Skript Exponentialfunktion und Logarithmus.pdf - Goethe Oberschule

Definition 1.2: a heißt Basis, x heißt Exponent der Potenz a x .
Definition 1.3: Es sei a ∈ R >0 . Die Funktion f : R → R mit f(x) = a x heißt Exponentialfunktion
zur Basis a.
Die Graphen der Exponentialfunktionen f(x) = 2 x und g(x) = 0,8 x .
Beispiel 1.2: Plutonium 243 ist radioaktiv, d. h. ständig zerfallen Atome des Elements.
Angenommen, zu Beginn der Beobachtungszeit läge eine Probe von 10 mg vor. Könnte man
in den folgenden Tagen die Masse des noch übrigen Plutoniums bestimmen, so ergäbe sich
folgende Tabelle:
Zeit t in Tagen 0 1 2 3 4 5 6 7
Masse m 10 8,69 7,56 6,57 5,71 4,97 4,32 3,76
Man stellt fest, dass der Anteil der Masse im Vergleich zur Vortagesmasse (im Rahmen
der Rundungsgenauigkeit) immer dieselbe ist, d. h. es gilt 8,69
10
≈ 7,56
8,69 ≈ 6,57
7,56
≈ · · · ≈ 0, 87.
Es zerfallen damit jeden Tag 13 % des Stoffes, während 87 % übrig bleiben. Daher kann
man den Zerfallsprozess mit einer Exponentialfunktion der Form m(t) = ca t beschreiben. m
ist dabei die zeitabhängige Masse in g, t die Zeit in Tagen. Der nach einer Zeiteinheit noch
übrige Anteil (0,87) wird als Basis a verwendet, der Anfangswert zur Zeit t = 0, m 0 = 10,
als Faktor c. Es ist also m(t) = 10 · 0,87 t . 1
Beispiel 1.1 (Fortsetzung): Bei der Seerose soll festgestellt werden, nach welcher Zeit die
Fläche auf das Zehnfache, also auf 6 m 2 angewachsen ist. Dies führt auf die Gleichung
A(x) = 6, d. h. 0, 6 · 2 x = 6.
Division durch 0,6 führt auf 2 x = 10. Durch Probieren mit dem Taschenrechner erhalten wir
die Annäherung:
x 2 3 4 3,5 3,3 3,35 3,32
2 x 4 8 16 11,31 9,85 10,20 9,99
Die Lösung müsste also bei etwa 3,32 liegen. Um ohne Probieren zur Lösung zu kommen,
müsste man die Gleichnug 2 x = 10 nach x auflösen. Dies ist uns jedoch nicht möglich, da
uns eine entsprechende Umformungsregel fehlt. Diese erhalten wir jedoch, wenn wir eine neue
Funktion einführen: die Logarithmusfunktion.
1 Zur Halbwertszeit vgl. unten 4.2 Beispiel 3.
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