Simulation von Wasser - stinfwww

Simulation von Wasser
Tom Liebmann
25. Juni 2013
Seminar Bild- und Signalverarbeitung 2013
Wissenschaftliche Visualisierung

Simulation von Wasser
Tom Liebmann
Abstract
Die Simulation und Darstellung von Wasser ist seit
den Anfängen eines der größten und wichtigsten
Probleme der Computergrafik und -simulation. Immer
realistischer werdende Computerspiele, komplexe
Animationsfilme und detaillierte physikalische
Simulationen für u.a. Klimaforschung lassen
auf diesem Gebiet bis heute immer neue Techniken
und Algorithmen entstehen, die die Komplexität
von Wasser möglichst gut durch zeitlich vertretbare
Berechnungen approximieren.
Da dies ein für den Umfang dieser Ausarbeitung
natürlich viel zu großes Gebiet ist, werden sich die
folgenden Kapitel größtenteils auf Verfahren zur Simulation
von Ozeanen spezialisieren. Hierbei werden
zunächst einige Verfahren zur Berechnung von
Wellen und anschließend weiterführende Methoden
der Darstellung zumindest im Ansatz behandelt.
1 Einleitung
Wasser lässt sich aufgrund seiner Komplexität nur
sehr schwer simulieren. Gleichzeitig ist es allerdings
auch eines der am häufigsten und in den verschiedensten
Zusammenhängen vorkommenden Elemente
dieser Erde. Möchte man beispielsweise ein modernes
Computerspiel entwickeln, welches einen gewissen
Grad an Realität vermitteln soll, so kommt
man nicht an der Frage vorbei, wie man bestmöglich
und am qualitativ hochwertigsten das Verhalten
und die Darstellung von Wasser simuliert.
Heutige Animationsfilme greifen auf langjährige
Forschung im Bereich der Wassersimulation zurück,
welche eine für den normalen Betrachter ästhetische
Approximation erzeugt. Renderfarmen werden
hier dazu eingesetzt, komplexe Algorithmen durch
teilweise reine Berechnungskraft dazu einzusetzen,
Wasser in größtmöglichem Detail zu simulieren.
Aber auch viele wissenschaftliche Ansätze setzen
fundierte und ausführliche Kenntnisse über das
Verhalten von Wasser voraus. So sind im Bereich
der Klimaforschung, der Seefahrt, des Katastrophenschutzes
und noch vielen weiteren detaillierte
Simulationen von Wasser nötig, um möglichst genaue
Vorhersagen treffen zu können.
Ein großes Teilgebiet ist die Simulation von
Ozeanen. Da etwa 70% der Erdoberfläche mit Meeren
und Ozeanen bedeckt ist, spielt die Simulation
tiefer Gewässer eine entscheidende Rolle für
den Menschen. Filme wie ”
Titanic“ greifen hierbei
auf Computergrafik zurück, um komplexe Wetterbedingungen
in realistische Bilder zu überführen.
Aus diesem Grund werden in den folgenden Kapiteln
einige Techniken im Bereich der Simulation
von Ozeanwasser erläutert. Nach einigen Methoden
zur Berechnung von Wellen, werden auch Techniken
zur Darstellung und Verbesserung der Laufzeit
angeschnitten, um einen möglichst breiten Einblick
zu geben.
2 Simulation von Ozeanwellen
Speziell bei der Darstellung von Ozeanen sind die
an der Wasseroberfläche befindlichen Wellen einer
der Hauptbestandteile der Simulation. Verschiedene
Wetterverhältnisse und Umgebungsbeschaffenheiten
sorgen hier für eine Vielzahl von Wellentypen,
welche durch ebenso viele verschiedene Techniken
approximiert werden können.
Im folgenden werden einige grundlegende Methoden
der Wellenberechnung erläutert, welche teilweise
die Basis für auch heute noch eingesetzte Verfahren
bilden.
2.1 Basis
Um die Berechnung von Wellen am Computer genauer
betrachten zu können, muss zunächst bestimmt
werden, auf welcher Grundlage das ganze
geschieht. Neben verschiedenen Ansätzen in der
Wassersimulation, wie Partikel-basierten Ansätzen,
gleichmäßige Oberflächen durch Splines, Blobs und
unzähligen weiteren werden die folgenden Betrachtungen
größtenteils auf dem Prinzip der Height-
Map basieren.
Bei einer Height-Map nutzt man ein zugrunde liegendes,
meist regelmäßiges Gitter, dessen Punkte in
1

Abhängigkeit von ihrer Lage und dem verwendeten
Wellenalgorithmus in ihrer Höhe angepasst werden.
Dies ermöglicht eine einfache, skalierbare Berechnung,
welche außerdem Spielraum für verschiedene
Darstellungstechniken lässt. Zu beachten ist außerdem,
dass alle Betrachtungen auf 2-dimensionalen
Gittern arbeiten, an deren Punkten jeweils ein Höhenwert
liegt, wodurch die gesamte Wasseroberfläche
im 3-dimensionalen Raum angesiedelt ist.
2.2 Wellenprofil-Modell
Wenn man einen Ansatz zum Erzeugen von Wellen
finden muss, so ist der einfachste Weg wohl der,
eine Cosinusschwingung zu nutzen. Somit ließe sich
eine einfache Welle durch die Formel
( )
2π
h s (x, t) = A · cos
L (d(x, x 0) − C · t)
ausdrücken. h s (x, t) : R 2 × R → R ist hierbei die
Höhe für einen Punkt an Position x ∈ R 2 zur Zeit
t ∈ R. A ist die Amplitude, also die maximale Höhe
der Welle. L beschreibt die Wellenlänge und C
die Wellengeschwindigkeit, wobei der Ursprung der
Welle hier im Punkt x 0 ∈ R 2 liegt. Um sowohl
kreisförmige, als auch parallel verlaufende Wellen
darstellen zu können, kann man hier eine flexible
Distanzfunktion d : R 2 × R 2 → R nutzen.
Da eine reine Cosinusschwingung nicht den nötigen
Grad an Realismus bietet, kann man verschiedene
Überlegungen anstellen, um echtem Wasser
näher zu kommen. Einfache Techniken basieren zunächst
darauf, diese eine Cosinusschwingung so abzuändern,
dass der gleichmäßige Verlauf und die
Ähnlichkeit von Wellenbergen und -tälern verloren
gehen.
Wie Darwyn R. Peachey [Pea86] beispielsweise
erläutert, zeigen viele Beobachtungen, dass durch
den Einfluss von Wind und in flacheren Gebieten
auch durch den Untergrund die Wellenberge auf
ihrer Vorderseite eine andere Beschaffenheit haben
als auf der Rückseite. Durch den Druck des Windes
erfahren höhere Wellen an der Vorderseite einen
größeren Widerstand, was dazu führt, dass sie dort
ein größeres Gefälle bekommen.
Um diesen Effekt möglichst einfach zu erzielen,
nutzt Peachey eine lineare Interpolation zwischen
der normalen Cosinuswelle und einer spitzeren,
quadratischen Funktion, welche durch das
Wiederholen der Funktionswerte im Intervall [0, 1]
ebenfalls periodisch gemacht wird:
h q (x, t) = A · 8
( )
·
1
∣ fraction L · (d(x, x 0) − C · t) − 1 2∣
2
− 1.
L, A, C, t und x sind wie in der vorherigen Gleichung
zu interpretieren.
Die Funktion fraction : R → [0, 1] liefert für einen
reellen Parameter dessen gebrochenen Anteil. Es
gilt hierbei: fraction(x) = |x| − ⌊|x|⌋.
h s und h q sind nun beides periodische Funktionen,
zwischen welchen nun je nach Umgebungsbedingung
interpoliert werden kann. Um hier den Anstieg
und den Abfall der Welle zu unterscheiden,
wird die gesamte Berechnung nun folgendermaßen
strukturiert:
h(x, t) = A · w(fraction(Φ(x, t)))
Durch die Einführung von den beiden Funktionen
w und Φ hat man nun eine bessere Übersicht und
Struktur. w : [0, 1] → [−1, 1] bezeichnet Peachey
hier als Profile-function. Sie basiert auf den eben
getätigten Überlegungen der linearen Interpolation
der Cosinuswelle und der quadratischen Funktion
im Intervall [0, 1] und liefert somit abhängig
von den Umgebungsbedingungen eine entsprechende
Wellenform. Durch die einfache Einschränkung
auf den Bereich [0, 1], welcher durch das Anwenden
der fraction-Funktion im Argument periodisch
fortgesetzt wird, kann man leicht die gewünschten
Eigenschaften der Wellenvorder- bzw. -rückseiten
bestimmen.
Die Funktion Φ : R 2 × R → R verkörpert nun Eigenschaften
wie Phase, Wellenlänge und den zeitlichen
Verlauf der Welle. Durch die Separierung der
einzelnen Eigenschaften kann man diese nun gezielt
den Bedingungen anpassen. So nutzt Peachey die
Flexibilität der Φ-Funktion dazu, die Wellenphase
und Geschwindigkeit von der Tiefe des Wassers
abhängig zu machen. Lässt man die Welle beispielsweise
mit geringerer Wassertiefe langsamer werden,
so passt sich die Wellenform in Küstenregionen dem
Landverlauf an. Diesen Effekt kann man auch an
echten Küsten so beobachten und steigert somit den
Realitätsgrad enorm.
Da eine einzige Welle sehr glatt und berechenbar
erscheint, nutzt man mehrere Wellen verschiedener
Amplituden, Geschwindigkeiten und Wellenlängen,
2

um durch Summation eine zufälligere und natürlichere
Erscheinung zu erhalten:
h(x, t) =
n∑
A i · w i (fraction(Φ i (x, t))).
i=0
2.3 Gerstner-Waves
Die sogenannten Gerstner-Waves nutzen, wie sehr
viele Wellenalgorithmen, ebenfalls den Ansatz von
Cosinunsschwingungen, deren Glattheit durch weitere
Berechnungen reduziert wird.
Während bei Peacheys Ansatz ein Wellenprofil
genutzt wurde, welches eine quadratische Parabelfunktion
zum Erzeugen von starken Anstiegen enthielt,
nutzt Gerstner neben der vertikalen Verschiebung
der Gitterpunkte auch eine Anpassung der eigentlichen
Position. Eine mögliche Berechnung lautet:
⎛
⎞
d x · Q · sin (k · 〈d, x〉 + w · t)
f(x, t) = ⎝d y · Q · sin (k · 〈d, x〉 + w · t) ⎠ .
A · cos (k · 〈d, x〉 + w · t)
f : R 2 × R → R 3 ist hierbei die neue Position eines
Punktes an den Gitterkoordinaten x ∈ R 2 im 3-
dimensionalen Raum.
Durch eine Vielzahl von Parametern kann man
nun die genauen Eigenschaften der Wellen bestimmen.
d ∈ R 2 ist beispielsweise ein normalisierter
Vektor, welcher die Wellenrichtung angibt. Für
den skalaren Wert k ∈ R gilt der Zusammenhang
k = 2π L
, wobei L ∈ R hier die Wellenlänge, also
der Abstand zwischen 2 Wellenbergen ist. t ∈ R ist
wie zuvor die Zeit, A ∈ R die Amplitude und die
verbleibenden beiden Parameter w ∈ R und Q ∈ R
werde ich nun etwas genauer betrachten.
Über den Parameter Q lässt sich regeln, wofür
die Verschiebung der Ursprungsposition eigentlich
gedacht war, nämlich die Steigung der Wellen. Für
Q = 0 ergibt sich als Wellenform eine normale Cosinunsschwingung,
da die Punkte auf der x − y-
Ebene, also dem Gitter, nicht verschoben werden.
Für Q = 1 hingegen ergeben sich äußerst spitze
Wellenberge und eher flachere, stetigere Wellentäler,
was eher den Eindruck rauerer Wettereinflüsse
vermittelt. Bei Werten über 1 ergibt sich auch schon
einer der größten Nachteile dieser Technik, nämlich
das Überschlagen“ von Wellen. Hierbei bildet sich
”
an der Wellenspitze eine Art Schlaufe, bei der die
Unterseite der Welle nach oben tritt, ein Effekt, den
man bestmöglich vermeiden sollte.
Der verbleibende Parameter w wurde aus den
Gleichungen von Tessendorf [Tes01] entnommen
und repräsentiert in gewisser Weise die Wellengeschwindigkeit.
Ähnlich der zuvor getätigten Wellenbetrachtung
kann man auch hier Abhängigkeiten
vom Untergrund ergänzen. In sehr tiefem Wasser
bringt beispielsweise der Zusammenhang
w 2 = 9,81 · k
gute Ergebnisse. Wird das Wasser jedoch im Verhältnis
zur Wellenlänge deutlich flacher, so können
Ansätze wie
w 2 = 9,81 · k · tanh(k · D)
bessere Ergebnisse liefern, wobei D ∈ R hier die
Tiefe des Untergrundes ist. Oberflächenspannung,
Windgeschwindigkeit und Untergrund spielen hier
stark zusammen und bieten viele Möglichkeiten der
Bestimmung von w.
Um auch hier von der einfachen Betrachtung einer
einzelnen Welle abzukommen, kann man mehrere
Wellen unterschiedlicher Eigenschaften summieren:
f(x, t) =
⎛
⎞
n∑ d i,x · Q i · sin (k i · 〈d i , x〉 + w i · t)
⎝d i,y · Q i · sin (k i · 〈d i , x〉 + w i · t) ⎠
i=0 A i · cos (k i · 〈d i , x〉 + w i · t)
Abbildung 1: Aus 4 Gerstner-Wellen bestehendes
Wellenprofil mit Schlaufenbildung an Wellenbergen.
Quelle: Eigene Implementierung
Wie man in Abbildung 1 sehen kann, treten Probleme
hier vor allem bei den Wellenüberschlägen
auf. Durch die Summation wird dieser negative Effekt
an Überlagerung von Wellenbergen deutlich
verstärkt und bei falscher Parameterwahl können
schnell solche Artefakte entstehen.
Auf der anderen Seite kann man die Bildung von
Schlaufen auch als Indiz für brechende Wellen sehen,
zu denen man dann weitere Überlegungen anstellen
kann.
Ein weiterer Nachteil, welchen man in Ansätzen
in Abbildung 2 erkennen kann, ist die Verschiebung
der Gitterpunkte in der x-y-Ebene. Sie sorgt dafür,
3

(a)
(b)
Abbildung 2: 3-dimensionales Wellenprofil basierend
auf Gerstner-Wellen (a) und das zugrunde liegende
Gittermodell (b). Quelle: Eigene Implementierung
dass beispielsweise der Rand des Gitters verzerrt
und somit schwieriger in eine Umgebung einzubetten
ist. Auf der anderen Seite sorgt die dynamische
Platzierung der Punkte automatisch für eine höhere
Punktdichte an den spitzen Wellenbergen und für
weniger Punkte in den flachen Wellentälern, was
die visuelle Glattheit unterstützt.
Abwandlungen des Algorithmus’ können diese
Probleme jedoch beheben und das Verfahren somit
anwendbar für sämtliche auf dem Höhengitter
basierende Applikationen machen.
2.4 Wellen durch Fourier-Transformation
Gerstner-Waves und auch das auf den Wellenprofilen
basierende Modell bieten zwar schon gute Möglichkeiten,
Ozeanwellen auch bei unterschiedlichen
Untergrund- und Wetterbedingungen zu berechnen,
lassen allerdings wenig Spielraum für statistische
Untersuchungen aus der Realität. Günstig
wäre ein Verfahren, welches mit tatsächlich gemessenen
Werten reale Wellen möglichst gut approximiert.
Eine hierfür gut geeignete Möglichkeit zur Berechnung
bietet eine Abwandlung der Fouriertransformation.
Hierbei wird die Wellenform in verschiedene
Schwingungen unterschiedlicher Frequenzen
zerlegt, für die jeweils ein komplexer Koeffizient
a ∈ C entsteht:
n∑
h(x, t) = a(k m , t) · e ikm·x .
m=0
Hierbei besteht die gesamte Welle aus n Teilwellen,
welche jeweils durch eine komplexe Schwingung
mit Amplitude a ∈ C beschrieben werden, welche
wiederum von der momentanen Zeit t und der
Richtung der einzelnen Wellen k m abhängen. Damit
das Wellenresultat allerdings reell ist, muss für
weitere Betrachtungen die Eigenschaft a(−k m , t) =
a ∗ (k m , t) gelten, um die imaginären Anteile aufzulösen.
Nun wirkt diese Gleichung wenig spektakulär, da
sie pro eingebetteter Welle nur einen Parameter
enthält und somit z.B. auch durch eine vereinfachte
Spezialform der Gerstner-Waves gesehen werden
kann.
Allerdings ist es gerade diese Einfachheit, die genug
Flexibilität bietet, um sehr komplexe, auf empirischen
Untersuchungen basierende Wellen zu erzeugen.
Interessant ist beispielsweise, dass durch die
Überführung der Wellenhöhen in eine Anzahl von
enthaltenen Frequenzen eine Art Dualität zwischen
diesen beiden Betrachtungen herrscht, da mit einer
weiteren, leicht abgewandelten Fouriertransformation
die Frequenzen wiederum aus den Höhen
errechnet werden können, was so bei komplexeren
Modellen nur schwer möglich ist.
So zielen empirische Untersuchungen meist darauf
ab, ein Wellenspektrum P : R 2 → R im Frequenzraum
zu bestimmen, um daraus schließlich im
Computer realistische Wellen zu erzeugen.
Ein laut Tessendorf [Tes01] gutes Frequenzspektrum
ist beispielsweise das sog. Phillips-Spektrum,
welches definiert ist durch
P (k m ) = A ·
exp( −1
(˜kL) 2 )
˜k 4 |k m · w| 2 .
Neben Windrichtung w, einem Parameter für die
Größe der Wellen L, einem für die Wellenlänge
˜k = 2π
L m
und einer numerischen Konstante“ A sorgt
”
der Term |k m·w| 2 außerdem für ein Eliminieren von
Wellen, welche nicht parallel zum Wind verlaufen.
Hier lässt die Wahl des Spektrums auch sehr viel
Spielraum für Experimente und Untersuchungen,
die den Umfang dieser Ausarbeitung überschreiten
würden. Wichtig ist lediglich zu wissen, dass
sich über die Koeffizienten die gesamte Wellenform
detailliert und vergleichsweise intuitiv beschreiben
lässt.
Da das Frequenzspektrum meist in reeller Form
als Norm der komplexen Koeffizienten gegeben ist,
müssen die tatsächlichen Werte erst errechnet werden.
Zu diesem Zweck werden gaußverteilte Zufallszahlen
ξ 1 und ξ 2 bestimmt, die für eine zufällige
Phasenverschiebung sorgen. Die Berechnung ergibt
4

sich dann folgendermaßen:
a 0 (k m ) = 1 √
2
(ξ 1 + iξ 2 ) √ P (k m ).
Statistische Untersuchungen haben die annähernde
Korrektheit der Gaußverteilung laut Tessendorf
validiert. Es lassen sich je nach Anwendungsfall allerdings
auch andere Verteilungen benutzen.
Für den gleichmäßigen zeitlichen Verlauf sorgt
nun die Beziehung
a(k m , t) = a 0 (k m ) exp(iwt) + a ∗ 0(−k m ) exp(−iwt),
wobei w dem schon bei den Gerstner-Wellen genutzten
Parameter zur Regulierung der Wellengeschwindigkeit
entspricht. Die Kombination von
a 0 (k m ) und a ∗ 0(−k m ) sorgt hier dafür, dass sich die
Wellen gleich in beide Richtungen k m und −k m ausbreiten
und reellwertig sind.
Zur effizienten Berechnung der einzelnen Höhenwerte
aus den Frequenz-Koeffizienten bietet sich
beispielsweise die sog. schnelle Fourier Transformation
(FFT) an. Diese setzt jedoch zwei Dinge
voraus. Zum einen muss die Anzahl an Koeffizienten
mit denen der Gitterpunkte übereinstimmen
und zum anderen müssen diese Zweierpotenzen
entsprechen. Da die meisten Frequenzspektren
allerdings vorher festgelegt werden und nur wenige
Werte wirklich verschieden von 0 sind, kann
man hier durch weitere vom Spektrum abhängige
Überlegungen in der Berechnungszeit deutlich unter
O(n log n) der FFT kommen.
2.5 Choppy-Waves
Zwar sind die mit dem Frequenzspektrum erzeugten
Wellen schon sehr realistisch und wissenschaftlich
fundiert und theoretisch lassen sich mit dieser
Methode alle erdenktlichen Wellen erzeugen,
allerdings ist das Erzeugen von spitzen Wellen
mit flachen Wellentälern wie beispielsweise bei den
Gerstner-Waves sehr kostspielig, da scharfe Strukturen
durch Überlagerung von sehr vielen Frequenzen
und daher vielen Berechnungen entstehen. Um
diesen Aufwand zu verringern und die Möglichkeit
zu haben, auch mit der Fourier-Transformation
schnell Wellen bei raueren Wetterbedingungen zu
generieren beschreibt Tessendorf einen Ansatz der
Nachbearbeitung. Der Gedanke ist hier ähnlich dem
Ansatz von Gerstner, dass durch weitere horizontale
Verschiebungen spitze Strukturen erzeugt werden.
Den mathematischen Ansatz liefern hier Creamer
et al. [CHSW89], welche mit der sog. ”
Lie
Transform technique“ eine Möglichkeit vorstellen,
das Anstiegs- und Geschwindigkeitspotenzial von
Ozeanwellen zu verringern und somit die Wellen
zu glätten. Wendet man nun die inverse Methode
auf zu glatte Wellen an, so ergeben sich genau die
gewünschten kantigen Strukturen, welche für mehr
Realismus sorgen. Die Verschiebung lässt ich ausdrücken
durch
D(x, t) =
n∑
m=0
−i k m
˜k a(k m, t)e ikm·x ,
wobei die neue Position dann durch x = λD(x, t)
mit einem Skalierungsfaktor λ ∈ R gegeben ist. Alle
Parameter haben die selbe Bedeutung wie bei den
bisherigen Gleichungen. Das Ergebnis dieser Ver-
(a)
(b)
Abbildung 3: Mit der Fourier-Transformation erzeugte
Wellen vor (a) und nach deren Choppy-
Modifikation (b). Quelle: Tessendorf [Tes01]
schiebung kann man in Abbildung 3 sehen. Auffallend
sind die deutlich spitzeren Wellenberge, welche
stellenweise für deutlich turbulentere Wellen, vereinzelt
aber auch für neue Probleme sorgen, welche
im nächsten Kapitel näher erläutert werden.
2.6 Brechende Wellen
Zwar lassen sich mit der Methode der Choppy Waves
gut spitze Wellen bilden, allerdings ergeben sich
auch ähnliche Probleme wie zuvor bei den Gerstner
Waves. Unter gewissen Bedingungen kann es nämlich
zu den bereits erwähnten Schlaufenbildungen
an den Wellenbergen kommen.
Man kann auch hier wieder das Auftreten dieses
Phänomens als Anzeichen für brechende Wellen
nutzen. Um dies jedoch effizient einsetzen zu
können, benötigt man ein schnelles Verfahren zum
5

zweifelsfreien Erkennen von sich überschlagenden
Wellen.
Glücklicherweise beschreibt Tessendorf für diesen
Zweck ein äußerst einfaches Verfahren. Drückt man
die Verschiebung des Punktes x durch eine Funktion
aus, so ergibt sich:
δ t (x) = x + λD(x, t).
Da für die folgenden Betrachtungen die Zeit als fest
angesehen wird, habe ich sie hier als Index aufgeführt.
Bildet man nun von δ : R 2 → R 2 die Jacobi-
Matrix, so ergibt sich mit x = (x 1 , x 2 ) T :
J t (x) =
=
( ∂δt,1(x)
∂x 1
∂δ t,2(x)
∂x 1
(
1 + λ ∂D1(x,t)
∂x 1
λ ∂D2(x,t)
∂x 1
)
∂δ t,1(x)
∂x 2
∂δ t,2(x)
∂x 2
)
λ ∂D1(x,t)
∂x 2
∂x 2
1 + λ ∂D2(x,t)
Die Determinante det(J t (x)) = J t,11 (x) · J t,22 (x) −
J t,12 (x) · J t,21 (x) hat nun die äußerst praktische
Eigenschaft, an den Stellen, an denen sich durch
zu starke Verschiebungen Schlaufen bilden, negativ
zu sein. Durch den analytischen Ausdruck gestaltet
sich die genaue Berechnung zudem recht unproblematisch.
Abbildung 4: Verhalten des kleinsten Eigenwertes
in Abhängigkeit von brechenden Wellenbergen.
Quelle: Tessendorf [Tes01]
Doch aus dieser Vorgehensweise kann man sogar
noch mehr Informationen ziehen. Berechnet man
.
nun nicht nur die Determinante, sondern die Eigenwerte,
so weist der niedrigste Eigenwert ebenfalls
die Eigenschaft auf, in den kritischen Regionen negativ
zu sein (siehe Abbildung 4). Zudem gibt der
zugehörige Eigenvektor noch Aufschluss über die
Richtung, in der die Überlappung stattfindet, und
ermöglicht somit direkt weitere Verfahren, wie das
richtungsabhängige Erzeugen von Schaumpartikeln
oder das Verdeutlichen des Wellenbruchs durch zusätzliche
Geometrie.
3 Darstellung von Ozeanen
Neben der reinen Berechnung der Wellen basierend
auf der Height-Map oder anderen Geometrien
ist die Darstellung die zweite große Problematik.
Verschiedene Methoden spezialisieren sich jeweils
auf die verschiedenen Anwendungsbereiche. Während
für Forschung und Technik weniger die Darstellung
als die physikalischen Eigenschaften eine
Rolle spielen, sind für Anwendungen im Film oder
in der Comptuerspielbranche realitätsnahe Bilder
erwünscht. Hier muss man allerdings wie bei vielen
Bereichen den Tradeoff zwischen Qualität und
Quantität bzw. Geschwindigkeit beachten. Während
bei computerunterstützen Filmen die Berechnungen
durch aufwändige Algorithmen weit von
Echtzeit entfernt sind und durch hochgradige Parallelisierung
in Renderfarmen Bild für Bild erstellt
wird, muss bei Spielen auf eine angemessene Bildwiederholrate
geachtet werden.
In den folgenden Kapiteln werden einige theoretische
und praktische Ansätze zum Thema Darstellung
von Ozeanwasser erläutert.
3.1 Überwasser
Ist der Betrachter über der Wasseroberfläche, so
spielen verschiedene Phänomene zusammen. Das
Licht an einem Punkt auf der Wasseroberfläche ist
sowohl abhängig von reflektiertem Licht, als auch
von der Zusammensetzung des Wassers. Im Ansatz
des Raytracings spaltet sich ein auf der Wasseroberfläche
eintreffender Strahl somit in einen reflektierten
und einen gebrochenen Strahl auf.
Die Eigenschaften und die nötigen Berechnungen
werden von den beiden folgenden Kapiteln genauer
behandelt.
3.1.1 Reflektion
Die Reflektionskomponente ist aufgrund der guten
und nahezu perfekt speigelnden Eigenschaften von
6

Wasser gut simulierbar. Zur Bestimmung des Reflektionsvektors,
mit dem man im Anschluss weiterführende
Berechnungen für die endgültig zum Bild
beitragende Farbe machen kann, benötigt man lediglich
den Vektor in einfallender Blickrichtung und
die Normale der Wasseroberfläche.
Auch für die Normalenberechnungen gibt es unterschiedliche
Ansätze. Z.B. kann man einfach die
Struktur des erwähnten Gittermodells nutzen und
über numerische Differentiation bzw. die Höhenunterschiede
der benachbarten Punkte den Gradienten
und somit die Normale bestimmen. Zwischen
den Gitterpunkten kann man im Anschluss durch
Interpolation die Technik des Phong-Shadings anwenden,
um eine recht glatte Oberflächenstruktur
zu erhalten. Genauere Verfahren sind natürlich immer
abhängig vom Berechnungsmodell, so bietet
der Wellenansatz der Fourier-Transformation einen
analytischen Zugang zu den Normalen, welcher lediglich
aus weiteren Fourier-Transformationen besteht,
wodurch pixelgenaue Bestimmungen und somit
bestmögliche Genauigkeit erzielt werden können.
Durch randomisierte Verschiebung oder das zusätzliche
Anwenden von Bumpmapping (auch Normalmapping
genannt) können an dieser Stelle auch
feinere Strukturen, wie Kapillarwellen oder bei
niedrigerem Genauigkeitsanspruch auch Auswirkungen
von beispielsweise im Wasser befindlichen
Objekten, simuliert werden, ohne aufwändig die
Wassergeometrie anpassen zu müssen.
Hat man nun die Oberflächennormale, im folgenden
als n(x, t), n : R 2 × R → R 3 bezeichnet, gegeben,
sowie den einfallenden Vektor v i ∈ R 3 , so lässt
sich der reflektierte Vektor v r (x, t) einfach über die
Gleichung
bestimmen.
v r (x, t) = v i − 2n(x, t) · 〈n(x, t) · v i 〉
Bei normalem Raytracing würde die gesamte Berechnung
nun erneut mit v r als einfallendem Vektor
bis zu einer gewissen Rekursionstiefe durchgeführt
werden, was in einer Farbe resultiert, welche zu einem
gewissen Anteil zu der Farbe des ursprünglichen
Fragments beiträgt. Die Größe dieses Anteils
ist deutlich komplexer und Tessendorf verweist
hierbei auf die Theorie der elektromagnetischen Dielektriken,
welche in der Formel
R(v i , v r ) = 1 2
( sin 2 )
(θ b − θ i )
sin 2 (θ b + θ i ) + tan2 (θ b − θ i )
tan 2 (θ b + θ i
resultiert. Hierbei ist R die resultierende Magnitude
der Reflektion und θ i und θ b sind jeweils die Winkel
des einfallenden und des brechenden Vektors relativ
zur Oberflächennormale. Aus dem Fakt, dass Licht
nicht verloren gehen kann, ergibt sich für die Größe
des Brechungsanteils T das Verhältnis: T + R = 1.
Die einzigen Werte, welche nun noch zum Lösen
der Gleichung und zum bestimmen der Gesamtfarbe
nötig sind, sind der Winkel θ b und die daraus
resultiernde Richtung des gebrochenen Vektors
v b ∈ R 3 , welche im nächsten Abschnitt betrachtet
werden.
3.1.2 Brechung
Nachdem die Reflektion sich recht einfach berechnen
ließ, greifen bei der Lichtbrechung deutlich
komplexere Vorgänge. Grundlage hierfür bildet das
1621 von Snell gefundene Brechungsgesetz, nach
dem für den Übergang von Licht von einem Medium
mit Einfallswinkel θ i in ein anderes Medium
gilt:
c i · sin(θ i ) = c b · sin(θ b ),
wobei c i und c b materialabhängige Konstanten
(c Luft ≈ 1, c Wasser ≈ 4 3 ) und θ b der entsprechende
Austrittswinkel sind. Zusammen mit den Annahmen,
dass v i , n und der Austrittsvektor v b normiert
sind und dass v t sich durch eine Linearkombination
aus v i und n beschreiben lässt, ergibt sich die
Gleichung
v b (x, t) = c (
i ci
v i + 〈v i , n(x, t)〉
c b c b
√
⎞
( ) 2 ci
± 1 − · |v i × n(x, t)| ⎠ · n.
c b
Hierbei wurde außerdem noch die Beziehung
sin(θ b ) = |v b × n| genutzt, welche direkt aus der
Definition des Kreuzproduktes und der Normierung
der Vektoren folgt.
Somit sind jetzt v b und θ b bestimmt, wodurch
sowohl die Brechungskomponente als auch gleichzeitig
die übrigen Terme der Reflektion gelöst sind.
7

Die hier getätigten Annahmen und Betrachtungen
wurden erneut den Ausführungen von Tessendorf
[Tes01] entnommen. Hierbei erscheint das Modell
zwar recht plausibel, jedoch behandelt es bei
weitem nicht alle auf der Wasseroberfläche auftretenden
Phänomene. Licht, welches durch die Wasseroberfläche
tritt, wird je nach Zusammensetzung
des Wassers von den Molekühlen gestreut, wodurch
ein Teil wieder zurück zum Betrachter geleitet wird.
Außerdem reflektiert Licht auch am Untergrund,
was bei wirklich tiefen Gewässern jedoch kaum
einen Einfluss hat. Stärker ist der Effekt von Mehrfachreflektion
an der unebenen Wasseroberfläche
gemischt mit gewissen Teilen von gestreutem und
daher nahezu diffusem Licht. Auch Polarisationseffekte,
welche unter Umständen an der Grenze zwischen
Wasser und Luft auftreten können, werden
von diesem Modell nicht abgedeckt.
Komplexere Modelle können hier für mehr Realismus
sorgen. Theoretische Ansätze führen hier
zu Berechnungen von Lichtintensitäten, welche sich
aus verschiedenen Komponenten der Umgebung zusammensetzen.
So besteht das an einem Punkt
sichtbare Licht aus Termen für Sonneneinstrahlung,
diffusem Licht vom Himmel und gestreutem Licht
aus dem Wasser. Diese Komponenten sind allerdings
wiederum nicht vollständig und weisen Wechselwirkungen
auf, die solche idealen Ansätze praktisch
nicht anwendbar machen.
Oft werden statistische Ansätze gewählt. So werden
unter dem Begriff BRDF [BNH10] Methoden
zusammengefasst, bei denen zu jedem Punkt für
jeden einfallenden Lichtstrahl eine Intensität und
Verteilung der ausgehenden Strahlen und somit
anisotrope Modelle aufgestellt werden, welche das
Verhalten von Wasseroberflächen noch besser approximieren
sollen.
3.1.3 Echtzeitanwendung
Neben dem Ansatz des Raytracings, welcher mit
den in den letzten Abschnitten hergeleiteten Gleichungen
in einer einfachen Variante implementiert
werden könnte, gibt es natürlich auch Ansätze, die
auf Echtzeitanwendungen abzielen.
In der heutigen Zeit, in der die Prozessorleistung
nur langsam ansteigt und Parallelverarbeitung eines
der wichtigsten Teilgebiete der Informatik geworden
ist, zielen viele Algorithmen auf das optimale
Ausnutzen der GPU ab. Die programmierbare
Grafikpipeline war einer der wichtigsten Meilensteine
der Computergrafik und moderne Echtzeitanwendungen
nutzen demnach auch für Wasserdarstellung
Grafikshader. Dass ein normales Shading
von glatten Oberflächen bei Wasser optisch nicht
ansprechend ist, konnte man schon in Abbildung 3
erkennen. Doch die Betrachtungen aus dem letzten
Kapitel lassen sich auch zur Programmierung von
Shadern nutzen.
(a)
(b)
Abbildung 5: Verschiedene Shading-Techniken mit
einfachem Oberflächenshading (a) und dem realistischerem
Wassershading (b). Quelle: Tessendorf
[Tes01]
Ein einfacher Ansatz, den Tessendorf für die Vorstellung
eines Shaders für die 3d-Software RenderMan
nutzt, wäre die einfache Berechnung des
vorgestellten Verhältnisses von reflektiertem Licht
und gebrochenem Licht, wobei diese Farbkomponenten
nun nicht rekursiv durch Raytracing berechnet,
sondern mit konstanten Farbwerten versehen
werden. Dieser Ansatz ist aufgrund seiner Einfachheit
sehr schnell und liefert vergleichsweise gute Ergebnisse,
wie in Abbildung 5 zu sehen ist.
Abbildung 6: Komponenten für die Farbzusammensetzung
einer Ozeanszene. Rechts ist das aus den
anderen Bildern resultierende Endbild. Quelle: Bruneton
et al. [BNH10]
Neben diesem gibt es allerdings auch weitaus
komplexe Ansätze. Für mäßige Wetterbedingungen
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mit flacher Wasseroberfläche oder für weit entfernte
Ozeanoberflächen bietet sich auch in Echtzeit
eine korrekte Berechnung der gespiegelten Umgebung
an. Hierzu kann durch einen zweiten Renderschritt
die zu spiegelnde Umgebung einfach mit
der entsprechenden Perspektive gerendert und anschließend
mit der Wasseroberflächenfarbe kombiniert
werden. Die spekulare Spiegelung der Sonne,
auf verschiedene Tageszeiten abgestimmte farbliche
Effekte und leicht durchschimmernder Untergrund
sind nur ein paar Dinge, welche auch in Echtzeit
in Shadern impementiert werden können. Ein
Beispiel hierfür ist in Abbildung 6 gezeigt, welche
die Zusammensetzung der Ozeanfarbe aus verschiedenen
Komponenten zeigt, wie sie von Bruneton
et al. [BNH10] genutzt wird.
3.2 Unterwasser
Neben den Lichteffekten, welche auf der Wasseroberfläche
auftreten, gibt es auch einige, welche für
den Betrachter erst unterwasser zum Tragen kommen.
Ein paar der wichtigsten Phänomene sind
hierbei Tiefenunschärfe, dynamische Partikel (z.B.
Plankton, Algen, Luftblase, etc.), Godrays und
Kaustiken. Hierbei möchte ich im folgenden auf Godrays
und Kaustiken eingehen.
3.2.1 Kaustiken
Kaustiken treten auf, wenn Licht an der Wasseroberfläche
gebündelt und unterwasser auf eine Oberfläche
trifft. Sie erscheinen als unregelmäßige, komplexe,
schollenartige Lichtmuster, welche je nach
Tiefe der Darstellung variieren. Eine perfekte Simulation
von Kaustiken würde eine Berechnung von
sehr vielen Lichtstrahlen erfordern, welche durch
die Wasseroberfläche gebrochen und gebündelt in
einer gewissen Tiefe mit einer Ebene geschnitten
das entsprechende Muster ergeben.
(a) (b) (c)
Abbildung 7: Verschiedene Muster für Kaustiken in
10m (a), 100m (b) und 200m(c) Wassertiefe. Quelle:
Jensen und Golias [JG03]
Durch die Komplexität der Muster, welche durch
das menschliche Auge in den meisten Fällen sowieso
nicht auf Korrektheit überprüft werden kann, kann
man hier starke Vereinfachungen nutzen, um den
Berechnungsaufwand in Grenzen zu halten. Jensen
und Golias [JG03] nutzen eine Technik, bei der die
Dreiecksgeometrie der Oberfläche nach Snells Brechungsgesetz
nach unten fortgeführt wird und dort
durch entsprechende Lichtberechnungen zu den erwünschten
Mustern führt. Da die Strahlen innerhalb
der Dreiecke linear interpoliert werden können,
ergibt sich ein erheblich geringerer Aufwand.
Ein Problem hierbei ist jedoch, dass die resultierende
Gitterstruktur nicht mehr die gleichen wiederholbaren
(siehe Abschnitt 3.3) Eigenschaften hat
wie das ursprüngliche Gitter. Dies kann jedoch
durch geschickte Überlagerung von angrenzenden
Gitterzellentexturen behoben werden. Ein Beispiel
für die hieraus resultierenden Muster ist in Abbildung
7 für verschiedene Tiefen dargestellt.
3.2.2 Godrays
Godrays, auch Sunbeams genannt, sind Lichtstrahlen,
welche durch Fokussierung an der Wasseroberfläche
in das Wasser eindringen und dort von verschiedenen
Partikeln gestreut werden, woraufhin sie
schließlich den Betrachter erreichen. Zu sehen sind
also vertikal verlaufende Lichtstrahlen, welche je
nach Position unterschiedliche Intensität aufweisen.
(a)
(b)
Abbildung 8: Darstellung von Godrays mit Hilfe
mehrere am Betrachter ausgerichteter Schichten
mit Kaustik-Mustern (a), was Lichstrahl-ähnliche
Bilder (b) ergibt. Quelle: Jensen und Golias [JG03]
Um diese nun darzustellen bedarf es einiger
Tricks. Man könnte beispielsweise Methoden aus
dem Volume-rendering verwenden, um die exakte
Verteilung von Lichtintensitäten entlang eines
Strahls mit Hilfe der zuvor beschriebenen Berechnung
der Kaustiken zu erzielen. Eine deutlich effizientere
Variante ist allerdings, die Strahlen durch
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verschiedene sich überlagernde Texturschichten zu
approximieren. Dabei ist dieses Verfahren ähnlich
einer Technik zum effizienten Darstellen von Fell.
Hierbei wird beim sogenannten Shell-Rendering
das tatsächliche Fell durch mehrere übereinander
gerenderte transparente Punktmuster angenähert,
welche im richtigen Blickwinkel betrachtet den Eindruck
von Haaren vermitteln. Verwendet man nun
für diese Schichten am Betrachter ausgerichtete
Kaustik-Muster, so ergeben sich die in Abbildung 8
gezeigten Resultate. Jensen und Golias [JG03] nutzen
hierbei zum Reduzieren der Artefakte Schichten
in ungleichmäßigen Abständen zum Betrachter.
In der näheren Umgebung werden hierbei mehr
Schichten additiv gerendert als in der Entfernung,
wodurch farbliche Sprünge vermieden werden.
3.3 Skalierbarkeit
Da bei Szenen, in denen große Ozeane vorkommen,
meist auch viel von diesen zu sehen ist, spielt
die Skalierbarkeit eine entscheidende Rolle. Während
das Berechnen und Darstellen von den hier
betrachteten gitterbasierten Wellen in kleinen Gebieten
durchaus praktikabel ist, sind für riesige Flächen
weiterführende Techniken notwendig, um den
Geschwindigkeitsverlust einzugrenzen.
Ein einfacher erster Ansatz wäre, bei der Wahl
der Wellenlängen für die beispielsweise mit Fourier-
Transformation oder mit Gerstners Gleichungen erzeugten
Wellen so zu wählen, dass die Gesamtperiodenlänge
der Gittergröße entspricht. Dadurch ist
es möglich, mehrfach das selbe Gitter zu wiederholen,
wobei nur ein einziges Mal alle Berechnungen
durchgeführt werden müssen. Wichtig ist hierbei,
die Größe angemessen zu wählen, da das menschliche
Auge Wiederholungen sehr schnell und einfach
wahrnimmt.
Auch bei dieser Methode treten jedoch Probleme
auf. Weit entfernte Ozeanbereiche nehmen deutlich
weniger Platz im Bild ein, weshalb hier viel Potenzial
zum Einsparen von Berechnungszyklen ist. Bruneton
et al. [BNH10] nutzen eine sog. Screenspacemethode,
bei der das zugrunde liegende Gitter nicht
in Weltkoordinaten, sondern am Betrachter ausgerichtet
ist. Dadurch schaffen sie es, beliebige Ozeangrößen
bis hin zu Distanzen aus dem Weltall in
Echtzeit darzustellen, was allerdings die Kombination
einiger komplexer Algorithmen und Datenstrukturen
erfordert.
Viele der heutigen Anwendungen in beispielsweise
Computerspielen beziehen ihre Geschwindigkeit
durch massives Einsparen an Geometrie und Verlagern
der Lichtberechnung zum Großteil auf Normalmapping,
was allerdings starke Einschränkungen
in Bezug auf den Detailgrad nach sich zieht.
4 State of the art 2013
Heutige Techniken im Bereich der Wasserdarstellung
sind schon sehr weit entwickelt und das Verhalten
von Wasseroberflächen kann sehr glaubhaft
simuliert werden.
(a)
(c)
(b)
Abbildung 9: State of the art Echtzeit-Ozean-
Simulation präsentiert auf der GTC von NVI-
DIA. Verschiedene Windgeschwindigkeiten zeigen
verschiedene Ozeanerscheinungen. Quelle: GTC-
Keynote 2013
Für die Darstellung von Ozeanen hat Nvidia auf
der GPU Technology Conference 2013 mit ”
Wave
Works“ ihre neuesten Entwicklungen präsentiert.
Hauptaugenmerk liegt hier auf der dynamischen
Generierung von Schaum und Gischt sowie des realistischen
Verhaltens eines im Ozean schwimmenden
Schiffes. All diese Dinge basieren hier auf einem
Modell, welches in Abhängigkeit der Windstärke
sogar sturmartige Bedingungen in Echtzeit
simuliert und mit Hilfe zahlreicher am Schiff befindlicher
Sensorpunkte auch dessen Verhalten plausibel
imitiert. Sehr viele auf den Wind reagierende
Schaumpartikel, fließende Übergänge zwischen verschiedenen
Wetterbedingungen und anspruchsvolles
Echtzeitshading kann man durchaus als ”
State
10

of the art“ 2013 bezeichnen.
Erstaunlicherweise sind jedoch die visuellen Unterschiede
im Vergleich zu den hier vorgestellten
doch recht einfachen Methoden nicht so gravierend,
wie man nach 20 Jahren weiterer Forschung erwartet
hätte, was für die Korrektheit und den Wert der
behandelten Techniken spricht.
5 Zusammenfassung
In dieser Ausarbeitung wurde ein kleiner Einblick
in die Thematik der Simulation von Ozeanwasser
gegeben. Sowohl das Erstellen der Wellengeometrie,
welches durch drei verschiedene Ansätze erörtert
wurde, als auch Methoden der Darstellung am
Computer wurden kurz vorgestellt. Gezeigt wurde,
dass auch mit einfach wirkenden Techniken schon
sehr gute Ergebnisse erzielt werden können, weshalb
bis heute diese Methoden eingesetzt werden.
Meiner Meinung nach ist von den angeschnittenen
Methoden der Wellenerstellung mit Abstand
die der Fourier-Transformation am nützlichsten. Ihre
Flexibilität und Möglichkeit der Evaluation mit
gemessenen Werten aus der Realität gibt einen sehr
wissenschaftlichen Ansatz zur Simulation.
Literatur
[BNH10]
Eric Bruneton, Fabrice Neyret, and Nicolas
Holzschuch. Real-time Realistic
Ocean Lighting using Seamless Transitions
from Geometry to BRDF. Computer
Graphics Forum, 29(2):487–496,
May 2010. EUROGRAPHICS 2010
(full paper) - Session Rendering I.
[CHSW89] Dennis B. Creamer, Frank Henyey, Roy
Schult, and Jon Wright. Improved linear
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J. Fluid Mech., 205:135–161, 1989.
[JG03]
L. S. Jensen and R. Golias. Deep Water
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[Pea86] Darwyn R. Peachey. Modeling waves
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65–74. ACM, 1986.
[Tes01]
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2001.
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