Der Umgang mit dem Hoare-Kalkül zur Programmverifikation

Michael Gellner
Einführung in die Verifikation
Michael Gellner
Einführung in die Verifikation
{ P } n 0
1 x n = x n n 0
k := n;
1 x k = x n k 0
p := x;
1 p k = x n k 0
R 1
R 1
3.6.4 Verifikation von Anweisungen zum Vertauschen
zweier Variablen
Die folgende Prozedur vertauscht die Inhalte zweier Variablen:
procedure swap(var x, y : integer) : integer;
begin
x := x + y;
y := x - y;
x := x - y;
end;
Anweisungen, die zu verifizieren
sind
while k > 0 do
begin
end
R 3a
R 4a
y := 1;
y p k = x n k 0
{ I} y p k = x n k 0
{ IB } y p k = x n k 0 k > 0
Ja
{P B}
y p k = x n
k 0 k > 0
k 2
y(p p) k div 2 = x n k div 2 0
p := p * p;
y p k div 2 = x n k div 2 0
k := k div 2;
{ R } y p k = x n k 0
{ P } y p k = x n k 0
{ B } k 2
R 1
R 1
R 1
{ R } y p k = x n k 0
{ I} y p k = x n k 0
{ IB } y p k = x n k 0 (k > 0)
{ Q } y = x n
Nein
{P B}
y p k = x n
k 0 k>0
k 2)
y p p k - 1 = x n k - 1 0
y := y * p;
y p k - 1 = x n k - 1 0
k := k - 1;
{ R } y p k = x n k 0
R 1
R 1
Als Erstes werden die Vor- und Nachbedingungen der gesammten Spezifikation
eingetragen. Das Problem besteht hierbei in der Findung einer formalen Beschreibung.
Dies kann durch die Einführung zweier Zustände A und B gelöst
werden.
Also: Anfangs befindet sich die Variable x in einem Zustand A und die Variable
y in einem Zustand B, nachdem die Anweisungen abgearbeitet sind, soll sich
die Variable y in genau dem Zustand A befinden, den x am Anfang hatte und x
in dem Zustand B, den y zu Beginn hatte.
Dieses Beispiel veranschaulicht insbesondere insbesondere den Umgang
mit Zuweisungen, da diese Verifikation ausschließlich durch dreifache Anwendung
dieses Axioms durchgeführt werden kann.
Erste Anwendung von R 1 :
{ P } x = A y = B
...
x := x + y;
...
y := x - y;
y = A x - y = B
x := x - y;
{ P } x = A y = B
x := x + y;
y := x - y;
x := x - y;
{ Q } y = A x = B
R 1
Zweite Anwendung:
{ P } x = A y = B
...
x := x + y;
x - y = A x – (x – y) = B
y := x - y;
y = A x - y = B
x := x - y;
R 1
{ Q } y = A x = B
{ Q } y = A x = B
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