Hamiltonsche Mechanik, kanonische Transformationen und ...

Im vorigen Abschnitt haben wir die Grundlagen kanonischer Transformationen kennengelernt.
Es ist leicht einsehbar, dass der Zusammenhang zwischen x(t) und x(t 0 ) als eine
spezielle, explizit zeitabhängige Transformation
q(t) → Q(q(t), p(t), t) = Q,
aufgefaßt werden kann. Aus der allgemeinen Beziehung
H ′ = H + ∂F
∂t
p(t) → P (q(t), p(t), t) = P
sehen wir, dass mit Hilfe einer geeigneten, explizit zeitabhängigen Erzeugenden sogar
H ′ = 0 erreicht werden kann. Unser Ziel soll nun darin bestehen, eine geeignete Erzeugende
einer kanonischen Transformation zu finden, die die zeitlich veränderlichen
x(t) = (q 1 (t), . . . q f (t), p 1 (t), . . . p f (t)) auf die Anfangswerte x(0) zurückführt, wobei die
q i (t) durch Q, P und t ausgedrückt werden. Traditionell wird hierzu eine Erzeugende
vom Typ F 2 (q, P, t) verwendet. In Gl. (12) ist der Zusammenhang zwischen F 2 (q, P, t)
und den p i und Q i angegeben. Wir setzen diese Beziehungen nun in den Ausdruck für
H ′ (Q, P, t) ein und fordern, dass die transformierte Hamiltonfunktion H ′ verschwinden
soll,
H ′ (Q, P, t) = H(q, p, t) + ∂F 2(q, P, t)
∂t
= H
(
q, ∂F )
2
∂q , t + ∂F 2
∂t
Die auf diese Weise erhaltene nichtlineare, partielle Differentialgleichung
(
H q 1 , . . . , q f , ∂F 2
, . . . , ∂F )
2
; t + ∂F 2
= 0
∂q 1 ∂q f ∂t
für F 2 wird als Hamilton-Jacobi-Gleichung bezeichnet. Die Lösungen hängen von
den f + 1 Variablen t, q 1 , . . . , q f und von f + 1 frei wählbaren Integrationskonstanten
α 1 , . . . , α f+1 ab. Eine dieser Integrationskonstanten ist rein additiv und kann daher
o.B.d.A. Null gesetzt werden, so dass noch f Integrationskonstanten übrig bleiben.
Im allgemeinen wählt man die Darstellung der Lösung so, dass die Konstanten α i gerade
die neuen kanonisch konjugierten Impulse P i sind. In diesem Fall nennt man F 2
Prinzipalfunktion oder Hamiltonsche Wirkungsfunktion S,
= 0.
F 2 =: S(t, q 1 , . . . , q f , α 1 , . . . , α f ), (13)
und die Hamilton-Jacobi-Gleichung nimmt dann die folgende Form an:
(
H q 1 , . . . , q f , ∂S , . . . , ∂S )
+ ∂S = 0. (14)
∂q 1 ∂q f ∂t
Die Hamiltonsche Wirtkungsfunktion S soll also so bestimmt werden, dass die transformierte
Hamiltonfunktion H ′ (Q, P, t) verschwindet und die neuen generalisierten Koordinaten
und Impulse zeitunabhängig werden. Theoretisch müsste man somit ”
nur“ die
Hamilton-Jacbi-Gleichung lösen und anschließend die Beziehungen
Q i = ∂S
∂P i
(15)
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