Aufbau und Gestaltung von Demonstrationsexperimenten zu ...

2 Physikalische GrundlagenBestimmung des Trägheitsmoments I bezüglich einer beliebigen Drehachse A, die eineParallele zur erstgenannten Achse darstellt:I = I S + m a 2 . (2.19)Dabei bezeichnet m die Gesamtmasse des rotierenden Körpers und a gibt den Abstandbeider Achsen an.Beweis des Steinerschen Satzes:Für den Beweis den Steinerschen Satzes betrachte man einen Körper, der eine Drehungum eine beliebige Achse A vollführt. In Abbildung 2.6 ist diese Situation dargestellt,wobei der rotierende Körper nur durch seine Schnittfläche mit der x 1 x 2 -Ebene unddurch ein Massenelement m i mit den Koordinaten (x 1,i , x 2,i , x 3,i ) angedeutet wird.Abb. 2.6.: Zum Beweis des Steinerschen Satzes.Für nachfolgende Betrachtungen wird das Koordinatensystem so positioniert, dassder Schwerpunkt S des Körpers im Ursprung liegt und die x 3 -Achse eine Parallele zurDrehachse A darstellt, die den Punkt (a, 0, 0) kreuzt.Die Abstände des eingezeichneten Massenelements zur x 3 -Achse bzw. zur Achse Awerden mit ri⊥ und r A,i gekennzeichnet und berechnen sich durch die Beziehungenr ⊥ 2i = x 2 1,i + x 2 2,i und r 2 A,i = (x 1,i − a) 2 + x 2 2,i . (2.20)Damit ermittelt man für das Trägheitsmoment I S bezüglich der x 3 -Achse durch denSchwerpunkt des Körpers∫∫I S = ri ⊥ 2 dm = (x 2 1,i + x 2 2,i) dm . (2.21)Analog liefert die Berechnung des Trägheitsmoments für Drehungen um die zur x 3 -Achse parallelen Achse A12