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Seminar Banachalgebren
Sommersemester 2008
Prof. Dr. Rainer Nagel
rana @ fa.uni-tuebingen.de
Dr. Ulrich Groh
ulgr @ fa.uni-tuebingen.de
Tübingen, Januar 2008
Einleitung
Sei H ein Hilbertraum und L(H) der Banachraum der beschränkten, linearen Operatoren auf H.
Ist A ein Teilmenge von L(H), die abgeschlossen bezüglich Addition, Multiplikation, Multiplikation
mit Skalaren und unter der Adjungiertenbildung, und welche auch eine abgeschlossene
Teilmenge von L(H) bezüglich der Normtopologie (= Operatortopologie), so nennt man A eine
C ∗ -Algebra.
Die Theorie der C ∗ -Algebren begann 1943, als Gelfand und Naimark zeigten, dass man solche
Klassen von Banachalgebren mit einer Involution abstrakt durch einfache Axiome definieren
kann.
Eine wichtige Unterklasse der C ∗ -Algebren (auf Hilberträumen) sind diejenigen, die zusätzlich in
der schwachen Operatortoplogie von L(H) abgeschlossen sind. Man nennt solche C ∗ -Algebren
von Neumann-Algebren oder W ∗ -Algebren.
Ein historischer Überblick findet sich in dem Buch von Dieudonné [5] oder im Anschluss an die
Einführung in die Theorie der Banachalgebren bei [18]. Die Theorie der W ∗ -Algebren hat einen
intensiven Einfluss auf die Physik. Siehe hierzu die Einleitung zu [2].
Die Literatur zur Theorie der C ∗ - und W ∗ -Algebren ist vielfältig. Zu den Klassikern gehören:
• Die Bücher [7] und [6] von J. Dixmier,
• Der Band [1] aus der Reihe von N. Bourbaki oder die Übersicht von J. Dieudonné [4],
• Die Monographie von S. Sakai [13].
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Die Entwicklungen der 70’er und 80’er Jahre des letzten Jahrhunderts finden sich in [15], [16]
oder [12]. Eine Übersicht über die Entwicklungen nach diesen Jahren kann man in [3] nachlesen.
In unserem Seminar werden wir als Basisliteraur das Buch von M. Takesaki [16] verwenden.
Als sinnvolle Ergänzung bieten sich aber die o.g. Bücher an. Insbesondere in [4], [10] und [18]
finden sich eine Reihe von nützlichen Aufgaben. Zu empfehlen ist auch [8].
Voraussetzungen zum Besuch des Seminars
Voraussetzung sind gute Kenntnisse in Funktionalanalysis. Alle weiteren Grundbegriffe, die für
den Besuch des Seminars erforderlich sind, finden sich in [2], Kapitel 2.1. und 2.2., [9], [10] oder
[18]
Ablauf der Vorträge
Für den Vortrag sind 60 Minuten einzuplanen mit weiteren 30 Minuten für die Diskussion von
Beispielen und weiteren Details. Dabei ist geplant, das Seminar in Form einer Kompaktveranstaltung
abzuhalten. Um allen Teilnehmern die Teilnahme und das Verständnis der Vorträge zu
erleichtern, ist eine Ausarbeitung der Vorträge erwünscht, die in Form von ”
Handouts“ verteilt
werden.
Was ist sonst noch zu beachten:
• Es soll für die Zuhörer und Mitdenker vorgetragen werden.
• Der Vortrag ist keine Prüfung sondern die Gelegenheit soll genutzt werden, das Erarbeitete
den anderen zu vermitteln.
• Zentrale Punkte wiederholen (was ist wichtig, was ist Beiwerk), Zusammenhänge erklären
(warum mache ich das jetzt) und Verbindungen zu bereits gehaltenen Vorträgen und
Themen herstellen.
• Die Zeit einhalten und vorbereitet für die Diskussion sein (Beispiele, Gegenbeispiele etc.).
Themen
1. Kommutative Banachalgebren: Der Satz von Gelfand
Nach einer allgemeinen Einführung in die Theorie der Banchalgebren und deren elementaren
Eigenschaften starten wir mit der Klassifizierung der kommutativen Banachalgebren A, d.h. solchen
Algebren, bei denen die Multiplikation kommutativ ist. Beispiele solcher Algebren sind die
Folgenräume ¸∞ oder ¸2 mit der komponentenweisen Multiplikation oder der Raum C(K) der
stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum K.
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Der Vortrag soll der Einführung von [4], Kapitel 15 folgen. Ergänzungen findet man in [16], I.3.
folgen.
Anmerkung:
• Es werden mehrere Vorträge vergeben. Details hierzu in der Vorbesprechung
• Es wird Wert auf Beispiele gelegt. Diese findet man in [18] oder [4].
• In der Diskussion soll gezeigt werden, warum die Behauptung von [4], Aufgabe 15.3.5
gilt.
2. Spektrum und Funktionalkalkül von Elementen einer C ∗ -Algebra
Basis für diesen Teil ist wieder [16]. Bitte Aufgabe [16], 4.5 und 4.6 mit besprechen.
3. Spezielle Elemente einer C ∗ -Algebra
In jeder C ∗ -Algebra A gibt es ausgwählte Elemente. Diese sind:
• Normale Elemente: Ein Element x ∈ A heißt normal, wenn x ∗ x = xx ∗ gilt. Solche
Elemente erzeugen in A eine kommutative C ∗ -Unteralgebra und wir können daher auf
solche Elemente die Theorie von Gelfand anwenden.
• Selbstadjungierte Elemente: Ein Element x ∈A heißt selbstadjungiert,wenn x ∗ = x gilt.
Die selbstadjungierten Elemente einer C ∗ -Algebra bilde einen reelen Banachunterraum
A h von A, der aber bezüglich der Multiplikation im allgemeinen nicht abgeschlossen ist
(Beispiel).
In A h bilden alle Element x mit σ(x) ⊆ R + einen positiven Kegel, der in natürlicher Weise
eine Ordnung auf A h definiert. Mittels dieser Ordnung lässt sich auf dem Dualraum von
A h eine Ordnung definieren.
Anmerkung: Versieht man den Banachraum A h mit der Multiplikation x◦y = 1 2 (xy+yx),
dann wird A h zu einer sogenannten Jordanalgebra (bitte nachsehen, was dies ist und wie
die endlichdimensionalen Jordanalgebren ”
aussehen“).
• Unitäre Elemente: Ein Element u ∈A heißt unitär, wenn uu ∗ = u ∗ u =1gilt. Die unitären
Elemente einer C ∗ -Algebra bilden eine in der Norm abgeschlossene Gruppe G und jede
C ∗ -Algebra (mit Einheit) besitzt genügend viele unitäre Elemente (jedes Element einer
C ∗ -Algebra ist darstellbar als Kombination von vier unitären Elementen).
• Projektionen und partielle Isometrien: Ein Element p ∈A heißt Projektion, wenn p selbstadjungiert
ist und p 2 = p gilt. Ein u ∈A heißt partielle Isometrie, wenn uu ∗ eine Projektion
p ist. Dann ist u ∗ u auch eine Projektion q (Beweis) und man nennt solche Projektionen
äquivalent.
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4. Positive Elemente und positive Linearformen einer C ∗ -Algebra
Man stelle anhand von Sakai [13], 1.4. und 1.5. die wesentlichen Eigenschaften positiver Elemente
einer C ∗ -Algebra und positiver Linearformen zusammen. Ergänzungen und Vertiefungen
findet man in M. Takesaki [16] oder J. Dixmier [7]. Insbesondere erläutere man den Fortsetzungssatz
für positive Linearformen, den man in [13] findet.
Anmerkung: Ordnungstheoretische Eigenschaften bedingen manchmal, dass A kommutativ ist.
So bedeutet z.B. die Eigenschaft: Aus 0 6 x 6 y folgt stets 0 6 x 2 6 y 2 für alle x, y ∈A + ,
dass A eine kommutative C ∗ -Algebra ist (Gegenbeispiel).
5. Eigenschaften der Einheitskugel einer C ∗ -Algebra
Betrachtet man die Einheitskugel der C ∗ -Algebra c 0 aller Nullfolgen, so hat die Einheitskugel
keine Extremalpunkte (als konvexe Menge). Gleiches gilt für die C ∗ Algebra K(H) aller kompakten
Operatoren auf einem unendlichdimensionalen Hilbertraum (Man zeige dies).
Darum ist es um so erstaunlicher, dass für eine C ∗ -Algebren A folgendes gilt:
1. Die Einheitskugel A 1 von A hat genau dann (mindestens) einen Extremalpunkt, wenn A
einen Einheit hat.
2. Die positiven Extremalpunkte von A 1 sind die Projektionen von A.
3. Die Extremalpunkte von A 1 ∩A h sind gerade die selbstadjungierten, unitären Elemente
von A.
4. A 1 ist die (norm-)abgeschlossene, konvexe Hülle der Gruppe der unitären Elemente von
A (Satz von Russo-Dye)
5. Ein Element x ∈A 1 ist genau dann ein Extremalpunkt, wenn
gilt
(1 − uu ∗ )A(1 − u ∗ u) = 0
Für diesen Sachverhalt und die Beweise siehe [13], [16] oder [9], Seite 276ff .
6. Approximative Eins und Quotientenalgebren einer C ∗ -Algebra
Eine Klasse ausgezeichneter Unteralgebren einer Algebra sind die sogenannten Ideale. Dabei
versteht man unter einem Ideal I einer Algebra A eine Unteralgebra mit der Eigenschaft, dass
xy ∈ I und yx ∈ I gilt für alle x ∈ I und y ∈A.
Betrachtet man die C ∗ -Algebra c 0 als Unteralgebra der C ∗ -Algebra ¸∞, so ist c 0 ein Ideal in ¸∞.
Gleiches gilt für die Algebra K(H) der kompakten Operatoren auf einem unendlichdimensionalen
Hilbertraum H. Nicht offensichtlich ist, dass Ideale in C ∗ -Algebren auch abgeschlossen
bezüglich der *-Operation sind, d.h. mit x ∈ I auch x ∗ ∈ I gilt.
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Dieser Vortrag wird sich mit diesem Sachverhalt beschäftigen und auch zeigen, dass die Quotientenalgebra
einer C ∗ -Algebra wieder eine C ∗ -Algebra ist.
Literatur: [16] 1.7 .
7. Die GNS-Konstruktion
Alle bisherigen Beispiele von C ∗ -Algebren waren immer Algebren von Operatoren auf Hilberträumen
oder Funktionenräume (d.h. vom Typ C(K), K kompakt). Auch den letzten Fall kann
man als Operatorenalgebra auffassen.
Wir betrachten hierzu (zur Vereinfachung) einen kompakten metrischen Raum K. Dann ist C(K)
ein separabler Banachraum (warum gilt ”
genau dann, wenn“). Sei nun ϕ ∈ C(K) Õ eine positive
Linearform. Dann existiert ein positives Maß µ auf der σ-Algebra B der Borelmengen von K
(d.h. auf der von den abgeschlossenen Mengen von K erzeugten σ-Algebra), so dass für alle
f ∈ C(K) gilt:
⁄
ϕ(f) =
(Riezscher Darstellungssatz, siehe etwa [4]).
K
f(t)dµ(t)
Wir betrachten nun den Hilbertraum H ϕ := L 2 (K, B,µ) und für f ∈ C(K) den linearen Operator
M f ∈ L(H ϕ ) mit
M f (g) := f · g, g ∈ L 2 (µ)
Dann ist M f wohldefiniert, stetig mit ÎM f Î = ÎfÎ und die Abbildung
π ϕ : C(K) −→ L(H ϕ ):
f → M f
ist ein *-Homomorhpismus der C ∗ -Algebra C(K) in die C ∗ -Algebra L(H ϕ ).
Für alle f ∈ C(K) gilt:
⁄
ϕ(f) =
⁄
fdµ =
f · 1 K dµ =(f|1 K ) ϕ =(M f · 1 K |1 K ) ϕ =(π ϕ (f)(1 K )|1 K ) ϕ
d.h. das Skalarprodukt (·|·) ϕ bestimmt die Linearform ϕ und umgekehrt.
In dem Vortrag soll für eine positive Linearform ϕ auf einer C ∗ -Algebra A die sogenannte GNS-
Konstruktion im Detail erläutert werden. Des weiteren soll der Zusammenhang zwischen den algebraischen
und topologischen Eigenschaften der zugehörigen Darstellung und den Eigenschaften
der Linearform herausgearbeitet werden (etwa irreduzible Darstellung, zyklischer Vektor,
reine Zustände, separierender Vektor etc.).
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Literatur hierzu ist [16], Theorem 1.9.18 und Theorem 1.9.22. Siehe auch [9], Seite 305ff.
Als Beispiele sollen die Übungsaufgaben [16] 1.9 Exercise 4, 5 und 6 besprochen werden.
9. Endlichdimensionale C ∗ -Algebren
Anhand von [16] 1.11. soll der endlichdimensionale Fall dargestellt werden.
10. Von Neumann Algebren und der von Neumannsche
Bi-Kommutantensatz
Ausgangspunkt der Theorie der von Neumann-Algebren (Rings of Operators bei von Neumann),
ist eine Arbeit aus dem Jahr 1929 ([17]). Die Theoretische Physik und vor allem die gerade entstandene
Quantenmechanik war die Motivation für ihn, sich mit diesen speziellen Unteralgebren
von L(H) zu beschäftigen.
Der Name von Neumann-Algebra stammt von J. Dixmier, der Name W ∗ -Algebra stammt von J.
Dieudonne. Beide werden parallel verwendet und stehen für das gleiche Objekt.
Das erste, wichtige Ergebnis findet sich in [17] und ist das sogennte Bi-Kommutanten Theorem
von von Neumann. Dieses verbindet eine algebraische Eigenschaft mit einer topologischen.
Ist A⊆L (H), dann ist die Kommutante A c von A definiert als
A c := {S ∈L(H) | ST = TS ∀T ∈ A}.
Es sei nun A eine *-Unteralgebra von L(H) und 1 ∈A. Dann sind die beiden folgenden Aussagen
äquivalent:
1. Toplogische Eigenschaft: A ist abgeschlossen in der schwachen (starken) Operatortopologie
2. Algebraische Eigenschaft: A ist gleich der Kommutanten (A c ) c seiner Kommutanten A c
Als unmittelbare Konsequenz hieraus folgt, dass jede W ∗ -Algebra (als Banachraum) ein dualer
Banachraum ist. Es gilt aber auch die Umkehrung: Jede C ∗ -Algebra, die dualer Banachraum ist,
ist isomorph zu einer W ∗ -Algebra auf einen geeigneten Hilbertraum H.
In einer Reihe von weiteren Arbeiten ([11]) hat nun von Neumann zusammen mit Murray eine
Klassifikationstheorie für diese Algebren entwickelt, die erst in den 80’er Jahren des 20. Jahrhunderts
einen Abschluss mit den Arbeiten von A. Connes und M. Takesaki gefunden hat.
In den nächsten Vorträgen werden wir uns mit dieser Theorie auseinander setzen.
Zum Verständnis der folgenden Vorträge ist es erforderlich, dass sich alle Teilnehmer des Seminars
mit den verschiedenen Begriffen von Operatortopologien auf L(H) auseinander setzen
([16], II.1 und II.2 oder jedes andere Buch über Funktionalanalysis, etwa [9] oder [18]).
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In dem Vortrag selbst soll das Theorem [16], II.3.9. und Satz II.3.20 besprochen werden.
11. Kommutative W ∗ -Algebren
Da jede W ∗ -Algebra bereits eine C ∗ -Algebra A mit Einheit ist, kann man den Darstellungssatz
von Gelfand anwenden und A als C(K) für einen geeigneten kompakten Raum K darstellen.
Frage ist nun, wie sich dieser Raum K bei einer W ∗ -Algebra von dem K bei einer C ∗ -Algebra,
die nicht W ∗ -Algebra ist, unterscheidet (etwa C([0, 1]) und ¸∞).
Eine Antwort hierauf gibt [16], III.1.2 und III.1.7. Siehe auch [13], 1.18 .
12. Murray - von Neumann Klassifizierung von W ∗ -Algebren
Aus dem, was bisher erarbeitet wurde, kann man entnehmen, dass die Bausteine jeder W ∗ -
Algebra die unitären Elemente und die Projektionen sind (warum ist dem so).
Diese Beobachtung hat zu der folgenden Definition geführt: Es sei A eine W ∗ -Algebra und P(A)
die Menge der Projektionen in A. Dann ist P(A) ein vollständiger Verband bezüglich der Relation
p 6 q :↔ p · q = p
Zwei Projektionen p, q ∈P(A) heißen äquivalent, wenn es ein u ∈A gibt, mit u ∗ u = p und
uu ∗ = q. Man schreibt dann p ∼ q.
Ist p äquivalent zu einer Projektion p 1 mit p 1 6 q in dem Verband P(A), dann schreibt man p .
q. Für W ∗ -Algebren A, mit A∩A c = C, den sogenannten Faktoren 1 gilt folgender Satz:
(Murray und von Neumann): Es sei A ein Faktor mit separablen Prädual. Dann gibt es eine
Abbildung D von der Menge der Projektionen von A nach [0, ∞] so dass folgendes gilt:
1. p ∼ q ⇔ D(p) =D(q)
2. pq =0 ⇒ D(p + q) =D(p)+D(q)
3. p ist endlich, d.h. p ∼ q und q 6 p impliziert p = q, dann gilt D(p) < ∞
Es zeigt sich, dass das Bild von D (bis auf Normalisierung) eine der folgenden Mengen ist:
• {1, 2, .., n}: In diesem Fall heißt A vom Typ I n
• {1, 2, .., ∞}: In diesem Fall heißt A vom Typ I ∞
• [0, 1]: In diesem Fall heißt A vom Typ II 1
• [0, ∞]: In diesem Fall heißt A vom Typ II ∞
• {0, ∞}: In diesem Fall heißt A vom Typ III
1 Ist A ⊆ L(H) ein Faktor, so gilt (A∪A c )=L(H)
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Die Details hierzu findet man in [16], V.1.19 .
13. Beispiele für Faktoren
Wenn noch Zeit ist, werden wir die Beispiele für Typ I-Faktoren nach [16], V.2 bearbeiten.
Literatur
[1] N. Bourbaki. Éléments de Mathématiques: Théorie Spectrales. Hermann, Paris, 1967.
[2] O. Bratteli and D. W. Robinson. Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics I.
Springer-Verlag New York, Heidelberg, Berlin, 1979.
[3] A. Connes. Noncommutative geometry,
http:// www.alainconnes.org/downloads.html.
[4] J. Dieudonné. Grundzüge der Modernen Analysis 2. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
Berlin, 1975.
[5] J. Dieudonné. History of Functionalanalysis. North-Holland Publishing Company, 1981.
[6] J. Dixmier. Les Algébre d’operatéurs dans l’Éspace Hilbertien (Algébres de von Neumann).
Gauthiers-Villars Paris, 1969.
[7] J. Dixmier. C*-Algebras. North-Holland Publishing Company, 1977.
[8] P. R. Halmos. A Hilbert Space Problem Book. Springer-Verlag New York, Heidelberg,
Berlin, 1974.
[9] M. Mathieu. Funktionalanalysis. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin, 1998.
[10] G. J. Murphy. C*-Algebras and Operator Theory. Academic Press, Inc., 2004.
[11] F. Murray and J. von Neumann. On Rings of Operators, I - IV. Ann. Math,
Trans.Amer.Math.Society, 1936, 1937, 1943, 1949.
[12] G. K. Pedersen. C*-Algebras and their Automorphism Groups. Academic Press London,
1979.
[13] S. Sakai. C*-Algebras and W*-Algebras, volume 60 of Ergebnisse der Mathematik und
ihrer Grenzgebiete. Springer-Verlag New York, Heidelberg, Berlin, 1971.
[14] H. Schaefer. Topological Vector Spaces. Springer-Verlag New York, Heidelberg, Berlin,
2 nd edition, 1999.
[15] S. Stratila and L. Zsido. Lectures on Von Neumann Algebras. Abacus Press Turnbridge
Wells, Kent, 1979.
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[16] M. Takesaki. Theory of Operator Algebras. Springer-Verlag New York, Heidelberg, Berlin,
1979.
[17] J. von Neumann. Zur Algebra der Funktionaloperatoren und Theorie der Normalen Operatoren.
Math. Ann., 102:370 – 427, 1929.
[18] D. Werner. Funktionalanalysis 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag New York, Heidelberg,
Berlin, 2007.
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