Newtons Gravitationsgesetz â aus Formeln wird eine Idee

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Das erste Thema der Principia (und die Überlegungen zu Beginn von de Motu) lassen bereits ahnen, welche Bedeutung der Flächensatz später in der Newtonschen Mechanik gewinnen sollte. Dort wird bewiesen, daß sich die Planetenbewegungen, die diesem Keplerschen Gesetz gehorchen, als Folge einer Zentripetalkraft beschreiben läßt. Der Beweis hat drei Teile und zeigt, wie gut Newton Hookes Technik der Zerlegung gekrümmter Bewegungen in eine Inertialkomponente und eine Zentripetalkomponente inzwischen gelernt hatte (Bild 7). Im ersten Teil des Beweises betrachtet Newton einen Körper, der sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Die Bahngerade ist in gleiche Abschnitte geteilt, die andeuten, daß der Körper in gleichen Zeiten gleiche Entfernungen zurücklegt. Oberhalb der Geraden wird im Abstand h ein Punkt P gewählt und mit den Endpunkten der Geradenabschnitte verbunden. Die entstehenden Dreiecke haben alle die gleiche Fläche, da sie gleiche Grundseiten und die gleiche Höhe h haben (Büd 7). Mit Hilfe dieses einfachen Beweisschrittes erhielt Newton eine unerwartete Beziehung zwischen der Trägheit eines Körpers und dem Flächensatz. Im zweiten Teil des Beweises betrachtet Newton wiederum einen zunächst geradlinig gleichförmig bewegten Körper, der diesmal jedoch am Ende des zweiten Abschnittes einen Kraftstoß in Richtung auf P erfährt. Daher folgt der Körper im dritten Abschnitt nicht mehr der ursprünglichen Flugbahn, sondern einer anderen Geraden. Während sich der Körper anfangs von P entfernte, hat er an den beiden Endpunkten des dritten Abschnitts nahezu den gleichen Abstand von P. Newton zeigte geometrisch, daß die beiden Dreiecke, deren Grundseiten der zweite und dritte Bahnabschnitt sind, die gleiche Fläche haben. Im dritten Teil des Beweises wird ein Körper betrachtet, der am Ende eines jeden Abschnittes einen Kraftstoß in Richtung P erfährt und sich daher längs eines Streckenzuges um P bewegt. Wieder stimmt die Flächenbeziehung. Wenn die Abschnitte immer kleiner werden und im Grenzfall das Zeitintervall zwischen den Stößen gegen Null strebt, wird der Strek-kenzug zu einer glatten Kurve – zu einer Umlaufbahn, und die Folge von Stößen geht in eine kontinuierliche Kraft in Richtung auf P über. Auf diese Weise bewies Newton, daß eine Zentralkraft einen Körper in eine solche Umlaufbahn zwingt, daß der Flächensatz immer erfüllt ist. Das zweite Thema der Principia ist der Beweis der umgekehrten Behauptung: Eine Bahnbewegung, die den Flächensatz erfüllt, geht auf eine Zentripetalkraft zurück, die umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes vom Bewegungszentrum ist. Indem Newton beide Behauptungen bewies, zeigte er, daß der Flächensatz die notwendige und hinreichende Bedingung für eine Inertialbewegung unter dem Einfluß einer Zentralkraft ist. Die beiden Beweise sind Teil einer Argumentationskette, die mit dem Flächensatz beginnt und mit dem Beweis endet, daß eine elliptische Bahnkurve nur dann Zustandekommen kann, wenn eine Zentripetalkraft wirkt, die umgekehrt proportional zum Abstandsquadrat ist. Die vollständige Beweiskette ist in den Principia und in de Motu zusammengefaßt und markiert einen tiefen Einschnitt in der Geschichte der exakten Naturwissenschaften. Newton führt damit eine völlig neue Beschreibung der Himmelsbewegungen ein, der neue Vorstellungen und Begriffe von Kraft, Impuls, Masse und Trägheit zugrundeliegen und die eine neue Maßeinheit für die Kräfte in der Dynamik einschloß. Newton erreichte damit das Ziel, das Kepler mit dem Untertitel der Astronomia Nova umrissen hatte: „eine Himmelsphysik die auf Ursachen gründet.“ Kepler selbst hatte nur eine vage Vorstellung von einem umfassenden Gebäude der Physik, und weder Galilei noch Descartes haben jemals eine derart umfassende Himmelsdynamik für möglich gehalten. Die Newtonschen Formulierungen stellten sogar die Arbeiten des großen Physikers Huygens weit in den Schatten. Die Zentripetalkraft und das Konzept einer universellen Massenanziehung Aus dem frühen Entwurf von de Motu, den Newton vermutlich im November 1684 geschrieben hat, geht klar hervor, daß er das Konzept einer universellen Gravitation zu diesem Zeitpunkt noch nicht entwickelt hatte. In dem Entwurf diskutiert er die Auswirkungen einer Zentripetalkraft, die zum Brennpunkt einer Ellipsenbahn gerichtet ist und schließt mit folgender Bemerkung: „Daher laufen die Hauptplaneten in Ellipsen um, die einen Brennpunkt im Zentrum der Sonne haben, und die Radien zur Sonne überstreichen Flächen, die proportional zu den Zeiten sind, ganz so wie es Kepler behauptet hat.“ Bild 8 zeigt die entsprechende Manuskriptseite von de Motu. Newton bewies seine Bemerkung nicht und glaubte auch nicht lange daran, und in der Tat ist sie falsch. Wie Newton schon bald merkte, bewegen sich die Planeten nicht auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Vielmehr liegt der Brennpunkt im gemeinsamen Massenzentrum des Planetensystems, weil nicht nur die Sonne jeden Planeten, sondern auch jeder Planet die Sonne (und alle anderen Planeten) anzieht. Hätte Newton schon damals das Prinzip der allgemeinen Massenanziehung klar vor Augen gehabt, so wäre ihm diese fehlerhafte Bemerkung wohl kaum unterlaufen. Newton erkannte schnell, daß er mit seinen Beweisen noch nicht gezeigt hatte, daß die Planetenbewegungen das Keplersche Gesetz von den elliptischen Umlaufbahnen und den Flächensatz exakt Perihel P 1 Sonne Planetenposition P Aphel Bild 5: Nur im Aphel und im Perihel ist die Bahngeschwindigkeit der Planeten umgekehrt proportional zum Abstand zwischen der Sonne und den Planeten. Für alle anderen Planetenpositionen gilt, dies nicht Allerdings ist die Bahngeschwindigkeit immer umgekehrt proportional zu einem Abstand P 1 P, den man geometrisch wie folgt konstruieren kann: Man zeichnet an den Punkt P der Ellipse, der der Planetenposition zu einem vorgegebenen Zeitpunkt entspricht, eine Tangente. Außerdem zieht man durch den Brennpunkt (auf Seiten der Sonne) eine Gerade senkrecht zur Längsachse der Ellipse. Der Schnittpunkt P 1 der Senkrechten (gestrichelte Linie) mit der Tangente definiert dann den Abstand P 1 P. 106 Spektrum der Wissenschaft, Mai 1981
erfüllen. Er hatte lediglich herausgefunden, daß beide Gesetze für ein EinKörper-System gelten, also in einem System, bei dem eine bewegte Punktmasse mit einer Inertialkomponente einem zentralen Kraftfeld ausgesetzt ist. Newton war sich bewußt, daß das Ein- Körper-System nicht den tatsächlichen Verhältnissen entspricht, sondern einer idealisierten Situation, die sich mathematisch besonders einfach untersuchen läßt. In einem solchen Ein-Körper-System erscheint beispielsweise die Erde als Punktmasse und die Sonne als ein unbewegliches Kraftzentrum. Was Newton schließlich dazu befähigte, über das Ein-Körper-System hinauszukommen, war die konsequente Anwendung seines Perihel P 5 Sonne „leerer“ Brennpunkt Aphel Bild 6: Während des siebzehnten Jahrhunderts berechneten die Astronomen die Planetenpositionen in der Regel mit Hilfe dieser geometrischen Konstruktion: Man betrachtete einen Strahl (oder Radiusvektor), der vom „leeren" Brennpunkt der elliptischen Planetenbahn ausging und gedreht wurde. Dabei entsprachen gleiche Winkel gleichen Zeitabständen. Eine Umdrehung des Radiusvektors simulierte gleichsam einen Umlauf des Planeten. Die Punkte, an denen der Radiusvektor die Ellipse zu vorgegebenen aufeinanderfolgenden Zeitpunkten schneidet, entsprechen aufeinanderfolgenden Planetenpositionen (P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , P 5 ). Im Aphel liegen die Positionen dichter beieinander, als im Perihel, das heißt der Planet bewegt sich im Perihel schneller. Damit die berechneten Positionen exakt mit den beobachteten übereinstimmten, mußte man einen Korrekturfaktor anwenden. Dieses Verfahren erlaubt keine so genaue Bestimmung der Planetenpositionen wie der Flächensatz von Kepler, der damals jedoch kaum Beachtung fand. Der Flächensatz besagt, daß ein Radiusvektor, der von der Sonne ausgeht, in gleichen Zeiten gleiche Flächen überstreicht. dritten Bewegungsgesetzes: actio gleich reactio. Dieses Gesetz ist vielleicht das originellste seiner drei Bewegungsgesetze (die beiden anderen sind der Trägheitssatz und das Kraftgesetz). Wie neuartig die Vorstellung war, die dieses Reaktions-Prinzip ausdrückt, mag man daran ablesen, daß es sogar heute noch vielfach als Gleichgewichtsbedingung angesehen wird und dann nicht korrekt für eine Stoßsituation oder die Wechselwirkung von Körpern angewendet wird. Aus welchen Überlegungen sich Newtons Vorstellungen von actio und reactio entwickelten, spiegeln die einleitenden Abschnitte des ersten Buches der Principia. In der Einleitung zum elften Kapitel erläutert Newton das so: „Bis jetzt habe ich die Bewegung solcher Körper auseinander gesetzt, welche nach einem unbeweglichen Centrum hingezogen werden, ein Fall, der kaum in der Natur existiert. Es pflegen nämlich Anziehungen auf Körper stattzufinden, jedoch sind die Wirkungen der ziehenden und der angezogenen Körper nach dem dritten Gesetze stets wechselseitig und einander gleich, so daß weder der anziehende noch der angezogene Körper ruhen kann, sondern, wenn ihrer zwei sind, beide sich gleichsam durch wechselseitige Anziehung um den gemeinschaftlichen Schwerpunkt drehen. Sind mehr Körper vorhanden (welche entweder durch einen einzigen angezogen werden oder einander wechselseitig anziehen, so müssen diese sich so bewegen, daß ihr gemeinschaftlicher Schwerpunkt entweder ruhet oder sich gleichförmig längs einer geraden Linie beweget. Aus diesem Grunde fahre ich fort, die Bewegung von Körpern zu erklären, welche sich wechselseitig anziehen, indem ich die Centri-petalkräfte als Anziehungen betrachte, obgleich sie vielleicht, wenn wir uns der Sprache der Physik bedienen wollen, richtiger Anstösse genannt werden müßten. Wir befinden uns nämlich jetzt auf dem Gebiete der Mathematik und wir bedienen uns deshalb, indem wir physikalische Streitigkeiten fahren lassen, der uns vertrauten Benennung, damit wir von mathematischen Lesern um so leichter verstanden werden.“ Wenn die Sonne an der Erde zieht, so muß die Erde — wie Newton erkannte — ihrerseits mit einer Kraft gleicher Größe an der Sonne ziehen. In einem solchen Zwei-Körper-System bewegt sich die Erde nicht auf einer einfachen Bahn um die Sonne, sondern Erde und Sonne bewegen sich um ihr gemeinsames Gravitationszentrum. Aus dem Gesetz von actio gleich reactio folgt weiterhin, daß jeder Planet beides ist, das Zentrum einer Anziehungskraft und zugleich ein angezogener Körper. Daher zieht ein Planet nicht nur die Sonne an, sondern auch jeden anderen Planeten, und er wird selbst nicht nur von der Sonne angezogen, sondern auch von allen anderen Planeten. Mit diesen Überlegungen hat Newton den entscheidenden Schritt von der Wechselwirkung in einem Zwei-Körper-System zur Wechselwirkung in einem Vielkörper-System vollzogen. Im Dezember 1684 schloß Newton die überarbeitete Fassung von de Motu ab und beschrieb darin die Planetenbewegung auf dem Hintergrund der Wechselwirkungen in einem Vielkörper-System. Anders als in dem ursprünglichen Entwurf zieht Newton nunmehr den Schluß, daß „sich die Planeten weder genau auf Ellipsen bewegen, noch zweimal in der gleichen Umlaufbahn umlaufen". Und weiter: ,,Es gibt so viele Umlaufbahnen für einen Planeten, wie viele Male er umläuft – ganz so wie bei der Mondbewegung. Und die Umlaufbahn jedes Planeten hängt von den Bewegungen aller Planeten ab, ganz zu schweigen von den Wirkungen, die sie alle wechselseitig aufeinander ausüben." Dann schrieb er: „Es würde, wenn ich mich nicht irre, die Grenzen des menschlichen Erkenntnisvermögens übersteigen, all diese Ursachen der Bewegung zugleich zu berücksichtigen und diese Bewegungen durch genaue Gesetze zu beschreiben, die praktisch durchführbare Berechnungen erlauben.“ Es gibt keine Dokumente, die belegen, wie Newton in den Wochen zwischen der Niederschrift des ersten Entwurfs von de Motu und der revidierten Fassung zu der Erkenntnis gelangte, daß alle Planeten einander wechselseitig anziehen. Doch ist die oben zitierte Passage von den „Wirkungen, die sie (die Planeten) alle wechselseitig aufeinander ausüben" im lateinischen Originaltext: „Eorum omnium actiones in se invicem“ unmißverständlich. Eine Konsequenz der wechselseitigen Anziehung ist, daß die drei Keplerschen Gesetze in der physikalischen Welt nicht exakt gelten. Sie sind vielmehr nur im Rahmen eines mathematischen Modells wahr, bei dem man voraussetzt, daß die bewegten Punktmassen nicht aufeinander wirken, sondern unabhängig voneinander entweder um ein Kraftzentrum oder um einen ruhenden, sie anziehenden Körper kreisen. Newton unterscheidet zwischen dem „Gebiete P 4 P 3 P 2 P 1 Spektrum der Wissenschaft, Mai 1981 107
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Seite 9 und 10: Sonne hingezogen, sondern es gibt n
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