Skript Exponentialfunktion und Logarithmus.pdf - Goethe Oberschule

4 Funktionsuntersuchungen
4.1 Exponentialfunktion
Beispiel 4.1 (Nullstellenberechnung): Die folgenden Funktionen werden auf Nullstellen
untersucht: a) f(x) = e x + e −x , b) f(x) = e x − 2e −x , c) f(x) = (x 2 − 4)e 3x .
Zu a): f(x) = }{{} e x + }{{} e −x > 0. Die Funktion besitzt keine Nullstellen, da beide Summanden
stets positiv
>0 >0
sind.
Zu b): e x −2e −x = 0 ⇔ e x = 2e −x |·e x ⇔ e 2x = 2 | ln ⇔ 2x = ln 2 ⇔ x = ln 2
2 .
Die Multiplikation mit e x ist eine Äquivalenzumformung, da e x niemals gleich 0 ist.
Zu c):
(x 2 − 4) }{{} e 3x = 0 ⇔ x 2 − 4 = 0 ⇔ x = −2 oder x = 2.
>0
Beispiel 4.2 (Extrem- und Wendepunkte): Die Funktion f mit
f(x) = xe 2x (x ∈ R)
wird auf Extrem- und Wendepunkte untersucht. Hierzu werden zunächst die ersten drei Ableitungen
mit der Produktregel bestimmt:
ˆ Extrempunkte:
f ′ (x) = e 2x + x · 2e 2x = (1 + 2x)e 2x ,
f ′′ (x) = 2e 2x + (1 + 2x) · 2e 2x = (4 + 4x)e 2x ,
f ′′′ (x) = 4e 2x + (4 + 4x) · 2e 2x = (12 + 8x)e 2x .
f ′ (x) = 0 ⇔ (1 + 2x) }{{} e 2x = 0 ⇔ 1 + 2x = 0 ⇔ x = − 1 2 .
>0
f ′′ (− 1 2 ) = (4 − 2)e−1 = 2e −1 > 0, daher liegt ein relatives Minimum vor. Mit f(− 1 2 ) =
− 1 2 e−1 = − 1 2e erhalten wir T (− 1 2 | − 1 2e
) als Tiefpunkt.
ˆ Wendepunkte: Ähnlich wie oben erhalten wir f ′′ (x) = 0 ⇔ 4+4x = 0 ⇔ x = −1 und
f ′′′ (−1) = 4e −2 ≠ 0. −1 ist also eine Wendestelle von f. Mit f(−1) = −e −2 erhalten
wir W (−1| − e −2 ) als Wendepunkt.
12