Aufbau und Gestaltung von Demonstrationsexperimenten zu ...

2.2 Rotationen um raumfeste Achsen∫I =∫=∫=∫((x1,irA,i 2 dm = − a) 2 + x2,i) 2 dm∫∫ ∫x 2 1,i dm − 2a x 1,i dm + a 2 dm + x 2 2,i dm∫∫(x 2 1,i + x 2 2,i) dm − 2a x 1,i dm + a 2 dm .Der erste Term stellt das Trägheitsmoment I S bezüglich der x 3 -Achse durch denSchwerpunkt S dar. Für den zweiten Term benutzt man ∫ x 1,i dm = m x 1,S , wobeim die Gesamtmasse des rotierenden Körpers angibt und x 1,S die x 1 -Koordinate desSchwerpunkts darstellt. Aufgrund der Wahl des Koordinatensystems wurde für diePosition des Schwerpunkts der Ursprung gewählt, sodass x 1,S = 0 gilt und somit derzweite Term verschwindet. Der dritte Ausdruck liefert nach Integration über die Massegerade ma 2 , so dass sich aus obiger Gleichungskette der Steinersche Satz ergibt:I = I S + m a 2 .2.2.6. Das zweite Newtonsche Axiom für die RotationIn der Translationsmechanik beschreibt das zweite Newtonsche AxiomF = dpdt(2.22)die enge Beziehung zwischen der auf einen Körper einwirkenden Kraft und dem linearenImpuls dieses Objekts. Die bereits angesprochene Parallelität zwischen der Translationund der Rotation lässt vermuten, dass eine ähnliche Beziehung auch zwischendem für die Rotation verantwortlichen Drehmoment und dem Drehimpuls besteht.Um dies einzusehen, betrachte man zunächst die in Abbildung 2.7 vereinfachte Darstellungeines starren Körpers, der einen Aufbau aus nur einem Teilchen der Masse maufweist. Um den infolge einer Krafteinwirkung rotierenden starren Körper zu simulieren,sei das Teilchen an einem massenlosen Stab der Länge r angebracht, der umeine senkrecht zur Zeichenebene verlaufende Achse rotieren kann.Der Drehimpuls dieses Objekts berechnet sich gemäß Gleichung (2.11) zuL = m r v . (2.23)Bildet man die zeitliche Ableitung dieser Gleichung, so ergibt sich bei zeitlich konstanterMasse der AusdruckdLdt = m r dvdt = m r a t , (2.24)13