Aufbau und Gestaltung von Demonstrationsexperimenten zu ...

2.2 Rotationen um raumfeste AchsenDas Trägheitsmoment bezüglich einer festgelegten Achse fasst die Masse des starrenKörpers sowie ihre Verteilung bezüglich der Rotationsachse in einer Größe zusammen.Massenelemente, die weiter von der Drehachse entfernt sind, liefern laut Definition(2.17) einen größeren Beitrag zum Trägheitsmoment. Man beachte jedoch, dass dasTrägheitsmoment im Unterschied zur Masse keine unveränderliche Körpereigenschaftdarstellt, denn das Trägheitsmoment hängt von der Wahl der Drehachse ab. So kannein Körper auch bei konstanter Masse je nach Lage der Rotationsachse unterschiedlicheTrägheitsmomente aufweisen.Kehrt man die Drehrichtung des rotierenden starren Körpers um, so ändert sich dasVorzeichen des Trägheitsmoments nicht. Folglich stellt das Trägheitsmoment keine vektorielleGröße dar. Jedoch ist das Trägheitsmoment eines Objekts auch kein Skalar.Dazu überlege man sich, dass der Wert des Trägheitsmoments laut Definition (2.17)variiert, wenn bei festgehaltenem Körper eine andere Wahl für die Drehachse getroffenwird. Daher muss bei der Angabe des Trägheitsmoments ersichtlich sein, auf welcheRotationsachse sich das Trägheitsmoment des Körpers bezieht.Im Allgemeinen ist das Trägheitsmoment eine Tensorgröße (siehe Unterkapitel 2.3),die für Drehachsen, die alle einen gemeinsamen Punkt aufweisen, in Matrizenformdargestellt werden kann.Trägheitsmomente für Körper mit kontinuierlicher MassenverteilungDie in Gleichung (2.17) aufgeführte Formel zur Berechnung des Trägheitsmomentsbezüglich einer gegebenen Achse ist nur bei solchen Körpern anwendbar, die einen Aufbauaus wenigen diskreten Teilchen aufweisen. Für Objekte mit kontinuierlicher Massenverteilungverwendet man für die Zusammensetzung des starren Körpers das Modellder infinitesimalen Massenelemente und ersetzt die Summe aus Gleichung (2.17) durchein Integral. Dies ergibt∫I = r ⊥ 2 dm . (2.18)Hierbei bezeichnet r ⊥ den Abstand des Massenelements dm von der Drehachse.Den Darstellungen (2.17) und (2.18) für das Trägheitsmoment bezüglich einer vorgegebenenAchse ist zu entnehmen, dass das Trägheitsmoment stets eine positive Größeist und in der Einheit kg m 2 gemessen wird.Der Steinersche SatzWie bereits beschrieben, stellt das Trägheitsmoment eines rotierenden Objekts keinereine Körpereigenschaft dar, sondern weist eine Abhängigkeit von der Lage derDrehachse auf. Ist für ein Körper das Trägheitsmoment I S bezüglich einer durch denSchwerpunkt verlaufenden Achse bekannt, so ermöglicht der Steinerscher Satz die11