Skript Exponentialfunktion und Logarithmus.pdf - Goethe Oberschule

c) Die e-Funktion ist streng monoton steigend.
d) ∫ e x dx = e x + c.
Beweis: Zu a) Es gilt exp −1 = ln : R >0 → R, also exp : R → R >0 .
Zu b) Die Umkehrfunktion ln ist differenzierbar und es gilt [ln x] ′ = 1 x ≠ 0. Nach der
Umkehrregel (Skript Integralrechnung, Satz 4.5) ist daher die e-Funktion differenzierbar,
und es gilt (mit f −1 (x) = ln x)
[e x ] ′ =
1
(f −1 ) ′ (e x ) = 1 1
e x = e x .
Zu c)* Folgt mit dem Monotoniekriterium aus a) und b).
Zu d) Folgt aus b).
Bemerkung 3.2: Die Ableitung zu e x kann man sich auch wie folgt klarmachen: Nach
Satz 2.5 gilt ln(e x ) = x. Leitet man beide Seiten der Gleichung ab, so erhält man 1
e
·[e x ] ′ = 1,
x
wobei links die Kettenregel benutzt wurde. Multipliziert man mit e x , so erhält man [e x ] ′ = e x . 6
Aufgabe 3.2: Für eine Funktion f : R → R gelte f ′ = f. Beweisen Sie: Dann gibt es ein
c ∈ R mit f(x) = ce x .
Hinweis: Betrachten Sie g(x) := f(x) · e x und dessen Ableitung.
Beispiel 3.1: ∫ e 4x = 1 4 e4x + c, denn nach der Kettenregel gilt: [ 1 4 e4x ] ′ = 1 4 · 4e4x = e 4x .
Beispiel 3.2*: ∫ xe x dx wird mit partieller Integration berechnet. Wir setzen u ′ (x) = e x ,
v(x) = x und damit u(x) = e x und v ′ (x) = 1. Damit ist
∫
∫
xe x dx = xe x − e x dx = xe x − e x + c = (x − 1)e x + c.
3.2 Verallgemeinerung von e x auf a x
Satz 3.5: Für a > 0 gilt
a x = e x ln a .
Beweis: Nach Satz 3.3 a) und b) gilt a x = (e ln a ) x = e x ln a .
Bemerkung 3.3: Für jede Funktion der Form f(x) = ca x gibt es d, k ∈ R mit f(x) = de kx
(x ∈ R). Man braucht nur d = c und k = ln a zu setzen. So lassen sich Berechnungen bei
allgemeinen Exponentialfunktionen immer auf die e-Funktion zurückführen. In der wissenschaftlichen
Anwendung (z. B. radioaktiver Zerfall, Newton’sches Abkühlungsgesetz) werden
nur Funktionen mit e als Basis benutzt.
Satz 3.6: Für a > 0 und x ∈ R gilt
a) [a x ] ′ = ln a · a x ,
b) a ≠ 1 ⇒ ∫ a x dx = ax
ln a + c.
6 Hierbei wurde die Existenz der Ableitung [e x ] ′ vorausgesetzt.
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