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Seminar SS2008 Banachalgebren R. Nagel U. Groh Literatur hierzu ist [16], Theorem 1.9.18 und Theorem 1.9.22. Siehe auch [9], Seite 305ff. Als Beispiele sollen die Übungsaufgaben [16] 1.9 Exercise 4, 5 und 6 besprochen werden. 9. Endlichdimensionale C ∗ -Algebren Anhand von [16] 1.11. soll der endlichdimensionale Fall dargestellt werden. 10. Von Neumann Algebren und der von Neumannsche Bi-Kommutantensatz Ausgangspunkt der Theorie der von Neumann-Algebren (Rings of Operators bei von Neumann), ist eine Arbeit aus dem Jahr 1929 ([17]). Die Theoretische Physik und vor allem die gerade entstandene Quantenmechanik war die Motivation für ihn, sich mit diesen speziellen Unteralgebren von L(H) zu beschäftigen. Der Name von Neumann-Algebra stammt von J. Dixmier, der Name W ∗ -Algebra stammt von J. Dieudonne. Beide werden parallel verwendet und stehen für das gleiche Objekt. Das erste, wichtige Ergebnis findet sich in [17] und ist das sogennte Bi-Kommutanten Theorem von von Neumann. Dieses verbindet eine algebraische Eigenschaft mit einer topologischen. Ist A⊆L (H), dann ist die Kommutante A c von A definiert als A c := {S ∈L(H) | ST = TS ∀T ∈ A}. Es sei nun A eine *-Unteralgebra von L(H) und 1 ∈A. Dann sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent: 1. Toplogische Eigenschaft: A ist abgeschlossen in der schwachen (starken) Operatortopologie 2. Algebraische Eigenschaft: A ist gleich der Kommutanten (A c ) c seiner Kommutanten A c Als unmittelbare Konsequenz hieraus folgt, dass jede W ∗ -Algebra (als Banachraum) ein dualer Banachraum ist. Es gilt aber auch die Umkehrung: Jede C ∗ -Algebra, die dualer Banachraum ist, ist isomorph zu einer W ∗ -Algebra auf einen geeigneten Hilbertraum H. In einer Reihe von weiteren Arbeiten ([11]) hat nun von Neumann zusammen mit Murray eine Klassifikationstheorie für diese Algebren entwickelt, die erst in den 80’er Jahren des 20. Jahrhunderts einen Abschluss mit den Arbeiten von A. Connes und M. Takesaki gefunden hat. In den nächsten Vorträgen werden wir uns mit dieser Theorie auseinander setzen. Zum Verständnis der folgenden Vorträge ist es erforderlich, dass sich alle Teilnehmer des Seminars mit den verschiedenen Begriffen von Operatortopologien auf L(H) auseinander setzen ([16], II.1 und II.2 oder jedes andere Buch über Funktionalanalysis, etwa [9] oder [18]). 6
Seminar SS2008 Banachalgebren R. Nagel U. Groh In dem Vortrag selbst soll das Theorem [16], II.3.9. und Satz II.3.20 besprochen werden. 11. Kommutative W ∗ -Algebren Da jede W ∗ -Algebra bereits eine C ∗ -Algebra A mit Einheit ist, kann man den Darstellungssatz von Gelfand anwenden und A als C(K) für einen geeigneten kompakten Raum K darstellen. Frage ist nun, wie sich dieser Raum K bei einer W ∗ -Algebra von dem K bei einer C ∗ -Algebra, die nicht W ∗ -Algebra ist, unterscheidet (etwa C([0, 1]) und ¸∞). Eine Antwort hierauf gibt [16], III.1.2 und III.1.7. Siehe auch [13], 1.18 . 12. Murray - von Neumann Klassifizierung von W ∗ -Algebren Aus dem, was bisher erarbeitet wurde, kann man entnehmen, dass die Bausteine jeder W ∗ - Algebra die unitären Elemente und die Projektionen sind (warum ist dem so). Diese Beobachtung hat zu der folgenden Definition geführt: Es sei A eine W ∗ -Algebra und P(A) die Menge der Projektionen in A. Dann ist P(A) ein vollständiger Verband bezüglich der Relation p 6 q :↔ p · q = p Zwei Projektionen p, q ∈P(A) heißen äquivalent, wenn es ein u ∈A gibt, mit u ∗ u = p und uu ∗ = q. Man schreibt dann p ∼ q. Ist p äquivalent zu einer Projektion p 1 mit p 1 6 q in dem Verband P(A), dann schreibt man p . q. Für W ∗ -Algebren A, mit A∩A c = C, den sogenannten Faktoren 1 gilt folgender Satz: (Murray und von Neumann): Es sei A ein Faktor mit separablen Prädual. Dann gibt es eine Abbildung D von der Menge der Projektionen von A nach [0, ∞] so dass folgendes gilt: 1. p ∼ q ⇔ D(p) =D(q) 2. pq =0 ⇒ D(p + q) =D(p)+D(q) 3. p ist endlich, d.h. p ∼ q und q 6 p impliziert p = q, dann gilt D(p) < ∞ Es zeigt sich, dass das Bild von D (bis auf Normalisierung) eine der folgenden Mengen ist: • {1, 2, .., n}: In diesem Fall heißt A vom Typ I n • {1, 2, .., ∞}: In diesem Fall heißt A vom Typ I ∞ • [0, 1]: In diesem Fall heißt A vom Typ II 1 • [0, ∞]: In diesem Fall heißt A vom Typ II ∞ • {0, ∞}: In diesem Fall heißt A vom Typ III 1 Ist A ⊆ L(H) ein Faktor, so gilt (A∪A c )=L(H) 7
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