Aufbau und Gestaltung von Demonstrationsexperimenten zu ...

2.3 Die Vektornatur der Rotationeinen zeitlich konstanten Drehimpuls bei verschwindendem äußeren Drehmoment.Um diese aufgrund der Analogie zwischen Translation und Rotation getroffene Aussagefür das Erhaltungsgesetz zu bestätigen, bildet man die zeitliche Ableitung desGesamtdrehimpulses eines starren Körpers, der in dem hier betrachteten Fall einenAufbau aus nur wenigen diskreten Teilchen aufweist soll:(˙⃗ri × ⃗p i + ⃗r i × ˙⃗p)i . (2.43)˙⃗L = ∑ iDas erste Glied ˙⃗r i × ⃗p i verschwindet, da das Vektorprodukt zweier paralleler Vektorenmit Null identisch ist. Für den zweiten Term benutze man, dass bei der auf ein Teilcheninsgesamt wirkenden Kraft zwischen inneren und äußeren Kräften unterschiedenwird. Innere Kräfte stellen jene Kräfte dar, die ein Teilchen aufgrund anderer Massenelementeerfährt. Unter Berücksichtigung dieser Einflüsse wird die zeitliche Änderungdes Teilchenimpulses zu˙⃗p i = ⃗ F (e)i+ ∑ jj≠i⃗F ji (2.44)wobei F ⃗ (e)i die von außen auf das Teilchen i wirkenden Kräfte repräsentiert und F ⃗ jidie von Teilchen j auf das Massenelement i ausgeübte Kraft darstellt. Damit wird diezeitliche Änderung des Drehimpulses des starren Körpers zu˙⃗L = ∑ i⃗r i × ⃗ F (e)i+ ∑ i,jj≠i⃗r i × ⃗ F ji . (2.45)Der erste Term liefert das gesamte äußere Drehmoment ⃗ M (e) . Für die Behandlung deszweiten Ausdruck benutze man, dass die Summe über alle Teilchenpaare i, j Gliederder folgenden Form besitzt⃗r i × ⃗ F ji + ⃗r j × ⃗ F ij . (2.46)Gemäß dem dritten Newtonschen Gesetz ( ”actio = reactio“) sind die Kräfte, die zweiTeilchen aufeinander ausüben, betragsmäßig stets gleichgroß, aber von entgegengesetzterRichtung: ⃗ F ji = − ⃗ F ij . Mithilfe dieser Beziehung lassen sich die Summengliederaus (2.46) umschreiben in⃗r i × ⃗ F ji + ⃗r j × ⃗ F ij = (⃗r i − ⃗r j ) × ⃗ F ji . (2.47)Da die Richtung der Kräfte zwischen zwei Massenteilchen parallel zu ihrer Verbindungslinie⃗r i −⃗r j orientiert ist, verschwinden all diese Vektorprodukte und die zeitlicheAbleitung des Drehimpulses wird zu˙⃗L = ⃗ M (e) . (2.48)23