Symbolisches Rechnen Serie 2 - stinfwww

Tobias Elze Matrikelnummer 8051754 1/4Symbolisches RechnenSerie 26 Zahlenfolgea) Erste 8 Werte als Brüche:Lösung mit Mathematica:s[1] = 1;s[n_] := (s[n-1] + 2/s[n-1])/2;For[i = 1,i

Tobias Elze Matrikelnummer 8051754 2/4s[1] = 1;s[n_] := (s[n-1] + 2/s[n-1])/2;For[i = 1,i

Tobias Elze Matrikelnummer 8051754 3/4errechnet. Da Mathematica symbolisch rechnet, also auch diese Differenz wieder als exakten Wertangeben würde, muss eine Funktion angewandt werden, die in den numerischen Bereich ≪umrechnet≫,also rundet. Diese Funktion ist N[x, i], wobei x der numerisch umzuwandelnde Ausdruck ist,und i die Anzahl dessen Ziffern. Abs sorgt zuletzt für den bei solchen Differenzangaben üblichenAbsolutbetrag (obwohl hier eigentlich unnötig).Ausgabe:Abweichung von s(1) vom exakten Wert: 0.4142135623730950488Abweichung von s(2) vom exakten Wert: 0.08578643762690495120Abweichung von s(3) vom exakten Wert: 0.0024531042935716178650Abweichung von s(4) vom exakten Wert: 2.1239014147551198799 · 10 −6Abweichung von s(5) vom exakten Wert: 1.5948618246068546804 · 10 −12Abweichung von s(6) vom exakten Wert: 8.992928321650453101 · 10 −25Abweichung von s(7) vom exakten Wert: 2.8592838433339512253 · 10 −49Abweichung von s(8) vom exakten Wert: 2.8904771932153645533 · 10 −98Abweichung von s(9) vom exakten Wert: 2.9538885168370382051 · 10 −196Abweichung von s(10) vom exakten Wert: 3.0849150376058210531 · 10 −392Abweichung von s(11) vom exakten Wert: 3.364661831299793101 · 10 −784Abweichung von s(12) vom exakten Wert: 4.002559988184799609 · 10 −1568Wie deutlich zu sehen ist, verdoppelt sich nicht nur die Länge des Zählers, sondern auch dieGenauigkeit des Wertes von s(i) zu s(i+1): Die Exponenten der Zehnerpotenzen haben fast genauden doppelten Wert wie im Schritt zuvor.7 perfekte ZahlenBeh.: Eine ungerade perfekte Zahl (so es sie denn überhaupt gibt) muss wenigstens 3 Primteilerhaben. Ist sie nicht durch 3 teilbar, so mindestens 7.Sei n = p a 11 · ... · p amm eine ungerade perfekte Zahl, und seien p i deren Primteiler. In der Erläuterungzu der in der Vorlesung angewandten Funktion σ(n) (vgl. Skript S. 12) findet sich die folgendeBeziehung, die hier ohne Beweis übernommen wird:Wegen σ(n) = 2n = 2p a 11 · ... · p ammalso⎛σ(n) = (1 + p 1 + p 2 1 + ... + p a 11 ) · ... · (1 + p m + ... + p amm ).gilt:(1 + p 1 + p 2 1 + ... + p a 11 )(1 + p 2 + p 2 2 + ... + p a 22 ) · ... · (1 + p m + ... + p amm )p a 11 · ... · p amm2 = 1 + p 1 + p 2 1 + ... + p a 11p a 11( ) a1 −11p 1) a1= ⎝( 1+p 1· 1 + p 2 + p 2 2 + ... + p a 22p a 22⎞( ) ⎛1 ( ) am1+ ... + + 1⎠ · ... · ⎝ 1+p 1 p m= 2,· ... · 1 + p m + p 2 m + ... + p ammp amm( ) am−1 ( ) ⎞ 111+ ... + + 1⎠p m p mSubstituieren wir nun aus Zwecken der Übersichtlichkeit x i := 1 p i, so erhalten wir unter Anwendungder Formel für geometrische Reihen:(1 + x 1 + x 2 1 + ... + x a 11 ) · (1 + x 2 + x 2 2 + ... + x a 22 ) · ... · (1 + x m + x 2 m + ... + x amm )

Tobias Elze Matrikelnummer 8051754 4/4= 1 − xa 1+11· 1 − xa 2+12· ... · 1 − xam+1 m= 2.1 − x 1 1 − x 2 1 − x mWegen x i < 1 für alle i (da alle Primfaktoren größer als 1 sind) folgt nun:11 − x 1·Durch Rücksubstitution erhalten wir somit:11 − x 1·11 − x 2· ... ·1= 11 − x m 1 − 1 ·p 111 − x 2· ... ·11 − 1 p 2· ... ·11 − x m> 2.Nun haben wir nachgewiesen, dass eine Zahl n = p a 11 · ... · p ammPrimteiler p i gilt:m∏ p ip i − 1 > 2.i=111 − 1p m= p 1p 1 − 1 ·p 2p 2 − 1 · ... ·p mp m − 1 > 2.genau dann perfekt ist, wenn für ihreMit dieser Beziehung können wir nun sehr einfach überprüfen, wie viele Primteiler eine ungeradeperfekte Zahl mindestens haben muss. Dazu berechnen wir das obige Produkt unter Hinzunahmejeweils eines weiteren Primfaktors (also der nächstgrößeren Primzahl) solange, bis es größer als 2ist. Dies ist offensichtlich für 2 Primfaktoren noch nicht der Fall:aber für 3:p 1 = 3, p 2 = 5 ⇒m∏i=1p 1 = 3, p 2 = 5, p 3 = 7 ⇒p ip i − 1 = 3 2 · 54 = 158 ≯ 2,m∏i=1p ip i − 1 = 3 2 · 54 · 76 = 3516 > 2.Ebenso können wir nun überprüfen, wie viele Primfaktoren wir brauchen, wenn die Zahl nicht durch3 teilbar sein soll. Versuchen wir es zunächst mit 6:p 1 = 5, p 2 = 7, p 3 = 11, p 4 = 13, p 5 = 17, p 6 = 19 ⇒aber mit 7 geht es:p 1 = 5, p 2 = 7, p 3 = 11, p 4 = 13, p 5 = 17, p 6 = 19, p 7 = 23 ⇒m∏i=1p ip i − 1 = 323323165888m∏i=1p ip i − 1 = 676039331776≈ 1.94904 ≯ 2,≈ 2.03764 > 2.q. e. d.