Prozessrechentechnik - Fachhochschule Oldenburg/Ostfriesland ...

Vorlesung 

Prozessrechentechnik 

(PRT) 

für Studenten 

des 

7. Semesters 

Standort Wilhelmshaven 

Fachbereich Ingenieurwissenschaften 

Bereich Elektrotechnik 

Prof. Dr.-Ing. W. Schumacher 

Prof. Dr.-Ing. H. Ahlers

II 

Version 1.3 25.02.2005, 8.47 Uhr D:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_04_05.wpd

Vorwort 

Ziel der vierstündigen Vorlesung ist es, in die Theorie der Abtastregelungen und deren Verwirklichung mit 

Prozessrechnern einzuführen. Dieser Stoff wird anhand von Beispielen vertieft und es werden Aufgaben 

empfohlen, ohne deren selbständige Lösung die Vorlesung weniger verstanden wird. 

Im zweistündigen Praktikum zur Veranstaltung wird das Wissen aus der Vorlesung vertieft durch selbständige 

Lösung von regelungstechnische Aufgaben unter Anwendung von professionellen Simulations- und 

Entwicklungswerkzeugen und Prozessrechnern. Dabei wird der Weg über Entwurf, Simulation, Erprobung 

beschritten am Beispiel von realen Labormodellen durch Beschreibung, Analyse, Synthese der zugehörigen 

Systeme und Prozesse. 

Die vorliegende Unterlage bildet das Gerüst der Prozessrechentechnik. Das Skript besitzt nicht die Ausführlichkeit 

eines Lehrbuches, sondern es werden, i. a. ohne mathematische Ableitungen und Beweise, Methoden und 

Verfahren in angepasster fachlicher Tiefe dargelegt, wie es für Verständnis und Fähigkeit der Anwendung des 

Stoffes notwendig erscheint. Zur Vertiefung des Lehrstoffes wird das in der Vorlesung angegebene Schrifttum 

empfohlen. In diesem Vorlesungsmanusskript fehlen bewusst einige Übungsbeispiele. Dies ist beabsichtigt, diese 

Aufgaben werden in den Vorlesungen an der Tafel vorgerechnet, bzw. von den Studierenden selbst bearbeitet. 

Da dieses die zweite elektronisch dokumentierte Ausgabe des Vorlesungsmanusskripts ist, wäre es nett, wenn Sie 

etwaige redaktionelle Fehler mitteilen würden. 

Wilhelmshaven im September 2003 

Literaturhinweise: 

[1] Schumacher, W.: 

Vorlesung Prozesssteuerung 1, 

Fachhochschule Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven, Standort Wilhelmshaven. 

[2] Schumacher, W.: 

Vorlesungsskript Regelungstechnik, 

Fachhochschule Oldenburg/Ostfriesland/Wilhelmshaven, Standort Wilhelmshaven., 2002. 

[3] Ahlers, H. : 

Vorlesungsskript “Mathematik III”; 

http://www.fh-wilhelmshaven.de/fbe/download.shtml 

[4] Brauch, W.; Dreyer, H.J.; Haacke, W. : 

Mathematik für Ingenieure; 

Teubner Verlag, Stuttgart 1990. 

[5] Papula, L.: 

Mathematik für Ingenieure 1; 

Vieweg Verlag, Braunschweig 1990. 

[6] Ahlers, H. : 

Vorlesungsskript “Mathematik “II”; 

http://www.fh-wilhelmshaven.de/fbe/download.shtml 

[7] Wendt, Lutz: 

Taschenbuch der Regelungstechnik, 

Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main, 1998, 2. Auflage. 

[8] Dörscheidt, F., Latzel, W. 

Grundlagen der Regelungstechnik, 

Teubner Verlag, Stuttgart 1993, 2. Auflage. 

[9] Latzel, Wolfgang: 

Einführung in die digitalen Regelung, 

VDI Verlag, Düsseldorf 1995. 

Kommentar: [7], [8] und [9] sind als Vertiefung des Vorlesungsstoffes zu empfehlen. 

Version 1.3 25.02.2005, 8.47 Uhr D:\Vorl\PRT\PRT_Skript_WS_04_05.wpd 

III

IV 

Gliederung: Prozessrechentechnik 

1. Einführung 

1.1. Der Begriff Prozessrechentechnik 

1.2. Ziele der Vorlesung 

1.3. Unterschied zwischen analogen und diskreten Regelungen 

1.4. Inhalt der Vorlesung 

2. Wiederholung analoge Theorie 

2.1. Formeln zur Laplace-Transformation 

2.2. Der ideale Einheitsstoß �(t) und die Einheitssprungfunktion �(t) 

2.3. Beschreibung von linearen System 

2.4. Übertragungsfunktionen elementarer Übertragungsglieder 

2.5. Reglerdimensionierungsverfahren 

2.6. Kaskadenregelung 

3. Theorie diskreter Systeme 

3.1. Was ist ein diskretes System, wie wird es beschrieben? 

3.2. Diskretisierung analoger Signale 

3.3. Entwurf von quasikont. Regelungen mit Abtastreglern für kontinuierliche Strecken, Teil 1 

3.4. Die z-Transformation 

3.5. Differenzengleichungen 

3.6. Bilineare Transformation 

3.7. Diskrete Beschreibung analoger Strecken 

3.8. Entwurf von quasikont. Regelungen mit Abtastreglern für kontinuierliche Strecken, Teil 2 

4. Diskrete Regelung einfacher Strecken 

4.1. Regelung einer PT1-Strecke mit digitalem I-Regler 

4.2. Regelung einer PT3-Strecke mit PI-Regler bei Polstellenkompensation und Vorgabe des 

Dämpfungsgrades 

4.3. Regelung einer schwingungsfähigen PT3-Strecke, PI-Regler-Entwurf im Bodediagramm 

5. Modellbildung für Gleichstrommotoren 

5.1. Konzepte von Antriebsregelungen 

5.2. Prinzip der Regelung von Gleichstrommaschinen 

5.3. Modellbildung der fremderregten Gleichstrommaschine 

5.4. Unnormiertes Modell der fremderregten Gleichstrommaschine 

5.5. Normierung der fremderregten Gleichstrommaschine 

6. Analoge Regelung des Gleichstrommotors 

6.1. Beschreibung der vorhanden Komponenten des Antriebs 

6.2. Direkte Synthese der Regelkreise 

6.3. Reglerentwurf mit Bodediagramm 

6.4. Direkte Drehzahlregungen 

6.5. Zeitoptimale Regelung 

7. Abtastregler mit zeitdiskreten Modellen der Regelstrecke 

7.1. Beschreibung linearer Systeme, n-ter Ordnung 

7.2. Diskretisierung analoger Strecken mittels Zustandsgleichungen 


Inhaltsverzeichnis: Prozessrechentechnik 

1. Einführung ............................................................................ 1 

1.1. Der Begriff Prozessrechentechnik.................................................. 1 

1.2. Ziele der Vorlesung............................................................. 1 

1.3. Unterschied zwischen analogen und diskreten Regelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.4. Inhalt der Vorlesung ............................................................ 2 

2. Wiederholung analoge Theorie ............................................................ 3 

2.1. Formeln zur Laplace-Transformation ............................................... 3 

2.1.1. Laplace-Transformation................................................. 3 

2.1.2. Rücktransformation .................................................... 3 

2.1.3. Transformation von y und dessen Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

2.1.4. Transformation und Rücktransformation mit Tabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

2.1.5. Verschiebungssatz ..................................................... 4 

2.1.6. Dämpfungssatz........................................................ 5 

2.1.7. Faltungsintegral ....................................................... 5 

2.1.8. Faltungssatz .......................................................... 5 

2.1.9. Grenzwertsätze........................................................ 6 

2.2. Der ideale Einheitsstoß und die Einheitssprungfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

2.2.1. Definition des idealen Einheitsstoßes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

2.2.2. Beschreibung des Impulses mit Hilfe von e-Funktionen und Grenzübergang . . . . . . . . 6 

2.2.3. Beschreibung des idealen Einheitsstoßes mit Hilfe von Rechtecken und Grenzübergang 

.................................................................. 7 

2.2.4. Die Einheitssprungfunktion .............................................. 7 

2.2.5. Zusammenhang zwischen Einheitssprung und Dirac-Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2.3. Beschreibung von linearen System ................................................. 8 

2.3.1. Beschreibung durch Differentialgleichungen (DGLn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2.3.2. Beschreibung durch die Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2.3.3. Impulsantwort/Gewichtsfunktion.......................................... 8 

2.3.4. Sprungantwort/Übergangsfunktion ........................................ 9 

2.3.5. Zusammenhang Übergangsfunktion h(t) und Gewichtsfunktion g(t) . . . . . . . . . . . . . . 9 

2.3.6. Berechnung der Systemantwort bei beliebiger Anregung mit Hilfe der und 

Gewichtsfunktion .................................................... 9 

2.4. Übertragungsfunktionen elementarer Übertragungsglieder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.4.1. Proportionalglied, P-Glied, P-Regelglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.4.2. Integrierglied, I-Glied, I-Regelglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.4.3. Verzögerungsglied 1. Ordnung, PT1-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.4.4. Reales Differenzierglied mit Verzögerung 1. Ordnung, DT1-Glied . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.4.5. Verzögerungsglied 2. Ordnung, PT2-Glied, nicht schwingungsfähig . . . . . . . . . . . . . 12 

2.4.6. Verzögerungsglied 2. Ordnung, PT2-Glied, schwingungsfähig . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.4.7. PI-Regelglied ........................................................ 13 

2.4.8. PIDT1-Regler........................................................ 13 

2.5. Reglerdimensionierungsverfahren ................................................ 14 

2.5.1. Ersatzübertragungsfunktion ............................................. 14 

2.5.1.1. Vereinfachung der Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.5.1.2. Ersatzübertragungsfunktion des Totzeitgliedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

2.5.1.3. Überführung der Sprungantwort/Übergangsfunktion in eine 

Übertragungsfunktion ........................................ 15 

2.5.1.3.1. PT1-Glied.......................................... 15 

2.5.1.3.2. PT2-Glied nicht schwingungsfähig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

2.5.1.3.3. PT2-Glied, leicht schwingungsfähig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.5.1.3.4. PT2-Glied stark schwingungsfähig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

2.5.2. Dämpfung einer Strecke 2. Ordnung ...................................... 20 

2.5.3. Regelung einer PT1-Strecke mit einem I-Regler durch Vorgabe der Dämpfung . . . . 21 

2.5.4. Reglerentwurf im Bodediagramm ........................................ 22 

2.5.4.1. Merkmale des Bodediagramms.................................. 22 

2.5.4.2. Syntheseaufgabe ............................................. 23 

2.5.4.3. Einstellung der Phasenreserve mit P-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

2.5.4.4. Einstellung der Phasenreserve mit PI-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

2.5.4.5. Einstellung der Phasenreserve mit PD-Regler (real: PDT1-Regler, Lead-Glied) 

.......................................................... 23 


V

VI 

2.5.4.6. Einstellung der Phasenreserve mit PID-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

2.5.5. Reglerentwurf PI-Regler mit Polstellenkompensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

2.5.6. Reglerentwurf symmetrisches Optimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

2.6. Kaskadenregelung............................................................. 24 

3. Theorie diskreter Systeme ............................................................... 26 

3.1. Was ist ein diskretes System, wie wird es beschrieben? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

3.2. Diskretisierung analoger Signale ................................................. 26 

3.2.1. Funktion des Abtasthaltegliedes ......................................... 26 

3.2.2. Einsatz des Abtasthaltegliedes in digitalen Regelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

3.2.3. Übertragungsfunktion des Abtasthaltegliedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

3.2.4. Einfluss der Abtastzeit, Shannon-Theorem, Anti-Aliasing-Filter . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

3.3. Entwurf von quasikontinuierlichen Regelungen mit Abtastreglern für kontinuierliche Strecken, Teil 

1 

........................................................................ 32 

3.4. Die z-Transformation .......................................................... 33 

3.4.1. Definition der z-Transformation ......................................... 33 

3.4.2. z-Transformation spezieller Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

3.4.2.1. Einheitssprung............................................... 34 

3.4.2.2. Rampenfunktion ............................................. 34 

3.4.2.3. e-Funktion .................................................. 35 

3.4.2.4. Übergangsfunktion eines PT1-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

3.4.2.5. Kosinus-Funktionen .......................................... 36 

3.4.3. z-Transformation mit Tabelle ........................................... 37 

3.4.4. z-Übertragungsfunktion ................................................ 38 

3.4.4.1. Definition .................................................. 38 

3.4.4.2. z-Übertragungsfunktion eines PT1-Gliedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

3.4.4.3. z-Übertragungsfunktion eines Integrierers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

3.4.4.4. Übliche der Bestimmung von G(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

3.4.5. z-Übertragungsfunktion des Totzeitgliedes / Laufzeitgliedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

3.5. Differenzengleichungen ........................................................ 40 

3.5.1. Allgemeine Form ..................................................... 40 

3.5.2. z-Transformierte ..................................................... 40 

3.5.3. Realisierung eines digitalen Filters / Regelalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

3.5.4. Stabilität von Differenzengleichungen für rationale Übertragungsglieder . . . . . . . . . 41 

3.6. Bilineare Transformation ....................................................... 42 

3.7. Diskrete Beschreibung analoger Strecken........................................... 42 

3.7.1. Proportionalglied, P-Glied, P-Regelglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

3.7.2. Integrierglied, I-Glied, I-Regelglied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

3.7.2.1. Bilineare Transformation ...................................... 43 

3.7.2.2. Integration durch Rechteckregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 

3.7.2.3. Trapez-Regel................................................ 45 

3.7.2.4. Vergleich der Integrationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

3.7.3. Verzögerungsglied 1. Ordnung, PT1-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 

3.7.3.1. Bilineare Transformation ...................................... 48 

3.7.3.2. Linksseitige Rechteckregel ..................................... 49 

3.7.3.3. Trapez-Regel................................................ 49 

3.7.3.4. Vereinfachte Lösung der DGL .................................. 49 

3.7.3.5. Verbesserte Lösung der DGL ................................... 50 

3.7.3.6. Vergleich der Verfahren ....................................... 51 

3.7.4. Reales Differenzierglied mit Verzögerung 1. Ordnung, DT1-Glied . . . . . . . . . . . . . . 53 

3.7.5. Verzögerungsglied 2. Ordnung, PT2-Glied, nicht schwingungsfähig . . . . . . . . . . . . . 54 

3.7.6. Verzögerungsglied 2. Ordnung, PT2-Glied, schwingungsfähig . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 

3.7.7. PI-Glied, PI-Regelglied ................................................ 56 

3.7.8. PIDT1-Regelglied .................................................... 56 

3.8. Entwurf von quasikontinuierlichen Regelungen mit Abtastreglern für kontinuierliche Strecken, Teil 

2 ....................................................................... 57 

4. Diskrete Regelung einfacher Strecken ...................................................... 58 

4.1. Regelung einer PT1-Strecke mit digitalem I-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

4.1.1. Aufgabe ............................................................ 58 

4.1.2. Vorgehensweise ...................................................... 58 

4.1.3. Entwurf der kontinuierlichen Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

4.1.4. Bestimmung der Parameter für einen digitalen Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 


4.1.5. Simulationsergebnisse ................................................. 59 

4.2. Regelung einer PT3-Strecke mit PI-Regler bei Polstellenkompensation und Vorgabe des 

Dämpfungsgrades ......................................................... 61 

4.2.1. Aufgabe ............................................................ 61 



4.2.4. Bestimmung der digitalen Reglerparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

4.3. Regelung einer schwingungsfähigen PT3-Strecke, PI-Regler-Entwurf im Bodediagramm . . . . . 65 

4.3.1. Aufgabe ............................................................ 65 



4.3.4. Bestimmung der digitalen Reglerparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 

4.3.5. Simulationsergebnisse ................................................. 67 

5. Modellbildung für Gleichstrommotoren .................................................... 68 

5.1. Konzepte von Antriebsregelungen ................................................ 68 

5.2. Prinzip der Regelung von Gleichstrommaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 

5.3. Modellbildung der fremderregten Gleichstrommaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

5.3.1. Stellglied ........................................................... 69 

5.3.2. Elektrischer Teil der fremderregten Gleichstrommaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 

5.3.3. Induzierte Spannung u G ................................................ 70 

5.3.4. Antriebsmoment m A ................................................... 70 

5.3.5. Mechanische Leistung P ............................................... 71 

5.3.6. Stationäres Drehzahlverhalten ........................................... 71 

5.3.7. Nennbetrieb ......................................................... 72 

5.3.8. Mechanischer Teil des Antriebes ......................................... 72 

5.3.9. Lageberechnung...................................................... 74 

5.3.10. Weitere Einflüsse .................................................... 74 

5.4. Unnormiertes Modell der fremderregten Gleichstrommaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

5.4.1. Zusammenfassung der Formeln der fremderregten Gleichstrommaschine . . . . . . . . . 75 

5.4.2. Wirkungsplan für den Gleichstrommotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 

5.5. Normierung der fremderregten Gleichstrommaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 

5.5.1. Normierung des Ankerkreises ........................................... 76 

5.5.2. Normierung induzierte Spannung ........................................ 77 

5.5.3. Normierung Antriebsdrehmoment ........................................ 77 

5.5.4. Normierung Last- und Beschleunigungsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 

5.5.5. Normierung mechanischer Teil .......................................... 78 

5.5.6. Zusammenfassung der normierten Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 

6. Analoge Regelung des Gleichstrommotors .................................................. 84 

6.1. Beschreibung der vorhanden Komponenten des Antriebs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 

6.1.1. Kenndaten der Gleichstrommaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 

6.1.2. Messglieder ......................................................... 86 

6.1.2.1. Strommessung............................................... 86 

6.1.2.2. Drehzahlmessung ............................................ 87 

6.1.2.3. Lagemessung................................................ 88 

6.1.3. Thyristorsteller ....................................................... 88 

6.1.4. PI-Regelglied ........................................................ 90 

6.2. Direkte Synthese der Regelkreise ................................................. 90 

6.2.1. Stromregelkreis ...................................................... 90 

6.2.2. Ersatzübertragungsfunktion des Stromregelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 

6.2.3. Drehzahlregelkreis, Teil 1 .............................................. 93 

6.2.4. Regelung eines IT1-Gliedes und Symmetrisches Optimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 

6.2.4.1. Herleitung der Formeln........................................ 93 

6.2.4.2. Zusammenfassung zu „Symmetrisches Optimum“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 

6.2.5. Drehzahlregelkreis, Teil 2 .............................................. 99 

6.2.6. Ergebnisse der Strom-und Drehzahlregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 

6.2.7. Ersatzübertragungsfunktion Drehzahlregelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 

6.2.8. Lageregelung ....................................................... 102 

6.2.9. Ergebnisse der Lageregelung ........................................... 103 

6.3. Reglerentwurf mit Bodediagramm ............................................... 106 

6.3.1. Stromregelkreis ..................................................... 106 

6.3.2. Ersatzübertragungsfunktion des Stromregelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 

6.3.3. Drehzahlregelkreis ................................................... 108 


VII

VIII 

6.3.4. Ergebnisse der Strom-und Drehzahlregelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 

6.4. Direkte Drehzahlregungen ..................................................... 111 

6.5. Zeitoptimale Regelung ........................................................ 111 

6.5.1. Prinzip der zeitoptimalen Regelung ...................................... 111 

6.5.2. Grundlagen der zeitoptimalen Steuerung und der zeitoptimalen Regelung . . . . . . . . 111 

6.5.2.1. Behandlung in Zeitbereich .................................... 111 

6.5.2.2. Behandlung im Zustandsraum ................................. 112 

6.5.3. Zeitoptimale Steuerung ............................................... 113 

6.5.4. Prinzip der zeitoptimalen Regelung ...................................... 116 

6.5.5. Realisierung einer Regelung ........................................... 117 

6.5.6. Zustandsregelung .................................................... 119 

6.5.7. Strukturumschaltbare Regelung ........................................ 120 

7. Abtastregler mit zeitdiskreten Modellen der Regelstrecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 

7.1. Beschreibung linearer Systeme, n-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 

7.1.1 Zustands-DGL....................................................... 121 

7.1.2. Herkömmliche Lösung der DGLn ....................................... 123 

7.1.2.1. Lösung im Zeitbereich ....................................... 123 

7.1.2.2. Lösung im Laplace Bereich ................................... 123 

7.1.3. Homogene Lösung der Vektor DGL ..................................... 124 

7.1.4. Eigenwerte ......................................................... 124 

7.1.5. Beispiel 2.Ordnung .................................................. 125 

7.1.6. Umformung von DGLn n-ter Ordnung nach n DGLn 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 126 

7.1.7. Allgemeine Lösung der Zustands DGLn mitteles Laplace Transformation . . . . . . . . 129 

7.2. Diskretisierung analoger Strecken mittels Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 

7.2.1 Lösung der Zustands-DGL für einen Abtastschritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 

7.3. Diskrete Regelung einer PT1-Strecken ............................................ 133 

Aufgaben ............................................................................. 139 


1. Einführung 

1.1. Der Begriff Prozessrechentechnik 

1.1. Der Begriff Prozessrechentechnik 1 

Laut Norm (IEV 351-18-3A) ist ein Prozessrechner ein Rechner, der direkt mit einem (meist physikalischen) 

Prozess über Prozessschnittstellen zum Echtzeitdatenaustausch gekoppelt ist. Bild 2 zeigt das allgemeine Prinzip 

eines Prozessrechners. 

Bild 2: Allgemeines Prinzip eines Prozessrechners 

1.2. Ziele der Vorlesung 

Nach Bild 2 sind bei einem allgemeinen Prozessrechner analoge und digitale Ein- und Ausgänge und z.B. zusätzliche 

Schnittstellen für eine Anbindung an Busysteme vorhanden. Im Rahmen dieser Vorlesung soll der Prozessrechner 

schwerpunktmäßig als digitaler Regler genutzt werden. Ziel dabei ist, den Rechenalgorithmus nach Bild 

2 theoretisch und praktisch zu verwirklichen, um den Prozess aus Informationen seiner Zustands- und Führungsgrößen, 

die ggf. A/D-gewandelt werden, über einen D/A-Wandler durch analoge Stellgrößen zu beeinflussen. 

Kenntnisse über Hard- und Software von Rechnern sind aus mehreren Veranstaltungen vorhanden und in der 

Vorlesung Prozesssteuerung I [1] wird Wissen über Echtzeitdatenverarbeitung mit Standardrechnern vermittelt. 

Deshalb wird in dieser Vorlesung nicht auf Hardware von Datenverarbeitungsanlagen und Schnittstellen eingegangen. 

1.3. Unterschied zwischen analogen und diskreten Regelungen 

Die Struktur eines analogen Regelkreises ist u.a. aus der Vorlesung Regelungstechnik [2] bekannt, siehe Bild 3: 

Bild 3: Wirkungsplan eines analogen Standardregelkreises 

In Bild 3 bedeuten: 

c - Zielgröße 

w - Führungsgröße 

e - Regeldifferenz, Regelfehler 

m - Reglerausgangsgröße (Eingangsgröße Stelleinrichtung) 

y - Stellgröße (Ausgangsgröße Steller, Eingangsgröße Steller) 

x - Regelgröße 

r - Rückführgröße 

q - Aufgabengröße 


2 1. Einführung 

Die Regelung mit einem digitalen Regler ist der analogen Struktur nach Bild 3 ähnlich. Unterschiede: 

1. Der Regelalgorithmus erfolgt digital. 

2. Beim analogen Regler hat jeder Signalzeitpunkt Bedeutung für die Berechnung der analogen Stellgröße. 

Der digitale Regler arbeitet taktweise in den Zeitabständen der Abtastzeit T (Rechnertaktzeit). 

3. Soll- und Istwerte müssen diskretesiert werden. D.h für den Bereich einer Abtastzeit T werden Sollund 

Istwerte als konstant angenommen. Der Begriff Taster in Bild 4 bedeutet somit, dass aus dem 

Messsignal x(t) die diskreten Werte 

x(t=0) = x0 

x(t=T) = x1 

x(t=2T) = x2 

.... 

gebildet werden müssen. 

4. Der Sollwert für die Regelung kann entweder analog oder digital vorgegeben werden. Bei analogen 

Vorgaben ist dieser zu diskretisieren. 

Bild 4: Möglicher Wirkungsplan einer Abtastregelung 

1.4. Inhalt der Vorlesung 

In Kapitel 2 werden einige Grundlagen der Vorlesung Regelungstechnik [2] kurz zusammengefasst, die in spätere 

Abschnitten der Prozessrechentechnik benötigt werden. Kapitel 2 dient somit den Studierenden zur Überprüfung 

ihrer Vorkenntnisse und es wird empfohlen, den Stoff aus Kapitel 2 zu wiederholen, damit Unklarheiten in der 

Vorlesung beseitigt werden können. 

Kapitel 3 beschäftigt sich mit der Theorie von Abtastregelungen. Hier werden diskrete Regelalgorithmen (siehe 

Bild 4) beschrieben. Ein weiteres wichtiges Thema ist die Beschreibung von Taster und Speicher (siehe Bild 4), 

später Abtasthalteglied genannt. Aufbauend auf bekannte analoge Reglerentwurfsverfahren ([1], bzw. Kap. 2) wird 

die Umsetzung von analog ermittelten Reglerkennwerten in Parameterwerte für digitale Regelalgorithmendargestellt. 

Zur Beschreibung der diskreten Systeme (u.a. digitaler diskreter Regler) werden allgemein Differenzengleichungen 

und z-Transformation benutzt. Diese Beschreibungsformen werden hier vorgestellt. 

In Kapitel 4 erfolgt eine Vertiefung des in Kap. 3 vermittelten Stoffes durch Anwendung der Theorie anhand 

zweier einfacher Systeme: 

S Abschnitt 4.1: Diskrete Regelung einer PT1-Strecke mit einem I-Regler 

S Abschnitt 4.2: Diskrete Regelung einer PT2-Strecke mit einem PI-Regler 

Ziel ist es (auch in der parallelverlaufenden Laborveranstaltung), die Theorie der Abtastregelungen anhand eines 

praktischen Beispiels zu erläutern. Grundlage bilden dabei die in Kapitel 5 dargestellte Modellbildung und analoge 

Regelung eines Antriebs mit Gleichstrommotor. Vermittlung von Theorie und Erläuterung einer zugehörigen 

Regelung für Drehzahl und Lage erfolgen in Kapitel 6. 

Abschließend wird in Kapitel 7 die Regelung von zeitdiskreten Systemen mit Digitalreglern beschrieben. 


2. Wiederholung analoge Theorie 

2.1. Formeln zur Laplace-Transformation 

2.1. Formeln zur Laplace-Transformation 3 

In diesem Abschnitt werden die wichtigsten Formel der Laplace-Transformation wiederholt. Ausführliche Herleitung 

der angegeben Formel erfolgen u.a. in [3] bis [5]. Es sei darauf hingewiesen, dass für die Symbole der Laplacevariablen 

sowohl „p“ als auch „s“ benutzt werden können. 

2.1.1. Laplace-Transformation 

Zeit-Bereich => Frequenz-Bereich oder Bildbereich 

2.1.2. Rücktransformation 

Frequenz-Bereich => Zeit-Bereich 

Y(p) = £{y(t)} Y(p) M-------F y(t) (1) 

-1 

y(t) = £ {Y(p)} y(t) F-------M Y(p) (2) 

Anmerkung: Zeitgrößen klein y(t) 

Frequenzgrößen, Bildbereichsgrößen groß Y(p) 

Sowohl die Laplace-Transformation (Abschnitt 2.1.1) als auch deren Rücktransformation (Abschnitt 2.1.2) werden 

in der Praxis mit Hilfe von Tabellen (siehe Abschnitt 2.1.4) und Partialbruchzerlegung (siehe u.a.[3] bis [5]) 

durchgeführt. 

2.1.3. Transformation von y und dessen Ableitung 

y(t) F-------M Y(p) (3) 

F-------M p*Y(p) - y 0 

(4) 

F-------M (5) 

F-------M (6) 

F-------M (7) 


4 2. Wiederholung analoge Theorie 

2.1.4. Transformation und Rücktransformation mit Tabelle 

y(t) Y(p) Nummer 

1 = �(t) (8) 

t = t*�(t) = r(t) (9) 

e -at 


(10) 

cos(�1t) (11) 

sin(�1t) (12) 

1 - e -t/T 

1 - e -at 

t*e -at 

-at 

e *cos(�1t) -at 

e *sin(�1t) (13) 

(14) 

(15) 

(16) 

(17) 

cos(�1t +�) (18) 

-at 

e *cos(�1t + �) 

Tabelle 1: Korrespondenztabelle der Laplace-Transformation 

2.1.5. Verschiebungssatz 

Bild 5 

£ T 0 > 0 (21) 

Eine Verschiebung von y(t) um T 0 in Richtung der Zeitachse bewirkt im Bildbereich eine Multiplikation mit 

. 

Anmerkung: Die Verschiebung im Zeitbereich kann physikalisch als Totzeit (Laufzeit) gedeutet werden. 

Beispiel: Förderband, Signallaufzeit. Daher erscheinen physikalisch sinnvoll nur Totzeiten (Laufzeiten) größer 

Null, welches eine Verschiebung nach rechts bedeutet. 

(19) 

(20)

2.1.6. Dämpfungssatz 

2.1. Formeln zur Laplace-Transformation 5 

gegeben: y(t) Y(p) 

gesucht: 

-at 

£{y(t)*e } 

Lösung: 

-at 

£{y(t)*e } = Y(p+a) 

-at 

y(t)*e F---M Y(p+a) (22) 

2.1.7. Faltungsintegral 

Das Faltungsintegrals verknüpft zwei gegebene Funktionen y 1(t) und y 2(t) 

mit Hilfe der Definition 

zu einer dritten Funktion. Die Aussage des Faltungsintegrals soll nun anschaulich verdeutlicht werden, siehe Bild 

6. Die von der Variablen t abhängigen Funktionen y 1(t) und y 2(t) 

werden überführt in von der Variablen � abhängigen 

Funktionen. Bei der Funktion y (t) wird “t” nur durch “�” ersetzt: 

y 1(t) y 1(�) 

In der Funktion y 2(t) 

wird “t” ersetzt durch “t-�”: 

y 2(t) y 2(t-�) 

1 

Die Funktion y 2wird somit verschoben und gespiegelt. Die Funktion y 2ist somit im Vergleich zur Funktion y 1um 

den Parameter “t” gefaltet. Sowohl y 1(�) als auch y 2(t-�) 

sind Funktionen, die von der Variablen � abhängig sind. 

Die Zeit t ist in der Funktion y nur noch als konstanter Parameter anzusehen, siehe Bild 6, Teilbild b. 

Bild 6: Anschauliche Bedeutung des Faltungsintegrals 

2 

Das Integral (23) kann für einen bestimmten (im Moment konstanten) Zeitpunkt t gedeutet werden. Die Integration 

erfolgt über �, t ist nur konstanter Parameter für das Integral. Um das Faltungsintegral (23) für einen t-Wert zu 

bestimmen, müssen die zwei in Bild 6b darstellten Funktionen multipliziert und integriert werden. Die Integration 

erfolgt von � = 0 bis � = t. Das Ergebnis wird durch die obere Integrationsgrenze wieder eine Funktion von t. Ohne 

Beweis: Die Funktionen y und y dürfen auch getauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis ändert. 

2.1.8. Faltungssatz 

y 1(t) F---M Y 1(p) 

y (t) F---M Y (p) 

2 2 

1 2 


(23) 

Y(p) = Y 1(p)*Y 2(p) 

(24) 

Fazit: Die Transformation des Faltungsintegrals zweier Funktionen ergibt die Multiplikation der 

Laplace-Transformierten der Einzelfunktionen.


2.1.9. Grenzwertsätze 

2.2. Der ideale Einheitsstoß und die Einheitssprungfunktion 

2.2.1. Definition des idealen Einheitsstoßes 

Anderer Name: Dirac-Impuls, Diracsche Funktion, Impulsfunktion der Fläche „1" 

Die spezielle Impulsfunktion Dirac-Impuls �(t) ist definiert durch folgende Eigenschaften: 

- nur bei t = 0 von Null verschieden, 

- Amplitude unendlich, 

- Breite infinitesimal klein, 

- Impulsfläche A = 1. 

Anschaulich darstellen lässt sich der Impuls entweder durch ein Rechteck oder durch eine e-Funktion der Fläche 

1. 

2.2.2. Beschreibung des Impulses mit Hilfe von e-Funktionen und Grenzübergang 

=> => 

Bild 7 verdeutlicht den Einfluss von kleineren �. Bei kleiner werdenden � steigt die Amplitude und die Impulsform 

wird deutlicher. 

Bild 7: 

Grenzübergang von � gegen Null ergibt: 

Laplace-Transformieren von �(t) 

£{�(t)} = £ £* 

£{�(t)} = 1 �(t) F------M 1 (28) 


(25) 

(26) 

(27)

2.2. Der ideale Einheitsstoß und die Einheitssprungfunktion 7 

2.2.3. Beschreibung des idealen Einheitsstoßes mit Hilfe von Rechtecken und Grenzübergang 

Bild 8 zeigt Rechtecke mit der Fläche 1. 

Laplace-Transformieren von �(t) 

£{�(t)} = £ £ 

£ 

£ 

�(t) F------M 1 

Bild 8: Impulsfunktion Diriac-Impuls erklärt anhand 

von Rechtecken der Fläche 1 

Praktische Anwendung von Impulsfunktionen (ideale Einheitsstöße, multipliziert mit 

Fläche ungleich eins) : 

- Einschalten einer idealen Spannungsquelle an C, 

- Kraftstoß in der Mechanik , 

- Impulsantwort in der Regelungstechnik. 

2.2.4. Die Einheitssprungfunktion 

Der Einheitssprung �(t) nach Bild 9 ist definiert als: 

Bild 9: Einheitssprungfunktion 

u(t) = 0 für t < 0 

u(t) = 1 für t > 0 (30) 


(29)


2.2.5. Zusammenhang zwischen Einheitssprung und Dirac-Impuls 

Der Einheitssprung (30) lässt sich mit Hilfe des Grenzwertes auch als eine Funktion angeben: 

Differenzieren von (31) ergibt: 

Der Vergleich von (32) und (27) lässt erkennen 

dass die zeitliche Ableitung des Einheitssprunges �(t) die Gewichtsfunktion �(t) ist. 

2.3. Beschreibung von linearen System 

2.3.1. Beschreibung durch Differentialgleichungen (DGLn) 

Für die dynamische Beschreibung von Systemen benutzt man DGLn. Für ein System n. Ordnung nach Bild 10 

ergibt sich für die Ausgangsgröße v die folgende DGL: 

In der Regel sind in (34) mehrere b i gleich Null. 

2.3.2. Beschreibung durch die Übertragungsfunktion 


(31) 

(32) 

(33) 

(34) 

Bild 10: System n. Ordnung mit u als Eingangs- und v 

als Ausgangsgröße 

Mit v(t=0) ergibt sich z.B. unter Anwendung von (3) bis (7) auf (34) für ein System 4. Ordnung : 

4 3 2 3 2 

V(p)[a 4*p + a 3*p + a 2*p + a 1*p + a 0] = U(p)[b 3*p + b 2*p + b 1*p + b 0] 

(35) 

Die Übertragungsfunktion eines Systems wird definiert als das Verhältnis der Laplace-transformierten Zeitfunktionen 

von Ausgangs- zu Eingangsgröße: 

Für das System nach Bild 10 ergibt sich durch Anwendung von (36) auf (35) die Übertragungsfunktion. 

2.3.3. Impulsantwort/Gewichtsfunktion 

Wird auf das System nach Bild 10 auf den Eingang der Einheitsimpuls nach Abschnitt 2.2 (27) gegeben 

u(t) = �(t) (Idealer Einheitsstoß) (38) 

antwortet das System mit der speziellen Impulsantwort, der Gewichtsfunktion 

v(t) = g(t) (Gewichtsfunktion) (39) 

Einsetzen von (38) und (39) unter Anwendung von (28) in (36) ergibt: 

G(p) = £{g(t)} (40) 

Die Laplace-Transformierte der Gewichtsfunktion ist die Übertragungsfunktion. 

(36) 

(37)

2.3.4. Sprungantwort/Übergangsfunktion 

2.3. Beschreibung von linearen System 9 

Wird auf das System nach Bild 10 auf den Eingang der Einheitssprung nach Abschnitt 2.2.4 (30) gegeben 

u(t) = �(t) (Einheitssprung) (41) 

antwortet das System mit der speziellen Sprungantwort, genannt Übergangsfunktion: 

v(t) = h(t) (Übergangsfunktion) (42) 

Einsetzen von (41) und (42) unter Anwendung von (8) in (36) ergibt: 

H(p) = £{h(t)} (43) 

2.3.5. Zusammenhang Übergangsfunktion h(t) und Gewichtsfunktion g(t) 

Die Gleichung (33) aus Abschnitt 2.2.4 besagt, dass die Ableitung des Einheitssprunges �(t) der Dirac-Impuls �(t) 

ist. Bei linearen Systemen lässt sich dieses auf die Antwort übertragen. Damit ist die Gewichtsfunktion g(t) die 

Ableitung der Übergangsfunktion h(t): 

2.3.6. Berechnung der Systemantwort bei beliebiger Anregung mit Hilfe der und Gewichtsfunktion 

Das Eingangssignal u(�) des Systems nach Bild 10 wird für einen infinitesimal kleinen Zeitraum dt zur Zeit t 

betrachtet, siehe Bild 11. 

Bild 11: Beliebiges Anregungssignal eines Systems 

Der in Bild 11 schraffierte Teil des Signals u(�) kann angesehen werden als ein Teilimpuls der Fläche 

u(�) d � (45) 

der zum Zeitpunkt � erfolgt. Die Teilantwort des Systems auf den Teilimpuls (45) lautet: 

dv = g(t-�)*u(�) d� (46) 

Zur Berechnung von v(t) muss (46) über � integriert werden: 

Nach (47) lasst sich die Systemantwort mit Hilfe des Faltungsintegrals, siehe (23), berechnen. 


(44) 

(47)


2.4. Übertragungsfunktionen elementarer Übertragungsglieder 

Diese Übertragungsglieder wurden sehr ausführlich in [2] behandelt, siehe dort. Die Darstellungen hier erleichtert 

die Wiederholung des Stoffes. 

2.4.1. Proportionalglied, P-Glied, P-Regelglied 

Blocksymbol Übergangsfunktion 

DGL/Gleichung 

v = K p*u 

(49) 

Übertragungsfunktion 

G(p) = K p 

(51) 

h(t) = K p*�(t) 

(48) 

Gewichtsfunktion 

g(t) = K *�(t) (50) 

Tabelle 2: Proportionalglied, P-Glied, P-Regelglied, K p Proportionalbeiwert 

2.4.2. Integrierglied, I-Glied, I-Regelglied 


h(t) = t/T (52) 

DGL/Gleichung 


(53) 

(53) 

(54) 

(54) 

(56) 

p 


I 

Bodediagramm 

F = 20dB*ln(K ) 

Bodediagramm 

Steigung in F 

-20 dB/Dekade 

Tabelle 3: Integrierglied, I-Glied, I-Regelglied, K I - Integrierbeiwert, T I=1/K I - Integrierzeit 


(55) 

p

2.4.3. Verzögerungsglied 1. Ordnung, PT1-Glied 


DGL/Gleichung 


(58) 

-t/T 

h(t) = K p*(1- 

e ) (57) 

(59) Gewichtsfunktion 

(61) 

Tabelle 4: Verzögerungsglied 1. Ordnung, PT1-Glied 

2.4. Übertragungsfunktionen elementarer Übertragungsglieder 11 

Bodediagramm 

F = 20*lg(K ) 

Max P 

Steigung für F (�T >> 1) 

-20 dB/Dekade 

2.4.4. Reales Differenzierglied mit Verzögerung 1. Ordnung, DT1-Glied 

Blocksymbol Übergangsfunktion Bodediagramm 

DGL/Gleichung 



Tabelle 5: Reales Differenzierglied mit Verzögerung 1. Ordnung, DT1-Glied 


(60)


2.4.5. Verzögerungsglied 2. Ordnung, PT2-Glied, nicht schwingungsfähig 


DGL/Gleichung 


(63) 

(64) 

(65) 

(67) 

(68) 


Bodediagramm 

F m = 20*lg(K P) 

Tabelle 6: Verzögerungsglied 2. Ordnung, PT2-Glied, nicht schwingungsfähig (� >1) 

2.4.6. Verzögerungsglied 2. Ordnung, PT2-Glied, schwingungsfähig 


DGL/Gleichung 


(70) 

(71) 

(72) 

(74) 



(66) 

(73) 

Bodediagramm 

F m = 20*lg(K P) 

Tabelle 7: Verzögerungsglied 2. Ordnung, PT2-Glied, schwingungsfähig (� < 1) 

(62) 

(69)

2.4.7. PI-Regelglied 


DGL/Gleichung 

(76) 

v=x + K P*u 

(77) 


(78) 

(79) 

(80) 

(81) 


Tabelle 8: PI-Regelglied K I = K P/T i = 1/ TI 

2.4.8. PIDT1-Regler 

2.4. Übertragungsfunktionen elementarer Übertragungsglieder 13 


(75) 

(82) 

Bodediagramm 

F m = 20*lg(K P) 

Blocksymbol Übergangsfunktion Bodediagramm 

DGL/Gleichung 


Tabelle 9: PIDT1-Regler 

Gewichtsfunktion


2.5. Reglerdimensionierungsverfahren 

2.5.1. Ersatzübertragungsfunktion 

Im allgemeinen sind die zu regelnden Strecken dynamische Systeme höherer Ordnung. Um für diese Strecken 

Regler zu entwerfen, erfolgt i.A. eine Vereinfachung der Strecke. Dieses ist mit einer Verringerung der Ordnung 

verbunden. Vereinfachen, bzw. die Strecke beschreiben, kann man entweder mit Hilfe 

- der Übertragungsfunktion oder des Frequenzgangs (Abschnitt 2.5.1.1) 

- oder mit Hilfe der Sprungantwort/Übergangsfunktion (Abschnitt 2.5.1.3) 

2.5.1.1. Vereinfachung der Übertragungsfunktion 

Das allgemeine System n-ter Ordnung 

lässt sich mit Hilfe von Reihenentwicklungen annähern durch ein System 2. Ordnung als PDT2-Glied 

oder einfacher als PT2-Glied 

oder durch ein System 1. Ordnung 

Die Näherungen (84) und (85) können später für einen Reglerentwurf genutzt werden. Bei Näherungen ist immer 

auf den Gültigkeitsbereich zu achten. Dieses soll am Beispiel gezeigt werden. Die Übertragungsfunktion 

wird mit Hilfe von (84) und (85) angenähert: 


(83) 

(84) 

(85) 

(86) 

(87) 

(88) 

Zum Vergleich sind (86), (87) und (88) in einem 

Bodediagramm dargestellt. Bild 12 zeigt, dass im 

unterem Frequenzbereich (� < 1/9 s) die Näherung 

mit den PT1-Glied (87) noch gute Ergebnisse 

liefert. Die Näherung mit den PT2-Glied (88) zeigt 

noch für etwas größere Frequenzen eine gute Näherung. 

Bild 12: Bodediagramm, Einfluss der Näherung 

a) Originalfunktion (PT3) 

b) Näherung PT2 

c) Näherung PT1

2.5.1.2. Ersatzübertragungsfunktion des Totzeitgliedes 

Das Totzeitglied mit der Übertragungsfunktion in p 

wird in eine Reihe entwickelt: 

und nach den ersten Glied abgebrochen: 

2.5. Reglerdimensionierungsverfahren 15 

Nach (90) kann ein Totzeitglied mit der Laufzeit T t in erster Näherung durch ein PT1-Glied mit Ersatzzeitkon- 

stanten T an genähert werden. 

t 

2.5.1.3. Überführung der Sprungantwort/Übergangsfunktion in eine Übertragungsfunktion 

Bei vielen Systemen kann man eine Sprungantwort/Übergangsfunktion aufnehmen und aus dieser eine Ersatzübertragungsfunktion 

herleiten. Als Ersatzübertragungsfunktionen werden im allgemeinen verwendet: 

- PT1-Glied (Abschnitt 2.5.1.3.1) 

- PT2-Glied nicht schwingungsfähig, � > 1 (Abschnitt 2.5.1.3.2) 

- PT2-Glied leicht schwingungsfähig, 0.6 < � < 1 (Abschnitt 2.5.1.3.3) 

- PT2-Glied stark schwingungsfähig, � < 0.6 (Abschnitt 2.5.1.3.4) 

- Totzeitglied 

- oder eine Kombination oberer Näherungen. 

Das Totzeitglied ist leicht aus der Sprungantwort zu beschreiben und soll hier nicht behandelt werden. 

2.5.1.3.1. PT1-Glied 

Verläuft die Übergangsfunktion in der Form nach Bild 13, kann diese durch ein PT1-Glied mit der Zeitkonstanten 

T und der Verstärkung K angenähert werden: 

e Pe 

Die Werte K Pe und T e können aus Bild 13 abgelesen werden. 

2.5.1.3.2. PT2-Glied nicht schwingungsfähig 


(89) 

(90) 

(91) 

Bild 13: Annäherung der Übergangsfunktion durch 

ein PT1-Glied hier: K = 6, T = 40 ms 

Pe e 

Verläuft die Übergangsfunktion in der Form nach Bild 14, kann diese durch ein PT2-Glied, (siehe (67)/(68)) mit 

den Zeitkonstanten T und T sowie der Verstärkung K angenähert werden: 

e1 e2 Pe 

(92)


Bild 14: Annäherung der Übergangsfunktion 

durch ein PT2-Glied, � >1 

Die Ersatzverstärkung K Pe kann aus Bild 14, aus dem Endwert direkt abgelesen werden. Die Ersatzzeitkonstanten 

T e1 und T e2 werden mit Hilfe der zwei Zeiten T 01 und T 08 (siehe Bild 14) identifiziert. Die beiden Zeiten geben die 

Stellen an, bei denen die Übergangsfunktion 0.1 und 0.8 vom Endwert erreicht haben. Aus dem Verhältnis T 01 und 

T werden nach Bild 15 die Werte T /T und T /T abgelesen. 

08 1 08 2 08 

Bild 15: Zeitkonstante T e1 und T e2 eines PT2-Gliedes (� > 1) als Funktion vom Verhältnis T 01/T08 Für die Ersatzzeitkonstanten T e1 und T e2 aus (263) erhält man 

T e1 = (T 1/T 08)*T 08 = a*T08 

T e2 = (T 2/T 08)*T 08 = b*T08 

wobei sich T 1/T 08 und T 2/T 08 aus Bild 15 ergeben; T 08 wird aus der Übergangsfunktion (Bild 14) abgelesen. Hinweis: 

Dieses Verfahren kann nur bei Systemen ohne Totzeit angewendet werden. 

Beispiel: 

Für die Übergangsfunktion nach Bild 14 lassen sich ablesen: 

T 01 = 1.2 s T 08 = 7.2 s K Pe = 10 

Das Verhältnis wird berechnet: 

T 01/T 08 = 1.2 s/7.2 s = 0.167 

Aus Bild 15 kann abgelesen werden: 

a = T 1/T 08 = 0.21 

b = T 2/T 08 = 0.46 

Die Ersatzzeitkonstanten ergeben sich dann zu: 

T e1 = 0.21*7.2 s = 1.5 s 

T = 0.46*7.2 s = 3.3 s 

e2 


(93)

2.5.1.3.3. PT2-Glied, leicht schwingungsfähig 



durch ein PT2-Glied, 0.6 < � < 1 

Verläuft die Übergangsfunktion nach Bild 16, kann diese durch ein PT2-Glied nach (74) angenähert werden: 

Die Ersatzverstärkung K Pe kann nach Bild 16 aus dem Endwert direkt abgelesen werden. Da die Übergangsfunktion 

aus Bild 16 stärk gedämpft ist, kann der Überschwingungsgrad schlecht ermittelt werden. Deshalb werden wie 

in Abschnitt 2.5.1.3.2 die Zeiten T 01 und T 08 ermittelt, an denen die Übergangsfunktion 0.1 bzw. 0.8 des Endwertes 

erreicht. Aus dem Verhältnis der Zeiten T /T werden aus Bild 17 die Kenngrößen ablesen: 

- � 

01 08 

- (95) 


(94)


Bild 17: Kenngrößen eines schwingungsfähigen PT2-Gliedes aus dem Verhältnis der Zeiten T 01/T08 a) Dämpfung � 

b) � , bezogen auf T 

0 08 

Beispiel: 

Aus der Übergangsfunktion nach Bild 16 lassen sich ablesen: 

K Pe = 10 T 01 = 0.747 s T 08 = 3.870 s 

Das Verhältnis wird berechnet: 

T 01/T 08 = 0747 s/3.870 s = 0.193. 

Damit kann aus Bild 17 abgelesen werden: 

� = 0.9 � o*T 08 = 2.7 

Berechnung von � ergibt nach (95): 

0 


2.5.1.3.4. PT2-Glied stark schwingungsfähig 


Verläuft die Übergangsfunktion in der Form nach Bild 18, kann diese auch durch ein PT2-Glied nach (94) angenähert 

werden. Die Ersatzverstärkung K Pe kann auch hier aus den Endwert der Übergangsfunktion (Beharrungswert) 

abgelesen werden. 

Aus Bild 18 kann der relative Maximalwert 


durch ein PT2-Glied, � < 0.6 

abgelesen werden. Aus Bild 19 kann mit dem Wert von (96) direkt in die gesuchte Dämpfung � abgelesen werden. 

Weiterhin ist aus Bild 18 die Periodendauer abzulesen bzw. T /2. Nach (69) beträgt die Kreisfrequenz 

Aus (97) kann das gesuchte � 0 bestimmt werden: 

Bild 19: Dämpfung eines PT2-Gliedes als Funktion des relativen Maximalwertes 

Beispiel: 

Für die Übergangsfunktion nach Bild 18 lassen sich ablesen: 

K e = 10 

Aus Bild 19 lässt sich mit 

h max = 11.6 T p/2 

= 8.6 s - 3.4 s = 5.2 s 

ablesen: � = 0.5 

Nach (98) ergibt sich: 


p 

(96) 

(97) 

(98)


2.5.2. Dämpfung einer Strecke 2. Ordnung 

Eine Übertragungsfunktion 2. Ordnung 

kann auch angegeben werden in der Form 

Durch Koeffizientenvergleich von (99) und (100) ergibt sich 


(99) 

(100) 

=> (101) 

=> (102) 

Die Nullstellen von (100) bestimmen den Eingangsvorgang und ergeben sich zu: 

Die Lage der Nullstellen (103) in der komplexen Ebene verdeutlicht Bild 20. 

Aus (103) ergibt sich: 

(103) 

Bild 20: Lage der Pole (Eigenwerte) in der komplexen Ebene 

Nach (104) ist der Betrag der Nullstellen gleich � 0. 

Dann kann � auch als Kosinus des Winkels � aus Bild 20 

angesehen werden: 

� = cos(�) (105) 

Aus (103) kann abgelesen werden: 

Die homogene Lösung (Einschwingvorgang) zu (99/100) lautet: 

(104) 

�-Abklingzeitkonstante, �0-Abklingkonstante (106) 

Eigenfrequenz (107)

Mit (106) und (107) lässt sich (108) angeben als: 


Je größer der Faktor �, desto gedämpfter ist die Schwingung. Bei � = 1 stellt sich der aperiodische Grenzfall ein, 

der Übergang von konjungiert komplexen zu reellen Nullstellen. � = 1 bedeutet die Grenze zum Überschwingungen, 

� = 0.7 etwa nur 4 % Überschwingungen bei der Sprungantwort. 

Stabilität 

Die Stabilität lässt sich aus der homogen Lösung der DGL herleiten. Ist (108/109)abklingend, stellt sich Stabilität 

ein. Aus (103) und (108) folgt: 

Re(p K ) < 0 => Stabilität (110) 

Re(p K ) = 0 => Stabilitätsgrenze, labil (111) 

Re(p ) > 0 => Instabilität, aufklingend (112) 

K 

Die oben angegebenen Stabilitätsbedingungen (110) bis (112) gelten nicht nur für eine Strecke 2. Ordnung (wie 

hergeleitet), sondern allgemein für Strecken n-ter Ordnung. Dabei sind alle n-Pole der Strecke zu bestimmen. Nur 

ein Pol kann schon die Instabilität oder die Stabilitätsgrenze bewirken. 

Hinweis 1: 

Die Nullstellen des Nennerpolynoms der Übertragungsfunktion sind auch die Nullstellen des charakteristischen 

Polynoms in � bei der Bestimmung der homogen Lösung der zu gehörigen DGL. 

Hinweis 2: 

Ein passives Element (z.B. R-L-C-Schwingkreise) weist immer Stabilität auf (L-C bedeutet nur theoretisch die 

Stabilitätsgrenze). Sind aktive Elemente (z.B. Verstärker) vorhanden, kann Instabilität auftreten. Theoretisch gibt 

es auch bei passiven Strecken (z.B. magnetischen Aufhängung) Instabilität. Nur wird hier ohne aktive Elemente 

der instabile Arbeitspunkt nicht erreicht. 

2.5.3. Regelung einer PT1-Strecke mit einem I-Regler durch Vorgabe der Dämpfung 

Eine Strecke mit einer Ersatzübertragungsfunktion nach Abschnitt 2.5.1 kann mit einem I-Regler geregelt werden, 

siehe Bild 21. 

Mit der Übertragungsfunktion des Regelgliedes 

und der Strecke mit der Verstärkung K P und der Ersatzzeitkonstanten Te 

Bild 21: Regelung einer PT1-Strecke mit I-Regler 

ergibt sich aus (113) und (114) für die Übertragungsfunktion des offenen Kreises: 

Mit der Abkürzung 


(108) 

(109) 

(113) 

(114) 

(115)


lässt sich (115) angeben durch: 

Die Übertragungsfunktion des geschlossen Kreises für ein System nach Bild 21 ohne Übertragungsfunktion im 

Rückführzweig kann sich wie folgt berechnet werden: 

Durch Einsetzen von (117) in (118) ergibt sich: 

Die Integrationszeit T IK soll durch Vorgabe der Dämpfung � nach Abschnitt 2.5.1 erfolgen. Der Vergleich von 

(119) mit (100) lässt erkennen: 


2 

T IK = 4*� *T e 

(122) 

Durch Verknüpfung von (116) und (122) bzw. (121) und (122) lässt sich die Integrierzeit T I bzw. der Integrierbeiwert 

K des Regelgliedes bestimmen: 

I 

2 

T I = K p*4*� *T e ; K I = 1/T I . (123) 

2.5.4. Reglerentwurf im Bodediagramm 

In diesem Abschnitt werden die Reglerentwurfsverfahren aus der Vorlesung Regelungstechnik [2] aufgeführt, die 

in der Veranstaltung Prozessrechentechnik angewendet werden. Zunächst wird der Entwurf im Bodediagramm 

dargestellt, bei dem durch ein Regelglied eine definierte Phasenreserve � moder Amplitudenreserve G meingestellt 

o 

wird. Die Phasenreserve ist die Differenz des Phasengangs des aufgeschnittenen Regelkreises zu -180 bei der 

Durchtrittsfrequenz � . 

2.5.4.1. Merkmale des Bodediagramms 

c 

Anschauliche Darstellung des Systemverhaltens mit 

S Abschätzung des Verstärkungs- und Zeitverhaltens (Phasenverschiebung, "Schnelligkeit") in Abhängigkeit 

der Kreisfrequenz, 

S Abschätzung des Einflusses von Parameteränderungen, 

S Reglerentwurf erfolgt über Darstellung der Kreisübertragungsfunktion des offenen Kreises 

G o(s)=G R(s)*Gs(s), 

S Streckenfrequenzgang. G (s) kann analytisch oder experimentell gefunden werden. 

s |jw 


(116) 

(117) 

(118) 

(119) 

(120) 

(121)

2.5.4.2. Syntheseaufgabe 


Wie muss der Reglerfrequenzgang von G R(s) die Kreisübertragungsfunktion des offenen Kreise G o(s) 

verändern, 

damit der geschlossene Kreis folgende Anforderungen erfüllt: 

a) Stabilität, Dämpfung 

Ortskurve von G 0 (s) muss in hinreichendem Abstand vom kritischen Punkt verlaufen (s. Nyquistkriterium) 

=> 

S 

S 

Pasenreserve � m (Betragsreserve G m) 

muss angemessen groß sein für 

o o 

gutes Führungsverhalten: 50 < � m < 80 (12dB < G m < 20dB) 

o o 

gutes Störverhalten: 20 < � < 60 ( 4dB < G < 12dB) 

b) Bleibende Regeldifferenz 

m m 

e � soll hinreichend klein sein (Verstärkung bei t => � sehr groß), am besten G o(s=0) 

� � (I-Anteil(e)). 

c) Schnelligkeit, Anstiegszeit (z.B. der Führungssprungantwort) 

Für die Anstiegszeit T sr gilt (Näherungsbetrachtung für G 0 (s) durch hinreichend gedämpftes System zweiter Ordnung): 

, mit � g : 3dB-Bandbreite 

Achtung: Stellgliedverhalten bzgl. Bandbreite und Beschränkung. 

S Parameterunempfindlichkeit 

20*lg (| G (s)|) durchdringt mit möglichst geringer Steigung die 0db-Linie ( > -20 db / Dekade ). 

o 

2.5.4.3. Einstellung der Phasenreserve mit P-Regler 

Wirkung: nur Einfluss auf Betragsgang, Phase bleibt unverändert! 

Entwurf: | G o | mit K PR verschieben, bis gewünschte Phasenreserve � m erreicht wird. 

Fragen: 

S |G o (0)| für gewünschte Regeldifferenz groß genug? nein: PI- (PID-) Regler wählen 

S � groß genug? nein: PD- (PID-) Regler wählen 

c 

2.5.4.4. Einstellung der Phasenreserve mit PI-Regler 

Wirkung: Regelung wird genauer, jedoch nicht schneller 

Entwurf: 

S | G | für die Ermittlung von K wie beim P-Regler einstellen, dabei � durch zusätzliche Phasenreserve 

o PR m 

größer als gewünscht wählen. 

S Knickfrequenz 1/T n des PI-Reglers so legen, dass zusätzliche Phasenreserve �� durch Phasengang dieses 

Regelgliedes aufgehoben wird . 

Achtung: 1/T n nicht zu klein wählen (T n zu groß), sonst tritt einschleichendes (kriechendes) Verhalten auf! 

Fragen: � c groß genug? nein: PID-Regler wählen 

2.5.4.5. Einstellung der Phasenreserve mit PD-Regler (real: PDT1-Regler, Lead-Glied) 

Wirkung: Regelung wird schneller, ggf. stabiler, nicht genauer 

Entwurf: Phase anheben, damit � c größer werden kann ( 1/T d in die Nähe der Durchtrittsfrequenz � c des 

unkompensierten Falles) 

Achtung: D-Anteil problematisch: Störungen werden verstärkt; große Stellgrößen bei schnellen Änderungen der 

Regeldifferenz. 



2.5.4.6. Einstellung der Phasenreserve mit PID-Regler 

Wirkung: vereint die Merkmale von P-, PI-, PD-Regler. 

2.5.5. Reglerentwurf PI-Regler mit Polstellenkompensation 

xxx noch 

2.5.6. Reglerentwurf symmetrisches Optimum 

xxx noch 

2.5.7. Reglerentwurf Betragsoptimum 

xxx noch 

2.6. Kaskadenregelung 

Bild 22: Mögliche Reihenschaltung einer zu regelnden Strecke 

Lässt sich eine zu regelnde Strecke gemäß Bild 22 als Reihenschaltung mehrerer Übertragungsfunktionen mit 

kleiner werdender Dynamik darstellen, d.h. die Verzögerungszeit von G S1 ist kleiner als die von G s2 und die ist 

wiederum kleiner als die von G S3, 

kann jede Ausgangsgröße einzeln geregelt werden, die Regelungen bilden dann 

eine Kaskade. In diesem Fall kann die Regelung für x 3 langsamer sein als die für die erste und zweite Größe, die 

Regelung für x 2 kann wiederum langsamer sein als für die erste Größe. Anwendung findet die Kaskadenregelung 

sehr häufig bei der Regelung von Antriebsmaschinen. Bei einer Gleichstrommaschine wäre y die Spannung und 

x 1die Größe Strom oder Moment. Das Moment wird integriert zur Größe Geschwindigkeit (Drehzahl), Größe x 2. 

Nochmalige Integration ergibt die Position (Drehwinkel), Größe x 3. Für jede der Größen x 1, x 2 und x 3 wird ein 

eigener Regler dimensioniert. Bild 23 zeigt die Struktur. 

Bild 23: Wirkungsplan einer dreischleifigen Kaskadenregelung 

Für die Strecke nach Bild 22 wir unter Nichtbeachtung der Größen x 2 und x 3 der x1-Regler für die Große x 1 nach 

bekannten Verfahren dimensioniert, Struktur siehe Bild 24. Ist der x1-Regler dimensioniert, ergibt sich für den 

geschossenen Kreis zwischen m und x deren Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises: 

1 1 

(124) 


Bild 24: Wirkplan der inneren Kaskade 

2.6. Kaskadenregelung 25 

Im allgemeinen ist (124) von höherer Ordnung. Damit die Dimensionierung des x2-Reglers einfacher wird, kann 

z.B. (124) mit Hilfe einer Ersatzübertragungsfunktion G e1(p) 

(siehe Abschnitt 2.5.1) vereinfacht werden. Mit 

G eW1(p), G Mess2(p) und G S2(p) 

kann der Regler der zweiten Kaskade ausgelegt werden. Zur besseren Übersicht ist 

dieser Teil aus Bild 23 nochmals in Bild 25 dargestellt. 

Bild 25: Wirkungsplan der mittleren Kaskade 

Nach bekannten Verfahren wird der x2-Regler nach Bild 25 entworfen. Danach wiederholt sich das gleiche Schema: 

- Bilden der Übertragungsfunktion von m 3 nach x2, 

- Beschreibung der Ersatzübertragungsfunktion, 

- Dimensionierung der nächsten Kaskade. 


26 3. Theorie diskreter Systeme 

3. Theorie diskreter Systeme 

3.1. Was ist ein diskretes System, wie wird es beschrieben? 

In einem diskretem System werden dessen Prozessgrößen entweder nur zu definierten, meist periodisch mit einer 

Zeitdauer, der Abtastdauer, auftretenden Zeitpunkten betrachtet (zeitdiskret) oder die Prozessgrößen besitzen einen 

diskreten, nicht reellen Wertebereich (wertediskret). Die Periodendauer, also das Zeitraster, in dem der Vorgang 

seinen Wert ändert, heißt die Abtastdauer T. Für diesen Zeitraum werden die Größen des Prozesses des Systems 

meist als konstant angenommen oder sie sind konstant. Wie später (Abschnitt 3.7) gezeigt wird, können auch 

analoge Systeme diskret beschrieben werden. Ein nichttechnisches Bespiel aus dem Bereich der diskreten Prozesse 

ist die Zinsrechnung. Ein Sparer zahlt am Beginn eines jeden Jahres i den Betrag/Einsatz E(i) ein. Das Kapital K 

wird mit dem Zinssatz � verzinst. Am Beginn des nächsten Jahres i+1 hat er somit das Kapital 

K(i+1) = K(i) + K(i)�+ E(i+1) (125) 

welches sich aus altem Kapital K(i), Zinsen plus Spareinsatz ergibt. Nach Umformung erhält man 

K(i+1) - (1+ �)*K(i) = E(i+1). (126) 

Auf der linken Seite steht die Prozessgröße „Kapital“ als Differenz, auf der rechten Seite die Anregung, die Eingangsgröße 

„Einsatz“. In Anlehnung an lineare DGLn mit konstanten Koeffizienten wird Gleichung (126) eine 

lineare Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten genannt. Da in (126) nur eine Differenz zweier Werte 

auftritt, ist (126) eine Differenzengleichung 1. Ordnung. 

Kontinuierliche Systeme, die durch DGLn gegeben sind, können z.B. für die Behandlung in Abtastregelungen 

näherungsweise durch Differenzengleichungen beschrieben werden, siehe Abschnitt 3.7. Die Eingangsgrößen der 

kontinuierlichen Systeme sind analoge Signale. Für deren Verarbeitung im Prozessrechner eingelesen müssen diese 

Signale diskretisiert werden, siehe nächsten Abschnitt 3.2. 

3.2. Diskretisierung analoger Signale 

3.2.1. Funktion des Abtasthaltegliedes 

Bild 26: Werdegang eines Abtastsignals 

S analoges Signal, 

k 

S Abtastung zu den Zeiten t = k*T, 

S Abtastwerte, 

S Speicherwerte. 


3.2. Diskretisierung analoger Signale 27 

Bild 27: Prinzip des Abtasthaltegliedes 

Nach Bild 4 in Abschnitt 1.3 ist für die Diskretisierung u.a. des analogen Signales x(t) in die Wertfolge x 0, x 1, x 2.... 

ein Block “Taster” vorgesehen. Die Bilder 26 und 27 veranschaulichen diesen Prozess der Diskretisierung. Dazu 

wird das analoge Signal x(t) abgetastet, Bild 26a, dies ergibt die abgetasteten Punkte als Wertefolge x* nach Bild 

26b. Die diskreten Werte x(k) nach Bild 26c müssen für die Abtastzeit T nach dem Abtasten zwischengespeichert 

werden. Dafür muss im Prozessrechner ein Speicher (siehe Bild 27) vorhanden sein. Am Ausgang des Speichers 

ist die Treppenfunktion nach Bild 26d vorhanden, der Prozessrechner besitzt hierbei die Funktion eines 

Abtasthaltegliedes. 

Die Funktion x*(k) nach Bild 26c kann auch als Impulsfunktion der Fläche x k zu den Zeitpunkten k*T, , 

angesehen werden: 

Schreibweise: x 0 = x(t=0) 

x 1 = x(t=T) 

x 2 = x(t=2T) 

x = x(t=3T) 

3 

x k = x(t=kT) 

Wertefolge: x 0, x 1, x 3, x 4, x 5, 

....... 

Der Wert von x wird abgetastet und gehalten, daher der Name Abtasthalteglied. 

Die Wahl der Abtastdauer richtet sich nach den dominierenden Verzögerungszeiten im Prozess (später), Tabelle 

10 zeigt Anhaltswerte hierfür in einem Überblick. 

Art der Regelung dominierende Zeitkonstanten 

Durchfluss ~ 1 s 

Druck ~ 1 s 

Füllstand 2 s - 5 s 

Temperatur 10 s - 20 s 

Drehzahl 5 ms - 100 ms 

Strom 1 ms -10 ms 

Tabelle 10: Dominierende Verzögerungszeiten von Regelungen 

Im Blockschaltbild der diskreten Regelung einer analogen Strecke wird das Abtasthalteglied nach Bild 27 zu einen 

Block zusammengefasst, siehe Bild 28. 

Bild 28: Blockschaltbild des Abtasthaltegliedes 


(128)


3.2.2. Einsatz des Abtasthaltegliedes in digitalen Regelungen 

Bild 29: Blockschaltbild digitaler Regelungen mit zwei Abtasthalteglieder 

Den Einsatz des Abtasthaltegliedes für den Regelkreis nach Bild 4 zeigt Bild 29. In Bild 29 sind sowohl für den 

Sollwert der Führungsgröße als auch für den Istwert der Rückführgröße Abtasthalteglieder vorgesehen. Da Abtasten 

und Addieren lineare Operationen sind, können diese in der Reihenfolge vertauscht werden. Deshalb können 

die zwei Abtasthalteglieder zu einem zusammengefasst werden, s. Bild 30. Die Struktur nach Bild 30 gilt für die 

Vorgabe analoger Werte für die Führungsgröße. Wird diese digital oder vom Prozessrechner vorgeben, ergibt sich 

die Struktur nach Bild 31. 

Bild 30: Blockschaltbild einer digitalen Regelung mit Vorgabe einer analogen Führungsgröße 

Bild 31: Blockschaltbild einer digitalen Regelung mit Vorgabe einer digitalen Führungsgröße 


3.2.3. Übertragungsfunktion des Abtasthaltegliedes 


Für die Betrachtung der Übertragungsfunktion des Abtasthaltegliedes von Signal x(t) nach Bild 26a zum Signal 

nach Bild 26d soll von der Treppenfunktion ein Einzelsignal nach Bild 32 betrachtet werden. 

Bild 32: Betrachtung Einzelwert zur Her- Bild 33: Zerlegung des Einzelwertes 

leitung der Übertragungsfunktion aus Bild 32 in zwei 

des Abtasthaltegliedes Sprungfunktionen 

Nach Bild 33 lässt sich der Einzelwert nach Bild 32 durch die Überlagerung zweier Sprungfunktionen darstellen: 

y(t) = y k*�[t - k*T] - y k*�[t 

- (k + 1)*T] (129) 

Alle Treppenwerte nach Bild 26d erhält man, wenn alle Stufen mit Hilfe von (129) aufsummiert werden: 

Gleichung (130) wird Laplace-transformiert: 

In (131) werden alle von k unabhängigen Terme vor die Summe gezogen: 

Wendet man auf die Transformations-Vorschrift der Laplace-Transformation (1) die Rechteckregel mit der Breite 

T auf die Größe x an, ergibt sich: 

Durch Einsetzen von (133) in (132) lässt sich die Laplace-Transformierte des abgetasteten Signal angeben: 

Bild 34: Abtasthalteglied im Wirkungsplan als Übertragungsfunktion 

Nach Bild 34 kann das Abtasthalteglied als ein Übertragungsglied angesehen werden. Aus (134) ergibt sich die 

Übertragungsfunktion des Abtasthaltegliedes: 

Der Frequenzgang von (135) kann angegeben werden: 


(130) 

(131) 

(132) 

(133) 

(134) 

(135)


Die Umformung von (136) mit 

ergibt 

Der Frequenzgang des Abtasthaltegliedes (139) entspricht im Betrag einer sin(x)/x-Funktion mit der Phase -x. 

Betrachtet werden darf (139) wegen Shannon nur im Bereich: 

Die Bedingung (140) stellt die theoretische Grenze dar, an der das Abtasthalteglied betrieben werden sollte. Der 

Frequenzgang (139) ist keine bekannte Standardfunktion. Im Abschnitt 2.5.1 wurden Ersatzübertragungsfunktionen 

beschrieben. Wie könnte (139) durch eine bekannte Standardfunktion im Bereich der Grenze (140) ersetzt 

werden? Für x = �T/2 = �/4 (von der Grenze (140) um den Faktor 2 entfernt, praktische Grenze mit vier Abtastungen 

pro Periode) weist die Funktion sin(x)/x den Wert 0.90 auf. Vernachlässigt man den Wert 0.9 (gegenüber 1), 

kann (139) als Totzeitglied angesehen werden: 

Nach Abschnitt 2.5.1.2 kann ein Laufzeitglied durch ein PT1-Glied angenähert werden: 

Das Bodediagramm in Bild 35 weist Abszissenwerte in � auf bis zur Grenze (140). Zum Vergleich der Näherungen 

sind in Bild 35 dargestellt der Frequenzgang von: 

S Abtasthalteglied nach (139) 

S Totzeitglied mit der Laufzeit T t = T/2 nach (141) 

S PT1-Glied mit der Verstärkung K P=1 

und der Verzögerungszeit T/2 nach (142) 

Bild 35 lässt erkennen, dass sowohl Totzeitglied als auch PT1-Glied bis zur praktischen Grenze �T = �/2 eine 

relativ gute Näherung ergeben. Im Winkel sind, wie erwartet, Totzeitglied und Abtasthalteglied identisch. 

Physikalische Erklärung des Abtasthaltegliedes: 

Der Einfluss des Abtasthaltegliedes lässt sich nach Bild 26 auch als Laufzeit erklären. Für Signale im rechten 

Bereich des Abtastzeitraumes ist die Laufzeit kürzer und im linken Abtastzeitraum länger. Im Mittel ergibt sich 

eine Totzeit der halben Abtastperiode T. 


(136) 

(137) 

(138) 

(139) 

(140) 

(141) 

(142)


Bild 35: Bodediagramm 

a) Abtasthalteglied nach (139) 

b) Näherung PT1-Glied T e = T/2 nach (142) 

c) Totzeitglied T = T/2 nach (141) 

3.2.4. Einfluss der Abtastzeit, Shannon-Theorem, Anti-Aliasing-Filter 

Bild 36: Diskretisierung analoger Signale 

a1) ohne Störgröße als Messfehler a2) Nutzsignal niedriger Frequenz 

b1) mit Störgröße als Messfehler b2) Nutzsignal höherer Frequenz 

Bild 36 zeigt den Einfluss der Abtastzeit auf die Diskretisierung. 

Das Shannon-Theorem für die Abtastung digitaler Signale sagt aus, dass theoretisch pro Periode mindestens zweimal 

abgetastet werden muss. 

Shannon-Theorem (143) 

In (143) bedeutet T p die Periodedauer der höchsten Frequenzkomponente, die im abgetasteten Signal vorhanden 

ist. 

Nach Bild 36a ist das Shannon-Theorem erfüllt, für Bild 36b nicht. Schon aus Bild 36b lässt sich optisch erkennen, 

dass die Abtastung zu Fehlern führt. Jetzt stellt sich die Frage nach der Abhilfe. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden: 

1 - Hochfrequente Anteile sind Störgrößen als Messfehler 

2 - Hochfrequente Anteile sind Nutzgrößen 


L


Fall 1: Hochfrequenter Anteil ist ein Messfehlerprozess als Störgröße 

Wenn nach Bild 36b die hochfrequenten Anteile Störgrößen des Messfehlerprozesses sind, lassen sich diese analog 

herausfiltern. Der Fachausdruck hierfür heißt Anti-Aliasing-Filter(ung) (AAF). Meist reicht hierfür ein Filter erster 

Ordnung aus, z.B. ein RC-Tiefpass (PT1-Glied); aber auch Tschebicheff-Filter und Butterworth-Filter werden 

eingesetzt. Die Grenzfrequenz des Filters sollte etwas größer sein als die des Nutzsignals. Für die Regelung ist 

somit für jedes Abtasteglied (im Prozessrechner) ein analoges Anti-Aliasing-Filter außerhalb des Prozessrechners 

zu berücksichtigen, siehe Bild 37. 

Bild 37: Diskretisierung analoger Signale mit Anti-Aliasing-Filter und Abtasthalteglied 

Fall 2: Hochfrequente Anteile gehören zum Nutzsignal 

Sind nach Bild 36b im Nutzsignal höhere Frequenzen vorhanden als bei der Wahl der Abtastdauer vorgesehen 

wurde, wäre des Nutzsignal aus den diskreten Werten mit Hilfe eines idealen Tiefpasses nicht reproduzierbar. Es 

würden sich Anti-Aliasing-Fehler durch Überlappung hoher Frequenzanteile des periodischen Spektrums des 

abgetasteten Signals ergeben. Deshalb muss die Abtastdauer entsprechend verkleinert werden. Dabei ist zu beachten: 

Theoretisch sagt das Shannon-Theorem aus, dass pro Periode mindestens zweimal abgetastet werden soll. Praktisch 

ist aber mindestens der Faktor 5 bis 10 zu wählen: 

Tp- Periodendauer der höchsten Frequenzkomponente des Nutzsignals (144) 

3.3. Entwurf von quasikontinuierlichen Regelungen mit Abtastreglern 

für kontinuierliche Strecken, Teil 1 

Die Blockschaltbilder digitaler Regelungen wurden in den Bildern 30 und 31 gezeigt. Aus Gleichung (135) (Abschnitt 

3.2.3) ist die Übertragungsfunktion G AH(p) 

des Abtasthaltegliedes bekannt und in Abschnitt 3.2.4 wurde auf 

die Notwendigkeit des Anti-Aliasing-Filter (AFF) hingewiesen. Berücksichtigt man in den Bildern 30 und 31 die 

oben zwei genannten Übertragungsfunktionen, ergeben sich die Wirkungspläne der Abtastregelung, siehe Bild 38 

und 39. 

Bild 38 : Wirkungsplan einer Abtastregelung mit analoger Führungsgröße 

Bild 39: Wirkungsplan einer Abtastregelung mit digitaler Führungsgröße 


3.4. Die z-Transformation 33 

Für den Reglerentwurf ist in vielen Fällen die Übertragungsfunktion des offenen Kreises G O(p) 

von Interesse. Nach 

Bild 38 sowohl als auch nach Bild 39 ergibt sich die gleiche Kreisübertragungsfunktion: 

G O(p) = G AAF(p)*G AH(p)*G Regler(p)*G Stell(p)*G Strecke (p)*G Mess(p) 

(137) 

In (145) ist noch die kontinuierliche Übertragungsfunktion des Regelgliedes G Regler(p) 

festzulegen. Der zugehörige 

Reglerentwurf kann mit den aus [2] bzw. Kap. 2 bekannten Reglerentwurfsverfahren erfolgen. Weil der Regler 

jedoch als Abtastregler in einem Prozessrechner verwirklicht werden soll, sind Parameterwerte für ein diskretes 

Regelglied zu bestimmen. Das kann für diese sogenannte quasikontinuierliche Regelung durch eine Transformation 

der Differentialgleichung des Regelgliedes in eine zugehörige Differenzengleichung erfolgen. Wie bei diesem 

Entwurf einer Abtastregelung der Einfluss des Abtasthaltegliedes zu berücksichtigen ist, wird in Abschnitt 3.8 

dargestellt. 

3.4. Die z-Transformation 

3.4.1. Definition der z-Transformation 

Bild 40: Diskretes Signal a) Impulsfunktion b) Treppenfunktion 

Ein diskretes Signal lässt sich im Zeitbereich nach Bild 40 durch seine abgetasteten Werte als Impulsfunktion (Bild 

40a) beschreiben 

oder, bei Speicherung der abgetasteten Werte über das Abtastintervall, durch eine Treppenfunktion (Bild 40b) 


(146) 

. (147) 

Die z-Transformation wird definiert als die Laplace-Transformierte der Impulsfunktion (146): 

* 

X (p) = £ 

[x k*£{�(t-kT)}] 

(148) 

Unter Anwendung von (28) und des Verschiebungssatzes (21) auf (148) ergibt sich: 

Der Ausdruck in (149) wird durch die Signalverschiebungen oft benutzt und daher abgekürzt zu: 

T*p 

z = e (150) 

Setzt man (150) in (149) ein, ergibt sich die Vorschrift der z-Transformation: 

(149) 

(151)


3.4.2. z-Transformation spezieller Funktion 

3.4.2.1. Einheitssprung 

Bild 41: 

Diskreter Einheitssprung, dargestellt als Impulsfolgefunktion 

Die diskrete Sprungfunktion nach Bild 41 weist die folgenden Funktionswerte auf: 

x K = 1 k = 0, 1, 2 ... (152) 

Die Werte von (152) in die Transformationsvorschrift (151) eingesetzt, ergibt: 

Mit Hilfe der geometrischen Reihe, u.a. [6] 

lasst sich (153) umformen und man erhält die z-Transformierte des Einheitssprungs: 

3.4.2.2. Rampenfunktion 


(153) 

(154) 

(155) 

Bild 42: Diskrete Rampenfunktion, dargestellt als Impulsfolgefunktion 

Die diskrete Rampenfunktion nach Bild 42, die auch als Übergangsfunktion eines Integrierers nach (52) (Abschnitt 

2.4.3) mit dem Integrierzeit T angesehen werden kann, besitzt folgende Funktionswerte : 

I 

Die Werte von (156) in die Transformationsvorschrift (151) eingesetzt, ergibt: 

Mit Hilfe der Abelschen Summation (u.a. [6]) lässt sich herleiten: 

(156) 

(157)


Unter Anwendung von (158) auf (157) ergibt sich die Laplace-Transformierte der Rampenfunktion: 

3.4.2.3. e-Funktion 

Die diskrete e-Funktion nach Bild 43 weist die folgenden Funktionswerte auf: 

Die Werte von (160) mit 

in die Transformationsvorschrift (151) eingesetzt, ergibt: 


(158) 

(159) 

Bild 43: 

Diskrete e-Funktion als Impulsfolgefunktion dargestellt 

Unter Anwendung der Formel für die geometrische Reihe (154) lasst sich die Laplace-Transformierte der diskreten 

e-Funktion angeben: 

(160) 

(161) 

(162)


3.4.2.4. Übergangsfunktion eines PT1-Glied 

Der diskrete Zeitverlauf 

Bild 44: Diskrete Übergangsfunktion des PT1-Gliedes 

(K p = 1, t = 8T) als Impulsfolgefunktion dargestellt 

ergibt sich aus der Subtraktion von Einheitssprung (152) und e-Funktion (160). Somit lässt sich auch die z-Transformierte 

als Subtraktion von (155) und (162) angeben: 

3.4.2.5. Kosinus-Funktionen 


(163) 

(164) 

Bild 45: Diskrete Kosinus-Funktionen als Impulsfolgefunktion 

dargestellt 

Die diskrete Kosinus-Funktionen nach Bild 45 weist die folgenden Funktionswerte auf: 

x K = cos(�kt) (165) 

Wird (165) mit 

umgeformt, ergibt sich 

Durch Einsetzen von (167) in die Transformationsvorschrift der z-Transformation (151) lasst sich angeben: 

Unter Anwendung der Formel für die geometrische Reihe (154) kann (168) umgeformt werden: 

(166) 

(167) 

(168)

Mit (166) lässt sich (169) als z-Transformierte der Kosinus-Funktion angeben: 

3.4.3. z-Transformation mit Tabelle 


Im letzten Abschnitt 3.4.2 wurden exemplarisch einige Funktionen z-tranformiert. In der Regel wird dazu eine 

Tabelle verwendet. Tabelle 11 gibt einen Überblick. Weitere Funktion sind u.a. in [7] und [8] dargestellt. 

x(t) X(p) xk X(z) 

Formel 

Nr. 

�(t) 1 (171) 

t kT (172) 

e -at 

-akT 

e (173) 

sin(�0t) sin(�0kT) (174) 

cos(�0t) cos(�0kT) (175) 

-at 

e sin(�0t) -at 

e cos(�0t) a -t/T 

-akT 

e sin(�0kT) -akT 

e cos(�0kT) Tabelle 11: Korrespondenzen von z-Transformierten 

a -k 


(176) 

(177) 

(178) 

(169) 

(170)


3.4.4. z-Übertragungsfunktion 

3.4.4.1. Definition 

Nach Abschnitt 2.3.2 lässt sich ein lineares System durch die Übertragungsfunktion in p beschreiben. Die Definition 

der Übertragungsfunktion (36) ist dabei das Verhältnis von Laplace-transformierter Ausgangsfunktion zu 

Laplace-transformierter Eingangsfunktion. 

Analog zur Übertragungsfunktion in p wird die Übertragungsfunktion in z eines System (siehe Bild 46) definiert 

als das Verhältnis der z-transformierten Ausgangs- zur Eingangsfunktion: 

Bild 46: Beschreibung eines linearen Systems mit Übertragungsfunktion a) in p b) in z 

3.4.4.2. z-Übertragungsfunktion eines PT1-Gliedes 

Für ein kontinuierliches PT1-Glied ergibt sich nach (179) die zugehörige z-Übertragungsfunktion aus dem Quotienten 

der z-transformierten Übergangsfunktion eines PT1-Gliedes nach (164) und dem z-transformierten Einheitssprung 

nach (155): 

3.4.4.3. z-Übertragungsfunktion eines Integrierers 

Ein Integrierer mit der Gleichung im Zeitbereich 

und Übertragungsfunktion in p-Bereich 


(179) 

z 1 = e -T/� 

weist als Reaktion auf den Einheitssprung am Ausgang die Rampe nach Bild 42 bzw. den Zeitverlauf nach (156) 

auf. Nach (179) ergibt sich für ein System nach (181) und (182) die Übertragungsfunktion als Quotient von (159) 

und (155): 

(180) 

(181) 

(182) 

(183)

3.4.4.4. Übliche der Bestimmung von G(z) 


Der in den Abschnitten 3.4.4.2 und 3.4.4.3 vorgestellte Weg zur Bestimmung von Z-Übertragsfunktionen ist nicht 

die übliche Methode. Analog zur Laplace-Transformation von DGLn wird normalerweise zur Bestimmung von Z- 

Übertragungsfunktionen die Differenzengleichung z-transformiert. Dazu erfolgt im nächsten Abschnitt die Beschreibung 

von Differenzengleichungen und deren z-Transformation. 

3.4.5. z-Übertragungsfunktion des Totzeitgliedes / Laufzeitgliedes 

Bild 47: Antwort v k eines Totzeitgliedes auf Eingang uk 

Ein Totzeitglied verschiebt das Signal um die Laufzeit T t nach rechts im Zeitbereich (in Bild 47 um T t = 12*T). 

Damit eine Diskretisierung möglich ist wird angenommen, dass um Vielfaches der Abtastzeit T verschoben wird: 

T t = m*T (184) 

Die Laplace Transformation der u k nach Bild 47 ergibt mit (151): 

Das Signal v k nach Bild 47 lasst sich als Impulsfolgefunktion beschreiben: 

Die Laplace-Transformation unter Anwendung von (28) und (21) auf (186) ergibt: 

Tp 

In (187) wird e durch z nach (150) ersetzt: 

Wird (185) in (188) eingesetzt, erhält man: 

-m 

V(z) = z * U(z) (189) 

Mit (179) ergibt sich aus (189) die z-Transformierte eines Laufzeitgliedes 

-m 

G(z) = z T t = m*T (190) 


(185) 

(186) 

(187) 

(188)


3.5. Differenzengleichungen 

3.5.1. Allgemeine Form 

In der Einführung (Abschnitt 3.1) wurde schon auf Differenzengleichungen hingewiesen. Die allgemeine Form 

einer Differenzengleichung n. Ordnung für ein System nach Bild 48 lautet: 

a n*v(k-n)+a n-1*v(k-n+1)+a n-2*v(k-n+2)+...+a 1*v(k-1)+a 0 *v(k)=b m*u(k-m)+...+b 1*u(k-1)+b 0*u(k) 

(191) 

3.5.2. z-Transformierte 

Bild 48: Allgemeines diskretes System 

-1 

Die Verschiebung um T bewirkt nach (190) eine Multiplikation mit z . Wird z.B. eine Differenzengleichung 

4.Ordnung z-transformiert erhält man: 

-4 -3 -2 -1 -4 -3 -2 -1 

[a 4*z + a 3*z + a 2*z + a 1*z + a 0]*V(z) = [b 4*z + b 3*z + b 2*z + b 1*z + b 0]*U(z) 

(192) 

Nach (179) und (192) lasst sich die z-Transformierte eines Systems nach (191) berechnen: 

3.5.3. Realisierung eines digitalen Filters / Regelalgorithmus 

Ein diskreter Regelalgorithmus z.B. für die in Bilder 38, 39 gezeigten Regelungen lässt sich mittels der Differenzengleichung 

(191) verwirklichen. Die Aufgabe besteht darin, aus der Vergangenheit der Systemgröße v und der 

Vergangenheit der Anregung u den aktuellen Wert v(k) zu berechnen. Dazu wird z.B. die Differenzengleichung 

aus (191) mit a =1 nach v(k) umgestellt: 

0 

v(k) = -a 4*v(k-4)-a 3*v(k-3)-a 2*v(k-2)-a 1*v(k-1)+b 4*u(k-4)+b 3*u(k-3)+b 2*u(k-2)+b 1*u(k-1)+b 0*u(k) 

(194) 

Bild 49: Realisierung der Differenzengleichung (191/193) 4. Ordnung im Digitalrechner 

Die Realisierung des Filteralgorithmus gemäß Differenzengleichungen (191/194), bzw. der Übertragungsfunktion 

in z (193) im Digitalrechner zeigt Bild 49. Zu empfehlen ist, sich für die Werte der Ein- und Ausgangsgrößen u 

und v ein Feld zu deklarieren. Bei DGLn n-ter Ordnung sind n Anfangsbedingungen zu berücksichtigen, analog 

dazu sind bei Differenzengleichen n-ter Ordnung n Anfangswerte zu beachten. Wenn aber, wie später gezeigt, 

spezielle Funktionen simuliert werden, sind diese Anfangswerte angepasst festzulegen, weil sich sonst Abwei- 


(193)

3.5. Differenzengleichungen 41 

chungen zur exakten Lösung ergeben. In der allgemeinen Praxis werden diese Anfangswerte jedoch mit Nullen 

vorbelegt. Zur Programmierung von (191) nach Bild 49 ist folgende Reihenfolge pro Abtastschritt unbedingt 

einzuhalten: 

Schritt 1: Schieben der Werte u k und v k rechts. Mit 1/z wird dieses durch die Laufzeit eines Abtastschrittes angedeutet. 

Schritt 2: Eintragen der aktuellen Eingangsgröße u(k). 

Schritt 3: Berechnen und Eintragen des aktuellen v(k) nach Bild 49 oder nach (194). 

Die Bestimmung der Filterparameter a i und b i soll in den nächsten zwei Abschnitten 3.6 und 3.7 beschrieben 

werden; in Abschnitt 3.6 mit Hilfe einer Transformation der Übertragungsfunktion G(p) und in Abschnitt 3.7 

anhand mathematischer und physikalischer Gleichungen. 

3.5.4. Stabilität von Differenzengleichungen für rationale Übertragungsglieder 

Über Stabilität von linearen DGLn mit konstanten Koeffizienten (LZI-linear-zeitinvariante Systeme) wurde in 

Abschnitt 2.5.2 berichtet. Danach lautete die Stabilitätsbedingung: 

alle k = 1 ... n Re(p oK ) < 0 => Stabilität (Kopie 110) 

Alle Nullstellen des Nennerpolynoms p ok der Übertragungsfunktion in p (gleich der Eigenwerte � k der Lösung der 

zugehörigen homogenen DGL) müssen in der linken Halbebene der komplexen Polebene liegen. 

Auch Differenzengleichungen können stabil oder instabil sein. DGLn können in Differenzengleichungen gewandelt 

werden und umgekehrt. Der Übergang von DGLn auf Differenzengleichen kann auch mit Hilfe der Übertragungsfunktion 

erfolgen. Dabei wurde die Laplace Variable p durch z ersetzt: 

T*p 

z = e (Kopie 150) 

Betrachtet man die komplexe Polebene in p, kann die gesamte Ebene in eine z-Ebene abgebildet werden, siehe Bild 

50. Dieses ist eine Abbildung einer komplexen Ebene auf eine andere komplexe Ebene. Die Abbildung (150) ist 

auch noch ein Sonderfall: Rechte Winkel bleiben erhalten. Der Mathematiker nennt diese Abbildungsart “konforme 

Abbildungen”. Der Stabilitätsrand in p, die imaginäre Achse, wird bei einem Realteil von Null mit (150) auf 

den Einheitskreis abgebildet. Nach (150) ergeben negative Realteile Beträge kleiner eines. Damit wird die linke 

Halbebene der p-Ebene auf das Innere des Einheitskreises abgebildet. Die Nullstellen des Nennerpolynoms von 

(193) sind entscheidend für die Stabilität. Liegen alle Nullstellen der Übertragungsfunktion in z im Einheitskreis, 

ist die Differenzengleichung stabil. 

i = 1 ... n => Stabilität (195) 

Bild 50: Konforme Abbildung der p- auf die z-Ebene, 

Stabilität in der linken p-Ebene bzw. innerhalb des z-Einheitskreises, 

Stabilität: p 3, p 4, p7 bzw. z 3, z 4, z7 

Stabilitätsgrenze: p 1, p2 bzw. z 1, z2 

Instabilität: p , p , p bzw. z , z , z 

5 6 8 5 6 8 



3.6. Bilineare Transformation 

Hierbei wird aus einer bekannten Übertragungsfunktion G(p) die Übertragungsfunktion G(z) näherungsweise 

bestimmt und somit werden die Filterkoeffizienten a und b festgelegt. 

Der Ausdruck z wurde in (150) definiert: 

i i 

T*p 

z = e (Kopie 149) 

Umformung der Gleichung (150) ergibt: 

ln(z) aus (196) wird in eine Pade-Reihe entwickelt: 

Bricht man die Reihe (197) nach dem ersten Glied ab, ergibt sich die Formel für die bilineare Transformation: 

Zur Übung der bilinearen Transformation werden in der Vorlesung an dieser Stelle zwei Beispiele aus Abschnitt 

3.7 berechnet. 

3.7. Diskrete Beschreibung analoger Strecken 

Die in Abschnitt 2.4 beschriebenen analogen Übertragungsglieder sollen in diesem Abschnitt in Differenzgleichungen 

bzw. in z-Übertragungsfunktionen überführt werden, einen Überblick zeigt Tabelle 12. 

Übertragungsglied analoge 

Beschreibung 

Proportionalglied, P-Glied, P-Regelglied 2.4.1 3.7.1 

Integrierglied, I-Glied, I-Regelglied 2.4.2 3.7.2 

Verzögerungsglied 1. Ordnung, PT1-Glied 2.4.3 3.7.3 

Reales Differenzierglied mit Verzögerung 1. Ordnung, DT1-Glied 2.4.4 3.7.4 

Verzögerungsglied 2. Ordnung, PT2-Glied, nicht schwingungsfähig (�>1) 2.4.5 3.7.5 

Verzögerungsglied 2. Ordnung, PT2-Glied, schwingungsfähig (�

3.7.1. Proportionalglied, P-Glied, P-Regelglied 

Hier muss weder gerechnet noch transformiert werden. 

3.7. Diskrete Beschreibung analoger Strecken 43 

Bild 51: Proportionalglied 

a) Blocksymbol 

b) diskretes Filter 

Sowohl das kontinuierliche als auch das diskrete P-Glied nach Bild 51 (siehe auch Abschnitt 2.4.1) besitzen als 

Koeffizienten den Proportionalbeiwert Kp. In der Filterstruktur nach Bild 51b ist also nur noch der Koeffizient 

b 0 = Kp 

von Null verschieden. 

3.7.2. Integrierglied, I-Glied, I-Regelglied 

Bild 52: I-Glied 

Das I-Glied nach Bild 52 mit der DGL nach (53) 

soll in eine Differenzengleichung überführt werden. Fünf verschiedene Arten zur Diskretisierung werden vorgestellt 

und verglichen: 

S z-Übertragungsfunktion (Verhältnis der z-Transformierten von Ausgang zu Eingang) 

schon in Abschnitt 3.4.4.3 

S bilineare Transformation in Abschnitt 3.7.2.1 

S Integration durch Rechteckregel (jeweils linker und rechter Funktionswert) in Abschnitt 3.7.2.2 

S Integration durch Trapezregel in Abschnitt 3.7.2.3 

S Vergleich der Verfahren in Abschnitt 3.7.2.4 

3.7.2.1. Bilineare Transformation 

Die Übertragungsfunktion des Integrierers lautet nach Gleichung (199) bzw. nach (56): 

Bei der bilinearen Transformation wird in der Laplace Übertragungsfunktion die Variabel p ersetzt durch 

Einsetzen von (198) in (200) ergibt 

die Übertragungsfunktion des Integrators in z: 


(199) 

(200) 

(198, Kopie) 

(201)


Zur Bestimmung der Filterkoeffizienten in der Form nach (193) wird (201) umgeformt: 

Aus (202) lassen sich die Filterkoeffizienten ablesen: 

Dieses ergibt die Filterstruktur nach Bild 53 


(202) 

a 1 = -1 (203) 

Bild 53: Realisierung der Differenzengleichung eines Integrators 

Die Differenzengleichung nach Bild 53 sowie nach Gleichung (194) lautet: 

v(k) = - a 1*v(k-1) + b 0*u(k) + b 1*u(k-1) 

(204) 

3.7.2.2. Integration durch Rechteckregel 

Bild 54: Veranschaulichung der Integration nach der Rechteckregel 

a) Berücksichtigung des linksseitigen Funktionswertes 

b) Berücksichtigung des rechtsseitigen Funktionswertes 

Die Integration von (199) ergibt: 

v(t) = v(k-1) + K I*A 

(205) 

Die Fläche A aus (205) lässt sich ablesen: 

für Bild 54a: A = u(k-1)*T (206) 

für Bild 54b: A = u(k)*T (207)


Einsetzen von (206) bzw. (207) in (205) ergibt: 

aus Bild 54a: (208) 

aus Bild 54b: (209) 

Der Vergleich von (208) und (209) mit der Normform (204) liefert die Filterkoeffizienten für die Integration nach 

der linksseitigen Rechteckregel (Bild 54a): 

a 1 = -1 b 0 = 0 (210) 

und für die Integration nach der rechtsseitigen Rechteckregel (Bild 54b): 

a 1 = -1 b 1 = 0 (211) 

Die Realisierung der Filterstruktur zeigt Bild 55. 

Bild 55: Realisierung der Differenzengleichung 

a) linksseitige Rechteckregel b) rechtsseitige Rechteckregel 

3.7.2.3. Trapez-Regel 

Die Fläche A lässt sich aus Bild 56 ablesen: 

Einsetzen von (212) in (205) ergibt: 

Bild 56:Veranschaulichung der Integration nach der Trapez-Regel 

Durch Vergleich von (213) mit der Normalform (204) lassen sich die Filterkoeffizienten für die Integration nach 

der Trapez-Regel bestimmen: 

a 1 = -1 (214) 


(212) 

(213)


3.7.2.4. Vergleich der Integrationsverfahren 

Nr Methode G(z) 

1 Übertragungsfunktion 

nach Abschnitt 3.4.4.3 

2 

3 

4 

5 

linksseitige Rechteckregel 

(Abschnitt 3.7.2.2) 

rechtsseitige Rechteckregel 


Trapez-Regel 


Bilineare Transformation 


Koeffizienten 

a b b 

1 0 1 

-1 0 

-1 0 

-1 0 

Tabelle 13: Übersicht der Integrationsverfahren und Filterkoeffizienten beim I-Glied 

Aus Tabelle 13 ist zu erkennen, dass folgende Integrationsverfahren gleich sind: 

Übertragungsfunktion nach Abschnitt 3.4.4.3 und linksseitige Rechteckregel, sowie 

S Trapez-Regel und bilineare Transformation. 

Die Übertragungsfunktion nach Abschnitt 3.4.4.3 basiert auf der Annahme einer Impulsfolge am Eingang der 

Strecke. Der Einzelimpuls zum Zeitpunkt (k-1)*T beschreibt daher das Signal im Zeitraum (k-1)*T < t < k*T. 

Integriert wird daher der beschreibende linksseitige Funktionswert. Deshalb ist das Verfahren identisch mit der 

linksseitigen Rechteckregel. 

Der Vergleich der Bilder 54 und 56 lasst erkennen, dass die Trapez-Integration eine erheblich bessere Näherung 

darstellt als die Rechteckregel. Weil die Filterkoeffizienten unter Nutzung der bilinearen Transformation verhältnismäßig 

einfach zu berechnen sind und das Ergebnis identisch mit der hochwertigen Trapezintegration ist, empfiehlt 

sich die Anwendung dieses Verfahrens. 


-1 

-1

Bild 57: Ergebnis der diskreten Integration mit T i = 5s 

a) Testeingangssignal 1 (Rampe) u(t) = -0.8 + t/10 s 

b) Testeingangssignal 2 (Kosinus) u(t) = cos(2 � t/12 s) 

c) Integrationsergebnis Rampe Abtastzeit T = 2.5 s 

d) Integrationsergebnis Rampe Abtastzeit T = 5 s 

e) Integrationsergebnis Kosinus Abtastzeit T = 2 s 

f) Integrationsergebnis Kosinus Abtastzeit T = 4 s 

______ exakter Zeitverlauf 

X linksseitige Rechteckregel 

G Trapez-Regel 

� rechtsseitige Rechteckregel 


Bild 57 verdeutlicht die Güte der Integrationsverfahren. Als Testeingangsignal wurde zum einen eine Rampenfunktion 

(Bild 57a) und zum anderen eine Kosinusfunktion verwendet. Nach Bild 57 ist die Trapez-Integration 

(bilineare Transformation) die eindeutig beste Methode. Ist die Eingangsfunktion eine Rampe (lineare Funktion), 

liefert die Trapezintegration die exakten Werte. Dieses ist nach Bild 56 auch zu erklären, denn bei der Trapezintegration 

wird die Funktion zwischen den Stützstellen durch eine Gerade ersetzt. Mit Vergrößerung der Abtastdauer 

wird nach Bild 57 die Qualität des Ergebnisses schlechter. Für die Integration der Kosinusfunktion liefern die 

Rechteckintegrationen schlechte Ergebnisse. Bei einer Periodendauer von 12 s ergibt sich bei einer Abtastzeit von 

T = 2 s (siehe Bild 57e) noch ein recht gutes Ergebnis mit der Trapezintegration. Bei einer Abtastzeit von T = 4 s 

ergeben sich nach Bild 57f etwas größere Abweichungen, aber die Kosinusform ist noch zu erkennen. 



3.7.3. Verzögerungsglied 1. Ordnung, PT1-Glied 

Bild 58: PT1-Glied 

Für das PT1-Glied nach Bild 58 mit der DGL nach (59) 

und der Übertragungsfunktion (61) 

sollen die Filterkoeffizienten nach verschiedenen Methoden bestimmt werden: 

S z-Übertragungsfunktion (z-Transformierte von Ausgang zu Eingang) schon in Abschnitt 

3.4.4.2 

S bilineare Transformation in Abschnitt 3.7.3.1 

S Linksseitige Rechteckregel in Abschnitt 3.7.3.2 

S Trapezregel in Abschnitt 3.7.3.3 

S Vereinfachte Lösung der DGL in Abschnitt 3.7.3.4 

S Exakte Lösung der DGL in Abschnitt 3.7.3.5 

S Vergleich der Verfahren in Abschnitt 3.7.3.6. 

3.7.3.1. Bilineare Transformation 

Durch Einsetzen von: 

in (217) ergibt sich die Übertragungsfunktion in z für das PT1-Glied: 


(216) 

(217) 

(198, Kopie) 

Der Vergleich von (218) und (193) liefert die Filterkoeffizienten bei Anwendung der bilinearen Transformation: 

Die Realisierung von (219) lasst sich mit der schon bekannten Struktur nach Bild 53 bzw. der Differenzengleichung 

(204) beschreiben. Damit weist das PT1-Glied die gleiche Struktur wie ein Integrierer auf, allerdings sind 

die Koeffizienten unterschiedlich. 

(218) 

(219)

3.7.3.2. Linksseitige Rechteckregel 

Die Integration von (216) ergibt: 


Die Integration von (220) wird nach der Rechteckregel ausgeführt, indem der linksseitige Funktionswert mit der 

Abtastzeit T multipliziert wird: 

Der Vergleich von (221) mit der Normalform der Filterdifferenzengleichung (204) ergibt die Koeffizienten: 


(220) 

(221) 

b 0 = 0 (222) 

Realisieren lasst sich die linksseitige Rechteckregel des PT1-Gliedes mit den Koeffizienten (222) und der Filterstruktur 

nach Bild 55a. 

3.7.3.3. Trapez-Regel 

Die Integrale von (220) werden nach der Trapezregel ausgeführt, indem der Mittelwert aus linksund rechtsseitigem 

Funktionswert mit der Abtastzeit T multipliziert wird: 


Realisieren lasst sich die Trapez-Regel des PT1-Gliedes mit den Koeffizienten (224) und der Filterstruktur nach 

Bild 53. 

3.7.3.4. Vereinfachte Lösung der DGL 

Zur Vereinfachung soll der Eingang des PT1 Gliedes nach Bild 58 im Abtastzeitraum auf den Mittelwert von linksund 

rechtsseitigem Funktionswert gesetzt werden: 

(223) 

(224) 

für (k-1)*T < t < kT (225) 

Die Annahme (225) entspricht einer Eingangsgröße wie für die Trapezintegration. Für das Übertragungsglied soll 

die DGL (216) mit diesem Eingangssignal (225) gelöst werden. Dieses erbringt die spezielle Lösung der DGL. 

Stabilität von DGLn ist bekanntlich durch die homoge Lösung bestimmt. Es ist zu erwarten, dass sich bei Stabilität 

der DGL. auch die Differenzengleichung stabil ist. 

Für ein konstantes Eingangssignal lässt sich die Lösung der DGL (216) beschreiben durch Anfangswert v(k-1), 

Endwert nach (225) und Verzögerungszeit t:


Einsetzen von t = k*T und (225) in (226) ergibt die Differenzengleichung: 

Der Vergleich von (227) mit der Normalform der Filterdifferenzengleichung (204) liefert die Filterkoeffizienten 

für die vereinfachte Lösung der DGL: 

Die Differenzengleichung wird verwirklicht durch die Filterstruktur nach Bild 55. 

3.7.3.5. Verbesserte Lösung der DGL 

Hier soll die DGL für den ersten Abtastschritt (0 < t < T) gelöst werden. Aus dem Zusammenhang zwischen Funktionswert 

auf der linken Seite v(t=0) = v 0 und dem auf der rechten Seite v(t=T) = v 1 ergibt sich dann die Differenzengleichung. 

Für die Anregung, die Eingangsgröße u(t), erfolgt ein Geradenansatz gewählt: 

Der Ausdruck (229) wird in die DGL (216) eingesetzt: 

Die Laplace Transformation von (230) ergibt unter Anwendung von (3), (4), (8) und (9): 

Aus einer Tabelle (z.B. in [3]) kann die folgende Korrespondenz entnommen werden: 

Die Rücktransformation von (231) mit Hilfe von (13), (10) und (232) ergibt: 

Durch Einsetzen von t = T in (233) folgt: 


(226) 

(227) 

(228) 

(229) 

(230) 

(231) 

")))! (232) 

Werden die Indizes in (234) allgemein durch k ersetzt, ergibt sich für die gesuchte Differenzengleichung: 

(235) 


Die zugehörige Filterstruktur wird in Bild 55 gezeigt. 

(233) 

(234) 

(236)

3.7.3.6. Vergleich der Verfahren 

Nr Methode 

1 Übertragungsfunktion 

nach Abschnitt 3.4.4.2 

2 

3 

4 

5 

6 

linksseitige Rechteckregel 


Trapez-Regel 


Bilineare Transformation 


Einfache DGL 


verbesserte DGL 


Koeffizienten 

a b b 

1 0 1 

0 

0 


Tabelle 14: Vergleich der Filterkoeffizienten bei Diskretisierung eines PT1-Gliedes nach unterschiedlichen 

Verfahren 

Aus Tabelle 14 ist zu erkennen, dass (wie beim Integrierer nach Abschnitt 3.7.2) folgende Verfahren identisch sind: 

S Trapez-Regel und bilineare Tranformation. 

Die gleiche homogene Lösung der Differenzengleichung (Faktoren a i, hier nur Faktor a 1) 

weisen auf: 

S Übertragungsfunktion nach Abschnitt 3.4.4.2 

S einfache DGL und 

S verbesserte DGL 

Das Verfahren der Übertragungsfunktion nach Abschnitt 3.4.4.2 basiert auf einer konstanten Eingangsgröße u(k-1) 

für den Zeitraum (k-1) k*T. Somit ist auch b 0 = 0, weil der rechtsseitige Funktionswert keinen Einfluss hat. 

Zu erwarten ist Folgendes: 

S Trapez-Regel ist besser als die Rechteckregel, 

S verbesserte DGL ergibt die beste Beschreibung. 

Die Qualität der Verfahren soll anhand der in Bild 59 dargestellten Simulation diskutiert werden. Die Reaktion des 

PT1-Gliedes auf die drei Testsignale 

S Sprung der Größe 5 

S Rampe nach Bild 59a 

S Kosinusfunktion nach Bild 59b 

wurden nach Bild 59 untersucht. 

Bei der Simulation der Sprungantwort (Bild 59c und 59d) zeigt sich bei relativ großen Abtastzeiten: 

S Die DGL-Verfahren ergeben immer den korrekten Wert. Dieses war zu erwarten, weil der Eingang ein 

Sprung ist und die homogene Lösung exakt simuliert wird. 

S Aber auch die Trapez-Regel liefert relativ gute Ergebnisse, sogar bei Abtastzeiten, die in der Größenordnung 

der Verzögerungszeit des PT1-Gliedes liegen. 

S Bei Anwendung der Rechteckregel müssten für gute Ergebnisse die Abtastzeiten kleiner als die in der 

Simulation benutzten (Bildern 59c und 59d) gewählt werden. 



Bild 59: Ergebnis der diskreten Simulation eines PT1-Gliedes mit K P = 2 und � = 5s 

a) Testsignal 2 (Rampe) u(t) = -0.8 + t/10 s 

b) Testsignal 3 (Kosinus) u(t) = cos(2� t/12 s) 

c) Sprungantwort Abtastzeit T = 5 s u(t) = 5 

d) Sprungantwort Abtastzeit T = 10 s u(t) = 5 

e) Antwort auf Rampe Abtastzeit T = 2.5 s 

f) Antwort auf Rampe Abtastzeit T = 10 s 

g) Antwort auf Kosinus Abtastzeit T = 2 s 

h) Antwort auf Kosinus Abtastzeit T = 4 s 

______ Zeitverlauf (exakt) 

X Rechteckregel 

G Trapez-Regel 

� einfache DGL 

verbesserte DGL 



Bei der Simulation „Rampe als Eingangsgröße“ (Bild 59e und 59f) zeigen sich Ergebnisse mit ähnlichen 

Merkmalen: Die Rechteckregel ist nicht zu empfehlen. Bei hinreichend kleinen Abtastdauern sind die restlichen 

Verfahren etwa gleichwertig. Wieder liefert das Verfahren “verbesserte DGL” den exakten Zeitverlauf, weil die 

Koeffizienten unter Annahme einer linearen Eingangsfunktion bestimmt wurden. 

Auch die Simulation der Kosinusfunktion zeigt nach den Bildern 59g und 59h ähnliche Merkmale: Die Rechteckregel 

ist qualitativ schlecht. Die Lösungen mit den anderen Verfahren sind etwa gleichwertig. Hier sind die 

Verfahren „verbesserte DGL-Lösung“ und „Trapez-Regel“ ungefähr gleichwertig. Die Ursache liegt darin, dass die 

Voraussetzung einer linearen Eingangsfunktion für die Anwendung der erstgenannten Methode nicht mehr erfüllt 

ist. 

Fazit: 

Weil die Anwendung der bilinearen Transformation den wenigsten Aufwand erfordert, ist diese Berechnungsart der 

Filterkoeffizienten zu empfehlen. Dies gilt in besonderem Maße für Übertragungsfunktionen höherer Ordnung. 

3.7.4. Reales Differenzierglied mit Verzögerung 1. Ordnung, DT1-Glied 

Für das DT1-Glied (K D = T D) 

sind die digitalen Filterkoeffizienten zu bestimmen. Wird die bilineare Transformationsvorschrift 

in (237) eingesetzt ergibt sich die Übertragungsfunktion in z: 

-1 

Die Gleichung (238, 452) wird mit z multipliziert: 

und in die funktionelle Normalform gebracht: 

Aus (239, 453) können die Filterkoeffizienten der Differenzengleichung 

m K = -a 1*m k-1 + b 0*e k + b k-1*e k-1 


(237) 

(198, Kopie) 

(238) 

(239)


abgelesen werden: 

In Abschnitt 3.7.4 verwendete Größen: 

mK Regelausgangsgröße 

ek Regeldifferenz, Regeleingangsgröße 

KD Differenzierbeiwert 

� Verzögerungszeit 

T Abtastdauer 

3.7.5. Verzögerungsglied 2. Ordnung, PT2-Glied, nicht schwingungsfähig 

Für das Verzögerungsglied 2. Ordnung mit Übertragungsfunktion 

sind die Koeffizienten eines digitalen Filters zu bestimmen. Wird die bilineare Transformations-Vorschrift 

in (241) eingesetzt, ergibt sich die Übertragungsfunktion in z: 


(240) 

(241) 

(198, Kopie) 

Aus (242) lassen sich die Filterkoeffizienten des PT1-Gliedes nach (241) durch Vergleich mit der Normalform (193) 

ablesen: 

Die zugehörige Filterstruktur ergibt sich gemäß Bild 60 zu: 

(242) 

(243)

Für die zugehörige Differenzengleichung gilt nach (194): 


Bild 60: Filterstruktur 2. Ordnung 

v(k) = - a 2*v(k-2) - a 1*v(k-1) + b 2*u(k-2) + b 1*u(k-1) + b 0*u(k) 

(244) 

Durch Vergleich von (241) mit dem nicht schwingungsfähigen System nach Tabelle 6, Abschnitt 2.4.5, ergeben 

sich für die Übertragungsfunktion nach (67) die Koeffizienten: 

c 2 = T 1*T2 c 1 = T 1 + T 2 

(245) 

Aufgabe: 

Für die DGL mit der Ausgangsgröße v und der Eingangsgröße u 

ist ein digitales Filter zu entwickeln. Geben Sie Struktur und Koeffizienten an. 

Hinweis: Vorgehensweise: 

S Übertragungsfunktion ermitteln, 

S Bilineare Tranformation anwenden, 

S in funktionelle Normalform bringen, 

S Koeffizienten ablesen. 

3.7.6. Verzögerungsglied 2. Ordnung, PT2-Glied, schwingungsfähig 

Der Vergleich von (74) und (241) liefert für ein schwingungsfähiges System 2. Ordnung die Koeffizienten 

. (247) 

Die Simulation des schwingungsfähigen Systems 2. Ordnung erfolgt mit der gleichen Struktur wie beim nicht 

schwingungsfähigen Systems. Mit (247) lassen sich die Filterkoeffizienten (243) berechnen. Die Realisierung 

erfolgt gemäß Bild 60 oder mit Hilfe der Differenzengleichung (244). 



3.7.7. PI-Glied, PI-Regelglied 

Für das PI-Glied mit der Übertragungsfunktion nach (81) 

sind die Koeffizienten des Filters zu bestimmen. Wird die biliniare Transformations-Vorschrift 

in (248) eingesetzt, ergibt sich für die Übertragungsfunktion in z: 


(248) 

(198, Kopie) 

Aus (249) lassen sich die Filterkoeffizienten des PI-Gliedes nach (248) durch Vergleich mit der Normalform (193) 

ablesen: 

3.7.8. PIDT1-Regelglied 

(249) 

a 1 = -1 (250) 

Für eine Verwirklichung im Prozessrechner werden PI-Glied und DT1-Glied häufig parallelgeschaltet zum PI-DT1- 

Glied und als Differenzengleichungen gemäß Abschnitt 3.7.7 und 3.7.4. dargestellt. Beim Entwurf quasikontinuierlicher 

Regelungen ist zu beachten, dass die für das kontinuierliche System gefundenen Reglerkennwerte ggf. aus 

Reihenschaltungs- in Parallelschaltungsdarstellung umgerechnet werden müssen, s. [2].

3.8. Entwurf von quasikontinuierlichen Regelungen mit Abtastreglern für kontinuierliche Strecken, Teil 2 57 

3.8. Entwurf von quasikontinuierlichen Regelungen mit Abtastreglern 

für kontinuierliche Strecken, Teil 2 

Ab Abschnitt 3.3 wurden die Grundlagen für Verwirklichung einer quasikontinuierlichen Regelung dargestellt, das 

bedeutet einen Reglerentwurf für ein kontinuierliches System mit Regelstrecke, AH-Glied und Anti-Aliasing- Filter 

im offenen Kreis und Umrechnung der gefundenen Reglerparameterwerte für einen diskreten Regler. Das Verhalten 

des AH-Gliedes kann dabei näherungsweise durch ein Totzeit- oder ein PT1-Glied beschrieben werden. Diese 

Vorgehensweise führt nur bei geeignet gewählter Abtastzeit zu guten Ergebnissen. 

In Abschnitt 3.3 wurde das Abtasthalteglied vor den digitalen Regler plaziert. In Abschnitt 3.7 wurde gezeigt, dass 

der Abtastregler (digitales Filter) nach der bilinearen Transformation (Trapez-Regel) bei geeignet gewählter Abtastzeit 

zu den Abtastzeitpunkten sehr gut das Verhalten des analogen Reglers annähert. Als wesentlicher Unterschied 

zur kontinuierlichen Reglung wird bei der quasikontinuierlichen Regelung die Stellgröße für die Abtastdauer konstant 

gehalten. Signaltechnisch wirkt das Abtasthalteglied damit am Ausgang des digitalen Reglers, also am Eingang 

der Stellers. Verschiebt man die Übertragungsfunktion des Abtasthaltegliedes der Bilder 38 und 39 in der erwähnten 

Weise, ergeben sich die Wirkungspläne der Bilder 61 und 62. Die Übertragungsfunktion des offenen Kreises nach 

(145) wird durch diese Verschiebungen nicht beeinflusst. 

Bild 61: Wirkungsplan einer quasikontinuierlichen Regelung mit Vorgabe einer analoge Führungsgröße, tatsächliche 

Wirkung des Abtasthaltegliedes 

Bild 62: Wirkungsplan einer quasikontinuierlichen Regelung mit Vorgabe einer diskreten (digitalen) Führungsgröße, 

tatsächliche Wirkung des Abtasthaltegliedes 


58 4. Diskrete Regelung einfacher Strecken 

4. Diskrete Regelung einfacher Strecken 

4.1. Regelung einer PT1-Strecke mit digitalem I-Regler 

4.1.1. Aufgabe 

Eine PT1-Strecke mit der Übertragungsfunktion 

und mit den Parameterwerten K P = 4 und T S = 0.5 s soll mit Hilfe eines digitalen I-Reglers geregelt werden. 

4.1.2. Vorgehensweise 

In Abschnitt 4.1.3 wird zunächst ein Entwurf des analogen Regelkreises mit Berücksichtigung des AH-Gliedes 

durchgeführt. Danach werden in Abschnitt 4.1.4 die gefundenen Reglerparameter in Parametern eines diskreten 

Filters umgesetzt (i.A. mit der bilinearen Tranformation) und die Abtastzeit wird festgelegt. Abschnitt 4.1.5 zeigt 

Simulationsergebnisse. 

4.1.3. Entwurf der kontinuierlichen Regelung 


(251) 

Bild 63: Kontinuierlicher (analoger) Regelkreis 

mit PT1-Strecke 

Nach Abschnitt 3.8 wirkt am Ausgang des Reglers ein Abtasthalteglied. Dieses kann nach Abschnitt 3.2.3 z.B. 

näherungsweise durch ein PT1-Glied beschrieben werden. Platziert man die Regelstrecke (hier PT1-Glied) an den 

Ausgang des Regelgliedes, ergibt sich die Struktur gemäß Bild 64 . 

Bild 64: Wirkungsplan der quasikontinuierlichen Regelung (vereinfacht, weil Messglied und AAF nicht berücksichtigt 

sind) 

Nach Abschnitt 2.5.1.1 werden die Übertragungsfunktion von Abtasthalteglied und Strecke zusammengefasst und 

eine Ersatzübertragungsfunktion gebildet: 

Die Kombination von zu regelnder Strecke und Abtasthalteglied lasst sich nach der Ersatzfunktion (252) durch ein 

PT1-Glied mit der Verstärkung K und der Ersatzzeitkonstanten 

annähern. 

P 

Nach (123) ergibt sich für die Integrierzeit des Reglers: 

2 

T I = K*4*� *(T e +T/2) 

2 2 

T I = 4*4*� *(T e +T/2) = 16*� *(T e +T/2) 

Bei Wahl des Dämpfungsgrades für das Verhalten des geschlossenen Regelkreises ergibt sich bei 

(254) 

(255) 

� 1 = 0.707 eine Integrierzeit von T I_1 = 8*(0.5 s + T/2) (256) 

bei � = 1.0 eine Integrierzeit von T = 16*(0.5 s + T/2) (257) 

2 I_2 

(252) 

(253)

4.1. Regelung einer PT1-Strecke mit digitalem I-Regler 59 

4.1.4. Bestimmung der Parameter für einen digitalen Regler 

Nach Tabelle 13 (Abschnitt 3.7.2.4) ergeben sich die digitalen Reglerkoeffizienten mit der bilinearen Tranformation 

zu: 

a 1 = -1 (258) 

Die Differenzengleichung lautet: 

v(k) = - a 1*v(k-1) + b 0*u(k) + b 1*u(k-1) 

(Kopie, 204) 

Die Integrierzeiten (256/257) sind schon aus dem letzten Abschnitt 4.1.3 bekannt. Für die Ermittlung der 

Parameterwerte des digitalen Reglers muss noch die Abtastzeit T festgelegt werden. 

Die analoge Reglerstruktur nach Bild 64 wird umgesetzt in eine digitale Struktur für den Regler nach (258), (204) 

bzw. Bild 60. Weil dieses Beispiel als Einführung lediglich das Prinzip der Vorgehensweise beim Entwurf 

quasikontinuierlicher Regelungen zeigt, wurde auf ein Anti-Aliasing-Filter verzichtet. Dieses ist in diesem Beispiel 

möglich, weil die Regelgröße x hier eine Zustandsgröße darstellt und bei der Simulation keine höherfrequenten 

Störgrößen vorhanden sind. 

Die Abtastzeit wird in diesem Beispiel zehnmal kleiner als die dominierde Zeitkonstante des geschlossenen 

Regelkreises gewählt. Im Folgenden wird erläutert, wie diese dominierende Verzögerungszeit des geschlossen 

Regelkreises ermittelt werden kann: Bekanntlich ist die Kennkreisfrequenz � 0 bei einem System zweiter Ordnung 

ein Maß für die Schnelligkeit des Systems, s. Abschnitt 2.5.2, [2]. Im aperiodischen Grenzfall (� = 1) entspricht �0 

der inversen Zeitkonstanten; bei nicht zu kleinen Dämpfungsgraden kann dies als Näherung für die dominierende 

Verzögerungszeit gelten: 

- Dominierende Zeitkonstante (259) 

Mit dem Entwurf der kontinuierliche Regelung in Abschnitt 2.5.3 erhält man � 0 aus (121) und (122): 

Aus (260) und (259) ergibt sich die dominierde Zeitkonstante des geschlossenen Regelkreises zu: 

T Dz = 2*�*(T e + T/2) (261) 

Die Abtastzeit wird 1/10 der dominierden Zeitkonstante (261) gewählt: 

Für die gewählten Dämpfungen ergeben daraus folgende Abtastzeiten: 

� 1 = 0.7071 T = 0.2*0.7071*0.5 s = 0.0707 s (263) 

� = 1.0 T = 0.2*1*0.5 s = 0.1 s (264) 

2 

Mit (258), (263), (264) und (256/257) werden die Parameterwerte des digitalen Reglers berechnet: 

� 1 = 0.707 a 1 = -1 (265) 

� 2 = 1.0 a 1 = -1 (266) 

4.1.5. Simulationsergebnisse 

Die Ergebnisse der Simulation der quasikontinuierlichen Regelung mit den gefundenen Parameterwerten für das 

Verhalten des geschlossenen Kreises mit den zwei gewählten Dämpfungsgraden und der Wahl verschiedener 

Abtastzeiten werden im Bild 65 gezeigt. Bilder 65 a, c, e, g zeigen die Ergebnisse für Dämpfungsgrad � 2 = 1.0, 

Bilder 65 b, d, f, h bei � 2 = 0.707. Die Abtastzeiten wurden dabei von T=T Dz/10 bis T=T Dz vergrößert. Bis zur 

Abtastzeit T Dz/4 erhält man in diesem Beispiel noch relativ gute Ergebnisse. T=T Dz verletzt das Shannon-Theorem, 

dies wird durch die Ergebnisse in den Bildern 65g und 65h bestätigt. 


(260) 

(262)


Bild 65: Übergangsfunktionen der digitalen Regelstrecke PT1-Glied mit I-Regler 

zum Vergleich analoger Regelung und quasikontinuierlicher Regelung bei unterschiedlichen 

Abtastzeiten 

a) � = 1 T = 0.1 s T/T Dz = 1/10 � 0 = 0.833 s-1 

c) � = 1 T = 0.25 s T/T Dz = 1/4 � 0 = 0.66 s-1 

e) � = 1 T = 0.5 s T/T Dz = 1/2 � 0 = 0.5 s-1 

g) � = 1 T = 1 s T/T Dz = 1 � 0 = 0.25 s-1 

b) � = 0.707 T = 0.0707 s T/T Dz = 1/10 � 0 = 1.18 s-1 

d) � = 0.707 T = 0.1785 s T/T Dz = 1/4 � 0 = 0.933 s-1 

f) � = 0.707 T = 0.3571 s T/T Dz = 1/2 � 0 = 0.707 s-1 

h) � = 0.707 T = 0.7142 s T/T Dz = 1 � 0 = 0.354 s-1 


4.2. Regelung einer PT3-Strecke mit PI-Regler bei Polstellenkompensation und Vorgabe des Dämpfungsgrades 61 

4.2. Regelung einer PT3-Strecke mit PI-Regler bei Polstellenkompensation und Vorgabe 

des Dämpfungsgrades 


Eine PT3-Strecke mit der Übertragungsfunktion 

und den Kennwerten 

T 1 = 0.5 s , T 2 = 0.7 s, T 3 = 2.0 s, K S = 3 (268) 

soll mit Hilfe eines digitalen PI-Reglers geregelt werden. Die Verzögerungszeit T 3 kann als die eines Messgliedes 

oder die eines Anti-Aliasing-Filters angenommen werden. Der Reglerentwurf erfolgt durch Vorgabe des 

Dämpfungsgrades � = 0.707 bzw. � = 1. 


2 1 


durchgeführt. Danach werden in Abschnitt 4.2.4 die gefundenen Reglerparameter in Parametern für ein diskretes 

Filter umgesetzt (i.A. mit der bilinearen Tranformation) und die Abtastzeit wird festgelegt. Abschnitt 4.2.5 zeigt 

zugehörige Simulationsergebnisse. 


Bild 66: Wirkungsplan der quasikontinuierlichen Regelung 

Bild 66 zeigt die Struktur der zu regelnden Anordnung unter Berücksichtung des Abtasthaltegliedes. Aus Bild 66 

ergibt sich mit (267), (142) und (81) die Übertragungsfunktion des offenen Kreises: 

Die Übertragungsfunktion (269) ist 5. Ordnung. Leicht berechenbar bei Polvorgabe ist ein System 2. Ordnung. Die 

Ordnung von (269) ist also auf 2.Ordnung zu reduzieren! In einem ersten Schritt werden durch Bilden der 

Ersatzfunktionen die kleinste und die größte Zeitkonstante, im zweiten Schritt die beiden mittleren 

Verzögerungszeiten mit der Methode „Ersatzübertragungsfunktion“ (siehe Abschnitt 2.5.1.1) zusammengefasst: 

T 12 = T 1 + T 2 

(273) 

Einsetzen von (270) und (272) in (269) ergibt: 


(267) 

(269) 

(270) 

(271) 

(272) 

(274)


eine Übertragungsfunktion 3. Ordnung. Durch Polnullstellenkompensation der Zeitkonstante in (274) 

T i = T e 

(275) 

und der Zusammenfassung 

lässt sich (274) als ein System 2. Ordnung angeben: 


(276) 

. (277) 

Damit kann nach der in Abschnitt 2.5.3 gezeigten Vorgehensweise der Reglerentwurf erfolgen: Regelung einer PT1- 

Strecke mit einem I-Regler. Durch die Polkompensation ist der PI-Anteil weggefallen. Durch Vergleich von (277) 

mit (117) ergibt sich aus (122): 

2 

T IK = 4*� *T 12 

(278) 

Durch Gleichsetzen von (278) und (276) unter Verwendung von (271) und (275) kann die Verstärkung des PI- 

Reglers angegeben werden: 

Für eine Abschätzung der dominierenden Zeitkonstanten des Systems kann die klein zu wählende Abtastzeit T in 

(279) vernachlässigt werden. Analog zur Vorgehensweise in Abschnitt 4.1.4 folgt aus (264) für das vorliegenden 

Systems bei Abtastung mit 1/10 der dimensionierten Verzögerungszeit: 

T = 0.2*�*T12 

T = 0.2*�*(0.5 s + 0.7 s) = �*0.24 s 

� = 0.7071 T = 0.1697 s 

� = 1 T = 0.2400 s 

Damit kann mit (275), (271) und (280) die Integrierzeit angegeben werden: 

T I = T e = T 3+T/2 

� = 0.7071 T I = 2 s + 0.1697 s/2 = 2.085 s 

� = 1 T I = 2 s + 0.2400 s/2 = 2.120 s 

Die Verstärkung wird aus (279) und (280) bestimmt: 

� = 0.7071 

� = 1 

(279) 

(280) 

(281) 

(282)

4.2. Regelung einer PT3-Strecke mit PI-Regler bei Polstellenkompensation und Vorgabe des Dämpfungsgrades 63 

4.2.4. Bestimmung der digitalen Reglerparameter 

Mit Hilfe der bilinearen Tranformation sind in (250) die Filterkoeffizienten für einen PI-Regler angegeben: 

a 1 = -1 (Kopie, 250) 

Durch Einsetzen von (280) bis (282) in (250) lassen sich Filterkoeffizienten des PI-Regler angegeben: 

� 1 = 0.7071 � 2 = 1.0 


Die Ergebnisse der Simulation der quasikontinuierlichen Regelung mit den gefundenen Parameterwerten für das 

Verhalten des geschlossenen Kreises mit den zwei gewählten Dämpfungsgraden und der Wahl verschiedener 

Abtastzeiten werden im Bild 67 gezeigt. Bilder 67a, c, e, g zeigen die Ergebnisse für Dämpfungsgrad � 2 = 1.0, 

Bilder 67b, d, f, h bei � 2 = 0.707. Die Abtastzeiten wurden dabei von T=T Dz/10 bis T=T Dz vergrößert. Bis zur 

Abtastzeit T Dz/4 erhält man in diesem Beispiel noch relativ gute Ergebnisse. T=T Dz verletzt das Shannon-Theorem, 

dies wird durch die Ergebnisse in den Bildern 67g und 67h bestätigt. 



Bild 67: Übergangsfunktionen der digitalen Regelstrecke PT3-Glied mit I-Regler, 

Vergleich analoger und digitaler Regler 

a) � = 1 T = 0.24 s T/T Dz = 1/10 b) � = 0.7071 T = 0.1697 s T/T Dz = 1/10 

c) � = 1 T = 0.6 s T/T Dz = 1/4 d) � = 0.7071 T = 0.42 s T/T Dz = 1/4 

e) � = 1 T = 1.2 s T/T Dz = 1/2 f) � = 0.7071 T = 0.85 s T/T Dz = 1/2 

g) � = 1 T = 2.4 s T/T = 1 h) � = 0.7071 T = 1.70 s T/T = 1 

Dz Dz 


4.3. Regelung einer schwingungsfähigen PT3-Strecke, PI-Regler-Entwurf im Bodediagramm 65 

4.3. Regelung einer schwingungsfähigen PT3-Strecke, PI-Regler-Entwurf im 

Bodediagramm 


Eine schwingungsfähige PT3-Strecke mit der Übertragungsfunktion 

und mit den Daten 

-1 

T 1 = 0.002 s , � 0 = 10 s , � = 0.6, K S = 8 (285) 

soll mit Hilfe eines digitalen PI-Reglers geregelt werden. Der Reglerentwurf soll im Bodediagramm erfolgen. 



durchgeführt. Danach werden in Abschnitt 4.3.4 die gefundenen Reglerparameter in Parametern für ein diskretes 

Filter umgesetzt (i.A. mit der bilinearen Tranformation) und die Abtastzeit wird festgelegt. Abschnitt 4.3.5 zeigt 

zugehörige Simulationsergebnisse. 


Bild 68: Wirkungsplan der Regelung mit Abtasthaltglied 

Bild 68 zeigt die Struktur der zu regelnden Anordnung unter Berücksichtung des Abtasthalteglieds. Daraus ergibt 

sich mit (284) und (141) die Übertragungsfunktion des offenen Kreises ohne Regler: 

Für die Darstellung von (286) im Bodediagramm ist die Kenntnis der Abtastzeit T zur Berücksichtigung des 

Totzeitgliedes erforderlich. Eine grobe Abschätzung erhält man wiederum aus der Kennkreisfrequenz des 

charakteristischen Polynoms von G : 

Mit 4 Abtastungen pro dominier der Zeitkonstante ergibt sich: 

0 

Mit den Werten (285) und (287) kann nun (286) im Bodediagramm dargestellt werden, siehe Bild 69. Der PI-Regler 

o 

soll mit Hilfe von Bild 69 dimensioniert werden. Für eine Phasenreserve von � = 60 lässt sich aus Bild 69 ablesen: 


R 

(284) 

(286) 

(287) 

=> K R = 0.20 (288) 

(289)


Durch die Verschiebung des Betragsganges mit Hilfe von K R stellt sich nach Bild 69 bei � C die gewünschte 

Phasenreserve ein. Für die Festlegung der Nachstellzeit T i , 1/T i ist die Eckkreisfrequenz des PI-Gliedes, wird bei 

o o 

� die Phase um 10 bis 15 zurückgedreht. . 

C 

Daraus ergibt sich für die Nachstellzeit: 

Mit (287), (288) und (291) können die Parameter eines digitalen Filters (PI-Regler) bestimmt werden. 

Bild 69: Bodediagramm der zu regelnden Strecke mit Abtasthaltglied, ohne Regler 


(290) 

(291)

4.3.4. Bestimmung der digitalen Reglerparameter 

4.3. Regelung einer schwingungsfähigen PT3-Strecke, PI-Regler-Entwurf im Bodediagramm 67 

Mit Hilfe der bilinearen Tranformation ergeben sich aus (250) die Filterkoeffizienten für einen PI-Regler: 

a 1 = -1 (Kopie, 250) 

Durch Einsetzen von (287) bis (288) in (291) die Parameterwerte: 


Bild 70 zeigt das Ergebnis der Simulation durch die Übergangsfunktion des geschlossenen Kreises. Dabei ist eine 

kurze Anregelzeit zu vermuten, allerdings bei etwas kriechendem Verhalten. In der Praxis müssen also die 

Parameter noch etwas angepasst werden. 

Bild 70: Übergansfunktion des geregelten Kreises 


68 5. Modellbildung für Gleichstrommotoren 

5. Modellbildung für Gleichstrommotoren 

5.1. Konzepte von Antriebsregelungen 

In der Automatisierungstechnik werden Antriebsregelungen in Werkzugmaschinen, Robotern, Montage- und 

Transportsystemen angewendet. Dabei sind Positionen von Vorschubachsen bei translatorischen Bewegungen und 

Winkeln bei rotatorischen Bewegungen anzufahren bzw. einzuhalten. Es sind sogenannte Lageregelungen zu 

verwirklichen. Weiter zu regelnde Prozessgrößen sind Geschwindigkeiten bzw. Drehzahlen, Beschleunigungen bzw. 

Drehmomente. Diese Größen können bei Lageregelungen als Hilfsgrößen in sogenannte Kaskadenregelungen zur 

Erhöhung des Dynamik durch frühe Kompensation von Störeinflüssen dienen. Allgemein wird unterschieden in 

- Lageregelungen 

- Geschwindigkeitsregelungen bzw. Drehzahlregelungen 

- Beschleunigungsregelungen bzw. Momentenregelungen 

die einschleifig oder bei Lage und Drehzahlregelungen als Kaskadenregelungen (oder Zustandsregelungen) 

verwirklicht werden können. Bild 71 zeigt das Prinzip einer Lageregelung. 

Bild 71: Struktur einer Lagereglung (Positionsregelung) 

5.2. Prinzip der Regelung von Gleichstrommaschinen 

In dieser Vorlesung mit zugehörigem Praktikum soll die digitale Regelung an einer Gleichstrommaschine verwirklicht 

werden. Die Wirkungsweise einer Gleichstrommaschine zeigt Bild 72. 

Bild 72: Gleichstrommaschine mit Eingangsgröße und Ausgangsgröße, ohne Last 

Die Gleichstrommaschine (fremderregt) wird über die Ankerspannung geregelt (selten gesteuert). Es stellen sich die 

Zustandgrößen Strom ~ Moment, Drehzahl und Lage ein. Da zwischen dem Zeitverhalten der Zustandsgrößen in 

der Regel Größenordnungen liegen, bietet sich zur Regelung die in Abschnitt 2.6 erläuterte Kaskadenreglung an. 

Konzipiert man für die Gleichstrommaschine nach Bild 72 eine dreischleifige Kaskadenregelung, erhält man den 

Wirkungsplan nach Bild 73. In der inneren Schleife wird der Ankerstrom der Maschine geregelt. Danach ist für die 

Übertragung von der Führungsgröße w iA zur Ausgangsgröße i A eine Ersatzübertragungsfunktion (meist PT1-Glied) 

zu bilden Mit Hilfe der Ersatzübertragungsfunktion wird der Geschwindigkeit(Drehzahl)-Regelkreis ausgelegt. Jetzt 

erfolgt wieder die Bildung der Ersatzübertragungsfunktion von nach �. Diese Funktion bildet dann die 

Grundlage für den Entwurf des Lageregelkreises. 

Nur Hinweis: In zunehmenden Maße (mit der Weiterentwicklung der Stromrichtertechnik) werden auch die 

robusteren (wegen fehlender Bürsten) Asynchronmaschinen eingesetzt. Hier erfolgt mit Hilfe einer Transformation 

die Abbildung auf eine Gleichstrommaschine, deren Struktur eine übersichtlichere Regelung erlaubt. 


5.3. Modellbildung der fremderregten Gleichstrommaschine 69 

Bild 73: Wirkungsplan der in Kaskade geregelten Gleichstrommaschine, hier als Lagereglung 

5.3. Modellbildung der fremderregten Gleichstrommaschine 

Bei fremderregten Gleichstrommaschinen erfolgt der Aufbau des Ständermagnetfeldes mit Hilfe einer konstanten 

Spannungsquelle im Erregerkreis. Der konstante Gleichstrom verursacht einen konstanten magnetischen Fluss. Bei 

kleinen Antriebsmaschinen erfolgt die Erregung durch Dauermagnete. Hier lautet die Bezeichnung permanent 

erregte Gleichstrommaschine. Beide Erregungsarten weisen die gleichen mathematischen Modelle auf. In einigen 

Lehrbüchern gibt es die Theorie der Feldschwächung der fremderregten Gleichstrommaschine. Dabei ist in einigen 

Betriebsbereichen durch Verkleinerung des Erregerfeldes eine Drehzahlerhöhung möglich. Da diese Maßnahme 

praktisch kaum angewandt wird, kann mit einem konstantem Fluss gerechnet werden. Damit kann die Theorie der 

fremderregten und der permanent erregten Maschinen gleich behandelt werden. Der Unterschied zwischen großen 

und kleinen Maschinen ist zu beachten: Bei großen Maschinen wirkt sich die Reibung praktisch nicht aus. Würde 

ein großer Motor/Generator mit konstantem Moment angetrieben, führt dieses aufgrund der Zentrifugalkräfte zur 

Zerstörung. Ein kleiner Motor weist so viel Reibung auf, dass eine Enddrehzahl erreicht wird. 

Vereinbarung: 

In der Regelungstechnik wird oftmals mit normierten Größen gearbeitet. Da die Schreibweise der Normierung nicht 

genormt ist, wird hier vereinbart: 

A) Zeitabhängige nicht normierte Größen werden mit kleinen Buchstaben dargestellt. 

B) Für normierte zeitabhängige Größen werden große Buchstaben benutzt. 

5.3.1. Stellglied 

Als Stellglied für Antriebsregelungen mit unterschiedlichen Motoren (GM, AM, SM) werden verwendet: 

GM - Transistorstellglied 

- getaktete Verstärker (Chopper) (PWM) 

- netzgeführte Stromrichter 

ASM, SM - Wechselrichter 

Genaue Modelle für die Stellglieder sind wegen des nichtlinearen Verhaltens sehr komplex. Als 

Näherungsbeschreibung werden für Transistorstellglieder und getaktete Verstärker PT1-Verhalten modelliert: 

Für netzgeführte Stromrichter wird Totzeitverhalten angenähert: 

Bei einem Thyristor Stromrichter wird mit 

pZ - Pulszahl 

f - Netzfrequenz 

für T t in (293) die mittlere Totzeit eingesetzt: 

Das Totzeitglied (293) wird i.A. nach Abschnitt 2.5.1 wieder durch ein PT1-Glied nach (292) angenähert mit der 

Zeitkonstanten T = T des Totzeitgliedes nach (294). 

ST t 


(292) 

(293) 

(294)


Der Proportionalbeiwert K ST in (292) und (293) kann unter Berücksichtigung der Normierung aus den 

Steuerkennlinien der Stromrichter ermittelt werden. In der Regel wird ein Stromrichter nicht im linearen 

Arbeitsbereich betrieben. Dann ist zur Bestimmung von K ST die differentielle Steigung der Steuerkennlinie 

auszuwerten. 

Bild 74 zeigt den Wirkungsplan des Stellgliedes. 

Bild 74: Wirkungsplan des Stellers 

5.3.2. Elektrischer Teil der fremderregten Gleichstrommaschine 

In diesem Abschnitt soll der Zusammenhang zwischen der Eingangsgröße der Gleichstrommaschine (Ankerspannung 

u , Ausgangsgröße des Stellgliedes) und dem Ankerstrom, bzw dem Antriebsmoment m hergeleitet werden. 

A A 

Bild 75: ESB des elektrischen Teils der Gleichstrommaschine 

Die DGL für den Eingangskreis ergibt sich aus dem in Bild 75 dargestelltem ESB durch Maschenumlauf: 

In (296) bedeuten: 

iA - Ankerstrom 

uA - Ankerspannung 

uG - Gegenspannung (durch Drehung des Rotors induzierte Spannung) 

RA - ohmscher Widerstand der Ankerwicklung 

L - Induktivität der Ankerwicklung 

A 

Bild 76 zeigt den Wirkungsplan für die DGL (296) des Ankerkreises 

5.3.3. Induzierte Spannung uG 

Bild 76: Wirkungsplan des Ankerkreises 

Die induzierte Spannung im Anker einer fremderregten Gleichstrommaschine ist proportional der Flusskonstanten 

� und der Winkelgeschwindigkeit � der Welle: 

u G = c 1*�*� c 1 - erste Maschinenkonstante (297) 

5.3.4. Antriebsmoment mA 

Das Antriebsmoment m A einer fremderregten Gleichstrommaschine ist proportional der Flusskonstanten � und dem 

Ankerstrom i : 

A 

m A = c 2*�* iA c 2 - zweite Maschinenkonstante (298) 


(296)

5.3.5. Mechanische Leistung P 


Im Ersatzschaltbild nach Bild 75 repräsentiert die Spannungsquelle u G die mechanische Leistung: 

P el = P = i A*u G 

(299) 


P el = P = i A* c 1* 

�*� (300) 

An der Welle kann die mechanische Leistung aus Winkelgeschwindigkeit � und Drehmoment m A berechnet werden: 

P = �*m (301) 

A 

Durch Einsetzen von (298) in (301) folgt: 

P = �* c 2*�*i A 

(302) 

Aus dem Vergleich von (300) und (302) ist zu erkennen, dass die Maschinenkonstanten c 1 und c 2 gleich sein müssen: 

c 1 = c 2 = c (303) 

Mit (303) werden (297) und (298) vereinfacht: 

u G = c*�*� (304) 

m A = c*�*i A 

(305) 

Mit 

K c = c*� (306) 

folgt aus den Gleichungen (304) und (305): 

u G = K c*� 

(307) 

m A = K c*i A 

(308) 

Die Bilder 77 und 78 zeigen die Wirkungspläne für die algebraischen Gleichungen (307) und (308). 

Bild 77: Wirkungsplan für die Ermittlung 

der induzierte Spannung 

5.3.6. Stationäres Drehzahlverhalten 

Für den stationären Fall (di A/dt 

= 0) ergibt sich aus (296) der Ankerstrom: 

Durch Einsetzen von (304) und in (309) erhält man: 

Bild 78: Wirkungsplan für die Ermittlung 

des Antriebsdrehmoments 

Durch Einsetzen von (310) in (305) kann die Drehmoment-Drehzahl-Charakteristik der fremderregten Gleichstrommaschine 

angegeben werden: 


(309) 

(310)


Bild 79 zeigt die grafische Darstellung der Gleichung (311). Der normale Arbeitsbereich mit positivem Antriebsmoment 

(m A>0 identisch i A>0) und positiver Drehzahl (u A>0 

identisch n>0) liegt im ersten Quadranten. Im Normalfall 

ist das Vorzeichen der Drehzahl auch das Vorzeichen der Ankerspannung. Das Antriebsmoment weist nach 

(305) immer das gleiche Vorzeichen wie der Ankerstrom auf.. Im vierten Quadranten kehrt sich im Gegensatz zum 

ersten Quadranten das Vorzeichen der Drehzahl und damit der Ankerspannung um. Um diesen Quadranten zu 

erreichen, muss der Stromrichter als sogenannter Zwei-Quadranten-Stromrichter ausgeführt sein. Physikalisches 

Beispiel für diesen Betriebszustand wäre beim Aufzug das Absenken der Last: Bei positiven Drehmoment erfolgt 

beim Absenken durch negative Drehzahlen eine Leistungsrückspeisung der Gleichstrommaschine. Soll der Motor 

auch von sich aus abbremsen können, muss ein negatives Antriebsmoment aufgebracht werden. Dieses ist mit 

Betrieb im zweiten oder dritten Quadranten verbunden. Dabei ist zu beachten, dass der Stromrichter auch negative 

Ströme liefern kann (Vier-Quadranten-Stromrichter). Stromrichter mit Kreisstrom weisen eine schnellere Reaktion 

auf als Stromrichter ohne Kreisstrom. 

5.3.7. Nennbetrieb 


(311) 

Bild 79: Drehmoment-Drehzahl Verhalten der fremderregten 

Gleichstrommaschine mit der Ankerspannung als 

Parameter. 

Für den Nennbetrieb müssen zwei Nenngrößen gegeben werden. Hier sollen folgende Nenngrößen gegeben sein: 

uAN - Ankernennspannung 

i - Ankernennstrom 

AN 

Nach (310) ergibt sich dann die Nenn-Winkelgeschwindigkeit bzw. die Nenndrehzahl: 

Mit (305) kann das Nenn-Antriebsmoment angegeben werden: 

m N = K c*i AN 

(314) 

5.3.8. Mechanischer Teil des Antriebes 

Der mechanische Teil des Motors besteht aus einem Anker mit dem Trägheitsmoment J A, 

der in Lagern läuft, die 

Haft- und Rollreibmomente als Reibmomente erzeugen können. 

An die Motorwelle können beliebige mechanische Systeme (Walzen, Schlitten, Getriebe u.s.w.) gekoppelt werden. 

Deren Trägheitsmomente (bzw. Massen) werden auf die Antriebsachse mit dem Quadrat der Getriebeübersetzung 

umgerechnet. Daraus resultiert ein Gesamtträgheitsmoment: 

(312) 

(313) 

. (315) 

Außer den in Abschnitt 5.3.4 beschriebenen elektrischen Antriebsmoment m Atragen Lastmoment m L und Reibmoment 

m R zur Momentenbilanz bei. Außerdem treten auf: Steifigkeitskräfte, Verbindungskräfte, Dämpfungskräfte, 

Massenkräfte, Schnittkräfte u.s.w. Diese werden zum Lastmoment m zugeschlagen. Reibungskräfte (-momente) 

L


können mit denen des Ankers zusammengefasst oder getrennt berücksichtig werden. Daraus folgt die Momentengleichung: 

Das Beschleunigungsmoment m B ergibt sich aus (316) zu: 

Mit m R = 0 (keine Reibung oder in m L berücksichtigt) ergibt sich aus (316) : 

Bild 80 zeigt den Wirkungsplan für die DGL (318) ohne Berücksichtigung der Reibung. 

Bild 80: Wirkungsplan für Verhalten Moment/Drehzahl ohne Berücksichtigung der Reibung 

Reibungskräfte/Reibungsmomente 

Bei großen Maschinen (> 5 kW) können im allgemeinen die Reibungskräfte/Reibungsmomente vernachlässigt 

werden. Diese Maschinen würden bei einem konstanten Antriebsmoment m A soweit beschleunigen, dass die Zentrifugalkräfte 

die Wicklungen aus den Nuten drücken und die Maschine zerstört wird. Bei einer fremderregten 

Maschine kann dieses wegen der Gegenspannung u G nicht passieren, wenn das Erregerfeld eingeschaltete ist. Bei der 

Steuerung von großen Maschinen ist unbedingt darauf zu achten, dass das Erregerfeld vor der Ankerspannung 

eingeschaltet wird. Sonst würde ein kleines Remanenzfeld bei geringer Reibung und kleiner Gegenspannung die 

Maschine in den zu hohen Drehzahlbereich beschleunigen. 

Bei der im Labor verwendeten Gleichstrommaschine ist so viel Reibung vorhanden, dass aufgrund der Reibung eine 

Enddrehzahl erreicht wird. Bild 81 zeigt eine mögliche Abhängigkeit des Reibmomentes von der Drehzahl bzw der 

Winkelgeschwindigkeit der Welle. 

Bild 81: Reibungsmoment als Funktion der Drehzahl 

Nach Bild 81 setzt sich das Reibungsmoment aus der Haftreibung und der Rollreibung zusammen: 

m R = m Haft + mRoll 

Die Haftreibung ist vom Vorzeichen der Drehzahl abhängig und bewirkt eine Art Hysterese. Die Haftreibung ist 

nichtlinear und soll daher in erster Näherung vernachlässigt werden. Nach Bild 81 ist die Rollreibung linear von der 

Drehzahl/Winkelgeschwindigkeit der Welle abhängig. Unter Vernachlässigung der Haftreibung ergibt sich das 

Reibungsmoment. 

m R = r*� (319) 


(316) 

(317) 

(318)


Durch konstruktive Maßnahmen sollte das Antriebsmoment m A sehr viel größer als das Haftreibungsmoment mH 

sein 

m A >> mH 

damit kein “Stick-Slip-Effekt” auftritt. Maßnahmen zur Verbesserung der Regelung der Reibung sind 

- konstruktive Maßnahmen 

- Störrauschen auf mechanisches Systems geben, damit die Masse nicht in den Haftreibungszustand gerät 

- Kompensation der Haftreibung bei � = 0 (M = -M *sin(�)). 

komp H 

Bild 81 zeigt den Wirkungsplan der DGL (316) mit Berücksichtigung der Reibung aus (319). 

Bild 82: Wirkungsplan für Übertragungsfunktion Moment/Drehzahl bei Berücksichtigung der Rollreibung 

5.3.9. Lageberechnung 

Die Winkellage ��ergibt sich aus der Integration der Winkelgeschwindigkeit: 

Bild 83 zeigt die der DGL (320) als Wirkungsplan. 

5.3.10. Weitere Einflüsse 

Bild 83: Integration der Winkelgeschwindigkeit zur Lage 

Weitere hier nicht erwähnte Einflüsse auf das Verhalten der Gleichstrommaschine sind u.a.: 

- Mehrmassenschwinger bei elastischer Kopplung von Motor und Last, 

- Getriebelose (tote Zone, Laufzeit, Hysterese), 

- Mechanische Konstruktion des Antriebs (z.B. Zahnriemenantrieb), 

Man kann obige Einflüsse, auch die Reibung, als Störgrößen annehmen und deshalb evtl. vernachlässigen. 


(320)

5.4. Unnormiertes Modell der fremderregten Gleichstrommaschine 75 

5.4. Unnormiertes Modell der fremderregten Gleichstrommaschine 

5.4.1. Zusammenfassung der Formeln der fremderregten Gleichstrommaschine 

Im Folgenden werden die zum Zeichnen des Wirkungsplans notwendigen Gleichungen aus Abschnitt 5.3 wiederholt: 

(Kopie 296) 

u G = K c*� 

(Kopie 307) 

m A = K c*i A 

(Kopie 308) 

(Kopie 316) 

(Kopie 317) 

m R = r*� (Kopie 319) 

5.4.2. Wirkungsplan für den Gleichstrommotor 

(Kopie 320) 

Unter Auswertung der im letzten Abschnitt 5.4.1 zusammengefassten Gleichungen ergibt sich der Wirkungsplan 

nach Bild 84. Die Einzelauswertung der Gleichungen (296), (307), (308), (316), (319) und (320) erfolgte schon in 

den Bildern 76, 77, 78, 80 und 82. 

Bild 84: Unnormierter Wirkungsplan der Gleichstrommaschine 



5.5. Normierung der fremderregten Gleichstrommaschine 

5.5.1. Normierung des Ankerkreises 

Die DGL (296) wird normiert. 

Mit 

lautet die DGL (321) 

Die Darstellung der DGL (328) als Wirkungsplan zeigt Bild 85. 


(321) 

normierte Ankerzeitkonstante (322) 

auf i AN normierter Ankerstrom (323) 

auf u AN normierte Ankerspannung (324) 

auf u AN normierte induzierte Spannung (325) 

Proportionalbeiwert des Ankerkreises (326) 

auf 1 s normierte Zeit (327) 

. (328) 

Bild 85: Wirkungsplan des Ankerkreises 

Die Übertragungsfunktion des Ankerkreises ergibt sich durch Laplace-Transformation von (328) oder aus Bild 74: 

(329)

5.5.2. Normierung induzierte Spannung 

Die induzierte Spannung 

5.5. Normierung der fremderregten Gleichstrommaschine 77 

u = K c*� 

(Kopie 307) 

wird, wie die Ankerspannung, auf die Ankerspannung normiert. Nach (307) ergibt sich: 

u AN = K c*� 0N 

(330) 

Dabei bedeutet: 

� 0N - Leerlaufdrehzahl bei Ankernennspannung ohne den Einfluss der Reibung. Der Betriebspunkt (u AN, � 0N) 

ohne fiktive Reibung ist nach Bild 79 der Schnittpunkt der n-Achse beim Parameter u = u . 

Dividiert man (307) durch (330) erhält man: 

Mit 

kann (331) wie folgt angegeben werden: 

A AN 


(331) 

auf Ankernennspannung u AN normierte induzierte Spannung (332) 

normierte Drehzahl bzw. Winkelgeschwindigkeit (333) 

U G = � = N (334) 

Die Gleichung (334) zeigt, dass durch geschickte Normierung normierte induzierte Spannung gleich normierter 

Drehzahl gleich normierter Winkelgeschwindigkeit ist. 

5.5.3. Normierung Antriebsdrehmoment 

Werden in die Gleichung 

m A = K c*i A 

(Kopie 308) 

die Nenngrößen eingesetzt, ergibt sich: 

m AN = K c*i AN 

(335) 

Dividiert man (308) durch (335), ergibt sich: 

Mit (323) und 

kann (336) wie folgt angegeben werden: 

(336) 

auf Nennmoment normiertes Antriebsmoment (337) 

M A = I A 

(338) 

Die Gleichung (338) besagt, dass durch geschickte Normierung erreicht wird, das normierter Ankerstrom und 

normiertes Antriebsmoment gleich sind.


5.5.4. Normierung Last- und Beschleunigungsmoment 

Auch das Last- und Beschleunigungsmoment wird auf Nennantriebsmoment normiert: 

5.5.5. Normierung mechanischer Teil 

Einsetzen von (319) in (316) ergibt: 

Die Gleichung (341) wird normiert: 

Mit (337), (339), (333), (327) und 

kann die DGL (342) folgendermaßen ausgedrückt werden: 

Aus Gleichung (320) folgt: 

Die Normierung von (346) ergibt: 

Mit (327), (333) und 

kann (347) angegeben werden als: 

auf Nennantriebsmoment normiertes Lastmoment (339) 

auf Nennantriebsmoment normiertes Beschleunigungsmoment (340) 


(341) 

(342) 

Hochlaufzeit bei Antriebsnennmoment (343) 

normierte Reibungskonstante (344) 

(345) 

(346) 

(347) 

(348) 

auf eine Umdrehung normierter Winkel (349)


Die Auswertung der Gleichungen (345) und (350) ergeben den Wirkungsplan nach Bild 86. 

Bild 86: Wirkungsplan des mechanischen Teils der Gleichstrommaschine mit Berücksichtigung der Reibung, 

Drehzahlbildung als rückgekoppelter Integrierer; normiert 

Der rückgekoppelte Integrierer nach Bild 86 ergibt bekanntlich ein PT1-Glied. Die Übertragungsfunktion zwischen 

M A und � wäre daher ein PT1-Glied. Da aber der Faktor R für die Rollreibung, insbesondere bei großen Gleichstrommaschinen, 

sehr viel kleiner ist als eins, würden Verzögerungszeit und Proportionalbeiwert des PT1-Gliedes 

große Werte annehmen, deren Deutung physikatisch unanschaulich wäre. Bei vielen Entwürfen für Regelungen wird 

R gleich Null gesetzt. Das Übertragungsglied von M A zu � ist damit ein Integrierer. Dieses ist auch physikalisch 

plausibel. Berücksichtigt man die Reibung nach Bild 86, wird der rückgekoppelte Integrierer zum PT1-Glied mit 

den Parametern 

Bild 87 zeigt den zugehörigen Wirkungsplan. 


(350) 

Proportionalbeiwert des mechanischen Teiles des Motors (351) 

Verzögerungszeit des mechanischen Teiles des Motors. (352) 

Bild 87: Wirkungsplan des mechanischen Teils der Gleichstrommaschine mit Berücksichtigung der Reibung, 

Drehzahlbildung als PT1-Glied; normiert 

Wird die Reibung nach Bild 86 vernachlässigt, ergibt sich für den mechanischen Teil zwischen Drehmoment und 

Lage ein Doppelintegrierer, siehe Bild 88. 

Bild 88: Wirkungsplan des mechanischen Teils der Gleichstrommaschine mit Berücksichtigung der Reibung; 

Drehzahlbildung durch Integrator; normiert


5.5.6. Zusammenfassung der normierten Gleichungen 

A] Normierte Größen 

B] Zeitkontanten und Verstärkungen 

auf i AN normierter Ankerstrom (Kopie 323) 

auf u AN normierte Ankerspannung (Kopie 324) 

auf u AN normierte induzierte Spannung (Kopie 325) 

auf 1 s normierte Zeit (Kopie 327) 

auf Ankernennspannung u AN normierte induzierte Spannung (Kopie 332) 

normierte Drehzahl bzw. Winkelgeschwindigkeit (Kopie 333) 

auf Nennmoment normiertes Antriebsmoment (Kopie 337) 

auf Nennantriebsmoment normiertes Lastmoment (Kopie 339) 

auf Nennantriebsm. normiertes Beschleunigungsmoment (Kopie 340) 

auf eine Umdrehung normierter Winkel (Kopie 349) 

normierte Ankerzeitkonstante (Kopie 322) 

Proportionalbeiwert des Ankerkreises (Kopie 326) 

Hochlaufzeit bei Antriebsnennmoment (Kopie 343) 

normierte Reibungskonstante (Kopie 344) 

Integrierzeit des Lagebildners (Kopie 348) 

Proportionalbeiwert des mech. Motorteiles (Kopie 351) 

Verzögerungszeit des mech. Motorteiles (Kopie 352) 


C] Gleichungen 


Ankerkreisgleichung (Kopie 328) 

U G = � = N normierte Spannung, Drehwinkelgeschwindigkeit, Drehzahl (Kopie 334) 

M A = IA normiertes Antriebsmoment, normierter Strom (Kopie 338) 

normierte Ankerkreisgleichung (Kopie 345) 

Verhalten Drehwinkelgeschwindigkeit zur Lage (Kopie 350) 

D] Wirkungsplan des normierten Modells des Gleichstrommotors 

Bild 89: Wirkungsplan der Gleichstrommaschine mit Berücksichtigung der Rollreibung, normiert 

Bild 90 Wirkungsplan der Gleichstrommaschine ohne Berücksichtigung der Rollreibung, normiert 

E] Übertragungsfunktionen für das Verhalten des Gleichstrommotors 

E1] Gleichstrommotor mit Berücksichtigung der Rollreibung 

Nach Bild 89 ergibt sich die Übertragungsfunktion mit der Ausgangsgröße Strom zu Eingangsgröße Spannung: 

Mit 


(353) 

(354)


Für den aperiodischen Fall gilt: 

lässt sich (354) angeben als: 

Proportionalbeiwert von G IAR 

(355) 

Verzögerungszeiten von G IAR (356) 

Die Übertragungsfunktion zwischen Beschleunigungsmoment M B und Drehzahl/Winkelgeschwindigkeit N=� lässt 

sich aus Bild 89 ablesen: 

Die Übertragungsfunktion zwischen Ankerspannung und Drehzahl 

erhält man durch Multiplikation der Übertragungsfunktionen (357) und (358): 

E2] Gleichstrommotor ohne Berücksichtigung der Rollreibung 

Nach Bild 90 ergibt sich für die Übertragungsfunktion zwischen Ausgangsgröße Strom und Eingangsgröße Spannung 

ohne Berücksichtigung der Reibung: 

Mit 


(357) 

(358) 

(359) 

(360) 

(361) 

(362)

ergibt sich aus (362) 


(aperiodischer Fall) (363) 

( KD Differenzierbeiwert von G IA = K D ) (364) 

Die Übertragungsfunktion zwischen Beschleunigungsmoment M B und Drehzahl/Winkelgeschwindigkeit N=� ergibt 

gemäß Bild 90: 

Die Übertragungsfunktion zwischen Ankerspannung und Drehzahl 

erhält man durch Multiplikation mit der Übertragungsfunktionen (364) und (365): 

Unabhängig vom Reibungseinfluss ergibt sich durch Integration aus der Drehzahl N die Lage �. Für die zugehörige 

Übertragungsfunktion gilt: 

Hinweis: 

Die charakteristischen Polynome aller dargestellten Übertragungsfunktionen des Motors sind zweiter Ordnung. 

Damit sind die Übertragungsglieder prinzipiell schwingungsfähig. Beim dem im Praktikum behandelten Motor 

ergibt sich durch seine Kennwerte jedoch eine aperiodische Lösung (Nullstellen der charakteristischen Gleichung 

sind reell). Dieser Fall gilt im Allgemeinen in der Praxis für Gleichstrommotoren. 

Alternativ zu den Bildern 89 bzw. 90 können mit Hilfe der Übertragungsfunktionen (357), (358) und (367) bzw. 

(361), (365) und (367) die normierten Wirkungspläne der Gleichstrommaschine angegeben werden, siehe Bild 91 

bzw. Bild 92. 

Bild 91: Normierter Wirkungsplan der Gleichstrommaschine mit Berücksichtigung der Rollreibung, Darstellung 

mit Übertragungsfunktionen 

Bild 92: Normierter Wirkungsplan der Gleichstrommaschine ohne Berücksichtigung der Rollreibung, Darstellung 

mit Übertragungsfunktionen 


(365) 

(366) 

(367)

Prozessrechentechnik - Fachhochschule Oldenburg/Ostfriesland ...

Erfolgreiche ePaper selbst erstellen

Template löschen?

Als Template speichern?