Der Umgang mit dem Hoare-KalkÃ¼l zur Programmverifikation

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Michael Gellner Einführung in die Verifikation Michael Gellner Einführung in die Verifikation 3. Mit der äußersten umfassenden Anweisung von unten beginnen. Dies ist hier die äußere While-Schleife, daher wird hier nach Regel R 4a vorgegangen: Hierzu muß wieder eine Invariante gefunden werden. Hier folgt die Invariante aus einer Überlegung: ein Teiler kann nicht 0 sein, da die Division durch 0 nicht definiert ist (liegen etwa zwei Primzahlen vor, ist der größte gemeinsame Teiler 1). Des Weiteren entspricht der gesuchte Teiler ggT(x, y) immer ggT(a,b). Hieraus wird die Invariante gebildet (die Schleifenbedingung B und deren Verneinung B): IB: a > 0 b > 0 ggT(x, y) = ggT(a ,b) a b while b > a do begin { I } a > 0 b > 0 ggT(x, y) = ggT(a, b)) { IB } a>0 b>0 ggT(x, y) = ggT(a, b)) b > a a > 0 b – a > 0 ggT(x, y) = ggT(a, b – a )) R 1 r := b := b - a; x; 2 end { I } a > 0 b > 0 ggT(x, y) = ggT(a, b)) R 4a 1 IB: a > 0 b > 0 ggT(x, y) = ggT(a ,b) a b) { IB } a > 0 b > 0 ggT(x, y) = ggT(a, b) ) (b > a) while a b do begin { I} a > 0 b> 0 ggT(x, y) = ggT(a, b) { IB } a>0b>0 ggT(x,y)=ggT(a,b)a b r while a > b do := x; begin end; a := a - b; end while b > a do begin end; b := b - a; { I} a > 0 b> 0 ggT(x, y) = ggT(a, b) { IB } a > 0 b> 0 ggT(x, y) = ggT(a, b)(a b) R 4a Iterationsregel: { I }, { I B }, { I B } müssen gefunden werden Die letzte innere While-Schleife (mit derselben Invariante): while a > b do begin { I } a > 0 b > 0 ggT(x, y) = ggT(a, b)) { IB } a>0 b>0 ggT(x, y) = ggT(a, b))a > b a – b > 0 b > 0 ggT(x, y) = ggT(a – b, b)) 2 r := x; a := a - b; R 1 end { I } a > 0 b > 0 ggT(x, y) = ggT(a, b)) { IB } a > 0 b > 0 ggT(x, y) = ggT(a, b) )(a > b) R 4a 4. Von unten nach oben werden nun die weiteren Anweisungen mit Hoare- Klauseln versehen. Die Überlegungen, die auch schon bei der ersten While- Schleife getroffen wurden, erweisen sich auch bei der zweiten Schleife als gültig. Im folgenden sind sowohl die Schleifen als auch die enthaltenen Zuweisungen verifiziert. Die oberen Zuweisungen: x > 0 y > 0 ggT(x, y) = ggT(x, y)) a := x; a > 0 y > 0 ggT(x, y) = ggT(a, y)) R 1 1 b := y; R 1 a > 0 b > 0 ggT(x, y) = ggT(a, b)) 47 48
Michael Gellner Einführung in die Verifikation Michael Gellner Einführung in die Verifikation 3.6.8 Verifikation von Code zur Berechnung der Fakultät einer Zahl Dieser Code multipliziert eine aufsteigende Folge natürlicher Zahlen von 2 bis N und speichert das jeweilige Ergebnis in der Variablen z. Nach Terminierung des Codefragments, bleibt die Fakultät von N in z erhalten. function fac (N : integer) : integer; var i, z : integer; begin z := 1; i := 1; while (i N) do begin z := z * (i + 1); i := i + 1; end; fac := z; end; Anweisungen, die zu verifizieren sind gilt. Ferner ist vorauszusetzen, daß N größer als 0 ist, da die Schleifenbedingung sonst nie wahr werden kann und i bis zu einem Überlauf oder einer Exception zählt. Mit diesen beiden Regeln kann eine Invariante ausgedrückt werden, mit der Schleifenbedingung (ablesen bzw. ablesen und negieren) ergibt sich: IB: z = i! i N IB: z = i! i N) Eingesetzt in die Iterationsregel: while i N) do begin { I } z = i! { I B } z = i! i N r := x; z := z * (i + 1); i := i + 1; 1. Festlegen der Vor- und Nachbedingungen z := 1; { P } N > 0 end { I } z = i! { IB } z = i! i N) R 4a i := 1; Spezifikation der Anweisungen innerhalb der Schleife: while (i N) do begin z := z * (i + 1); r := x; end i := i + 1; { Q } i > 0 z = N! while i N) do begin { I } z = i! { I B } z = i! i N r := x; z (i + 1) = (i + 1)! i + 1 N 2. While-Schleife, Bestimmung einer Invariante Variablen z i Schleifen-Eintritt 1 1 Erster Durchlauf 2 2 Zweiter Durchlauf 6 3 Dritter Durchlauf 24 4 Vierter Durchlauf 120 5 Hieraus ist zu ersehen, daß zwischen z und i daß Verhältnis z = i! bzw. z i Iterationsregel: { I} { IB } { IB } müssen gefunden werden z := z * (i + 1); z = (i + 1)! i + 1 N i := i + 1; Damit zeigt sich zunächst die Kollision der Ausdrücke end z = (i + 1)! { I } und z = z (i i! + 1) = (i + 1)! { IB } z = i! i N) Dies läßt sich jedoch auflösen: z (i + 1) = (i + 1)! = (i + 1) i! / (i + 1) z = i! Damit bleiben die initialen Anweisungen vor der While-Schleife: R 1 R 1 49 50
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