Aufbau und Gestaltung von Demonstrationsexperimenten zu ...

2 Physikalische GrundlagenAllgemeiner Fall: Rotation um eine beliebige AchseWird die Einschränkung auf die Rotation um eine Symmetrieachse aufgehoben unddie Drehung eines starren Körpers um eine beliebige Achse durch seinen Schwerpunktbetrachtet, so ist aus Gleichung (2.36) ersichtlich, dass jede Drehimpulskomponenteeine Abhängigkeit von allen drei Komponenten der Winkelgeschwindigkeit aufweisenkann und folglich keine Parallelität zwischen dem Drehimpuls ⃗ L und der Winkelgeschwindigkeit⃗ω bestehen muss.Die Vektorgleichung (2.37) entspricht den drei KomponentengleichungenL α = ∑ βI αβ ω β α, β = 1, 2, 3 (2.39)mit∫I αβ =(r 2 δ αβ − x α x β ) dm , (2.40)wie sich durch einfaches Nachrechnen sowie unter Verwendung von ⃗r = (x 1 , x 2 , x 3 ) tund des Kroneckerdeltas δ αβ ergibt.Fasst man die Größen I αβ in einer Matrix zusammen, so kann die obige Komponentenschreibweisedes Drehimpulses in eine vektorielle Form überführt werden:⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞L 1 I 11 I 12 I 13 ω 1⎝L 2⎠ = ⎝I 21 I 22 I 23⎠ ⎝ω 2⎠ (2.41)L 3 I 31 I 32 I 33 ω 3oder in abgekürzter Schreibweise⃗L = Ĩ⃗ω. (2.42)Mathematisch gesehen ist Ĩ ein Tensor 2. Stufe, der sogenannte Trägheitstensor, dereine Darstellung in Matrizenform besitzt. Der Definition der einzelnen Matrixeinträgeist zu entnehmen, dass die Diagonalelemente des Trägheitstensors die Trägheitsmomentedes Körpers für Rotationen um die Koordinatenachsen darstellen, falls derSchwerpunkt im Ursprung positioniert ist.Anhand der Gleichung (2.42) ist festzustellen, dass bei Rotationen um beliebige Achsendas Trägheitsmoment durch eine Tensorgröße ersetzt werden muss.2.3.5. DrehimpulserhaltungIn Analogie zum Erhaltungsgesetz für den linearen Impuls eines starren Körpers beiTranslationsbewegungen gibt es auch einen Erhaltungssatz für den Drehimpuls. Ersetztman im Impulserhaltungssatz, dessen Inhalt ein zeitlich konstanter Impuls beiverschwindender äußerer Kraft ist, die physikalischen Größen Kraft und Impuls durchihre Äquivalente der Rotation, so liefert das Erhaltungsgesetz für den Drehimpuls22