Generalisierte Parton-Verteilungen

Generalisierte Parton-Verteilungen
Bachelorarbeit
zur Erlangung des Grades eines
Bachelor of Science Physik
vorgelegt von
Robi Pedersen
aus Luxemburg
Themenstellung: Prof. Dr. Kay Königsmann
Fakultät für Mathematik und Physik
Albert-Ludwigs-Universität
Freiburg im Breisgau
2011

Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 6
2 Partonen 8
2.1 Klassisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Formfaktoren des Protons . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Strukturfunktionen des Protons . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Die Bjorkensche Skalenvariable . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.4 Klassisches Parton-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.5 Partonen und Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Verbessertes Parton-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Der Hadron-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Operator-Produkt-Entwicklung und Twist . . . . . . . . . 17
2.2.3 Altarelli-Parisi-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Generalisierte Parton-Verteilungen 24
3.1 DVCS - Tief-virtuelle Compton-Streuung . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Die Generalisierten Parton-Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 Definition und Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.2 Eigenschaften der GPDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2.3 Tomographie des Protons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Wirkungsquerschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1 Der Bethe-Heitler-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2 Kinematik zum Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . 40
3.3.3 Die Amplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.4 Extrahierung und Asymmetrien . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.5 Die Proton-Größe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Schlussbemerkungen 50
2

A Allgemeine Formelsammlung 57
A.1 Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A.2 Mandelstam-Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
A.3 Lösung der Dirac-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
B Lichtkegelkoordinaten 59
C Vektor- und Axialvektor-Strom 61
D Das VGG-Modell 63
3

Nomenklatur
Im Allgemeinen werden für Teilchen folgende Abkürzungen benutzt:
Elektron/Positron
µ ∓ Myon, Antimyon
l ∓ Lepton, Antilepton
p Proton
γ Photon
g Gluon
q, ¯q Quark, Antiquark
u, (ū) (anti-)up-quark
d, ( d) ¯ (anti-)down-quark
s, ( ¯s) (anti-)strange-quark
e ∓
Virtuelle Teilchen werden mit einem *-Symbol gekennzeichnet, z.B. beschreibt γ ∗
ein virtuelles Photon, wohingegen γ ein reelles Photon darstellt.
Es werden folgende mathematische Symbole benutzt:
e
ε 0
γ µ
M
α
α S
σ
E
p,q
⃗p,⃗q
j µ ,J µ
dΩ
Elementarladung
Elektrische Feldkonstante
Dirac-Gamma-Matrizen
Protonenmasse
Feinstrukturkonstante, elektromagnetische Kopplungskonstante
Starke Kopplungskonstante
Wirkungsquerschnitt
Energie
Vierer-Impuls
Dreier-Impuls
Vierer-Strom
Infinitesimaler Raumwinkel
4

Glossar
BH Bethe-Heitler(-Prozess), siehe Kap. 3.3.1
CFF Compton Formfaktor, siehe Kap. 3.2.1
CMS Center Of Mass-System (Massenschwerpunktssystem)
DD Double Distribution, siehe Anhang D
DVCS Deeply Virtual Compton Scattering (Tief-virtuelle Compton-Streuung), siehe Kap. 3.1
DVMP Deeply Virtual Meson Production siehe Kap. 3
GPD Generalized Parton Distributions (Generalisierte Parton-Verteilungen), siehe Kap. 3
OPE Operator-Produkt-Entwicklung, siehe Kap. 2.2.2
PDF Parton Distribution Functions (Parton-Verteilungen), siehe Kap. 2
QED Quantenelektrodynamik
QCD Quantenchromodynamik
5

Kapitel 1
Einleitung
Es war ein warmer Sommerabend im alten Griechenland, als sich Demokrit die
Frage stellte, woraus eigentlich alle Materie der Welt aufgebaut ist. Er war nicht
der erste, den diese philosophische Frage beschäftigte, jedoch prägte Demokrit
als erster den Begriff átomos (unteilbar) als Grundbaustein aller Materie. Dieser
Begriff hat sich als Atom bis in die heutige Wissenschaft erhalten.
Die Entwicklung der Wissenschaften ermöglichte es, die Idee von unteilbaren
Grundbausteinen der Materie auch tatsächlich zu testen. Mehr als 2000 Jahre
später, im Jahre 1803, konnte John Dalton zeigen, dass alle bis dahin bekannten
chemischen Elemente aus Atomen bestehen, die verschiedene Massen haben. Er
legte somit den Grundstein für das Periodensystem der Elemente. Die Systematik
der Elemente deutete damals schon für einige Leute darauf hin, dass die Atome
eine Substruktur besitzen. Etwa 100 Jahre später zeigten dann J.J. Thomson und E.
Rutherford anhand von Experimenten, dass das Atom tatsächlich nicht unteilbar ist,
sondern aus positiven und negativen Ladungen besteht, die als (positiven) zentralen
Kern und darum kreisende (negative) Teilchen - Elektronen - identifiziert werden
konnten. Nach der Entdeckung des Neutrons und der Erkenntnis, dass es Isotope
gibt, postulierte Rutherford die positiv geladenen Protonen und elektrisch neutralen
Neutronen als Bestandteile des Atomkerns.
In den 1950er Jahren fand man anhand der ersten hochenergetischen Teilchenkollisionen
heraus, dass sogar die Protonen und Neutronen wiederum eine Substruktur
besitzen: Beide bestehen aus 3 punktförmigen Quarks, die durch die starke Wechselwirkung
zusammengehalten werden, also sogenannte Gluonen austauschen. Die
Entwicklung der Theorie der starken Wechselwirkung - die Quantenchromodynamik
- zeigte später, dass neben den 3 Quarks im Proton oder Neutron, sich
noch viele Quark-Antiquark-Paare, sogenannte Seequarks, befinden, die durch
6

Paarproduktion aus den Gluonen entstehen.
Um dieser Struktur auf den Grund zu kommen, versucht man die Verteilungen der
3 Valenzquarks, der Seequarks und der Gluonen im Proton herauszufinden, um
daraus Schlüsse auf das Gesamtproton ziehen zu können, wie z.B. die Herkunft
dessen Größe, Masse und Spin. Erste Modelle für den Aufbau des Protons waren
die Parton-Verteilungen, die in Kapitel 2 dieser Arbeit besprochen werden. In den
letzten Jahrzehnten konnte dieses Modell stark erweitert werden, sodass man aus
dem erweiterten Modell die dreidimensionale Struktur des Protons herleiten kann,
sowie den Einfluss der Partonen auf den Gesamtspin des Protons. Diese neuen
Partonenverteilungen sind die sogenannten Generalisierten Parton-Verteilungen,
die den Titel dieser Arbeit ausmachen und in Kapitel 3 besprochen werden.
7

Kapitel 2
Partonen
2.1 Klassisches Modell
2.1.1 Formfaktoren des Protons
Durch elastische Streuung von punktförmigen Teilchen an Protonen kann man Informationen
über die Form letzterer erhalten [8]. Die Wahrscheinlichkeit der Wechselwirkung
eines spinlosen Teilchens der Ladung ±e (z.B. eines Leptons) an einem
spinlosen Proton ist im einfachsten Fall durch den Rutherford-Wirkungsquerschnitt
gegeben:
( ) dσ
e 4
=
dΩ
RF (4πε 0 ) 2 (4E) 2 sin 4 (θ/2) = α 2
16E 2 sin 4 (2.1)
(θ/2)
wobei θ der Winkel ist, um den das einfallende Teilchen gestreut wird. E ist die
Energie des einfallenden Teilchens und Ω ist der differentielle Raumwinkel, in
den das Teilchen gestreut wird. Der Faktor α ≈ 1/137 ist die elektromagnetische
Kopplungskonstante.
Neben der Wechselwirkung zwischen der Ladung des Leptons und des Protons
müssen auch noch die Wechselwirkungen der Streuteilchen berücksichtigt
werden, die von deren Spin abhängen (Leptonen und Protonen haben Spin 1/2),
sowie die Tatsache, dass Protonen eine Ausdehnung haben. Man berechnet die
Streuamplitude über [5]:
mit
∫
T = −i
j µ
(
− 1 q 2 )J µ d 4 x (2.2)
8

j µ = −eū(k ′ )γ µ u(k)e i(k′ −k)x
J µ = eū(p ′ )[ ]u(p)e i(p′ −p)x
Viererstrom des Leptons, 1 (2.3)
Viererstrom des Protons. (2.4)
) (− 1 ist der Photonenpropagator und q µ ist der Viererimpuls des Photons, wel-
q 2
cher definiert ist durch q = (k ′ − k). 2 Später wird Q 2 = −q 2 gebraucht, da diese
Größe positiv ist.
Abbildung 2.1: Feynman-Diagramm der elastischen Streuung eines Elektrons an
einem Proton. Die Zeitachse verläuft nach rechts und die Raumachse nach oben.
In die leergelassenen Klammern [ ] des Viererstroms des Protons in Gleichung
(2.4) muss anstelle einer γ-Matrix, wie beim Lepton, ein allgemeinerer Vierervektor
eingesetzt werden, der die Ausdehnung des Protons berücksichtigt. Mithilfe der
Gordon-Identität erhält man folgende Form: 3,4
Hier ist σ µν = i 2 [γ µ ,γ ν ] = i 2 (γ µ γ ν − γ ν γ µ ).
[ ] = F 1 (q 2 )γ µ + 1
2m F 2(q 2 )iσ µν q ν (2.5)
2 k und k ′ sind die Viererimpulse des ein- bzw. ausfallenden Leptons, siehe Abb. 2.1.
2 u und ū = u † γ 0 sind die Lösungen der Dirac-Gleichung, also Spinoren für punktförmige Spin-
1/2-Teilchen, siehe hierzu Anhang A. Die Werte in den Klammern entsprechen dem Vierer-Impuls
der betroffenen Teilchen. Man siehe hierzu Abb. 2.1.
3 Für eine explizite Herleitung siehe man z.B. [5] oder [7].
4 Es sind genau 2 Formfaktoren, da das Proton Spin 1/2 hat [27]
9

Die beiden Funktionen F 1 (q 2 ) und F 2 (q 2 ) sind die sogenannten Formfaktoren
des Protons. 5 F 1 (q 2 ) heißt Dirac-Formfaktor und berücksichtigt das normale magnetische
Moment des Protons. F 2 (q 2 ) ist der Pauli-Formfaktor und berücksichtigt
das anomale magnetische Moment des Protons. F 1 erhält die Helizität des Protons
und F 2 ist für einen Helizitätsflip verantwortlich. Die Formfaktoren sind wie folgt
normiert:
F 1 (q 2 = 0) = 1 und F 2 (q 2 = 0) = κ (2.6)
Hier ist κ das anomale magnetische Moment des Protons und hat dem Wert
κ = 2.79 in Einheiten des Kernmagnetons µ K = e¯h
2M = 3.15 · 10−8 eV/T.
Setzt man nun die Amplitude in die allgemeine Formel für den Wirkungsquerschnitt
ein (siehe Anhang A) und berücksichtigt man noch den Rückstoß des
Protons, so erhält man die Formel für den Rosenbluth-Wirkungsquerschnitt [6]:
( ) ( ) ( ) ( )]
dσ dσ θ E
= cos
[F 2 2
dΩ dΩ
RF
2 E ′ 1 + Q2
4M 2 F2 2 + 2 Q2
θ
4M 2 (F 1 + F 2 ) 2 tan 2 2
(2.7)
Der Faktor cos 2 (θ/2) folgt aus der Helizitätserhaltung. Im Falle eines Teilchens,
welches sich nicht mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, wird dieser Faktor durch
(1 − β 2 sin 2 (θ/2)) ersetzt, wobei β die Geschwindigkeit in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit
ist. E und E ′ sind die Energien des ein- bzw. auslaufenden Leptons.
2.1.2 Strukturfunktionen des Protons
Geht man von der elastischen Streuung eines Leptons an einem Proton zu der
inelastischen Streuung über, so werden die vorhin erwähnten Formfaktoren durch
sogenannte Strukturfunktionen ersetzt, welche die innere Struktur des Protons
beschreiben. In diesem Falle wird Gleichung (2.4) durch eine allgemeinere Form
beschrieben. Hierzu benutzt man den sogenannten Hadronen-Tensor, den man
folgendermaßen ausdrücken kann [5]:
W µν = W 1
(
−g µν + qµ q ν
q 2 )
+W 2
1
M 2 (
p µ − p · q
q 2 qµ )(
p ν − p · q
q 2 qν )
(2.8)
5 Formfaktoren sind im Allgemeinen die räumlichen Fourier-Transformationen der Ladungsverteilungen.
10

Der differentielle Wirkungsquerschnitt ist proportional zum Lepton- und Hadrontensor:
Mit dem Leptonentensor
dσ ∼ L µν W µν (2.9)
L µν = 1 2 ∑ (ū(k ′ )γ µ u(k))(ū(k ′ )γ ν u(k)) ∗ (2.10)
spins
erhält man dann den Wirkungsquerschnitt für die inelastische Leptron-Proton-
Streuung [8]:
d 2 ( )
σ dσ
[
]
dΩdE ′ = cos 2 (θ/2) W 2 (Q 2 ,ν) + 2W 1 (Q 2 ,ν)tan 2 (θ/2)
dΩ
RF
(2.11)
Der erste Term beschreibt die elektrische und der zweite Term die magnetische
Wechselwirkung. ν = E ′ − E ist der Energieübertrag zwischen den beiden wechselwirkenden
Teilchen.
Man kann diese Wechselwirkung aber auch direkt als Photon-Proton-Streuung
betrachten. In diesem Falle sieht der Wirkungsquerschnitt wie folgt aus [5] :
σ tot
λ
= 4π2 α
K ε µ∗
λ εν λ W µν (2.12)
Dabei sind ε λ die Polarisationsvektoren des Photons 6 und K = ν + q2
2M .
Mit dem Hadron-Tensor aus (2.8) ergeben sich dann die separaten Wirkungsquerschnitte
für transversal und longitudinal polarisierte Photonen:
σ T = 1 2 (σ + + σ − ) = 4π2 α
K W 1(Q 2 ,ν) (2.13)
)
]
σ L = σ 0 = 4π2 α
[(1 − ν2
K q 2 W 2 (Q 2 ,ν) −W 1 (Q 2 ,ν) (2.14)
6 Man unterscheidet zwischen transversal (Helizität λ = ±1) und longitudinal (λ = 0) polarisierten
Photonen. Wählt man die z-Achse in ⃗q-Richtung so sehen diese folgendermaßen aus:
ε ± = ∓ √ 1/2(0,1,±i,0), ε 0 = √ 1/Q 2 ( √ ν 2 + Q 2 ,0,0,ν).
11

2.1.3 Die Bjorkensche Skalenvariable
Bei der elastischen Streuung hat man bei einer festen Energie des einfallenden
Teilchens nur einen freien Parameter. Wird nämlich eine Größe festgelegt, so
werden alle anderen durch diese Wahl fest bestimmt [8]. Dies wird mit folgender
Beziehung wiedergegeben:
2Mν − Q 2 = 0 (2.15)
Bei der inelastischen Streuung kommt ein weiterer Parameter hinzu, der aus der
Anregungsenergie des Protons folgt und die obige Relation wird zu
2Mν − Q 2 > 0 (2.16)
Es ist hilfreich eine neue lorentz-invariante Variable einzuführen, nämlich die
sogenannte Bjorken’sche Skalenvariable:
x =
Q2
2p · q = Q2
2Mν
(2.17)
Diese ist bei der elastischen Streuung immer genau 1 und bei der inelastischen
Streuung liegt sie zwischen 0 und 1, wie aus Gleichungen (2.15) und (2.16) schnell
ersichtlich ist.
Man kann nun anstelle der Strukturfunktionen W i (Q 2 ,ν) in Gl. (2.11) dimensionslose
Strukturfunktionen einführen:
F 1 (x,Q 2 ) = Mc 2 W 1 (Q 2 ,ν) (2.18)
F 2 (x,Q 2 ) = νW 2 (Q 2 ,ν) (2.19)
Diese Strukturfunktionen sollten nicht mit in Kapitel 2.1.1 definierten Dirac- und
Pauli-Formfaktoren verwechselt werden, die auch mit F 1 und F 2 bezeichnet wurden.
Im tiefinelastischen Limit, d.h. Q 2 und ν groß, folgen hiermit und aus den
Gleichungen (2.13) und (2.14) folgende Zusammenhänge [5]: 7
7 s ist die Mandelstam-Variable, siehe Anhang A.
2F 1 = MK
2π 2 α σ T (2.20)
F 2
x = MK
2π 2 α (σ T + σ L ) (2.21)
12

2.1.4 Klassisches Parton-Modell
Ist die Energie des virtuellen Photons der Lepton-Proton-Streuung hoch genug, so
löst das Photon die Substruktur des Protons auf, und die Streuung am Proton wird
zu einer Streuung an einem Punktteilchen innerhalb dieses. Diese Punktteilchen
werden Partonen genannt. Eine wichtige Interpretation der oben eingeführten
Bjorken’schen Skalenvariable ist ihre Identifizierung mit dem Impulsbruchteil
eines solchen Partons im Proton, an dem bei der tiefinelastischen Streuung gestreut
wird. [5]
Im Grenzfall Q 2 → ∞ mit x = const findet man, dass die Strukturfunktionen
des Protons nicht mehr von Q 2 abhängen. Man erhält also:
F i (x,Q 2 ) → F i (x) (2.22)
Dies wird als Bjorken-Skalierung bezeichnet. Definiert man die Parton-Impuls-
Verteilung
f j (x) = dP j
dx , (2.23)
welche die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass das gestreute Parton j den Impulsbruchteil
x des Protons besitzt, so kann man die Strukturfunktionen folgendermaßen
ausdrücken:
F 2 (x) = ∑e 2 jx f j (x) = 2xF 1 (x) (2.24)
j
Die Summe läuft über alle Partonen, die sich in dem Proton befinden. Der Faktor
e j ist die elektrische Ladung des Partons j in Einheiten der Elementarladung. Der
Zusammenhang zwischen F 1 und F 2 wird als Callan-Gross-Beziehung bezeichnet
[5, 8].
2.1.5 Partonen und Quarks
Da die eingeführten Partonen punktförmige, elektrisch geladene Teilchen sind,
kann man sie mit den Quarks aus dem Standardmodell identifizieren. Allgemein
weiß man, dass das Proton aus 3 Quarks besteht, nämlich aus zwei up-Quarks und
einem down-Quark, die genau die Quantenzahlen des Protons wiedergeben (siehe
hierzu Tab. 2.1). Diese Quarks bezeichnet man als Valenzquarks.
13

u ū d d¯
s ¯s p
Ladung +2/3 -2/3 -1/3 +1/3 -1/3 +1/3 +1
Spin 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
Isospin +1/2 -1/2 -1/2 +1/2 0 0 +1/2
Masse/MeV ∼2.5 ∼ 2.5 ∼5 ∼5 ∼100 ∼100 938
Tabelle 2.1: Ladung, Masse und 3. Komponente des Spins sowie Isospins der 3
leichtesten Quarks und ihrer Antiteilchen und des Protons.
Neben den Valenzquarks existieren im Proton aber noch andere Quarks, nämlich
Quark-Antiquark-Paare, die im Allgemeinen als Seequarks bezeichnet werden.
Diese entstehen durch Paarproduktion aus den Gluonen, die zwischen den Quarks
ausgetauscht werden. Somit besteht das Proton eigentlich nicht nur aus 3 Quarks
sondern aus Valenzquarks, Seequarks und Gluonen. Diese Seequarks müssen im
Parton-Modell berücksichtigt werden, da die Photonen der elektromagnetischen
Wechselwirkung auch an diesen streuen können. Die Gluonen müssen auch mit
in das Modell einbezogen werden, da sie die Erzeuger der Quarks sind. Eine
schematische Darstellung dieser Prozesse ist in Abbildung 2.2 zu sehen.
Abbildung 2.2: Schematisches Bild, welches die drei Valenzquarks (in schwarz)
des Protons zeigt, die durch Gluonenaustausch miteinander wechselwirken. In
weiß sieht man die Seequarks, welche durch Paarproduktion der Gluonen entstehen
und zum "Gesamtproton" beitragen.
14

Mit diesen Tatsachen kommt man auf den folgenden Ansatz für die Strukturfunktionen
der Lepton-Proton-Streuung [8]:
F 2 (x) = x ·
∑ e 2 j(q j (x) + ¯q j (x)) (2.25)
j=u,d,s
Hier wird über die verschiedenen Quark-Flavours summiert. 8,9 Die Funktionen
q(x) und ¯q(x) sind Quark- und Antiquarkverteilungen im Proton. Ausgeschrieben
sieht F 2 dann folgendermaßen aus 10
1
F 2 (x) = x·[
9 (d V (x) + d S (x) + d¯
S (x)) + 4 9 (u V (x) + u S (x) + ū S (x)) + 1 ]
9 (s S(x) + ¯s S (x)) ,
(2.26)
wobei der Index V für Valenz- und der Index S für Seequarks steht. Es gelten die
Normierungsbedingungen: [6]
∫
∫
∫
∫
u V (x)dx = (u(x) − ū(x))dx = 2 (2.27)
∫
d V (x)dx = (d(x) − d(x))dx ¯ = 1 (2.28)
∫
s V (x)dx = (s(x) − ¯s(x))dx = 0 (2.29)
Anschaulich bedeutet dies , dass ein Proton grundsätzlich aus einem down- und
zwei up-Quarks besteht.
Summiert man nun über die Impulsbruchteile aller Quarks, so kann man den
Impulsbruchteil p g der Gluonen bestimmen [5]:
⇔
∫ 1
0
∫ 1
0
dx (xp)[u + ū + d + ¯ d + s + ¯s] = p − p g (2.30)
dx x[u + ū + d + ¯ d + s + ¯s] = 1 − ε g (2.31)
Hier ist ε g = p g /p. Aus Experimenten findet man:
8 Man vernachlässigt die schwereren Quarks, da ihre Erzeugung wegen ihrer hohen Masse stark
unterdrückt ist.
9 Man vergleiche dies mit Gleichung (2.24).
10 Hier wird q j (x) durch j(x) dargestellt, um die Schreibweise zu vereinfachen.
15

sowie ε u =
und ε d =
∫ 1
0
∫ 1
0
ε g = 0.46 (2.32)
dx x(u + ū) = 0.36 (2.33)
dx x(d + ¯ d) = 0.18 (2.34)
Dies bedeutet, dass die Gluonen etwa 46% des Proton-Impulses tragen, die up-
Quarks 36% und die down-Quarks 18%.
2.2 Verbessertes Parton-Modell
Das bis jetzt eingeführte Modell der Substruktur des Protons ist das sogenannte
klassische Parton-Modell. Mit der theoretischen Weiterentwicklung der Quantenchromodynamik
entwickelte sich eine bessere Kenntnis der Wechselwirkungsprozesse
innerhalb Hadronen und Mesonen, was auch zu einem besseren Verständnis
der Partonen führt. Bevor das verbesserte Parton-Modell eingeführt wird, brauchen
wir noch einige nützliche Folgerungen aus der Quantenchromodynamik.
2.2.1 Der Hadron-Tensor
Für die allgemeine inelastische Streuung e(k) + p(p) → e(k ′ ) + X ergibt sich das
Übergangsmatrixelement [10]
∫
T = i
)
d 4 x d 4 y Jµ(x)
(− e igµν
q 2 Jν p (y) (2.35)
= i(2π) 4 δ (4) (p + k − p X − k ′ )ū(k ′ )γ µ u(k) e2
q 2 〈X| jµ (0)|p〉 (2.36)
wobei x und y die Orte sind, an denen die Viererströme J e,p wirken. Setzt man das
Betragsquadrat von T in den Wirkungsquerschnitt ein (siehe Anhang A), so kann
man den Hadron-Tensor wie in Gl. (2.9) isolieren. Man findet
W µν (p,q) = 1
4π ∑ (2π) 4 δ (4) (q + p − p X )〈p| j µ(0)|X〉〈X| † j ν (0)|p〉 (2.37)
X
= 1 ∫
d 4 z e iqz 〈p|[ j †
4π
µ(z), j ν (0)]|p〉 (2.38)
16

wobei ∑ X |X〉〈X| über alle möglichen Endzustände läuft. Gleichung (2.38) gilt
im Falle der inklusiven Leptoproduktion und ist im eigentlichen Sinne eine Reduzierung
auf die virtuelle Compton-Streuung (siehe Bild 2.3), die noch weiter
vereinfacht werden kann. Mit Hilfe des Time-Ordered Product (’Zeitlich geordnetes
Produkt’) der Viererströme
T (A(x)B(0)) =
{ A(x)B(0) , x 0 > 0
B(0)A(x) , x 0 < 0.
(2.39)
und der kompletten Amplitude der virtuellen Compton-Streuung
∫
T µν (p,q) = i d 4 z e iqz 〈p|T ( j µ(z) † j ν (0))|p〉 (2.40)
wird der Hadron-Tensor schließlich zu:
W µν = 1
2π Im[T µν] (2.41)
Diese Schritte sind auch die Schritte, die zum optischen Theorem führen.
Abbildung 2.3: Eine Veranschaulichung, wie man vom Hadron-Tensor der inelastischen
Streuung über die virtuelle Compton-Streuung zum Imaginärteil der
Vorwärtsamplitude für γ ∗ p-Streuung kommt.
2.2.2 Operator-Produkt-Entwicklung und Twist
Die Operator-Produkt-Entwicklung ist eine Methode, die Struktur von Feldtheorien
im Lichtkegellimes 11 zu erforschen und die Skaleninvarianz bei kleinen Distanzen
11 Das Lichtkegellimes ist ein Formalismus, welcher bei relativistischen Kollisionen benutzt
werden kann, siehe hierzu Anhang B.
17

zu bewahren. Ihre allgemeinste Form gilt für den singulären Teil vom Produkt
zweier Operatoren [7, 10, 11, 32, 33]. 12
A(x)B(y) −−−−−→ (x−y)→0
∑C j (x − y)N j (y) (2.42)
Hierbei sind C j singuläre Koeffizienten-Funktionen (singulär bei x → y) und N j
sind nichtsinguläre lokale Operatoren. Für die ersteren gilt
j
C j (x − y) ∼ (x − y) d N j −d A −d B
, (2.43)
wobei d A , d B und d Nj die Dimensionen des jeweiligen Operators sind. Somit wird
C j ’singulärer’, je größer d A + d B ist. Statt kleiner Distanzen (x − y) → 0 kann man
das Verhalten der Operatoren nahe am Lichtkegellimit betrachten, indem man die
Bedingung (x − y) 2 → 0 betrachtet.
Bei der inelastischen Streuung kann man nun das zeitlich geordnete Produkt
folgendermaßen entwickeln: 13
iT ( j † (z) j(0)) z2 →0
−−−→ ∑C j,n (z 2 , µ 2 )z µ 1
...z µ n
N µ 1...µ n
j,n
(µ 2 )
j,n } {{ }
N j (z,µ 2 )
(2.44)
Der Wert µ 2 wird als Cutoff eingeführt, der dazu dient, ungewollte Singularitäten
zu vermeiden. C j,n (z 2 )z µ 1 ...zµ n
ist wiederum singulär bei z 2 → 0. N ...
j,n sind die
lokalen Tensor-Operatoren mit Maximalspin n. Für den Singular-Koeffizient-Faktor
gilt in diesem Limes:
C j,n ∼ (z 2 ) 1/2(d j,n−n)−d J
für z 2 → 0 (2.45)
Der Term d J ist die Dimension des elektromagnetischen Viererstroms. Der andere
Term wird als Twist bezeichnet und beschreibt die Massendimension des Operators
abzüglich der Dimension des Spins:
N ...
j,n
τ = d j,n − n (2.46)
Man stellt fest, dass sich alle Terme mit dem gleichen Twist in Gl. (2.44) im Lichtkegellimit
gleich verhalten, weswegen eine Einteilung in die jeweiligen Twists
sinnvoll ist. Die Unterdrückung der Terme in der OPE (höhere Ordnungen) ist nicht
12 Eine explizite Herleitung findet man z.B. in [11] und [33].
13 Wir ersetzen y durch 0 und x wird wegen voriger Konvention durch z ersetzt
18

durch die Massendimension des Operators, sondern durch seinen Twist bestimmt.
Abbildung 2.4 veranschaulicht dies für die virtuelle Compton-Streuung.
Definiert man C j,n (z 2 , µ 2 ) = C ′ j,n (z2 , µ 2 ) · (z 2 ) τ/2−1 und 〈p|N µ 1...µ n
j,n
(µ 2 )|p〉 =
p µ1 ... p µn ¯N j,n (µ 2 ), und setzt alles in (2.40) ein, erhält man nach ausführlicher
Berechnung (siehe [10]) folgenden Ausdruck für die Momente der Strukturfunktion
des Hadrons:
∫ 1
0
dx x n−1 W(Q 2 ,x) = 1 4 ∑ j
C j,n (Q 2 , µ 2 ) ¯N j,n (µ 2 )( 1
Q 2 ) τ/2−1
(2.47)
Wie man sieht, können die Momente der Strukturfunktionen als Potenzreihe in
1/Q 2 entwickelt werden. Höhere Twists sind höhere Glieder der Reihe und somit
unterdrückt. Betrachtet man nur das führende Twist-Glied, so kann man Gleichung
(2.47) folgendermaßen schreiben:
∫ 1
0
dx x n−1 W(Q 2 ,x) = 1 4 C n(Q 2 , µ 2 ) ¯N n (µ 2 ) + O(1/Q 2 ) (2.48)
Aus dieser Gleichung lässt sich nun das allgemeine Faktorisierungstheorem der
QCD herauslesen (siehe Abbildung 2.5). Dieses besagt, dass sich der Wirkungsquerschnitt
der inelastischen Streuung als Faltung einer harten Streuamplitude mit
einer Parton-Verteilung beschreiben lässt. Im Falle der Gleichung (2.48) erhält
man:
∫
∫
⇒ W(Q 2 ,x) =
dζ ζ n−1 q(ζ , µ 2 ) = ¯N n (µ 2 )/4 (2.49)
dz z n−1 σ(z,Q 2 , µ 2 ) = C n (Q 2 , µ 2 ) (2.50)
∫ 1
x
dζ
ζ q(ζ , µ2 )σ(x/ζ ,Q 2 , µ 2 ) (2.51)
Die Variablen ζ und z = x/ζ werden im nächsten Kapitel genauer erläutert.
19

Abbildung 2.4: Diese beiden Diagramme stellen die virtuelle Compton-Streuung
dar, wie sie später noch genauer erläutert wird. (a) zeigt das Diagramm in führender
Twist-Ordnung (τ = 2) und (b) zeigt ein Beispiel für eine höhere Twist-Ordnung
der selben Wechselwirkung [10].
Abbildung 2.5: Anschauliche Darstellung des Faktorisierungstheorems. q ist die
Parton-Verteilungsfunktion und σ ist der Wirkungsquerschnitt für die harte γ ∗ q-
Streuung.
20

2.2.3 Altarelli-Parisi-Gleichungen
Das Partonmodell kann mit genauerer Kenntnis quantenchromodynamischer Prozesse
verbessert werden. Die Idee des verbesserten Modells ist, dass das viruelle
Photon anstatt mit einem punktförmigen Quark im Proton, mit einem allgemeineren
Parton wechselwirkt, das vor oder nach der Wechselwirkung noch Gluonen
abstrahlen kann oder gerade aus einem Gluon entstanden ist [5, 10].
Man definiert ζ als den Impulsbruchteil des Partons an der Wechselwirkung,
d.h. der Impuls des Partons ist
und definiert zusätzlich
p i = ζ p (2.52)
z = x ζ = Q2
2p i q
(2.53)
Im einfachsten Fall muss neben der normalen Streuung auch noch der Prozess der
Gluonabstrahlung, also der Prozess γ ∗ q → qg, berücksichtigt werden. Durch diese
Abstrahlung erhält das Quark einen transversalen Impuls. Der Wirkungsquerschnitt
hängt dann von der Funktion
P qq (z) = 4 ( 1 + z
2
)
(2.54)
3 1 − z
ab. Nach Integration des Wirkungsquerschnittes über diesen transversalen Impuls,
erhält man eine Gleichung für die Quarkverteilungen in Abhängigkeit von Q 2 , eine
sogenannte Altarelli-Parisi-Gleichung:
d
d logQ 2 q(x,Q2 ) = α ∫ 1
S dζ
2π x ζ q(ζ ,Q2 ) P qq (x/ζ ) (2.55)
Hier sieht man, dass die Annahme (2.22) in der QCD nicht mehr stimmt, da man
eine logarithmische Abhängigkeit von Q 2 hat. Die Bjorken-Skalierung ist also
verletzt bei Gluon-Emissions-Prozessen.
Anschaulich besagt diese Gleichung, dass ein Quark mit dem Impulsbruchteil
x von einem Quark mit dem Impulsbruchteil ζ abstammen könnte, das ein Gluon
mit der Impulsdifferenz abgestrahlt hat.
Neben diesem Prozess kommen noch weitere Prozesse hinzu, die berücksichtigt
werden müssen um die kompletten Altarelli-Parisi-Gleichungen herzuleiten:
21

• g → gg (Gluonpaarproduktion)
• g → q ¯q (Quarkpaarproduktion)
• q → qg → q (Emission und Reabsorption eines Gluons)
Dies wird hier jedoch nicht besprochen. Ausführliche Herleitungen findet man
zum Beispiel in den Werken [5], [7] und [10].
22

Kapitel 3
Generalisierte Parton-Verteilungen
Bevor wir uns der Definition der Generalisierten Parton-Verteilungen (GPDs - "Generalized
Parton Distributions") widmen, betrachten wir zuerst den wichtigsten Prozess,
aus dem diese extrahiert werden können, nämlich die Tief-virtuelle Compton-
Streuung (DVCS - "Deeply Virtual Compton Scattering"). DVCS ist der einfachste
Prozess, der die Extrahierung der GPDs ermöglicht [1, 2, 3, 12, 19, 20] ohne die
Komplikationen, die z.B. bei Hadron-Hadron-Prozessen auftauchen. Ein alternativer
Prozess zur Extrahierung der GPDs ist die Tief-virtuelle Meson-Produktion
(DVMP - "Deeply Virtual Meson Production"), welche jedoch die Nachteile hat,
dass sie um 1/Q 2 unterdrückt ist und höhere Twists 1 stärker beitragen als bei
DVCS [12]. Außerdem muss noch die Meson-Struktur berücksichtigt werden, was
den Prozess noch komplizierter macht. Da DVCS durch das optische Theorem
direkt mit der tiefinelastischen Lepton-Hadron-Streuung zusammenhängt, ist die
Theorie der Evolution der Strukturfunktionen bereits bekannt [12]. 2 Durch Interferenz
von DVCS mit dem Bethe-Heitler-Prozess lassen sich auf einfache Weise, mit
Hilfe von Asymmetrien, die GPDs aus experimentellen Daten extrahieren.
Im Rahmen dieser Arbeit wird nur auf den DVCS-Prozess in Twist-2 Näherung
eingegangen.
1 Siehe Kapitel 2.2.2.
2 Siehe Kapitel 2.2.2 und 2.2.3.
24

3.1 DVCS - Tief-virtuelle Compton-Streuung
Die tief-virtuelle Compton-Streuung am Proton ist die Reaktion
l + p → l + p + γ, (3.1)
wobei l ein Lepton und p ein Proton darstellt. 3 Ignoriert man in der Notation das
Lepton und betrachtet nur das virtuelle Photon der Wechselwirkung, kommt man
auf folgende Reaktion
γ ∗ + p → γ + p, (3.2)
die stark an die der klassischen Compton-Streuung erinnert: γ + l → γ + l [4].
Wir betrachten DVCS im Bjorken-Limit (2.1.4), d.h. dass Q 2 sehr groß ist.
Somit wird die Streuung sehr inelastisch und das Photon liegt weit entfernt von
seiner Massenschale. [1]
Ein wichtiger Effekt bei DVCS ist, dass das Proton einen Impulsübertrag
bekommt, der eine gewisse Schiefe zwischen Anfangs- und Endzustand mit sich
bringt, worauf später eingegangen wird [20]. DVCS kann, wie in Kapitel 2.2.2
eingeführt wurde, in einen harten und einen weichen Teil faktorisiert werden. 4 Der
harte Teil ist die direkte Streuung des virtuellen Photons an einem Quark und der
weiche Teil beschreibt die Quark-Verteilungen im Proton, in unserem Fall also
die sogenannten GPDs - Generalisierte Parton-Verteilungen, welche im nächsten
Kapitel behandelt werden. Diese Faktorisierung spiegelt sich im sogenannten
Handbag-Diagramm wieder, welches man in einen harten und einen weichen Teil
aufteilt. Dieses wird hier nur in Twist-2-Näherung betrachtet, da höhere Twists
unterdrückt sind, wie in Kapitel 2.2.2 erklärt wird. Das Handbag-Diagramm ist in
Abbildung 3.1 dargestellt:
3 Ein anderer Prozess, genannt Bethe-Heitler-Prozess hat die gleichen Anfangs- und Endzustände
wie DVCS. Im Experiment interferieren somit beide Prozesse. Hierauf wird im Kapitel 3.3 näher
eingegangen.
4 Hierfür muss der Impulsübertrag klein sein.
25

Abbildung 3.1: Das sogenannte Handbag-Diagramm in führender Twist-Ordnung
(τ = 2), welches veranschaulicht, wie ein Quark des Protons mit dem Impulsbruchteil
x + ξ mit einem virtuellen Photon wechselwirkt, dann selber virtuell wird, und
durch Emission eines reellen Photons mit dem Impulsbruchteil x − ξ wieder ins
Proton zurückkehrt.
Kinematische Variablen im DVCS-Prozess: (3.3)
Viererimpuls des einlaufenden Leptons
k
Viererimpuls des auslaufenden Leptons k’
Viererimpuls des einlaufenden virtuellen Photons q 1 = k − k ′
Viererimpuls des auslaufenden reellen Photons q 2 = q 1 − ∆
Viererimpuls des einlaufenden Protons p 1
Viererimpuls des auslaufenden Protons
p 2 = p 1 + ∆
Impulsübertrag ∆ = p 2 − p 1 = q 1 − q 2
Masse des Protons
M
Aus diesen Variablen kann man folgende wichtige Variablen definieren: 5
Q 2 1 = −q 2 1 (3.4)
ist der positive Viererimpulsquadrat des virtuellen Photons, auch die Photonen-
Virtualität genannt, und
x = −q2 1
2p 1 q 1
(3.5)
5 Die Masse des Leptons (Myon oder Elektron) wird im folgenden immer vernachlässigt werden.
26

ist die gewöhnliche Bjorken-Variable und beschreibt beim DVCS den mittleren
longitudinalen Impulsbruchteil des gestreuten Quarks. Wie man sehen kann, hängt
dieser Impulsbruchteil nur vom Viererimpuls der einlaufenden Teilchen ab. Man
definiert zusätzlich eine generalisierte Bjorken-Variable, die erst durch die Reaktion
zustande kommt, also den longitudinalen Impulsbruchteil des Impulsübertrags ∆
beschreibt [20]. Man nennt diese Variable die generalisierte Bjorken-Variable [2]:
ξ =
−(q 1 + q 2 ) 2
2(p 1 + p 2 )(q 1 + q 2 )
(3.6)
Wie man gut erkennen kann, ist ξ , statt nur durch die einkommenden Impulse wie
x, durch die Summe der einlaufenden und auslaufenden Impulse definiert. ξ und x
hängen somit folgendermaßen zusammen:
ξ = x 1 + ∆2 /2Q 2 1
2 − x + x∆ 2 /Q 2 ≈
x
(3.7)
1
2 − x
Die gemachte Näherung ist im Bjorken-Limit gültig. ξ übernimmt in DVCS die
Rolle von x in der tiefinelastischen Streuung als Impulsbruchteil des gestreuten
Quarks des Protons, zu dem es gehört [1].
Zum Vereinfachen von Gleichungen, definiert man noch
q = q 1 + q 2
und p = p 1 + p 2 (3.8)
2
sowie der vom Lepton auf das γ ∗ übertragene Energiebruchteil [27]:
y = p 1 · q 1
p 1 · k = ν E
(3.9)
Das Betragsquadrat des Impulsübertrags ∆ ist genau die Mandelstam-Variable t
dieses Prozesses: 6 t = ∆ 2 (3.10)
6 Siehe auch Anhang A.
27

3.2 Die Generalisierten Parton-Verteilungen
3.2.1 Definition und Herleitung
Die GPDs sind direkte Folgerungen aus dem Hadron-Tensor der DVCS. Der
allgemeine Hadron-Tensor ist gegeben durch die DVCS-Amplitude [3]:
T = ± e3
q 2 εµW ∗ µν ū(k ′ )γ ν u(k) (3.11)
1
Hier ist ε µ der Polarisationsvektor des auslaufenden reellen Photons (siehe auch
Kapitel 2.1.2), W µν der Hadron-Tensor und der hintere Term ist der Viererfluss
des Leptons. Der Vorfaktor ± hängt von der Ladung des Leptons ab.
Der Hadron-Tensor ist definiert durch das zeitlich geordnete Produkt zweier
elektromagnetischer Flüsse (siehe Kapitel 2.2.1): 7
W µν (q, p 1 , p 2 ) = i
e 2 ∫
dx e iqx 〈p 2 ,s 2 |T j µ (x/2) j ν (−x/2)|p 1 ,s 1 〉 (3.12)
Bei einem Spin-1/2-Target gibt es für den Hadron-Tensor 12 8 unabhängige kinematische
Strukturen. Beschränken wir uns auf den führenden Twist (τ = 2) und
vernachlässigen Terme, die einen doppelten Spin-Flip des Nukleons induzieren,
so bleiben 4 übrig [1, 2, 3], zwei in Form von Vektoren und zwei in Form von
Axialvektoren im Hadron-Tensor.
Man stellt dies dar, indem man den Hadron-Tensor in einen Vektor- und einen
Axialvektor-Teil entwickelt:
q ·V
W µν = −P µσ g στ P τν
p · q − P A ρ
µσiε στqρ P τν + O(τ > 2) (3.13)
p · q
Hier sind
(
P µν = g µν − q )
1µq 2ν
(3.14)
q 1 · q 2
die Projektionsoperatoren, g µν = diag(1,−1,−1,−1) ist der metrische Tensor des
Minkowski-Raumes und ε αβγδ ist der vierdimensionale Levi-Civita-Tensor. 9
7 s 1 und s 2 sind die Spinzustände des Protons am Anfang und am Ende der Streuung.
8 1/2 × 3(γ ∗ ) × 2(γ) × 2(p ein ) × 2(p aus ) = 12. Der Faktor 1/2 folgt aus Paritätsinvarianz.
9 Wir verwenden die Konvention ε 0123 = +1.
28

Man macht diese Aufteilung, um zwischen polarisierten und unpolarisierten
Formfaktoren zu unterscheiden. Der Vektorteil entspricht einem unpolarisierten
Hadron und der Axialvektorteil einem polarisierten Hadron. Die oben eingeführten
Axialvektor- und Vektorentwicklungen des Hadronentensor können jeweils wieder
in zwei Formfaktoren entwickelt werden. Diese Formfaktoren sind die sogenannten
Compton-Formfaktoren. In Twist-2 Näherung sehen sie folgendermaßen aus: 10
V µ = Ū(p 2 ,s 2 )
[H γ µ + E iσ µν∆ ν ]
U(p 1 ,s 1 ) (3.15)
2M
[
A µ = Ū(p 2 ,s 2 ) ˜H γ µ γ 5 + Ẽ ∆ ]
µγ 5
U(p 1 ,s 1 ) (3.16)
2M
U(p,s) ist der Nukleon-Bispinor, normiert auf 2M.
Schlussendlich sind die 4 hier auftretenden Compton-Formfaktoren H , ˜H ,
E und Ẽ gegeben durch Faltungen einer harten Streuamplitude C mit weichen
Parton-Verteilungen, den Generalisierten Parton-Verteilungen: [2, 3]
H (ξ ,Q 2 ,∆ 2 ) =
E (ξ ,Q 2 ,∆ 2 ) =
˜H (ξ ,Q 2 ,∆ 2 ) =
Ẽ (ξ ,Q 2 ,∆ 2 ) =
∫ 1
∑ C − j (x,ξ ) ⊗ H j(x,ξ ,∆ 2 ) = ∑ dx C − j (x,ξ ) · H j(x,ξ ,∆ 2 )
j=u,d,s
j=u,d,s −1
(3.17)
∫ 1
∑ C − j (x,ξ ) ⊗ E j(x,ξ ,∆ 2 ) = ∑ dx C − j (x,ξ ) · E j(x,ξ ,∆ 2 )
j=u,d,s
j=u,d,s −1
(3.18)
∫ 1
∑ C + j (x,ξ ) ⊗ ˜H j (x,ξ ,∆ 2 ) = ∑ dx C + j (x,ξ ) · ˜H j (x,ξ ,∆ 2 )
j=u,d,s
j=u,d,s −1
(3.19)
∫ 1
∑ C + j (x,ξ ) ⊗ Ẽ j (x,ξ ,∆ 2 ) = ∑ dx C + j (x,ξ ) · Ẽ j (x,ξ ,∆ 2 )
j=u,d,s
j=u,d,s −1
(3.20)
C ± kann störungstheoretisch entwickelt werden, ist hier aber nur in der führenden
Ordnung der starken Kopplungskonstante relevant. In führender Ordnung hat
man: 11
10 Siehe hierzu auch Anhang C. Man beachte die Analogie zu den klassischen Formfaktoren.
11 Der Summand i0 ist die Propagator-Vorschrift, die in den meisten Werken als iε dargestellt
wird. Ausführliche Erklärungen finden sich z.B. in [5, 7].
29

ξC ± j (x,ξ ) =
e 2 j
1 − x/ξ − i0 ± e 2 j
1 + x/ξ − i0
(3.21)
Schlussendlich sieht also der Hadron-Tensor für DVCS in Abhängigkeit der GPDs
folgendermaßen aus:
(
)
∫
q ρ
T µν = −P µσ g στ P τν
p · q
∑
1 e 2 j
dx
j=u,d,s −1 1 − x/ξ − i0 − e 2 j
1 + x/ξ − i0
iσ ρα ∆
×Ū(p 2 ,s 2 )
(H α )
j γ ρ + E j U(p 1 ,s 1 )
2M
(
)
∫
1
−P µσ iε στqρ P τν
p · q
∑
1 e 2 j
dx
j=u,d,s −1 1 − x/ξ − i0 + e 2 j
1 + x/ξ − i0
(
)
∆ ρ γ 5
×Ū(p 2 ,s 2 ) ˜H j γ ρ γ 5 + Ẽ j U(p 1 ,s 1 )
2M
3.2.2 Eigenschaften der GPDs
(3.22)
Der große Vorteil von GPDs ist, dass sie klassische Parton-Verteilungen (PDFs
- Parton Distribution Functions) mit klassischen Formfaktoren vereinen [1]. Die
Formfaktoren beschreiben den transversalen Aufbau des Nukleons [19]. Die PDFs
beschreiben die Nukleon-Struktur in Abhängigkeit des longitudinalen Impulses
der Partonen und entsprechen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung [22, 23]. Die
GPDs sind eine Synthese aus diesen beiden Beschreibungen des Nukleons und
besitzen korrelierte Information über die transversale Orts- und die longitudinale
Impulsverteilung der Partonen [19]. Vergleicht man Gleichung (2.40) und (3.12), so
kann man erkennen, dass bei den PDFs das zeitlich geordnete Produkt der Ströme
zwischen zweimal dem gleichen Zustand steht und somit als Wahrscheinlichkeitsamplitude
interpretiert werden kann, wohingegen man bei den GPDs verschiedene
Anfangs- und Endzustände hat. Somit sind die GPDs nicht als Wahrscheinlichkeitsamplituden,
sondern eher als quantenmechanische Interferenz zwischen den
Nukleon-Zuständen und somit der verschiedenen Parton-Konfigurationen im Hadron
zu sehen. Die beiden Zustände können sich sowohl in longitudinalen als
30

auch in transversalen Komponenten unterscheiden. [20,23]. Außerdem enthalten
GPDs Informationen über die Gesamtdrehimpulsverteilung der Quarks und Gluonen
innerhalb des Nukleons [1, 20]. Diese Information kann durch Bildung des 2.
Moments aus den GPDs extrahiert werden.
In folgender Tabelle sind die Unterschiede der vier, im vorigen Kapitel eingeführten,
GPDs zusammengefasst:
H ˜H E Ẽ
Unpolarisiertes Hadron (Vektor) X X
Polarisiertes Hadron (Axialvektor) X X
Helizitätserhaltung X X
Helizitäts-Flip X X
Tabelle 3.1: Eigenschaften der GPDs
Es ist wichtig zu bemerken, dass mit dem Helizitäts-Flip ein Helizitäts-Flip
des Nukleons gemeint ist, die Helizität für Quarks ist nämlich erhalten. Was also
im Quark-Niveau passiert ist eine Veränderung des Quark-Bahndrehimpulses und
somit der Helizität des Gesamt-Nukleons. Dieser Fall existiert nur bei transversalem
Impulsübertrag und ist somit bei PDFs nicht möglich [20, 23].
Vorwärts-Limes der GPDs
Da die GPDs eine Erweiterung der klassischen Quark-Verteilungen sind, besitzen
sie die nützliche Eigenschaft, dass sie sich auf diese zurückführen lassen. Dies ist
möglich im sogenannten Vorwärts-Limes:
Für H(x,ξ ,∆ 2 ) und ˜H(x,ξ ,∆ 2 ) gilt [1]
∆ 2 = 0 und ξ = 0 (3.23)
H j (x,0,0) = q j (x) = q ⇒ j
(x) + q ⇆ j
(x) (3.24)
˜H j (x,0,0) = ∆q j (x) = q ⇒ j
(x) − q ⇆ j
(x) (3.25)
wobei q ⇒ j
(x) die PDF für gleiche Helizität von Quark und Nukleon darstellt
und q ⇆ j
(x) für die entgegengesetzte Helizität steht. Betrachtet man zusätzlich
Antiquarks im Nukleon, so sieht der Vorwärts-Limes folgendermaßen aus [2]:
31

H j (x,0,0) = q j (x)θ(x) − ¯q j (−x)θ(−x) (3.26)
˜H j (x,0,0) = ∆q j (x)θ(x) + ∆ ¯q j (−x)θ(−x) (3.27)
Hier sind ¯q(x) und ∆ ¯q die Antiquarkverteilungen und θ(x) ist die Heaviside-
Funktion.
Der Vorwärts-Limes ist analog dazu, dass in Gleichung (3.12) der Anfangsund
der Endzustand der gleiche sind. Man kann sich somit die Reduzierung der
GPDs auf PDFs im Vorwärts-Limes anschaulich erklären. Der quantenmechanische
Interferenzterm zwischen zwei verschieden Zuständen reduziert sich in diesem
Limes zu einer Wahrscheinlichkeit, da sich der eine Zustand dem andern nähert, bis
man den gleichen Anfangs- und Endzustand hat. Es gibt keine analogen Vorwärts-
Limita für die Funktionen E und Ẽ, da sie die Nukleon-Helizität nicht erhalten und
somit nicht mit bestimmten PDFs verwandt sind. Ein Helizitätsflip ist auch nur
möglich wenn Anfangs- und Endzustand verschieden sind [24].
Erstes Moment
Eine weitere wichtige Eigenschaft der GPDs ist ihr erstes Moment in x, welches
die 4 Verteilungen auf folgende Formfaktoren zurückführt [1, 2, 20]:
∫ 1
−1
∫ 1
−1
∫ 1
−1
∫ 1
−1
dx H(x,ξ ,∆ 2 ) = F 1 (∆ 2 ) (3.28)
dx E(x,ξ ,∆ 2 ) = F 2 (∆ 2 ) (3.29)
dx ˜H(x,ξ ,∆ 2 ) = G A (∆ 2 ) (3.30)
dx Ẽ(x,ξ ,∆ 2 ) = G P (∆ 2 ) (3.31)
Hier sind F 1 (∆ 2 ) und F 2 (∆ 2 ) die in Kapitel 2.1.1 eingeführten Dirac- und Pauli-
Formfaktoren. G A (∆ 2 ) ist der Axialvektor-Formfaktor und G P (∆ 2 ) ist der pseudoskalare
Formfaktor, die beide aus der Modellierung der Nukleonen anhand eines
Axialstroms folgen (man siehe hierzu Anhang C und [26,27]). Bei der Bildung des
ersten Moments fällt die ξ -Abhängigkeit raus.
32

Zweites Moment
Das zweite Moment der GPDs ist eine der wichtigsten Errungenschaften des
GPD-Modells, nämlich erlaubt die sogenannte Ji-Summenregel den Beitrag der
Quark-Spins und -bahndrehimpulse zum Nukleon-Gesamtspin zu ermitteln. Dies
ist bis jetzt die einzig bekannte Möglichkeit die Drehimpulsbeiträge zu bestimmen
[1, 12, 15, 19, 22, 23]. Mit den GPDs der Gluonen kann man analog auch
deren Beitrag zum Gesamtspin des Protons bestimmen, dies wird hier jedoch nicht
besprochen.
Die Summenregel von Ji (nach Xiangdong Ji [1]) lautet:
∫ 1
−1
dx x [ H j (x,ξ ,∆ 2 ) + E j (x,ξ ,∆ 2 ) ] = A j (∆ 2 ) + B j (∆ 2 ) (3.32)
A j (∆ 2 ) und B j (∆ 2 ) sind die Formfaktoren des Energie-Impuls-Tensors und werden
in diesem Zusammenhang auch gerne als Gravitations-Formfaktoren bezeichnet.
Extrapoliert man nun diesen Zusammenhang nach ∆ 2 → 0, so ergibt sich für die
rechte Seite der Gleichung
A j (∆ 2 = 0) + B j (∆ 2 = 0) = 2J j (3.33)
wobei J j der Gesamtdrehimpuls des jeweiligen Quark-Flavors ist und sich aus dem
Spin ∆Σ und dem Bahndrehimpuls L j dieser zusammensetzt. Es ergibt sich der
Zusammenhang zwischen den GPDs und dem Gesamtdrehimpuls der Quarks:
∫
1 1
dx x [ H j (x,ξ ,0) + E j (x,ξ ,0) ] = J j (3.34)
2 −1
Einen analogen Zusammenhang gibt es für die GPDs der Gluonen, durch welche
man J g = ∆G + L g ermitteln kann. Aus der Summe der Gesamtdrehimpulse J
müsste man dann den bekannten Spin des Protons erhalten:
J j + J g = 1 2
(3.35)
Erste Berechnungen anhand chiraler Störungstheorie für die Quarkbeiträge ergaben
[25]:
J u = 0.236 ± 0.06 (3.36)
J d = 0.002 ± 0.004 (3.37)
33

Der Beitrag des Quarkspins konnte durch Messungen auf ∆Σ ≈ 0.33 festgelegt
werden.
Altarelli-Parisi-Gleichungen
Die Entwicklung der GPDs kann wie die der PDFs auch durch Altarelli-Parisi-
Gleichungen beschrieben werden (siehe Kapitel 2.2.3). Die Entwicklung von
Helizitäts-unabhängigen und abhängigen GPDs unterscheidet sich jedoch. Die
Behandlung aller Entwicklungsgleichungen für verschieden kinematische Bereiche
wird komplett in [1] durchgeführt und erläutert.
3.2.3 Tomographie des Protons
Da die GPDs mit den eindimensionalen PDFs und den zweidimensionalen 12 klassischen
Formfaktoren zusammenhängen, enthalten sie Informationen dieser beiden
Beschreibungen des Protons. Aus der Kombination beider Elemente ergibt sich eine
dreidimensionale Beschreibung des Protons, die in den GPDs enthalten ist [28].
Die GPDs hängen von 3 Variablen ab, nämlich von x, ξ und ∆ 2 , bzw. t. Die
Variablen x und ξ parametrisieren die longitudinale Impulsverteilung der Partonen
und ∆ 2 = t ziehen noch die Möglichkeit in Betracht, dass das Proton einen transversalen
Impulsübertrag erfährt [24]. Eine sehr anschauliche Darstellung liefert
Abbildung 3.2:
12 Die klassischen Formfaktoren sind eigentlich eindimensional, beschreiben aber ein zweidimensionales
Proton, da dieses rotationssymmetrisch ist.
34

Abbildung 3.2: Dieses Bild zeigt den Anfangs- und den Endzustand des Protons,
sowie den Impulsbruchteil des Partons, an dem gestreut wird. Das Proton erhält
einen transversalen Impulsübertrag und verscheibt sich somit in diesem Beispiel
nach unten. Der relative Impulsbruchteil des Quarks verändert sich hierbei um 2ξ .
Die Größe b ist der Abstand des Partons vom Impulszentrum des Protons. [24]
Es existieren in diesem Zusammenhang zwei wichtige Grenzfälle für ξ , nämlich
ξ = 0 und ξ = x [22].
• Im Falle ξ = 0 trägt das Parton im Anfangs- und im Endzustand den gleichen
longitudinalen Impulsbruchteil x und somit ist der Impulstransfer rein
transversal:
t = −⃗∆ 2 ⊥ (3.38)
Die Fouriertransformation der GPD H j = H j (x,0,−⃗∆ 2 ⊥
) für festes x ergibt
in diesem Fall dann die Ortsverteilung der Partonen mit dem Impulsbruchteil
x. Die Ortsverteilung ist durch die Distanz⃗b ⊥ vom Impulsschwerpunkt des
Protons gegeben.
q j (x,⃗b ⊥ ) =
∫ d 2⃗∆ 2 ⊥
(2π) 2 e−i ⃗∆ ⊥
⃗b ⊥
H j (x,0,−⃗∆ 2 ⊥ ) (3.39)
ist dann die dreidimensionale impulsabhängige Parton-Verteilung. Da der
Anfangs- und Endzustand der gleiche sind, kann man diese Funktion als eine
Wahrscheinlichkeit interpretieren.
Im Laborsystem beträgt die transversale Distanz zwischen dem gestreuten
Parton und dem Impulsschwerpunkt r ⊥ = |⃗b ⊥ |/(1 − x). Diese kann dazu
benutzt werden, die Größe des gesamten Protons abzuschätzen. Damit die
Protonengröße endlich bleibt muss |⃗b ⊥ | → 0 für x → 1.
35

• Der Fall ξ = x hat hingegen keine Wahrscheinlichkeitsinterpretation, da
hier Anfangs- und Endzustand wieder verschieden sind. Jedoch kann man
hier auch die Gesamtgröße des Protons extrahieren, nämlich hängt der Erwartungswert
〈r⊥ 2 (x)〉 direkt vom Imaginärteil der DVCS-Amplitude ab.
Parametrisiert man den exklusiven Wirkungsquerschnitt als
dσ
dt
∼ exp(−B(x)|t|), (3.40)
wobei t die Mandelstam-Variable ist, so erhält man für kleine x den Zusammenhang
〈r⊥ 2 (x)〉 ≈ 2 · B(x) (3.41)
Berechnungen zur Ermittlung der transversalen Größe des Protons haben ergeben,
dass diese mit dem Impulsbruchteil x des gestreuten Partons zusammenhängt
[22]. Je größer x ist, desto kleiner wird der transversale Proton-Radius. Man
erwartet bei x → 1 ein punktförmiges Proton, da das Parton dann den gesamten
Proton-Impuls trägt und somit selber zum Zentrum wird. Der Impulsbruchteil
bekommt somit eine Interpretation im Raum wie Abbildung 3.3 darstellt:
36

Abbildung 3.3: Die Nukleon-Tomographie: (a) zeigt wie der transversale Ort
und der longitudinale Impuls in Gl. (3.39) zusammenhängen. Einem gewissen
Impulsbruchteil kann eine bestimmte Protongröße zugeordnet werden.
(b) zeigt wie die gemessene transversale Struktur vom Impulsbruchteil des Partons,
an dem gestreut wird, abhängt. Ist x sehr klein, so sieht man vor allem die Seequark-
Verteilung, die sich wie eine Wolke um die Valenzquarks bildet (siehe Abb. 2.2). Bei
größerem x wird die radiale Verteilung immer kleiner, da der Impuls immer größer
wird und somit das Parton selber zum Zentrum des Protons wird. In dieser Region
sieht man vor allem die Valenzquarks. Im Grenzfall x → 1 trägt das aktive Quark
den gesamten Proton-Impuls und wird somit selber zum Zentrum des Protons,
welches dann punktförmig werden würde. [22]
Berechnungen zum Gesamtdurchmesser des Protons ergaben den erwarteten
Zusammenhang zwischen dem Impulsbruchteil x und der Parton-Distanz vom
Impulszentrum b ⊥ . Für den Proton-Durchmesser 〈r ⊥ (x B )〉 ergibt sich durch Interpolation
der Wert:
〈r ⊥ (x B )〉 = (0.65 ± 0.2) fm (3.42)
Wie stark b ⊥ und x voneinander abhängen ist noch nicht exakt bestimmt, da ihr Zusammenhang
stark vom benutzten Modell abhängt und die Abweichung zwischen
den verschieden Modellen um bis zu 30% beträgt [22].
37

Zusammenfassend kann man sagen, dass GPDs Informationen über den
transversalen Ort des Partons in Abhängigkeit dessen Impulsbruchteils
enthalten, was zu einem dreidimensionalen Bild des Protons führt.
Außerdem enthalten sie Informationen über die Beiträge der Partonen zum
Gesamtspin des Protons und sind damit bisher die einzigen Ansätze, mit
denen dessen Extrahierung möglich ist. Die Bezeichnung generalisiert
beschreibt, dass sich die GPDs in bestimmten Grenzfällen auf die Formfaktoren
und klassischen Parton-Verteilungen zurückführen lassen. Sie sind
universelle Größen und nicht reaktionsabhängig.
3.3 Wirkungsquerschnitte
Der allgemeine Wirkungsquerschnitt (WQ) für die Reaktion
ist durch die Formel 13 [2]
gegeben, mit
l(k) + p(P 1 ) → l(k ′ ) + p(P 2 ) + γ(q 2 ) (3.43)
dσ
dxdyd|∆ 2 |dφdϕ =
α 3 ∣
xy
T ∣∣∣
2
16π 2 Q1√ 2 1 + ε 2 ∣e 2
(3.44)
ε 2 = 4x 2 M2
Q 2 (3.45)
1
Jedoch ist der DVCS-Prozess nicht der einzige der die oben genannten Anfangsund
Endprodukte besitzt. Ein anderer Prozess mit den gleichen Produkten ist der
Bethe-Heitler-Prozess, der im folgenden Kapitel kurz behandelt wird.
3.3.1 Der Bethe-Heitler-Prozess
Beim Bethe-Heitler-Prozess (BH) streut ein Lepton elastisch an einem Proton
und gibt entweder vor oder nach dem Photonenaustausch mit dem Proton ein
reelles Photon ab, sodass die Endprodukte die gleichen wie bei DVCS sind, siehe
Abbildung 3.4. Diese Abstrahlung ist im wesentlichen Sinne Bremsstrahlung im
13 Die Variablen φ und ϕ werden in Kapitel 3.3.2 eingeführt.
38

elektromagnetischen Feld des Protons. Im Gegensatz zum DVCS-Prozess wird
bei BH kein Quark angeregt, welches ein Photon abgibt, sodass das auslaufende
Photon keine Information über das Proton enthält.
Abbildung 3.4: Der Bethe-Heitler-Prozess, bei dem das Lepton ein reelles Photon
als Endprodukt abgibt, und nicht das Parton. Es gibt 2 verschiedene Möglichkeiten,
nämlich kann das Lepton das Photon vor oder nach der Wechselwirkung mit dem
Proton aussenden. Die Endprodukte sind die gleichen wie bei DVCS.
Da DVCS und BH experimentell nicht unterscheidbar sind, interferieren beide
Prozesse und die gesamte Amplitude ergibt sich aus den beiden einzelnen Amplituden.
Das Betragsquadrat der Gesamtamplitude enthält somit einen Interferenzterm.
Obwohl dies für Messungen ungünstig erscheinen mag, kann man diese Interferenz
herausfiltern. Nämlich ist unter bestimmten kinematischen Bedingungen
der Bethe-Heitler-Prozess stark unterdrückt (siehe Bild 3.5), oder man kann den
theoretischen Wert einfach von der Gesamtmessung abziehen, da BH theoretisch
komplett berechenbar ist. Interessanterweise ist diese Interferenz sogar von Vorteil,
da sie gewisse Asymmetrien mit sich bringt, die experimentell ausgenutzt
werden können, um einzelne GPDs zu extrahieren, was in Kapitel 3.3.4 behandelt
wird [2, 3, 22].
39

Abbildung 3.5: Diese Abbildung zeigt eine Monte-Carlo-Simulation des Prozesses
µ + p → µ + pγ. Die Events sind in Abhängigkeit vom Winkel φ zwischen der
Ebene des gestreuten Leptons und des gestreuten Hadrons (siehe nächstes Kapitel)
aufgetragen. Man kann hier sehr gut erkennen wie für kleine x BH klar dominiert,
aber für große x DVCS stärker ist [22].
3.3.2 Kinematik zum Wirkungsquerschnitt
Neben den in Kapitel 3.1 definierten kinematischen Variablen, muss man noch
weitere, für die Messung relevante Variablen definieren, die den Streuwinkel und
die Polarisation des Protons mit in Betracht ziehen. Hier wird das System aus [2]
benutzt, welches in Abbildung 3.6 anschaulich dargestellt ist:
40

Abbildung 3.6: Die Kinematik zum Prozess l p → l pγ ist im Ruhesystem des Protons
in zwei Ebenen einteilbar, die im Winkel φ zueinander stehen. Die sogenannte
Leptonebene ist definiert durch die Ebene, auf der sich das einlaufende und auslaufende
Lepton, sowie das virtuelle Photon der Streuung befindet. Die Hadronebene
ist durch das auslaufende Proton und das reelle Photon definiert. [2]
Dieses System ist so gewählt, dass das virtuelle Photon keine Transversalkomponenten
besitzt. Wir haben somit folgende Viererimpulse und Polarisationsvektoren:
k = (E,E sinθ l ,0,E cosθ l )
q 1 = (q 0 1 ,0,0,−|q3 1 |)
P 1 = (M,0,0,0)
P 2 = (E 2 ,|⃗P 2 |cosφ sinθ p ,|⃗P 2 |sinφ sinθ p ,|⃗P 2 |cosθ p )
S LP = (0,0,0,Λ = ±1)
S T P = (0,cosα,sinα,0)
Die beiden Vektoren S LP und S T P sind die Polarisationsvektoren des Protons im
Falle von longitudinaler und transversaler Polarisation. Man definiert λ = ±1 als
Polarisation des Leptons. Ist das Hadron transversal polarisiert, also hat einen
definierten Polarisationsvektor S ⊥ = (0,cosα,sinα,0), so ist der Winkel von S ⊥
zur Hadronebene genau ϕ = φ − α.
41

3.3.3 Die Amplituden
Wie bereits vorhin erwähnt, setzt sich die Gesamtamplitude des Prozesses l p → l pγ
aus der BH- und der DVCS-Amplitude zusammen (siehe Abbildung 3.7)
Abbildung 3.7: Die Amplitude des gesamten l p → l pγ-Prozesses setzt sich aus
diesen 3 Feynman-Diagrammen zusammen, wobei die ersten zwei die beiden
Bethe-Heitler-Prozesse sind und der dritte Summand DVCS darstellt. Man kann
hier auch gut erkennen, dass die Anfangs- und Endprodukte die gleichen sind, und
somit die verschiedenen Prozesse experimentell nicht zu unterscheiden sind.
und die Gesamtamplitude im Betragsquadrat sieht folgendermaßen aus:
|T | 2 = |T BH | 2 + |T DVCS | 2 + T DVCS T ∗ BH + T ∗ DVCS T BH
} {{ }
I
(3.46)
Die einzelnen Amplituden können als Fourier-Reihen in Abhängigkeit des Winkels
φ zwischen der Lepton- und Hadronebene entwickelt werden [2].
|T DVCS | 2 = 1 [
y 2 Q 2 c DVCS
1
|T BH | 2 =
I =
0 +∑
n
c DVCS
n
1
x 2 y 2 (1 + ε 2 ) 2 ∆ 2 P 1 (φ)P 2 (φ)
]
cos(nφ) + s DVCS
n sin(nφ)
[
c BH
0 +∑
n
c BH
n
[
]
1
xy 3 ∆ 2 c I 0
P 1 (φ)P 2 (φ)
+∑c I n cos(nφ) + s I n sin(nφ)
n
In twist-2-Näherung vereinfachen sich diese Formeln zu:
(3.47)
]
cos(nφ) + s BH
n sin(nφ)
(3.48)
(3.49)
42

|T DVCS | 2 = cDVCS 0
y 2 Q 2 1
|T BH | 2 c BH
0
=
x 2 y 2 (1 + ε 2 ) 2 ∆ 2 P 1 (φ)P 2 (φ)
I = cI 1 cos(φ) + sI 1 sin(φ)
xy 3 ∆ 2 P 1 (φ)P 2 (φ)
(3.50)
(3.51)
(3.52)
Die Faktoren P 1 (φ) und P 2 (φ) sind die Bethe-Heitler Lepton-Propagatoren, welche
definiert sind durch:
mit
J + 2K cos(φ)
P 1 (φ) = −
y(1 + ε 2 )
und
P 2 (φ) = 1 + ∆2 J + 2K cos(φ)
Q 2 +
1
y(1 + ε 2 )
(3.53)
K 2 = − ∆2
Q 2 (1 − x)
1
)
J =
(1 − y −
)(1 yε2 + ∆2
2 Q 2 − (1 − x)(2 − y) ∆2
1
Q 2 1
(1 − y − y2 ε 2
4
)( ){ √
1 − ∆2 min
∆ 2 1 + ε 2 4x(1 − x) + ε2
+
4(1 − x)
(3.54)
∆ 2 − ∆ 2 }
min
Q 2 1
(3.55)
∆ 2 min beschreibt die kinematische Grenze für ∆2 , was heißt, dass K genau dann
verschwindet, wenn ∆ 2 = ∆ 2 min
, daher diese (vereinfachende) Bezeichnung. Ausgeschrieben
sieht dieser Term folgendermaßen aus:
2(1 − x)
(1 − √ )
1 + ε 2 + ε 2
∆ 2 min = −Q2 1
4x(1 − x) + ε 2 (3.56)
Die Fourierkoeffizienten können wiederum durch die Winkelfunktionen
C(H ,E , ˜H , Ẽ ) ausgedrückt werden. Man unterscheidet jeweils für die 3 verschiedenen
Polarisationen des Hadrons: unpolarisiert (U), transversal polarisiert (TP)
und longitudinal polarisiert (LP). Im Fall von DVCS erhält man somit folgende 3
Fourier-Koeffizienten [2]:
43

c DVCS
0,U = 2(2 − 2y + y2 )C DVCS
U (3.57)
c DVCS
0,LP
= 2λΛy(2 − y)CDVCS LP (3.58)
[
]
−λy(2 − y)cos(ϕ)CT DVCS
P+ + (2 − 2y + y 2 )sin(ϕ)Im(CT DVCS
P− )
c DVCS
0,T P = − Q 1K
M √ 1 − y
Für den Interferenzterm erhält man folgende 6 Fourier-Koeffizienten:
(3.59)
c I 1,U = −8K(2 − 2y + y 2 )Re(C I U) (3.60)
s I 1,U = 8Kλy(2 − y)Im(C I U) (3.61)
c I 1,LP = −8KΛλy(2 − y)Re(C I LP) (3.62)
s I 1,LP = 8KΛ(2 − 2y + y 2 )Im(CLP) I (3.63)
c I 1,T P = 8M√ 1 − y [
−λy(2 − y)cos(ϕ)Re(C
I
Q T P+ ) + (2 − 2y + y 2 )sin(ϕ)Im(CT I P−) ]
1
(3.64)
s I 1,T P = 8M√ 1 − y [
(2 − 2y + y 2 )cos(ϕ)Im(CT I Q
P+) + λy(2 − y)sin(ϕ)Re(CT I P−) ]
1
(3.65)
Der Bethe-Heitler-Prozess wird hier nicht explizit behandelt, da er nicht direkt
relevant ist und da er in der Theorie komplett berechnet ist. Dieser hängt nur von
den Pauli- und Dirac-Formfaktoren ab und enthält keine GPDs. Für die gesamte
Amplitude kann man sich z.B. [2] und [3] zu Rate ziehen. Interessanterweise kann
man unten in den Interferenz-Termen sehen, wie sich die GPDs vom DVCS-Prozess
mit den Pauli- und Dirac-Formfaktoren aus dem BH-Prozess vermischen und somit
den Interferenz-Term zusammensetzen. Die 8 oben eingeführten Winkelfunktionen
C(H ,E , ˜H , Ẽ ) setzen sich folgendermaßen zusammen:
44

C DVCS
U =
C DVCS
LP =
{
1
(2 − x) 2 4(1 − x)
(H H ∗ + ˜H ˜H ∗) )
− x
(H 2 E ∗ + E H ∗ + ˜H Ẽ ∗ + Ẽ ˜H ∗
)
}
−
(x 2 + (2 − x) 2 ∆2
4M 2 E E ∗ − x 2 ∆2
4M 2 Ẽ Ẽ ∗
{
1
(2 − x) 2 4(1 − x)
(H ˜H ∗ + ˜H H ∗) )
− x
(H 2 Ẽ ∗ + Ẽ H ∗ + ˜H E ∗ + E ˜H ∗
C DVCS
T P+ =
C DVCS
T P− =
( x
2
)
∆2 (
−x + (2 − x)
2 4M 2 E Ẽ ∗ + Ẽ E ∗)}
{
1
(2 − x) 2 2x(H Ẽ ∗ + Ẽ H ∗ ) − 2(2 − x)( ˜H E ∗ + ˜H ∗ E ) + x 2 (E Ẽ ∗ + Ẽ E ∗ )
}
{
2
(2 − x) 2 (2 − x)(H E ∗ − E H ∗ ) − x( ˜H Ẽ ∗ − Ẽ ˜H ∗ )
CU I = F 1 H + x
2 − x (F 1 + F 2 ) ˜H − ∆2
4M 2 F 2E
CLP I x
=
2 − x (F 1 + F 2 )
(H + x )
( )
2 E x x
+ F 1 ˜H −
2 − x 2 F 1 + ∆2
4M 2 F 2 Ẽ
{ x
CT I 2
P+ = (F 1 + F 2 )
(H + x ) }
2 − x 2 E + x∆2
4M 2 E −
x2 (
2 − x F x
)
1 ˜H +
2Ẽ
{
+ ∆2
4M 2 4 1 − x
) }
2 − x F 2 ˜H −
(xF 1 + x2
2 − x F 2 Ẽ
) { (
)
CT I 1
P− =
(x 2 F 1 − (1 − x) ∆2
2 − x
M 2 F ∆ 2
2 H +
4M 2 (2 − x)F 1 + x2
2 − x F 2
}
( )
+ x2
2 − x F 1 E −
x2
2 − x (F 1 + F 2 ) ˜H + ∆2
4M 2 Ẽ
}
(3.66)
45

3.3.4 Extrahierung und Asymmetrien
Der Gesamtwirkungsquerschnitt der Reaktion setzt sich aus DVCS, BH und deren
Interferenz zusammen. Um Aussagen über einzelne GPDs treffen zu können, muss
man zuerst versuchen, die einzelnen Prozesse klar zu trennen. Dazu bedient man
sich einer sehr nützlichen Eigenschaft, nämlich dass man aus den Wirkungsquerschnitten
für verschiede Polarisationen und Ladungen von Leptonen und Hadronen
Asymmetrien bilden kann. Dies bedeutet, dass man die verschiedenen Wirkungsquerschnitte
addiert oder subtrahiert, um somit einzelne Prozesse zu isolieren.
Ein Beispiel hierzu ist z.B. die Summe der differentiellen Gesamt-Wirkungsquerschnitte
- im folgenden einfach als dσ bezeichnet - für Leptonen mit entgegengesetzter
Ladung und entgegengesetzter Helizität. Die allgemein benutzte Bezeichnung
hierfür ist S CS,U , wobei S für eine Summe steht (D steht für Differenz), CS
für die Umkehrung von Ladung und Spin (charge-spin) des Leptons und U für ein
unpolarisiertes Hadron. Man erhält in twist-2 Näherung [19, 22, 30]:
S CS,U = dσ(l + ↓ ) + dσ(l− ↑ ) ∼ dσ BH + c DVCS
0,U + sI 1,U sinφ (3.67)
Zieht man hier den Wirkungsquerschnitt für den Bethe-Heitler-Prozess ab, welcher
theoretisch komplett berechenbar ist, so erhält man eine Abhängigkeit von zwei
Fourierkoeffizienten, einer vom DVCS-Prozess und einer vom Interferenzterm,
welcher eine sinφ-Abhängigkeit besitzt. Will man also nur einen der beiden Terme
betrachten, so kann man die Winkelabhängigkeit ausnutzen, um sie klar zu trennen.
Eine andere Möglichkeit ist die Differenz der beiden Lepton-Ladungen/Helizitäten.
In diesem Fall hat man in twist-2-Näherung
D CS,U = dσ(l + ↓ ) − dσ(l− ↑ ) ∼ cI 1,U cosφ (3.68)
was einem einen einzelnen Fourierkoeffizient aus dem Interferenzterm, multipliziert
mit cosφ gibt.
Wie man im vorherigen Kapitel nachlesen kann, sind die beiden Interferenzterme
proportional zu:
46

c I 1,U ∼ Re(C I U) (3.69)
s I 1,U ∼ Im(C I U) (3.70)
wobei C I U = F 1 H + x
2 − x (F 1 + F 2 ) ˜H − ∆2
4M 2 F 2E (3.71)
Im kinematischen Bereich von COMPASS sind die Vorfaktoren von ˜H und E
klein genug, dass der erste Summand in Gl. (3.71) dominiert [22]. Dies ist also
ein Weg den CFF H zu isolieren und sogar separat den Real- und Imaginärteil zu
erhalten:
{
CU I c I 1,U
≈ F 1 H ⇒
∼ Re(F 1H )
s I 1,U ∼ Im(F (3.72)
1H )
In führender Ordnung der starken Kopplungskonstante kann man nun aus dem
Real- und Imaginärteil von H die GPD H folgendermaßen extrahieren: 14
ImH (ξ ,Q 2 1,∆ 2 ) = H(x = ξ ,ξ ,∆ 2 ) ± H(x = −ξ ,ξ ,∆ 2 )) (3.73)
∫ 1
( 1
ReH (ξ ,Q 2 1,∆ 2 ) = P dx H
x − ξ − 1 )
(3.74)
x + ξ
−1
Messungen mir transversal polarisiertem Target ermöglichen die Extrahierung der
GPD E. Man bedient sich der selben Asymmetrie wie bei Gl. (3.68), benutzt aber
ein transversal polarisiertes Target [30]:
D CS,T P = dσ(l + ↓ ,Λ) − dσ(l− ↑ ,Λ) ∼ Im(F 2H − F 1 E )sinϕ cosφ (3.75)
Analog erhält man die GPD ˜H anhand eines longitudinal polarisierten Targets
D CS,LP = dσ(l + ↓ ,Λ) − dσ(l− ↑ ,Λ) ∼ Im(F 1 ˜H )sinφ (3.76)
Die GPDs kann man dann immer anhand der Gleichungen (3.73) und (3.74)
extrahieren, indem man H und H durch die jeweiligen GPDs oder CFFS ersetzt.
Bei den polarisierten GPDs muss das Minus in (3.74) durch ein Plus ersetzt
werden. Die Extrahierung des vierten CFFs Ẽ ist schwierig, da sein Beitrag in allen
Wechselwirkungen stark unterdrückt ist. Die Kenntnis z.B. von ˜H würde jedoch
die Extrahierung von Ẽ bei longitudinal polarisiertem Hadron ermöglichen.
14 P ist der Cauchy’sche Hauptwert, der dafür sorgt, dass das Integral nicht divergiert.
47

3.3.5 Die Proton-Größe
Wie vorhin erwähnt, kann man aus S CS,U den Fourierkoeffizienten c DVCS
0,U
isolieren,
der in Twist-2 Näherung alleine die DVCS-Amplitude definiert. Mit der Annahme
aus Gl. (3.41), dass bei kleinen x der Wirkungsquerschnitt exponentiell von t abhängt,
kann man B(x) mit der Kenntnis von c DVCS
0,U
(und somit dσ DVCS ) extrahieren.
Man kann hier auch statt dem normalen WQ durch Asymmetrien jeweils den Realund
den Imaginärteil separat betrachten.
Man verwendet den einfachen Ansatz
B(x) = B 0 + 2α ′ log
( x0
)
x
(3.77)
wobei die Steigung α ′ die Änderung der Größe des Protons in Abhängigkeit von x
darstellt. Dieser Ansatz funktioniert nur bei kleinen x, was experimentell jedoch
möglich ist. Auf Messungen dieser Größen wird in Kapitel 4 kurz eingegangen.
48

Kapitel 4
Schlussbemerkungen
Erste Messungen des DVCS- und DVMP-Prozesses für die Ermittlung der Struktur
des Protons wurden bereits
in einigen Hochenergie-
Experimenten durchgeführt.
Zum Beispiel hat der HERA-
Collider in Hamburg bereits
Messungen, vor allem zur
Ermittlung der Gluonen-GPDs,
in einem x-Bereich unter 10 −2
durchführen können. Im JLab
in Virginia, USA, mit einer
Strahlenenergie von 6 GeV, und
im HERMES-Experiment am
HERA, bei 27 GeV, wurden dann
neue kinematische Bereiche
getestet. Das COMPASS-
Experiment am CERN in Genf
versucht zukünftige Messungen
mit einer Strahlenenergie von
190 GeV auf den kinematischen
Bereich zwischen HERA, HER-
MES und JLab zu erweitern,
wie man der Abbildung 4.1
entnehmen kann [21].
Abbildung 4.1: Kinematische Bereiche für x und
Q 2 von COMPASS, HERMES, JLAB und ZEUS
und H1 am HERA. [20]
50

Erste Messungen für die Größe des Protons wurden am ZEUS, H1 und H2
durchgeführt, für x im Bereich 10 −3 . Die Resultate sind in Abbildung 4.2 dargestellt.
Abbildung 4.2: In dem Graphen sind links erste Ergebnisse für die Messung von
B(x) dargestellt, die am HERA-Collider (ZEUS und H1) gemacht wurden. Die
horizontal gepunkteten Linien geben den gemessenen x-Bereich an. Rechts sind
simulierte Ergebnisse für Q 2 zwischen 1 und 8 GeV 2 am COMPASS-Experiment
dargestellt. Die unteren Punkte (mit ECAL0) stellen Ergebnisse dar, die von
COMPASS-II-Erweiterung erwartet werden. Jeder Messpunkt hat 2 Fehlerbalken,
von denen jeweils der linke den statistischen Fehler und der rechte zusätzlich
den systematischen Fehler angibt. Die beiden Geraden stellen exemplarisch den
Verlauf von B(x) dar, je nach Wert von α ′ , siehe Gleichung (3.77). Die Einheit von
α ′ ist GeV −2 . [22]
Ein großer Vorteil an COMPASS ist, dass Myon-Strahlen mit beiden Ladungen
und Spineinstellungen verfügbar sind. Um Messergebnisse von Myon-Proton-
Streuungen simulieren zu können, müssen GPD-Modelle benutzt werden. Es gibt
mittlerweile viele Modelle, die oft erweitert und verbessert wurden. Betrachtet man
51

z.B. die in Kapitel 3.3.4 eingeführte Ladungs- und Spinasymmetrie von Myonen,
so erhält man je nach Modell verschiedene Verläufe: 1
Abbildung 4.3: Erwartete Ergebnisse für die Messung von D CS,U , siehe Gl. (3.68),
für 4 verschiedene Modelle im kinematischen Bereich 0.03 ≤ x ≤ 0.07 und 1 ≤
Q 2 ≤ 4GeV 2 bei einer Myonenenergie von 160 GeV. Die Ergebnisse wurden in
Abhängigkeit vom Winkel φ zwischen der Lepton- und Hadronebene auffgetragen.
Die benutzten Modelle sind das VGG-Modell, einmal mit Regge-Ansatz und
einmal ohne (siehe Anhang D) und ein von D. Müller vorgeschlagenes Modell,
welches in [35] beschrieben wird. Das Regge-VGG-Model wurde mit α ′ = 0.8
GeV −2 angesetzt. Experimentelle und phänomenologische Hinweise deuten stark
darauf hin, dass das Regge-VGG-Modell favorisiert ist. Die eingezeichneten roten
Punkte mit Fehlerbalken sind die in diesem Modell erwarteten Ergebnisse nach
280 Tagen Messungen am COMPASS-Experiment in Genf [30].
1 D CS,U = dσ(l + ↓ ) − dσ(l− ↑ ) 52

Diese erwarteten Ergebnisse lassen sich auch auf weitere kinematische Bereiche
erweitern:
Abbildung 4.4: Erwartete Ergebnisse für die Messung von D CS,U , siehe Gl. (3.68),
in Abhängigkeit von φ für 12 verschiedene kinematische Bereiche. Als Modell
wurde das Regge-VGG-Modell benutzt. Unterhalb der erwarteten Kurvenverläufe
sind sowohl die erwarteten systematischen als auch statistischen Fehler aufgetragen
[22].
53

Abbildung 4.5: Erwartete Ergebnisse einer Messung von A CS,U = D CS,U /S CS,U in
Abhängigkeit von t für 6 verschiedene x-Werte. A CS,U hängt direkt mit c I 1 zusammen
und so lässt sich aus dieser Messung der Realteil von H extrahieren. Die
eingetragenen blauen Dreiecke sind Resultate aus Messungen von HERMES, die
roten Punkte sind erwartete Ergebnisse nach 2 Jahren Messungen am COMPASS
(simuliert anhand des Regge-VGG-Modells, siehe Anhang D). Die durchgezogene
grüne Linie stellt ein alternatives Modell dar, welches höhere Ordnungen
berücksichtigt und hier nicht besprochen wird. [22]
Abbildung 4.6: Erwartete Ergebnisse für A CS,T P in Abhängigkeit von t, x und Q 2
für ein transversal polarisiertes Target nach 280 Tagen Messung am COMPASS-
Experiment. Die schwarzen Quadrate stellen durchgeführte Messungen von
HERMES dar. [22]
54

Die Untersuchung der Substruktur des Protons hat also in den letzten Jahren
große Schritte gemacht; vor allem die Möglichkeit, den exakten Beitrag der
Quarks und Gluonen zu dessen Quantenzahlen zu ermitteln, ist ein großer Erfolg
des neuen Parton-Modells und eröffnet eine neue Sichtweise auf das Innenleben
von Hadronen, welches frühere Modelle nicht ermöglichten. Ein Upgrade des
COMPASS-Experimentes bietet neue kinematische Bereiche, die bisherigen Experimenten
nicht zur Verfügung standen, sowie vielseitige Einstellmöglichkeiten
- Helizität und Ladung des einfallenden Myons, sowie Polarisation des Targets -
anhand dessen Asymmetrien ausgeschöpft werden können, die klare Aussagen
über einzelne Messgrößen ermöglichen. Das nächste Jahrzehnt wird somit einen
Einblick in noch unbekannte Tiefen der QCD bieten, die bisher dem Beobachter
versteckt blieben.
55

Anhang A
Allgemeine Formelsammlung
A.1 Wirkungsquerschnitt
Der differentielle Wirkungsquerschnitt einer Wechselwirkung ist im Allgemeinen
durch die folgende Formel gegeben [5]:
|T |2
dσ =
F dP
(A.1)
T ist die Amplitude der Wechselwirkung, F ist eingehende Fluss und dP bezeichnet
den möglichen Phasenraum für die Endprodukte. Im Massenschwerpunktssystem
ergibt sich für den Wirkungsquerschnitt der Streuung in einen infinitesimalen
Raumwinkel der Zusammenhang
dσ
dΩ = 1 p f
64π 2 |T | 2
s p i
(A.2)
wobei s die Mandelstam-Variable ist, p f der Impulsbetrag der ausfallenden Teilchen
und p i der Betrag der einfallenden Teilchen. 1
1 Da wir im CMS sind, sind die Impulse der ein- und ausgallenden Teilchen gleich groß.
57

A.2 Mandelstam-Variablen
Für eine allgemeine Streuung p 1 + p 2 → p 3 + p 4 lauten die lorentzinvarianten
Mandelstam-Variablen [9]:
s = (p 1 + p 2 ) 2 = (p 3 + p 4 ) 2
t = (p 1 − p 3 ) 2 = (p 2 − p 4 ) 2
u = (p 1 − p 4 ) 2 = (p 2 − p 3 ) 2
(A.3)
(A.4)
(A.5)
A.3 Lösung der Dirac-Gleichung
Die Dirac-Gleichung ist eine Gleichung aus der QED zur Beschreibung von Spin-
1/2-Teilchen und -Antiteilchen. Die Gleichung sieht folgendermaßen aus:
(
)
i
3
∑
µ=0
γ µ ∂ µ − m
ψ = 0
(A.6)
ψ ist die Wellenfunktion des Spin-1/2-Teilchens und m dessen Masse. γ µ sind die
Dirac-γ-Matrizen und ∂ µ ist die kovariante Ableitung. Die Lösungen der Dirac-
Gleichung sind [5]:
⎛
u + = ⎜
⎝
⎛
⎞ ⎛
⎟
⎠ u− = ⎜
⎝
0
⎞ ⎛
1
0
⃗σ⃗p
E+m
−⃗σ⃗p
|E|+m
v + = ⎜
0
⎟
⎝ 1 ⎠ v− = ⎜
⎝
0
0
1
0
⃗σ⃗p
E+m
0
−⃗σ⃗p
|E|+m
0
1
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
(A.7)
(A.8)
Die beiden u-Vektoren beschreiben Teilchen (E > 0) und die v-Vektoren bezeichnen
Antiteilchen (E < 0). Die Zeichen + und − geben die Helizität des Teilchens an.
58

Anhang B
Lichtkegelkoordinaten
Bei relativistischen Kollisionen werden oft die Lichtkegelkoordinaten benutzt, in
denen die Vierervektoren folgendermaßen dargestellt werden: [10, 29, 32]
⎛
a + ⎞
a = ⎝⃗a ⊥
⎠
(B.1)
a −
Die 3 Lichtkegelkomponenten (in Abhängigkeit der normalen Vierervektor-Komponenten
a = (a 0 ,a 1 ,a 2 ,a 3 ) = (a 0 ,⃗a)) sind folgendermaßen definiert:
a ± = √ 1
( )
(a 0 ± a 3 a
1
) ⃗a ⊥ =
2 a 2 (B.2)
In diesem Koordinatensystem wird der metrische Tensor g µν zu
⎛
⎞
0 0 0 1
˜g µν = ⎜0 −1 0 0
⎟
⎝0 0 −1 0⎠ ,
1 0 0 0
so dass
(B.3)
a · a = (a 0 ) 2 −⃗a 2 und a · b = a + b − + a − b + −⃗a ⊥
⃗b ⊥ (B.4)
Allgemein benutzt man die kanonische Eichung a + = 0, welche genau eine Ebene
am Rand des Lichtkegels beschreibt (siehe Abbildung unten). Das Schwerpunktsystem
befindet sich also auf einer Ebene am Rand des Lichtkegels. Die Koordinate
59

a − wird dann zu einer Distanz in der Ebene a + = 0. Der Vorteil von Lichtkegelkoordinaten
ist, dass sie eine sehr simple Beschreibung, unabhängig von einem
Lorentz-System, von relativistischer Kinematik mit sich bringen. Lichtkegelkoordinaten
erlauben störungstheoretische Berechnungen bei ultrarelativistischen
Impulsen und sind allgemein sehr gut geeignet, um Teilchen in diesem Bereich zu
beschreiben. [29, 32]
Abbildung B.1: Vergleich des klassischen kartesischen Koordinatensystems (links)
und der Lichtkegelkoordinaten (rechts). Die Ebenen im kartesischen System sind
durch a 0 = const definiert und die Ebenen im Lichtkegelsystem durch a + = const
(hier jeweils für const = 0 dargestellt). Somit liegen im kartesischen System die
Ebenen senkrecht zur Zeitachse und im Lichtkegelsystem parallel zum Lichtkegelrand.
60

Anhang C
Vektor- und Axialvektor-Strom
Das Matrixelement des elektromagnetischen Stroms der einzelnen Quarks
j µ q (z) = ¯ψ q (z)γ µ ψ q (z)
(C.1)
gibt die im ersten Kapitel eingeführten Formfaktoren des Protons wieder (Pauliund
Dirac-Formfaktor):
[
〈p 2 | j q µ (0)|p 1 〉 = ū(p 2 ) F q 1 (q2 )γ µ + F q 2 (q2 ) iσ µν ]
∆ ν
u(p 1 ) (C.2)
2m
Betrachtet man statt einem Vektorstrom nun einen Axialvektorstrom
j 5µ
q (z) = ¯ψ q (z)γ µ γ 5 ψ q (z) (C.3)
so kann man auf die gleiche Weise wieder eine Aufspaltung in zwei Formfaktoren
machen, die in diesem Fall der Axialvektor- (G A ) und der Pseudoskalar-Formfaktor
(G P ) sind. Die polarisierten GPDs reduzieren sich im ersten Moment auf diese
(siehe Gl. (3.30) und (3.31)): [27]
〈p 2 | j 5µ
q (0)|p 1 〉 = ū(p 2 )
[G q A (q2 )γ µ γ 5 − G q P (q2 ) ∆µ γ 5
2m
]
u(p 1 )
Diese beiden Formfaktoren sind für das Proton folgendermaßen normiert: 1
G p A (0) = gp A = 1.267 und Gp P (0) = gp P = M 4gp N
2
A
m 2 π
(C.4)
(C.5)
1 Für das Neutron hat der Axialvektor-Formfaktor entgegengesetztes Vorzeichen, also g n A = −gp A .
61

Der Axialvektor-Strom ist relevant bei der schwachen Wechselwirkung, oder wie in
unserem Fall bei polarisierten Targets. Das γ 5 im Fluss rührt vom Projektionsoperator
der Helizität her, da man bei polarisierten Targets zwischen den verschiedenen
Helizitäten unterscheiden muss.
62

Anhang D
Das VGG-Modell
Das VGG-Modell ist ein von M. Vanderhaeghen, P.A.M. Guichon und M. Guidal
vorgeschlagenes Modell für die Parametrisierung von GPDs. Der Ansatz bezieht
sich auf den Formalismus der Double Distributions (DD): Der t-unabhängige Teil
der GPDs wird folgendermaßen parametrisiert [19]: 1
H DD =
∫ 1
−1
dβ
∫ 1−|β|
−1+|β|
dαδ(x − β − αξ )F(β,α) + θ
( )]
[1 − x2 x
ξ 2 D ξ
(D.1)
F(β,α) ist eine DD. Der zweite Summand wurde etwas später von Polyakov und
Weiss hinzugefügt, um Singularitäten zu vermeiden [34]. Die Terme β und α sind
äquivalent zu x und ξ in diesem Formalismus und werden durch die δ-Funktion
extrahiert. Der Ansatz für den t-unabhägigen Teil der DD-Funktion ist
F(β,α) = h(β,α)q(β),
(D.2)
wobei q(β) eine klassische PDF ist und h(β,α) die sogenannte Profil-Funktion ist
und parametrisiert wird durch:
h(β,α) =
Γ(2b + 2) [(1 − |β|) 2 − α 2 ] b
2 2b+1 Γ 2 (b − 1) (1 − |β|) 2b+1 )
(D.3)
Für die t-Abhängigkeit wird ein sogenannter Regge-Ansatz benutzt, d.h. aus dem
Ansatz
1 In diesem Anhang wird nur die GPD H besprochen, da sie die dominante GPD ist. Die
Parametrisierungen der anderen GPDs erfolgen analog.
63

H(x,ξ = 0,t) = 1
x α′ t q(x)
folgt das sogenannte Regge-VGG-Modell für die DD:
(D.4)
1
F(β,α,t) = h(β,α)q(β)
|β| α′ t
(D.5)
Die Größe α ′ wird als Regge-Steigung bezeichnet. Der D-Term im zweiten Summand
kann mit Hilfe von Gegenbauer-Polynomen entwickelt werden [19]:
D(z) = (1 − z 2 )[d 1 C 3/2
1
(z) + d 3 C 3/2
3
(z) + d 5 C 3/2
5
(z) + ...] (D.6)
64

Abbildungsverzeichnis
2.1 Elastische Elektron-Proton-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Valenz- und Seequarks im Proton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Reduzierung des Hadron-Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Höherer Twist bei DVCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Faktorisierungstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1 Handbag-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Transversaler Impulsübertrag beim Proton . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Nukleon-Tomographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Der Bethe-Heitler-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Dominanz von DVCS oder BH in Abhängigkeit von x . . . . . . . 40
3.6 Kinematik bei DVCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7 Gesamtamplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1 Kinematische Bereiche von COMPASS, HERMES, JLAB und
HERA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Erste Tomographie-Messungen und Simulation . . . . . . . . . . 51
4.3 Erwartete Messergebnisse bei D CS,U . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 D CS,U für 12 verschiedene kinematische Bereiche . . . . . . . . . 53
4.5 A CS,U für 6 verschiedene Werte von x . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.6 A CS,T P in Abhängigkeit von t, x und Q 2 . . . . . . . . . . . . . . 54
B.1 Lichtkegelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
65

Literaturverzeichnis
[1] X. JI, Deeply Virtual Compton Scattering, Phys. Rev. D 55, 11 (1997) .
[2] A.V. BELITSKY, D. MÜLLER, A. KIRCHNER, Theory of Deeply Virtual
Compton Scattering on the Nucleon, arXiv:hep-ph/0112108v2.
[3] A.V. BELITSKY, D. MÜLLER, L. NIEDERMEIER, A. SCHÄFER, Leading
twist asymmetries in deeply virtual Compton scattering, arXiv:hepph/0004059v2.
[4] W. DEMTRÖDER, Experimentalphysik 4: Kern-, Teilchen-, und Astrophysik,
Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1998.
[5] F. HALZEN, A. D. MARTIN, Quarks & Leptons: An Introductory Course in
Modern Particle Physics, John Wiley & Sons Inc., Hoboken (New Jersey),
1984.
[6] H. MACHNER, Einführung in die Kern- und Elementarteilchenphysik,
WILEY-VCH Verlag, Weinheim, 2005.
[7] M. E. PESKIN, D. V. SCHROEDER, An Introduction to Quantum Field
Theory, Westview Press, Boulder (Colorado), 1995.
[8] B. POVH, K. RITH, C. SCHOLZ, F. ZETSCHE, Teilchen und Kerne, Springer-
Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 5. Auflage, 1999.
[9] D. H. PERKINS, Hochenergiephysik, Addison-Wesley (Deutschland) GmbH,
Bonn, 1990.
[10] R. DEVENISH, A. COOPER-SARKAR, Deep Inelastic Scattering, Oxford
University Press, Oxford, 2004.
66

[11] P. ROY, Theory of Lepton-Hadron Processes at High Energies, Oxford University
Press, Oxford, 1975.
[12] M. GARCON, An Introduction to the Generalized Parton Distributions,
arXiv:hep-ph/0210068v2.
[13] M. DIEHL, T. GOUSSET, B. PIRE, J.P. RALSTON, Testing the handbag contribution
to exclusive virtual Compton scattering, arXiv:hep-ph/9706344v1.
[14] V.M. BRAUN, T. LAUTENSCHLAGER, A.N. MANASHOV, B.PIRNAY, Higher
twist parton distributions from light-cone wave functions, arXiv:hepph/1103.1269v1.
[15] S.J. BRODSKY, M. DIEHL, D. S. HWANG, Light-Cone Wavefunction Representation
of Deeply Virtual Compton Scattering, arXiv:hep-ph/0009254v3.
[16] A. V. BELITSKY, D. MÜLLER, Overview of deeply virtual Compton scattering,
arXiv:hep-ph/0111037v1.
[17] J.C. COLLINS, D.E. SOPER, G. STERMAN, Factorization of Hard Processes
in QCD, arXiv:hep-ph/0409313v1.
[18] D. MÜLLER, Generalized Parton Distributions - theoretical review -,
arXiv:hep-ph/0501158v2.
[19] J. R. T. BURNS, Deeply Virtual Compton Scattering off an Unpolarised
Hydrogen Target at HERMES, Doktorarbeit, University of Glasgow, 2010.
[20] E. BURTIN, N. D’HOSE, P.A.M. GUICHON, S. KERHOAS-CAVATA, J.
MARRONCLE, L.MOSSÉ, Outline for a Deeply Virtual Compton Scattering
Experiment using COMPASS at CERN, COMPASS-Intern Paper, 2001.
[21] N. D’HOSE, E. BURTIN, P.A.M. GUICHON, J. MARRONCLE, M. MOINES-
TER, J. POCHODZALLA, A. SANDACZ, Possible Measurements of GPDs at
COMPASS, COMPASS-Intern Paper, no date.
[22] THE COMPASS COLLABORATION, COMPASS-II Proposal, COMPASS-
Intern Paper, 2010.
[23] M.DIEHL, Exploring skewed parton distributions with polarized targets,
arXiv:hep-ph/0010200v1.
67

[24] M.DIEHL, Introduction to Generalized Parton Distributions, CERN-Intern
Paper, 2009.
[25] J. D. BRATT ET AL., Nucleon Structure from mixed action calculations using
2+1 flavors of asqtad sea and domain wall valence fermions, arXiv:heplat/1001.3620v2.
[26] W.WEISE ET AL., Quarks and Nuclei, World Scientific Publishing Co. Pte.
Ltd., Singapore-Philadelphia, 1984.
[27] A.V. BELITSKY, A.V. RADYUSHKIN, Unraveling hadron structure with
generalized parton distributions, arXiv:hep-ph/0504030v3.
[28] J. BARWIND, Azimuthal Asymmetries in polarized Vector-Meson Production
at the COMPASS Experiment, Diplomarbeit, Albert-Ludwigs-Universität
Freiburg, 2008.
[29] M. FREWER, On a Renormalized QCD-inspired Model in the Light-cone
Formulation, Doktorarbeit, Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg, 2003.
[30] N. D’HOSE, Exclusive Reactions at High Momentum Transfer, COMPASS-
Intern Presentation, 2010.
[31] J. CHEN, Single Target Spin Asymmetries and GPDs, Jefferson Lab-Intern
Presentation, 2005.
[32] V. DE ALFARO, S. FUBINI, G. FURLAN, C. ROSSETTI, Currents in Hadron
Physics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam-London, American
Elsevier Publishing Company Inc., New York, 1973 .
[33] K. G. WILSON, Non-Lagrangian Models of Current Algebra, Phys. Rev. 179,
1499 (1969).
[34] M.V. POLYAKOV, C. WEISS, Skewed and double distributions in the pion
and the nucleon, Phys. Rev. D., 60, 114017 (1999).
[35] K. KUMERICKI, D. MUELLER, Deeply Virtual Compton Scattering at small
x B and the access to the GPD H, arXiv:hep-ph/0904.0458v2.
68

Ich möchte mich hiermit ganz herzlich bei Herrn Prof. Dr. Königsmann für seine
Hilfe und konstruktive Gespräche bezüglich dieser Arbeit bedanken. Außerdem
möchte ich mich bei den Mitarbeitern der AG Königsmann und Fischer für ihren
freundlichen Empfang, die kollegiale Atmosphäre und den leckeren Kaffee
bedanken.
Ein ganz besonderer Dank gilt meiner Mutter, ohne die mein Studium nicht
möglich gewesen wäre.
Alle Bilder ohne Quellenangaben wurden von mir selbst erstellt.
70

Erklärung
Hiermit versichere ich, die eingereichte Bachelorarbeit selbstständig verfasst und
keine anderen als von mir angegebene Quellen und Hilfsmittel benutzt zu haben.
Alle Zitate sind gekennzeichnet und alle Abbildungen enthalten nur die originalen
Daten und sind keiner inhaltsverändernder Bildbearbeitung unterzogen worden.
Ich erkläre weiterhin, dass die vorliegende Arbeit noch nicht anderwertig als
Bachelorarbeit eingereicht wurde.
............................................................... ...............................................................
Ort, Datum
Unterschrift
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