Aufbau und Gestaltung von Demonstrationsexperimenten zu ...

WISSENSCHAFTLICHE ARBEITFÜR DAS STAATSEXAMEN IM FACH PHYSIKAufbau und Gestaltung vonDemonstrationsexperimenten zuDrehimpuls und Trägheitsmomentvorgelegt vonNathalie Dierleangefertigt beiProf. Dr. Horst Fischer13. Mai 2013PHYSIKALISCHES INSTITUTALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

4.1.3. Teil 2: Messung der Schwingungsdauer des Drehtischs inklusiveSchwungrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1.4. Fehlerdiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2. Experimente mit der Klauenkupplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2.1. Schwungräder gleicher Trägheitsmomente . . . . . . . . . . . . . 574.2.2. Schwungräder unterschiedlicher Trägheitsmomente . . . . . . . . 624.2.3. Zusammenfassung der erzielten Ergebnisse . . . . . . . . . . . . 754.3. Experimente mit der Rutschkupplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3.1. Schwungräder gleicher Trägheitsmomente . . . . . . . . . . . . . 764.3.2. Schwungräder unterschiedlicher Trägheitsmomente . . . . . . . . 804.3.3. Zusammenfassung der erzielten Ergebnisse . . . . . . . . . . . . 845. Die Einbindung in den Schulunterricht 855.1. Bezug zum Bildungsplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2. Erforderliche Vorkenntnisse der Schüler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3. Einsatz der Experimente im Schulunterricht . . . . . . . . . . . . . . . 876. Versuchsanleitung für einen Laborkurs für Demonstrationsexperimente 897. Zusammenfassung 101A. Messwerte zur Bestimmung der Trägheitsmomente 103B. Messwerte zum Koppeln der Schwungräder 109C. Auflistung der Internetquellen 115Literaturverzeichnis 123

1. EinleitungDrehbewegungen jeglicher Art sind im alltäglichen Leben vielfach anzutreffen. Mandenke beispielsweise an die im Straßenverkehr täglich genutzten Fortbewegungsmittel,die alle auf der Drehbewegung von Wellen und Rädern beruhen oder auch an dieRotation der Erde um ihre Achse, deren Auswirkungen unter anderem am ständigenWechsel von Tag und Nacht zu beobachten sind. Auch auf mikroskopischer Ebene sindDrehbewegungen zu finden, denn selbst Moleküle weisen Rotationsbewegungen auf.Trotz der allgegenwärtigen Präsenz von Drehbewegungen und deren immenser Bedeutungfür das alltägliche Leben wird im Schulunterricht der Beschreibung von rotierendenstarren Körpern oft nur eine geringe Rolle beigemessen. Meist beschränktsich die Darstellung dieser Bewegungen auf die Größen Drehwinkel und Winkelgeschwindigkeit.Dem Drehimpuls hingegen, der für die Mechanik der Drehbewegungeneine bedeutende Rolle spielt, wird im heutigen Schulunterricht kein hoher Stellenwertbeigemessen. Folglich wird auch die Erhaltung des Drehimpulses nur sehr selten imPhysikunterricht behandelt und auch die zum Verständnis der Dynamik von Drehbewegungenbenötigte Größe des Trägheitsmoments wird meist nicht genauer untersucht.Aus diesem Grunde dokumentiert die vorliegende Arbeit die Entwicklung und Gestaltungvon Demonstrationsexperimenten zu Drehimpuls und Trägheitsmoment, die aufeinen phänomenologischen Erkenntnisgewinn ausgerichtet sind, um den Schülerinnenund Schülern 1 einen tieferen Einblick in die Theorie der Drehbewegungen zu geben.Die vorgestellten Versuche basieren auf der Kopplung von Schwungrädern unterschiedlicherTrägheitsmomente und nutzen für die Auswertung der erzielten Ergebnisse Analogienzu Stoßvorgängen aus der Translationsmechanik aus.Die vorliegenden Arbeit beginnt mit einem Theorieteil, in welchem die physikalischenGrundlagen bereitgestellt werden, die für ein tieferes Verständnis der entwickeltenExperimente benötigt werden. Das dafür vorgesehene zweite Kapitel untersuchtzunächst die Darstellung einfacher Drehbewegungen um raumfeste Achsen, wie siemeist in der Schule besprochen werden, während der weiterführende Teil die Untersuchungenauf solche Fälle ausweitet, die zeitliche Änderungen der Drehachsenpositionberücksichtigen. Der anschließende Hauptteil der Staatsexamensarbeit (Kapitel 3und 4) widmet sich der Dokumentation der Demonstrationsexperimente. Während inKapitel 3 zunächst die Versuchsaufbauten erläutert werden, indem die einzelnen Ver-1 Aus sprachlichen Gründen wird im Folgenden nur noch die männliche Form verwendet. Die weiblichenLeser werden dafür um Verständnis gebeten.1

1 Einleitungsuchskomponenten sowie ihre Bedeutung und Eignung für die Experimente aufgeführtwerden, finden sich im vierten Abschnitt die mithilfe dieser Versuchsaufbauten erzieltenMessergebnisse sowie ihre Auswertung wieder. In Kapitel 5 erhalten die entwickeltenDemonstrationsexperimente zu Drehimpuls und Trägheitsmoment ihre didaktischeEinordnung in den schulischen Kontext. In diesem Zusammenhang werden Vorschlägefür die Einbindung der Experimente in den Schulunterricht aufgeführt, die auf den inden Bildungsstandards geforderten Kenntnisstand der Schüler abgestimmt sind.Wichtig in der Ausbildung zukünftiger Physiklehrer ist der Umgang mit schultypischenExperimenten. In diesem Zusammenhang sind nicht nur Kenntnisse beim Aufbauund Bedienen der Versuchsgeräte erforderlich, sondern auch eine didaktisch sinnvolleDurchführung und Präsentation der Experimente muss gelernt sein. Aus diesem Grundefordert die Prüfungsordnung für das Lehramt an Gymnasien, dass die Teilnahmean einem Laborkurs für Demonstrationsexperimente verpflichtender Bestandteil imLehramtsstudiengang für das Fach Physik ist. In diesem speziell für Lehramtsstudierendeausgerichteten Kurs sollen auch die im Rahmen dieser wissenschaftlichen Arbeitentwickelten Demonstrationsexperimente zu Drehimpuls und Trägheitsmoment zumEinsatz kommen. Eine Anleitung zur Durchführung dieser Versuche im Zuge des Laborkursesfindet sich in Kapitel 6 wieder.2

2. Physikalische GrundlagenFür den in diesem Kapitel aufgeführten Theorieteil ist ein Zweiteilung vorgenommenworden. Während in Kapitel 2.2 auf die allgemeine vektorielle Beschreibung der fürdie Rotation charakteristischen Größen verzichtet wird, um die didaktischen Aspektein den Vordergrund zu stellen, wird in Anschnitt 2.3 diese Einschränkung zugunstender allgemeinen Darstellung von Drehbewegungen wieder aufgehoben.Die im Folgenden zusammengestellten physikalischen Grundlagen sind, sofern nichtanders vermerkt, den Quellen [1–6] entnommen.2.1. Translation und RotationBewegungen starrer Körper stellen Überlagerungen zweier verschiedener Bewegungsformendar, die sich in translatorische und rotatorische Bewegungen unterteilen. Währendreine Translationen solche Bewegungen charakterisieren, bei denen alle Punkteeines Objekts Positionswechsel entlang kongruenter Bahnen ausführen, beschreibenbei Rotationen alle Körperelemente konzentrische Kreise um die Drehachse.Abbildung 2.1 veranschaulicht die beiden unvermischten Bewegungsformen eines starrenKörpers, der aus einer Ansammlung von Objektteilchen besteht und sich durchseine unveränderliche Gestalt auszeichnet.Abb. 2.1.: Oben rechts: Beispiel einer Rotation. Unten: Darstellung einer Translationsbewegung [3].Der Fokus dieses Theorieteils richtet sich auf die Rotation starrer Körper, für derenBeschreibung im Folgenden ein neuer Satz von Begriffen eingeführt werden muss.3

2 Physikalische Grundlagen2.2. Rotationen um raumfeste AchsenBei der Beschreibung von Drehbewegungen starrer Körper spielt die Lage der Drehachseim Raum eine entscheidende Rolle. Während Rotationen um raumfeste Achsen,wie man sie beispielsweise bei einem Karussell findet, die mathematische Handhabungdieser Bewegungen erleichtern, verlangen Drehbewegungen, bei denen sich die Lageder Drehachse im Laufe der Zeit ändern kann, die vektorielle Auffassung der für dieRotation charakteristischen Größen.Anhand der einfachen Drehbewegungen um raumfeste Achsen sollen in diesem Unterkapitel2.2 die für die Rotation relevanten Begriffe eingeführt werden.2.2.1. WinkelgeschwindigkeitUm die Einführung der Winkelgeschwindigkeit bei der Rotation starrer Körper umeine raumfeste Achse zu motivieren, überlege man sich zunächst, dass sich jeder Punkteines sich so drehenden Körpers auf einer für ihn charakteristischen Kreisbahn bewegt,deren Mittelpunkt auf der Drehachse positioniert ist. Hierfür ist in Abbildung 2.2exemplarisch eine Kreisscheibe gezeigt, die um eine senkrecht zu ihr feststehende Achsedurch ihren Mittelpunkt rotiert.Abb. 2.2.: Eine Scheibe rotiert um eine senkrecht zu ihr feststehende Achse.Dabei ist festzustellen, dass sich der Punkt B am Rand der Scheibe deutlich schnellerbewegt als der Punkt A in der Nähe der Rotationsachse, da er in derselben Zeit einegrößere Strecke zurücklegt. Wie dieses Experiment verdeutlicht, liegt für die sich drehendeScheibe und folglich auch für einen beliebigen starren Körper keine einheitlicheGeschwindigkeit vor, sodass für Drehbewegungen ein anderes Maß für die Geschwindigkeiteines Objekts eingeführt werden muss.4

2.2 Rotationen um raumfeste AchsenDefinition der WinkelgeschwindigkeitUm für einen rotierenden Körper einen für alle Objektteilchen einheitlichen Geschwindigkeitsbegriffeinführen zu können, betrachte man den Winkel ϕ, welcher von einervon der Drehachse zu einem beliebigen Punkt auf der Scheibe gezogenen Linieüberstrichen wird (vgl. Abb. 2.2). Wie man sich leicht überlegt, ist der pro Zeiteinheitzurückgelegte Winkel ϕ für alle Punkte einer rotierenden Scheibe gleich groß. Daherspielt bei Drehbewegungen die für alle Punkte einheitliche Geschwindigkeit dϕ/dt, welchedie zeitliche Änderung des überstrichenen Winkels ϕ angibt, eine wichtige Rolle.Man nennt sie die Winkelgeschwindigkeit ω der Scheibeω = dϕdt . (2.1)Wenn die Angabe des überstrichenen Winkels im Bogenmaß erfolgt, wird die Winkelgeschwindigkeitin der Einheit rad/s gemessen[ω] = rad/s . (2.2)Man beachte, dass die Winkelgeschwindigkeit in diesem Falle der Rotation um eineraumfeste Achse sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann. Die Festlegungdes Vorzeichens ergibt sich aus dem Drehsinn des rotierenden Körpers. Findeteine Drehung gegen den Uhrzeigersinn statt, so wächst der überstrichene Winkel ϕ ausmathematischer Sicht an, sodass die Winkelgeschwindigkeit einen positiven Wert annimmt,während sie bei Drehungen im Uhrzeigersinn ein negatives Vorzeichen erhält.Im Allgemeinen muss die Winkelgeschwindigkeit jedoch als vektorielle Größe behandeltwerden, insbesondere wenn keine räumliche Fixierung der Rotationsachse vorliegt(siehe dazu Unterkapitel 2.3).Winkelgeschwindigkeit und BahngeschwindigkeitUm einen Zusammenhang zwischen der Bahngeschwindigkeit eines innerhalb eines rotierendenstarren Körpers positionierten Teilchens P und der Winkelgeschwindigkeitdieses Objekts herzustellen, betrachte man in Abbildung 2.3 das im Abstand r ⊥ vonder Drehachse platzierte Teilchen, das sich auf einer Kreisbahn um die Rotationsachsebewegt. Der zugehörige starre Körper ist in blauer Farbe als Schnittfläche mit einerzur Drehachse senkrechten Ebene eingezeichnet.Wenn der starre Körper eine Drehung um den Winkel dϕ ausführt, bewegt sich dasObjektteilchen P auf einem Kreisbogen um die Strecke ds, die durchds = r ⊥ dϕ (2.3)gegeben ist. Man beachte dabei, dass diese Beziehung zwischen den Variablen derlinearen Bewegungen und der Rotation nur dann gültig ist, wenn die Angabe des5

2 Physikalische GrundlagenAbb. 2.3.: Jeder Punkt eines rotierenden starren Körpers bewegt sich auf einer Kreisbahn um dieDrehachse.Winkels dϕ im Bogenmaß erfolgt.Berücksichtigt man weiter, dass die im Punkt P tangential wirkende Bahngeschwindigkeit⃗v des Teilchens den Betrag ds/dt hat, so erhält man unter Verwendung derBeziehungen (2.1) und (2.3) für den gesuchten Zusammenhang zwischen dem Betrag vder Bahngeschwindigkeit und der Winkelgeschwindigkeit ω des starren Körpersv = r ⊥ ω . (2.4)Dieser Ausdruck beschreibt die eingangs aufgestellte Beobachtung, dass bei der Rotationeines starren Körpers um eine Achse seine Massenelemente eine umso größerelineare Geschwindigkeit v aufweisen, je größer ihr senkrechter Abstand r ⊥ zur Drehachseist.2.2.2. WinkelbeschleunigungZeitliche Änderungen der Winkelgeschwindigkeit eines sich drehenden Objekts werdendurch die sogenannte Winkelbeschleunigung α angegeben, die sich gemäßα = dωdt(2.5)berechnet. Dieser Definition ist zu entnehmen, dass die Einheit der Winkelbeschleunigungin rad/s 2 angegeben wird.Wiederum ist zu berücksichtigen, dass die Winkelbeschleunigung im allgemeinen Falleine vektorielle Größe ist. Bei der hier vorliegenden Thematik einer Drehung um raumfesteAchsen beschränkt sich ihre Angabe - wie bei der Winkelgeschwindigkeit - aufeine einzige Komponente des zugehörigen Vektors.6

2.2 Rotationen um raumfeste AchsenWinkelbeschleunigung und lineare BeschleunigungUm eine Verknüpfung zwischen der Winkelbeschleunigung und der entsprechendenKomponente der linearen Beschleunigung herzustellen, bildet man bei konstantemAbstand r ⊥ die zeitliche Ableitung von Gleichung (2.4) und erhältdvdt= r⊥dωdt = r⊥ α . (2.6)Der Ausdruck auf der linken Seite dieser Gleichung beschreibt die zeitliche Änderungder linearen Geschwindigkeit, die tangential zur Kreisbahn des Teilchens P aus Abbildung2.3 gerichtet ist. Daher gibt dv/dt gerade die tangentiale Komponente a t derlinearen Beschleunigung ana t = r ⊥ α . (2.7)Neben der tangentialen Komponente der linearen Beschleunigung erfährt jedes Teilchen,das sich auf einer Kreisbahn bewegt, auch eine radial zur Drehachse gerichteteBeschleunigung a r = v 2 /r ⊥ . Dieser Anteil ist für die Richtungsänderung von ⃗v verantwortlichund berechnet sich gemäß Gleichung (2.4) durcha r = v2r ⊥ = ω2 r ⊥ . (2.8)2.2.3. Das DrehmomentUm einen starren Körper in Drehung zu versetzen, müssen Kräfte auf ihn einwirken.Maßgebend für die Drehbewegung um eine raumfeste Achse sind aber nicht nur dieBeträge der einwirkenden Kräfte, sondern auch die Abstände ihrer Wirkungslinien vonder Drehachse spielen eine wichtige Rolle. Um dies zu verdeutlichen, betrachte man inAbbildung 2.4 den Querschnitt eines starren Körpers, der um eine zum Querschnittsenkrechte Achse durch O rotieren kann. Im Punkt P greife eine Kraft ⃗ F an, die eineverschwindende Komponente parallel zur Drehachse besitze.Erfolgt wie in Abbildung 2.4 (a) die Krafteinwirkung im Punkt P radial, so ist keineRotation des Objekts zu beobachten. Hingegen führt eine tangential angreifende Kraftzur Drehung des Körpers (vgl. Abb. 2.4 (b)).Der bedeutende Unterschied bei diesen beiden vorgestellten Situationen betrifft denAbstand der Drehachse von der Wirkungslinie der Kraft. Während in der ersten Abbildungdie Wirkungslinie der Kraft ⃗ F durch die Drehachse verläuft, liegt in Darstellung2.4 (b) ein nichtverschwindender Abstand l der Drehachse von der Wirkungslinie derKraft vor, welcher neben dem Betrag der Kraft ⃗ F für die Drehbewegung des Körpersverantwortlich ist. Diesen senkrechten Abstand bezeichnet man als Hebelarm derKraft ⃗ F .7

2 Physikalische Grundlagen(a)(b)Abb. 2.4.: Überlegungen zur Definition des Drehmoments:(a) Bei einer radial angreifenden Kraft ist keine Drehung des Körpers zu beobachten.(b) Das Objekt wird durch eine tangential angreifende Kraft in Drehung versetzt.Definition des DrehmomentsDer vorige Abschnitt veranschaulicht, dass der Betrag einer auf einen starren Körpereinwirkenden Kraft sowie ihr Hebelarm maßgebend für die Drehbewegung eines Objektssind. Das Produkt dieser beiden für die Rotation eines starren Körpers relevantenGrößen wird als Drehmoment M bezeichnet.Abbildung 2.5 zeigt wiederum den Querschnitt eines starren Körpers, der drehbarim Punkt O gelagert ist. Am Punkt P im Abstand r von der Drehachse greift eineKraft ⃗ F an, die in einer zur Rotationsachse senkrechten Ebene liegt und das Objektin Drehung versetzt. Bei dieser in Abbildung 2.5 vorgestellten Situation wird zudemgefordert, dass die am starren Körper angreifende Kraft ⃗ F nur kurz wirkt, sodass sichdas Objekt während der Krafteinwirkung nur sehr geringfügig dreht und der Winkel θzwischen der Kraft ⃗ F und dem Ortsvektor ⃗r des Punkts P daher nahezu unverändertbleibt.Abb. 2.5.: Zur Definition des Drehmoments.Mit Hilfe der aufgeführten Bezeichnungen lässt sich das durch die Kraft ⃗ F verursachteDrehmoment bezüglich der Drehachse als Produkt aus dem Betrag F der einwirkendenKraft und deren Hebelarm r sin θ berechnen durch8

2.2 Rotationen um raumfeste AchsenM = F r sin θ . (2.9)Zerlegt man die in Abbildung 2.5 dargestellte Kraft F ⃗ in ihre Komponente F ⃗ r bzw.⃗F t , so zeigen die eingangs angestellten Überlegungen, dass nur die tangentiale KomponenteF ⃗ t , die senkrecht auf ⃗r steht und den Betrag F t = F sin θ besitzt, für dieDrehbewegung verantwortlich ist. Eine zu Gleichung (2.9) äquivalente Darstellung istfolglichM = r F t . (2.10)Kehrt man die Kraftrichtung oder auch die Richtung des Vektors ⃗r um, so ändert sichauch der Drehsinn des Objekts. Dies impliziert, dass das für die Drehwirkung verantwortlicheDrehmoment Vektorcharakter besitzt (siehe Abschnitt 2.3.3).Einheit des DrehmomentsGleichung (2.9) ist zu entnehmen, dass die Einheit des Drehmoments das Newtonmeter(Einheitenzeichen: Nm) ist. Damit wird das Drehmoment in derselben Einheit wie dieEnergie gemessen. Um jedoch zu verdeutlichen, dass es sich hierbei um zwei verschiedeneGrößen handelt, deren Verschiedenartigkeit bereits daran zu erkennen ist, dassdas Drehmoment ein Vektor und die Energie ein Skalar ist, wird für das Drehmomentzweckmäßigerweise nicht die Bezeichnung Joule anstelle des Newtonmeters verwendet.2.2.4. Der DrehimpulsDer Bewegungszustand eines Körpers wird bei der Translation durch den Impuls charakterisiert.Das Äquivalent hierzu bildet bei der Rotation der Drehimpuls. Für seineDefinition betrachte man zunächst ein Teilchen der Masse m i , das sich mit der Winkelgeschwindigkeitω auf einer mit dem Radius ri⊥ ausgezeichneten Kreisbahn bewegt.Der Drehimpuls L dieses Teilchens relativ zum Kreismittelpunkt ist definiert alsProdukt aus dem linearen Impuls p i = m i v i und dem Radius ri⊥L i = m i v i r ⊥ i . (2.11)Diese Definition des Drehimpuls eines einzelnen Teilchens lässt sich auch auf einen umeine raumfeste Achse rotierenden Körper ausweiten. Der Gesamtdrehimpuls L diesesObjekts ergibt sich aus der Summation über die Drehimpulse aller Massenelemente desKörpers, die sich gemäß den eingangs angestellten Überlegungen auf einer für sie charakteristischenKreisbahn bewegen, deren Mittelpunkt auf der Drehachse positioniertist:L = ∑ iL i = ∑ im i v i r ⊥ i . (2.12)9

2 Physikalische GrundlagenVerwendet man den Zusammenhang v i = ri ⊥ ω, welcher berücksichtigt, dass die Massenpunktedes rotierenden Körpers mit zunehmendem senkrechten Abstand ri⊥ zurDrehachse eine größere Geschwindigkeit v i aufweisen, wird der Ausdruck für den Gesamtdrehimpulsdes sich drehenden Objekts zuL = ∑ im i r ⊥ 2i ω. (2.13)2.2.5. Das TrägheitsmomentIn der Translationsmechanik erfolgt die Definition der trägen Masse mithilfe des zweitenNewtonschen Axioms, dass im Falle einer Linearbewegung die Aussage beinhaltet,dass die an einem Körper angreifende Kraft F eine Impulsänderung bewirkt:F = dpdt . (2.14)Unter Zuhilfenahme des Zusammenhangs p = mv für den linearen Impuls wird hierausdeutlich, dass die Masse m eines Körpers ein Maß für den Widerstand gegen eineÄnderung seiner Geschwindigkeit v ist.In diesem Abschnitt soll für Rotationen die zur Masse bei Translationsbewegungenanaloge Größe eingeführt werden. Ausgangspunkt stellt in Analogie zur Translationdie zeitliche Änderung des Drehimpulses eines um eine feste Achse rotierenden Körpersdar. Leitet man bei zeitlich konstanten Massenelementen m i Gleichung (2.13) nach derZeit ab, so ergibt sichdLdt = ( ∑im i r ⊥ 2i)dωdt . (2.15)Vergleicht man diesen Ausdruck mit dem entsprechenden Zusammenhang aus derTranslationsmechanikdpdt = m dvdt , (2.16)so kann gefolgert werden, dass der eingeklammerte Ausdruck in Gleichung (2.15) aufgrundder Entsprechungen von Drehimpuls und Impuls sowie den beiden Beschleunigungsbegriffendie Rolle der Masse einnimmt und somit den Widerstand angibt, dender Körper einer Änderung seiner Drehbewegung um die raumfeste Rotationsachseentgegensetzt. Die durch den ZusammenhangI = ∑ im i r ⊥ 2i (2.17)beschriebene Größe bezeichnet man als das Trägheitsmoment I des Körpers bezüglichder Drehachse.10

2.2 Rotationen um raumfeste AchsenDas Trägheitsmoment bezüglich einer festgelegten Achse fasst die Masse des starrenKörpers sowie ihre Verteilung bezüglich der Rotationsachse in einer Größe zusammen.Massenelemente, die weiter von der Drehachse entfernt sind, liefern laut Definition(2.17) einen größeren Beitrag zum Trägheitsmoment. Man beachte jedoch, dass dasTrägheitsmoment im Unterschied zur Masse keine unveränderliche Körpereigenschaftdarstellt, denn das Trägheitsmoment hängt von der Wahl der Drehachse ab. So kannein Körper auch bei konstanter Masse je nach Lage der Rotationsachse unterschiedlicheTrägheitsmomente aufweisen.Kehrt man die Drehrichtung des rotierenden starren Körpers um, so ändert sich dasVorzeichen des Trägheitsmoments nicht. Folglich stellt das Trägheitsmoment keine vektorielleGröße dar. Jedoch ist das Trägheitsmoment eines Objekts auch kein Skalar.Dazu überlege man sich, dass der Wert des Trägheitsmoments laut Definition (2.17)variiert, wenn bei festgehaltenem Körper eine andere Wahl für die Drehachse getroffenwird. Daher muss bei der Angabe des Trägheitsmoments ersichtlich sein, auf welcheRotationsachse sich das Trägheitsmoment des Körpers bezieht.Im Allgemeinen ist das Trägheitsmoment eine Tensorgröße (siehe Unterkapitel 2.3),die für Drehachsen, die alle einen gemeinsamen Punkt aufweisen, in Matrizenformdargestellt werden kann.Trägheitsmomente für Körper mit kontinuierlicher MassenverteilungDie in Gleichung (2.17) aufgeführte Formel zur Berechnung des Trägheitsmomentsbezüglich einer gegebenen Achse ist nur bei solchen Körpern anwendbar, die einen Aufbauaus wenigen diskreten Teilchen aufweisen. Für Objekte mit kontinuierlicher Massenverteilungverwendet man für die Zusammensetzung des starren Körpers das Modellder infinitesimalen Massenelemente und ersetzt die Summe aus Gleichung (2.17) durchein Integral. Dies ergibt∫I = r ⊥ 2 dm . (2.18)Hierbei bezeichnet r ⊥ den Abstand des Massenelements dm von der Drehachse.Den Darstellungen (2.17) und (2.18) für das Trägheitsmoment bezüglich einer vorgegebenenAchse ist zu entnehmen, dass das Trägheitsmoment stets eine positive Größeist und in der Einheit kg m 2 gemessen wird.Der Steinersche SatzWie bereits beschrieben, stellt das Trägheitsmoment eines rotierenden Objekts keinereine Körpereigenschaft dar, sondern weist eine Abhängigkeit von der Lage derDrehachse auf. Ist für ein Körper das Trägheitsmoment I S bezüglich einer durch denSchwerpunkt verlaufenden Achse bekannt, so ermöglicht der Steinerscher Satz die11

2 Physikalische GrundlagenBestimmung des Trägheitsmoments I bezüglich einer beliebigen Drehachse A, die eineParallele zur erstgenannten Achse darstellt:I = I S + m a 2 . (2.19)Dabei bezeichnet m die Gesamtmasse des rotierenden Körpers und a gibt den Abstandbeider Achsen an.Beweis des Steinerschen Satzes:Für den Beweis den Steinerschen Satzes betrachte man einen Körper, der eine Drehungum eine beliebige Achse A vollführt. In Abbildung 2.6 ist diese Situation dargestellt,wobei der rotierende Körper nur durch seine Schnittfläche mit der x 1 x 2 -Ebene unddurch ein Massenelement m i mit den Koordinaten (x 1,i , x 2,i , x 3,i ) angedeutet wird.Abb. 2.6.: Zum Beweis des Steinerschen Satzes.Für nachfolgende Betrachtungen wird das Koordinatensystem so positioniert, dassder Schwerpunkt S des Körpers im Ursprung liegt und die x 3 -Achse eine Parallele zurDrehachse A darstellt, die den Punkt (a, 0, 0) kreuzt.Die Abstände des eingezeichneten Massenelements zur x 3 -Achse bzw. zur Achse Awerden mit ri⊥ und r A,i gekennzeichnet und berechnen sich durch die Beziehungenr ⊥ 2i = x 2 1,i + x 2 2,i und r 2 A,i = (x 1,i − a) 2 + x 2 2,i . (2.20)Damit ermittelt man für das Trägheitsmoment I S bezüglich der x 3 -Achse durch denSchwerpunkt des Körpers∫∫I S = ri ⊥ 2 dm = (x 2 1,i + x 2 2,i) dm . (2.21)Analog liefert die Berechnung des Trägheitsmoments für Drehungen um die zur x 3 -Achse parallelen Achse A12

2.2 Rotationen um raumfeste Achsen∫I =∫=∫=∫((x1,irA,i 2 dm = − a) 2 + x2,i) 2 dm∫∫ ∫x 2 1,i dm − 2a x 1,i dm + a 2 dm + x 2 2,i dm∫∫(x 2 1,i + x 2 2,i) dm − 2a x 1,i dm + a 2 dm .Der erste Term stellt das Trägheitsmoment I S bezüglich der x 3 -Achse durch denSchwerpunkt S dar. Für den zweiten Term benutzt man ∫ x 1,i dm = m x 1,S , wobeim die Gesamtmasse des rotierenden Körpers angibt und x 1,S die x 1 -Koordinate desSchwerpunkts darstellt. Aufgrund der Wahl des Koordinatensystems wurde für diePosition des Schwerpunkts der Ursprung gewählt, sodass x 1,S = 0 gilt und somit derzweite Term verschwindet. Der dritte Ausdruck liefert nach Integration über die Massegerade ma 2 , so dass sich aus obiger Gleichungskette der Steinersche Satz ergibt:I = I S + m a 2 .2.2.6. Das zweite Newtonsche Axiom für die RotationIn der Translationsmechanik beschreibt das zweite Newtonsche AxiomF = dpdt(2.22)die enge Beziehung zwischen der auf einen Körper einwirkenden Kraft und dem linearenImpuls dieses Objekts. Die bereits angesprochene Parallelität zwischen der Translationund der Rotation lässt vermuten, dass eine ähnliche Beziehung auch zwischendem für die Rotation verantwortlichen Drehmoment und dem Drehimpuls besteht.Um dies einzusehen, betrachte man zunächst die in Abbildung 2.7 vereinfachte Darstellungeines starren Körpers, der einen Aufbau aus nur einem Teilchen der Masse maufweist. Um den infolge einer Krafteinwirkung rotierenden starren Körper zu simulieren,sei das Teilchen an einem massenlosen Stab der Länge r angebracht, der umeine senkrecht zur Zeichenebene verlaufende Achse rotieren kann.Der Drehimpuls dieses Objekts berechnet sich gemäß Gleichung (2.11) zuL = m r v . (2.23)Bildet man die zeitliche Ableitung dieser Gleichung, so ergibt sich bei zeitlich konstanterMasse der AusdruckdLdt = m r dvdt = m r a t , (2.24)13

2 Physikalische GrundlagenAbb. 2.7.: Ein einfacher starrer Körper, simuliert durch ein an einem massenlosen Stab befestigtesTeilchen, rotiert infolge einer Krafteinwirkung.der sich mithilfe der tangentialen Komponente F t = m a t der auf das Teilchen einwirkendenKraft F umformen lässt zudLdt = r F t. (2.25)Gemäß der Definition des Drehmoments lässt sich hieraus das zweite NewtonscheAxiom für die Rotation formulieren zuM = dLdt , (2.26)das besagt, dass dem auf das Teilchen einwirkenden Drehmoment die zeitliche Änderungseines Drehimpulses entspricht. Gleichung (2.26) ist für beliebige, um raumfeste Achsenrotierende Körper gültig, denn jeder starre Körper stellt eine Ansammlung festmiteinander verbundener Teilchen dar.Das hier vorliegende und auf einen starren Körper wirkende Drehmoment M stellt dasresultierende äußere Drehmoment dar, denn die inneren Drehmomente ergänzen sichjeweils zu Null, wie in Abschnitt 2.3.5 gezeigt wird.2.2.7. Vergleich von Drehbewegungen und linearer BewegungBei der Untersuchung der Rotation eines starren Körpers um eine im Raum feststehendeAchse konnten in den vorangegangenen Abschnitten Analogien zu den physikalischenGrößen und Gesetzen eines in Translation begriffenen Körpers gefunden werden.Diese Ähnlichkeiten ermöglichen durch Austausch der entsprechenden Größeneine einfache Überführung der Formeln und Gesetze der Translation in diejenigen derRotation.Tabelle 2.1 stellt die charakteristischen Größen und Gleichungen für die Beschreibungder Rotation eines starren Körpers um eine raumfeste Achse den entsprechenden Beziehungeneines sich auf einer geradlinigen Bahn bewegenden Objekts gegenüber.14

2.3 Die Vektornatur der RotationTabelle 2.1.Physikalische Größen und Gleichungen der Rotation und ihre Äquivalente für die Translation.Reine Rotation (feste Achse)Reine Translation (feste Richtung)Winkelposition ϕ Ort xWinkelgeschwindigkeitWinkelbeschleunigungω = dϕ Geschwindigkeit v = dxdt dtα = dω = d2 ϕBeschleunigung a = dv = d2 xdt dt 2 dt dt 2Drehmoment M Kraft FDrehimpuls L Impuls pTrägheitsmoment I Masse m2. Newtonsches Axiom M = dL 2. Newtonsches Axiom F = dpdt dt2.3. Die Vektornatur der RotationBei der Rotation starrer Körper um raumfeste Achsen sind die Bewegungsmöglichkeitender Objekte begrenzt und beschränken sich auf zwei mögliche Drehungen. Die im Uhrzeigersinnund die dazu entgegengesetzt ablaufende Bewegung werden durch die Wahldes entsprechenden Vorzeichens unterschieden.Analog verhält sich die Situation bei Translationen, die nur Bewegungen entlang einergeraden Linie zulassen. Die beiden in diesem Fall realisierbaren Fortbewegungsrichtungenwerden ebenfalls durch die Zuordnung eines Plus- bzw. Minuszeichens abgegrenzt.Erlaubt man Positionsänderungen starrer Körper auch entlang krummliniger Bahnen,so erfordert dies die vektorielle Darstellung von Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigungdes Objekts.Ähnlich verhält es sich auch bei rotierenden starren Körpern, wenn die räumliche Fixierungder Drehachse außer Kraft gesetzt wird. Da die Rotationsachse ihre Positionim Laufe der Zeit ändern kann, reicht die alleinige Angabe der Drehrichtung nicht aus,um die Bewegung des rotierenden starren Körpers vollständig darzustellen. Wie beider Translation kann dieses Problem gelöst werden, indem die für die Rotation charakteristischenGrößen als Vektoren aufgefasst werden und damit auch die Beschreibungsolch rotierender Körper ermöglichen, die nicht durch eine im Raum feststehende Achsein ihren Bewegungsmöglichkeiten eingeschränkt werden.15

2 Physikalische Grundlagen2.3.1. Der DrehwinkelDie Überlegungen des vorherigen Unterkapitels zeigen, dass die für Translationsbewegungenrelevante Angabe der Position eines starren Körpers bei der Rotation ihrAnalogon im Drehwinkel findet. Da der Ort eines Teilchens mithilfe eines Vektors beschriebenwerden kann, sollte aufgrund der Ähnlichkeit zwischen den beiden genanntenGrößen auch der Drehwinkel eine vektorielle Auffasung erhalten. Dies ist außerim Falle eines sehr geringenen Drehwinkels jedoch nicht erlaubt, obwohl man diesemWinkel sowohl eine Richtung als auch einen Betrag zuordnen kann. Der Grund hierfürist, dass der Drehwinkel nicht das für die Vektoraddition gültige Kommutativgesetzerfüllt, nach welchem die Reihenfolge der miteinander verknüpfenden Vektoren keineAuswirkung auf das Ergebnis haben darf.In Abbildung 2.8 ist die Verletzung dieses Gesetzes illustriert, indem die Endpositioneneines anfangs waagerecht liegenden Buchs untersucht werden, nachdem es durchzwei 90 ◦ -Drehungen seine Lage im Raum verändert hat. Zunächst findet in Abbildung2.8 (a) eine Drehung um die x 2 -Achse statt, bevor eine weitere 90 ◦ -Wendung um diex 3 -Achse die finale Stellung des Buchs festlegt. In Abbildung 2.8 (b) werden die beidenDrehungen in umgekehrter Reihenfolge ausgeführt.Abb. 2.8.: Beispiel zur Verletzung des Kommutativgesetzes bei der Vektoraddition [5].Wie man der Endposition des Buchs entnehmen kann, weist der Gegenstand in denbeiden dargestellten Fällen unterschiedliche Orientierungen auf, sodass zu erkennenist, dass die Addition von Drehwinkeln nicht kommutativ ist und der Drehwinkelfolglich keine vektorielle Größe darstellt.16

2.3 Die Vektornatur der Rotation2.3.2. Die Winkelgeschwindigkeit als vektorielle GrößeBei Rotationen starrer Körper um raumfeste Achsen lässt sich die Drehrichtung amVorzeichen der Winkelgeschwindigkeit ablesen. Wird jedoch die räumliche Fixierungder Drehachse aufgehoben, so reicht die Angabe der Drehrichtung nicht aus, um dieRotation eines starren Körpers vollständig beschreiben zu können. Entscheidend ist indiesem Fall auch die Lage der Drehachse. Diese Unzulänglichkeit lässt sich beheben,indem man die Winkelgeschwindigkeit als einen Vektor ⃗ω in Richtung der Rotationsachsedarstellt, dessen Länge dem Betrag der momentanen Winkelgeschwindigkeitentspricht.Zur Festlegung der Richtung von ⃗ω greift man auf die Rechte-Hand-Regel zurück:Wenn die rechte Hand die Drehachse so umfasst, dass die Finger in Drehrichtung weisen,dann gibt der gestreckte Daumen die Richtung der Winkelgeschwindigkeit ⃗ω an.In Abbildung 2.9 ist diese Regel am Beispiel einer rotierenden Kreisscheibe gezeigt.Während in Abbildung 2.9 (a) das sich drehende Objekt dargestellt ist, zeigt die nebenstehendeDarstellung die Anwendung der Rechte-Hand-Regel zur Bestimmung derRichtung des Vektors ⃗ω.Abb. 2.9.: Zur Richtung der Winkelgeschwindigkeit ⃗ω [5]:(a) Eine Kreisscheibe rotiert um eine gegebene Achse.(b) Die Richtung ihrer Winkelgeschwindigkeit wird mit der Rechte-Hand-Regel bestimmt.Winkelgeschwindigkeit und BahngeschwindigkeitUm einen Zusammenhang zwischen der Bahngeschwindigkeit der Massenpunkte einesrotierenden starren Körpers und der Winkelgeschwindigkeit dieses Objekts herzuleiten,sei auf Abbildung 2.10 verwiesen. Diese zeigt einen rotierenden starren Körper,dargestellt als Schnittfläche mit einer zur Drehachse senkrechten Ebene, der sich umeinen sehr kleinen Winkel |d⃗ϕ| um die gegebene Achse dreht. Sowohl die Richtung derDrehachse als auch der Betrag der Drehung können durch einen Vektor d⃗ϕ beschriebenwerden.17

2 Physikalische GrundlagenAbb. 2.10.: Ein durch den Ortsvektor ⃗r beschriebener Punkt P des Körpers verschiebt sich um d⃗r.Die infolge der Rotation hervorgerufene Verschiebung eines durch den Ortsvektor ⃗rbeschriebenen Massenpunkts P berechnet sich gemäßd⃗r = d⃗ϕ × ⃗r . (2.27)Hierfür überlege man sich, dass im vorliegenden Fall einer infinitesimalen Drehungdie Verschiebung d⃗r senkrecht auf der durch d⃗ϕ und ⃗r aufgespannten Ebene stehtund sich ihr Betrag mithilfe des Winkels θ zwischen den Vektoren d⃗ϕ und ⃗r durch|d⃗r| = |⃗r| sin θ |d⃗ϕ| berechnet. Diese Beobachtungen fasst das Vektorprodukt aus Gleichung(2.28) zusammen.Dividiert man anschließend durch die Zeitspanne dt, in welcher die infinitesimal kleineDrehung stattfindet, so ergibt sich für den gesuchten Zusammenhang zwischender Bahngeschwindigkeit ⃗v des Massenpunkts P des rotierenden Körpers und der zugehörigenWinkelgeschwindigkeit ⃗ωd⃗rdt= ⃗v =d⃗ϕdt× ⃗r = ⃗ω × ⃗r . (2.28)Wenn Winkelgeschwindigkeit ⃗ω und Ortsvektor ⃗r senkrecht aufeinander stehen, ergibtsich aus Gleichung (2.28) die Beziehung|⃗v| = |⃗ω| |⃗r| , (2.29)die Gleichung (2.4) entspricht, die aus der Untersuchung der Rotation starrer Körperum raumfeste Achsen bekannt ist.18

2.3 Die Vektornatur der Rotation2.3.3. Das Drehmoment als vektorielle GrößeDie Definition des Drehmoments aus Abschnitt 2.2.3 beruht auf starren Körpern, dieum eine im Raum feststehende Achse rotieren. Infolge dieser fixierten Drehachse istdie Bewegung der einzelnen Massenpunkte des Körpers auf eine Kreisbahn um dieseAchse beschränkt. Löst man jedoch die räumliche Verankerung der Rotationsachse,so muss die Bewegung der Massenteilchen nicht mehr zwingend entlang Kreisbahnenerfolgen. Daher ist eine erweiterte Definition des Drehmoments unabdingbar. Da sichdie Teilchen im Falle einer sich zeitlich ändernden Drehachsenlage relativ zu einemfesten Punkt anstelle einer festen Achse bewegen, bezieht sich die Angabe des Drehmomentsnun auf einen im Raum fixierten Punkt.Abbildung 2.11 zeigt ein im Punkt P in der x 1 x 2 -Ebene lokalisiertes Teilchen, dasdurch den Ortsvektor ⃗r beschrieben wird. In dieser Ebene wirke auf das Teilcheneine Kraft ⃗ F . Das durch die Kraft ⃗ F verursachte Drehmoment ⃗ M bezüglich des UrsprungsO ist definiert als⃗M = ⃗r × ⃗ F . (2.30)Das Drehmoment ist folglich ein Vektor, der senkrecht auf der durch ⃗r und ⃗ F aufgespanntenEbene steht. In der in Abbildung 2.11 dargestellten Situation stellt derDrehmomentvektor eine Parallele zur x 3 -Achse dar.Abb. 2.11.: Eine Kraft ⃗ F , die auf das im Punkt P lokalisierte Teilchen wirkt, erzeugt ein Drehmoment⃗ M = ⃗r × ⃗ F .Der Betrag von ⃗ M ergibt sich mithilfe des Winkels θ zwischen den Vektoren ⃗r und ⃗ Fzu| ⃗ M| = M = |⃗r| | ⃗ F | sin θ. (2.31)Diese Gleichung korrespondiert mit der im Falle der Rotation um eine raumfeste Achseermittelten Darstellung für das Drehmoment, bei welcher der Orientierung der Drehachsefür die Beschreibung der Rotationsbewegung keine Bedeutung beigemessen werdenmuss und daher nur der Betrag dieser Größe wesentlich ist.19

2 Physikalische Grundlagen2.3.4. Der Drehimpuls als vektorielle GrößeAuch die Definition des Drehimpulses erfordert bei der Aufhebung der räumlichenFixierung der Drehachse eine Verallgemeinerung, die auf die vektorielle Beschreibungdieser Größe führt. Im Folgenden wird zunächst die allgemeine Darstellung des Drehimpulsesfür ein Massenteilchen eingeführt, mit dessen Hilfe dann auch rotierendestarre Körper untersucht werden können.Der Drehimpuls eines TeilchensIn Abbildung 2.12 ist ein Teilchen der Masse m dargestellt, das sich an einer durch denOrtsvektor ⃗r gekennzeichneten Position mit der Geschwindigkeit ⃗v bewegt. Der Drehimpuls⃗ L dieses Teilchens bezüglich des Ursprungs O ist definiert als die vektorielleGröße⃗L = ⃗r × ⃗p (2.32)mit dem linearen Impuls ⃗p = m⃗v des Massenteilchens.Wenn ⃗r und ⃗p wie in Abbildung 2.12 in der x 1 x 2 -Ebene liegen, stellt der Drehimpulseine Parallele zur x 3 -Achse dar und besitzt die Länge | ⃗ L| = m|⃗r| |⃗v| sin θ.Gleichung (2.32) ist zu entnehmen, dass der Drehimpuls in der Einheit kg m 2 /s gemessenwird.Abb. 2.12.: Ein am Ort ⃗r positioniertes Teilchen mit dem Impuls ⃗p besitzt relativ zum Ursprung Oden Drehimpuls ⃗ L.Der Drehimpuls eines rotierenden starren KörpersFührt ein starrer Körper mit der Winkelgeschwindigkeit ⃗ω eine Rotation um einebeliebige Achse aus, so besitzt jedes seiner Massenteilchen m i , die sich jeweils mit derGeschwindigkeit ⃗v i = ⃗ω × ⃗r i bewegen, den Drehimpuls⃗L i = m i ⃗r i × ⃗v i = m i ⃗r i × (⃗ω × ⃗r i ). (2.33)20

2.3 Die Vektornatur der RotationMithilfe der Vektorrelationlässt sich dies umschreiben in⃗a × ( ⃗ b × ⃗c) = (⃗a ·⃗c) ⃗ b − (⃗a ·⃗b)⃗c (2.34)⃗L i = m i (r 2 i ⃗ω − (⃗r i ⃗ω)⃗r i ). (2.35)Integration über alle Massenelemente liefert für den Gesamtdrehimpuls ⃗ L des rotierendenstarren Körpers⃗L =∫ (r 2 ⃗ω − (⃗r ⃗ω) ⃗r ) dm. (2.36)Für eine ausführliche Analyse und Interpretation des Drehimpuls eines rotierendenstarren Körpers soll zunächst der Fall einer Rotation um eine den Ursprung enthaltendeSymmetrieachse untersucht werden, bevor für die Behandlung der allgemeinenDrehbewegung diese Annahme wieder aufgehoben wird.Rotation um eine SymmetrieachseBei der Betrachtung von Rotationen starrer Körper um eine den Ursprung enthaltendeSymmetrieachse ist es hilfreich, die Ortsvektoren ⃗r i der Massenelemente in die zu ⃗ωparallele und senkrechte Komponente ⃗r ‖i bzw. ⃗r i⊥ zu zerlegen, sodass die Ortsvektorendie Darstellung ⃗r i = ⃗r ‖i + ⃗r i⊥ besitzen. Setzt man dies in die obige Gleichung für denGesamtdrehimpuls des starren Körpers ein, so ergibt sich unter Berücksichtigung derVektorrelation (2.34) und der Lage der Vektoren ⃗ω, ⃗r ‖i , ⃗r i⊥ zueinander∫ ((r⊥ ⃗L =) 2 (⃗ω − ⃗r ‖ ⃗ω ) )⃗r ⊥ dm. (2.37)Verwendet man zudem, dass eine Rotation um eine Symmetrieachse vorliegt, so verschwindetauch die Summe ∫ (⃗r ‖ ⃗ω)⃗r ⊥ dm in der obigen Gleichung, da für jedes durch⃗r i beschriebene Massenelement ein anderes Teilchen mit demselben senkrechten Anteil⃗r i ⊥ , aber einer parallelen Komponente von -⃗r ‖i existiert.Der Drehimpuls eines symmetrischen Rotators besitzt folglich die Darstellung(∫ (⃗r⊥ ⃗L =) )2dm ⃗ω = I ⃗ω. (2.38)Dieser Gleichung ist zu entnehmen, dass bei Rotationen starrer Körper um Symmetrieachsender Drehimpulsvektor dieselbe Richtung wie der Vektor der Winkelgeschwindigkeitaufweist und die proportionale Zuordnung dieser beider Größen durchdas Trägheitsmoment erfolgt.21

2 Physikalische GrundlagenAllgemeiner Fall: Rotation um eine beliebige AchseWird die Einschränkung auf die Rotation um eine Symmetrieachse aufgehoben unddie Drehung eines starren Körpers um eine beliebige Achse durch seinen Schwerpunktbetrachtet, so ist aus Gleichung (2.36) ersichtlich, dass jede Drehimpulskomponenteeine Abhängigkeit von allen drei Komponenten der Winkelgeschwindigkeit aufweisenkann und folglich keine Parallelität zwischen dem Drehimpuls ⃗ L und der Winkelgeschwindigkeit⃗ω bestehen muss.Die Vektorgleichung (2.37) entspricht den drei KomponentengleichungenL α = ∑ βI αβ ω β α, β = 1, 2, 3 (2.39)mit∫I αβ =(r 2 δ αβ − x α x β ) dm , (2.40)wie sich durch einfaches Nachrechnen sowie unter Verwendung von ⃗r = (x 1 , x 2 , x 3 ) tund des Kroneckerdeltas δ αβ ergibt.Fasst man die Größen I αβ in einer Matrix zusammen, so kann die obige Komponentenschreibweisedes Drehimpulses in eine vektorielle Form überführt werden:⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞L 1 I 11 I 12 I 13 ω 1⎝L 2⎠ = ⎝I 21 I 22 I 23⎠ ⎝ω 2⎠ (2.41)L 3 I 31 I 32 I 33 ω 3oder in abgekürzter Schreibweise⃗L = Ĩ⃗ω. (2.42)Mathematisch gesehen ist Ĩ ein Tensor 2. Stufe, der sogenannte Trägheitstensor, dereine Darstellung in Matrizenform besitzt. Der Definition der einzelnen Matrixeinträgeist zu entnehmen, dass die Diagonalelemente des Trägheitstensors die Trägheitsmomentedes Körpers für Rotationen um die Koordinatenachsen darstellen, falls derSchwerpunkt im Ursprung positioniert ist.Anhand der Gleichung (2.42) ist festzustellen, dass bei Rotationen um beliebige Achsendas Trägheitsmoment durch eine Tensorgröße ersetzt werden muss.2.3.5. DrehimpulserhaltungIn Analogie zum Erhaltungsgesetz für den linearen Impuls eines starren Körpers beiTranslationsbewegungen gibt es auch einen Erhaltungssatz für den Drehimpuls. Ersetztman im Impulserhaltungssatz, dessen Inhalt ein zeitlich konstanter Impuls beiverschwindender äußerer Kraft ist, die physikalischen Größen Kraft und Impuls durchihre Äquivalente der Rotation, so liefert das Erhaltungsgesetz für den Drehimpuls22

2.3 Die Vektornatur der Rotationeinen zeitlich konstanten Drehimpuls bei verschwindendem äußeren Drehmoment.Um diese aufgrund der Analogie zwischen Translation und Rotation getroffene Aussagefür das Erhaltungsgesetz zu bestätigen, bildet man die zeitliche Ableitung desGesamtdrehimpulses eines starren Körpers, der in dem hier betrachteten Fall einenAufbau aus nur wenigen diskreten Teilchen aufweist soll:(˙⃗ri × ⃗p i + ⃗r i × ˙⃗p)i . (2.43)˙⃗L = ∑ iDas erste Glied ˙⃗r i × ⃗p i verschwindet, da das Vektorprodukt zweier paralleler Vektorenmit Null identisch ist. Für den zweiten Term benutze man, dass bei der auf ein Teilcheninsgesamt wirkenden Kraft zwischen inneren und äußeren Kräften unterschiedenwird. Innere Kräfte stellen jene Kräfte dar, die ein Teilchen aufgrund anderer Massenelementeerfährt. Unter Berücksichtigung dieser Einflüsse wird die zeitliche Änderungdes Teilchenimpulses zu˙⃗p i = ⃗ F (e)i+ ∑ jj≠i⃗F ji (2.44)wobei F ⃗ (e)i die von außen auf das Teilchen i wirkenden Kräfte repräsentiert und F ⃗ jidie von Teilchen j auf das Massenelement i ausgeübte Kraft darstellt. Damit wird diezeitliche Änderung des Drehimpulses des starren Körpers zu˙⃗L = ∑ i⃗r i × ⃗ F (e)i+ ∑ i,jj≠i⃗r i × ⃗ F ji . (2.45)Der erste Term liefert das gesamte äußere Drehmoment ⃗ M (e) . Für die Behandlung deszweiten Ausdruck benutze man, dass die Summe über alle Teilchenpaare i, j Gliederder folgenden Form besitzt⃗r i × ⃗ F ji + ⃗r j × ⃗ F ij . (2.46)Gemäß dem dritten Newtonschen Gesetz ( ”actio = reactio“) sind die Kräfte, die zweiTeilchen aufeinander ausüben, betragsmäßig stets gleichgroß, aber von entgegengesetzterRichtung: ⃗ F ji = − ⃗ F ij . Mithilfe dieser Beziehung lassen sich die Summengliederaus (2.46) umschreiben in⃗r i × ⃗ F ji + ⃗r j × ⃗ F ij = (⃗r i − ⃗r j ) × ⃗ F ji . (2.47)Da die Richtung der Kräfte zwischen zwei Massenteilchen parallel zu ihrer Verbindungslinie⃗r i −⃗r j orientiert ist, verschwinden all diese Vektorprodukte und die zeitlicheAbleitung des Drehimpulses wird zu˙⃗L = ⃗ M (e) . (2.48)23

2 Physikalische GrundlagenDies liefert das zu Beginn des Abschnitts erwähnte und in Analogie zur Impulserhaltungentwickelte Erhaltungsgesetz für den Drehimpuls:Ist das gesamte auf einen starren Körper wirkende äußere Drehmoment Null, so istder Gesamtdrehimpuls des Körpers zeitlich konstant.2.4. DrehstößeDie Analogie zwischen den Größen der Translation und Rotation kann auch genutztwerden, um Stoßvorgänge bei Drehbewegungen zu beschreiben.Bei translatorischen Stößen, wie man sie beispielsweise bei Auffahrunfällen antrifft,treten mindestens zwei Körper in Wechselwirkung miteinander und ändern infolgedessenihre Geschwindigkeiten, Impulse und Energien. Während der Impulserhaltungssatzfür alle Stoßvorgänge gültig ist, kann der Energiesatz der Mechanik nur für elastischeStöße angewandt werden. Hingegen wird bei unelastischen Stößen ein Teil der mechanischenEnergie in andere Energieformen umgewandelt.Diese aus der Translationsmechanik bekannten Stoßvorgänge können durch Austauschder entsprechenden Größen auch für die Beschreibung der sogenannten Drehstöße angewandtwerden. An die Stelle der geradlinig fortschreitenden Körper treten bei diesenStößen rotierende Objekte, die durch geeignete Kupplungen miteinander verbundenwerden, um dadurch die Übertragung der Drehbewegung zu ermöglichen.Die Beschreibung solcher Drehstöße soll im Folgenden anhand von zwei mit den Winkelgeschwindigkeitenω 1 und ω 2 reibungsfrei um eine raumfeste Achse rotierenderKörper erläutert und die in Analogie zur Translation auftretenden Phänomene analysiertwerden (vgl.[7]). Da in dieser Situation eine Drehung um eine raumfeste Achsevorliegt, ist keine vektorielle Betrachtungsweise der für die Rotation charakteristischenGrößen erforderlich. Daher kann der Drehimpulserhaltungssatz für den Drehstoß zweierObjekte mit ihren Trägheitsmomenten I 1 und I 2 formuliert werden zuI 1 ω 1 + I 2 ω 2 = I 1 ω ′ 1 + I 2 ω ′ 2 . (2.49)Die gestrichenen Größen stellen die Winkelgeschwindigkeiten der Objekte nach demDrehstoß dar. Umformen dieser Beziehung liefert:I 1 (ω 1 − ω ′ 1) = I 2 (ω ′ 2 − ω 2 ) . (2.50)Betrachtet man zunächst den Fall, dass ein elastischer Drehstoß beim Zusammentreffender rotierenden Körper vorliegt, so kann der Energieerhaltungssatz der Mechanikangewandt werden:E rotkin = E rotkin ′⇔ 1 2 I 1 ω 2 1 + 1 2 I 2 ω 2 2 = 1 2 I 1 ω ′ 21 + 1 2 I 2 ω ′ 22 .24

2.4 DrehstößeUmsortieren und Anwenden der Binomischen Formeln ergibtI 1 (ω 1 − ω ′ 1)(ω 1 + ω ′ 1) = I 2 (ω ′ 2 − ω 2 )(ω 2 + ω ′ 2) . (2.51)Unter Berücksichtigung von Gleichung (2.50) wird hierausω 1 + ω ′ 1 = ω 2 + ω ′ 2 (2.52)und liefert damit die Aussage ω 1 − ω 2 = ω 2 ′ − ω 1, ′ die besagt, dass die Relativwinkelgeschwindigkeitenvor und nach einem elastischen Drehstoß gleich groß sind, jedocheine Richtungsumkehrung vorliegt.Man beachte, dass dieser elastische Drehstoß eine Idealisierung darstellt und in derPraxis infolge von Reibung und Verformung beim Zusammentreffen der Körper dieRotationsenergie nicht erhalten bleibt, d.h. Ekin rot ′ < Ekin rot . Dies bedeutet aber auch,dass die Relativwinkelgeschwindigkeit nach dem Drehstoß kleiner ist als vor dem ZusammentreffenFührt man die Stoßzahl k mitω ′ 2 − ω ′ 1 < ω 1 − ω 2 . (2.53)ω ′ 2 − ω ′ 1 = k (ω 1 − ω 2 ) (2.54)ein, so lassen sich die Relativwinkelgeschwindigkeiten für alle Stoßarten bei entsprechenderGröße von k kompakt darstellen. Für k = 1 liegt ein elastischer Drehstoß vor,k = 0 beschreibt völlig unelastische Stöße und der Fall 0 < k < 1 stellt den meist inder Praxis auftretenden teilelastischen Drehstoß dar.Setzt man Gleichung (2.54) in die Darstellung (2.50) ein, so erhält man nach einer Reiheelementarer Umformungen für die Winkelgeschwindigkeiten der beiden rotierendenObjekte nach dem Drehstoßω ′ 1 = I 1ω 1 + I 2 ω 2 + k I 2 (ω 2 − ω 1 )I 1 + I 2(2.55)ω ′ 2 = I 1ω 1 + I 2 ω 2 + k I 1 (ω 1 − ω 2 )I 1 + I 2. (2.56)Anhand dieser beiden Gleichungen können für die Spezialfälle des elastischen (k = 1)und unelastischen (k = 0) Drehstoß Vorkommnisse beschrieben werden, die durchAustausch der analogen Größen bereits aus translatorischen Stoßvorgängen bekanntsind.25

2 Physikalische Grundlagen2.4.1. Elastische DrehstößeDie Analyse von elastischen Drehstößen soll im Folgenden anhand zweier rotierenderKörper erfolgen, von denen ein Objekt vor dem Zusammenstoß eine mit Null identischeWinkelgeschwindigkeit besitzt. Für eine eingehende Betrachtung dieser Stöße werdenverschiedene Verhältnisse der für die beiden Körper charakteristischen Trägheitsmomenteuntersucht.1. Fall: I 1 = I 2Für das Vorliegen zweier Körper gleicher Trägheitsmomente, die eine Drehung umdieselbe Achse ausführen, besagen die obigen Gleichungen, dass die beiden Objekteinfolge des Zusammentreffens ihre Winkelgeschwindigkeiten austauschen, d.h.ω ′ 1 = 0 und ω ′ 2 = ω 1 . (2.57)Dieser Vorgang entspricht in der Translationsmechanik einem elastischen Stoß zweierKörper gleicher Massen, bei dem der eine Gegenstand vor dem Zusammentreffen ruht.Während der sich zu Beginn bewegende Körper eine verschwindende Endgeschwindigkeitaufweist, kann das zuvor ruhende Objekt nach dem Stoß eine Geschwindigkeit verzeichnen,welche mit der Anfangsgeschwindigkeit des ersten Körpers übereinstimmt.Für die Beschreibung dieser Situation ist ebenfalls keine vektorielle Betrachtungsweiseerforderlich.Ersetzt man die Größen Geschwindigkeit und Masse durch ihre bei der Rotation analogenGrößen der Winkelgeschwindigkeit und des Trägheitsmoments, so kann aus densich entsprechenden Bewegungserscheinungen die angesprochene Analogie der beidenStoßvorgänge registriert werden.2. Fall: I 1 < I 2Wenn ein sich drehendes Objekt einen elastischen Drehstoß mit einem ruhenden Körpergrößeren Trägheitsmoments ausführt, so weisen beide Objekte nach dem Stoß Winkelgeschwindigkeitenauf, die sich in ihrem Vorzeichen unterscheiden. Während derDrehsinn des ersten Körpers nach dem Zusammenstoß seiner anfänglichen Drehrichtungentgegengesetzt ist, besagt Gleichung (2.56), dass das zuvor stillstehende Objektdie Drehwegung des ersten Körpers teilweise übernimmt und sich mit einer imVergleich zur Anfangswinkelgeschwindigkeit geringeren Winkelgeschwindigkeit ω ′ 2 indieselbe Richtung wie das erste Objekt vor dem Stoß dreht.Auch für diese Situation lässt sich ein translatorisches Analogon wiederfinden. Manbetrachte wiederum zwei Körper, von denen einer vor dem Zusammentreffen ruht.Während beim elastischen Stoß mit einem Objekt geringerer Masse der zuvor ruhendeKörper in die Richtung des stoßenden Gegenstands in Bewegung versetzt wird, weistder Körper geringerer Masse eine Endgeschwindigkeit auf, die seiner anfänglichen entgegengerichtetist.26

2.4 Drehstöße3. Fall: I 1 > I 2Besitzt das sich zu Beginn drehende Objekt ein größeres Trägheitsmoment als seinruhender Stoßpartner, so weisen beide Körper nach einem elastischen Drehstoß Winkelgeschwindigkeitenauf, die in ihren Vorzeichen übereinstimmen. Während die Winkelgeschwindigkeitω ′ 1 des stoßenden Körpers nach dem Zusammentreffen infolge derÜbertragung der Drehbewegung geringer wurde, kann der Stoßpartner kleineren Trägheitsmomentseine Winkelgeschwindigkeit verzeichnen, die größer als diejenige desersten Objekts vor dem Stoß ist.Die entsprechende Situation bei der Translation wird durch einen elastischen Stoßzweier Körper dargestellt, bei denen das vor dem Zusammentreffen ruhende Objektmit einer geringeren Masse versehen wurde. Nach dem Stoß haben die beiden Stoßpartnerjeweils eine von Null verschiedene Endgeschwindigkeit gleichen Vorzeichens,jedoch bewegt sich der leichtere Körper schneller als der erste vor dem Stoß.2.4.2. Unelastische DrehstößeBei der Behandlung unelastischer Drehstöße sollen sowohl solche Stöße untersuchtwerden, bei denen eines der beiden Objekt vor dem Zusammentreffen ruht, als auchAufeinandertreffen, bei denen beide Körper Drehbewegungen aufweisen, die betraglichmit derselben Winkelgeschwindigkeit, aber in entgegengesetzte Richtungen erfolgen.1. Fall: I 1 = I 2Den Gleichungen (2.55) und (2.56) ist zu entnehmen, dass bei Vorliegen eines ruhendenKörpers nach einem völlig unelastischen Drehstoß (k = 0) beide Objekte mitderselben Winkelgeschwindigkeit rotieren, die gerade der Hälfte der Anfangswinkelgeschwindigkeitdes ersten Körpers entspricht. Die hierzu analoge Situation aus derTranslationsmechanik stellt ein Körper dar, der völlig unelastisch auf einen ruhendengleicher Masse trifft. Da bei einem solchen Stoß beide Objekte aneinanderhaften, besitzensie dieselbe Endgeschwindigkeit, die infolge der Impulserhaltung mit der halbenAnfangsgeschwindigkeit übereinstimmt.Rotieren zwei Körper hingegen mit betraglich gleich großen Winkelgeschwindigkeitenin entgegengesetzte Richtungen, so sind nach dem Zusammentreffen mit null identischeEndwinkelgeschwindigkeiten zu registrieren. Auch für diese Situation lässt sichein translatorisches Pendant finden, das aus einem Stoß zweier Körper gleicher Massenbesteht, die sich gleich schnell aufeinander zubewegen. Zu beobachten ist nach demZusammentreffen ein ruhender Zustand beider Objekte.2. Fall: I 1 ≠ I 2Werden zwei Objekte unterschiedlicher Trägheitsmomente so in Drehung versetzt, dasssie betraglich gleich große, aber in ihren Vorzeichen verschiedene Winkelgeschwindigkeitenaufweisen, so kann nach dem Stoß eine Winkelgeschwindigkeit gemessen werden,27

2 Physikalische Grundlagenwelche dem Drehsinn des Körpers mit dem größeren Trägheitsmoment folgt.Die hierzu analoge Situation aus der Translationsmechanik besteht aus einer Versuchsanordnung,bei welcher zwei Körper unterschiedlicher Massen sich mit einer in ihremBetrag übereinstimmenden Geschwindigkeit nähern. Nach ihrem unelastischen Stoßhaften die beiden Objekte aneinander und weisen eine gemeinsame Geschwindigkeitauf, die mit der Richtung der Anfangsgeschwindigkeit des schwereren Körpers zusammenfällt.2.5. Bestimmung von TrägheitsmomentenBei geometrisch einfachen Körpern können ihre Trägheitsmomente gemäß Gleichung(2.18) ermittelt werden. Liegen jedoch komplizierter gebaute Körper vor, so erfolgtdie Bestimmung der Trägheitsmomente auf experimentellem Wege mithilfe von Drehschwingungen.Hierfür verwendet man einen Drehtisch, der aus einem horizontal gelagertenDrehteller besteht, der um eine senkrechte Achse rotieren kann (Abb. 2.13).Eine Spiralfeder, deren eines Ende an der Drehachse und das andere am Lagergestellbefestigt ist, bewirkt bei Auslenkung aus der Ruhelage, dass der Drehtisch in Drehschwingungenversetzt wird. Auf den Drehtisch kann in verschiedenen Abständen vonder Drehachse der zu untersuchende Körper aufgesteckt werden.Abb. 2.13.: Drehtisch mit aufgesetztem Probekörper [6].Das in Abschnitt 2.5.2 vorgestellte Verfahren zur Bestimmung von Trägheitsmomentenbezüglich einer Achse, die eine Parallele zur Drehachse des Drehtischs darstellt unddurch den Aufsteckpunkt des zu untersuchenden Probekörpers verläuft, ist nur für solcheObjekte ausgelegt, bei denen der Abstand ihres Schwerpunkts von der Drehachsemit der Entfernung des Aufsteckbodens von dieser Achse übereinstimmt.2.5.1. DrehschwingungenIn Analogie zum Hook’schen Gesetz bei Translationsschwingungen, deren bekannterVertreter die lineare Federschwingung darstellt, kann bei einer Auslenkung des Drehtischum den Winkel ϕ aus der Ruhelage auch das durch die Spiralfeder ausgeübte28

2.5 Bestimmung von Trägheitsmomentenrücktreibende Drehmoment durch Austausch der für die Rotation äquivalenten Größenangegeben werden. Ersetzt man im Hook’schen Gesetz ⃗ F = −D⃗x die Rückstellkraft⃗F durch ihre bei der Rotation analoge Größe des Drehmoments und die Auslenkung ⃗xdurch den Drehwinkel, so besitzt das rücktreibende Drehmoment die DarstellungM = −D ϕ. (2.58)Die Proportionalitätskonstante D zwischen rückstellendem Drehmoment und Auslenkungwird bei der Drehschwingung Winkelrichtgröße oder Richtmoment genanntund ist von der Stärke der Spiralfeder abhängig.In Gleichung (2.58) ist keine vektorielle Betrachtungsweise erforderlich, da die Drehungdes Tisch um eine raumfeste Achse erfolgt.Infolge des rücktreibenden Drehmoments führt der Drehtisch bei Vernachlässigung derReibung gemäß der BewegungsgleichungM = −D ϕ = I 0 ¨ϕ (2.59)Drehschwingungen aus. Hierbei bezeichnet I 0 das Trägheitsmoment des Drehtisch ohneden zu untersuchenden Körper.Die Lösung dieser Differentialgleichung hat formal dieselbe Gestalt wie bei Translationsschwingungenϕ(t) = a cos(ω ′ t + b) mit ω ′ =√DI 0. (2.60)Die Festlegung der Amplitude a und der Phasenkonstante b erfolgt mithilfe von Anfangsbedingungen.Man beachte, dass ω ′ nicht die Winkelgeschwindigkeit der Rotation angibt, sonderndiejenige der Schwingung darstellt, die über ω ′ = 2π/T mit der Periodendauer T derSchwingung verknüpft ist.Damit ergibt sich für die Schwingungsdauer des Drehtischs ohne den Probekörper√I0T = 2πD . (2.61)2.5.2. Vorgehensweise zur Bestimmung von TrägheitsmomentenDas im Folgenden vorgestellte Verfahren zur Bestimmung von Trägheitsmomentenbezüglich einer zur Rotationsachse des Drehtischs parallelen Achse durch den Aufsteckpunktdes Probekörpers kann nur für solche Objekte verwendet werden, bei denen derAbstand des Schwerpunkts und die Entfernung des Aufsteckbodens von der Drehachseidentisch sind. Die Vorgehensweise für die Vermessung solcher Trägheitsmomentemithilfe des Drehtischs gliedert sich in zwei Schritte:29

2 Physikalische GrundlagenTeil 1: Messung der Schwingungsdauer des DrehtischsIm ersten Versuchsteil wird die Schwingungsdauer des Drehtischs ohne den zu untersuchendenProbekörper bestimmt. Gemäß Gleichung (2.61) lässt sich aus dieser Messungder Quotient I 0 /D ermitteln. Dabei gibt I 0 das Trägheitsmoment des Drehtischs ohneden Probekörper an.Teil 2: Messung der Schwingungsdauer des Drehtischs inklusive ProbekörperFür die weiteren Messungen wird der Probekörper auf den Drehteller gelegt und dieSchwingungsdauern dieses Aufbaus gemessen. Positioniert man den Körper zunächstso, dass sein Schwerpunkt mit der Rotationsachse des Drehtischs zusammenfällt, sovergrößert sich das Trägheitsmoment des Drehtischs inklusive Probekörper auf I 0 + I.Die Größe I stellt das Trägheitsmoment des aufgesteckten Probekörpers in Bezug aufeine Achse dar, die durch den Körperschwerpunkt verläuft und parallel zur Rotationsachsedes Drehtischs gerichtet ist. Für diese Situation ergeben sich die Schwingungsdauernzu√I0 + IT = 2πD . (2.62)Variiert man in weiteren Messungen den Abstand l des Körperschwerpunkts von derDrehachse, so wachsen die Schwingungszeiten gemäß dem Steinerschen Satz auf√I0 + I + m lT = 2π2(2.63)Dan. Die Größe m bezeichnet die Masse des Probekörpers. Für die Bestimmung desTrägheitsmoments des Objekts aus den gemessenen Werten empfiehlt sich eine grafischeDarstellung der Messergebnisse, die eine Auftragung von T 2 gegen l 2 verwendet.Dies liefert eine leicht auswertbare lineare Abhängigkeit zwischen den beiden genanntenGrößen, wie man durch Quadrieren von Gleichung (2.63) einsiehtT 2 = 4π2D (I 0 + I) + 4π2D m l2 =: a + b l 2 (2.64)mit dem Achsenabschnitt a und der Steigung b.Legt man eine ausgleichende Gerade durch die Messwerte, so lässt sich entsprechendder Darstellung (2.64) aus der Steigung b dieser Geraden das Richtmoment D derFeder bestimmen. Dieses benutzt man, um aus dem im ersten Versuchsteil ermitteltenQuotienten I 0 /D das Trägheitsmoment I 0 des Drehtischs zu bestimmen. UnterVerwendung dieses Trägheitsmoments liefert der Achsenabschnitt a der Regressionsgeradendas gesuchte Trägheitsmoment des aufgesteckten Probekörpers bezüglich einerzur Rotationsachse des Drehtischs parallelen Achse durch den Körperschwerpunkt.30

3. Der VersuchsaufbauDie in dieser Staatsexamensarbeit dokumentierten Demonstrationsexperimente zu Drehimpulsund Trägheitsmoment sind zunächst für den Einsatz im Laborkurs für Demonstrationsexperimentevorgesehen. Durch ihre schülergerechte Auslegung ist aber aucheine Anwendung im Schulunterricht denkbar.Die auf dem Umgang mit Schwungrädern basierenden Experimente sollen den zukünftigenPhysiklehrern Möglichkeiten aufzeigen, Schüler mit den für die Rotationstarrer Körper charakteristischen Größen des Drehimpulses und Trägheitsmomentsvertraut zu machen, indem Analogien zu bereits aus der Translationsmechanik bekanntenVorgängen eingesetzt werden. Die Grundlage für diese Demonstrationsexperimentebildet ein von Dr. E. K. Haberkant entwickelter Versuchsaufbau, der sich inForm von drei Videoclips auf der beigelegten CD wiederfindet.Das vorliegende Kapitel ist dem Aufbau und der Konstruktion der Demonstrationsexperimentezu Drehimpuls und Trägheitsmoment gewidmet. Bevor die einzelnen Komponentendes Versuchsaufbaus sowie ihre Bedeutung für die Durchführung der Untersuchungenausführlich aufgezeigt werden, soll zunächst eine kurze Einführung diegrundlegende Idee der Experimente erläutern und damit auch einen groben Einblick inden Versuchsaufbau verschaffen. Im Anschluss an die Vorstellung der im Versuchsaufbaueingesetzten Elemente werden die einzelnen Experimente und die mit ihnen beabsichtigtenZiele vorgestellt.3.1. Grundidee der DemonstrationsexperimenteDie Idee zur Gestaltung und Umsetzung der Demonstrationsexperimente zu Drehimpulsund Trägheitsmoment entstammt Stoßvorgängen aus der Translationsmechanik.So kann dort beispielsweise durch einen elastischen Stoß zweier Körper gleicher Massen,von denen der eine Stoßpartner vor dem Zusammentreffen ruht, durch den Austauschihrer Geschwindigkeiten gezeigt werden, dass Impulserhaltung besteht. Zudemist es bei Stoßprozessen möglich, aus den Endgeschwindigkeiten zweier Objekte unterschiedlicherMassen Aussagen über das Massenverhältnis zu treffen.Berücksichtigt man die Analogie zwischen den für die Translations- und Rotationsbewegungencharakteristischen Größen, so sollten ähnlich gestaltete Stoßexperimentefür Rotationen Informationen über die zu Impuls und Masse analogen Größen desDrehimpuls und Trägheitsmoments liefern.31

3 Der VersuchsaufbauFür die Umsetzung dieser sogenannten Drehstöße werden in den Demonstrationsexperimentenrotierende Schwungräder unterschiedlicher Trägheitsmomente als Stoßobjekteeingesetzt. Um wie bei Stößen in der Translationsmechanik die Bewegung deseinen Körpers auf ein anderes Objekt übertragen zu können, sind geeignete Kupplungsmöglichkeitenerforderlich, wobei in den Demonstrationsexperimenten zwei unterschiedlicheVerbindungselemente zum Einsatz kommen. Während die sogenannteKlauenkupplung samt ihrer Bestandteile für das Vorliegen eines nahezu elastischenDrehstoßes sorgt, lassen sich mit der Rutschkupplung inelastische Stöße simulieren.Für die Realisierung dieser Ideen werden die rotierenden Schwungräder zunächst aufeiner Welle platziert, auf welche die für das Verbinden der Räder verantwortlichenKupplungen aufgesetzt werden können. Um die sich drehenden Räder zusammenführenzu können, werden sie zusätzlich auf fahrbaren Wagen montiert, welche dann so aufeinandergeschoben werden, dass die aufgesetzten Kupplungen ineinandergreifen können.Abbildung 3.1 zeigt die experimentelle Verwirklichung dieser Ideen, wobei in diesemFall der Kontakt zweier Schwungräder über eine mit einer Feder verbundenen Klauenkupplungvollzogen wird.Abb. 3.1.: Zwei auf jeweils einem Wagen montierte Schwungräder können über eine Klauenkupplungmiteinander verbunden werden.32

3.2 Die einzelnen Komponenten des Versuchsaufbaus3.2. Die einzelnen Komponenten des VersuchsaufbausFür die konkrete Umsetzung der in Abschnitt 3.1 vorgestellten Ideen zur Kupplungrotierender Schwungräder müssen verschiedene Bauelemente miteinander kombiniertund auch aufeinander abgestimmt werden. Die nachfolgenden Ausführungen stellendie einzelnen Bestandteile des Versuchsaufbaus vor und verdeutlichen ihre Relevanzfür eine bestmögliche Umsetzung der eingangs geschilderten Ideen.Die SchwungräderWie bereits angedeutet basieren die Demonstrationsexperimente zu Drehimpuls undTrägheitsmoment auf der Kupplung rotierender Schwungräder, wodurch Drehbewegungenübertragen werden können. Für die Umsetzung der Versuche ist es erforderlich,dass die in Drehung versetzten Schwungräder nicht allzu schnell zum Stillstand kommen.Realisieren lässt sich dies durch Schwungräder, die ein großes Trägheitsmomentbesitzen, denn diese Räder können einen erheblichen Vorrat an Rotationsenergie aufnehmen.Nach der in den physikalischen Grundlagen aufgeführten Definition des Trägheitsmomentslegen Masse des Rads sowie ihre Verteilung bezüglich der Rotationsachseden Wert ihres Trägheitsmoments fest. Je größer die Dichte des verwendeten Materialsund je weiter die Masse von der Drehachse entfernt ist, desto größer ist dasTrägheitsmoment bezüglich dieser Rotationsachse.Für die Konstruktion der in den Experimenten eingesetzten Schwungräder wurdenzwei Materialien unterschiedlicher Dichte gewählt. Während sich Stahl durch ein relativgroßes Verhältnis von Masse zu Volumen auszeichnet, ruft die Verwendung vonAluminium mit seiner ungefähr dreimal kleineren Dichte bei gleichen Abmessungenein geringeres Trägheitsmoment hervor.Im Folgenden werden die drei verschiedenen Typen von Schwungräder vorgestellt, diein den Demonstrationsexperimenten zum Einsatz kommen.Schwungrad Typ 1Zur Konstruktion der Schwungräder vom Typ 1 wurde Stahl als Material eingesetztund die in Abbildung 3.2 aufgeführten Abmessungen verwendet.Die Skizzen zu den Abmessungen der Schwungräder vom Typ 1 zeigen, dass für denDurchmesser der Räder eine Ausdehnung von 130 mm festgelegt wurde. Während beideutlich kleineren Durchmessern das Rad ein zu geringes Trägheitsmoment besitzenwürde, bereiten Objekte mit größeren Diametern beim Anbringen auf den WagenSchwierigkeiten. Denn durch die größeren Maße verschiebt der Schwerpunkt des aufdem Wagen positionierten Schwungsrads in beträchtliche Höhen und könnte vor allembei Drehung der Räder zum Umkippen des Aufbaus führen.33

3 Der Versuchsaufbau(a)(b)Abb. 3.2.: Schwungrad vom Typ 1: (a) Frontansicht. (b) zur Höhe des Rads.Zudem muss beachtet werden, dass auch eine zu große Masse der Räder für die Experimentehinderlich wäre. Zum einen weil die vom Wagen zu tragende Last beschränktist, zum anderen erschwert eine zu große Masse auch das Andrehen der Räder. Daherwurde die Höhe der Räder mit 19 mm bedacht und auch die tragende Innenwand derRäder wurde auf eine Breite von 4 mm reduziert. Aus demselben Grund weist auch deräußere Ring, an welchem der größte Teil der Radmasse positioniert ist und welcher aufgrundseines großen Abstands zur Drehachse für ein beträchtliches Trägheitsmomentsorgt, eine Breite von nur 5 mm auf.In die Öffnung mit einem Durchmesser von 10 mm im Zentrum des Schwungrads kanneine Welle mit entsprechendem Durchmesser eingeführt werden. Zur Fixierung desRads auf dieser Achse sind im Innenring gemäß Abbildung 3.3 drei Schrauben angebracht.Abb. 3.3.: Drei im Innenring des Schwungrads angebrachte Schrauben sorgen für einen festen Haltauf der Welle.34

3.2 Die einzelnen Komponenten des VersuchsaufbausUm das Trägheitsmoment sowie die für seinen Betrag verantwortlichen Größen näheruntersuchen zu können, wurden noch zwei weitere Rädertypen angefertigt:Schwungrad Typ 2Das Schwungrad vom Typ 2 stimmt in seinen Abmessungen mit den Maßen von Typ 1überein, unterscheidet sich jedoch bei der Wahl des Materials, denn für Räder diesesModells wurde Aluminium verwendet.Schwungrad Typ 3Das Schwungrad vom Typ 3 stellt ein aus Stahl bestehendes Rad dar, das bis aufwenige Gramm Abweichung der Masse der Räder vom Modell 1 entspricht. Jedochweist das Rad eine andere Massenverteilung auf. Gemäß Abbildung 3.4 verteilt sichdie Radmasse auf einen Ring mit Innendurchmesser von 10 mm und äußerem Diametervon 76 mm. Die Höhe des Rads mit 19 mm wurde beibehalten.Um dieses Rad auf der Welle fixieren zu können, wurde eine kleine Bohrung gesetztund eine Schraube eingelassen, die für den Halt des Rads auf der Welle sorgt. Durchdiese Bohrung weist das Schwungrad jedoch eine asymmetrische Massenverteilung auf,die zu Drehungleichförmigkeiten führt. Um diese Unzulänglichkeit zu beheben, wurdeeine Schraube angefertigt, die in ihren Abmessungen den Maßen der Bohrung angepasstist und welche die Massendiskrepanz nahezu ausgleicht.Abb. 3.4.: Frontansicht des Schwungrads vom Typ 3.In den Demonstrationsexperimenten kommen fünf Schwungräder zum Einsatz. Jeweilsdrei Räder, die sich nur um wenige Gramm voneinander unterscheiden, wurden vomTyp 1 hergestellt, während die Modelle 2 und 3 nur durch jeweils ein Objekt vertretensind.35

3 Der VersuchsaufbauDie WelleWichtig für die Übertragung von Drehbewegungen sind unter anderem die Wellen, aufwelche die Schwungräder mithilfe von Schrauben fest montiert werden. Um Drehbewegungenund Drehmomente überhaupt weiterleiten zu können, ist eine Lagerung derWelle unumgänglich. Diese Funktion übernehmen bei den in dieser Arbeit vorgestelltenDemonstrationsexperimenten die Kugellager, welche in einem späteren Abschnittnäher erläutert werden.Die Abmessungen der aus Stahl hergestellten Wellen sind auf die anderen Bestandteiledes Versuchsaufbaus abgestimmt. So korrespondiert beispielsweise der Durchmesserder Welle mit der 10 mm breiten Öffnung im Zentrum der Schwungräder. Auch dieLänge der Achse resultiert aus den anderen Versuchskomponenten und wurde miteiner Reichweite von ca. 24,5 cm bedacht. Erklären lässt sich diese Wahl durch die Abmessungender Fahrbahnwagen, auf welchen die Schwungräder montiert werden, aberauch durch die für das Verbinden der Räder verantwortlichen Kupplungen spielen eineentscheidende Rolle. Um zu verhindern, dass beim Zusammenführen der Wagen diefahrbahren Objekte zusammenstoßen bevor die Kupplungen ineinandergreifen können,muss die Ausdehnung der Welle die Länge des Wagens von 15,5 cm überschreiten. Diegenaue Festlegung der Länge der rotierenden Antriebselemente auf 24,5 cm ist eineFolge der im Versuch eingesetzten Klauenkupplung und der für ihre Funktion verantwortlichenFeder.Haltevorichtung für die SchwungräderUm ein sich drehendes Schwungrad auf dem vorgesehenen Fahrbahnwagen zu montieren,wurden entsprechend Abbildung 3.5 zunächst im Abstand von 8,5 cm zweivertikale, aus Stahl hergestellte Stäbe angebracht.Abb. 3.5.: Wagen mit den für die Halterung der Schwungräder verantwortlichen Stützen.36

3.2 Die einzelnen Komponenten des VersuchsaufbausDie Abstände dieser beiden Stützen sind durch die vom Hersteller auf der Wagenoberseiteangebrachten Befestigungsgewinde vorgegeben. Die Höhe der Stäbe ist demRadius des Schwungrads mit dem größten Durchmesser angepasst, sodass die Räderbei Aufsetzen der Welle auf die Stützen zur Rotation fähig sind. Jedoch darf die Längeder Stäbe auch nicht wesentlich größer als der genannte Radius sein, denn sonst verlagertsich der Schwerpunkt des rotierenden Rads in zunehmende Höhen und begünstigtein Kippen des aus Wagen und Schwungrad bestehenden Systems.Um die auf der Welle gelagerten Schwungräder auf den Haltestäben anbringen zukönnen, wurden Haltevorrichtungen auf die Stützen gesetzt, in welche die Kugellagereingepresst sind. Durch eine zylinderförmige Öffnung, die dem Durchmesser derStützen angepasst ist, kann die Halterung auf den Stäben platziert und mithilfe einerseitlich angebrachten Schraube auch fixiert werden. In Abbildung 3.6 ist die Haltevorrichtungmit ihren beschriebenen Charakteristika dargestellt.Abb. 3.6.: Halterung um das aus Welle und Schwungrad bestehende System auf den Stützen anbringenzu können.An dieser Stelle sei erwähnt, dass für jedes Schwungrad eine Welle sowie zwei mitKugellager bestückte Halterungen angefertigt wurden. Damit muss beim Austauschder Räder für verschiedene Versuchsanordnungen nicht jede Komponente einzelnenausgebaut werden, sondern es kann - wie in Abbildung 3.7 gezeigt - das aus Welle,Rad und Halterung bestehende System als gesamte Einheit ausgetauscht werden.KugellagerUm drehende Elemente wie die Welle mit möglichst geringen Reibungsverlusten zuführen, werden Lager zuhilfe genommen. In den Versuchsaufbauten für die Demonstrationsexperimentezu Drehimpuls und Trägheitsmoment kommen Kugellager zum37

3 Der VersuchsaufbauAbb. 3.7.: Zum Austausch der Räder für verschiedene Versuchsanordnungen.Einsatz, welche in die beschriebenen Halterungen eingepresst wurden. Beim Einsetzender Kugellager ist zu beachten, dass sie mit der Oberfläche der vom Schwungradabgewandten Seite der Halterung übereinstimmen. Diese Anordnung des Kugellagersspielt für das Fixieren der Welle eine entscheidende Rolle und wird im nachfolgendenAbschnitt genauer erläutert.Kugellager gehören zu den Wälzlagern, bei welchen zwei zueinander bewegliche Bauelemente,der sogenannte Innen- und Außenring, durch rollende Körper voneinandergetrennt sind (vgl. Abb. 3.8). Während der Innenring des Lagers auf der Welle positioniertist, steht der äußere Ring mit der Halterung in Kontakt. Im Betrieb rollen dieKugeln auf gehärteten Stahlflächen mit optimierter Schmierung zwischen den beidenRingen ab und ermöglichen somit eine möglichst reibungsfreie Drehung der Welle trotzMontierung in der vorgesehenen Halterung [8].Abb. 3.8.: Aufbau eines Kugellagers.38

3.2 Die einzelnen Komponenten des VersuchsaufbausDer FixierringIn den Versuchsaufbauten ist das Schwungrad in der Mitte der Welle positioniert. Entsprechenddes Abstands der beiden senkrechten Stahlstäbe auf dem Fahrbahnwagenwerden die mit den Kugellagern bestückten Haltevorrichtungen auf die Achse gesetzt.Wie in Abbildung 3.7 bereits zu erkennen ist, grenzt an diese Halterungen auf dervom Schwungrad abgewandten Seite jeweils ein 10 mm breiter Ring an. Diese aus Aluminiumhergestellten Ringe haben eine Fixierfunktion inne und bewirken durch ihrdirektes Anschließen an die Haltevorrichtung, dass die Welle und das darauf gelagerteSchwungrad auch bei Stillstand des Wagens keine Verschiebung in horizontale Richtungerfahren.Um zu verhindern, dass der auf der Welle festgeschraubte und sich folglich mitdrehendeFixierring durch Reibung an der feststehenden Haltevorrichtung die Drehung derWelle inklusive Schwungrad stark abbremst, wurde auf einer Seite des Aluminiumringsdurch Ausfräsen ein weiterer kleinerer Ring aufgesetzt, dessen Abmessungen mit denMaßen des Innenrings des Kugellagers übereinstimmen (vgl. Abb. 3.9).Abb. 3.9.: Der für das Fixieren der Welle verantwortliche Aluminiumring.Um die Wahl dieser Maße zu erklären, überlege man sich zunächst, dass sowohl derInnenring des Kugellagers als auch das kleine ausgearbeitete Objekt des Fixierringsdieselbe Drehbewegung ausführen. Setzt man den Aluminiumring nun so auf die Welle,dass die beiden Ringe gleicher Abmessungen aufeinanderdrücken, so treten der fürdas Verankern der Welle verantwortliche Ring und die feststehende Halterung nurüber diese beiden kleinen Ringe in Kontakt. Für Drehbewegungen der Welle bedeutetdies, dass aufgrund der Verbindung des sich mitdrehenden Fixierrings und der feststehendenHalterung über die beiden kleinen Ringe keine merklichen Reibungsverlustezustandekommen.Wichtig ist in diesem Zusammenhang die bereits angesprochene Position des Kugellagersinnerhalb der Halterung. Würde das Lager nicht so angebracht sein, dass es mit39

3 Der Versuchsaufbauder Oberfläche der vom Schwungrad abgewandten Seite der Halterung übereinstimmt,so wäre keine Berührung der beiden kleinen Ringe möglich und es käme zu Reibungsverlusteninfolge des Kontakts zwischen dem rotierenden Fixierring und der feststehendenHaltevorrichtung.Die KupplungenDie Demonstrationsexperimente zu Drehimpuls und Trägheitsmoment basieren auf rotierendenSchwungrädern, die auf Wellen gelagert sind und über die entsprechendenWellenenden miteinander verbunden werden, sodass Drehbewegungen des einen Radsauf ein anderes übertragen werden können. Die für das Zusammenführen der Räderverantwortlichen Bauelemente werden durch die auf den Wellenenden zu montierendenKupplungen verkörpert.In den in dieser Staatsexamensarbeit vorgestellten Versuchen kommen zwei unterschiedlicheKupplungen zum Einsatz: Eine Möglichkeit zum Verbinden der Schwungräderwird durch eine auf einer Feder angebrachten Klauenkupplung realisiert, mithilfederer die Drehbewegungen der miteinander kombinierten Schwungräder in Analogiezum elastischen Stoß zweier Körper in der Translationsmechanik beschrieben werdenkönnen. Als eine brauchbare Alternative zum Koppeln der Schwungräder erweistsich die sogenannte Rutschkupplung, welche das Verhalten der Schwungräder bei ihremZusammenführen in Analogie zum unelastischen Stoß beschreibt. Diese mithilfeder verschiedenen Kupplungselemente geschaffenen Übereinstimmungen zu bekanntenStößen aus der Translationsmechanik ermöglichen es, Aussagen über die zum Impulsund zur Masse analogen Größen des Drehimpulses und Trägheitsmoments zu treffen.Die KlauenkupplungFür die allgemeine Realisierung einer Kupplung sind zwei Verbindungskomponentennötig, die auf die Enden zweier einander gegenüberliegender Wellen platziert werden.Bei der sogenannten Klauenkupplung sind die beiden Kupplungshälften an ihrer gemeinsamenBerührungsfläche jeweils mit Greifelementen, den Klauen, versehen, dieein Ineinandergreifen ermöglichen. Beim Einsatz der in den Demonstrationsexperimenteneingesetzten Verbindungskomponenten konnte eine mit zwei Klauen ausgestatteteKupplung überzeigen. Für ihre Konstruktion wurde zunächst ein aus Aluminium aufgebautesObjekt hergestellt, das sich aus zwei aufeinanderstehenden Hohlzylindernverschiedener Abmessungen zusammensetzt. Einer der beiden Körper, dessen Innendurchmesserdem Diameter der Welle angepasst ist und dessen Außenradius auf 10 mmfestgesetzt wurde, ist mit einer Höhe von 3 cm bedacht worden und wird auf die Wellegesteckt. Er dient als Halterung für die Greifkomponente der Kupplung, die aus demzweiten Hohlzylinder hergestellt wurde. Zu beachten ist jedoch, dass dieser mit seinenAbmessungen beschriebene Hohlzylinder nicht durch Schrauben auf der Welle fixiertwird, sondern locker auf der Achse sitzt. Dies ermöglicht unter Verwendung weiterer40

3.2 Die einzelnen Komponenten des VersuchsaufbausBauteile, dass das Kuppeln zweier Schwungräder in Analogie zu einem elastischen Stoßaus der Translationsmechanik beschrieben werden kann.Für die Konstruktion der mit zwei Klauen ausgestatteten Greifkomponente wird derzweite Hohlzylinder verwendet, dessen Höhe auf 15 mm festgesetzt wurde und dessenAußenradius eine Ausdehnung auf 15 mm erhält. Indem in dieses Objekt in gegenüberliegendenPositionen jeweils eine 10 mm tiefe Spalte eingelassen und ausgehendvon diesen Vertiefungen gemäß Abbildung 3.10 Masse abgetragen wurde, konnte dasGreifelement der Kupplung hergestellt werden. Testmessungen ergaben, dass die Wahldieser Tiefe gerechtferigt ist, denn Klauen mit geringeren Dimensionen ermöglichenkein Einhaken der beiden kongruenten Kupplungshälften.Abb. 3.10.: Die beiden kongruenten Verbindungselemente der Klauenkupplung.Um das Übertragen der Drehbewegungen von Schwungrädern mithilfe der Klauenkupplungin Analogie zum elastischen Stoß behandeln zu können, muss der Dienst einerFeder in Anspruch genommen werden. Testuntersuchungen ergaben, dass nur harteFedern die geforderten Versuchsziele erfüllen, sodass von der Mechanik-Werkstattdes Physikalischen Instituts speziell für den Versuchsaufbau ausgerichtete Federn gedrehtwurden. Hierfür wurde Federstahl verwendet, der sich im Vergleich zu anderenStählen durch eine hohe Festigkeit auszeichnet. Für die Abmessungen dieser selbstgedrehten Federn wurde die Windungszahl auf 7 Wicklungen festgelegt, die sich imunbelasteten Zustand auf eine Länge von ca. 7 cm erstrecken. Der Innendurchmesserdieser Federn wurde mit einer Ausdehnung von 20 mm bedacht und so gewählt, dasser mit dem Außendurchmesser jenen Hohlzylinders übereinstimmt, der als Träger fürdie Greifkomponente der Klauenkupplung dient. Dadurch kann die Feder über diesenHohlzylinder gezogen werden und sorgt somit für den erforderlichen Kontakt mit demGreifelement der Kupplung.Um die Feder auf der Welle zu befestigen, wurde an dem nicht mit der Kupplungshälfteausgestatteten Ende der Feder ein Fixierring angebracht, auf welchen ein zusätzlicherHohlzylinder gesetzt wurde, dessen Innen- und Außendurchmesser mit den Maßen desdie Greifkomponente tragenden Hohlzylinders übereinstimmen und für dessen Höheein Wert von 10 mm verbucht werden kann. Auf dieses Objekt wurde nun ebenfalls41

3 Der Versuchsaufbaudie Feder übergezogen, sodass die Feder an beiden Enden eingespannt ist.Um dieses in Abbildung 3.11 dargestellte und aus Kupplungshäfte, Feder und Fixierringbestehende System auf der Welle befestigen zu können, wurde im zuletztvorgestellten Hohlzylinder eine Schraube eingelassen. Außerdem ist auf den die Federtragenden Hohlzylindern jeweils die Anbringung eines Haltebolzen erforderlich, dergarantiert, dass die Feder mit ihrem zugehörigen Fixierring sowie dem Greifelementder Klauenkupplung fest verbunden bleibt.Abb. 3.11.: Die Klauenkupplung mit aufgesetzter Feder und Fixierring.Um das Funktionsprinzip der in den Demonstrationsexperimenten zum Einsatz kommendenKlauenkupplung inklusive aufgesteckter Feder am Beispiel zweier identischerSchwungräder zu erläutern, betrachte man zunächst das entsprechende Analogon ausder Translationsmechanik, das aus einem zentralen elastischen Stoß zweier gleichartigerKörper besteht. Beispielhaft analysiere man hierfür zwei sich reibungsfrei beweglicheWagen gleicher Massen, von denen der eine Stoßpartner vor dem Zusammentreffenruht. Zudem sei einer der beiden Wagen auf der seinem Stoßpartner zugewandten Seitemit einer Stoßfeder ausgestattet. Führen die beiden Wagen nun einen elastischen Stoßaus, so wird die Geschwindigkeit des einen Wagens auf den zuvor ruhenden Wagenübertragen, sodass die kinetische Energie vor und nach dem Stoß dieselbe ist. Jedochist zu beachten, dass die kinetische Energie während des Stoßvorgangs vorübergehendin potentielle Energie der Feder umgewandelt wird, sodass der Feder eine Rolle alsEnergieüberbringer zukommt. Die Feder wird folglich eingesetzt, um einen elastischenStoß zu simulieren.Ähnlich verhält es sich auch bei zwei über die beschriebene Klauenkupplung verknüpfbarenSchwungräder gleichen Trägheitsmoments, vorausgesetzt mindestens eineder beiden Kupplungshälften ist nicht auf der Welle fixiert. Man versetze nun einesder beiden Schwungräder in Drehung und betrachte im Folgenden den Fall, dass die zudiesem Rad gehörende Kupplungshälfte locker auf der Achse sitzt. Wird dann den bei-42

3.2 Die einzelnen Komponenten des Versuchsaufbausden Verbindungselementen das Ineinandergreifen ermöglicht, so geht im Idealfall beiVernachlässigung von Reibungseffekten die Drehbewegung des anfänglich rotierendenSchwungrads über die Feder vollständig auf das ursprünglich ruhende Rad gleichenTrägheitsmoments über. Um dies erklären zu können, halte man zunächst fest, dassdie Feder der rotierenden Kupplungshälfte im Moment des Zusammenfügens der beidenkongruenten Verbindungskomponenten in die zur Drehrichtung entgegengesetzteRichtung tordiert wird und damit Energie aufnimmt. Bei nicht allzu großen Anfangsdrehzahlenkann die gesamte Rotationsenergie des sich anfänglich drehenden Rads imFederelement gespeichert werden. Entspannt sich die Feder wieder, so gibt sie ihregesamte Energie aufgrund des Vorliegens zweier Objekte gleicher Trägheitsmomenteüber die zweite Kupplungshälfte an das zuvor stillstehende Rad ab und ermöglicht einAusklinken der beiden Verbindungselemente.Wichtig für diesen Vorgang ist die Torsion mindestens einer der beiden Federn, dienur dann zustandekommen kann, wenn mindestens eine der beiden zu kombinierendenKupplungshälften nicht fest auf der Welle verankert ist. Dazu überlege man sich für denspeziellen Fall, dass das erste Verbindungselement keine fixierte Position auf der Welleeinnimmt, dass dieses Objekt, an welchem das eine Ende der Feder befestigt ist, durchdas Auftreffen auf sein ruhendes Gegenstück in seiner Drehbewegung behindert wird.Das andere Ende der Feder, welches am Fixierring montiert ist, dreht sich aufgrundder Trägheit des Schwungrads noch weiter. Diese unterschiedlichen Bewegungsformender Federenden sorgen für die zur vollständigen Übertragung der Drehbewegung erforderlicheTorsion der Feder.Werden jedoch beide Kupplungshälften auf der Welle fixiert, so kann aufgrund dernicht realisierbaren Torsion die Feder nicht zu ihrem Einsatz als Energieüberbringerkommen. Folglich weisen die beiden Schwungräder nach dem Kupplungsvorgang dieselbenWinkelgeschwindigkeiten auf, was dem Vorliegen eines unelastisches Stoßes entspricht.Die RutschkupplungEine Alternative zum Koppeln zweier Schwungräder stellt die sogenannte Rutschkupplungdar. Bei der in den Demonstrationsexperimenten eingesetzten Kupplung stellendie beiden Kupplungshälften keine gleichartigen Elemente dar, sondern setzen sich auszwei in ihrem Aufbau und ihrer Funktion verschiedenen Komponenten zusammen.Eine Kupplungshälfte weist einen Grundaufbau aus zwei aufeinandergesetzten und ausAluminium hergestellten Ringen auf, die jeweils eine Höhe von 10 mm besitzen undeinen Innendurchmesser von ebenfalls 10 mm aufweisen, der dem Diameter der Welleangepasst ist (vgl. Abb. 3.12). Während der Ring mit dem kleineren Außendurchmesservon 16 mm als Haltekomponente für das Verbindungselement der Kupplung dientund mithilfe einer seitlich eingelassenen Schraube für einen festen Halt auf der Wellesorgt, wurde in den zweiten, mit einem Außendurchmesser von 30 mm bedachten Ringin gegenüberliegenden Positionen zwei Spalte eingelassen, die eine Tiefe von 7 mm43

3 Der Versuchsaufbauaufweisen und mit einer Breite von 1 mm ausgestattet sind. In diese Vertiefungenwerden gemäß Abbildung 3.12 zwei aus Aluminium hergestellte Plättchen entsprechenderBreite eingesetzt und mithilfe von seitlich angebrachten Schrauben in den fürsie vorgesehenen Bohrungen fixiert. Die 12 mm langen Flügel nehmen eine ähnlicheFunktion wie die Klauen bei der vorherigen Kupplung ein und ermöglichen ein Einhakenin ihrem zugehörigen Gegenstück. Bei Testversuchen, die sich der Verwendbarkeitder Rutschkupplung widmeten, konnte festgestellt werden, dass für das Material derPlättchen ein strapazierfähiger Werkstoff eingesetzt werden muss und daher beispielsweiseaus Teflon bestehende Flügel verworfen werden mussten. Für die Form der fürdas Einhaken der beiden Kupplungshälften verantwortlichen Plättchen bewährte sichdie in Abbildung 3.12 gezeigte Gestalt, welche ausgehend vom Außendurchmesser desRings zunächst ein kleines Plateau aufweist und dann zum Innenring hin abfällt.Abb. 3.12.: Die mit den Flügelelementen ausgestattete Kupplungshälfte.Die zweite Komponente der Rutschkupplung besteht in ihrem Grundgerüst auch ausden beiden beschriebenen Ringen. Während der eine Ring wiederum für den festenHalt auf der Welle verantwortlich ist, bildet der zweite Ring das Gegenstück für diemit den beiden Aluminiumplättchen ausgestattete Kupplungshälfte. Hierfür wurdenin diesen Ring in einheitlichen Abständen 30 keilförmige Einkerbungen mit einer Tiefevon 1 mm eingelassen, die als Aufsteckboden für die Flügel dienen (vgl. Abb. 3.13).Abb. 3.13.: Die mit den Vertiefungen ausgestattete Kupplungshälfte.44

3.2 Die einzelnen Komponenten des VersuchsaufbausUm die Funktionsweise der aus den beiden beschriebenen Komponenten aufgebautenRutschkupplung zu erläutern, werden die beiden Kupplungshälften auf die Endenzweier einander zugewandter Wellen gesetzt. Wird nun das mit dem Fügelelement ausgestatteteSchwungrad in Drehung versetzt und mit einem stillstehenden Schwungradüber die zweite Kupplungshälfte verbunden, so rutschen die Verhakungselemente überdie Vertiefungen hinweg und versetzen auch das zuvor stillstehende Rad in Drehung.Wenn sich die aus Aluminium aufgebauten Plättchen in den für sie vorgesehenen Spalteneingeklinkt haben, rotieren beide Räder mit derselben Winkelgeschwindigkeit. DieserVorgang kann in der Translationsmechanik mit einem unelastischen Stoß verglichenwerden, bei dem sich die Stoßpartner nach ihrem Zusammentreffen mit derselben Geschwindigkeitweiterbewegen. Zu beachten ist jedoch, dass die Verbindungselementewährend des Einkuppelns zusammengedrückt werden müssen, um das Übertragen derDrehbewegung ermöglichen zu können.Um den Einfluss von Reibungseffekten beim Rutschvorgang zu verringern, wurdedie bereits angesprochene Form der Flügel verwendet, bei welcher durch die abgeflachteGestalt für eine möglichst geringe Kontaktfläche zwischen den beiden Kupplungshälftengesorgt wird.Die FahrbahnwagenUm die in den Demonstrationsexperimenten eingesetzten rotierenden Schwungräderfür den Vorgang der Kupplung zusammenführen zu können, werden die Räder aufWagen montiert. Hierbei kommen die von der Firma LD Didactic GmbH angebotenenFahrbahnwagen zur Anwendung [9]. Diese Wagen verfügen auf ihrer Oberseiteüber Befestigungsgewinde, in welche gemäß Abbildung 3.5 die Haltestützen für dieSchwungräder angebracht wurden.Um gewährleisten zu können, dass zwei mit Schwungrädern ausgestattete Wagen auchtatsächlich so aufeinandertreffen, dass ihre Verbindungselemente ineinandergreifenkönnen, wurde der Versuchsaufbau noch durch eine auf die Wagen abgestimmte Fahrbahnder Firma LD Didactic GmbH erweitert [10]. Jedoch zeigte sich, dass die Wagentrotz Führung durch die Fahrbahn mit ihren Kupplungen nicht direkt aufeinandertreffenund folglich eine bestmögliche Übertragung der Drehbewegungen verhindern.Zur Behebung dieser Unzulänglichkeit wurden die vom Hersteller eingebauten Räderdurch geführte Schienenräder ersetzt. Diese setzen sich aus zwei kreisrunden, scheibenförmigenElementen zusammen, die in einem solchen Abstand durch einen Zwischenringmiteinander verbunden sind, dass sie die Laufschiene der Fahrbahn in ihreMitte nehmen. Dadurch wird das leichte seitliche Ausweichen der Wagen unterbundenund ein nahezu exaktes Verzahnen der betroffenen Kupplungshälften ermöglicht.In Abbildung 3.14 wird die Umgestaltung der Räder deutlich. Während die Unterseitedes oberen Wagens dem noch unbearbeiteten Auslieferungszustand des Herstellersentspricht, dokumentiert das andere Objekt den Einbau der geführten, aus PVC hergestelltenRäder.Durch das Einsetzen der neu gestalteten Räder konnte das nahezu widerstandslo-45

3 Der VersuchsaufbauAbb. 3.14.: Zur Umgestaltung der Wagenräder: Links oben: Die Unterseite des vom Hersteller geliefertenFahrbahnwagens. Rechts unten: Der Wagen nach Einsetzen der geführten Räder.se Fortbewegen der Wagen auf der Fahrbahn nicht beibehalten werden, denn diegeführten Räder rufen durch ihre vergrößerte Kontaktfläche mit der Laufschiene derFahrbahn größere Reibungsverluste hervor. Jedoch ist das möglichst reibungsfreie Vorankommender Wagen in den entwickelten Demonstrationsexperimenten nicht ausschlaggebendfür das Erzielen guter Versuchsergebnisse. Höhere Priorität besitzt dasZentrieren der Wagen, welches für das präzise Ineinandergreifen der Kupplungen unvermeidlichist.Für den Einsatz der Wagen in den Demonstrationsexperimenten wurde noch eine weitereUmbaumaßnahme an den Wagen vorgenommen. Bei Testuntersuchungen, die sichdem Andrehen der auf den Wagen angebrachten Schwungräder widmeten, zeigte sichzudem, dass ein Ausbau der für die Achsen vorgesehenen Federung den Kraftaufwandbeim eigenhändigen Antreiben der Räder verringert, sodass die hierfür eingesetztenFedern ausgebaut wurden.DrehzahlmessungUm die Drehzahl der rotierenden Schwungräder zu bestimmen, werden im Versuch optischeDrehzahlmesser von Testo verwendet. Die im Versuch eingesetzten Messgeräteder Firma Testo [11] zeichnen sich unter anderem durch ihre kleinen Abmessungenaus und können daher auch noch auf den Fahrbahnwagen angebracht werden (DieEinzelheiten zu ihrer Montierung folgen in einem späteren Absatz).Die Messung der Drehzahl erfolgt bei den verwendeten Messgeräten nach dem Prinzipder optischen Reflexion. Hierfür müssen zunächst Reflexmarken in einheitlichenAbständen auf den Schwungrädern angebracht werden. Anschließend sind die Drehzahlmesserso auszurichten, dass das von einer Leuchtdiode emittierte Licht auch dieReflexmarken trifft. Das von diesen Markierungen reflektierte Licht wird dann von einemneben der Leuchtdiode positionierten Fototransistor registriert. Aus den innerhalbeines vorgegebenen Zeitintervalls erfassten Signale ermittelt das Messgerät die Dreh-46

3.2 Die einzelnen Komponenten des Versuchsaufbauszahl des rotierenden Rads. Das im Versuch eingesetzte Messgerät kann jedoch nur danndie Drehzahl eines rotierenden Objekts bestimmen, wenn die Zeitabstände der im Fototransistoreingehenden Impulse eine Dauer von ca. 0,6 Sekunden nicht überschreiten.Wenn daher nur eine Reflexmarke am Schwungrad angebracht ist, beläuft sich der fürdie Drehzahlmessung mögliche Minimalwert auf ca. 1,7 Umdrehungen pro Sekunde.Da in den Demonstrationsexperimenten auch solche Winkelgeschwindigkeiten auftreten,die mit Drehzahlen kleiner als der genannte Minimalwert von 1,7 Umdrehungenpro Sekunde verbunden sind, wurden auf jedem Rad in einheitlichen Abständen vierReflexmarken angebracht. Dabei muss jedoch beachtet werden, dass für eine korrekteAngabe der Drehzahl die entsprechende Einstellung der Markierungsanzahl am Messinstrumentvorgenommen werden muss.Um die Wahl der vorgestellten Messgeräte für die in den Demonstrationsexperimentenerforderliche Drehzahlmessung zu rechtfertigen, sei auf die maximale Drehzahl verwiesen,die mit diesem Instrument gemessen werden kann. Bei Verwendung einer Reflexmarkekönnen mit dem Messgerät der Firma Testo Daten bis zu 500 Umdrehungen proSekunde erfasst werden. Kostengünstigere Varianten zur Registrierung der Drehzahlstellen beispielsweise Fahrradcomputer mit Trittfrequenzanzeige dar. Der Nachteil dieserGeräte, der auch ihren Einsatz im Experiment unmöglich macht, ist die maximalzu messende Drehzahl, die bei den meisten Fahrradcomputern bei 4 Umdrehungen proSekunde liegt.Für die konkrete Umsetzung der Demonstrationsexperimente ist es unpraktisch, dieDrehzahl der Schwungräder durch eigenhändiges Fokussieren der Messgeräte zu bestimmen.Daher wurden passende Halterungen für die Drehzahlmessgeräte konstruiert.Die Basis für diese Haltevorrichtungen stellt ein drehbar gelagerter Tisch dar, welcheran einem der beiden senkrechten Stützen aufgesteckt werden kann (vgl. Abb. 3.15).Abb. 3.15.: Drehzahlmesser und die zugehörige Haltevorrichtung.47

3 Der VersuchsaufbauDurch die drehbare Komponente des Tischs kann das vom Drehzahlmesser emittierteLicht unter beliebigen Winkeln auf das Schwungrad treffen. Ausrichtungendes Messgeräts, die auch ein Auftreffen des Lichtstrahls unter einem Winkel vonca. 30 ◦ ermöglichen, sind notwendig, um Mehrfachreflexionen an der Oberfläche desSchwungrads zu vermeiden. Bei der Aufnahme der Daten ist zu beachten, dass dieverwendeten Materialien wie Stahl und Aluminium selbst reflektierende Eigenschaftenbesitzen und damit den Einsatz der vorgestellten Drehzahlmesser verhindern. Umdiese Unzulänglichkeit zu beheben, erhielten die Schwungräder vor ihrer Verwendungin den Demonstrationsexperimenten eine schwarze, nicht spiegelnde Lackierung, aufwelcher die Reflexmarken angebracht wurden.Des Weiteren ist zu beachten, dass die Drehzahlmessung nur dann erfolgen kann, wenndie entsprechende Taste auf dem Messgerät gedrückt gehalten wird. Um dieses permanenteund per Hand auszuführende Betätigen der Bedientaste zu unterbinden, wurdegemäß Abbildung 3.15 noch ein Bügel auf dem drehbar gelagerten Tisch angebracht.An diese Vorrichtung ist noch ein zusätzlicher Knopf montiert, der beim Umlegen desBügels auf die Bedientaste zur Aufnahme der Messwerte drückt. Durch diese Konstruktionist folglich die Messung der Drehzahl ohne eigenes Handanlegen möglich.3.3. Vorstellung der DemonstrationsexperimenteUm Kenntnisse im Umgang mit den für Drehbewegungen charakteristischen Größendes Drehimpuls und Trägheitsmoments zu erlangen, sind die Demonstrationsexperimenteso entwickelt worden, dass aufgrund der Analogie zwischen Translation und Rotationein phänomenologischer Erkenntnisgewinn möglich ist. Die hierfür eingesetztenExperimente sowie die ihnen zugrundeliegende Konstruktionsidee sind im Folgendenaufgeführt.3.3.1. Experimente mit der KlauenkupplungIn den Erläuterungen zur Klauenkupplung wurde bereits aufgeführt, dass dieses Verbindungselementeinen Drehstoß simuliert, der in Analogie zum elastischen Stoß zweierKörper in der Translationsmechanik beschrieben werden kann. Die in diesem Zusammenhangerlangten Kenntnisse sollen auf Drehbewegungen übertragen werden, umdamit eine Erweiterung des Wissenshorizonts im Bereich der Rotation starrer Körperzu ermöglichen.Kopplung zweier Schwungräder gleicher TrägheitsmomenteFür das Kuppeln zweier Schwungräder identischer Trägheitsmomente kommen zweiRäder vom Typ 1 zum Einsatz, von denen eines der beiden Objekte in Drehung versetztwird und mithilfe der aufgesetzten Klauenkupplung eine Übertragung der Drehbewegungan das zuvor ruhende Rad ermöglicht. Abbildung 3.16 zeigt den zugehörigenVersuchsaufbau.48

3.3 Vorstellung der DemonstrationsexperimenteDas Ziel dieses Experiments besteht in der Demonstration der Drehimpulserhaltung.Um dieses Ergebnis zu erreichen, verwendet man die Analogie zu einem elastischenStoß zweier Körper gleicher Massen aus der Translationsmechanik.Abb. 3.16.: Versuchsaufbau zur Kombination zweier Schwungräder über die Klauenkupplung.Kopplung zweier Schwungräder unterschiedlicher TrägheitsmomenteUm genauere Kenntnisse über das Trägheitsmoment und seiner Charakteristika zuerlangen, werden jeweils zwei Schwungräder unterschiedlicher Trägheitsmomente überdie Klauenkupplung miteinander verbunden. Zur Verfügung stehen hierbei ein Schwungradvom Typ 1, das Rad vom Typ 2 sowie das kleine Schwungrad des Modell 3.Im ersten Versuchsteil werden die Räder vom Typ 2 und 3 jeweils mit dem Stahlrad erstenKennzeichens gekoppelt. Dabei sind die beiden erstgenannten Räder vor dem Stoßin Drehung zu versetzen, während das Rad vom Modell 1 vor dem Zusammentreffenruht. Anschließend werden die Rollen der Schwungräder getauscht. Um aus den dabeiauftretenden Erscheinung eine Aussage über das Trägheitsmoment treffen zu können,betrachtet man das Analogon aus der Translationsmechanik, das aus einem elastischenStoß zweier Körper unterschiedlicher Massen besteht und übertragt die damiterreichten Erkenntnisse durch Austausch der entsprechenden Größe auf Drehstöße.3.3.2. Experimente mit der RutschkupplungDurch den Einsatz der Rutschkupplung soll ein unelastischer Drehstoß simuliert werden.Solch ein Stoß ermöglicht wiederum Analogiebetrachtungen zu entsprechendenStößen aus der Translationsmechanik, deren Ergebnisse sich auf Drehstöße übertragenlassen und damit Information über die Größen des Drehimpulses und Trägheitsmomentsliefern. Für das Verbinden zweier Schwungräder mithilfe der Rutschkupplungwird der Welle eines der beiden Räder gemäß Abbildung 3.17 die mit den Flügeln ver-49

3 Der Versuchsaufbausehene Kupplungshälfte aufgesteckt, während das andere Schwungrad mit dem passendenGegenstück ausgestattet wird.Abb. 3.17.: Versuchsaufbau zur Kombination zweier Schwungräder über die Rutschkupplung.Kopplung zweier Schwungräder gleicher TrägheitsmomenteDie Kopplung zweier Schwungräder gleicher Trägheitsmomente gliedert sich in zweiVersuchteile. Im ersten Experiment wird eines der beiden Räder in Drehung versetzt,während sich das andere Objekt durch einen ruhenden Zustand auszeichnet.Aus dem Ergebnis nach dem Kupplungsvorgang kann mithilfe des entsprechendentranslatorischen Stoßes zweier Körper gleicher Massen wiederum die Drehimpulserhaltungaufgezeigt werden. Das Ziel des zweiten Versuchs besteht in der Demonstrationdes Vektorcharakters des Drehimpulses. Hierfür werden die beiden Schwungrädergleicher Trägheitsmomente mit betraglich übereinstimmenden Winkelgeschwindigkeitenin entgegengesetzte Drehrichtungen in Rotation versetzt und miteinander über dieRutschkupplung verbunden.Kopplung zweier Schwungräder unterschiedlicher TrägheitsmomenteUm Informationen über das Trägheitsmoment eines Körpers zu erhalten, werden Rädermit unterschiedlichen Trägheitsmomenten gekoppelt. Zum Einsatz kommt dabei einSchwungrad des Modell 1, das in zwei aufeinanderfolgenden Experimenten mit denRädern vom Typ 2 und 3 verbunden wird. Vor dem Kupplungsvorgang werden beideRäder in Drehung versetzt. Diese Drehbewegungen erfolgen in entgegengesetzteRichtungen, weisen aber betragsmäßig dieselbe Winkelgeschwindigkeit auf. Aus demDrehverhalten der beiden Räder kann mithilfe des Analogons aus der Translationsmechanik,das aus einem unelastischen Stoß zweier sich mit derselben Geschwindigkeitaufeinander zubewegender Körper unterschiedlicher Massen besteht, Erkenntnissebezüglich des Trägheitsmoments eines Körpers erzielt werden.50

4. Messungen und AuswertungenUm mithilfe der rotierenden Schwungräder Einblicke in die Theorie der Drehbewegungenzu erhalten und insbesondere Erkenntnisse über die zur Beschreibung von Rotationenbenötigten Größen des Drehimpuls und Trägheitsmoments zu erlangen, werdenRäder unterschiedlicher Trägheitsmomente miteinander gekoppelt und ihre Winkelgeschwindigkeitenvor und nach der Kupplung analysiert.Für das Verbinden der Schwungräder stehen zwei unterschiedliche Kupplungen zurVerfügung, die sich zwar in ihrer Funktionsweise unterscheiden, aber mit denen sichähnliche Erkenntnisse erzielen lassen. Die Durchführung der Demonstrationsexperimentemithilfe dieser beiden Verbindungsmöglichkeiten sowie die Auswertung undBeurteilung der gewonnenen Messdaten hinsichtlich der Eigenschaften von Drehimpulsund Trägheitsmoment werden Gegenstand dieses Kapitels sein.Um eine quantitative Analyse der Messergebnisse vornehmen zu können, werden dieTrägheitsmomente der Schwungräder benötigt, sodass in vorbereitenden Messungenzunächst die Bestimmung dieser Größen erfolgt.4.1. Vorbereitende MessungenUm die Trägheitsmomente der Schwungräder bezüglich einer Achse zu bestimmen,die in ihrer Lage mit den im Versuch eingesetzten Wellen übereinstimmt, wird die inden physikalischen Grundlagen beschriebene Methode der Drehschwingungen verwendet.Zum Einsatz kommt dabei ein zum Bestand des physikalischen Anfängerlaborsgehörender Drehtisch (siehe Abb. 4.1).Abb. 4.1.: Ein zum Bestand des physikalischen Anfängerlabors gehörender Drehtisch.51

4 Messungen und Auswertungen4.1.1. VorüberlegungenFür das Bestimmen der Trägheitsmomente müssen unter anderem die Schwingungsdauerndes Drehtischs mit dem entsprechenden aufgesteckten Schwungrad gemessenwerden. Hierbei ist entscheidend, dass das Rad während der Aufnahme eines Messwertseine feste Position auf dem Drehtisch einnimmt. Daher wurde noch eine Haltevorrichtungfür die Schwungräder benötigt. Die Wahl fiel dabei auf einen 3 g schwerenAluminiumstift, der mit seinem Durchmesser den Abmessungen der im Zentrum derSchwungräder vorhandenen Bohrung angepasst ist. Dieser Stift wird je nach durchzuführenderMessung in der entsprechenden Vertiefung im Drehtisch positioniert unddient als Aufsteckelement für die Schwungräder.Ausschlaggebend bei der Wahl dieser Haltevorrichtung war die geringe Masse des Aluminiumstifts.Wie Testmessungen ergaben, bewirkt diese Eigenschaft, dass die Schwingungsdauerndes Drehtischs inklusive aufgesteckter Halterung auch für verschiedeneAbstände des Halteelements von der Drehachse nahezu identisch sind, sodass die unterschiedlichenPositionen des Aluminiumstifts, die für das Anbringen der Schwungräderauf dem Drehtisch erforderlich sind, keine Relevanz für die Messung der Schwingungsdauernhaben.4.1.2. Teil 1: Messung der Schwingungsdauer des DrehtischsZur Bestimmung von Trägheitsmomenten gemäß dem in den physikalischen Grundlagenbeschriebenen Verfahren muss zunächst die Schwingungsdauer des Drehtischsohne den zu untersuchenden Probekörper ermittelt werden.Dafür wurde der Haltestift im Zentrum des Drehtischs platziert und für dieses Systemin einer aus 8 Einzelmessungen bestehenden Messreihe die Schwingungsdauerbestimmt, wobei nicht die Dauer T einer Einzelschwingung ermittelt, sondern die Zeitfür mehrere Schwingungen aufgenommen wurde. Die erzielten Messergebnisse sind inTabelle 4.1 zusammengestellt:Tabelle 4.1.Messergebnisse für die Schwingungsdauern des Drehtischs mit aufgestecktem Haltestift.Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 14,52 14,48 14,46 14,43 14,47 14,51 14,43 14,48Aus diesen Werten berechnet sich der Mittelwert T der Schwingungsdauer des Drehtischsmit der zugehörigen Standardabweichung zuT = (2,068 ± 0,002) s.52

4.1 Vorbereitende MessungenMithilfe dieses Mittelwerts lässt sich aus der im Theorieteil hergeleiteten GleichungT = 2 π√I0Dder Quotient aus dem Trägheitsmoment I 0 des Drehtischs samt Halterung und demRichtmoment D der Feder ermitteln. Das Ergebnis dieser Division wird für die Bestimmungder Trägheitsmomente benötigtI 0D = (0,1083 ± 0,0002) s2 ,wobei der zugehörige Fehler mithilfe der Gaußschen Fehlerfortpflanzung berechnetwurdeσ I 0D = 14π 2 σ T 2 .4.1.3. Teil 2: Messung der Schwingungsdauer des Drehtischsinklusive SchwungradBeispielhaft soll im Folgenden das Trägheitsmoment der Schwungräder vom Typ 1ermittelt werden. Da sich die drei von diesem Modell hergestellten Schwungräder nursehr geringfügig in ihrer Masse unterscheiden, genügt die Aufnahme der Schwingungsdauernfür ein Rad diesen Typs. Zum Einsatz kam hierbei das mit der Nummer 1versehene Rad.Gemäß dem in den physikalischen Grundlagen beschriebenen Verfahren wird das Radnacheinander in verschiedenen Abständen auf den Drehtisch gesteckt und die zugehörigenSchwingungsdauern gemessen. Die Vorgehensweise hierbei entspricht dem inTeil 1 vorgestellten Verfahren, sodass für jede Aufsteckposition in 8 Einzelmessungendie Zeit für 7 Schwingungsdauern aufgenommen wurde. Die erzielten Messwerte sindim Anhang aufgelistet.Aus den Messreihen für jeden Abstand l des Aufsteckbolzens von der Tischachse wurdewiederum der Mittelwert T für die Dauer einer Einzelschwingung bestimmt. Tabelle4.2 fasst die für das Schwungrad vom Typ 1 gewonnenen Ergebnisse zusammen.Tabelle 4.2.Mittelwert T der Schwingungsdauer für verschiedene Aufsteckpositionen l.l in 10 −3 m 0 15 30 45 60 75 90T in s 2,291 2,311 2,362 2,450 2,566 2,706 2,867σ T in s 0,001 0,002 0,001 0,002 0,002 0,001 0,00153

4 Messungen und AuswertungenUm aus diesen Messwerten das gesuchte Trägheitsmoment zu bestimmen, werden dieErgebnisse in eine grafische Darstellung eingetragen, die zweckmäßigerweise eine Auftragungvon T 2 gegen l 2 verwendet, um eine leicht auswertbare lineare Abhängigkeitzu erhalten (siehe Abb. 4.2). Die Fehler der auf der Ordinatenachse aufgetragenenWerte berechnen sich gemäß der Gaußschen Fehlerfortpflanzung zuσ T2 = 2 · T · σ T . (4.1)Für die auf der Abszisse abgetragenen quadratischen Abstände der Aufsteckpositionenvon der Tischachse sind laut Gerätebeschreibung keine Fehler angegeben.Abb. 4.2.: Darstellung von T 2 gegen l 2 mit linearem Fit.Für die Auswertung der in Abbildung 4.2 gezeigten linearen Abhängigkeit zwischenT 2 und l 2 wurde mithilfe von OriginPro, einer zur Datenanalyse und -visualisierungentwickelten Software, eine ausgleichende Gerade durch die Messpunkte gelegt. Ihrezugehörigen Parameter sind ebenfalls in Abbildung 4.2 eingetragen.Mithilfe des Achsenabschnitts und der Steigung dieser Regressionsgeraden erfolgt dannin mehreren Schritten die Bestimmung des gesuchten Trägheitsmoments.1. Schritt: Bestimmung des Richtmoments D der FederZunächst berechnet man aus der Steigung b der Regressionsgeraden unter Verwendungder Masse m = (655±1)g des Schwungrads das Richtmoment D der Feder. Dies erfolgt54

4.1 Vorbereitende Messungenmithilfe des im Theorieteil hergeleiteten ZusammenhangsD = 4π2b m .Mit dem durch das Gaußsche Fehlerfortpflanzungsgesetz berechneten Fehlerσ D = D ·√ (σmm) 2 ( σb) 2+bergibt sich aus den für das Schwungrad vom Typ 1 aufgenommenen Messdaten für dasRichtmoment D der Feder:D = (704 ± 2) · 10 −4 Nm .Da bei der Auswertung der für die anderen Schwungräder aufgenommenen Messdatenwiederum das Richtmoment D der Feder berechnet werden konnte, wurde aus allen inTabelle 4.3 aufgelisteten Werten das gewichtete Mittel gebildet. Dies liefert für das inden weiteren Rechnungen eingesetzte Richtmoment D der Feder:D = (705 ± 2) · 10 −4 Nm .Tabelle 4.3.: Zusammenstellung der ermittelten Richtmomente der Feder.Rad TypRichtmoment in 10 −4 NmTyp 1 704 ± 2Typ 2 695 ± 12Typ 3 711 ± 42. Schritt: Berechnung des Trägheitsmoments I 0 des DrehtischsFür die Berechnung des Trägheitsmoments I 0 des Drehtischs ohne aufgesteckten Probekörperkommt der in Teil 1 ermittelte Quotient I 0 /D zum Einsatz:I 0 = (76,3 ± 0,2) · 10 −4 kg m 2 .3. Schritt: Berechnung des Trägheitsmoments I gesDen Erläuterungen im Theorieteil ist zu entnehmen, dass aus dem Achsenabschnitt derdurch die Messpunkte gelegten Regressionsgeraden das Trägheitsmoment I ges = I 0 + I55

4 Messungen und Auswertungenbestimmt werden kann, das sich aus dem Trägheitsmoment I 0 des Drehtischs mit aufgestecktemHaltestift und dem gesuchten Trägheitsmoment I des Schwungrads zusammensetzt.Diese Größe I ges berechnet sich durchI ges = a D4π 2 ,sodass man für das Trägheitsmoment des Drehtisch mit dem aufgelegten Schwungradvom Typ 1 folgenden Wert notieren kannI ges = (93,8 ± 0,3) kg m 2 .4. Schritt: Berechnung des Trägheitsmoments I des SchwungradsBildet man die Differenz der in Schritt 2 und 3 berechneten Trägheitsmomente, soerhält man das gesuchte Trägheitsmoment I des Schwungrads bezüglich einer Achse,die mit der Lage der im Versuch eingesetzten Welle übereinstimmt:I = I ges − I 0 .Unter Zuhilfenahme des zugehörigen Fehlers kann für das Trägheitsmoment der Schwungrädervom Typ 1 bezüglich einer mit der Welle übereinstimmenden Achse der folgendeWert verzeichnet werdenI = (17,5 ± 0,4) · 10 −4 kg m 2Die Trägheitsmomente der Schwungräder anderen Typs werden auf analoge Weiseberechnet. Die hierfür benötigten Messergebnisse sowie die für ihre Auswertungbenötigten Grafiken mit linearem Fit sind im Anhang aufgelistet.Tabelle 4.4 fasst die Trägheitsmomente aller Schwungräder zusammen. Die Größenbeziehen sich jeweils auf eine Achse, die in ihrer Orientierung mit der in den Experimenteneingesetzten Welle übereinstimmt.Tabelle 4.4.: Übersicht zu den Trägheitsmomenten der verschiedenen Schwungräder.Rad Typ Trägheitsmoment in 10 −4 kg m 2Typ 1 17,5 ± 0,4Typ 2 6,9 ± 0,4Typ 3 5,4 ± 0,456

4.2 Experimente mit der Klauenkupplung4.1.4. FehlerdiskussionFür die mithilfe der Drehschwingungen ermittelten Trägheitsmomente der Schwungräderliegen keine Vergleichswerte vor. Dennoch sollen im Folgenden einige Fehlerbetrachtungenangestellt werden, die eventuelle Abweichungen von den tatsächlichvorliegenden Trägheitsmomenten erklären.Bei dem in den physikalischen Grundlagen hergeleiteten Zusammenhang für die SchwingungsdauerT des Drehtischs wurde nur das rücktreibende Drehmoment der Federbenutzt. Unberücksichtigt blieb beispielsweise ein durch die Schwerkraft zusätzlichhervorgerufenes Drehmoment, das sich infolge einer nicht exakt horizontalen Ausrichtungdes Drehtischs ergibt. Auch dem Einfluss der durch die Lagerreibung bedingtenDämpfung wurde im aufgeführten mathematischen Zusammenhang (2.61) fürdie Schwingungsdauer keine Beachtung geschenkt. Durch diese Dämpfung lassen sichSchwingungszeiten ermitteln, die sich im Vergleich zum theoretischen Zusammenhangdurch größere Zahlenwerte auszeichnen. Untersucht man die einzelnen Schritte der vorgestelltenMethode zur Festlegung der Trägheitsmomente, so werden sich die längerenSchwingungsdauern vor allem bei der Bestimmung des Quotienten I 0 /D bemerkbarmachen, die im Vergleich zu dem ermittelten Wert für das Trägheitsmoment I 0 desDrehtischs einen größeren Zahlenwert liefern. Dieser resultiert gemäß dem viertenSchritt in einem kleineren Trägheitsmoment des jeweils untersuchten Schwungrads.4.2. Experimente mit der KlauenkupplungDie für das Übertragen der Drehbewegung verantwortliche Klauenkupplung wurdeso konstruiert, dass sie einen nahezu elastischen Drehstoß zwischen zwei rotierendenRädern simuliert, dessen Beschreibung in Analogie zum elastischen Stoß in derTranslationsmechanik erfolgen kann. Aufgrund dieser Parallelität können die bei denDrehstößen auftretenden Phänomene durch Austausch der analogen Größen ohnegroßen Arbeitsaufwand gedeutet werden und ermöglichen somit Aussagen über diefür Rotationen charakteristischen Erscheinungen des Drehimpulses und des Trägheitsmoments.Die Vorgehensweise für das Erlangen dieser Kenntnisse ist durch die Analysedes Drehverhaltens der miteinander gekoppelten Schwungräder geprägt.4.2.1. Schwungräder gleicher TrägheitsmomenteWie im Versuchsaufbau beschrieben, werden in diesem Versuchsteil zunächst zweiSchwungräder vom Typ 1 auf den Fahrbahnwagen montiert und mit einer Klauenkupplungausgestattet. Bevor eines der beiden Räder angedreht und mit dem anderenüber die Kupplung verbunden wurde, musste zunächst überprüft werden, dass beide57

4 Messungen und AuswertungenSchwungräder neben ihrem identischen Trägheitsmoment auch dasselbe Drehverhaltenaufweisen. Dazu wurden beide Objekte mit derselben Winkelgeschwindigkeit inDrehung versetzt und die Abnahme ihrer Drehzahl infolge von Reibungsverlusten untersucht.Ziel dieser Voruntersuchungen war es, eventuelle ungleiche Reibungsverlusteaufzudecken. Solche Verluste liegen beispielsweise dann vor, wenn das Schwungradoder auch die Welle nicht richtig fixiert wurden oder wenn der Haltetisch für denDrehzahlmesser eine zu hohe Position einnimmt, sodass er an der Kupplung streiftund somit eine zusätzliche Quelle für Reibungsverluste bietet.Die Testuntersuchungen lieferten eine nahezu identische Abnahme der Drehzahl derbeiden Schwungräder, die sich maximal um 0,1 Umdrehungen pro Sekunde unterschieden,sodass den beiden Rädern vom Typ 1 dasselbe Drehverhalten zugewiesen werdenkonnte.Hinweise zur DurchführungWenn bei der Durchführung des Experiments eines der beiden Schwungräder in Drehungversetzt wird, muss der zugehörige, auf der Fahrbahn positionierte Wagen angestoßenwerden, um das Zusammenführen der kongruenten Kupplungshälften der beidenSchwungräder zu ermöglichen. Beobachtungen mithilfe von Videoanalysen ergaben,dass dem Wagen kein zu schwacher Stoß gegeben werden darf, denn sonst könnendie beiden Verbindungselemente nicht komplett ineinandergreifen und erschweren einevollständige Übertragung der Drehbewegung.Zu beachten ist außerdem, dass bei Verwendung eines Schwungrads vom Typ 1 alsdas zu Beginn rotierende Rad nur Anfangsdrehzahlen bis ca. 5 Umdrehungen pro Sekundefür die Durchführung des Experiments eingesetzt werden können. Um dies zubegründen, berücksichtige man, dass der auf die Torsion der Feder zurückzuführendeDrehwinkel ϕ klein ist und folglich auch die potentielle Energie der Torsionsfedergemäß E pot = 1 2 D ϕ2 mit dem Richtmoment D der Feder keine allzu großen Werte annehmenkann. Da die Rotationsenergie des ersten Schwungrads für die Übertragung derDrehbewegung an das zweite Rad zunächst in potentielle Energie der Feder umgewandeltwird, muss dieser Beitrag der Bewegungsenergie für eine vollständige Übergabe derDrehung der Energie der Feder angepasst sein. Diese Einschränkung für die Rotationsenergieerklärt folglich auch die Eingrenzung der Anfangsdrehzahlen bei Verwendungeines Schwungrads vom Typ 1.Beobachtungen und MessergebnisseWurde den Kupplungshälften der beiden Schwungräder durch Anstoßen ihrer Wagenein Ineinandergreifen ermöglicht, so konnte mithilfe von Videoaufnahmen beobachtetwerden, dass das sich zu Beginn drehende Verbindungselement durch den Kontakt mitseinem ruhenden Gegenstück abgebremst wurde und nur noch eine geringe Drehbewegungaufweisen kann. Da die Kupplungshälfte über die Welle mit dem Schwungradverbunden ist, kann für das zugehörige Rad ebenfalls eine nur noch sehr geringe Dreh-58

4.2 Experimente mit der Klauenkupplungbewegung beobachtet werden, die vom Drehzahlmessgerät in den meisten Fällen nichtmehr registriert werden kann und die auch nach wenigen Sekunden infolge von Reibungsverlustenbereits abgeklungen ist. Das andere, zuvor ruhende Rad nimmt überseine Kupplungshälfte die Bewegung des ersten Objekts auf und kann eine Drehzahlverbuchen, die in den meisten Messungen die Anfangsdrehzahl des ersten Schwungradsum 0,1 - 0,3 Umdrehungen pro Sekunde unterschreitet. Schwankungen innerhalb diesesBereichs sind auf das beim Kupplungsvorgang unterschiedliche Ineinandergreifender Verbindungselemente und auch auf die Wahl der Anfangsdrehzahl zurückzuführen.Bei Umlauffrequenzen, welche 5 Umdrehungen pro Sekunde überschreiten, ist in denmeisten der getätigten Messungen keine vollständigen Übertragung der Drehbewegungzu registrieren. Dies lässt sich an der Rotation des sich zu Beginn drehenden Rads erkennen,die auch nach dem Kupplungsvorgang noch vorhanden ist und sich sogar mitdem Messgerät erfassen lässt.Tabelle 4.5 zeigt eine Auswahl einiger aufgenommener Messwerte, die das typischeDrehverhalten der beiden Schwungräder repräsentieren. Eine vollständige Auflistungder Messwerte findet sich im Anhang wieder. f 1 bezeichnet dabei die Drehzahl desvor dem Drehstoß rotierenden Rads und f ′ 2 diejenige des anderen Schwungrads nachdem Zusammenführen der Körper. Die Drehzahlen f ′ 1 und f 2 des ersten Rads nachdem Stoß bzw. des vor dem Drehstoß ruhenden Rads nehmen laut Messgerät einenmit Null identischen Wert an und sind daher nicht in der Tabelle aufgeführt.Bei der Durchführung des Experiments trat gelegentlich auch der Fall auf, dass dieKlauen der beiden Verbindungshälften so aufeinandertreffen, dass kein Ineinandergreifenund folglich auch keine Weitergabe der Drehbewegung möglich ist. Diese Fehlversuchesind nicht in der Auflistung aufgeführt.Tabelle 4.5.Auswahl einiger Messdaten für die Kupplung zweier Schwungräder gleichenTrägheitsmoments.f 1 in s −1 1,9 2,3 2,7 3,0 3,3 3,9 4,6 4,7 5,2f ′ 2 in s −1 1,7 2,1 2,6 2,7 3,1 3,7 4,4 4,4 4,9AuswertungUm eine quantitative Auswertung und auch eine Deutung der erzielten Messergebnissevornehmen zu können, wird der Gesamtdrehimpuls L ges und L ′ ges vor bzw. nach demDrehstoß berechnet. Während sich L ges aufgrund des ruhenden zweiten Schwungradsnur aus dem Drehimpuls des ersten Rads zusammensetzt, trägt für die Berechnung desGesamtdrehimpuls L ′ ges nach dem Stoß nur das zweite, zu Beginn ruhende Rad bei.Da beide Schwungräder dasselbe Trägheitsmoment aufweisen (I 1 = I 2 ), unterscheiden59

4 Messungen und Auswertungensich die genannten Gesamtdrehimpulse nur durch ihre geringfügig unterschiedlichenDrehzahlen f 1 bzw. f 2L ges = I 1 ω 1 = 2π I 1 f 1 und L ′ ges = I 1 ω ′ 2 = 2π I 1 f ′ 2 . (4.2)Hierbei ist zu beachten, dass keine vektorielle Betrachtungsweise erforderlich ist, denndie Orientierung der Drehachse des aus beiden Schwungrädern bestehenden Systemsändert sich während des Drehstoßes nicht.Der Fehler auf die Gesamtdrehimpulse ergibt sich gemäß dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetzzu√ (σI1 ) 2 ( ) 2 σfσ L = L · + , (4.3)I 1 fwobei der Fehler der Drehzahl mit σ f = 0,1 s −1 auf die Anzeigegenauigkeit des Messgerätszurückzuführen ist. Tabelle 4.6 fasst die berechneten Werte zusammen. DieFehler für die Gesamtdrehimpulse vor und nach dem Drehstoß sind in der letztenSpalte aufgeführt. Unterscheiden sich die Abweichungen, so sind entsprechend der Beschriftungzwei Werte aufgeführt.Tabelle 4.6.Berechnung der Gesamtdrehimpulse L ges und L ′ ges vor bzw. nach dem Drehstoß.f 1 [s −1 ] f ′ 2 [s −1 ] L ges [kg m 2 s −1 ] L ′ ges [kg m 2 s −1 ] σ Lges / σ L ′ ges[kg m 2 s −1 ]1,9 1,7 0,021 0,019 0,0012,3 2,1 0,025 0,023 0,0012,7 2,6 0,030 0,029 0,0013,0 2,7 0,033 0,030 0,0013,3 3,1 0,036 0,034 0,0013,9 3,7 0,043 0,041 0,0014,6 4,4 0,050 0,048 0,002 / 0,0014,7 4,4 0,052 0,048 0,002 / 0,0015,2 4,9 0,057 0,054 0,002Dieser Tabelle ist zu entnehmen, dass die Werte für den Gesamtdrehimpuls des ausbeiden Schwungrädern bestehenden Systems vor und nach dem Drehstoß in den meistender aufgeführten Messungen innerhalb ihrer einfachen Fehler übereinstimmen. Derdurchgehend geringere Zahlenwert des Gesamtdrehimpulses nach dem Stoß ist zumeinen auf Reibungsverluste beim Kupplungsvorgang zurückzuführen, zum anderen tragenaber auch Verluste infolge der Lagerung der Räder und auch die vom Messgerätnicht registrierbare geringere Drehbewegung des ersten Schwungrads nach dem Stoßzu einer Abnahme dieses Werts bei. Infolge dieser Gründe kann daher anhand der60

4.2 Experimente mit der Klauenkupplungobigen Daten die Drehimpulserhaltung demonstriert werden.Man beachte, dass eine Verifizierung der Drehimpulserhaltung auch ohne genaue Kenntnisdes Trägheitsmoments der beiden Räder erfolgen kann, denn wie bereits angesprochen,unterscheiden sich die Gesamtdrehimpulse vor und nach dem Drehstoß nur durchihre Umlauffrequenzen. Da diese trotz der kleineren Drehzahl f ′ 2 auf einen Zusammenhangder beiden Größen hinweisen, lässt sich infolge des Austauschs der Drehzahlenbeider Räder das Erhaltungsgesetz für den Drehimpuls aufzeigen.Den analogen Vorgang findet man in der Translationsmechanik bei einem elastischenStoß zweier Körper gleicher Massen, von denen eines der beiden Objekte vor dem Stoßruht. Treffen diese Körper aufeinander, so ist zu beobachten, dass ein Austausch derGeschwindigkeiten und aufgrund des Vorliegens gleicher Massen auch ein Austauschder Impulse stattfindet. Damit wird deutlich, dass der Gesamtimpuls vor und nachdem Stoß übereinstimmt und sich somit die Impulserhaltung belegen lässt. Überträgtman diese Situation durch Austausch der analogen Größen auf Drehbewegungen, soergibt sich das hier vorgestellte Experiment.Anhand der Drehzahlen f 1 und f ′ 2 lässt sich auch erkennen, dass die Realisierung einesvöllig elastischen Drehstoßes mithilfe der Klauenkupplung eine Idealisierung darstellt,denn für das Vorliegen eines solchen Drehstoßes müssten die Schwungräder gleichenTrägheitsmoments einen vollständigen Austausch ihrer Drehzahlen erfahren und esmüsste somit f 1 = f ′ 2 gelten. Jedoch weisen die Drehzahlen des zweiten Schwungradsnach dem Zusammentreffen Werte auf, die um 0,1 bis 0,3 Umdrehungen pro Sekundeunter der Anfangsdrehzahl des zu Beginn rotierenden Rads liegen. Wie bereits diskutiert,ist diese Abnahme vor allem auf Reibungsverluste beim Kupplungsvorgangzurückzuführen.Die Einflüsse der beiden sich unterscheidenden Drehzahlen f 1 und f ′ 2 auf das Vorliegeneines elastischen Drehstoßes lassen sich eindrucksvoll anhand der Stoßzahl demonstrieren,die sich gemäß der im Theorieteil aufgeführten Gleichung (2.54) zuk = f ′ 2f 1(4.4)ergibt. In Tabelle 4.7 sind die auf diese Weise berechneten Stoßzahlen zusammengefasst.Es lässt sich erkennen, dass die ermittelten Werte auch innerhalb ihres einfachenFehlers die für das Vorliegen eines elastischen Drehstoßes erforderliche Stoßzahlvon k = 1 nicht erreichen. Dennoch kann aus der bei den meisten Messungengeringfügig kleineren Stoßzahl geschlossen werden, dass die Verwendung der Klauenkupplungals eine gute Umsetzung für die Simulation eines elastischen Drehstoßeszweier Schwungräder gleicher Trägheitsmomente betrachtet werden kann.Erweiterung: Kopplung dreier Schwungräder gleichen TrägheitsmomentsDer erste Versuchsteil zur Demonstration der Drehimpulserhaltung kann um ein zusätzlichesSchwungrad vom Typ 1 erweitert werden, das ebenfalls mit einer Klauenkupplungausgestattet und auch auf einem Wagen platziert wurde. Die drei Wagen mit den61

4 Messungen und AuswertungenTabelle 4.7.: Berechnung der Stoßzahl k für die in Tabelle 4.5 aufgeführten Stoßprozesse.f 1 [s −1 ] f ′ 2 [s −1 ] k σ k1,9 1,7 0,89 0,072,3 2,1 0,91 0,062,7 2,6 0,96 0,053,0 2,7 0,90 0,043,3 3,1 0,94 0,043,9 3,7 0,95 0,044,6 4,4 0,96 0,034,7 4,4 0,94 0,035,2 4,9 0,94 0,03Schwungrädern gleichen Trägheitsmoments vom Modell 1 werden dann im Abstandvon einigen Zentimetern auf der Fahrbahn positioniert.Die Durchführung des zugehörigen Experiments gleicht dem ersten Versuchsteil. Zunächstwird das erste Schwungrad in Drehung versetzt und durch Anstoßen des zugehörigenWagens ein Ineinandergreifen mit der Kupplungshälfte des zweiten Schwungradsermöglicht. Die aufgenommene Drehbewegung dieses Rads wird durch erneutesAnstoßen seines Wagens auf das dritte Glied der Reihe übertragen.Wie schon im ersten Teil ist zu beobachten, dass das vor dem Stoß rotierende Rad nachder Kupplung eine verschwindend geringe Winkelgeschwindigkeit besitzt, währendder Stoßpartner gleichen Trägheitsmoments die Drehbewegung des ersten Rads fastvollständig übernommen hat. Dieses Prinzip setzt sich auch auf die Kombination deszweiten und dritten Schwungrads fort. Wiederum ist bei der Analyse der Winkelgeschwindigkeitenfestzustellen, dass die zugehörigen Drehzahlen nach jedem Kupplungsvorganginfolge von Reibungsverlusten um 0,1 bis 0,3 Umdrehungen pro Sekunde abgenommenhaben (Die zugehörigen Messdaten sind im Anhang aufgelistet). In Analogiezum ersten Versuchsteil demonstriert auch dieses auf drei Schwungräder erweiterteSystem die Drehimpulserhaltung.4.2.2. Schwungräder unterschiedlicher TrägheitsmomenteBei der Kupplung zweier Schwungräder unterschiedlicher Trägheitsmomente werdenim Folgenden zunächst solche Drehstöße analysiert, bei denen ein rotierendes Schwungradmit einem ruhenden Rad größeren Trägheitsmoments gekoppelt wird. In dem sichanschließenden Versuchsteil werden die Rollen der beiden genannten Schwungrädergetauscht und wiederum die dabei auftretenden Charakteristika gedeutet.62

4.2 Experimente mit der KlauenkupplungKopplung eines rotierenden Rads mit einem Objekt größerenTrägheitsmomentsFür die Realisierung eines Drehstoßes eines rotierenden Schwungrads mit einem Objektgrößeren Trägheitsmoments kommen die Kombinationen Typ 2 mit Modell 1sowie Typ 3 mit Modell 1 in Frage. Wie der Abschnitt über die Bestimmung derTrägheitsmomente zeigt, können die jeweils zuerst genannten Räder ein kleineresTrägheitsmoment aufweisen und werden daher als das vor dem Stoß rotierende Objekteingesetzt.(a) Kopplung: Rad Typ 2 mit Rad Typ 1Entsprechend der im vorangegangenen Versuchsteil beschriebenen Vorgehensweise wurdewiederum der mit dem rotierenden Schwungrad vom Typ 2 ausgestattete Wagen angestoßen,um ein Ineinandergreifen der kongruenten Kupplungshälften zu ermöglichen.Hinweise zur DurchführungEntscheidend für die Analyse der auftretenden Phänomene sind die Drehzahlen derbeiden eingesetzten Schwungräder vor und nach dem Drehstoß. Wie sich bei der Aufnahmeder Messwerte zeigte, ist für die Drehzahl des Schwungrads vom Typ 2 infolgeseiner geringeren Rotationsenergie eine rasche Abnahme der Drehzahl zu verzeichnen.Daher ist bei der Registrierung der Drehfrequenz direkt vor dem Stoßvorgang besondereAufmerksamkeit geboten.Um das Verhalten der beiden gekoppelten Schwungräder auch mit der im Anschlussfolgenden Kombination des Schwungrads vom Typ 3 mit dem Rad vom Modell 1 vergleichenzu können, wurden zu Anfangsdrehzahlen von 2, 3, 4, 5 und 6 Umdrehungenpro Sekunde mehrere Messungen durchgeführt. Man beachte, dass bei der vorliegendenAnordnung der Schwungräder auch Anfangsdrehzahlen eingesetzt werden können,welche die im vorigen Abschnitt aufgeführte Grenze von 5 Umdrehungen pro Sekundeüberschreiten. Das ist bei diesem Versuchsaufbau möglich, denn das Schwungrad vomTyp 2 weist ebenso wie das Rad vom Modell 3 ein kleineres Trägheitsmoment als dasSchwungrad vom Typ 1 auf, sodass der größtmögliche Beitrag der Bewegungsenergie,der für eine empfehlenswerte Übertragung der Drehbewegung noch eingesetzt werdenkann, mit größeren Anfangsdrehzahlen als im Vergleich zum Schwungrad vom Typ 1realisiert werden kann.Beobachtungen und MessergebnisseNach dem Kupplungsvorgang können beide Schwungräder eine Drehbewegung aufweisen,die jedoch in verschiedene Richtungen erfolgt. Während der Drehsinn des Radsvom Typ 2 nach dem Stoß seiner anfänglichen Drehrichtung entgegensetzt ist, kanndas zuvor stillstehende Objekt eine Drehung verzeichnen, die mit einer Drehzahl stattfindet,die im Vorzeichen mit der Anfangsdrehzahl übereinstimmt und betragsmäßig63

4 Messungen und Auswertungensogar die Drehzahl des stoßenden Körpers nach dem Zusammentreffen übertrifft.Tabelle 4.8 stellt eine Auswahl der aufgenommen Messwerte dar. Wie etliche Messungenzeigten, repräsentieren diese Daten trotz der geringen Anzahl das typischeDrehverhalten der Schwungräder bei entsprechend gewählter Anfangsdrehzahl. EineAufstellung aller Daten ist im Anhang zu finden. Die Bezeichnungen korrespondierenmit den Benennungen von Tabelle 4.5.Tabelle 4.8.Auswahl einiger Messdaten für die Kopplung eines Schwungrads vom Typ 2 mit einemruhenden Rad vom Modell 1.f 1 in s −1 2,0 2,0 3,0 3,0 4,0 4,0 5,0 5,0 6,0 6,0f ′ 1 in s −1 - 0,5 - 0,6 - 1,0 - 0,9 - 1,4 - 1,3 - 1,7 - 1,8 - 2,2 - 2,2f ′ 2 in s −1 0,9 0,9 1,4 1,5 2,0 2,0 2,5 2,6 3,1 3,0Das negative Vorzeichen der für f ′ 1 aufgenommenen Messdaten kennzeichnet die demanfänglichen Drehsinn entgegengesetzte Drehrichtung.Der Fehler auf den angegebenen Drehzahlen resultiert wiederum aus der Anzeigegenauigkeitdes Drehzahlmessgeräts und beläuft sich auf σ f = 0,1 s −1 .AuswertungUm aus diesen Messwerten eine qualitative Aussage über die Trägheitsmomente derbeteiligten Schwungräder treffen zu können, erinnere man sich zum einen an elastischeStoßvorgänge aus der Translationsmechanik und zum anderen an die zwischen Translationund Rotation bestehende Analogie.Die beschriebenen Bewegungsänderungen beim Drehstoß eines Schwungrads vom Typ 2mit einem vom Modell 1 erinnern an translatorische Stöße, bei denen ein sich bewegenderKörper auf ein ruhendes Objekt größerer Masse trifft. Der erste Körper weistnach dem Stoß eine Geschwindigkeit auf, die bezüglich ihres Betrags kleiner als die Anfangsgeschwindigkeitist und auch in die ihr entgegengesetzte Richtung zeigt, währendder Stoßpartner infolge des Zusammentreffens eine Geschwindigkeit erfährt, die inihrer Orientierung mit der Richtung der Anfangsgeschwindigkeit des ersten Körpersübereinstimmt.Tauscht man die bei diesem Vorgang auftretenden Größen Masse, Geschwindigkeitund Impuls durch ihre Äquivalente der Rotation aus, so ergeben sich die Beobachtungender zuvor beschriebenen Situation des Drehstoßes. Konkret folgt aus diesenÜbertragungen, insbesondere aus dem Ersetzen der Masse durch das Trägheitsmoment,dass das sich zu Beginn drehende Rad vom Typ 2 ein geringeres Trägheitsmoment alsdas zweite Rad besitzen muss. Da dieses Rad in seinen Abmessungen mit den Maßen64

4.2 Experimente mit der Klauenkupplungdes Schwungrads vom Typ 1 übereinstimmt, aber durch die Verwendung von Aluminiumeine geringere Masse besitzt, kann gefolgert werden, dass die Masse einesObjekts den Zahlenwert seines Trägheitsmoments beeinflusst. Das obige Experimentzeigt auch, dass bei zwei in ihren Maßen übereinstimmenden Körpern derjenige eingrößeres Trägheitsmoment besitzt, der ein größere Masse verzeichnen kann.Die in Analogie zu translatorischen Stoßvorgängen getroffenen Aussagen über dieTrägheitsmomente der im Versuch eingesetzten Schwungräder können durch die inden vorbereitenden Messungen ermittelten Werte bestätigt werden.Aus den Messdaten lassen sich auch quantitative Aussagen über das Verhältnis derTrägheitsmomente der im Versuch eingesetzten Schwungräder treffen. Ausgehend vonder Drehimpulserhaltung mit⇔L ges = L ′ ges2π f 1 I Alu = 2π f ′ 1 I Alu + 2π f ′ 2 I St,grermittelt man für den Quotienten I St,gr /I Alu aus dem Trägheitsmoment I St,gr desSchwungrads vom Typ 1 und dem Trägheitsmoment I Alu des AluminiumradsI St,gr= f 1 − f 1′ . (4.5)I Alu f 2′Für die in Tabelle 4.8 aufgeführten Messwerte wurde das Verhältnis I St,gr /I Alu derTrägheitsmomente berechnet und mit ihren nach dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetzermittelten Abweichungen in Tabelle 4.9 angegeben.Tabelle 4.9.Berechnung des Verhältnisses I St,gr /I Alu der Trägheitsmomente I St,gr und I Alu desSchwungrads vom Typ 1 und des Aluminiumrads aus den in Tabelle 4.8 aufgeführten Messwerten.f 1 [s −1 ] f ′ 1 [s −1 ] f ′ 2 [s −1 ] I St,gr /I Alu σ ISt,gr /I Alu2,0 - 0,5 0,9 2,8 0,52,0 - 0,6 0,9 2,9 0,53,0 - 1,0 1,4 2,9 0,33,0 - 0,9 1,5 2,6 0,34,0 - 1,4 2,0 2,7 0,24,0 - 1,3 2,0 2,7 0,25,0 - 1,7 2,5 2,7 0,25,0 - 1,8 2,6 2,6 0,26,0 - 2,2 3,1 2,6 0,16,0 - 2,2 3,0 2,7 0,265

4 Messungen und AuswertungenEin Vergleich mit dem Zahlenwert(ISt,grI Alu)theo= 2,5 ± 0,1 ,der sich mithilfe der aus den vorbereitenden Messungen ermittelten Trägheitsmomenteergibt, lässt erkennen, dass die aus den Drehzahlen bestimmten Verhältnisse zwarinnerhalb ihres einfachen Fehlers eine Übereinstimmung aufweisen, aber durchwegeinen zu hohen Zahlenwert liefern. Diese Diskrepanz ist vor allem auf die Drehzahl f ′ 2zurückzuführen, die sich im Vergleich mit dem zugehörigen theoretischen Wert, der sichmithilfe des in den physikalischen Grundlagen hergeleiteten Zusammenhangs ergibt,durch einen geringeren Zahlenwert auszeichnet. Erklärungen hierfür sind vor allem beiReibungsverlusten infolge des Kupplungsvorgangs zu finden. Gemäß Gleichung (4.5)ist bei kleinen Drehzahlen f ′ 2 ein Verhältnis I St,gr /I Alu zu notieren, das den angegebenWert von (I St,gr /I Alu ) theo = 2, 5 ± 0, 1 übertrifft.Jedoch sollte beachtet werden, dass die angesprochenen Abweichungen nicht nur aufdie Drehzahl f ′ 2 zurückgeführt werden müssen. Möglicherweise stimmt das Verhältnis(I St,gr /I Alu ) theo aufgrund der in Abschnitt 4.1.4 aufgeführten Fehlerbetrachtung nichtmit dem angegebenen Wert überein, sodass auch dieser Aspekt eine Erklärung für diebeobachtete Diskrepanz bietet.Um zu testen, ob auch die Kombination zweier Schwungräder unterschiedlicher Trägheitsmomentemithilfe der Klauenkupplung näherungsweise als elastischer Drehstoßbeschrieben werden kann, wurde wiederum die Stoßzahl k bestimmt, die sich in demhier vorliegenden Fall mit f ′ 1 ≠ 0 durchk = f ′ 2 − f ′ 1f 1(4.6)berechnet. In Tabelle 4.10 sind die auf diese Weise berechneten Werte für die vorliegendenMessdaten zusammengefasst.Bei Betrachtung der berechneten Werte für die Stoßzahl k zeigt sich, dass bei derKombination zweier Schwungräder unterschiedlicher Trägheitsmomente mithilfe derKlauenkupplung von einem teilelastischen Drehstoß ausgegangen werden muss, dennanders als bei der Kopplung zweier Räder gleicher Trägheitsmomente unterscheidensich die Stoßzahlen deutlich von dem für das Vorliegen eines elastischen Drehstoßgeforderten Wert mit k = 1. Vor allem bei niedrigen Anfangsdrehzahlen ist die Abweichungvon einem elastischen Stoß deutlich zu erkennen.66

4.2 Experimente mit der KlauenkupplungTabelle 4.10.Berechnung der Stoßzahl k für die in Tabelle 4.8 aufgeführten Stoßprozesse.f 1 [s −1 ] f ′ 1 [s −1 ] f ′ 2 [s −1 ] k σ k2,0 - 0,5 0,9 0,70 0,082,0 - 0,6 0,9 0,75 0,083,0 - 1,0 1,4 0,80 0,053,0 - 0,9 1,5 0,80 0,054,0 - 1,4 2,0 0,85 0,044,0 - 1,3 2,0 0,83 0,045,0 - 1,7 2,5 0,84 0,035,0 - 1,8 2,6 0,88 0,036,0 - 2,2 3,1 0,88 0,036,0 - 2,2 3,0 0,87 0,03(b) Kopplung: Rad Typ 3 mit Rad Typ 1Die Vorgehensweise zur Kopplung des rotierenden Schwungrads vom Typ 3 mit einemruhenden Rad vom Modell 1 gleicht der Versuchsdurchführung der bereits vorgestelltenExperimente. Wie bei der vorigen Kombination zweier Schwungräder weist auchdas Rad vom Modell 3, das durch seine kleineren Abmessungen hervorsticht, im Vergleichzum Schwungrad vom Typ 1 eine schnellere Abnahme seiner Drehzahl auf,sodass die Drehfrequenz dieses kleineren Objekts während der Versuchsdurchführunggenauestens verfolgt werden muss.Beobachtungen und MessergebnisseDie beiden Schwungräder von Typ 1 und 3 weisen nach dem Kupplungsvorgang eineDrehbewegung auf, welche bezüglich ihrer Drehrichtungen mit dem Verhalten zweiergekoppelter Räder des Modells 2 und 1 übereinstimmt. Während das kleinere Radnach dem Stoß eine Rotation ausführt, welche seiner anfänglichen Drehrichtung entgegengesetztist, weist das vor dem Zusammenstoß ruhende Rad vom Typ 1 eineDrehbewegung auf, die in ihrem Drehsinn der vor dem Stoß vorliegenden Rotation deskleinen Schwungrads gleicht.Tabelle 4.11 zeigt wiederum eine kleine Auswahl der erzielten Messergebnisse für dieKupplung eines Schwungrads vom Typ 3 mit einem ruhenden Rad des Modell 1.Bei genauerer Betrachtung dieser Messdaten ist festzuhalten, dass sich das Verhältnisder Drehzahlen f ′ 1 bzw. f ′ 2 nach dem Drehstoß im Vergleich mit den zuvor beim Koppelneines Schwungrads vom Typ 2 mit einem Rad des Modell 1 erzielten Messergebnissegeändert hat. So zeichnet sich das kleinere Rad nach dem Zusammentreffen67

4 Messungen und Auswertungendurch eine Drehzahl aus, die in den meisten der getätigten Messungen betragsmäßigdiejenige des zweiten Körpers übertrifft. Bei der in Teil (a) gewählten Kombinationdes Aluminiumrads mit einem Rad vom Typ 1 verhalten sich die Drehzahlen derSchwungräder nach dem Stoß genau umgekehrt. Diese Beobachtungen sind besondersfür hohe Anfangsdrehzahlen gut zu erkennen.Tabelle 4.11.Auswahl einiger Messdaten für die Kopplung eines Schwungrads vom Typ 3 mit einemruhenden Rad vom Modell 1.f 1 in s −1 2,0 2,0 3,0 3,0 4,0 4,0 5,0 5,0 6,0 6,0f ′ 1 in s −1 - 0,6 - 0,7 - 1,2 - 1,1 - 1,7 - 1,7 - 2,2 - 2,2 - 2,5 - 2,6f ′ 2 in s −1 0,7 0,7 1,1 1,1 1,5 1,6 1,9 2,0 2,4 2,4AuswertungAus dem Drehverhalten der beiden Schwungräder nach dem Drehstoß lässt sich mithilfeder Analogie zu translatorischen Stoßvorgängen wie in Versuchsteil (a) folgern,dass das Rad vom Typ 3, das durch seinen kleineren Durchmesser hervorsticht, überein geringeres Trägheitsmoment als sein Stoßpartner verfügt. Zudem kann aus den Beobachtungengefolgert werden, dass der Wert des Trägheitsmoments nicht ausschließlichdurch die Masse des Objekts festgelegt wird, sondern auch die Verteilung derMasse eine entscheidende Rolle spielt. Denn wie das in diesem Versuchsteil eingesetzteSchwungrad vom Typ 3 zeigt, kann auch trotz der mit dem Rad vom Modell 1übereinstimmenden Masse ein kleineres Trägheitsmoment verzeichnet werden. Maßgebendfür diesen Wert ist der geringere Durchmesser des Schwungrads vom Typ 3,infolgedessen die Masse des Rads näher an der Drehachse konzentriert ist. Dies lässtim Hinblick auf die Massenverteilung des Schwungrads vom Modell 1 die Schlussfolgerungzu, dass Masse, die weiter von der Drehachse entfernt ist, für die Größedes Trägheitsmoments eine stärkere Wirkung besitzt als in Achsennähe angesammelteMasse.Anhand der aufgenommenen Messdaten lassen sich nicht nur qualitative Aussagenüber das Verhältnis der Trägheitsmomente der beteiligten Schwungräder treffen, sondernes ist auch eine quantitative Größenbestimmung des Quotienten I St,gr /I St,kl möglich.In Tabelle 4.12 sind die berechneten Verhältnisse dieser Trägheitsmomente aufgeführt.Dabei ist zu erkennen, dass auch für die vorliegende Kombination zweierSchwungräder gleicher Masse, aber unterschiedlicher Abmessungen die mithilfe derDrehzahlen ermittelten Verhältnisse I St,gr /I St,kl den Quotienten68

4.2 Experimente mit der KlauenkupplungTabelle 4.12.Berechnung des Verhältnisse I St,gr /I St,kl der Trägheitsmomente I St,gr und I St,kl des Schwungradsvom Typ 1 und des kleinen Stahlrads aus den in Tabelle 4.11 aufgeführten Messwerten.f 1 [s −1 ] f 1 ′ [s −1 ] f 2 ′ [s −1 ] I St,gr /I St,kl σ ISt,gr /I St,kl2,0 - 0,6 0,7 3,7 0,62,0 - 0,7 0,7 3,9 0,63,0 - 1,2 1,1 3,8 0,43,0 - 1,1 1,1 3,7 0,44,0 - 1,7 1,5 3,8 0,34,0 - 1,7 1,6 3,6 0,25,0 - 2,2 1,9 3,8 0,25,0 - 2,2 2,0 3,6 0,26,0 - 2,5 2,4 3,5 0,26,0 - 2,6 2,4 3,6 0,2(ISt,grI St,kl)theo= 3,2 ± 0,2 ,der sich als Resultat der Experimente mit dem Drehtisch ergibt, in jeder der getätigtenMessungen übertreffen. Begründung hierfür ist wiederum eine zu geringe Drehzahl f ′ 2des großen Stahlrads nach dem Zusammentreffen der Räder, die vor allem auf Reibungsverlustebeim Kupplungsvorgang zurückzuführen sind. Auch die bereits angesprocheneUnsicherheit der theoretischen Verhältnisse der Trägheitsmomente bieteteine Erklärungsmöglichkeit.Vergleicht man die für das Aluminiumrad und das kleine Stahlrad aufgenommenenMessdaten für gleiche Anfangsdrehzahlen miteinander, so kann hieraus auch eine Aussageüber das Verhältnis ihrer Trägheitsmomente getroffen werden. Hierzu erinnereman sich zunächst wieder an elastische Stoßvorgänge aus der Translationsmechanik,bei denen ein sich bewegender Körper auf ein ruhendes Objekt größerer Masse trifft.Wie bereits diskutiert, weist der zuerst genannte Körper nach dem Stoß eine Geschwindigkeitauf, die der Anfangsgeschwindigkeit entgegengesetzt ist und die sichbetragsmäßig durch einen kleineren Wert auszeichnet. Der zu Beginn ruhende Körperhingegen wird infolge des Stoßes in Bewegung versetzt. Ersetzt man den ersten Körperdurch ein Objekt noch geringerer Masse, so prallt dieser beim Zusammentreffen miteiner betraglich größeren Geschwindigkeit zurück als in der zuvor behandelten Situation,während sich der zuvor ruhende Partner nach dem Stoß mit einer geringerenGeschwindigkeit bewegt.69

4 Messungen und AuswertungenÜberträgt man diese beiden Konstellationen durch Austausch der entsprechendenGrößen auf elastische Drehstöße, so entspricht die zuerst vorgestellte Situation derKopplung des Aluminiumrads mit einem Schwungrad vom Typ 1. Infolge der betragsmäßiggrößeren Enddrehzahl des ersten Rads kann das zweite Beispiel der Kombinationdes kleinen Stahlrads mit einem Rad des Modell 1 zugeordnet werden. Aufgrundder Analogie zwischen Masse und Trägheitsmoment bei Translation und Rotationkann aus den beschriebenen Situationen gefolgert werden, dass das Schwungradvom Typ 3 ein kleineres Trägheitsmoment als das aus Aluminium bestehende Radbesitzt. Die eingangs mithilfe der Drehschwingungen getätigten Bestimmungen derTrägheitsmomente bestätigen dieses Ergebnis ebenso wie die aus den Drehzahlmessungenermittelten Werte, die sich für die verschiedenen Anfangsdrehzahlen aus demQuotienten der in Tabelle 4.12 berechneten Verhältnisse mit den Ergebnissen aus Tabelle4.9 ergeben.Kopplung eines rotierenden Rads mit einem Objekt kleinerenTrägheitsmomentsUm einen Drehstoß eines rotierenden Schwungrads mit einem Objekt kleineren Trägheitsmomentszu realisieren, wird die aus den beiden vorherigen Teilversuchen bestehendeAnordnung der Schwungräder durch Vertauschen der Räder geändert. Die Rolledes vor dem Drehstoß rotierenden Rads übernimmt das Schwungrad vom Typ 1. DieKombination dieses Rads mit einem Objekt kleineren Trägheitsmoments geschiehtin zwei aufeinanderfolgenden Teilexperimenten entweder mit dem Schwungrad vomTyp 2 oder dem des dritten Modells.(a) Kopplung: Rad Typ 1 mit Rad Typ 2Die Vorgehensweise zur Kopplung der beiden genannten Schwungräder gleicht den vorherigenVersuchsdurchführungen. Die beiden mit den Rädern ausgestatteten Wagenwerden wiederum im Abstand von einigen Zentimetern auf der Fahrbahn positioniertund ermöglichen durch ihr Anstoßen das Zusammenführen der Verbindungselemente.Um die infolge der Kopplung der beiden Schwungräder auftretenden Erscheinungenanalysieren zu können, ist wiederum die Registrierung der Drehzahlen vor und nachdem Drehstoß erforderlich. Zu Anfangsdrehzahlen von 2, 3, 4 und 5 Umdrehungenpro Sekunde wird wiederum das Drehverhalten der Schwungräder nach ihrem Zusammenführenstudiert.Beobachtungen und MessergebnisseNach dem Drehstoß ist zu beobachten, dass beide Schwungräder eine Drehbewegungaufweisen, die in ihrer Richtung mit dem Drehsinn des zu Beginn rotierenden Radsübereinstimmt. Auffällig ist zudem, dass das Schwungrad vom Typ 2 nach der Kopp-70

4.2 Experimente mit der Klauenkupplunglung mit einer Drehzahl rotiert, welche die Anfangsdrehzahl des stoßenden Körpersübertrifft. Dieses Objekt hingegen wurde infolge der Kopplung abgebremst und weistdaher nach dem Stoß eine kleinere Drehzahl als zuvor auf.Eine Auflistung einiger Messdaten, die das in dem vorliegenden Kopplungsfall auftretendeDrehverhalten der Schwungräder repräsentieren, sind in der nachfolgendenTabelle 4.13 aufgeführt. Der Fehler auf den angegebenen Drehzahlen beträgt wiederumσ f = 0, 1 s −1 und ist auf die Anzeigegenauigkeit des Messgeräts zurückzuführen.Tabelle 4.13.Auswahl einiger Messdaten für die Kopplung eines Schwungrads vom Typ 1 mit einemruhenden Rad vom Modell 2.f 1 in s −1 2,0 2,0 3,0 3,0 4,0 4,0 5,0 5,0f ′ 1 in s −1 0,9 0,9 1,4 1,4 1,8 1,8 2,3 2,3f ′ 2 in s −1 2,4 2,5 3,8 3,9 5,1 5,3 6,6 6,7AuswertungAus den aufgenommenen Messdaten kann wiederum eine qualitative Aussage überdas Verhältnis der Trägheitsmomente der beiden eingesetzten Schwungräder getroffenwerden. Wie bei der Kupplung eines rotierenden Schwungrads mit einem ruhendenObjekt größeren Trägheitsmoments wird für die Interpretation der bei diesem Drehstoßerzielten Ergebnisse die Analogie zu translatorischen Stoßvorgängen ausgenutzt.Jedoch bedient man sich in diesem Fall eines elastischen Stoßes, bei dem ein mit einerbestimmten Geschwindigkeit versehener Körper auf ein ruhendes Objekt geringererMasse trifft. Dabei ist für die Bewegungsabläufe der beiden Körper festzustellen, dasssich das leichtere Objekt nach dem Zusammenstoß in dieselbe Richtung bewegt wieder stoßende Körper zu Beginn des Experiments, sich jedoch schneller von diesemschweren Objekt entfernt, als sich dieser nähern kann.Wenn diese Vorkommnisse durch Austausch der analogen Größen auf Rotationenübertragen werden, so decken sich diese Erscheinungen mit den im Versuch erfasstenBeobachtungen. Aus dem Massenverhältnis der Stoßpartner beim beschriebenentranslatorischen Stoßvorgang kann infolge der Parallelität zwischen Translation undRotation ein Hinweis auf das Verhältnis der Trägheitsmomente erhalten werden. Ersetztman den stoßenden Körper größerer Masse durch das Schwungrad größerenTrägheitsmoments, so kann gefolgert werden, dass sich das zu Beginn rotierende Objektim Vergleich zum Schwungrad vom Typ 2 durch ein Trägheitsmoment höherenWerts auszeichnet. Dieses Resultat wird sowohl durch die Ergebnisse aus den vorbereitendenMessungen als auch durch die vorherige Kupplungskombination bestätigt.Neben der qualitativen Beschreibung des Verhältnisses der Trägheitsmomente könnendie registrierten Messwerte auch genutzt werden, um eine zahlenmäßige Festlegung71

4 Messungen und Auswertungendes aus ihnen gebildeten Quotienten vorzunehmen. Ausgangspunkt ist wiederum dieDrehimpulserhaltung, mit deren Hilfe sich das Verhältnis der Trägheitsmomente derSchwungräder vom Typ 1 und 2 berechnen lässt zuI St,gr= f 2′ . (4.7)I Alu f 1 − f 1′Wird gemäß dieses Zusammenhangs für die in Tabelle 4.13 aufgeführten Messergebnisseder Quotient aus dem Trägheitsmoment des Schwungrads vom Typ 1 mit dem desAluminiumrads berechnet, so ist festzustellen, dass im Vergleich zu dem aus den vorbereitendenMessungen ermittelten Verhältnis (I St,gr /I Alu ) theo = 2, 5 ± 0, 1 geringereWerte zu verzeichnen sind. Hingegen war bei der Kombination derselben Schwungrädermit getauschten Rollen ein größerer Zahlenwert zu registrieren.Gleichung (4.7) ist zu entnehmen, dass die für den vorliegenden Versuchsaufbau geschildertenErgebnisse entweder auf zu kleine Drehzahlen f ′ 2 des Aluminiumrads nachdem Drehstoß zurückzuführen sind oder auch durch zu große Drehfrequenzen f ′ 1 hervorgerufenenwerden können, die im Vergleich zu niedrigeren Enddrehzahlen des Radsvom Typ 1 einen großen Nennerbeitrag liefern. Bei der vorliegenden Anordnung derSchwungräder beeinflussen beide der genannten Faktoren das Verhältnis der Trägheitsmomente.Während sich die Erklärung für die geringe Drehzahl f ′ 2 in Reibungsverlustenzu finden scheint, ist eine zu große Drehfrequenz f ′ 1 nicht sofort einsichtig. Hierfürbedarf es einer genaueren Analyse des Kupplungsvorgangs für die vorliegende Kombinationeines rotierenden Schwungrads mit einem Objekt kleineren Trägheitsmoments.Mithilfe von Videoaufnahmen konnte gezeigt werden, dass eine zu geringe Drehzahl f ′ 2in diesem Kupplungsfall nicht nur auf Reibungsverluste zurückzuführen ist, sondernauch eine Folge der Funktionsweise der Klauenkupplung darstellt. Dies erklärt auchdie im Vergleich zur theoretisch erwarteten Drehzahl größere Drehfrequenz f ′ 1.Bei der Konstruktion der Klauenkupplung wurde die Idee verfolgt, dass das Verbindungselementdes vor dem Drehstoß rotierenden Schwungrads beim Ineinandergreifender Kupplungshälften durch das ruhende Kupplungselement im Idealfall sostark abgebremst wird, dass es zum Stillstand kommt. Die Rotationsenergie des erstenSchwungrads wird dabei in die für die Torsion der Feder benötigte Energie umgewandeltund verteilt sich beim Entspannen der Feder entsprechend der Größe derTrägheitsmomente als Rotationsenergie auf die beiden am Drehstoß beteiligten Räder.Bei der Kombination eines rotierenden Schwungrads mit einem Objekt kleineren Trägheitsmomentskann die Kupplungshälfte des sich zu Beginn drehenden Rads nichtbis zu ihrem Stillstand abgebremst werden, sodass nur ein Teil der Bewegungsenergiefür die Torsion der Feder aufgewandt wird. Folglich ist auch keine vollständigeÜbertragung der Drehbewegung möglich.Zu erkennen ist diese Problematik bei Berechnung der Drehzahlen gemäß der in denphysikalischen Grundlagen hergeleiteten Zusammenhänge für einen elastischen Drehstoß.Mithilfe der aus den vorbereitenden Messungen ermittelten Trägheitsmomente72

4.2 Experimente mit der Klauenkupplungergeben sich die in Tabelle 4.14 aufgeführten Drehfrequenzen f ′ 1,theo und f ′ 2,theo derbeiden Räder nach dem Drehstoß für Anfangsdrehzahlen f ′ 1 von 2, 3, 4 und 5 Umdrehungenpro Sekunde.Tabelle 4.14.Berechnung der theoretischen Drehzahlen f1,theo ′ und f 2,theo ′Stoßes.bei Vorliegen eines elastischenf 1 [s −1 ] f 1,theo ′ [s−1 ] σ f ′1,theo[s −1 ] f 2,theo ′ [s−1 ] σ f ′2,theo[s −1 ]2,0 0,87 0,06 2,87 0,153,0 1,31 0,08 4,31 0,164,0 1,74 0,10 5,74 0,185,0 2,18 0,12 7,18 0,19Trotz der Annahme eines elastischen Drehstoßes, der im Vergleich zu teilelastischenStößen höhere Enddrehzahlen zur Folge hat, wird bei Berücksichtigung der in Tabelle4.13 aufgeführten Daten vor allem anhand der im Vergleich zu den registriertenMesswerten größeren Drehfrequenz f 1,theo′ die bereits angesprochene unvollständigeWeitergabe der Drehbewegung deutlich.(b) Kopplung: Rad Typ 1 mit Rad Typ 3Für die Kopplung eines rotierenden Schwungrads vom Typ 1 mit dem kleineren Raddes Modells 3 wird die Versuchsanordnung des vorherigen Experiments verwendet,jedoch wird anstelle des Aluminiumrads das kleine Stahlrad eingesetzt.Beobachtungen und MessergebnisseWie bei dem vorigen Kopplungsvorgang rotieren beide Schwungräder nach dem Stoßmit einer Winkelgeschwindigkeit, welche die gleiche Orientierung wie die anfänglicheDrehbewegung des Schwungrads vom Typ 1 besitzt. Wiederum ist festzustellen, dassfür das vor dem Drehstoß ruhende Rad infolge der Kopplung eine Drehzahl gemessenwerden kann, welche den anfangs für das größere Rad registrierten Messwertüberschreitet. Das seine Drehbewegung übertragende Rad vom Typ 1 kann hingegeneine Abnahme seiner Drehzahl verzeichnen.Einige ausgewählte Messdaten, welche die beschriebenen Beobachtungen belegen, sindin Tabelle 4.15 zusammengefasst. Vergleicht man diese Daten mit den bei der Kopplungeines Schwungrads vom Typ 1 mit dem Aluminiumrad erzielten Messergebnissen,so ist festzustellen, dass die in diesem Versuchsteil aufgenommenen Drehzahlen für beideSchwungräder größere Werte als bei der vorigen Kopplungskombination annehmen.73

4 Messungen und AuswertungenTabelle 4.15.Auswahl einiger Messdaten für die Kopplung eines Schwungrads vom Typ 1 mit einemruhenden Rad vom Modell 3.f 1 in s −1 2,0 2,0 3,0 3,0 4,0 4,0 5,0 5,0f ′ 1 in s −1 1,1 1,1 1,7 1,7 2,2 2,3 2,8 2,8f ′ 2 in s −1 2,6 2,7 4,0 4,1 5,7 5,5 7,1 7,2AuswertungZunächst kann aus den erfassten Messwerten entsprechend der Argumentation desvorherigen Kopplungsvorgangs gefolgert werden, dass das Schwungrad mit kleineremDurchmesser trotz seiner mit dem Stoßpartner übereinstimmenden Masse über eingeringeres Trägheitsmoment verfügt. Berücksichtigt man, dass die beiden vorliegendenSchwungräder zwar dieselben Abmessungen aufweisen, aber sich in ihren Massenunterscheiden, so kann aus den erzielten Erkenntnissen zudem die Aussage getroffenwerden, dass der Zahlenwert des Trägheitsmoments nicht nur durch die Massebestimmt wird, sondern auch ihre Verteilung ein bedeutender Faktor darstellt. Aufgrunddes Stahlrads mit seinem kleineren Durchmesser und auch seinem geringerenTrägheitsmoment wird vor allem durch Vergleich mit dem Schwungrad vom Typ 1 wiederumdeutlich, dass Massenelemente, die näher an der Drehachse konzentriert sind,einen geringeren Beitrag zum Trägheitsmoment liefern.Mithilfe der ermittelten Drehzahlen kann in Analogie zur vorangegangenen Kombinationzweier Schwungräder das Verhältnis I St,gr /I St,kl berechnet werden. Hierbei istwiederum festzustellen, dass sich alle ermittelten Werte durch einen geringeren Zahlenwertim Vergleich zu dem aus den vorbereitenden Messungen erhaltenen Quotientauszeichnen. Die Abweichungen lassen sich abermals auf Reibungsverluste und auf dieunvollständige Übertragung der Drehbewegung bei der Kopplung eines rotierendenSchwungrads mit einem Objekt kleineren Trägheitsmoment erklären.Aus dem Vergleich der in diesem Abschnitt gewonnen Messwerten mit den bei derKopplung eines Schwungrads vom Typ 1 mit dem Aluminiumrad erzielten Daten kannwiederum eine Aussage über das Verhältnis der Trägheitsmomente von Aluminiumradzu kleinem Stahlrad getroffen werden. Dazu nutzt man abermals die zwischen translatorischenStoßvorgängen und Drehstößen bestehende Parallelität und betrachtet dasin Versuchsteil (a) angesprochene Zusammentreffen eines sich mit einer bestimmtenGeschwindigkeit bewegenden Körpers und eines ruhenden Objekts geringerer Masse.Ersetzt man den zuletzt genannten Körper durch ein Objekt noch geringerer Masse, soweisen beide Stoßpartner nach ihrer Begegnung höhere Endgeschwindigkeiten als in dervorherigen Situation auf. Wenn diese beiden Konstellationen durch Austausch der analogenGrößen auf Drehstöße übertragen werden, dann kann aufgrund der höheren Endwinkelgeschwindigkeitder zuletzt genannte Aufbau der Kopplung eines Schwungrads74

4.2 Experimente mit der Klauenkupplungvom Typ 1 mit dem kleineren Rad zugeordnet werden, während die Versuchsanordnungmit dem Aluminiumrad der zuerst genannten Situation aus der Translationsmechanikentspricht. Infolge des in den translatorischen Stoßvorgängen auftretendenMassenverhältnisses und der Analogie zwischen Masse und Trägheitsmoment kann dieSchlussfolgerung gezogen werden, dass das kleinere Schwungrad vom Typ 3 über eingeringeres Trägheitsmoment als das aus Aluminium aufgebaute Rad verfügt. DiesesErgebnis kann sowohl durch die in den vorbereitenden Messungen bestimmten Wertefür die Trägheitsmomente als auch durch die bei einem Drehstoß eines rotierendenSchwungrads mit einem Objekt größeren Trägheitsmoments bestätigt werden.4.2.3. Zusammenfassung der erzielten ErgebnisseDie zur Übertragung von Drehbewegungen eingesetzte Klauenkupplung wurde entwickelt,um einen elastischen Drehstoß zwischen zwei Schwungrädern zu simulieren.Experimente zeigten jedoch, dass nur bei der Kopplung zweier Räder gleichen Trägheitsmoments,bei denen auch ein Objekt vor dem Zusammentreffen keine Rotationausführt, ein solcher Stoß näherungsweise erfasst werden konnte.Die Kombination eines rotierenden Schwungrads mit einem Rad gleichen Trägheitsmomentsdemonstriert durch den nahezu vollständigen Austausch der Drehzahlen dieDrehimpulserhaltung. Die geringe Abnahme der Enddrehzahl des vor dem Stoß ruhendenRads ist zum einen auf Reibungsverluste zurückzuführen, zum anderen trägt aberauch die nach dem Zusammentreffen der Räder noch vorhandene und vom Messgerätnicht registrierbare geringe Drehbewegung des ersten Schwungrads zur Verringerungdieses Werts bei.Infolge der Kopplung zweier Schwungräder unterschiedlicher Trägheitsmomente konntenaufgrund der Analogie zu Stoßvorgängen aus der Translationsmechanik Aussagenüber die das Trägheitsmoment beeinflussenden Faktoren getroffen werden. Zum Einsatzkam in den zugehörigen Experimenten ein Schwungrad vom Typ 1, das zunächstmit einem in seinen Abmessungen identischen, aber in seiner Masse verschiedenenSchwungrad verbunden wurde. Aufgrund der Parallelität zu translatorischen Stößenund den für sie charakteristischen Bewegungserscheinungen konnte die Schlussfolgerunggezogen werden, dass das aus Aluminium bestehende Schwungrad über ein kleineresTrägheitsmoment als sein Stoßpartner verfügt. Da sich das Aluminiumrad nurin seiner Masse von dem Rad des Modell 1 unterscheidet, resultiert die Erkenntnis,dass das Trägheitsmoment eines Objekts von seiner Masse abhängt und bei zwei sichin ihren Maßen gleichenden Objekten dasjenige ein kleineres Trägheitsmoment aufweisenkann, das mit einer geringeren Masse ausgestattet ist. Für das Erlangen dieserErkenntnis spielte die Anordnung der beteiligten Schwungräder keine Rolle, sodassauch ein Rollentausch der beiden Objekte dieselben Ergebnisse lieferte.75

4 Messungen und AuswertungenUm weitere Informationen über die das Trägheitsmoment beeinflussenden Faktorenzu erhalten, wurde anstelle des Aluminiumrads ein Schwungrad eingesetzt, dass inseiner Masse mit dem Schwungrad vom Typ 1 übereinstimmt, aber einen kleinerenDurchmesser besitzt. Durch die beiden mit diesen Rädern erreichbaren Konstellationenkonnte gezeigt werden, dass auch das kleine Stahlrad im Vergleich zu seinemStoßpartner über ein Trägheitsmoment geringeren Zahlenwerts verfügt. Da sich daskleine Schwungrad infolge seines geringeren Diameters nur durch seine Massenverteilungvom Objekt des Modell 1 unterscheidet, konnte gefolgert werden, dass in Drehachsennähekonzentrierte Masse eine geringere Wirkung für das Trägheitsmoment besitztals Masse, die eine größere Entfernung von der Rotationsachse aufweist. Zudem konntedurch den Vergleich der für diese Kombination vorliegenden Messdaten mit denfür die Kopplung eines Aluminiumrads erhaltenen Ergebnissen gezeigt werden, dassdas kleine Schwungrad auch das kleinste Trägheitsmoment aller drei verschiedenenSchwungrädermodelle besitzt.Zusammengefasst lässt sich erkennen, dass der aus der Kopplung zweier Schwungräderunterschiedlicher Trägheitsmomente phänomenologisch erzielte Erkenntnisgewinn dieBeobachtungen beinhaltet, dass das Trägheitsmoment eines Körpers nicht nur vonseiner Masse abhängt, sondern auch ihre Verteilung bezüglich der Drehachse eine entscheidendeRolle spielt.4.3. Experimente mit der RutschkupplungDie im vorangegangenen Abschnitt vorgestellten Demonstrationsexperimente nutzenfür eine phänomenologische Wissenserweiterung der Größen Drehimpuls und Trägheitsmomentelastische bzw. teilelastische Drehstöße und ihre Analogie zu den entsprechendenStoßvorgängen aus der Translationsmechanik aus. Bei der Realisierungsolcher Drehstöße kam die Klauenkupplung zum Einsatz. Um für die Rotation auch einPendant zu unelastischen translatorischen Stößen zu schaffen, die ebenfalls einen Erkenntnisgewinnbezüglich der Größen Drehimpuls und Trägheitsmoment ermöglichen,erfolgt in den nachfolgenden Experimenten die Kombination zweier Schwungrädermithilfe der Rutschkupplung. Um die Verbindung der Räder mithilfe dieser Kupplungvornehmen zu können, wird der Welle eines der beiden Räder die mit den Flügelnversehene Kupplungshälfte aufgesteckt, während das andere Objekt eine Ausstattungmit dem sich durch die Vertiefungen auszeichnenden Verbindungselement erfährt.4.3.1. Schwungräder gleicher TrägheitsmomenteDie Untersuchung zur Kopplung zweier Schwungräder gleicher Trägheitsmomente unterVerwendung der Rutschkupplung gliedert sich in zwei Versuchsteile. Im erstenExperiment weisen die zwei Räder vor ihrem Zusammentreffen unterschiedliche Be-76

4.3 Experimente mit der Rutschkupplungwegungszustände auf. Während eines der beiden Räder in Drehung versetzt wird,zeichnet sich das zweite Objekt durch seinen ruhenden Zustand aus. Für den zweitenVersuchsteil werden beide Schwungräder mit einer betraglich gleich großen Winkelgeschwindigkeitversehen, jedoch weisen ihre Rotationen entgegengesetzte Drehrichtungenauf.(a) Kopplung eines rotierenden Schwungrads mit einem ruhenden RadFür das Verbinden eines rotierenden Schwungrads mit einem ruhenden Rad über dieRutschkupplung werden beide Räder zunächst wieder auf den Fahrbahnwagen montiert.Bei dem hier vorliegenden Verbindungselement genügt es im Vergleich zu denExperimenten mit der Klauenkupplung nicht, den mit dem rotierenden Schwungradausgestatteten Wagen anzustoßen, um so auch ohne weiteres Einwirken ein Ineinandergreifender Kupplungshälften und damit ein Übertragen der Drehbewegung zuermöglichen. Für die Simulation eines unelastischen Drehstoßes mithilfe der Rutschkupplungmüssen die Fahrbahnwagen mindestens so lange aneinander gedrückt werden,bis für beide Schwungräder dieselbe Drehzahl gemessen werden kann.Beobachtungen und MessergebnisseWenn das mit dem Flügelelement ausgestattete Schwungrad in Drehung versetzt undüber das zu seiner Kupplungshälfte passende Gegenstück mit dem anderen Rad verbundenwurde, so konnte während des Einkupplungsvorgangs beobachtet werden, dassdie aus Aluminium hergestellten Plättchen über die Vertiefungen hinweggleiten. Dabeinimmt die Drehzahl des zu Beginn rotierenden Schwungrads ab, wohingegen das zuvorruhende Objekt in Drehung versetzt wird. Nach kurzer Zeit haken die Flügel in den fürsie vorgesehenen Vertiefungen ein und für die beiden Schwungräder kann ab diesemZeitpunkt eine identische Drehzahl registriert werden. Untersucht man diesen Einkupplungsvorgangfür verschiedene Anfangsdrehzahlen, so ist festzustellen, dass mitzunehmender Drehzahl auch die Zeitspanne bis zum Einhaken der Plättchen steigt.Widmet man der gemeinsamen Enddrehzahl der beiden Räder verstärkte Aufmerksamkeit,so ist zudem zu erkennen, dass diese Drehzahl nur unwesentlich geringer alsdie Hälfte der Anfangsdrehzahl des zu Beginn rotierenden Rads ist. Vor allem bei nichtallzu großen Drehzahlen bis zu ca. 4 Umdrehungen pro Sekunde weicht die gemeinsameUmdrehungsfrequenz nur um 0,1 - 0,2 Umdrehungen pro Sekunde von der halbenAnfangsdrehzahl ab. Für höhere Winkelgeschwindigkeiten ist eine größere Diskrepanzzu beobachten.Tabelle 4.16 zeigt eine kleine Auswahl der aufgenommenen Messdaten, die trotz dergeringen Anzahl das typische Drehverhalten der Schwungräder repräsentiert. Eineausführliche Auflistung der Messwerte ist im Anhang zu finden. Die Aufnahme dergemeinsamen Enddrehzahl f ′ 1 und f ′ 2 der beiden Schwungräder geschah direkt im Anschlussan den Einhakungsvorgang. Die Angabe der Drehzahlen erfolgt wiederum miteinem Fehler von σ f = 0,1 s −1 .77

4 Messungen und AuswertungenTabelle 4.16.Auswahl einiger Messdaten für die Kopplung zweier Schwungräder vom Typ 1.f 1 in s −1 2,0 2,0 3,0 3,0 4,0 4,0 5,0 5,0 6,0 6,0f ′ 1, f ′ 2 in s −1 0,9 0,9 1,4 1,3 1,9 1,8 2,3 2,2 2,8 2,7AuswertungAnhand der aufgenommenen Messdaten lässt sich wiederum die Drehimpulserhaltungdemonstrieren. Um dies einzusehen, analysiere man zunächst den analogen Vorgangaus der Translationsmechanik, der aus einem völlig unelastischen Stoß besteht, beidem ein sich mit dem Impuls p bewegender Körper auf ein ruhendes Objekt gleicherMasse trifft. Die beiden Körper haften infolge ihres unelastischen Zusammentreffensaneinander und bewegen sich gemeinsam mit der halben Anfangsgeschwindigkeit, diejedem der Körper einen Impuls von p/2 zuordnet. Dadurch wird deutlich, dass sichder Gesamtimpuls p vor dem Stoß gleichmäßig auf beide Körper verteilt und es kannsomit die Impulserhaltung bestätigt werden.Durch Austausch der Größen Impuls, Masse und Geschwindigkeit durch ihre für dieRotation analogen Größen des Drehimpuls, Trägheitsmoments und der Winkelgeschwindigkeitkann auch die Drehimpulserhaltung demonstriert werden. Da enstprechenddes translatorischen Stoßvorgangs in dieser Situation identische Trägheitsmomentevorliegen und die gemeinsame Enddrehzahl der beiden Räder die halbe Anfangsgeschwindigkeitnur um 0,1 - 0,3 Umdrehungen pro Sekunde unterschreitet, wirddie gleichmäßige Verteilung des Gesamtdrehimpulses vor dem Stoß aufgezeigt. Diesliefert die Bestätigung für die Drehimpulserhaltung.Abweichungen von der halben Anfangsdrehzahl sind vor allem auf Reibungsverlustebeim Einkuppeln zurückzuführen und machen sich besonders bei höheren Drehzahlenab ca. 5 Umdrehungen pro Sekunde bemerkbar, denn dann weist die gemeinsameUmdrehungsfrequenz größere Abnahmen von der halben Anfangsdrehzahl auf. Erklärenlässt sich dieser zunehmende Unterschied mithilfe der längeren Zeitdauer, diebis zum Einhaken der Flügel und damit bis zum Erreichen der gemeinsamen Endwinkelgeschwindigkeitbenötigt wird. Angesichts dieser größeren Zeitspanne, die aus derhöheren Winkelgeschwindigkeit resultiert, bewegen sich die Flügelelemente öfters überdie andere Kupplungshälfte hinweg und rufen folglich auch größere Reibungsverlustehervor.78

4.3 Experimente mit der Rutschkupplung(b) Kopplung zweier entgegengesetzt rotierender SchwungräderIn diesem Versuchsteil erfährt das vorherige Experiment eine kleine Änderung, indemnun nicht mehr eines der beiden Räder ruht, sondern beide Schwungräder durchDrehbewegungen ausgezeichnet sind, die mit einer betraglich gleich großen Winkelgeschwindigkeit,aber in entgegengesetzte Richtungen erfolgen.BeobachtungenWerden die beiden Räder wie beschrieben in Drehung versetzt und über die Rutschkupplungmiteinander verbunden, so ist festzustellen, dass die beiden Räder beimEinhaken zum Stillstand kommen. Ändert man hingegen die Drehzahlen, sodass fürbeide Objekte unterschiedliche Umdrehungsfrequenzen gemessen werden können, istdirekt nach dem Einkupplungsvorgang kein ruhender Zustand der Räder zu verzeichnen,sondern eine gemeinsame Drehbewegung zu registrieren, die dem Drehsinn deszu Beginn schneller rotierenden Rads folgt. Bestehen nur geringe Abweichungen derAnfangsdrehzahlen, so kommt diese Drehbewegung ziemlich zeitig zum Erliegen.Testuntersuchungen ergaben, dass Drehzahlunterschiede um 0,2 Umdrehungen pro Sekundeund bei höheren Anfangsdrehzahlen auch um 0, 3 Umdrehungen pro Sekundein den meisten Fällen auch einen sofortigen Stillstand der Schwungräder direkt nachEinhaken der Flügelelemente bewirken.AuswertungMithilfe dieses Experiments wird der Vektorcharakter des Drehimpulses aufgezeigt.Dazu bedient man sich wieder der analogen Situation aus der Translationsmechanikund überträgt die dabei gewonnenen Erkenntnisse durch Austausch der entsprechendenGrößen auf die hier vorliegende Situation.Das translatorische Pendant verwendet eine Versuchsanordnung, bei welcher sich zweiKörper gleicher Massen gleich schnell aufeinander zubewegen. Zu beobachten ist dann,dass beide Objekte zur Ruhe kommen, sodass der Gesamtimpuls nach dem unelastischenStoß offensichtlich null ist. Angesichts der bestehenden Impulserhaltung bedeutetdies, dass auch der Gesamtimpuls vor dem Zusammentreffen mit null identischsein muss. Da die Impulse beider Körper vor dem Stoß aufgrund ihrer Bewegung vonnull verschieden sind, ist ein mit null identischer Gesamtimpuls nur dann realisierbar,wenn die Impulse, die aufgrund des Vorliegens gleicher Massen und betraglich gleicherGeschwindigkeiten einen übereinstimmenden Betrag besitzen, entgegengesetzte Vorzeichenaufweisen und sich daher kompensieren. Somit gibt dieses Experiment einenHinweis auf den Vektorcharakter des Impulses. Da eine die Übertragung auf die Rotationgerade der in diesem Experiment bestehenden Versuchsanordnung entspricht,kann auch der Vektorcharakter des Drehimpulses aufgezeigt werden.Wenn die beiden Schwungräder gleichen Trägheitsmoments Anfangsdrehzahlen aufweisen,die sich sowohl betraglich als auch in ihrem Vorzeichen unterscheiden, so liegt einvon null verschiedener Gesamtdrehimpuls vor, der sich durch den Kupplungsvorgang79

4 Messungen und Auswertungenunter Berücksichtigung von Reibungseffekten gleichmäßig auf beide Schwungräder verteiltund somit die in dieser Situation noch vorhandene Drehbewegung der Räder inRichtung des zu Beginn schneller rotierenden Objekts erklärt.4.3.2. Schwungräder unterschiedlicher TrägheitsmomenteFür eine phänomenologische Wissenserweiterung bezüglich des Trägheitsmoments wirdin den beiden nachfolgenden Experimenten ein Schwungrad vom Typ 1 mit den beidenRädern des Modells 2 und 3 über die Rutschkupplung verbunden. Vor dem Zusammenführender Räder werden beide Objekte in Drehung versetzt. Ihre Rotationensollen in entgegengesetzte Drehrichtungen, aber mit betraglich gleich großen Winkelgeschwindigkeitenerfolgen.(a) Kopplung: Rad Typ 1 mit Rad Typ 2Für die Durchführung des Experiments wurde das Schwungrad vom Typ 1 mit deraus den Flügeln aufgebauten Kupplungshälfte versehen, während das zweite Rad mitdem anderen Verbindungselement ausgestattet wurde. Die Untersuchung des Drehverhaltensbeider Schwungräder erfolgte für Anfangsdrehzahlen mit 2, 3, 4, 5, und 6Umdrehungen pro Sekunde.Hinweise zur DurchführungUm für den zuvor beschriebenen Kupplungsvorgang eine betraglich übereinstimmendeAnfangsdrehzahl der beiden Räder zu realisieren, hat es sich in den getätigten Messreihenals günstig erwiesen, beide Objekte zunächst mit einer höheren Winkelgeschwindigkeitals für die Messung beabsichtigt zu versehen und dann durch Abbremsen derRäder die gewünschte Drehzahl einzustellen.Beobachtungen und MessergebnisseWenn die beiden Räder mit der für sie vorgeschriebenen Winkelgeschwindigkeit versehenund dann über die Rutschkupplung miteinander verbunden wurden, ist wie beiden vorherigen Experimenten zu beobachten, dass die Flügel nach einer gewissen Zeitin die für sie vorgesehenen Vertiefungen einhaken. Die Länge dieses Einkupplungsvorgangswird durch die Anfangsdrehzahlen der beiden Räder bestimmt und steigt mithöheren Umlauffrequenzen an. Nach dem Einhaken der Flügelelemente zeichnen sichbeide Räder durch eine identische Drehbewegung aus, für die eine betraglich deutlichkleinere Drehzahl als vor dem Einkuppeln registriert werden kann. Der Drehsinn derbeiden Objekte stimmt für alle Anfangsdrehzahlen mit der ursprünglichen Drehrichtungdes Schwungrads vom Typ 1 überein.Um diese Beobachtungen anhand von Messwerten zu belegen, sind in Tabelle 4.17einige Daten aufgeführt. Eine Auflistung aller aufgenommener Messdaten findet sich80

4.3 Experimente mit der Rutschkupplungim Anhang wieder. Die Angabe der Drehzahlen erfolgt dabei mit einem Fehler vonσ f = 0, 1 s −1 . Das negative Vorzeichen für die Drehzahlen f 2 des Aluminiumrads kennzeichnendie zum anderen Schwungrad entgegensetzte Drehrichtung.Tabelle 4.17.Auswahl einiger Messdaten für die Kopplung eines Schwungrads vom Typ 1 mit dem Radvom Modell 2.f 1 in s −1 2,0 2,0 3,0 3,0 4,0 4,0 5,0 5,0 6,0 6,0f 2 in s −1 - 2,0 - 2,0 - 3,0 - 3,0 - 4,0 - 4,0 - 5,0 - 5,0 - 6,0 - 6,0f ′ 1, f ′ 2 in s −1 0,7 0,8 1,1 1,2 1,5 1,6 1,9 2,0 2,2 2,3AuswertungFür die Interpretation der Messergebnisse bedient man sich wieder des entsprechendenVorgangs aus der Translationsmechanik. In dem vorliegenden Experiment bestehtdieses Analogon aus einem unelastischen Stoß zweier Körper unterschiedlicherMassen, die sich gleich schnell einander nähern. Nach einem solchen Stoß haften diebeiden Objekte aneinander und bewegen sich mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit,deren Richtung mit der Orientierung des schwereren Körpers übereinstimmt.Überträgt man diese Erscheinungen durch Austausch der entsprechenden Größen aufden in diesem Experiment vorliegenden Drehstoß, so kann gefolgert werden, dass dasSchwungrad vom Typ 1, dessen Drehrichtung die beiden Körper nach dem Zusammentreffenübernommen haben, ein größeres Trägheitsmoment als sein Stoßpartnerbesitzt. Da sich die beiden im Versuch eingesetzten Schwungräder nur in ihrer Masseunterscheiden, kann wiederum die Schlussfolgerung gezogen werden, dass die Masseeines Objekts sein Trägheitsmoment beeinflusst.Um noch eine Aussage über die Qualität dieser Umsetzung eines unelastischen Drehstoßeszu treffen, kann aus den aufgenommenen Messdaten das Verhältnis I St,gr /I Aluder Trägheitsmomente der Schwungräder vom Typ 1 und 2 berechnet und mit denWerten verglichen werden, die sich aus den Ergebnissen der vorbereitenden Messungenergeben. Für die Bestimmung des Verhältnisses I St,gr /I Alu aus den Messdaten wirderneut von der Drehimpulserhaltung ausgegangen, die hierfür folgenden ZusammenhangliefertI St,gr= f 1 + f 1′ . (4.8)I Alu f 1 − f 1′Hierbei wurde verwendet, dass die Drehzahlen f 1 und f 2 bis auf ihr Vorzeichen übereinstimmenund somit f 1 = - f 2 gilt.Die für die Messdaten aus Tabelle 4.17 berechneten Werte I St,gr /I Alu sind mit ihremFehler in der nachfolgenden Tabelle 4.18 angegeben.81

4 Messungen und AuswertungenTabelle 4.18.Berechnung des Verhältnisses I 1 /I 2 für die in Tabelle 4.16 aufgeführten Messdaten.f 1 [s −1 ] f 2 [s −1 ] f 1, ′ f 2 ′ [s −1 ] I St,gr /I Alu σ ISt,gr /I Alu2,0 - 2,0 0,7 2,1 0,32,0 - 2,0 0,8 2,3 0,33,0 - 3,0 1,1 2,2 0,23,0 - 3,0 1,2 2,3 0,24,0 - 4,0 1,5 2,2 0,14,0 - 4,0 1,6 2,3 0,15,0 - 5,0 1,9 2,2 0,15,0 - 5,0 2,0 2,3 0,16,0 - 6,0 2,2 2,2 0,16,0 - 6,0 2,3 2,2 0,1Vergleicht man diese Werte mit dem Ergebnis (I St,gr /I Alu ) theo = (2,5 ± 0,1), das sichaus den Erkenntnissen der vorbereitenden Messungen ergibt, so ist für alle aus denMessdaten gewonnenen Werte eine Abnahme zu verzeichnen. Eine Begründung hierfürstellen vor allem Reibungsverluste während des Einkupplungsvorgangs dar, die eineniedrigere Enddrehzahl f ′ 1 = f ′ 2 und folglich auch einen kleineren Zahlenwert für dasVerhältnis I St,gr /I Alu liefern.(b) Kopplung: Rad Typ 1 mit Rad Typ 3Die Durchführung dieses Experiments gleicht der Vorgehensweise des vorherigen Versuchsteils,jedoch kommt anstelle des Objekts vom Typ 2 das kleine Schwungrad zumEinsatz.Beobachtungen und MessergebnisseWiederum ist zu beobachten, dass beide Schwungräder nach dem Einkupplungsvorgangeine gemeinsame Drehbewegung ausüben, welche den gleichen Drehsinn wie dieursprüngliche Drehrichtung des ersten Schwungrads aufweist. Für die Umlauffrequenzdieser Drehbewegung ist festzustellen, dass sie für gleiche Anfangsdrehzahlen die fürdas Aluminiumrad aufgenommenen Werte übertrifft. Tabelle 4.19 bestätigt durch einekleine Auswahl der erhaltenen Messwerte diese Beobachtungen.82

4.3 Experimente mit der RutschkupplungTabelle 4.19.Auswahl einiger Messdaten für die Kopplung eines Schwungrads vom Typ 1 mit dem Radvom Modell 3.f 1 in s −1 2,0 3,0 3,0 4,0 4,0 5,0 5,0 6,0 6,0f 2 in s −1 - 2,0 - 3,0 - 3,0 - 4,0 - 4,0 - 5,0 - 5,0 - 6,0 - 6,0f ′ 1, f ′ 2 in s −1 1,0 1,4 1,5 2,0 2,1 2,5 2,6 3,0 3,1AuswertungEntsprechend der Argumentation für den vorherigen Kopplungsvorgang lässt sich auchfür die vorliegende Kombination eines Schwungrads vom Typ 1 mit dem kleinen Radherausarbeiten, dass das zuletzt genannte Rad über ein kleineres Trägheitsmomentals das größere Objekt verfügt. Da das Rad vom Typ 3 in seiner Masse mit seinemStoßpartner übereinstimmt, aber aufgrund seines kleineren Durchmessers eine andereMassenverteilung aufweist, wird deutlich, dass das Trägheitsmoment eines Objektsnicht nur durch die Masse festgelegt ist, sondern auch ihre Anordnung im Körperentscheidend ist. Im Vergleich zur Massenverteilung des ersten Schwungrads kann dieAussage getroffen werden, dass Massenelemente, die eine größere Entferung zur Drehachseaufweisen, einen stärkeren Einfluss auf das Trägheitsmoment besitzen als inAchsennähe konzentrierte Masse.Vergleicht man die für das Aluminiumrad und das kleine Stahlrad aufgenommenenMesswerte für gleiche Anfangsdrehzahlen miteinander, so kann man daraus auch Informationenüber das Verhältnis ihrer Trägheitsmomente erhalten. Eine Aussage hierfürlässt sich wiederum mithilfe des entsprechenden Stoßvorgangs aus der Translationsmechaniktreffen. Ersetzt man in der bereits vorgestellten Situation eines unelastischenStoßes zweier Körper unterschiedlicher Massen das leichtere Objekt durch einenKörper noch geringerer Masse, so bewegen sich nach dem Zusammentreffen beide Objektemit einer höheren Geschwindigkeit als in der vorherigen Versuchsanordnung indie Bewegungsrichtung des schwereren Körpers. Werden diese beiden Konstellationenauf Drehstöße übertragen, so kann die zuletzt genannte Situation der Kopplung derRäder vom Typ 1 und 3 zugeordnet werden. Aus dem Massenverhältnis bei den translatorischenStößen kann durch den Übergang zu Drehbewegungen gefolgert werden,dass das kleine Stahlrad ein kleineres Trägheitsmoment als das Aluminiumrad besitzt.83

4 Messungen und Auswertungen4.3.3. Zusammenfassung der erzielten ErgebnisseAufgabe der Rutschkupplung ist die Realisierung eines Drehstoßes zweier rotierenderSchwungräder, um daraus mithilfe von Analogiebetrachtungen zu Vorgängen aus derTranslationsmechanik Informationen über die Größen Drehimpuls und Trägheitsmomentzu erhalten. Im Gegensatz zu den Experimenten mit der Klauenkupplung erzieltdie Rutschkupplung ihre Ergebnisse aus unelastischen Drehstößen. Die Aussagen undKenntnisse, die mit dieser Kupplung erreicht werden können, stimmen nahezu mit denaus elastischen Drehstößen überein, sodass die Rutschkupplung als gute Alternativefür die Wissenerweiterung im Bereich der Rotationsmechanik angesehen werden kann.Durch die Kombination zweier Schwungräder gleicher Trägheitsmomente über dieRutschkupplung kann sowohl die Drehimpulserhaltung als auch der Vektorcharakterdes Drehimpulses verdeutlicht werden. Für die Bestätigung der Drehimpulserhaltungwurde ein rotierendes Schwungrad mit einem ruhenden Objekt verbunden. Anhandder nach dem Einkupplungsvorgang erreichten Winkelgeschwindigkeit, die infolge vonReibungsverlusten leicht von der halben Anfangswinkelgeschwindigkeit abweicht, kanngezeigt werden, dass der Gesamtdrehimpuls vor und nach dem Zusammenführen derRäder erhalten bleibt.Ein Hinweis auf den Vektorcharakter des Drehimpulses lieferte eine Versuchsanordnung,bei welcher zwei rotierende Schwungräder gekoppelt werden, die zwar in ihrenWinkelgeschwindigkeiten übereinstimmen, aber unterschiedliche Drehrichtungenaufweisen. Durch Überlegungen zum Gesamtdrehimpuls wird deutlich, dass sich dieDrehimpulse der zwei Räder in ihren Vorzeichen unterscheiden müssen.Ein Erkenntnisgewinn bezüglich des Trägheitsmoments eines Objekts konnte durch dieKombination zweier Schwungräder unterschiedlicher Trägheitsmomente erlangt werden.Dafür wurden die Räder in entgegengesetzte Richtungen so angedreht, dass sievor ihrem Verbinden eine betraglich gleich große Winkelgeschwindigkeit aufweisen.Aus dem Drehverhalten der gekoppelten Räder konnten dann Rückschlüsse über dasVerhältnis der Trägheitsmomente der beiden Schwungräder getroffen werden. ZumEinsatz kamen bei diesen Experimenten drei Schwungräder, die sich sowohl in ihrerMasse als auch in ihren Abmessungen unterscheiden. Mithilfe dieser Räder konntegezeigt werden, dass das Trägheitsmoment eines Objekts nicht nur von seiner Masse,sondern auch von seiner Massenverteilung abhängt. Größere Wirkung hat dabeiMasse, die eine weitere Entfernung zur Drehachse besitzt.84

5. Die Einbindung in denSchulunterrichtDie in dieser Staatsexamensarbeit vorgestellten Demonstrationsexperimente zu Drehimpulsund Trägheitsmoment sind bezüglich ihrer Anforderungen und ihrer Lernzielefür einen Einsatz im Schulunterricht ausgerichtet. Um eine dem gymnasialen Bildungsgangangepasste Einordnung in den schulischen Kontext vornehmen zu können, sollzunächst ein Bezug zum aktuellen Bildungsplan für das allgemein bildende Gymnasiumhergestellt werden.5.1. Bezug zum BildungsplanDer aktuelle Bildungsplan 2004 unterscheidet sich von früheren Lehrplangenerationendurch seine neue Grundauffassung für die im Unterricht verbindlichen Vorgaben.Während in den zuvor geltenden Anweisungen das zu Lehrende aufgeführt war, sind imBildungsplan 2004 Bildungsstandards formuliert, welche neben den fachlichen Kompetenzenunter anderem auch methodische Fähigkeiten beschreiben, welche die Schülernach den Klassenstufen 6, 8, 10 und 12 erworben haben müssen [12].Die didaktischen Grundsätze naturwissenschaftlichen Unterrichts verfolgen gemäß denBildungsstandards einen Erkenntnisgewinn und eine Wissenserweiterung, die sich inbesonderemithilfe von Beobachtungen und Experimenten erzielen lassen. Hierfür sollendie Fähigkeiten der Schüler unter anderem die Beobachtung quantitativ erfassbarerGrößen umfassen und das Erkennen und Mitteilen von Sachverhalten gestatten. Speziellfür das Fach Physik fordert das im Bildungsplan aufgeführte Methodenrepertoirefür die Analyse unbekannter Erscheinungen das Anwenden von bereits erworbenemWissen, indem Strukturen erkannt und Analogien hilfreich eingesetzt werden. DieseArbeitsweise ist insbesondere für die Auswertung und Interpretation der in den Demonstrationsexperimentenauftretenden Erscheinungen der Drehstöße erforderlich.Untersucht man die Verankerung der physikalischen Größen Drehimpuls und Trägheitsmomentin den Bildungsstandards für das Fach Physik, so ist festzustellen, dassdas Trägheitsmoment nicht explizit aufgeführt ist, während der Drehimpuls seine ersteErwähnung in der Auflistung der Kompetenzen und Inhalte erfährt, die Schüleram Ende der Klassenstufe 10 erlangt haben sollen. Zu beachten ist jedoch, dass derDrehimpuls sowie sein zugehöriges Erhaltungsgesetz dem Bildungsplan zufolge nureine qualitative Behandlung erfordern, die auch in der Kursstufe keine Ausweitungerfahren muss.85

5 Die Einbindung in den Schulunterricht5.2. Erforderliche Vorkenntnisse der SchülerFür die Vermittlung der grundlegenden Kenntnisse der Größen Drehimpuls und Trägheitsmomentbedienen sich die vorgestellten Demonstrationsexperimente der Präkonzepteder Schüler. Dabei soll eine Reaktivierung des bisherigen physikalischen Wissenssowie die Übertragung auf das neue Themengebiet der Drehbewegungen den Schülerneinen Zugang und auch einen Erkenntnisgewinn für die bei Rotationsbewegungen auftretendenGrößen des Drehimpulses und Trägheitsmoments verschaffen. Diese didaktischenPrinzipien erfordern jedoch Einblicke in die zwischen Translation und Rotationbestehende Analogie. Konkret sollte den Schülern in diesem Zusammenhang bereitsvertraut sein, dass bei Drehbewegungen die für alle Massenelemente eines Körperseinheitliche Geschwindigkeit durch die Winkelgeschwindigkeit realisiert wird. Nebendieser Entsprechung des Geschwindigkeitsbegriffs sollte den Schülern auch die Parallelitätzwischen dem Impuls bei Translationsbewegungen und dem Drehimpuls beider Rotation bekannt sein. Für das Erlangen und Verstehen dieser Verbindung istzunächst ein fundiertes Verständnis bezüglich des Themengebiets des Impulses erforderlich.Neben der Definition des Impulses als Produkt aus Masse und Geschwindigkeitsowie ihrer vektoriellen Darstellung sollte den Schülern auch die anschauliche Bedeutungdes Impulses als der in vielen Bewegungen erkennbare ”Schwung“ vertraut sein.Die Beobachtung und Erfahrung, dass auch rotierende Objekte ”Schwung“ besitzen,sollte den Schülern dann die Schlussfolgerung erlauben, dass den sich drehenden Objektenanalog zum Impuls eine entsprechende Größe, der Drehimpuls, zugeordnet werdenkann (vgl. [13]). Tiefergehende Kenntnisse, die beispielsweise die Darstellung desDrehimpulses als Vektorprodukt betreffen, sind für das Verständnis der vorgestelltenDemonstrationsexperimente nicht erforderlich.Mithilfe der genannten Analogien sollte den Schülern vor der Durchführung undDiskussion der Experimente noch der Einsatz des Trägheitsmoments erläutert werden,welcher aufgrund der Übertragung der aus der Translationsmechanik bekanntenGleichung ⃗p = m ⃗v auf Drehbewegungen erforderlich wird. Für das Verständnisder Demonstrationsexperimente ist wiederum kein formelgeprägtes Wissen für dasTrägheitsmoment nötig, sondern es genügt die Einsicht, dass das Trägheitsmomentbei Drehbewegungen die zur Masse komparable Größe darstellt.Neben den aufgeführten Analogien zwischen Translation und Rotation setzen die Demonstrationsexperimentefür eine Erweiterung des Wissenshorizonts bezüglich derGrößen Drehimpuls und Trägheitsmoment auch Kenntnisse im Umgang mit translatorischenStoßvorgängen voraus. In diesem Zusammenhang sollten die Schüler diesowohl bei elastischen als auch bei unelastischen Stößen auftretenden Bewegungserscheinungenunter Verwendung der Impuls- und Energieerhaltung erklären können,die sie dann mithilfe der Analogiebetrachtungen befähigen, die bei den Drehstößenerzielten Beobachtungen zu deuten.86

5.3 Einsatz der Experimente im Schulunterricht5.3. Einsatz der Experimente im SchulunterrichtUm zunächst eine thematische Einordnung der Demonstrationsexperimente zu Drehimpulsund Trägheitsmoment vornehmen zu können, sei auf den Stoffverteilungsplanzweier in den baden-württembergischen Gymnasien häufig eingesetzten Schulbücherverwiesen. Während das vom Klett Verlag entwickelte Lehrbuch ”Impulse 2“ für dieKlassen 9 und 10 die auf nur zwei Seiten ausgedehnte qualitative Behandlung derRotation und des Drehimpulses der Kreisbewegung anschließt (vgl. [13]), führt dasPhysikbuch Dorn-Bader für die Sekundarstufe I den Drehimpuls unter der RubrikErhaltungssätze auf, um mit der Drehimpulserhaltung die in der Mechanik gültigenErhaltungsgesetze zu komplettieren [14]. Beide Konzepte verfolgen eine qualitativeHerangehensweise und fassen die für die Schüler wichtigen Aspekte auf nur wenigenSeiten zusammen. Aufgrund dieser eingeschränkten Ausführungen zu den für die Rotationstarrer Körper charakteristischen Größen des Drehimpuls und Trägheitsmomentswird bereits deutlich, dass der Besprechung von Drehbewegungen im Schulunterrichtkein großer Stellenwert bemessen wird und die vorgestellten Demonstrationsexperimentedaher keine zu ausführliche Behandlung erfahren sollten. Dennoch empfiehltsich für eine didaktische sinnvolle Einbindung der Experimente mit entsprechenderVorbereitung auf die zwischen Translation und Rotation bestehende Analogie einenZeitrahmen von etwa 2 Doppelstunden in Anspruch zu nehmen. Reduzieren lässt sichder Arbeits- und Zeitaufwand im Schulunterricht, wenn in den Demonstrationsexperimentennur eine Kupplungsart zum Einsatz kommt. Beide Verbindungselementekönnen eingesetzt werden, um die Drehimpulserhaltung zu belegen und auch fundamentaleAussagen über die das Trägheitsmoment beeinflussenden Faktoren sind mitbeiden Komponenten möglich. Soll jedoch in Analogie zum Impuls der Vektorcharakterdes Drehimpulses aufgezeigt werden, so bietet die Verwendung der Rutschkupplungeinen entscheidenden Vorteil.Die vorgestellten Demonstrationsexperimente zu Drehimpuls und Trägheitsmomentkönnen sowohl als Lehrerexperiment als auch in einem für Schüler ausgerichtetenPraktikum zum Einsatz kommen. Für die Interpretation der mit ihrer Hilfe erzieltenErgebnisse empfiehlt sich für beide Arbeitsweisen die parallele Betrachtung derentsprechenden translatorischen Stoßvorgänge.Zu beachten ist jedoch, dass die Demonstrationsexperimente nur qualitative Aussagenbezüglich der Größen des Drehimpulses und des Trägheitsmoments erlauben. Unberücksichtigtbleibt die mathematische Beschreibung dieser Größen, sodass wederdie Ausführung des Drehimpulses als Vektorprodukt noch die Integraldarstellung desTrägheitsmoments für die vorliegenden Körper mit kontiniuerlicher Massenverteilungaufgedeckt werden können. Da das hierfür benötigte mathematische Grundgerüst inder Sekundarstufe I noch nicht vorhanden ist, rechtfertigt dies gemäß den Bildungsstandardsauch die mithilfe der Demonstrationsexperimente auf qualitativer Ebeneerworbenen Erkenntnisse zu den Größen Drehimpuls und Trägheitsmoment.87

5 Die Einbindung in den SchulunterrichtLehrkräfte sollten beachten, dass bei den vorliegenden Experimenten eine didaktischeReduktion vorgenommen wurde, die den Schülern die Theorie der Drehbewegungenbesser verständlich machen soll. Diese Eingrenzungen erlauben nur die Beschreibungsolcher Drehbewegungen, die zum einen stationäre Rotationsachsen aufweisen und zumanderen nur solche Drehachsen zulassen, die mit einer Symmetrieachse des zu untersuchendenKörpers zusammenfällt. Mit diesen Einschränkungen kann der Umgang mitdem Trägheitstensor umgangen werden und erfordert nur noch die Betrachtung einesskalaren Trägheitsmoments, sodass den Analogiebetrachtungen zwischen TranslationsundRotationsbewegungen kein Hindernis im Wege steht.Jedoch können die Demonstrationsexperimente keinen vollständigen Einblick in dieTheorie der Drehbewegungen geben, denn Phänomene wie Präzession und Nutationkönnen mit den Versuchen und ihren zugrundeliegenden Konzepten nicht erklärt werden.Trotz der mit den Demonstrationsexperimenten getroffenen didaktischen Reduktionenerfüllen die vorgestellten Versuche das in den Bildungsstandards geforderte Niveaueiner qualitativen Behandlung von Rotationen starrer Körper und ermöglichenmithilfe von Analogiebetrachtungen zur Translationsmechanik das Entdecken zweierphysikalischer Größen, die in einem für die Schüler neuen Themenbereich der Physikanzusiedeln sind.88

6. Versuchsanleitung für einenLaborkurs fürDemonstrationsexperimenteExperimente nehmen als ein wichtiges Charakteristikum für naturwissenschaftlichesArbeiten eine zentrale Rolle im Physikunterricht ein. Sie schaffen nicht nur eine Verbindungvon Theorie zu Praxis, sondern geben den Schülern auch einen Einblick indie Methoden naturwissenschaftlichen Denkens und tragen zur Förderung ihrer experimentellenFähigkeiten bei. Ein auf Experimenten beruhender Erkenntnisgewinn istjedoch nur durch eine didaktisch sinnvolle Einbindung in den Schulunterricht möglich.Um angehenden Physiklehrern einen kompetenten Umgang mit schultypischen Experimentenzu ermöglichen, schreibt die Prüfungsordnung für das Lehramt an Gymnasiendie erfolgreiche Teilnahme an einem Kurs zur Durchführung von Demonstrationsexperimentenvor. In diesem Laborkurs sind schultypische Versuche zu verschiedenenThemengebieten der Physik angesiedelt, die den Studierenden Möglichkeiten aufzeigen,Experimente gewinnbringend und methodisch angebracht in den Schulunterrichtzu integrieren. Neben einem fachgerechten Umgang mit den für die Experimente erforderlichenVersuchsgeräten fördert dieser Kurs auch die Kenntnisse der Lehramtsstudierendenbezüglich einer didaktisch sinnvollen Durchführung und Präsentation vonExperimenten.Die im Rahmen dieser wissenschaftlichen Arbeit entwickelten Demonstrationsexperimentezu Drehimpuls und Trägheitsmoment sollen im Kurs ”Fachdidaktik III - Laborfür Demonstrationsexperimente“ zum Einsatz kommen und das bestehende Versuchsangebotim Bereich der Mechanik erweitern. Mithilfe der vorgestellten Experimentesollen den Studierenden Möglichkeiten aufgezeigt werden, die den Schülern durch Reaktivierungihres Wissens aus der Translationsmechanik einen phänomenologischenErkenntnisgewinn bezüglich der Größen des Drehimpuls und Trägheitsmoments erlauben.Aufgrund der begrenzten Versuchszeit können nicht alle in der Arbeit vorgestelltenExperimente zum Einsatz kommen. Eine Auswahl einiger Drehstoßversuche,welche die wichtigsten der mithilfe der Demonstrationsexprimente erlangten Erkenntnisseaufzeigen, soll zusammen mit den entsprechenden translatorischen Bewegungsvorgängeneinen Einblick in das didaktische Konzept der entwickelten Demonstrationsexperimentezu Drehimpuls und Trägheitsmoment ermöglichen.89

6 Versuchsanleitung für einen Laborkurs für DemonstrationsexperimenteAuf den nachfolgenden Seiten ist eine Versuchsanleitung für die Durchführung der Experimenteim Laborkurs für Demonstrationsexperimente aufgeführt, für deren Aufbaudie Struktur der bereits bestehenden Praktikumsanleitungen verwendet wurde [15][16] [17]. In diesen Anweisungen sind zunächst die Aufgabenstellungen formuliert, andie sich ein kurzer Theorieteil anschließt, der einen Einblick in die für die Experimentebenötigten physikalischen Grundlagen liefern soll. Informationen und Anregungenzum Versuchsaufbau und zur Durchführung sollen den Studierenden die Ausführungder Experimente erleichtern. Für eine Vertiefung sind einige Kontrollfragen am Endeder Anleitung aufgeführt.90

Versuch 31Demonstrationsexperimente zuDrehimpuls und TrägheitsmomentIn diesem Versuch können durch die Kopplung zweier Schwungräder sowohl elastischeals auch unelastische Drehstöße realisiert werden, die durch Vergleich mit denentsprechenden Stoßvorgängen aus der Translationsmechanik Informationen über dieGrößen Drehimpuls und Trägheitsmoment liefern.91

Versuch 31 - Demonstrationsexperimente zu Drehimpuls und Trägheitsmoment Seite 21 Aufgabenstellung1. Verbinden Sie zwei identische Schwungräder über die Klauenkupplung miteinanderund leiten Sie aus dem Drehverhalten der Räder Aussagen über den Drehimpuls ab.2. Betrachten Sie den entsprechenden translatorischen Stoßvorgang und vergleichenSie die Ergebnisse mit denen aus dem Drehstoß erzielten Beobachtungen.3. Koppeln Sie zwei unterschiedliche Schwungräder über die Klauenkupplung miteinander.Welche Informationen bezüglich des Trägheitsmoments können Sie ausdiesen Drehstößen gewinnen?4. Verwenden Sie für das Koppeln zweier Schwungräder die Rutschkupplung undwiederholen Sie die angesprochenen Kupplungskombinationen. Erarbeiten Sie ausdem Drehverhalten der Räder wiederum Eigenschaften der Größen Drehimpulsund Trägheitsmoment.Abb. 1: Versuchsaufbau zur Kombination zweier Schwungräder über die Klauenkupplung.92

Versuch 31 - Demonstrationsexperimente zu Drehimpuls und Trägheitsmoment Seite 32 GrundlagenBewegungen starrer Körper stellen Überlagerungen zweier verschiedener Bewegungsformendar, die sich in translatorische und rotatorische Bewegungen unterteilen. Währendreine Translationen solche Bewegungen charakterisieren, bei denen alle Punkte einesObjekts Positionswechsel entlang kongruenter Bahnen ausführen, beschreiben bei Rotationenalle Körperelemente konzentrische Kreise um die Drehachse.Zur Beschreibung von Drehbewegungen werden in Analogie zu den translatorischenGrößen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers die entsprechendenWinkelgrößen eingeführt:Winkel:ϕWinkelgeschwindigkeit:Winkelbeschleunigung:⃗ω = d⃗ϕdt⃗α = d⃗ωdt .Die Richtung der Winkelgeschwindigkeit stimmt mit der Orientierung der Drehachse desrotierenden Körpers überein, während die Länge des Vektors ⃗ω dem Betrag der momentanenWinkelgeschwindigkeit entspricht.Zerlegt man den starren Körper in seine einzelnen Massenteilchen, so sind die Geschwindigkeiten⃗v der durch die Ortsvektoren ⃗r beschriebenen Teilchen über den Zusammenhang⃗v = ⃗ω × ⃗r (1)mit der Winkelgeschwindigkeit ⃗ω des rotierenden Körpers verknüpft.2.1 Das DrehmomentUm einen starren Körper in Drehung zu versetzen, muss eine Kraft auf ihn einwirken.Maßgebend für die Drehbewegung ist das vektorielle Produkt aus angreifender Kraft ⃗ Fund dem Ortsvektor ⃗r zum Angriffspunkt der Kraft⃗M = ⃗r × ⃗ F .Diese Größe wird als Drehmoment ⃗ M bezüglich des Koordinatenursprungs bezeichnet.93

Versuch 31 - Demonstrationsexperimente zu Drehimpuls und Trägheitsmoment Seite 42.2 Der DrehimpulsDer Gesamtdrehimpuls eines aus vielen Massenpunkten m i aufgebauten starren Körperssetzt sich aus den Drehimpulsen ⃗ L i dieser Teilchen zusammen. Für Massenpunkte, diesich an einer durch den Ortsvektor ⃗r i ausgezeichneten Position mit der Geschwindigkeit⃗v i bewegen, sind die Drehimpulse ⃗ L i bezüglich des Ursprungs definiert als⃗L i = m i ⃗r i × ⃗v i .Durch Summation über diese Größen erhält man unter Verwendung von Gleichung (1)für den Gesamtdrehimpuls eines starren Körpers, der eine Drehung um eine den Ursprungenthaltende Symmetrieachse ausführt:⃗L = ⃗ω ∑ im i (r ⊥ i ) 2 . (2)den zur Winkelgeschwindigkeit senkrechten Anteil des Ortsvek-Dabei bezeichnet ⃗r i⊥tor ⃗r i [1].2.3 Das TrägheitsmomentDie Summe in Gleichung (2) nennt man das Trägheitsmoment I des Körpers bezüglichder DrehachseI = ∑ im i (r ⊥ i ) 2 . (3)Für den allgemeineren Fall eines starren Körpers mit kontinuierlicher Massenverteilungmuss die Summe aus Gleichung (3) durch ein Integral ersetzt werden.Das Trägheitsmoment spielt für Drehbewegungen eine zur Masse bei translatorischenBewegungen analoge Rolle und stellt ein Maß für den Widerstand dar, den ein Körpereiner Änderung seiner Drehbewegung um seine Rotationsachse entgegensetzt.2.4 DrehimpulserhaltungIn Analogie zum Erhaltungsgesetz für den linearen Impuls eines starren Körpers beiTranslationsbewegungen gibt es auch einen Erhaltungssatz für den Drehimpuls. Für dieHerleitung dieses Gesetzes bildet man die zeitliche Ableitung des Gesamtdrehimpuls desrotierenden starren Körpers und erhält˙⃗L = ⃗ M .Dieses Gesetz liefert einen zeitlich konstanten Gesamtdrehimpuls ⃗ L, falls das gesamte,auf einen starren Körper wirkende äußere Drehmoment ⃗ M Null ist.94

Versuch 31 - Demonstrationsexperimente zu Drehimpuls und Trägheitsmoment Seite 52.5 Vergleich der Rotations- und TranslationsbewegungenTabelle 1 stellt die charakteristischen Größen und Gleichungen für die Beschreibung derRotation eines starren Körpers um eine Symmetrieachse den entsprechenden Beziehungeneines in Translation begriffenen Objekts gegenüber.Tabelle 1Physikalische Größen und Gleichungen der Rotation und ihre Äquivalente für die Translation.RotationTranslationWinkelposition ϕ Ort ⃗xWinkelgeschwindigkeitWinkelbeschleunigung⃗ω = d⃗ϕ Geschwindigkeit ⃗v = d⃗xdt dt⃗α = d⃗ω = d2 ⃗ϕBeschleunigung ⃗a = d⃗v = d2 ⃗xdt dt 2 dt dt 2Drehmoment ⃗ M Kraft ⃗ FDrehimpuls ⃗ L Impuls ⃗pTrägheitsmoment I Masse m2. Newtonsches Axiom M ⃗ =dL⃗ 2. Newtonsches Axiom F ⃗ = d⃗pdt dt3 VersuchsaufbauDer grundlegende Aufbau für die Versuche mit den verschiedenen Kupplungselementensetzt sich aus rotierenden Schwungrädern zusammen, die gemäß Abb. 1 auf einer Wellefixiert sind. Auf diese Achse werden auf beiden Seiten des Schwungrads die mit den Kugellagernbestückten Haltevorrichtungen aufgesetzt, die ein Anbringen der Schwungräderauf den Fahrbahnwagen ermöglichen.Für die Drehstöße stehen drei verschiedene Typen von Schwungrädern zur Verfügung.Die Räder von Typ 1 und 2 stimmen zwar in ihren Abmessungen überein, weisen aberunterschiedliche Massen auf, während das dritte Modell in seiner Masse mit den Rädernvon Typ 1 übereinstimmt.95

Versuch 31 - Demonstrationsexperimente zu Drehimpuls und Trägheitsmoment Seite 6Experimente mit der KlauenkupplungDie in Abb. 2 dargestellte Klauenkupplung realisiert einen nahezu elastischen Drehstoßzwischen zwei rotierenden Schwungrädern.Abb. 2: Die Klauenkupplung mit aufgesetzter Feder und Fixierring.Für den Einsatz der Klauenkupplung wird der Welle auf beiden Seiten des Schwungradsein Kupplungselement aufgesetzt. Bei der Anbringung dieser Verbindungselemente istzu beachten, dass die Greifkomponente der Kupplung gemäß Abb. 1 eine Position amEnde der Welle einnimmt.Um die gesamte Kupplungseinheit auf der Achse zu fixieren, wird die in Abb. 2 dargestellteSchraube festgezogen. Man beachte, dass die Schraube in dem das Greifelementtragenden Hohlzylinder für das Vorliegen eines elastischen Drehstoßes nicht zugezogenwerden darf.Experimente mit der RutschkupplungDie Rutschkupplung setzt sich aus zwei verschiedenartigen Kupplungshälften zusammen,die in Abb. 3 aufgeführt sind.Bevor den Wellen die Kupplungshälften aufgesteckt werden, ist zunächst der Einbau vonFixierringen erforderlich. Diese 10 mm breiten Aluminiumringe werden so auf der Wellebefestigt, dass sich der aufgesetzte Ring kleineren Durchmessers der Haltevorrichtunganschließt. Hierbei ist zu beachten, dass die Halterung so auf der Welle zu positionierenist, dass die mit dem Kugellager versehene Oberfläche mit der vom Schwungrad abgewandtenSeite übereinstimmt.Nach dem Anbringen der Fixierringe werden die beiden zu koppelnden Räder mit denbeiden Kupplungskomponenten versehen. Während der Welle eines der beiden Räder diemit den Flügeln versehene Kupplungshälfte aufgesteckt wird, erfährt das andere Rad eineAusstattung mit dem sich durch die Vertiefungen auszeichnenden Verbindungselement.96

Versuch 31 - Demonstrationsexperimente zu Drehimpuls und Trägheitsmoment Seite 7Abb. 3: Die beiden Verbindungshälften der Rutschkupplung.HinweisUm das Drehverhalten der Schwungräder zu beobachten, stehen drei Drehzahlmessgerätezur Verfügung. Diese werden auf den mit einem Bügel versehenen Haltetisch montiertund so ausgerichtet, dass das von ihnen emittierte Licht unter einem Winkel von ca.30 ◦ auf die an den Schwungrädern angebrachten Reflexmarken trifft. Für die Aufnahmeder Drehzahl der rotierenden Schwungräder muss nach dem Anschalten der Messgeräteder beschriebene Bügel umgelegt und durch Zuziehen der zugehörigen Schraube fixiertwerden.4 VersuchsdurchführungFür die Durchführung der Drehstöße werden die zu kuppelnden Schwungräder mit ihrenWagen auf der Fahrbahn positioniert.Teil 1: Experimente mit der KlauenkupplungUm ein Übertragen der Drehbewegung zweier Schwungräder mithilfe der Klauenkupplungzu ermöglichen, muss einer der beiden zugehörigen Wagen angestoßen werden.(a) Kopplung: Rad Typ 1 mit Rad Typ 1Versetzen Sie ein Schwungrad vom Typ 1 in Drehung und koppeln Sie dieses Objekt miteinem ruhenden Rad gleichen Modells.Leiten Sie anhand des Drehverhaltens der beiden Schwungräder vor und nach dem DrehstoßAussagen über den Gesamtdrehimpuls des aus beiden Rädern bestehenden Systemsab.97

Versuch 31 - Demonstrationsexperimente zu Drehimpuls und Trägheitsmoment Seite 8Tipp: Betrachten Sie den entsprechenden Stoßvorgang aus der Translationsmechanik.Hierfür stehen Ihnen die Fahrbahnwagen (ohne die Schwungräder!) sowie Stoßfedernzur Verfügung.(b) Kopplung: Rad Typ 2 mit Rad Typ 1Verbinden Sie das rotierende Schwungrad vom Typ 2 mit einem ruhenden Objekt vomModell 1. Entwickeln Sie aus dem Drehverhalten der Schwungräder vor und nach demDrehstoß qualitative Aussagen über die Trägheitsmomente der beiden Räder und gehenSie dabei insbesondere auf die das Trägheitsmoment beeinflussenden Faktoren ein.Tipp: Empfehlenswert ist wiederum die Betrachtung des entsprechenden translatorischenStoßvorgangs.(c) Kopplung: Rad Typ 3 mit Rad Typ 1Ersetzen Sie im vorigen Kopplungsfall das Schwungrad vom Typ 2 durch ein Radvom Modell 3 und stellen Sie wiederum Überlegungen zu den Trägheitsmomenten derSchwungräder an.ZusatzWie kann mithilfe der Teilversuche (b) und (c) eine qualitative Aussage über das Verhältnisder Trägheitsmomente der beiden Schwungräder vom Typ 2 und 3 getroffen werden?Teil 2: Experimente mit der RutschkupplungUm Drehbewegungen der Schwungräder mithilfe der Rutschkupplung übertragen zukönnen, müssen die mit den rotierenden Schwungrädern ausgestatteten Wagen mindestensso lange aneinander gedrückt werden, bis beide Räder dasselbe Drehverhaltenaufweisen.(a) Kopplung: Rad Typ 1 mit Rad Typ 1Verbinden Sie zunächst ein rotierendes Schwungrad vom Typ 1 mit einem ruhenden Radgleichen Modells. In einem anschließenden Versuch soll sich auch das zuvor ruhende Raddurch eine Drehbewegung auszeichnen, die im Vergleich zu seinem Stoßpartner mit einerbetraglich gleich großen Winkelgeschwindigkeit, aber in entgegengesetzte Drehrichtungerfolgen soll.98

Versuch 31 - Demonstrationsexperimente zu Drehimpuls und Trägheitsmoment Seite 9Welche Informationen bezüglich des Drehimpulses können Sie aus diesen Versuchen gewinnen?Tipp: Betrachten Sie wiederum die analogen Stoßvorgänge aus der Translationsmechanikund leiten Sie entsprechende Aussagen für den Impuls ab.(b) Kopplung: Rad Typ 2 mit Modell 1 sowie Rad Typ 3 mit Modell 1In beiden Kupplungsfällen sind die Schwungräder vor dem Zusammenführen in Drehungzu versetzen. Ihre Rotationen sollen in entgegengesetzte Drehrichtungen, aber mit betraglichübereinstimmenden Winkelgeschwindigkeiten erfolgen.Können Sie mit diesen Versuchen Ihre Erkenntnisse bezüglich des Trägheitsmoments ausdem ersten Teil bestätigen?5 Kontrollfragen• Warum lassen sich Stoßexperimente mit der Klauenkupplung als elastische Drehstößedarstellen? Erklären Sie auch das Vorliegen eines unelastischen Drehstoßes bei Verwendungder Rutschkupplung.• Wie verändert sich der Drehstoß zweier identischer Schwungräder, wenn die Kupplungshälftender Klauenkupplung auf der Welle fixiert werden?Tipp: Überlegen Sie sich, welche Funktion die Stoßfeder bei den translatorischenStoßvorgängen einnimmt.• Wie erklären Sie sich die Abweichungen, die sich beim Verbinden zweier Schwungrädergleichen Modells über die Klauenkupplung im Vergleich zu dem entsprechendenStoßvorgang aus der Translationsmechanik ergeben?• Ist mithilfe der Experimente auch eine quantitative Bestimmung des Verhältnissesder Trägheitsmomente der am Drehstoß beteiligten Schwungräder möglich? Wennja, erläutern Sie die Vorgehensweise.99

Versuch 31 - Demonstrationsexperimente zu Drehimpuls und Trägheitsmoment Seite 10Literatur[1] Meschede: Gerthsen Physik. Springer Verlag Berlin, Heidelberg, 24. Auflage, 2010.[2] Dierle: Aufbau und Gestaltung von Demonstrationsexperimenten zu Drehimpuls undTrägheitsmoment. Staatsexamensarbeit, Physikalisches Institut Universität Freiburg,2013.[3] Eichler, Kronfeldt und Sahm: Das Neue Physikalische Grundpraktikum. SpringerVerlag Berlin, Heidelberg, 2. Auflage, 2006.100

7. ZusammenfassungZiel dieser wissenschaftlichen Arbeit war die Entwicklung und Gestaltung von schülergerechtenDemonstrationsexperimenten zu Drehimpuls und Trägheitsmoment, welcheden Lernenden einen Einblick in die Theorie der im alltäglichen Leben vielfach anzutreffendenDrehbewegungen ermöglichen sollen. Die Experimente sind zunächst füreinen Einsatz in dem für Lehramtsstudierende ausgerichteten Laborkurs für Demonstrationsexperimentevorgesehen und sollen das Versuchsangebot im Bereich der Mechanikerweitern. Aufgrund der schülergerechten Auslegung der Versuche ist auch eineAnwendung in der Schule denkbar, die jedoch sowohl durch das teure Zubehör undbei selbständiger Anfertigung auch durch die zeitintensive Bauphase als auch durchdie geringe Beachtung in den Bildungstandards verhindert werden könnte.Die auf einen phänomenologischen Erkenntnisgewinn ausgerichteten Demonstrationsexperimentezu Drehimpuls und Trägheitsmoment basieren auf der Kopplung vonrotierenden Schwungrädern unterschiedlicher Trägheitsmomente. In Zusammenarbeitmit der Mechanik-Werkstatt des Physikalischen Instituts konnte ein Versuchsaufbauentwickelt werden, welcher die Kombination der rotierenden Objekte mithilfe zweierverschiedener Kupplungselemente als Drehstoß verwirklicht. Während eine der beidenVerbindungskomponenten für die Simulation eines nahezu elastischen Drehstoßes verantwortlichist, lässt sich mit dem zweiten Element ein unelastisches Zusammenfügender rotierenden Räder realisieren. Für die Analyse und Interpretation der bei denDrehstößen auftretenden Bewegungserscheinungen ist die Verwendung der zwischenTranslation und Rotation bestehenden Analogie vorgesehen. Wird den Drehstößenihr Pendant aus der Translationsmechanik zugeordnet, so können die translatorischenBewegungsmerkmale durch Austausch der analogen Größen auf die Drehbewegungender Schwungräder übertragen werden und erlauben somit Aussagen über die bei derRotation auftretenden Größen des Drehimpuls und Trägheitsmoments.Die im Rahmen dieser Staatsexamensarbeit entwickelten Demonstrationsexperimenteerlauben den Schülern gemäß der in den Bildungsstandards aufgeführten Anforderungeneinen Erkenntnisgewinn auf qualitativer Ebene. Für die Größe des Drehimpulseshaben die Versuchsaufbauten die Bestätigung des zugehörigen Erhaltungsgesetzessowie die Demonstration des Vektorcharakters ermöglicht. Durch Drehstößezweier Schwungräder unterschiedlicher Trägheitsmomente wurde gezeigt, dass sowohldie Masse eines Körpers als auch ihre Verteilung bezüglich der Drehachse die Größedes Trägheitsmoments beeinflussen. Für die Erarbeitung dieser Erkenntnisse wurdedas Drehverhalten der Schwungräder analysiert. Die hierfür registrierten Drehzahlenzeigten zwar aufgrund von Reibungsverlusten Abweichungen von den theoretisch101

7 Zusammenfassungzu erwarteten Drehfrequenzen, lassen jedoch durch die nachvollziehbare und geringeDiskrepanz der Drehzahlen die für elastische und unelastische Drehstöße typischenBewegungserscheinungen erkennen, sodass sich durch Vergleich mit den translatorischenVorgängen sehr gute Ergebnisse erzielen lassen, die Aufschlüsse über die GrößenDrehimpuls und Trägheitsmoment liefern.Bei den entwickelten Demonstrationsexperimenten zu Drehimpuls und Trägheitsmomentwurde aufgrund eines möglichen Einsatzes im Schulunterricht eine didaktischeReduktion vorgenommen, die nur solche Drehbewegungen starrer Körper untersucht,deren stationäre Drehachse mit einer Symmetrieachse des Objekts übereinstimmt.Daher kann mit diesen Experimenten nur ein Spezialfall von Drehbewegungen behandeltwerden, der jedoch der in den Bildungsstandards aufgeführten Forderung einerqualitativen Behandlung nachkommt und zusätzlich die Nützlichkeit von Analogienhervorhebt.Für das Anfertigen dieser wissenschaftlichen Arbeit waren zunächst viele Arbeitsstundennötig, die sich dem Aufbau der Demonstrationsexperimente widmeten und indenen aufbauend auf einem fundierten physikalischen Grundverständnis die einzelnenBauelemente für ihre Eignung im Versuchsaufbau entworfen und getestet werden mussten.Neben dieser praktischen Betätigung gestattete die Arbeit auch Einblicke in diewissenschaftlichen Arbeitsmethoden der Physik und ermöglichte durch ihre didaktischenAspekte den für einen angehenden Physiklehrer wichtigen Bezug zur Schulpraxis.Diese Vielseitigkeit schuf eine Arbeitsweise und Atmosphäre, an die man sich gernezurückerinnern wird.102

A. Messwerte zur Bestimmung derTrägheitsmomenteSchwungrad Typ 1, Nummer 1Masse: m = (655 ± 1) gFür l = 0 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 16,04 16,03 16,05 16,03 16,05 16,08 16,02 15,99Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,291 ± 0,001) sFür l = 15 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 16,17 16,23 16,14 16,18 16,16 16,14 16,21 16,16Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,311 ± 0,002) sFür l=30 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 16,56 16,54 16,56 16,55 16,51 16,53 16,49 16,53Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,362 ± 0,001) s103

A Messwerte zur Bestimmung der TrägheitsmomenteFür l = 45 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 17,11 17,13 17,19 17,12 17,21 17,14 17,15 17,16Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,450 ± 0,002) sFür l = 60 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 17,94 17,98 17,96 17,96 18,02 17,91 17,96 17,98Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,566 ± 0,002) sFür l = 75 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 18,91 18,94 18,93 18,96 18,97 18,98 18,92 18,95Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,706 ± 0,001) sFür l = 90 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 20,07 20,10 20,05 20,06 20,12 20,07 20,04 20,04Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,867 ± 0,001) s104

Schwungrad Typ 2Masse: m = (244 ± 1) gFür l = 0 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 15,07 15,10 15,08 15,08 15,11 15,10 15,04 15,11Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,155 ± 0,001) sFür l = 15 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 15,21 15,19 15,10 15,14 15,10 15,19 15,13 15,14Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,164 ± 0,002) sFür l = 30 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 15,34 15,37 15,33 15,35 15,28 15,34 15,34 15,28Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,190 ± 0,002) sFür l = 45 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 15,56 15,65 15,60 15,61 15,61 15,56 15,60 15,58Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,228 ± 0,002) sFür l = 60 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 15,87 15,92 15,93 15,91 15,89 15,88 15,89 15,87Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,271 ± 0,001) s105

A Messwerte zur Bestimmung der TrägheitsmomenteFür l = 75 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 16,36 16,31 16,34 16,27 16,29 16,30 16,35 16,33Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,331 ± 0,002) sFür l = 90 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 16,87 16,88 16,81 16,79 16,83 16,78 16,78 16,80Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,403 ± 0,002) sGrafische Darstellung der Messergebnisse:Abb. A.1.: Darstellung von T 2 gegen l 2 mit linearem Fit.Aus der Steigung der Regressionsgeraden berechnetes Richtmoment der Feder:D = (695 ± 12) · 10 −4 NmTrägheitsmoment I des Schwungrads vom Typ 2 unter Berücksichtigung des aus allenMessreihen gewichteten Richtmoments D = (705 ± 2) · 10 −4 Nm:I = (6,9 ± 0,4) · 10 −4 kg m 2106

Schwungrad Typ 3Masse: m = (664 ± 1) gFür l = 0 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 14,96 14,98 14,96 14,88 14,92 14,85 14,90 14,96Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,132 ± 0,002) sFür l = 15 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 15,12 15,08 15,11 15,13 15,15 15,08 15,16 15,12Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,160 ± 0,001) sFür l = 30 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 15,54 15,57 15,56 15,53 15,52 15,49 15,53 15,50Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,219 ± 0,001) sFür l = 45 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 16,14 16,15 16,13 16,15 16,11 16,16 16,15 16,09Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,305 ± 0,001) sFür l = 60 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 17,04 17,01 17,08 16,99 16,98 17,08 17,05 16,99Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,433 ± 0,002) s107

A Messwerte zur Bestimmung der TrägheitsmomenteFür l = 75 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 18,09 18,04 18,03 18,02 18,02 18,05 18,03 18,06Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,578 ± 0,001) sFür l = 90 mm:Messung Nr. 1 2 3 4 5 6 7 87 T in s 19,27 19,25 19,22 19,24 19,33 19,27 19,22 19,28Mittelwert der Schwingungsdauer: T = (2,751 ± 0,002) sGrafische Darstellung der Messergebnisse:Abb. A.2.: Darstellung von T 2 gegen l 2 mit linearem Fit.Aus der Steigung der Regressionsgeraden berechnetes Richtmoment der Feder:D = (711 ± 4) · 10 −4 NmTrägheitsmoment I des Schwungrads vom Typ 3 unter Berücksichtigung des aus allenMessreihen gewichteten Richtmoments D = (705 ± 2) · 10 −4 Nm:I = (5,4 ± 0,4) · 10 −4 kg m 2108

B. Messwerte zum Koppeln derSchwungräderExperimente mit der KlauenkupplungMessdaten zur Kopplung zweier Schwungräder vom Typ 1f 1 in s −1 1,7 1,9 2,0 2,1 2,1 2,2 2,3 2,3 2,4 2,4 2,4f ′ 2 in s −1 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,0 2,1 2,1 2,3 2,2 2,3f 1 in s −1 2,7 2,7 2,9 3,0 3,0 3,1 3,3 3,3 3,5 3,5 3,7f ′ 2 in s −1 2,6 2,5 2,7 2,9 2,7 2,9 3,1 3,1 3,3 3,4 3,5f 1 in s −1 3,8 3,9 4,0 4,2 4,3 4,5 4,6 4,7 4,9 5,2 5,2f ′ 2 in s −1 3,6 3,7 3,7 4,0 4,1 4,2 4,4 4,4 4,6 5,0 4,9Messdaten zur Kopplung dreier Schwungräder vom Typ 1f 1 in s −1 1,6 1,8 1,9 2,0 2,0 2,0 2,1 2,1 2,2 2,3 2,3f ′ 2 in s −1 1,4 1,6 1,8 1,8 1,8 1,9 1,9 1,9 2,0 2,0 2,1f ′′3 in s −1 1,1 1,5 1,6 1,6 1,6 1,7 1,6 1,7 1,8 1,8 1,9f 1 in s −1 2,5 2,5 2,7 2,8 3,3 3,5 3,6 3,9 4,4 4,7 5,0f ′ 2 in s −1 2,3 2,3 2,4 2,6 3,1 3,2 3,4 3,7 4,2 4,6 4,7f ′′3 in s −1 2,1 2,0 2,1 2,5 3,0 3,0 3,3 3,5 4,0 4,4 4,4109

B Messwerte zum Koppeln der SchwungräderMessdaten zur Kopplung von Rad Typ 2 mit Typ 1f 1 in s −1 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0f ′ 1 in s −1 - 0,5 - 0,5 - 0,5 - 0,6 - 0,6 - 0,5 - 0,5 - 0,5 - 0,6f ′ 2 in s −1 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 1,0f 1 in s −1 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0f ′ 1 in s −1 - 1,1 - 1,0 - 1,0 - 0,9 - 1,0 - 1,0 - 0,9 - 1,0 - 1,0f ′ 2 in s −1 1,4 1,4 1,5 1,5 1,5 1,4 1,5 1,5 1,4f 1 in s −1 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0f ′ 1 in s −1 - 1,4 - 1,4 - 1,5 - 1,3 - 1,3 - 1,4 - 1,5 - 1,5 - 1,4f ′ 2 in s −1 1,9 2,0 1,9 2,0 2,0 2,0 2,0 1,9 1,9f 1 in s −1 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0f ′ 1 in s −1 - 1,8 - 1,7 - 1,7 - 1,8 - 1,7 - 1,7 - 1,7 - 1,6 - 1,8f ′ 2 in s −1 2,5 2,5 2,5 2,6 2,5 2,5 2,5 2,5 2,6f 1 in s −1 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0f ′ 1 in s −1 - 2,2 - 2,2 - 2,2 - 2,1 - 2,3 - 2,2 - 2,2 - 2,3 - 2,2f ′ 2 in s −1 3,1 3,1 3,0 3,0 3,1 3,1 3,1 3,1 3,0Messdaten zur Kopplung von Rad Typ 3 mit Typ 1f 1 in s −1 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0f ′ 1 in s −1 - 0,7 - 0,6 - 0,6 - 0,5 - 0,6 - 0,7 - 0,6 - 0,7 - 0,6f ′ 2 in s −1 0,6 0,6 0,7 0,6 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7110

f 1 in s −1 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0f ′ 1 in s −1 - 1,1 - 1,2 - 1,3 - 1,2 - 1,2 - 1,2 - 1,1 - 1,2 - 1,1f ′ 2 in s −1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1f 1 in s −1 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0f ′ 1 in s −1 - 1,7 - 1,7 - 1,6 - 1,8 - 1,7 - 1,7 - 1,7 - 1,7 - 1,8f ′ 2 in s −1 1,6 1,6 1,6 1,6 1,6 1,5 1,5 1,6 1,6f 1 in s −1 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0f ′ 1 in s −1 - 2,2 - 2,4 - 2,3 - 2,2 - 2,2 - 2,4 - 2,4 - 2,2 - 2,3f ′ 2 in s −1 1,9 2,1 2,0 1,9 2,0 2,0 2,0 1,9 2,0f 1 in s −1 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0f ′ 1 in s −1 - 2,5 - 2,6 - 2,6 - 2,6 - 2,6 - 2,6 - 2,5 - 2,6 - 2,5f ′ 2 in s −1 2,3 2,4 2,3 2,4 2,4 2,4 2,4 2,3 2,4Messdaten zur Kopplung von Rad Typ 1 mit Typ 2f 1 in s −1 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0f ′ 1 in s −1 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 1,0 0,9 0,9f ′ 2 in s −1 2,5 2,4 2,4 2,3 2,4 2,5 2,4 2,4 2,5f 1 in s −1 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0f ′ 1 in s −1 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,4 1,3 1,4f ′ 2 in s −1 3,8 3,8 3,9 3,8 3,8 3,7 3,9 3,9 3,9f 1 in s −1 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0f ′ 1 in s −1 1,8 1,8 1,8 1,8 1,9 1,8 1,8 1,8 1,8f ′ 2 in s −1 5,1 5,2 5,1 5,4 5,2 5,3 5,4 5,3 5,3111

B Messwerte zum Koppeln der Schwungräderf 1 in s −1 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0f ′ 1 in s −1 2,3 2,3 2,3 2,3 2,3 2,3 2,4 2,3 2,3f ′ 2 in s −1 6,6 6,6 6,7 6,6 6,6 6,7 6,5 6,7 6,6Messdaten zur Kopplung von Rad Typ 1 mit Typ 3f 1 in s −1 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0f 1 ′ in s −1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,2 1,1 1,1 1,1 1,1f 2 ′ in s −1 2,5 2,6 2,7 2,6 2,6 2,7 2,6 2,6 2,7f 1 in s −1 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0f ′ 1 in s −1 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,6 1,7 1,7f ′ 2 in s −1 4,1 4,0 4,0 4,2 4,1 4,2 4,1 4,1 4,0f 1 in s −1 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0f ′ 1 in s −1 2,2 2,2 2,3 2,2 2,3 2,3 2,2 2,2 2,3f ′ 2 in s −1 5,7 5,6 5,5 5,5 5,5 5,6 5,7 5,7 5,7f 1 in s −1 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0f ′ 1 in s −1 2,8 2,8 2,8 2,9 2,8 2,8 2,8 2,8 2,8f ′ 2 in s −1 7,1 7,2 7,0 6,9 7,1 7,1 7,2 7,1 7,0112

Experimente mit der RutschkupplungMessdaten zur Kopplung zweier Schwungräder vom Typ 1f 1 in s −1 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0f ′ 1, f ′ 2 in s −1 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9f 1 in s −1 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0f ′ 1, f ′ 2 in s −1 1,4 1,4 1,4 1,3 1,4 1,4 1,4 1,4f 1 in s −1 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0f ′ 1, f ′ 2 in s −1 1,8 1,8 1,8 1,9 1,8 1,8 1,9 1,9f 1 in s −1 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0f ′ 1, f ′ 2 in s −1 2,3 2,3 2,3 2,3 2,3 2,3 2,2 2,3f 1 in s −1 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0f ′ 1, f ′ 2 in s −1 2,7 2,7 2,8 2,7 2,8 2,8 2,7 2,7Messdaten zur Kopplung von Rad Typ 1 mit Rad Typ 2f 1 in s −1 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0f 2 in s −1 - 2,0 - 2,0 - 2,0 - 2,0 - 2,0 - 2,0 - 2,0 - 2,0f 1, ′ f 2 ′ in s −1 0,8 0,8 0,7 0,8 0,8 0,8 0,7 0,8f 1 in s −1 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0f 2 in s −1 - 3,0 - 3,0 - 3,0 - 3,0 - 3,0 - 3,0 - 3,0 - 3,0f ′ 1, f ′ 2 in s −1 1,2 1,2 1,1 1,2 1,2 1,2 1,2 1,1f 1 in s −1 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0f 2 in s −1 - 4,0 - 4,0 - 4,0 - 4,0 - 4,0 - 4,0 - 4,0 - 4,0f ′ 1, f ′ 2 in s −1 1,6 1,5 1,6 1,5 1,5 1,6 1,6 1,6113

B Messwerte zum Koppeln der Schwungräderf 1 in s −1 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0f 2 in s −1 - 5,0 - 5,0 - 5,0 - 5,0 - 5,0 - 5,0 - 5,0 - 5,0f ′ 1, f ′ 2 in s −1 2,0 1,9 1,9 2,0 1,9 2,0 2,0 1,9f 1 in s −1 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0f 2 in s −1 - 6,0 - 6,0 - 6,0 - 6,0 - 6,0 - 6,0 - 6,0 - 6,0f ′ 1, f ′ 2 in s −1 2,3 2,3 2,2 2,3 2,3 2,2 2,3 2,2Messdaten zur Kopplung von Rad Typ 1 mit Rad Typ 3f 1 in s −1 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0f 2 in s −1 - 2,0 - 2,0 - 2,0 - 2,0 - 2,0 - 2,0 - 2,0 - 2,0f 1, ′ f 2 ′ in s −1 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 0,9 1,0 1,0f 1 in s −1 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0f 2 in s −1 - 3,0 - 3,0 - 3,0 - 3,0 - 3,0 - 3,0 - 3,0 - 3,0f ′ 1, f ′ 2 in s −1 1,4 1,5 1,5 1,5 1,5 1,4 1,4 1,5f 1 in s −1 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0 4,0f 2 in s −1 - 4,0 - 4,0 - 4,0 - 4,0 - 4,0 - 4,0 - 4,0 - 4,0f ′ 1, f ′ 2 in s −1 2,0 2,1 2,0 2,1 2,0 2,1 2,1 2,1f 1 in s −1 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0 5,0f 2 in s −1 - 5,0 - 5,0 - 5,0 - 5,0 - 5,0 - 5,0 - 5,0 - 5,0f ′ 1, f ′ 2 in s −1 2,5 2,5 2,6 2,6 2,6 2,6 2,5 2,6f 1 in s −1 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0f 2 in s −1 - 6,0 - 6,0 - 6,0 - 6,0 - 6,0 - 6,0 - 6,0 - 6,0f ′ 1, f ′ 2 in s −1 3,0 3,1 3,0 3,0 3,0 3,0 3,0 3,1114

C. Auflistung der InternetquellenAuf den nachfolgenden Seiten sind die in dieser wissenschaftlichen Arbeit benutztenInternetquellen aufgelistet.Während die Gerätebeschreibungen zu den Fahrbahnwagen, der Fahrbahn und desDrehzahlmessgeräts vollständig aufgeführt sind, ist der Bildungsplan 2004 für dasallgemein bildende Gymnasium nur durch seine erste Seite belegt.115

Literaturverzeichnis[1] Demtröder: Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme. Springer Verlag Berlin,Heidelberg, 5. Auflage, 2008.[2] Tipler und Mosca: Physik - Für Wissenschaftler und Ingenieure. Elsevier, SpektrumAkademischer Verlag Berlin, Heidelberg, 2. Auflage, 2007.[3] Meschede: Gerthsen Physik. Springer Verlag Berlin, Heidelberg, 24. Auflage, 2010.[4] Lüders und Oppen: Bergmann, Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik, Band1 - Mechanik, Akustik, Wärme. de Gruyter Verlag Berlin, 12. Auflage, 2008.[5] Halliday, Resnick und Walker: Halliday Physik. Wiley-VCH Verlag GmbH & Co.KGaA, Weinheim, 1. korrigierter Nachdruck, 2005.[6] Eichler, Kronfeldt und Sahm: Das Neue Physikalische Grundpraktikum. SpringerVerlag Berlin, Heidelberg, 2. Auflage, 2006.[7] Mayr: Technische Mechanik: Statik, Kinematik - Kinetik - Schwingungen, Festigungslehre.Hanser Verlag München, Wien, 6. Auflage, 2008.[8] Haberhauer und Bodenstein: Maschinenelemente - Gestaltung, Berechnung, Anwendung.Springer Verlag Berlin, Heidelberg, 16. Auflage, 2011.[9] LD DIDACTIC GmbH: Fahrbahnwagen 337110. http://www.ld-didactic.de/ga/3/337/337110/337110d.pdf, Zugriffsdatum: 09.05.2013.[10] LD DIDACTIC GmbH: Fahrbahn 337130. http://www.ld-didactic.de/ga/3/337/337130/337130d.pdf, Zugriffsdatum: 09.05.2013.[11] Testo AG: Drehzahl-Messgerät testo 460. http://download.testo.com//testo-460-0980-9784.pdf, Zugriffsdatum: 02.05.2013.[12] Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg: Bildungsplan2004 - Allgemein bildendes Gymnasium. http://www.bildung-staerkt-menschen.de/service/downloads/Bildungsplaene/Gymnasium/Gymnasium_Bildungsplan_Gesamt.pdf, Zugriffsdatum: 28.04.2013.[13] Gutjahr, Höfer, Karsten, Maier, Mittag, Welker und Wolf: Impulse Physik 2Baden-Württemberg. Klett Verlag, Stuttgart, 2011.[14] Dorn, Bader: Physik 2, Gymnasium Baden-Württemberg. Schroedel Verlag, 2004.123

Literaturverzeichnis[15] Patzner: Aufbau und Gestaltung eines physikalischen Demonstrationspraktikums.Staatsexamensarbeit, Physikalisches Institut Universität Freiburg, 2008.[16] Schmid: Aufbau und Gestaltung eines physikalischen Demonstrationspraktikums.Staatsexamensarbeit, Physikalisches Institut Universität Freiburg, 2008.[17] Schneider: Aufbau und Gestaltung eines physikalischen Demonstrationspraktikums.Staatsexamensarbeit, Physikalisches Institut Universität Freiburg, 2008.124

DanksagungAn dieser Stelle möchte ich mich bei all denjenigen bedanken, die zum Gelingen dieserwissenschaftlichen Arbeit beigetragen haben.Herrn Prof. Dr. Fischer danke ich für die Vergabe des interessanten Themas sowie fürseine wertvollen Ratschläge und Anmerkungen. Bei Fragen oder Problemen konnte ichjederzeit mit seiner Hilfe rechnen.Herrn Prof. Dr. Kay Königsmann danke ich für die freundliche Aufnahme in seineAbteilung sowie die Bereitstellung eines eigenen Arbeitsplatzes.Ein besonderer Dank gilt Rainer Fastner, der mir bei der Realisierung der Experimenteaufgrund seiner Erfahrungen und seines persönlichen Engagements stets einegroße Hilfe war. Ein Dankeschön geht auch an die Mechanik-Werkstatt des PhysikalischenInstituts, insbesondere an Roman Stratz, der für die praktische Umsetzung derExperimente verantwortlich war und seine mechanischen Kenntnisse erfolgreich in dieGestaltung der Versuche eingebracht hat.Für das Korrekturlesen meiner Arbeit und die konstruktive Kritik möchte ich michbei Julia Dierle, Dr. Florian Herrmann und Sebastian Schopferer bedanken.Vielen Dank auch allen Mitgliedern der Abteilung für die angenehme Atmosphäresowie die Hilfsbereitschaft und Unterstützung, die ich in den vergangenen Monatenerfahren durfte. Besonders bedanken möchte ich mich bei meinen Büropartnern SusanneWolz, Michael Herrmann und Dr. Andreas Mutter, die während des Anfertigensmeiner Arbeit des Öfteren für eine willkommene Abwechslung gesorgt haben.Zuletzt möchte ich auch meiner Familie ein herzliches Dankeschön aussprechen, ohnederen liebevolle Unterstützung ein Studium in dieser Form nicht möglich gewesen wäre.125

ErklärungIch erkläre, dass ich die Arbeit selbständig angefertigt und nur die angegebenen Hilfsmittelbenutzt habe. Alle Stellen, die dem Wortlaut oder dem Sinn nach anderenWerken, gegebenenfalls auch elektronischen Medien, entnommen sind, sind von mirdurch Angabe der Quelle als Entlehnung kenntlich gemacht. Entlehnungen aus demInternet sind durch Angabe der Quelle und des Zugriffsdatums sowie dem Ausdruckder ersten Seite belegt; sie liegen zudem für den Zeitraum von 2 Jahren entweder aufeinem elektronischen Speichermedium im PDF-Format oder in ausgedruckter Formvor.Freiburg im Breisgau, 13. Mai 2013Nathalie Dierle