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Seminar SS2008
Banachalgebren
R. Nagel
U. Groh
4. Positive Elemente und positive Linearformen einer C ∗ -Algebra
Man stelle anhand von Sakai [13], 1.4. und 1.5. die wesentlichen Eigenschaften positiver Elemente
einer C ∗ -Algebra und positiver Linearformen zusammen. Ergänzungen und Vertiefungen
findet man in M. Takesaki [16] oder J. Dixmier [7]. Insbesondere erläutere man den Fortsetzungssatz
für positive Linearformen, den man in [13] findet.
Anmerkung: Ordnungstheoretische Eigenschaften bedingen manchmal, dass A kommutativ ist.
So bedeutet z.B. die Eigenschaft: Aus 0 6 x 6 y folgt stets 0 6 x 2 6 y 2 für alle x, y ∈A + ,
dass A eine kommutative C ∗ -Algebra ist (Gegenbeispiel).
5. Eigenschaften der Einheitskugel einer C ∗ -Algebra
Betrachtet man die Einheitskugel der C ∗ -Algebra c 0 aller Nullfolgen, so hat die Einheitskugel
keine Extremalpunkte (als konvexe Menge). Gleiches gilt für die C ∗ Algebra K(H) aller kompakten
Operatoren auf einem unendlichdimensionalen Hilbertraum (Man zeige dies).
Darum ist es um so erstaunlicher, dass für eine C ∗ -Algebren A folgendes gilt:
1. Die Einheitskugel A 1 von A hat genau dann (mindestens) einen Extremalpunkt, wenn A
einen Einheit hat.
2. Die positiven Extremalpunkte von A 1 sind die Projektionen von A.
3. Die Extremalpunkte von A 1 ∩A h sind gerade die selbstadjungierten, unitären Elemente
von A.
4. A 1 ist die (norm-)abgeschlossene, konvexe Hülle der Gruppe der unitären Elemente von
A (Satz von Russo-Dye)
5. Ein Element x ∈A 1 ist genau dann ein Extremalpunkt, wenn
gilt
(1 − uu ∗ )A(1 − u ∗ u) = 0
Für diesen Sachverhalt und die Beweise siehe [13], [16] oder [9], Seite 276ff .
6. Approximative Eins und Quotientenalgebren einer C ∗ -Algebra
Eine Klasse ausgezeichneter Unteralgebren einer Algebra sind die sogenannten Ideale. Dabei
versteht man unter einem Ideal I einer Algebra A eine Unteralgebra mit der Eigenschaft, dass
xy ∈ I und yx ∈ I gilt für alle x ∈ I und y ∈A.
Betrachtet man die C ∗ -Algebra c 0 als Unteralgebra der C ∗ -Algebra ¸∞, so ist c 0 ein Ideal in ¸∞.
Gleiches gilt für die Algebra K(H) der kompakten Operatoren auf einem unendlichdimensionalen
Hilbertraum H. Nicht offensichtlich ist, dass Ideale in C ∗ -Algebren auch abgeschlossen
bezüglich der *-Operation sind, d.h. mit x ∈ I auch x ∗ ∈ I gilt.
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