. Im allgemeinen ist die Dichte eine Funktion von Druck und Temperatur
ρ = ρ(p,T) .

10 2 Definition und Eigenschaften von Fluiden
AufeinbeliebigorientiertesFlächenelement∆S wirkteineDruckkraft inRichtungderFlächennormale.
Der Druck p in einem ruhenden Fluid ist definiert als der Quotient aus dem Betrag ∆F der Druckkraft
und der Grösse des Flächenelements ∆S, wobei der Grenzübergang ∆S → λ 2 vorgenommen wird
∆F
p = lim
∆S→λ 2 ∆S .
Der Druck hängt nicht von der Orientierungdes Flächenelements im Fluid ab, er ist eine skalareGrösse.
Gemäß der kinetischen Theorie ist die Temperatur T über die Varianz der Molekülgeschwindigkeit v
definiert
3
2 kT = 〈1 Mv ·v〉 ,
2
wobei k die Boltzmann-Konstante und M die Molekülmasse ist. (Durch die Klammern 〈 〉 wird gekennzeichnet,
daß der Ausdruck statistisch gemittelt wird.)
Die Temperatur ist also direkt proportional zu der mittleren kinetischen Energie der molekularen Bewegung.
Die Viskosität ist auf den molekularen Queraustausch von Impuls zwischen benachbarten Fluidschichtenmit
einemGeschwindigkeitsgradientenzurückzuführen.Die Schubspannungτ ineinemFluid isteine
Funktion der Deformationsgeschwindigkeit ˙γ
τ = f (˙γ) .
In Newtonschen Fluiden ist die Schubspannung proportional zur Deformationsgeschwindigkeit:
τ = µ˙γ
Komponentenweise gilt:
( ∂ui
τ ij = µ + ∂u )
j
∂x j ∂x i
wobei u i die Geschwindigkeitskomponenten und x i die Ortskoordinaten bezeichnen. Die Proportionalitätskonstante
µ ist die dynamische Viskosität. Die kinematische Viskosität ν leitet sich aus der
dynamischen ab:
ν = µ ρ
Für Wasser und Luft gelten bei Umgebungstemperatur näherungsweise die Werte gemäß Tabelle 2.1.
Wasser
Luft
µ 10 −3 Pa·s 18·10 −6 Pa·s
ν 10 −6 m 2 /s 15·10 −6 m 2 /s
Tabelle 2.1: Kinematische und dynamische Viskosität von Luft und Wasser bei Umgebungstemperatur
Die kinematischen Viskositäten von Wasser und Luft stehen demnach im Verhältnis
ν L ≈ 15 ν W .

2 Definition und Eigenschaften von Fluiden 11
Die Viskosität hängt i.a. von der Temperatur T ab. Bei Gasen steigt sie mit der Temperatur an, es gilt
näherungsweise das Potenzgesetz
( ) ω
µ T
= .
µ 0 T 0
Für Luft bei p 0 = 10 5 Pa werden die Bezugswerte T 0 = 273.15 K und ω ≃ 0.7 verwendet.
Das Sutherland-Gesetz beschreibt die Temperaturabhängigkeit der Gase exakter,
µ
= T ( )3
0 +S T
µ 0 T +S ·
2
.
T 0
Die Bezugswerte für Luft bei p 0 = 10 5 Pa sind hier T 0 = 273.15 K, µ 0 = 17.10 · 10 −6 Pa·s und
S = 110.4 K (Sutherland-Konstante).
Bei Flüssigkeiten nimmt die Viskosität mit steigender Temperatur ab. Im Bereich 273.15 K < T <
373.15 K gilt die logarithmische Beziehung
ln µ = a+b T ( ) 2
0
µ 0 T +c T0
.
T
Für Wasser gelten die Konstanten a = −2.10, b = −4.45, c = 6.55 und beim Druck p 0 = 10 5 Pa die
Bezugswerte T 0 = 273.15 K und µ 0 = 0.00179 Pa·s.
Die Oberflächenspannung ist durch unsymmetrische molekulare Kraftwirkungen an der Trennfläche
zweier Medien bedingt. Im Inneren eines Fluids heben sich die intermolekularen Kräfte, die auf ein
Teilchen wirken, im Mittel auf. An der Trennfläche hingegen tritt ein asymmetrisches Kraftfeld auf,
das eine Resultierende bedingt.
Die Laplace-Gleichung beschreibt das Verhältnis von Drucksprung ∆p und Oberflächenspannung σ für
eine durch zwei Krümmungsradien R 1 und R 2 beschriebene Oberfläche:
( 1
∆p = σ · + 1 )
R 1 R 2

13
Kapitel 3
Dimensionsanalyse und Ähnlichkeitstheorie
3.1 Dimensionen und Einheiten
Die Gleichungen der Fluiddynamik (wie auch alle anderen naturwissenschaftlichen Gesetze) lassen sich
in allgemeiner Form als Gleichungen verschiedener Kenngrössen bzw. Parameter darstellen, also
oder auch
p 1 = f (p 2 ,p 3 ,...,p n ) ,
˜f (p 1 ,p 2 ,p 3 ,...,p n ) = 0 .
Hierbei stellen f bzw. ˜f die beschreibenden Gesetze dar und {p 1 ,p 2 ,p 3 ,...,p n } die dazugehörigen Parameter,
d.h. die für den betrachteten Vorgang relevanten Größen.
Eine solche Gleichung ist immer homogen, und alle Terme müssen dieselbe Dimension oder Masseinheit
haben. Die einzelnen Parameter eines Problems können aber durchaus unterschiedliche Dimensionen
haben (Länge, Geschwindigkeit, Dichte, etc.). Als Konsequenz sind nur bestimmte Kombinationen der
einzelnen Parameter erlaubt, damit die Homogenität gewährleistet ist.
Insbesondere kann eine dimensionslose Schreibweise der Form
Φ(Π 1 ,Π 2 ,...,Π k ) = 0
eingeführtwerden.DieKombinationen(genauer:Potenzprodukte)derursprünglichenParameter{p 1 ,p 2 ,
p 3 ,...,p n } sind so zusammengefaßt, daß die neuen, dimensionslosen Parameter {Π 1 ,Π 2 ,...,Π k } entstehen.
Diese haben keine Masseinheit mehr.
Der Formalismus, mit dem eine dimensionsbehaftete Gleichung in die äquivalente, dimensionslose Form
überführt werden kann, wird vom Buckingham Π-Theorem beschrieben.
In der Mechanik werden als Basisgrößen die Masseinheiten Masse, Länge, Zeit (M, L, T) verwendet.
Spielen zusätzlich z.B. thermische oder elektrische Effekte eine Rolle, so werden als zusätzliche Basisgrößen
oft die Temperatur ϑ oder der elektrische Strom I verwendet. Prinzipiell sind auch andere
Mass-Systememöglich, solange nur die Dimensionen ihrer Masseinheiten ausreichen, um alle Parameter
dimensionsmässig zu beschreiben. Die Tabelle 3.1 enthält einige Beispiele.

14 3 Dimensionsanalyse und Ähnlichkeitstheorie
Größe, Bezeichnung F,L,T,ϑ M,L,T,ϑ Einheiten
Länge L L Meter, m
Kraft F MLT −2 Newton, N
Masse FL −1 T 2 M Kilogramm, kg
Zeit T T Sekunde, s
Temperatur ϑ ϑ Kelvin, K
Geschwindigkeit LT −1 LT −1 m/s
Beschleunigung LT −2 LT −2 m/s 2
Druck, Spannung FL −2 ML −1 T −2 Pascal, Pa = N/m 2
Moment, Arbeit, Energie FL ML 2 T −2 Joule, J = Ws = Nm
Leistung, Energiestrom FLT −1 ML 2 T −3 Watt, W = Nm/s
Dichte FL −4 T 2 ML −3 kg/m 3
Massenstrom FL −1 T 1 MT −1 kg/s
dynamische Zähigkeit FL −2 T ML −1 T −1 Pa·s = Ns/m 2
kinematische Zähigkeit L 2 T −1 L 2 T −1 m 2 /s
spezifische Wärmekapazität L 2 T −2 ϑ −1 L 2 T −2 ϑ −1 J/kgK
Wärmeleitfähigkeit FT −1 ϑ −1 MLT −3 ϑ −1 W/mK
spezielle Gaskonstante R L 2 T −2 ϑ −1 L 2 T −2 ϑ −1 J/kgK
Tabelle 3.1: Ausgewählte Größen, ihre Dimensionen und Einheiten
3.2 Dimensionsmatrix
Gegeben seien n dimensionsbehaftete, physikalische Größen {p 1 ,p 2 ,...,p n }. Zwischen ihnen bestehe
ein Zusammenhang der Form
˜f (p 1 ,p 2 ,...,p n ) = 0 .
Es sei {A 1 ,A 2 ,...,A m } eine aus m ≤ n dimensionsbehafteten Masseinheiten bestehende Basis. Für
die Basis wird vorausgesetzt, daß sich keine ihrer Größen als Potenzprodukt der anderen Basisgrößen
darstellen läßt.
DieDimension [p i ]jeder dernphysikalischenGrößenläßtsichnunalsPotenzproduktdermBasisgrößen
A j darstellen,
[p 1 ] = A 1
b 11
·A 2
b 21
·...·A m
b m1
[p 2 ] = A 1
b 12
·A 2
b 22
·...·A m
b m2
.
[p n ] = A 1
b 1n
·A 2
b 2n
·...·A m
b mn
.
Es stellt sich nun die folgende Grundfrage: Gibt es dimensionslose Kombinationen der Form
Π i = p 1
k 1i
·p 2
k 2i
·...·p n
k ni
,
und wieviele unabhängige solcher Kombinationen, d.h. Exponentenvektoren k i = (k 1i ,k 2i ,...,k ni ) gibt
es? Man geht in der obigen Gleichung zu den Dimensionen über:
[Π i ] = 1 = A 10 ·A 20 ·...·A r
0
=
(
A 1
b 11
·...·A m
b m1
) k1i
·
(A 1
b 12
·...·A m
b m2
) k2i
·...·(
A 1
b 1n
·...·A m
b mn
) kni
.

3 Dimensionsanalyse und Ähnlichkeitstheorie 15
Ein Vergleich der Exponenten für jede der Basisgrössen A j ergibt dann die Gleichungen
b 11 ·k 1i +b 12 ·k 2i +...+b 1n ·k ni = 0
b 21 ·k 1i +b 22 ·k 2i +...+b 2n ·k ni = 0
.
.
b m1 ·k 1i +b m2 ·k 2i +...+b mn ·k ni = 0 .
Dies ist ein homogenes, lineares Gleichungssystem von m Gleichungen für n Unbekannte k 1i ,k 2i ,...k ni .
Die Lösbarkeit dieses Gleichungssystems ist bestimmt durch den Rang r der Dimensionsmatrix B =
{b ij }, (i = 1...m,j = 1...n). Die Exponenten können besonders übersichtlich in einer Matrix aufgeführt
werden,
p 1 p 2 ... p n
A 1 b 11 b 12 ... b 1n
A 2 b 21 b 22 ... b 2n
. .
A m b m1 b m2 ... b mn
Aus der linearen Algebra ist bekannt, dass ein homogenes, lineares Gleichungssystem der Ordnung n,
dessen Koeffizientenmatrix den Rang r besitzt, genau n−r linear unabhängige Lösungen hat.
Es gibt also n−r unabhängige Exponentenvektoren k i .
3.3 Buckingham Π-Theorem
Gegeben seien n dimensionsbehaftete meßbare physikalische Größen p 1 ,p 2 ,...,p n und eine Relation
˜f (p 1 ,p 2 ,...,p n ) = 0 zwischen ihnen. Dann gibt es genau k = n − r unabhängige dimensionslose Π-
Grössen Π 1 ,Π 2 ,...,Π k , wobei r der Rang der zugehörigen Dimensionsmatrix B ist. Die Beziehung
˜f (p 1 ,p 2 ,...,p n ) = 0 läßt sich auf eine Beziehung von k dimensionslosen Größen reduzieren,
.
Φ(Π 1 ,Π 2 ,...,Π k ) = 0
3.4 Formalismus zur Dimensionsanalyse
Für die Dimensionsanalyse kann der Lösungsweg formalisiert und vereinfacht werden:
1. Aufstellen einer Liste aller dimensionsbehafteten Parameter {p 1 ,p 2 ,p 3 ,...,p n } des Problems.
Hierzu kann die Dimensionsmatrix verwendet werden.
2. Notieren der Anzahl n dieser Parameter.
3. Bestimmung der Anzahl r der unabhängigen Basisgrössen (Masseinheiten) des Problems.
4. Errechnen der Anzahl der möglichen dimensionslosen Parameter k = n−r.
5. Auswahl von r Parametern aus der Liste {p 1 ,p 2 ,p 3 ,...,p n }, mit denen die unabhängigen Masseinheiten
erfasst werden, d.h. Einführung einer Liste mit Referenzparametern
{˜p 1 , ˜p 2 ,..., ˜p r } ⊂ {p 1 ,p 2 ,p 3 ,...,p n } .

16 3 Dimensionsanalyse und Ähnlichkeitstheorie
6. Beschreibung der Dimensionen der k restlichen Originalparameter mittels eines Produktansatzes
aus den Dimensionen dieser Referenzparameter
[p i ] = [˜p 1 ] αi1 [˜p 2 ] αi2 ...[˜p r ] αir (i = 1...k) .
7. Durch Vergleich der Exponenten im zugrundegelegten Masssystem ergibt sich für jeden der k
Parameter ein lineares r×r Gleichungssystem, welches gelöst werden kann und die Exponentengruppen
{α i1 ,α i2 ,...,α ir } ,(i = 1...k) festlegt.
8. Die k dimensionslosen Parameter können dann geschrieben werden als
Π 1 =
Π 2 =
.
.
Π k =
p 1
˜p α11
1 ˜p α12
2 ... ˜p α1r
r
p 2
˜p α21
1 ˜p α22
2 ... ˜p α2r r
p k
˜p α k1
1 ˜p α k2
2 ...˜p α kr
r
Beispiel: Volumenstrom in einem Kreisrohr
Gegeben sei die Gesetzmässigkeit für den Volumenstrom in einem Kreisrohr, in Abhängigkeit von
Parametern
(
˙V = f µ,R, ∂p )
.
∂x
Eine andere Schreibweise für diesen Ausdruck ist
(
0 = ˙V −f µ,R, ∂p )
.
∂x
Die Parameter werden in einer Dimensionsmatrix aufgelistet:
˙V µ R ∂p/∂x
M 0 1 0 1
L 3 −1 1 −2
T −1 −1 0 −2
Die Gesamtzahl der Parameter ist n = 4, die Anzahl der benötigten Referenzparameter ist r = 3. Als
diese Referenzparameter werden gewählt
µ,R, ∂p
∂x .
Es kann somit nur ein dimensionsloser Parameter berechnet werden wegen
k = n−r = 4−3 = 1 .
Das Gleichungssystem für die Exponenten der Masseinheiten ergibt sich zu
⎡
⎣ 1 0 1 ⎤ ⎛
−1 1 −2 ⎦ ⎝ α ⎞ ⎛
11
α 12
⎠ = ⎝ 0 ⎞
3 ⎠ .
−1 0 −2 α 13 −1
(Anmerkung: die Spalten des Gleichungssystems ergeben sich aus den Zeilen der Dimensionsmatrix.)

3 Dimensionsanalyse und Ähnlichkeitstheorie 17
Die Lösung führt zu den Exponenten
⎛
⎝ α ⎞ ⎛
11
α 12
⎠ = ⎝ −1 ⎞
4 ⎠
α 13 1
Im letzten Schritt wird der dimensionslose Parameter formuliert
˙V
Π 1 =
1
µ R4 ∂p/∂x = µ ˙V
R 4 ∂p/∂x ,
bzw. die Proportionalität der Parameter zueinander, die im Sonderfall (k = 1) folgt:
µ ˙V
R 4 ∂p/∂x = konst. ⇒ ˙V ∝ R4 ∂p
µ ∂x .
3.5 Ähnlichkeit und Modellierung
Die dimensionslose Beschreibung eines funktionalen Zusammenhangs kann dazu genutzt werden, Skalierungsgesetze
für Ähnlichkeitsuntersuchungen herzuleiten. Dazu betrachte man zwei Messreihen, eine
für ein Modell (Index m) und eine für das Originalproblem (Index o)
Φ m (Π m 1 ,Πm 2 ,...,Πm k ) = 0
Φ o (Π o 1,Π o 2,...,Π o k) = 0 .
Man fordert nun, daß die Versuchsergebnisse am Modell denselben Gesetzmässigkeiten unterliegen wie
das Original. Dann gilt für die Meßreihen
Φ m (...) = Φ o (...) = Φ(...) .
Daraus folgt automatisch (unter der Annahme einer eindeutigen Funktion Φ), daß auch gelten muß
Π m 1 = Π o 1 , Π m 2 = Π o 2 , ... , Π m k = Π o k ,
d.h. die dimensionslosen Parameter von Modellversuch und Originalproblem sind identisch. Diese
Identität erlaubt es nun, Messungen am Original durch Modellmessungen zu ersetzen. Insbesondere
kann man auf die dimensionsbehafteten (und gegebenenfalls unbekannten) Parameter des Originals
zurückschliessen, da gilt
oder
Π m j =
p m j
(˜p m 1 (˜p m )αj1 2 ...(˜p )αj2 m r ) = p o
Πo j
αjr j =
(˜p o 1 (˜p o )αj1 2 ...(˜p )αj2 o r) αjr
( ) ˜p
p o o αj1
( )
j = pm j · 1 ˜p
o αj2
( )
˜p m · 2 ˜p
o αjr
1 ˜p m ·...· r
2 ˜p m .
r
(j = 1...k)
Strömungsmechanische Ähnlichkeit
Damit Modellversuch und korrespondierende Originalströmung sich ähnlich verhalten, müssen die dimensionslosen
Π-Grössen identisch sein. Man spricht in einem solchen Fall von strömungsmechanischer
Ähnlichkeit.
Reynolds-Ähnlichkeit
Bei Strömungen, bei denen als Parameter nur die Reynolds-Zahl auftritt, spricht man auch statt von
strömungsmechanischer Ähnlichkeit einfach von Reynolds-Ähnlichkeit.

18 3 Dimensionsanalyse und Ähnlichkeitstheorie
Beispiel: Kräfte auf ein Modell im Windkanal
Es werde ein Modellversuch durchgeführt, bei dem sich eine (gemessene) Beziehung zwischen der Kraft
F auf das Modell und zwei weiteren dimensionslosen Parametern, der Reynolds-Zahl Re und der Mach-
Zahl Ma ergibt:
( ) ( F
F
Φ m ρU 2 L 2,Re,Ma = Φ m ρUL
ρU 2 L2, µ , U )
= 0 .
a
UnterderAnnahme,daßdieReynolds-unddieMach-ZahlzwischenModellundOriginalübereinstimmen,
ergeben sich die folgenden Beziehungen aus der Identität der dimensionslosen Parameter
Re m = Re o =⇒ ρm U m L m
µ m = ρo U o L o
µ o
Ma m = Ma o =⇒ Um
a m = Uo
a o
und damit für die gesuchte Kraft am Original
F m
ρ m (U m ) 2 (L m ) 2 =
F o
ρ o (U o ) 2 (L o ) 2
=⇒ F o = F m ρo
ρ m ( U
o
U m ) 2 ( L
o
L m ) 2
.
3.6 Dimensionslose Kennzahlen
Reynolds-Zahl Re = u·l/ν
Froude-Zahl Fr = u/ √ g ·l
Mach-Zahl Ma = u/a
Euler-Zahl Eu = p/(ρ·u 2 ) = (γ ·Ma 2 ) −1
Knudsen-Zahl Kn = Ma/Re
Weber-Zahl We = ρ·u 2 ·l/σ
Strouhal-Zahl Str = l/(u·t)
Eckert-Zahl Ec = u 2 /(C p ·∆T)
Fourier-Zahl Fo = l 2 /(k ·t)
Grashof-Zahl Gr = g ·l 3 ·α·(T Wand −T ∞ )/ν 2
Nusselt-Zahl Nu = α·l/λ
Péclet-Zahl Pe = u·l/k
Prandtl-Zahl Pr = ν/k
Rayleigh-Zahl Ra = Gr/Pr
Stokes-Zahl St = p·l/(µ·u)
Reibungskoeffizient c f = τ W /( ρ 2 ·u2 )
Druckkoeffizient c p = ∆p/( ρ 2 ·u2 )
Auftriebsbeiwert c A = F A /( ρ 2 ·u2 ·l 2 )
Widerstandsbeiwert c W = F W /( ρ 2 ·u2 ·l 2 )
Momentenbeiwert ζ M = Ma/( ρ 2 ·R5 ·ω 2 )
Tabelle 3.2: Ausgewählte dimensionslose Kennzahlen

19
Kapitel 4
Kinematische Beschreibung des Strömungsfeldes
4.1 Lagrangesche und Eulersche Beschreibung
Lagrangesche Beschreibung
In dieser Betrachtungsweise wird das Fluidpartikel in seiner Bewegung im Raum verfolgt. Die einzelnen
Partikel können durch ihre Referenzposition ξ 0
zur Referenzzeit t 0 identifiziert werden, und die
Teilchenbahnen ergeben sich als
ξ = ξ(t;ξ 0
,t 0 ) .
Für die Geschwindigkeit u des Partikels gilt
u ∣ ξ0 ,t 0
= d ∂ξ
ξ(t) = dt ∂t∣ ,
ξ0 ,t 0
für seine Beschleunigung
a ∣ ∣
ξ0 ,t 0
= d2
dt 2ξ(t) = ∂2 ξ
∂t 2 ∣ ∣∣∣∣ξ0
,t 0
.
Der Index ξ 0
,t 0 manifestiert, daß die Ableitung bei fester Referenzlage, also für ein und dasselbe Teilchen,
durchgeführt wird. Es handelt sich um eine massen- bzw. teilchenfeste Beschreibung.
Eulersche Beschreibung
Bei diesem Ansatz wird die Änderung der Strömungsgrössenan einer festen Stelle des Raumes betrachtet.
An jedem Ort x und zu jedem Zeitpunkt t ist der Wert einer Strömungsgrösse φ(x,t) eindeutig
definiert durch den Wert von φ für das zur Zeit t gerade im Punkt x befindliche Fluidteilchen. Die
Strömungsgrössen werden als Feldgrössen dargestellt, z.B.:
u(x,t) , ρ(x,t) , T(x,t) ...

20 4 Kinematische Beschreibung des Strömungsfeldes
Lagrange
(partikelbezogen)
Euler
(raumfest)
Ort Partikelposition unabhängige Variable
ξ(t) = ξ(t;ξ 0 ,t 0 ) x,t
Geschwindigkeit Partikelgeschwindigkeit
dξ
dt
Geschwindigkeitsfeld
u(x,t)
Beschleunigung
Beschleunigung des Partikels Beschleunigung, die ein strömendes
Partikel in (x,t) erfährt
d 2 ξ
dt 2
D
Dt u = ∂ ∂t u+(u·∇)u
Tabelle 4.1: Kinetische Beschreibung der Fluidbewegung
4.2 Substantielle Ableitung
Die Änderung einer Strömungsgrösseφ für ein einzelnes Fluidpartikel, daß sich entlang seiner Bahnlinie
bewegt, berechnet sich über die substantielle Ableitung:
Dφ
Dt = ∂φ +(u·∇) φ
}{{}
∂t
} {{ }
lokale konvektive
Ableitung Ableitung
Die im mitbewegten System wahrgenommene Änderung hat zwei Komponenten. Die lokale Ableitung
beschreibt die Änderung, die ein (möglicherweise unbewegtes) Fluidpartikel dadurch wahrnimmt, daß
sich das lokale Strömungsumfeld zeitlich ändert. Die konvektive Ableitung beschreibt die Änderung,
die ein mit der Geschwindigkeit u bewegtes Teilchen in einem räumlich variablen (aber möglicherweise
zeitlich konstanten) Strömungsfeld erfährt.
In mathematischen Sinne stellt die konvektive Ableitung die Richtungsableitung von φ in Richtung der
lokalen Bewegungsrichtung des Fluidpartikels dar, multipliziert mit dem Betrag der lokalen Geschwindigkeit.
4.3 Reynolds-Transporttheorem
Ṽ(t) sei ein mit dem Strömungsfeld u(x,t) mitbewegtes, “materielles” Volumen mit dem geschlossenen
Rand ∂Ṽ(t) = ˜S und der äußeren Normalen n. Die Grösse Ψ(t) sei definiert durch
Ψ(t) =
∫
Ṽ(t)
φ(x,t) dṼ ,
wobei φ(x,t) eine beliebige Funktion ist. Für die zeitliche Ableitung von Ψ gilt:
dΨ
dt = ∫
Ṽ(t)
∫
∂φ
∂t dṼ +
∂Ṽ(t)=˜S
φu·n d˜S .

4 Kinematische Beschreibung des Strömungsfeldes 21
Sei nun V ein ortsfester, zeitunabhängiger Integrationsbereich (“Kontrollvolumen”) und S = ∂V sein
Rand.IdentifiziertmanV mitṼ(t) zueinemgegebenenZeitpunkt, ergibtsichfürdasortsfesteVolumen:
dΨ
dt = d ∫
dt
V
∫
φ dV +
S
φu·n dS
4.4 Kinematische Eigenschaften von Strömungen
Inkompressible Strömung und inkompressibles Fluid
Der thermodynamische Term “inkompressibles Fluid” und der fluiddynamische Begriff der “inkompressiblenStrömung”sindnichtnotwendigerweiseäquivalent.Esistdurchausmöglich,daßeinkompressibles
Fluid inkompressibel strömt.
Von inkompressibler Strömung kann ausgegangen werden, wenn die Dichteänderungen eines Fluidpartikels
vernachlässigbar sind. Mathematisch ist die Inkompressibilität über die Bedingung
1Dρ
ρ Dt = 0
definiert. Die Fluidpartikel müssen nicht alle die gleiche Dichte haben. Die einzige Bedingung ist, daß
die Definition für jedes Fluidpartikel einzeln erfüllt ist. Ein Beispiel ist die Atmosphäre: Ihre Dichte
ändert sich mit der Entfernung von der Erdoberfläche, die Dichte der einzelnen Fluidpartikel bleibt
aber konstant in einer Strömungsebene (geschichtete Strömung).
In einem inkompressiblen Fluid hingegen wird die stärker einschränkende Annahme
gemacht.
ρ = konst.
Stationäre Strömung
Eine Strömung wird als stationär bezeichnet, wenn alle ihre Eigenschaften (Druck, Geschwindigkeit,
Dichte etc.) an einem festen Ort zeitunabhängig sind, d.h. es gilt im Eulerschen Sinne
∂
∂t = 0 .
Dabei impliziert weder ∂/∂t = 0, daß D/Dt = 0, noch folgt aus D/Dt = 0, daß ∂/∂t = 0.
Beispiel: Stationäre Strömung eines inkompressiblen Fluids in einer Düse
Es gilt hier für das Geschwindigkeitsfeld
∂u
∂t = 0; ∂u
∂x ≠ 0 ⇒ Du
Dt ≠ 0,
d.h. ein Fluidpartikel erfährt eine Beschleunigung entlang seiner Trajektorie in der Düse, obwohl das
Strömungsfeld zeitlich konstant bleibt.

22 4 Kinematische Beschreibung des Strömungsfeldes
Gleichförmige Strömung
Eine Strömung wird als gleichförmig (uniform) bezeichnet, wenn die Strömungsgeschwindigkeit im
gesamten Raum ortsunabhängig ist, d.h.
∂u
∂x i
= 0 .
Die Stromlinien solcher Strömungen müssen gerade und parallel sein. Sind sie nicht gerade, wird der
Geschwindigkeitsvektor eine Richtungsänderung erfahren. Sind sie nicht parallel, ändert sich die Geschwindigkeit
entlang der Stromlinien.
Ausgebildete Strömung
Die ausgebildete Strömung ist eine schwächere Form der gleichförmigen Strömung. Es wird nur angenommen,
daß sich die Strömungsgeschwindigkeit nicht entlang der Hauptströmungsrichtung ändert.
Als Beispiel diene die Rohrströmung ( Strömungsrichtung x). Hier sind ∂p/∂x = konst. bzw. ∂T/∂x =
konst. zugelassen, u(x) aber nicht.
Wirbelstärke
Der Wirbelstärkevektor ω ist definiert über die Rotation des Geschwindigkeitsfeldes
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
ω = ∇×u = rot u , ω = ⎝
∂w
∂y − ∂v
∂z
∂u
∂z − ∂w
∂x
∂v
∂x − ∂u
∂y
⎠
x,y,z
, ω = ⎝
1 ∂w
r ∂θ − ∂u θ
∂z
∂u r
∂z − ∂w
∂r
∂ru θ
∂r
− 1 ∂u r
r ∂θ
1
r
⎠
r,θ,z
.
4.5 Ausgezeichnete Linien
Eine Stromlinie ist eine Kurve, die in jedem Punkt tangential zum momentanen Geschwindigkeitsfeld
verläuft, d.h. es gilt
dx×u ≡ 0 ,
bzw. in parameterfreier Darstellung
dx
u = dy
v = dz
w .
Stromlinien können als “Momentaufnahme” der Strömung aufgefasst werden. Sie sind auch als Integralkurven
x(s) des momentanen Geschwindigkeitsfeldes definierbar
dx
ds = u(x(s);t) ,
wobeisderKurvenparameterist.FüreinestationäreStrömungsindStromlinienzeitlichunveränderliche
Kurven im Raum.
Eine Bahnlinie ist der Pfad eines Fluidpartikels. Sie entspricht der Trajektorie ξ(t) eines Partikels, die
bei “Langzeitbelichtung” der Strömung entsteht. Sie wird beschrieben durch
dξ
dt = u( ξ(t),t ) , ξ(t 0 ) = ξ 0
.

4 Kinematische Beschreibung des Strömungsfeldes 23
Eine Streichlinie ist der Pfad aller Fluidpartikel, die durch einen festen Referenzpunkt gelaufen sind.
Der sich bei einer Rauchsonde ergebende Rauchfaden entspricht einer Streichlinie.
Eine Zeitlinie ist die Linie von Teilchen, die sich zu einem früheren Zeitpunkt t 0 auf einer Kurve befanden.
Eine Zeitlinie kann z.B. durch Wasserstoffbläschen visualisiert werden, die entlang einer Linie
momentan erzeugt wurden.
Für eine stationäre Strömung gilt der wichtige Sonderfall:
Stromlinie = Bahnlinie = Streichlinie
Beispiel: 2D Staupunktströmung
Gegeben seien die Teilchenbahnen in einer 2D Strömung,
( ) ( )
ξ(t) ξ0 exp[A(t−t 0 )]
ξ(t;ξ 0
,t 0 ) = =
η(t) η 0 exp[−A(t−t 0 )]
Die Geschwindigkeit der Teilchen ergibt sich damit zu
˙ξ = dξ ( )
dt = Aξ0 exp[A(t−t 0 )]
−Aη 0 exp[−A(t−t 0 )]
Das Eulersche Geschwindigkeitsfeld ist definiert durch die Geschwindigkeit des Teilchens, das zum
Zeitpunkt t durch den Punkt (x,y) fliesst,
( ( )
x ξ0 exp[A(t−t 0 )]
ξ = =
,
y)
η 0 exp[−A(t−t 0 )]
womit folgt
u(ξ = x,t) =
( ) ( Aξ0 exp[A(t−t 0 )] x
= A
−Aη 0 exp[−A(t−t 0 )] −y)
Man beachte, daß keine explizite Zeitabhängigkeit mehr vorhanden ist - die Strömung ist stationär. Die
Stromlinien ergeben sich aus dem Geschwindigkeitsfeld mit der Definition
.
dx
u = dy
v
;
dx
x = −dy
y
nach Bestimmung der Integrationskonstante zu
y = x 0y 0
x
.
Da die Strömung stationär ist, sind die Stromlinen und Bahnlinien identisch; es gilt
bzw.
xy = konstant = x 0 y 0
ξη = konstant = ξ 0 η 0
entlang der Integralkurven.

24 4 Kinematische Beschreibung des Strömungsfeldes
4.6 Stromfunktion
Das Geschwindigkeitsfeld wird definiert über die Rotation der Stromfunktion Ψ, die im allgemeinen Fall
ein Vektorfeld ist. Im 2D-Fall hat Ψ nur eine Komponente und kann als Skalar Ψ aufgefasst werden.
( ∂Ψ
)
∂y
u = ∇×Ψ , 2D−Fall : u =
− ∂Ψ
∂x
x,y
Das so definierte Geschwindigkeitsfeld erfüllt die (inkompressible) Kontinuitätsgleichung (da div u =
div rot Ψ = 0).
Auf Stromlinien gilt Ψ = konst. Der Volumenstrom zwischen zwei Stromlinien kann aus der Differenz
der entsprechenden Werte der Stromfunktion berechnet werden
˙V 21 = Ψ 2 −Ψ 1 .
Der Massenfluß berechnet sich über
ṁ 21 = ρb(Ψ 2 −Ψ 1 )
mit b als Breite der Fluidschicht in z-Richtung.

25
Kapitel 5
Erhaltungssätze
5.1 Massenerhaltung
Die Masse eines Fluidelementes bleibt per Definition erhalten, d.h. es gilt im mitbewegten System:
dm
dt = 0
5.1.1 Integrale Formulierung
Begreift man die Masse als das Integral der Dichte über das Volumen V
∫
m = ρ dV
V
ergibt sich der Massenerhaltungssatz aus dem Transporttheorem für ein raumfestes Kontrollvolumen
zu
dm
dt = d ∫ ∫
ρ dV + ρu·n dS = 0 .
dt
V
} {{ }
S
} {{ }
Massenänderung
imGebiet
Massenflussüber
denGebietsrand
5.1.2 Stromröhren
Aus dem Massenerhaltungssatz für stationäre Strömungen (∂/∂t = 0) durch Stromröhren mit Endflächen
senkrecht zur Anströmung folgt:
∫
ρu·n dS = 0
S
=⇒ ρ 1 ·u 1 ·S 1 = ρ 2 ·u 2 ·S 2
=⇒ ṁ 1 = ṁ 2
(Die Fläche ∣ ∣
1
wird hierbei als die Einströmfläche verstanden, die Fläche ∣ ∣
2
als die Ausströmfläche.)
5.1.3 Differentielle Form - Kontinuitätsgleichung
DiedifferentielleFormdesMassenerhaltungssatzesergibtsichausderintegralenFormunterAnwendung
des Gaußschen Satzes zu
∂ρ
∂t +∇·(ρu) = 0 .
Diese Gleichung wird auch Kontinuitätsgleichung genannt.
Für inkompressible Strömungen vereinfacht sich der obige Ausdruck zu
∇·u = 0 .

26 5 Erhaltungssätze
5.2 Impulserhaltung
Die zeitliche Änderung des Impulses eines Fluidelementes ist gleich der Summe der daran angreifenden
Kräfte:
dP
dt = ∑ F
5.2.1 Integrale Formulierung
Wird der Impuls P integral beschrieben als
∫
P = ρu dV ,
V
geht der Impulserhaltungssatz für ein raumfestes Kontrollvolumen unter Aufzählung aller auftretenden
Kräfte über in:
dP
dt = d ∫
ρu dV
dt
V
} {{ }
Impulsänderung
imGebiet
∫
+
S
ρu(u·n) dS
} {{ }
Impulsflussüber
den Gebietsrand
∫
= −
S
pn dS
} {{ }
Druck−
kräfte
∫
+
V
∫
ρf dV + τ ·n dS + F ext
} {{ }
V olumen−
kräfte
S
} {{ }
Oberflächen−
scherkräfte
}{{}
Äussere
Kräfte
Die äusseren Kräfte stellen dabei z.B. Haltekräfte dar, die per Definition im Schwerpunkt des Kontrollvolumens
angreifen.
5.2.2 Stromröhren
Es sei vorausgesetzt, daß die Strömung stationär(∂/∂t = 0) und reibungsfrei (τ = 0) ist, es sollen
keine Volumenkräfte wirken (f = 0), ebensowenig wie äussere Kräfte (F ext = 0). Die Endflächen der
Stromröhre seien senkrecht zur Anströmung orientiert. Dann gilt:
∫ ∫
ρu(u·n) dS = − pn dS
=⇒ (p 1 +ρ 1 u 1 2 )S 1 n 1 +(p 2 +ρ 2 u 2 2 )S 2 n 2 = 0
S
S
(Es wurde wiederum angenommen, daß die Fläche ∣ ∣
1
die Einströmfläche bezeichnet, die Fläche ∣ ∣
2
die
Ausströmfläche.)
Vorgehensweise bei der Anwendung des Impulssatzes:
1. Koordinatensystem festlegen
2. Wahl des Kontrollvolumens
• einfach zusammenhängend
• unter Ausnutzung von Randbedingungen (Kanalwand, p ∞ )
• unter Ausnutzung geometrischerVereinfachungen (u senkrecht zu den Grenzen des Kontrollvolumens,
Grenzen parallel zu den Achsen des Koordinatensystems)
3. Impulsströme eintragen
4. Körperkräfte eintragen
5. Drücke eintragen

5 Erhaltungssätze 27
6. Impulssatz aufstellen
Hinweise:
A. Für die Berechnung der Geschwindigkeitsänderungen wird die Kontinuitätsgleichung herangezogen.
B. Beim Berechnen der Drücke kann die Bernoulli-Gleichung helfen (siehe Kapitel 5.2.4.2).
Beispiel: Kraft auf einen Rohrkrümmer
u ,p,
1
A
F K
p 0
A
u ,p,
2
Abbildung 5.1: Strömung durch einen Rohrkrümmer
Die Strömung sei stationär und inkompressibel. Der Querschnitt A bleibe unverändert ebenso wie der
Druck p im Rohr.
Die Kontinuitätsgleichung liefert für das Kontrollvolumen
u 1 = u 2 .
Der Impulssatz hat als Vektorgleichung zwei Komponenten, die beide ausgewertet werden müssen.
Es ergibt sich für die x-Komponente
ρ(+u 2 sinα)(+u 2 )A = −(p−p 0 )Asinα+F x ,
und für die y-Komponente
ρ(−u 1 )(−u 1 )A+ρ(−u 2 cosα)(+u 2 )A = −(p−p 0 )A−(p−p 0 )A(−cosα)+F y .
Die Kraftkomponenten im Impulssatz, F x und F y , beschreiben die Kraft auf das Fluid . Die Kraft auf
den Krümmer hat dementsprechend genau die umgekehrte Richtung, d.h.
( ) ( ( )
Fx − ρu
2
)
F K = − = 2 +p−p 0 Asinα
F y −(ρu 2 1 +p−p 0)A(1−cosα)
.

28 5 Erhaltungssätze
5.2.3 Differentielle Form
Die differentielle Form des Impulserhaltungssatzes ergibt sich aus der integralen Form zu:
∂(ρu)
∂t
+∇·(ρuu) = −∇p + ρf
}{{}
Druck−
gradient
}{{}
Kraft−
felder
+ ∇·τ
}{{}
Schubspannungs−
tensor
Die externen Kräfte haben keine Entsprechung in der differentiellen Formulierung. Unter Verwendung
der Kontinuitätsgleichung kann man auch schreiben:
ρ Du
Dt
= −∇p+ρf +∇·τ .
5.2.4 Impulserhaltung für reibungsfreie Strömungen
5.2.4.1 Euler-Gleichung
Die Impulsgleichung wird unter Annahme eines perfekten Fluides, d.h. durch Vernachlässigung der
Reibung (τ = 0), vereinfacht:
Du
Dt = ∂u
∂t +(u·∇)u = −1 ρ ∇p+f
Diese Beziehung wird Euler-Gleichung genannt. Als Randbedingungen gelten:
1. An einer festen Wand:
n·u = 0 , d.h. u ⊥ ≡ 0 und u ‖ ist nicht bestimmt.
2. An der Trennfläche zweier Fluide (ohne Grenzflächenspannung):
n·u 1 = n·u 2 , d.h. u ⊥,1 = u ⊥,2 wobei u ‖,1 und u ‖,2 unbestimmt bleiben.
Ausserdem gilt p 1 = p 2 , d.h. die Gleichheit der Drücke.
5.2.4.2 Bernoulli-Gleichung
Aus der Euler-Gleichung kann durch Integration entlang einer Stromlinie unter Annahme der Inkompressibilität
(ρ = konst.) die Bernoulli-Gleichung hergeleitet werden. Das Kraftfeld sei konservativ und
es existiere ein Potential U für die Kräfte
f = −∇U .
Zwischen zwei Punkten einer Stromlinie gilt unter diesen Voraussetzungen zu einem festen Zeitpunkt:
∫ 2
1
∂u
∂t
[ u
2
·ds+
2 + p ] 2
ρ +U = 0
1
Die Annahme einer stationären Strömung vereinfacht die Gleichung zusätzlich:
[ u
2
2 + p ] 2
ρ +U = 0
1
=⇒ u2
2 + p +U = konst.
ρ
Die spezifische mechanische Energie oder Bernoulli-Konstante ist entlang einer Stromlinie konstant,
aber von Stromlinie zu Stromlinie im allgemeinen verschieden.
(Die Bernoulli-Gleichung kann auch ausgehend von der Navier-Stokes-Impulsgleichung hergeleitet werden.
Dabei wird die Strömung als rotations- (∇×u = 0) und reibungsfrei (τ = 0) angenommen. Unter

5 Erhaltungssätze 29
diesen Voraussetzungen gilt die Gleichung im ganzen Strömungsfeld.)
Die Bernoulli-Gleichung kann dimensionell als eine Bilanzgleichung für die spezifische mechanische
Energie interpretiert werden. Sie sollte jedoch nicht für die Energiegleichung substituiert werden.
Beispiel: Instationäre Strömung in einem geraden Rohrstück
In einem geradenRohrstückder LängeLwird∂u/∂talskonstantangenommen und es sei kein Potential
U vorhanden. Es folgt für den Beschleunigungsterm der instationären Bernoulli-Gleichung:
∫ 2
1
∂u
∂t
·ds = ∂u
∂t
∫ 2
1
ds = ∂u
∂t L
Mit dieser Vereinfachungerhält man ausder Bernoulli-Gleichungeine gewöhnliche Differentialgleichung
für u:
˙u+K 1 u 2 = K 2
Vorgehensweise bei der Anwendung der Bernoulli-Gleichung:
1. Anfangs- und Endpunkt der Stromlinie festlegen
2. Bernoulli-Gleichung aufstellen
3. Bekannte Grössen einsetzen
4. Umformen
Hinweise:
A. An freien Oberflächen herrscht meist Umgebungsdruck.
B. Die Gleichung darf nicht über Stellen angewendet werden, an denen mechanische Energie zugeführt
oder entzogen wird (Propeller, Turbulenz durch Strömungsabriß etc.).
C. In sehr grossen Querschnitten (relativ zur betrachteten Stromröhre) kann die Geschwindigkeit
meist vernachlässigt werden.
5.2.4.3 Barotrope und barokline Strömungen
Eine Strömung wird barotrop genannt, wenn die Dichte nur vom Druck abhängt:
ρ = ρ(p)
Dies ist trivialerweise erfüllt für inkompressible (ρ = konst.) Strömungen eines Fluids, aber gilt auch
für isotherme (T = konst.) bzw. isentrope (s = konst.) Strömungen eines idealen Gases.
Imallgemeinenistdie DichteauchvonderTemperaturabhängig.Mansprichtdannvoneinerbaroklinen
Strömung:
ρ = ρ(p,T)
Für barotrope Strömungen ist 1/ρ ∇p rotationsfrei (für barokline Strömungen gilt das nicht). Unter
Berücksichtigung dieser Annahme kann eine allgemeinere Form der Bernoulli-Gleichung hergeleitet
werden:
∫ 2
1
∂u
∂t
[ ] u
2 2 ∫ 2
·ds+
2 +U dp
+
1
ρ(p) = 0
1

30 5 Erhaltungssätze
In Sonderfall einer isentropen Strömung eines idealen Gases gilt wegen dh = Tds+dp/ρ = dp/ρ
∫ 1
2
∂u
∂t
[ ] u
2 2
·ds+
2 +U +h = 0
1
5.3 Energieerhaltung
Die Energie eines Systems ändert sich durch Zuführen bzw. Abführen von Wärmeströmen oder durch
Abgabe bzw. Aufnahme von mechanischer Leistung:
dE
dt = ∑ i
F i ·u+ ∑ i
˙Q i
5.3.1 Integrale Formulierung
Die totale innere Energie e T ist definiert durch:
)
e T = ρ
(e+ u2
2
Für die Erhaltung der totalen inneren Energie in einem raumfesten Kontrollvolumen V, das durch den
Rand S umschlossen ist, gilt:
dE
= d ∫ ) ∫ )
ρ
(e+ u2
dV + ρ
(e+ u2
(u·n) dS
dt dt 2 2
}
V
{{ }
S
} {{ }
Energieänderung
Energiefluss über
∫
imKV
∫
denGrenzendesKV
∫ ∫
= ρf ·u dV + (σ ·u)·n dS+
ρq V dV − q ·n dS
V
} {{ }
V olumen−
arbeit
S
} {{ }
Oberflächen−
arbeit
V
} {{ }
V olumen−
quelle
S
} {{ }
Wärme−
ströme
Der Wärmestrom q kann über die Anwendung der Wärmeleitungsgleichung berechnet werden:
q = −λ ∇T .
5.3.2 Differentielle Formulierung
Aus der obigen Form des Energiesatzes kann die differentielle Form für die Gesamtenergie hergeleitet
werden:
[ )] [ )]
d
ρ
(e+ u2
+div ρu
(e+ u2
= ρf ·u+div ( σ ·u ) +ρq V −div q
dt 2 2
Eine Erhaltungsgleichung für die innere Energie kann hergeleitet werden, indem man eine Gleichung
für die kinetische Energie (aus dem Impulssatz, durch Multiplikation mit dem Geschwindigkeitsvektor)
subtrahiert:
ρ ∂e
∂t +ρu·∇e = − ∇·q
} {{ }
ρ De
Dt
}{{}
Wärme−
leitung
−p ∇·u+ τ : ∇u
} {{ } } {{ }
Druck− Dissipation
arbeit
+ ρq V
}{{}
Wärmequellen/
−senken
Der Energiesatz kann auch unter Verwendung der Enthalpie formuliert werden:
ρ Dh
Dt = Dp
Dt −∇·q +τ : ∇u+ρq V

5 Erhaltungssätze 31
Die Enthalpie h ist definiert über
h = e+ p ρ .
Vorgehensweise bei der Anwendung:
1. Kontinuitätsgleichung und Impulssatz lösen für alle Koordinaten
2. Einsetzen in den Energiesatz
3. Differentialgleichung lösen
Bedeutung möglicher Hinweise in der Aufgabenstellung:
A. Vernachlässigbare Wärmeleitung −∇·q = 0
B. kleine Dissipation τ : ∇u = 0
C. Newtonsches Fluid τ ij = µ(∂u j /∂x i +∂u i /∂x j )
D. Stationär ∂/∂t = 0
E. Adiabate Wand q W
= 0
F. Isotherme Wand T W = konst.
G. Mit konstantem Wärmestrom geheizte Wand q W
= konst.
5.3.3 Sonderfälle
5.3.3.1 Energieerhaltung für inkompressible Strömungen
Es gilt die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Strömungen
∇·u = 0 .
Es wird nicht zwischen isobarer (C p ) und isochorer (C v ) Wärmekapazität unterschieden, so daß für das
Differential von e gilt:
De = C DT
Unter diesen Bedingungen vereinfacht sich der Energiesatz zu:
ρC DT
Dt = −∇·q +τ : ∇u+ρq V
Treten keine Wärmeleitung und keine Reibung auf, und sind keine Wärmequellen oder -senken vorhanden,
gilt DT/Dt = 0, und damit ist T = konst. für ein mitbewegtes Fluidpartikel.
5.3.3.2 Perfektes Gas ohne Reibung
Ein perfektes Gas ist ein ideales Gas mit konstanten Wärmekapazitäten. Es gilt
p
ρ = RT , dh = C p dT , a 2 = γRT .
Aus dem Energiesatz folgt:
ρ D ) (h+ u2
= −∇·q + ∂p
Dt 2 ∂t +∇·(τ ·u)+ρf ·u+ρq V

32 5 Erhaltungssätze
Tritt keine Wärmeleitung auf, sind keine Wärmequellen vorhanden und ist die Strömung reibungsfrei
sowie stationär mit f = 0, vereinfacht sich die Aussage zu
)
u·∇
(h+ u2
= 0 .
2
Entlang der Stromlinien gilt die Gleichung
C p T + 1 2 u2 = konst. ,
die auch kompressible Bernoulli-Gleichung genannt wird.

33
Kapitel 6
Reibungsbehaftete Strömungen
6.1 Navier-Stokes-Gleichung
Mit dem Newtonschen Schubspannungsansatz unter Annahme konstanter kinematischer Viskosität
ν = konst. geht aus dem Impulssatz für reibungsbehaftete inkompressible Strömungen die Navier-
Stokes-Gleichung
Du
Dt = −1 ρ ∇p+ν∆u+f
hervor. Analog zur vektoriellen kann auch die tensorielle Schreibweise benutzt werden. In kartesischen
Koordinaten gilt:
∂u i
∂t +u ∂
j u i = − 1 ∂p
+ν ∂2
u i +f i .
∂x j ρ∂x i
∂x 2 j
Die Kontinuitätsgleichung für den inkompressiblen Fall lautet
∇·u = 0 ,
bzw. in Tensor-Notation
∂u i
∂x i
= 0 .
Randbedingungen:
1. An festen Wänden gilt die Haftbedingung (”no-slip condition”):
u Fluid = u Wand .
2. An Phasentrennflächen ohne Grenzflächenspannung gilt:
u 1 = u 2 , d.h. die Geschwindigkeiten sind kontinuierlichüber die Trennfläche,sowie σ 1·n = σ 2·n .
Die zweite Bedingung lässt sich weiter aufspalten in die Gleichheit der Drücke, p 1 = p 2 ,
und die Gleichheit der Scherkraftkomponenten an der Trennfläche, τ 1 ·n = τ 2 ·n .
Bedeutung möglicher Hinweise in der Aufgabenstellung:
A. Keine Feldkräfte f = 0
B. Reibung sei vernachlässigbar ν∆u = 0
C. Stationär ∂/∂t = 0
6.2 Exakte Lösungen
Ebene Couette-Strömung
Vorausgesetzt sei eine ausgebildete Schichtenströmung eines inkompressiblen Mediums im ebenen Spalt
(−h ≤ y ≤ h), wobei die untere Wand ruht und die obere sich in einer Ebene mit U bewegt. Es gilt:
u = u(y) , w = 0 .

34 6 Reibungsbehaftete Strömungen
Die Kontinuitätsgleichung führt zur Aussage v = 0. Unter Vernachlässigung der Volumenkräfte vereinfachen
sich die Impulsgleichungen zu:
1∂p(x)
ρ ∂x = u(y)
νd2 dy 2
∂p
∂y = ∂p
∂z = 0
Aus der ersten Gleichung folgt:
dp(x)
dx = konst. = µd2 u(y)
dy 2 .
Der Druckgradient ist also konstant. Das Geschwindigkeitsprofil ergibt sich, unter Einbeziehung der
Randbedingungen
u(−h) = 0 , u(h) = U ,
zu einer linearen Funktion
u(y) = U (
1+ y )
.
2 h
dp
dx = 0 ,
y = +h
y
U
0
u(y)
x
y = -h
Abbildung 6.1: Ebene Couette-Strömung
Poiseuille-Strömung im Spalt
Wieder wird eine ausgebildete Schichtenströmung eines inkompressiblen Mediums im ebenen Spalt
betrachtet, wobei jetzt ein Druckgradient dp/dx aufgeprägt sei und beide Wände in Ruhe sind (Wandhaftung
wird bei y = h und y = −h angenommen).
y = +h
y
u(y)
0
x
y = -h
Abbildung 6.2: Poiseuille-Strömung im Spalt

6 Reibungsbehaftete Strömungen 35
Das Geschwindigkeitsprofil ergibt sich zu einer parabolischen Funktion
) ( )
u(y) = − h2 dp
(1− y2
2µ dx h 2 = u max 1− y2
h 2 , u max = u(y = 0) .
Die Lösung entspricht völlig der Rohrströmung, die im folgenden diskutiert wird.
Hagen-Poiseuille-Strömung
Eine horizontale, kreisrunde Rohrstrecke wird betrachtet, die Strömung sei stationär, inkompressibel
und ausgebildet. Das Problem ist axialsymmetrisch und unabhängig von der Winkelkoordinate θ, die
azimutale Geschwindigkeit u θ ist null. Die Volumenkräfte werden vernachlässigt, Wandhaftung ist an
den Rohrwänden anzunehmen
u x (r = R) = 0 , u r (r = R) = 0 .
Aus der Bedingung der Axialsymmetrie folgt
∂u x
∣ = 0 , u r = 0 .
∂r r=0
Aus den Navier-Stokes-Gleichungen ergibt sich unter Einbeziehung der Kontinuitätsgleichung das Geschwindigkeitsprofil
) ( )
u x (r) = − R2 dp
(1− r2
4µ dx R 2 = u max 1− r2
R 2 , u max = u(r = 0) .
1. Stokessches Problem (Rayleigh-Stokessches Problem)
Es wird eine unendlich ausgedehnte horizontale Platte betrachtet, die in einer ruhenden Umgebung
ruckartig auf die Geschwindigkeit U gebracht wird. Durch die Reibung wird das (inkompressible) Fluid
über der Platte allmählich mitgenommen.
y
u(y)
U
x
Abbildung 6.3: 1. Stokessches Problem, Strömungsprofil über einer plötzlich bewegten Platte
Die Strömung sei ausgebildet, so daß alle Ableitungen nach x gleich null sind. Da eine Parallelströmung
vorliegt, ist v ≡ 0. Die Volumenkräfte seien auch in diesem Fall vernachlässigt. Die Navier-Stokes-
Gleichungen ergeben
∂u(y,t)
∂t
= ν ∂2 u(y,t)
∂y 2

36 6 Reibungsbehaftete Strömungen
und für den Druck ergibt sich Konstanz quer zur Strömungsrichtung
∂p
∂x = 0 .
Die DGl für die Geschwindigkeit kann unter Einbeziehung der Anfangs- und Randbedingungen des
Problems
u(y ≥ 0,t ≤ 0) = 0 ,
u(y = 0, t > 0) = U ,
u(y = ∞, t > 0) = 0
gelöst werden. Die Lösung für t > 0 ist eine Fehlerfunktion
⎛
⎜
u(x,t) = U ⎝1− √ 1
y/ √ ⎞
∫
νt ) ( ( ))
exp
(− ξ2 ⎟ y
dξ⎠ = U 1−erf
π 4
2 √ .
νt
0
BenutztmanÄhnlichkeitsvariablen,fallendieLösungskurvenaufeineeinzigeKurvezusammen(“Selbstähnlichkeit”).
6.3 Näherungslösungen
6.3.1 Einfluß der Reynolds-Zahl
Die Navier-Stokes-Gleichung wird mit Hilfe der dimensionslosen Kennzahlen
x ′ i = x i
L , t′ = U L t , u i ′ = u i
U , p′ = p UL
L , Re =
µU ν
skaliert. Unter Vernachlässigung der Schwere ergibt sich die Impulsbilanz zu
[ ∂u
′
Re
∂t ′ + ( u ′ ∇ ′) ]
u ′ = −∇ ′ p ′ +∆ ′ u ′ .
Fall Re ≪ 1 , Re → 0
In bestimmten Fällen kann die Reynolds-Zahl klein (Re → 0) angenommen werden:
• wenn L klein ist (z.B. Tröpfchen),
• wenn u klein ist (z.B. Gletscher),
• wenn ν groß ist (zähe Fluide).
Strömungen dieses Typs werden schleichende Strömungen (creeping flow) genannt. Im Impulssatz
können mit dieser Annahme die Beschleunigungsterme auf der linken Seite vernachlässigt werden und
man erhält die vereinfachte Beziehung
∇ ′ p ′ = ∆ ′ u ′ ,
bzw. ausgedrückt in dimensionsbehafteten Grössen
∇p = µ∆u .
Diese Gleichung wird auch Stokes-Gleichung genannt. Aus der Gleichung lässt sich ableiten:

6 Reibungsbehaftete Strömungen 37
A. div (Stokes−Gleichung)
div grad p = µ div (∆u) = µ∆(div u)
} {{ }
=0
inkompr.
=⇒ ∆p = 0
Dies ist die Laplace-Gleichung für den Druck.
B. rot (Stokes−Gleichung)
0 = rot grad p = µ rot (∆u) = µ∆(rot u)
} {{ }
=ω
=⇒ ∆ω = 0
Dies ist die Laplace-Gleichung für die Wirbelstärke.
Die Gleichungen unter A und B sind linear, es können also einzelne Lösungen überlagert werden.
Fall Re ≫ 1 , Re → ∞
Der Fall, daß die Reynolds-Zahl groß ist (Re → ∞), kommt recht häufig vor:
• wenn L groß ist (z.B. Schiffe),
• wenn u groß ist (z.B. Flugzeuge),
• wenn ν klein ist.
Die Elimination des Terms
1
Re ∆u
in der Navier-Stokes-Gleichung führt sie auf die Euler-Gleichung zurück:
∂u
∂t +(u·∇)u = −1 ρ ∇p .
Die Euler-Gleichung erfüllt allerdings nicht die Haftbedingungen, sie beschreibt daher die Strömung
in der Nähe eines Körpers nicht korrekt. Dort müssen die Grenzschichtgleichungen (siehe Kapitel 7)
verwendet werden.
6.3.2 Stokes Flow: Schleichende Umströmung einer Kugel
EswirdeinesehrlangsameStrömungumeineKugelbetrachtet.DieReynolds-Zahlseidementsprechend
klein (Re → 0). Aufgrund der Geometrie des Problems sind Kugelkoordinaten für die Beschreibung
vorteilhaft.
Abbildung 6.4: Umströmung einer Kugel
Es wird die Stromfunktion eingeführt:
Ψ(r,θ) = f(r)·g(θ)

38 6 Reibungsbehaftete Strömungen
Die Geschwindigkeitskomponenten sind
u r =
1 ∂Ψ
r 2 sinθ ∂θ , u θ = − 1 ∂Ψ
rsinθ ∂r .
Die Lösung der Impulsgleichung liefert für eine Kugel mit Radius R und den Randbedingungen u r (r =
R,θ) = 0,u θ (r = R,θ) = 0 bei gleichförmiger Anströmung U
[
Ψ(r,θ) = Ur 2 sin 2 1
θ
2 − 3 R
4 r + 1 ) ] 3 R
,
4(
r
[
u r = U cosθ 1− 3 R
2 r + 1 ) ] 3 R
,
2(
r
[
u θ = −U sinθ 1− 3 R
4 r − 1 ) ] 3 R
,
4(
r
p = p ∞ − 3 2 µURcosθ r 2 ,
ω = − 3 2 URsinθ r 2 .
Der Widerstand F durch Druck- und Scherkräfte ergibt sich gemäß Stokes zu
F = 6πµUR .
Die dimensionslose Widerstandszahl c D ist umgekehrt proportional zur Reynolds-Zahl
F
c D = ρ
2 U2 ·πR 2 = 24
Re ,
wobei die Reynolds-Zahl mit dem Kugeldurchmesser gebildet wird.
Die Lösung wurde durch Oseen für kleine, aber endliche Reynolds-Zahlen verbessert. Er hat den Term
(u·∇)u nicht vernachlässigt, sondern linearisiert zu
U ∂u
∂x .
Damit ergibt sich die dimensionslose Widerstandszahl zu:
c D = 24 (
1+ 3 )
Re 16 Re
für Reynolds-Zahlen Re ≤ 5. Das Widerstandsgesetz ist für kleine Reynolds-Zahlen experimentell sehr
gut bestätigt. Für höhere Reynolds-Zahlen gelten andere Gesetzmässigkeiten aufgrund zusätzlicher
Phänomene wie Ablösung und Turbulenz. Im folgenden ist die Widerstandszahl c D in Abhängigkeit
von der Reynolds-Zahl Re aufgetragen.
c D
10 1 Re
10 -1
10 0 10 2 10 4 10 6
Abbildung 6.5: c D-Wert in Abhängigkeit von der Re-Zahl bei schleichender Umströmung einer Kugel

39
Kapitel 7
Grenzschichten
Das Grenzschichtkonzept beruht auf der Aufteilung des Strömungsfeldes in eine reibungsfreie Aussenströmung
und eine reibungsbehaftete, dünne Grenzschicht unmittelbar am Körper, welche die Wandhaftbedingung
erfüllen kann.
7.1 Grenzschichtgleichungen
Die Grenzschicht soll dünn sein, d.h. ihre Dicke δ ist sehr viel kleiner als die BezugslängeL. Damit nicht
alle Reibungsterme in der Navier-Stokes-Gleichung wegfallen, soll für die Grenzschichtdicke gelten
√
νL
δ ∼ .
u ∞
Dieser Ausdruck kann hergeleitet werden aus einer Betrachtung des Verhältnisses von Reibungs- und
Beschleunigungstermen.
Für die Grenzschicht (hier: stationär, inkompressibel, 2D kartesisch) gilt die Kontinuitätsgleichung in
der Form
∂u
∂x + ∂v
∂y = 0 ,
der Impulssatz in x-Richtung vereinfacht sich zu
u ∂u
∂x +v∂u ∂y = −1 ρ
∂p u
∂x +ν∂2 ∂y 2
und der Impulssatz in y-Richtung reduziert sich zu der Aussage
∂p
∂y = 0 ,
d.h. der Druck normal zur Wand ist in der Grenzschicht konstant und wird von der Aussenströmung
aufgeprägt. Der Druckgradient in der Grenzschicht wird also von der Euler-Gleichung
1 ∂p
ρ∂x = −u du ∞
∞
dx
bestimmt, die in der Aussenströmung (u ∞ (x)) gilt.
Für die Grenzschichtgleichungen gelten die folgenden Randbedingungen:
1. Wandhaftung:
u(x,y = 0) = 0 , v(x,y = 0) = 0 ,
2. Aussenströmung:
(x,y = δ) = u ∞ .

40 7 Grenzschichten
Grenzschichtkenngrössen
• Die Grenzschichtdicke δ ist üblicherweise festgelegt als der Abstand vom Körper, an dem die
Strömungsgeschwindigkeit 99% der Geschwindigkeit der Aussenströmung erreicht hat:
u(y = δ) = 0.99 u ∞
• Die Verdrängungsdicke δ 1 ist der Betrag, um den die Grenzschicht die reibungsfreie Aussenströmung
von der Wand verdrängt:
δ 1 = δ ∗ =
∫ ∞
0
(
1− u
u ∞
)
dy
• Die Impulsverlustdicke δ 2 ist ein Mass für den Reibungswiderstand, den der überströmte Körper
erfährt (vgl. Kapitel 7.3):
δ 2 = θ =
∫ ∞
0
(
u
1− u )
u ∞ u ∞
dy
(Anmerkung: Die Integranden der beiden Integrale verschwinden für y > δ .)
7.2 Exakte Lösungen der Grenzschichtgleichungen
Blasius-Grenzschicht
Man betrachte eine ebene Platte, die mit der Geschwindigkeit u ∞ überströmt wird. Die Strömung
sei inkompressibel und stationär und die Aussenströmung sei ausgebildet, d.h. der Druckgradient in
x-Richtung ist Null.
y
u(y)
u
oo
x
Abbildung 7.1: Blasius-Grenzschicht
Die Ähnlichkeitsvariable η und ein Ansatz für die Stromfunktion Ψ werden definiert als
η(x,y) = y x√
Rex ,
Ψ(x,y) = f(η) √ u ∞ νx ,

7 Grenzschichten 41
wobei die Reynolds-Zahl mit der Lauflänge x gebildet wird
Re x = u ∞x
ν
.
Aus den Grenzschichtgleichungen folgt mit diesem Ansatz die Blasius-Gleichung
2f ′′′ +ff ′′ = 0 ,
eine gewöhnliche Differentialgleichung dritter Ordnung. Die Randbedingungen für dieses Problem sind
entsprechend
f(η = 0) = 0 ,
f ′ (η = 0) = 0 ,
f ′ (η → ∞) = 1 .
Aus der DGl berechnet sich, mit angenäherten Zahlenwerten:
• Grenzschichtdicke
x
δ = 5√ ∝ √ x Rex
• Verdrängungsdicke
x
δ 1 = 1.721√ ≈ δ Rex 3
• Impulsverlustdicke
x
δ 2 = 0.664√ ≈ δ Rex 8
• Örtlicher Widerstandskoeffizient
c f = τ W
ρ/2 u 2 ∞
1
= 0.664√ Rex
Bemerkung: Diese Beziehungen gelten für eine laminare Grenzschicht, d.h. bis zu einer kritischen
Reynolds-Zahl von etwa Re x,krit. = 100 000 .
Falkner-Skan-Grenzschicht
Man betrachte die Strömung um einen Keil mit dem Öffnungswinkel β, der mit U 0 angeströmt wird.
u oo
y
u(y)
x
β
Abbildung 7.2: Strömung um einen Keil

42 7 Grenzschichten
Die Geschwindigkeit am Rand der Grenzschicht ist
( x
) m
u ∞ (x) = u 0 = cx
m
L
mit m als Funktion des Öffnungswinkels:
m =
β
2π−β
Im Gegensatz zu Blasius gilt
1 ∂p
ρ∂x = −mc2 x 2m−1 ≠ 0 .
Die Ähnlichkeitsvariable η und ein Ansatz für die Stromfunktion Ψ werden ähnlich wie bei Blasius
definiert:
η(x,y) = y x√
Rex
Ψ(x,y) = f(η)·cx m √ ν
cx m−1
= f(η)·u ∞ x √ Re x
Aus den Grenzschichtgleichungen folgt mit diesem Ansatz die Falkner-Skan-Gleichung:
f ′′′ + m+1 ff ′′ +m(1−f ′ 2 ) = 0
2
Die Randbedingungen für dieses Problem sind:
f(η = 0) = 0 ,
f ′ (η = 0) = 0 ,
f ′ (η → ∞) → 1 .
Mehrere Spezialfälle der Problemstellung können unterschieden werden:
• −0.0905 < m < 0 Diffusorströmung,
• m = 0 ebene Plattenströmung (Blasius),
• 0 < m < 1 Keilströmung,
• m = 1 Staupunktströmung,
• 1 < m < 2 Strömung in eine Ecke.
Darüber hinaus kann mit dem Exponenten m auch noch zwischen
• beschleunigten Strömungen ∂p/∂x < 0 für m > 0 und
• verzögerten Strömungen ∂p/∂x > 0 für m < 0
unterschieden werden. Für all diese Fälle existieren Lösungen.
Die Grenzschichtgleichungen können immer dann eingesetzt werden, wenn die Dicke der Grenzschicht
klein ist im Vergleich zu den Längenskalen der Aussenströmung. Es gibt dementsprechend auch Bereiche,
wo diese Annahme nicht zu halten ist. Für den Fall einer endlichen Rohrströmunggilt z.B. nahe am
Einlauf δ ≈ x und im ausgebildeten Bereich δ ≈ D. In beiden Bereichen wäre die “Grenzschichtdicke”
vergleichbar mit den externen Skalen.

7 Grenzschichten 43
7.3 Impulssatz der Grenzschichttheorie
Der integrale Impulssatz der Grenzschichttheorie lautet:
(
d
dx δ 2 + 2+ δ )
1 δ2 du ∞
δ 2 u ∞ (x) dx = c f
2
Er dient als Grundlage zur Berechnung von Grenzschichten mit “Integralverfahren”.
In der Blasius-Grenzschicht mit du ∞ /dx = 0 gilt z.B.
d
dx δ 2 = c f
2 > 0 ,
d.h. das räumliche Wachstum der Grenzschicht ist direkt proportional zur Wandreibung.

45
Kapitel 8
Turbulenz
8.1 Phänomenologie
Notwendige Bedingungen für den turbulenten Strömungszustand sind:
• Instationarität, Unstetigkeit (Zufallsbewegung);
• Dreidimensionale Geschwindigkeitsfluktuationen (10%−30% der mittleren Geschwindigkeit);
• Rotationsbehaftete Strömung (ω = ∇×u ≢ 0).
Darüber hinaus sind folgende Eigenschaften charakteristisch:
• Es treten Wirbelstrukturen auf verschiedenen Längenskalen auf.
• Turbulenz ist selbsterzeugend, d.h. Turbulenz erzeugt neue Turbulenz.
• Es ist ein externer “Antrieb” bzw. Energiezufuhr vorhanden durch die mittlere Scherbewegung /
Geschwindigkeitsgradienten.
• Es gibt einen Umschlag von laminarer zu turbulenter Strömung, die sog. Transition.
• Die Wirbeldiffusion, die ca. 100 mal grösser ist als die molekulare Diffusion, dominiert den Impulsaustausch
und die anderen diffusiven Transportprozesse.
• Turbulente Energie wird durch Dissipation, d.h. durch Umwandlung in Reibungswärme ”vernichtet”.
Transition
Der Übergang von laminarer zu turbulenter Strömung hängt nicht nur von der Reynolds-Zahl ab, sondern
auch von der Geometrie und anderen Faktoren wie z.B. dem Strömungszustand der Zuströmung.
Bei einer ebenen Platte erfolgt der Umschlag bei
Re x,krit = 3·10 5 ... 3·10 6 ,
mit einer Reynolds-Zahl gebildet mit der Lauflänge x und der Geschwindigkeit der Außenströmung u
Re x = ux
ν .
Für die Rohrströmung erfolgt der Umschlag bei
Re D,krit = 2300...3000 ,
wobei die Reynolds-Zahl mit dem Rohrdurchmesser D und der mittleren Geschwindigkeit u im Rohrquerschnitt
gebildet wird
Re D = uD ν .

46 8 Turbulenz
8.2 Statistische Modellierung der Turbulenz
Statistisches Modell der Turbulenz
Das Modell bedient sich der Annahme, daß die lokale Geschwindigkeit u der Strömung in einen Mittelwert
〈u〉 und in die Fluktuation u ′ aufgespalten werden kann
u(x,t) = 〈u(x,t)〉+u ′ (x,t) .
u
u (x,t)
‹u(x,t)›
Abbildung 8.1: Signal einer turbulenten Geschwindigkeit
t
Es ist zu beachten, daß die Mittelung der Fluktuation Null ergibt:
〈u ′ (x,t)〉 ≡ 0 .
Die Mittelung kann verschieden realisiert werden:
• ensemble (über unabhängige Realisationen),
• zeitlich (Standard; Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen),
• räumlich (Grobstruktur-Ansatz),
• über die Phasenzyklen einer periodischen Strömung.
Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen
Für einen statistisch stationären Prozess folgt:
∫
1
T
〈u(x,t)〉 ⇐= lim u(x,t) dt = u(x) = u(x,t)
T→∞ T
0
Für die Kontinuitätsgleichung folgt durch Mittelung
∇·u = 0 .
Und durch Subtraktion der obigen Gleichung von der Kontinuitätsgleichung ergibt sich
∇·u ′ = 0 .

8 Turbulenz 47
Unter der Annahme der Inkompressibilität ergeben sich die gemittelten Impulsgleichungen zu
∂
∂x j
(ρu i u j ) = − ∂p
∂x i
+ ∂
∂x j
τ ij − ∂
∂x j
(ρu i′ u j′ )
} {{ }
Turbulenz−
einfluss
τ ij = τ mol ist der molekulare Schubspannungstensor und −ρu i′ u j
′
= τ turb ist der turbulente Schubspannungstensor,
der vorerst nur formal und als Analogie zum molekularen Anteil definiert wird.
8.3 Empirischer Ansatz für die turbulente Schubspannung
Boussinesq-Annahme
Unterder Annahme, daßdie Schwankungstermeaufdie zeitlich gemittelten Größender Grundströmung
zurückzuführen sind, kann der turbulente Schubspannungstensor unter Einführung der turbulenten
Viskosität ν T analog zum Newtonschen Ansatz beschrieben werden:
τ turb
ij
= −ρu i′ u j′ = ρν T
du
dy
ν T ist im Gegensatz zur molekularen Viskosität µ keine Stoffkonstante, sondern eine Funktion des
Strömungszustandes, die empirisch bestimmt werden muß.
Prandtlscher Mischungswegansatz
Ein möglicher Ansatz zur Bestimmung der turbulenten Viskosität und des turbulenten Schubspannungstensor
geht von einer turbulenten zweidimensionalen Grenzschicht in der x,y-Ebene aus, in der
eine mittlere Bewegung in x-Richtung vorliegt:
u = u(y)+u ′ , v = v ′
y+l
y
y-l
y
u(y+l)
u(y)
u(y-l)
u
Ein Turbulenzelement legt im Mittel den Weg l zurück bevor es sich mit der Umgebung vermischt und
seine Individualität verliert. l wird als Prandtlscher Mischungsweg bezeichnet. In Anlehnung an die
Skizze kann die Untergeschwindigkeit im Niveau y+l gegenüber der Umgebung berechnet werden, sie
wird als Geschwindigkeitsschwankung im besagten Niveau aufgefasst:
u ′ (y +l) = u(y)−u(y +l) = −l· du
∣
dy
∣
y

48 8 Turbulenz
Aus der Kontinuität ergibt sich für v ′
v ′ = l· du
.
dy∣ y
Für den turbulenten Schubspannungstensor ergibt sich damit
∣ ∣∣∣
τxy
turb = −ρu ′ v ′ = ρl 2 du
du
dy∣
dy .
Die Abhängigkeit vom Quadrat des Geschwindigkeitsgradienten weist auf signifikante Unterschiede zur
laminaren Strömung hin.
Die turbulente Viskosität ergibt sich gemäß der Bestimmungsgleichung zu
ν T = l 2 ·
du
∣dy∣ ,
wobei der Mischungsweg l weiterhin empirisch bestimmt werden muss.
8.4 Geschwindigkeitsverteilung in der turbulenten Grenzschicht
Die Grenzschicht wird modellhaft in drei Bereiche unterteilt:
• Wandbereich (viskose Unterschicht)
τ = τ W (x) , τ mol ≫ τ turb
• Wandnaher Bereich (logarithmische Schicht)
• Außenbereich
τ = τ W (x) , τ turb ≫ τ mol
τ = τ(x,y) , τ turb ≫ τ mol
ZurLösung des Problemsin den ersten beiden Bereichen wird ein dimensionsanalytischerAnsatz herangezogen.
Zur Normierung der Strömungsgeschwindigkeit wird die charakteristische ”Schubspannungsgeschwindigkeit”
u τ benutzt
√ ∣∣τW ∣ u τ =
ρ
,
zur Normierung des Wandabstands das viskose Längenmass
y τ = ν u τ
.
Auch die Reynolds-Zahl wird mit u τ gebildet. Für die viskose Unterschicht ergibt sich die Geschwindigkeitsverteilung
u + = u = u τy
,
u τ ν
dies gilt für
y + = u τy
ν < 5 .
Die logarithmische Schicht, d.h. der Bereich
30 < u τy
< 500 ,
ν

8 Turbulenz 49
weist die folgende Geschwindigkeitsverteilung auf
u
= 1 (
u τ 0.41 ln uτ y
)
+C .
ν
Die additive Konstante C ist abhängig von der Wandrauhigkeit, in erster Näherung kann C = 5.0
angenommen werden.
Abbildung 8.2: Geschwindigkeitsverteilung in der turbulenten Grenzschicht
ImAußenbereichkanndieGeschwindigkeitsverteilungnurexperimentellermitteltwerden,dieAbhängigkeiten
sind sehr komplex und nicht mehr allgemein herleitbar. Für das Gesamtprofil der beiden äusseren Bereiche
(d.h. logarithmische Schicht + Außenbereich) gibt es Ansätze zur Beschreibung, z.B.
u
= 1 (
u τ k ln uτ y
ν
)
+C + 2Π k sin2( π
2
k ≈ 0.41 , C ≈ 5.0 , Π ≈ 0.6 , Π = Π
y
δ
)
( ) ∂p
∂x
Ein anderer empirischer Ansatz ist das 1 7 -Potenz-Gesetz
u
( y
) 1
n
=
u ∞ δ
, n ∼ = 7 .
Die Grenzschichtdicke einer ebenen, turbulenten Plattengrenzschicht errechnet sich damit zu
δ(x) ≈ 0.37 xRe x
− 1 5 .
.

50 8 Turbulenz
8.5 Turbulente Rohrströmung
Die Gleichungen für die turbulente Rohrströmung werden aus der entsprechenden RANS-Gleichung
∂p
∂x = 1 r
∂
∂r (rτ)
hergeleitet. Der Schubspannungstensor τ besteht wiederum aus einem molekularen und einem turbulenten
Anteil
τ = τ mol +τ turb = µ du
dr −ρu′ v ′ .
Zur Beschreibung des turbulenten Anteils wird der Ansatz der Wirbelviskosität herangezogen:
−u ′ v ′ = ν T
du
dr
Zusätzlich wird die turbulente Viskosität ν T durch den Ansatz
ν T = k ·u τ ·l , l = R ) (1− r2
2 R 2
modelliert.Fürdieturbulente Strömungineinem hydraulisch glatten Rohr ergibtsichdielogarithmische
Geschwindigkeitsverteilung
u
= 1 [
u τ k ln 1+k u )]
τR 1
(1− r2
ν 2 R 2
(Anmerkung: Für (R−r)/R ≪ 1, ku τ (R − r)/ν ≫ 1 ergibt sich aus dieser Gleichung wieder das
logarithmische Wandgesetz für Grenzschichten:
u
→ 1 ( )
u τ k ln uτ ·(R−r)
+C
ν
Druckverlust
Der Druckverlust ∆p in einem Rohr ist der Rohrlänge L proportional und wird geschrieben als
∆p
ρ = λL u 2
D 2 .
D ist der Rohrdurchmesser und u ist die mittlere Strömungsgeschwindigkeit im Rohrquerschnitt, λ ist
die Rohrreibungszahl. Bei laminarer Strömung, d.h. wenn Re D < Re D,krit , gilt
λ = 64ν
uD = 64
Re D
.
Im Falle turbulenter Strömung muß im Hinblick auf eine materialabhängige, äquivalente “Rauhigkeitshöhe”
k S unterschieden werden:
• Ein Rohr ist hydraulisch glatt, wenn die Rauhigkeit in der laminaren Unterschicht liegt
u τ k S
ν
≤ 5 .
In diesem Fall hat die Rauhigkeit keinen Einfluss auf die Rohrreibungszahlund es gilt:
λ = λ(Re D ) .

8 Turbulenz 51
• Ein Rohr ist sehr rauh, wenn gilt
u τ k S
ν
≥ 70 .
In diesem Bereich hat die Reynolds-Zahl keinen Einfluss auf die Rohrreibungszahl,
( )
kS
λ = λ
R
.
• Im Zwischenbereich , d.h. für
5 ≤ u τk S
ν
≤ 70
hängt die Rohrreibungszahl sowohl von der Reynolds-Zahl als auch von der Rauhigkeit ab:
(
λ = λ Re D , k )
S
R
.
Im allgemeinen muß die Rohrreibungszahl im Bereich Re D,krit < Re D aus einer impliziten Gleichung
berechnet werden. Für hydraulisch glatte Rohre gilt:
1
( )
√ = 2.0 log Re D ·√λ
−0.8 .
λ
Im Bereich von Re D,krit ≤ Re D ≤ 10 5 kann alternativ eine explizite Beziehung verwendet werden:
λ = 0.3164
4√ ReD
.
Zur Ermittlung der Rohrreibungszahl im Zwischenbereich glatt-rauh wird im allgemeinen das Moody-
Diagramm herangezogen. In diesem Bereich gilt die Näherungsformel von Colebrook-White:
(
1 2.51
√ = −2.03 log √ +0.27 k )
S
λ Re D λ D
Für hydraulisch rauhe Rohre gilt:
( )
1 kS
√ = 1.14−2log
λ D
Die äquivalenten Rauhigkeiten für ausgewählte Materialien sind in der Tabelle 8.1 zusammengefaßt.
Material
k S
Beton
Holz
Gußeisen
Verzinktes Eisen
Baustahl
Gezogene Rohre
0.9 ...9 mm
0.2 ...0.9 mm
0.25 mm
0.15 mm
0.059 mm
0.0015 mm
Tabelle 8.1: Rauhigkeiten für ausgewählte Materialien

52 8 Turbulenz
Abbildung 8.3: Moody-Diagramm

8 Turbulenz 53
Bei nichtrunden Querschnitten wird der hydraulische Durchmesser D H verwendet. Er berechnet sich
aus der Querschnittsfläche des Fluidstroms S und dem benetzten Umfang (ohne freie Oberflächen) U:
D H = 4· S
U .
Bei einem durchströmten kreisförmigen Rohr ergibt sich gerade der Rohrdurchmesser.
8.6 Verlustbehaftete Bernoulli-Gleichung
Im Falle turbulenter Strömung kann die Bernoulli-Gleichung nicht direkt angewendet werden, anwendbar
ist jedoch ein ähnlicher Ausdruck
p 1 + ρ 2 u 1 2 +ρgh 1 = p 2 + ρ 2 u 2 2 +ρgh 2 +∆p 12 −∆p ext .
Hierbeiwirddie mittlereGeschwindigkeitausdemMassenstromṁunddemdurchströmtenQuerschnitt
S berechnet
u = ṁ
ρS .
Der Druckverlust ∆p 12 errechnet sich aus der Summe aller Verluste zwischen den Punkten 1 und 2.
Der letzte Term ∆p ext modelliert den möglichen Einfluß einer Energiezufuhr (∆p ext > 0) bzw. -abfuhr
(∆p ext < 0) durch Strömungsmaschinen wie Pumpen oder Turbinen.
Verluste durch turbulente Rohrreibung
Um den Beitrag der Rohrreibung zu erfassen, werden die Druckverluste mit dem oben erläuterten
Ansatz einbezogen:
∆p
ρ = λL u 2
D 2 .
Verluste durch Einbauten und Maschinen
Durch einen allgemeinen Term
∆p
ρ = ζ u2
2 ,
werden Verluste durch Einbauten (Meßdüse, -blende), Querschnittsänderungen, Einlaufeffekte, Umlenkungen,
Ablösungen etc. beschrieben. Der Verlustkoeffizient ζ hängt von der Geometrie ab.
Druckänderungen durch Strömungsmaschinen können ähnlich beschrieben werden. Bei einer Pumpe
gilt
∆p P = ηṄ V ,
für eine Turbine hingegen
∆p T = − N η ˙V .
N ist die Leistung der Maschine in Watt, η ihr Wirkungsgrad und ˙V der Volumenstrom.

55
Anhang A
Grundlagen der Vektor- und Tensoralgebra
A.1 Einsteinsche Summenkonvention
Komponenten der Vektoren werden mit Indizes geschrieben, wobei gilt, daß über einen Index, der in
einem Term zweimal vorkommt, summiert werden muss.
Beispiele:
• u ii = u 11 +u 22 +u 33
• Laplace-Operator:
∂ ∂
a = ∂2 a
∂x i ∂x i ∂x 2 + ∂2 a
1 ∂x 2 + ∂2 a
2 ∂x 2 = ∆a
3
• Vektorprodukt:
u×v = ǫ ijk u j v k
wobei ǫ ijk die folgenden Eigenschaften hat:
⎧
⎨ 1 falls ijk = 123,231 oder 312
ǫ ijk = 0 falls zwei Indizes identisch sind
⎩
−1 falls ijk = 321,213 oder 132
• δ ii = 3, wobei gilt (Kronecker-δ)
δ ij =
{ 1 falls i = j
0 falls i ≠ j
A.2 Differentialoperatoren
Differential-Vektoroperator
In kartesischen Koordinaten x = (x,y,z) T
⎛ ⎞
∇ = ⎝
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
⎠
In Zylinderkoordinaten x = (r,θ,x) T
⎛ ⎞
∇ = ⎝
∂
∂r
1 ∂
r ∂θ
∂
∂x
⎠
p

56 A Grundlagen der Vektor- und Tensoralgebra
Divergenz
div u ≡ ∇·u
In kartesischen Koordinaten x = (x,y,z) T
∇·u = ∂u
∂x + ∂v
∂y + ∂w
∂z
In Zylinderkoordinaten x = (r,θ,x) T
∇·u = 1 r
∂
∂r (ru r)+ 1 ∂u θ
r ∂θ + ∂u x
∂x
Gradient
grad a ≡ ∇ a
In kartesischen Koordinaten x = (x,y,z) T
⎛ ∂a ⎞
∂x
∇ a = ⎝ ∂a ⎠
∂y
∂a
∂z
In Zylinderkoordinaten x = (r,θ,x) T
⎛
∇ a = ⎝
∂a
∂r
1 ∂a
r ∂θ
∂a
∂x
⎞
⎠
p
Rotation
rot u ≡ ∇×u
In kartesischen Koordinaten x = (x,y,z) T
⎛
∇×u = ⎝
∂w
∂y − ∂v
∂z
∂u
∂z − ∂w
∂x
∂v
∂x − ∂u
∂y
⎞
⎠
In Zylinderkoordinaten x = (r,θ,x) T
∇×u =
⎛
⎜
⎝
1
r
1 ∂u x
r ∂θ − ∂u θ
∂x
∂u r
[ ∂x − ∂ux
∂r
∂(ruθ )
∂r
− ∂ur
∂θ
⎞
⎟
] ⎠
p

A Grundlagen der Vektor- und Tensoralgebra 57
Dyadisches Produkt
In kartesischen Koordinaten x = (x,y,z) T
∂u
τ : grad u = τ xx
∂x +τ ∂v
xy
∂x +τ ∂w
xz
∂x
∂u
+ τ yx
∂y +τ ∂v
yy
∂y +τ ∂w
yz
∂y
∂u
+ τ zx
∂z +τ ∂v
zy
∂z +τ ∂w
zz
∂z
In Zylinderkoordinaten x = (r,θ,x) T
∂u r
τ : grad u = τ rr
∂r +τ rθr ∂ ∂r
1∂u r 1
+ τ θr θθ(
r ∂θ +τ r
( uθ
)
∂u x
+τ rx
)
∂r
r
∂u θ
∂θ + u r
r
∂u r
+ τ xr
∂x +τ ∂u θ
xθ
∂x +τ ∂u x
xx
∂x
+τ θx
1
r
∂u x
∂θ
A.3 Integralsätze
Satz von Gauß
∫ ∫
div u dV =
V S
u·n dS
Satz von Stokes
∫∫ ∮
rot u·n dS = u dl
S K

59
Anhang B
Grundgleichungen
B.1 Massenerhaltung
Lagrange-Darstellung (materielles Kontrollvolumen)
∫
DM
= 0 , M = ρ dV
Dt
V
Euler-Darstellung (bewegtes oder raumfestes Kontrollvolumen)
∫ ∫
∂ρ
∂t dV + ρ(u·n) dS = 0
V
S
Kontinuitätsgleichung (differentiell, raumfest)
∂ρ Dρ
+∇·(ρu) =
∂t Dt +ρ(∇·u) = 0
Komponentenschreibweise in kartesischen Koordinaten x = (x,y,z) T
∂ρ
∂t + ∂
∂x (ρu)+ ∂ ∂y (ρv)+ ∂ ∂z (ρw) = 0
Komponentenschreibweise in Zylinderkoordinaten x = (r,θ,x) T
∂ρ
∂t + 1 r
∂
∂r (ρru r)+ 1 r
∂
∂θ (ρu θ)+ ∂
∂x (ρu x) = 0
Kontinuitätsgleichung - inkompressibles Medium
ρ = konst. =⇒ ∇·u = 0
Kontinuitätsgleichung - inkompressible Strömung
Dρ
Dt
= 0 =⇒ ∇·u = 0

60 B Grundgleichungen
B.2 Impulserhaltung
Lagrange-Darstellung (materielles Kontrollvolumen)
DP
Dt = ∑ ∫
F i , P = ρu dV
i
V
Impulssatz: Euler-Darstellung (bewegtes oder raumfestes Kontrollvolumen)
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∂
∂t (ρu) dV + ρu(u·n) dS = ρf dV − pn dS + τ ·n dS +F ext
V
S
V
S
S
Impulssatz (differentiell, raumfest)
ρ Du
Dt
= −∇p+∇·τ +ρf
Komponentenschreibweise in kartesischen Koordinaten x = (x,y,z) T
( )
∂u
(x) : ρ
∂t +u∂u ∂x +v∂u ∂y +w∂u = − ∂p
∂z ∂x + ∂τ xx
∂x + ∂τ yx
∂y + ∂τ zx
∂z +ρf x
( )
∂v
(y) : ρ
∂t +u∂v ∂x +v∂v ∂y +w∂v = − ∂p
∂z ∂y + ∂τ xy
∂x + ∂τ yy
∂y + ∂τ zy
∂z +ρf y
( )
∂w
(z) : ρ
∂t +u∂w ∂x +v∂w ∂y +w∂w = − ∂p
∂z ∂z + ∂τ xz
∂x + ∂τ yz
∂y + ∂τ zz
∂z +ρf z
Komponentenschreibweise in Zylinderkoordinaten x = (r,θ,x) T
[ ∂ur
(r) : ρ
∂t +u ∂u r
r
∂r + u ]
θ ∂u r
r ∂θ − u2 θ
r +u ∂u r
x =
∂x
− ∂p
∂r + 1 ∂
r ∂r (rτ rr)+ 1 ∂τ rθ
r ∂θ − τ θθ
r + ∂τ rx
∂x +ρf r
[ ∂uθ
(θ) : ρ
∂t +u ∂u θ
r
∂r + u θ ∂u θ
r ∂θ + u ]
θu r ∂u θ
+u x =
r ∂x
− 1 ∂p
r ∂θ + 1 ∂ (
r 2 ) 1∂τ θθ
r 2 τ rθ +
∂r r ∂θ + ∂τ θx
∂x +ρf θ
[ ∂ux
(x) : ρ
∂t +u ∂u x
r
∂r + u ]
θ ∂u x
r ∂θ +u ∂u x
x =
∂x
− ∂p
∂x + 1 ∂
r ∂r (rτ rx)+ 1 ∂τ θx
r ∂θ + ∂τ xx
∂x +ρf x
Die Schubspannungen eines Newtonschen Fluids lassen sich schreiben
• in kartesischen Koordinaten als
( ∂ui
τ ij = µ + ∂u )
j
+(µ ′ − 2 ∂x j ∂x i 3 µ)δ ij∇·u ,
mit der Volumenviskosität µ ′ , der üblichen Definition des Divergenz-Operators
∇·u = ∂u
∂x + ∂v
∂y + ∂w
∂z

B Grundgleichungen 61
sowie der Kroneker Delta-Funktion
δ ij
= 1 für i = j
= 0 sonst .
Für ein inkompressibles Fluid gilt ∇·u = 0, und somit folgt
.
τ xx = 2µ ∂u
∂x
τ yy = 2µ ∂v
∂y
τ zz = 2µ ∂w
∂z
( ∂u
τ xy = τ yx = µ
∂y + ∂v )
∂x
( ∂u
τ xz = τ zx = µ
∂z + ∂w )
∂x
( ∂v
τ yz = τ zy = µ
∂z + ∂w )
∂y
• bzw. in Zylinderkoordinaten als
[ ] ∂ur
τ rr = 2µ +(µ ′ − 2 ∂r 3 µ)∇·u
[ 1 ∂u θ
τ θθ = 2µ
r ∂θ + u ]
r
+(µ ′ − 2 r 3 µ)∇·u
[ ] ∂ux
τ xx = 2µ +(µ ′ − 2 ∂x 3 µ)∇·u
[ ( 1 1 ∂u r
τ rθ = τ θr = 2µ
2 r ∂θ +r ∂ )]
u θ
∂r r
[ ( 1 ∂uθ
τ θx = τ xθ = 2µ
2 ∂x + 1 )]
∂u x
r ∂θ
[ ( 1 ∂ux
τ xr = τ rx = 2µ
2 ∂r + ∂u )]
r
∂x
wiederum mit der Volumenviskosität µ ′ und dem Divergenz-Operator
∇·u = ∂u r
∂r + u r
r + 1 ∂u θ
r ∂θ + ∂u x
∂x .
Für ein inkompressibles Fluid folgt wie im kartesischen Fall
[ ] ∂ur
τ rr = 2µ
∂r
[ 1 ∂u θ
τ θθ = 2µ
r ∂θ + u ]
r
r
[ ] ∂ux
τ xx = 2µ
∂x
[ ( 1 1
τ rθ = τ θr = 2µ
2 r
∂u r
∂θ +r ∂ ∂r
)]
u θ
r

62 B Grundgleichungen
.
[ ( 1 ∂uθ
τ θx = τ xθ = 2µ
2 ∂x + 1 )]
∂u x
r ∂θ
[ ( 1 ∂ux
τ xr = τ rx = 2µ
2 ∂r + ∂u )]
r
∂x
Euler-Gleichung (Impulssatz, reibungsfrei)
ρ Du
Dt = −∇p+ρf
Bernoulli-Gleichung (konservatives Kraftfeld, Euler-Gleichung entlang einer Stromlinie oder für
wirbelfreie Strömungen (∇×u = 0) im gesamten Feld)
∫ 2
1
[
∂u p
∂t ·ds+ ρ + 1 2
+U]
2 |u|2 = 0
1
Navier-Stokes-Gleichung (Impulssatz,reibungsbehaftet,NewtonschesMedium,inkompressibel,µ =
konst.)
ρ Du
Dt = −∇p+µ∇2 u+ρf
Komponentenschreibweise in kartesischen Koordinaten x = (x,y,z) T
(x) :
(y) :
(z) :
( )
∂u
ρ
∂t +u∂u ∂x +v∂u ∂y +w∂u = − ∂p [ ∂ 2 ]
∂z ∂x +µ u
∂x 2 + ∂2 u
∂y 2 + ∂2 u
∂z 2 +ρf x
( )
∂v
ρ
∂t +u∂v ∂x +v∂v ∂y +w∂v = − ∂p [ ∂ 2 ]
∂z ∂y +µ v
∂x 2 + ∂2 v
∂y 2 + ∂2 v
∂z 2 +ρf y
( )
∂w
ρ
∂t +u∂w ∂x +v∂w ∂y +w∂w = − ∂p [ ∂ 2 ]
∂z ∂z +µ w
∂x 2 + ∂2 w
∂y 2 + ∂2 w
∂z 2 +ρf z
Komponentenschreibweise in Zylinderkoordinaten x = (r,θ,x) T
(r) :
(θ) :
[ ∂ur
ρ
∂t +u ∂u r
r
∂r + u θ
r
− ∂p [ ( ∂ 1
∂r +µ ∂r r
ρ
∂
∂r (ru r)
[ ∂uθ
∂t +u ∂u θ
r
∂r + u θ ∂u θ
r
)
− 1 [ (
∂p ∂ 1
r ∂θ +µ ∂
∂r r ∂r (ru θ)
[ ∂ux
(x) : ρ
∂t +u ∂u x
r
∂r + u θ
r
− ∂p [ ( 1
∂x +µ ∂
r ∂u x
r ∂r ∂r
]
∂u r
=
∂x
∂u r
∂θ − u2 θ
r +u x
)
+ 1 ∂ 2 u r
r 2 ∂θ 2 − 2 ]
∂u θ
r 2 ∂θ + ∂2 u r
∂x 2
∂θ + u θu r
r
+u x
∂u θ
∂x
]
=
+ 1 ∂ 2 u θ
r 2 ∂θ 2 + 2 ]
∂u r
r 2 ∂θ + ∂2 u θ
∂x
]
2
∂u x
∂θ +u x
∂u x
∂x
=
)
+ 1 r 2 ∂ 2 u x
∂θ 2 + ∂2 u x
∂x 2 ]
+ρf x
+ρf r
+ρf θ

B Grundgleichungen 63
Schleichströmung Re ≪ 1
∇p = µ∇ 2 u
Grenzschichtgleichungen Re ≫ 1, 2D, stationär
∂u
∂t +u∂u ∂x +v∂u ∂y = −1 ρ
∂p
∂y = 0
∂p u
∂x +ν∂2 ∂y 2
Reynolds-gemittelte Navier-Stokes Gleichung - turbulente Strömungen
∂
(ρu i u j ) = ∂p + ∂τ ij
− ∂ ( )
ρu ′ i
∂x j ∂x i ∂x j ∂x u′ j j
Wirbeltransportgleichung (keine Volumenkräfte, Newtonsches Medium)
Dω
Dt = ω ·∇u+ν∇2 ω
B.3 Energieerhaltung
Lagrange-Darstellung (materielles Kontrollvolumen)
DE
Dt = ∑ F i ·u+ ∑ ∫
˙Q i , E = ρ
[e+ 1 ]
2 |u|2 dV
i i
V
Euler-Darstellung (bewegtes oder raumfestes Kontrollvolumen)
∫ (
∂
ρ
[e+ 1 ]) ∫ (
∂t 2 |u|2 dV + ρ
[e+ 1 ])
2 |u|2 u·n dS =
V
S
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
(
= ρf ·u dV − pu·n dS + τ ·u
)·n dS + ρq V dV −
V
S
S
V
S
q ·n dS
Energiegleichung (differentiell, raumfest)
Gleichung der Gesamtenergie ρ[e+|u| 2 /2]
(
ρ
∂
∂t
[e+ 1 2 |u|2 ])
+ ∂
∂x i
(
ρu i
[
e+ 1 2 |u|2 ])
= ρf i u i + ∂
∂x i
(σ ij u j )− ∂q i
∂x i
+ρq V
Gleichung der kinetischen Energie ρ|u| 2 /2
∂
∂t
( ρ
2 |u|2) + ∂
∂x i
(
u i
ρ
2 |u|2) = ρf i u i +u j
∂σ ij
∂x i

64 B Grundgleichungen
Gleichung der inneren Energie ρe
∂
∂t (ρe)+ ∂
∂x i
(ρu i e) = σ ij
∂u j
∂x i
− ∂q i
∂x i
+ρq V
Enthalpiegleichung (differentiell)
Gleichung der Enthalpie h = e+p/ρ
∂
∂t (ρh)+ ∂ (ρu i h) = ∂p
∂x i ∂t +u ∂p ∂u j
i +τ ij − ∂q i
+ρq V
∂x i ∂x i ∂x i
mit der Dissipationsfunktion Φ = τ ij ∂u j /∂x i
ρT Dh
Dt = Dp
Dt +Φ− ∂q i
∂x i
+ρq V
Gleichung der Gesamtenthalpie h+|u| 2 /2
(
ρ
∂
∂t
[h+ 1 2 |u|2 ])
+ ∂
∂x i
(
ρu i
[
h+ 1 2 |u|2 ])
= ∂p
∂t +ρf iu i + ∂
∂x i
(τ ij u j )− ∂q i
∂x i
+ρq V
Entropiegleichung
Tds = dh− dp
ρ
=⇒ ρT Ds
Dt = Φ− ∂q i
∂x i
+ρq V
reibungsfrei, adiabat
Ds
Dt = 0 , ρDh Dt = Dp
Dt

65
Literaturverzeichnis
[1] J.D. Anderson: Modern Compressible Flow. 2nd Edition, McGraw-Hill, 1990
[2] E. Becker: Technische Strömungslehre. Teubner, 1985
[3] E. Becker: Technische Thermodynamik; (Kap. 5: Stationäre Fadenströmung). Teubner, 1984
[4] M. van Dyke: An Album of Fluid Motion. The Parabolic Press, 1982.
[5] K. Gersten: Einführung in die Strömungsmechanik. 6. Auflage, Vieweg, 1991
[6] E.L. Houghton, P.W. Carpenter: Aerodynamics for Engineering Students. Butterworth-
Heinemann, 2003
[7] P.K. Kundu, I.M. Cohen: Fluid Mechanics. 5th Edition, Academic Press, 2011
[8] H.W. Liepmann, A. Roshko: Elements of Gasdynamics. Dover, 2001
[9] H.J. Lugt: Introduction to Vortex Theory. Vortex Flow Press, 1996
[10] L.M. Milne-Thomson: Theoretical Hydrodynamics. Macmillan, 1968
[11] Y. Nakayama, Y. Tanida (Editors): Atlas of Visualization II. The Visualization Society of Japan,
1996
[12] Y. Nakayama, Y. Tanida (Editors): Atlas of Visualization III. The Visualization Society of Japan,
1997
[13] R.L. Panton: Incompressible Flow. Wiley, 1984
[14] S.B. Pope: Turbulent Flows. Cambridge University Press, 2000
[15] L. Prandtl, K. Oswatitsch, K. Wieghardt: Führer durch die Strömungslehre. Vieweg, 1990
[16] H. Schade, E. Kunz: Strömungslehre. 3. Auflage, de Gruyter, 2007
[17] H. Schlichting, K. Gersten: Grenzschicht-Theorie. 9. Auflage, Springer, 1997
[18] H. Sigloch: Technische Fluidmechanik. 3. Auflage, VDI, 1996
[19] J.H. Spurk, N. Aksel: Strömungslehre, Einführung in die Theorie der Strömungen (inkl. Aufgabensammlung).
3. Auflage, Springer, 2007
[20] J.H. Spurk: Aufgaben zur Strömungslehre. 2. Auflage, Springer, 1996
[21] J.C. Tannehill, D.A. Anderson, R.H. Pletcher: Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer.
2nd Edition, Taylor and Francis, 1997
[22] D.J. Tritton: Physical Fluid Dynamics. Clarendon Press, 1988
[23] P.P. Wegener: What Makes Airplanes Fly? History, Science, and Applications of Aerodynamics.
2nd Edition, Springer, 1997
[24] D.C. Wilcox: Basic Fluid Mechanics. DCW Industries, 1998
[25] F.M. White: Fluid Mechanics. McGraw-Hill, 1986

66 Literaturverzeichnis
[26] F.M. White: Viscous Fluid Flow. 2nd Edition, McGraw-Hill, 1991
[27] W.A. Woods (Editor): Visualized Flow. Japan Society of Mechanical Engineering
[28] J. Zierep, K. Bühler: Grundzüge der Strömungslehre. Teubner, 2008
[29] J. Zierep: Ähnlichkeitstheorie und Modellregeln der Strömungslehre. G. Braun, 1991
[30] J. Zierep: Theoretische Gasdynamik. G. Braun, 1976
......................
[31] H. Kuhlmann: Strömungsmechanik. Pearson, 2007
[32] M. Samimy, K.S. Breuer, L.G. Leal, P.H. Steen: A Gallery of Fluid Motion. Cambridge, 2003
[33] J. Zierep, K. Bühler: Strömungsmechanik. Springer, 1991
Begleitend zur Vorlesung besonders empfohlen ist das Lehrbuch von Kundu und Cohen [7].
......................
Einige Web-Adressen zur Fluiddynamik:
www.efluids.com
www.desktopaero.com/appliedaero/welcome.html
www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/index.html
Siehe auch Vorlesungs-Webseiten.
......................