Skript Exponentialfunktion und Logarithmus.pdf - Goethe Oberschule

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c) f(x) = a x ist streng monoton steigend im Falle a > 1 und streng monoton fallend im Falle 0 < a < 1. Beweis: Zu a), b): Folgt aus Satz 3.5. Zu c)*: Ist a > 1, so folgt ln a > 0 und damit [a x ] ′ = ln a · a x > 0. Ist 0 < a < 1, so folgt entsprechend [a x ] ′ = ln a · a x < 0. Mit dem Monotoniekriterium folgt jeweils die Behauptung. Beispiel 3.3: Für die Funktion f(x) = 0, 6 · 2 x aus Beispiel 1.1 gelten: ∫ f ′ (x) = ln 2 · 0, 6 · 2 x ≈ 0, 42 · 2 x 0, 6 · 2x , f(x) dx = + c ≈ 0, 87 · 2 x + c. ln 2 Satz 3.7: a) Für a, b > 0 und x, y ∈ R gelten a x+y = a x a y , a −x = 1 a x = ( 1 a) x , (a x ) y = (a y ) x = a xy , a x b x = (ab) x , ( a b ) x = a x b x . b) Für x ∈ R gilt 1 x = 1. Beweis: Zu a): a x+y = e (x+y) ln a = ex ln a+y ln a Satz 3.2 b) = e x ln a e y ln a = a x a y , womit die erste Gleichung bewiesen ist. Aufgabe 3.3: Beweisen Sie die übrigen Gleichungen von Satz 3.7. Satz 3.8 (Auflösung von Exponentialgleichungen): Für a, b > 0 und a ≠ 1 gilt a x = b ⇔ x = ln b ln a . Beweis: a x = b Satz 3.1 ⇔ ln(a x ) = ln b Satz 2.3 d) ⇔ x ln a = ln b ⇔ x = ln b ln a . Beispiel 3.4: Wir wenden uns erneut der Frage zu, nach welcher Zeit die Seerose aus Beispiel 1.1 auf das Zehnfache angewachsen ist. Wie wir im 1. Kapitel gesehen haben, ist hierfür die Gleichung 2 x ln 10 = 10 zu lösen. Mit Satz 4 folgt x = ln 2 ≈ 3,322. Nach etwa 3,3 Tagen bedeckt die Seerose also eine Fläche von 6 m 2 . Beispiel 3.5 (Halbwertszeit): Der Zerfall eines radioaktiven Stoffes lässt sich mit der Exponentialfunktion m(t) = m 0 a t beschreiben. Dabei ist m(t) die nach t Zeiteinheiten noch übrige Masse, m 0 die Masse zur Anfangszeit t = 0 und a (0 < a < 1) der Anteil des Stoffes, der nach Ablauf einer Zeiteinheit noch übrig ist. Als Halbwertszeit T bezeichnet man die Zeit, nach deren Ablauf noch genau die Hälfte des Stoffes vorhanden ist. Man berechnet: m 0 a T = m 0 2 ⇔ a T = 1 2 Satz 3.8 ⇔ T = ln 1 2 ln a . Beispiel 3.6 (Schnittstellenberechnung): Die Funktionen f(x) = 3 · 0,7 x und g(x) = 2 · 4 x sollen auf Schnittstellen untersucht werden. Wir erhalten: f(x) = g(x) ⇔ 3 · 0, 7 x = 2 · 4 x ⇔ 0, 7x 4 x = 2 3 Satz 3.7 ⇔ ( ) 0, 7 x = 2 4 3 Satz 3.8 ⇔ x = ln 2 3 ln 7 40 ≈ 0, 23. 10
Satz 3.9: Ist f(x) = a x mit a ∈ R >0 \ {1}, so ist f umkehrbar mit f −1 (x) = ln x ln a . Beweis: Satz 3.8 in Verbindung mit Definition 4.1 (Skript Integralrechnung). Definition 3.2: Für a ∈ R >0 \ {1} setzt man auch ln x ln a =: log a x. Die Funktion log a : R >0 → R wird auch Logarithmus(funktion) zur Basis a genannt. 11
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Seite 3 und 4: Definition 1.2: a heißt Basis, x h
Seite 5 und 6: heißt (natürliche) Logarithmusfun
Seite 7 und 8: Bemerkung 2.2: Für die Euler’sch
Seite 9: c) Die e-Funktion ist streng monoto
Seite 13 und 14: Graph zu f aus Beispiel 4.2. Beispi
Seite 15 und 16: ) Nullstellen: Für x ∈ D f gilt
Seite 17 und 18: f ′ lim (x 0 ) g ′ (x 0 ) = f(x

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