Hamiltonsche Mechanik, kanonische Transformationen und ...

wissen wir, dass es für ein gegebenes System möglich ist, ganz verschiedene generalisierte
Koordinaten einzuführen. Betrachten wir als Beispiel das Keplerproblem. Wählt man als
generalisierte Koordinaten die kartesischen Koordinaten, so ist keine der Koordinaten
(x, y, z) zyklisch, im Hamiltonschen Formalismus sind also 6 Differentialgleichungen
erster Ordnung für die generalisierten Koordinaten und Impulse zu lösen. Wählt man
jedoch Polarkoordinaten, so zeigt sich, dass ϕ eine zyklische Variable ist. Der zugehörige
kanonisch konjugierte Impuls p ϕ ist erhalten, er entspricht gerade der z-Komponente des
Drehimpulses.
Im allgemeinen wird man bestrebt sein, durch Einführung neuer generalisierter Koordinaten
und Impulse so viele zyklische Koordinaten wie möglich einzuführen. Dabei sind
jedoch nicht beliebige Koordinatentransformationen möglich, da wir vernünftigerweise
fordern wollen, dass die Hamiltonschen kanonischen Gleichungen (3) forminvariant
bleiben. Jene Transformationen, die diese Bedingung erfüllen, werden als kanonische
Transformationen bezeichnet.
1.3.2 Kanonische Transformationen
Eine Transformation q i → Q i (q, p, t), p i → P i (q, p, t) heißt kanonisch, falls es eine
transformierte Hamiltonfunktion H ′ (Q, P, t) gibt, so dass die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen
forminvariant bleiben,
˙Q i = ∂H′
∂P i
,
P˙
i = − ∂H′ .
∂Q i
Die Frage ist nur: Wie findet man eine entsprechende kanonische Transformation? Häufig
werden dazu sogenannte Erzeugende Funktionen verwendet, aus denen eine kanonische
Transformation ableitbar ist. Da laut Definition sowohl (q, p) als auch (Q, P ) die Hamiltongleichungen
(3) erfüllen sollen, müssen die Funktionale
∫
]
[ f∑
dt p u ˙q i − H(q, p, t)
1
} {{ }
L(q, ˙q,t)
und
∫
[ f∑
dt P i ˙q i − H ′ (Q, P, t)
1
} {{ }
L ′ (Q, ˙Q,t)
dieselben Extremalpunkte haben. Beim Variationsprinzip sind aber die Anfangs -und
Endpunkte aller Wege fixiert. Obige Forderung bedeutet daher, dass sich die Integranden
der Funktionale nur um eine totale Zeitableitung voneinander unterscheiden dürfen,
oder,
∑
pi ˙q i − H(q, p, t) = ∑ P i ˙Q i − H ′ (Q, P, t) + d F (q, p, Q, P, t),
dt
∑
(pi dq i − P i dQ i ) + (H ′ (Q, P, t) − H(q, p, t))dt = dF (q, p, Q, P, t). (9)
]
F ist in diesem Ansatz zunächst eine beliebige (stetig differenzierbare) Funktion von
4f + 1 Variablen, von denen allerdings nur 2f + 1 Variablen linear unabhängig sind
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