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Mathematik mit CAS
Extremwertaufgaben
I1: Aufgaben, wie z.B. die Volumenmaximierung einer oben offenen Schachtel
mit quadratischer Grundfläche, nennt man Extremwertaufgaben.
Die Formel, durch die sich die gesuchte extremale Zielgröße (z.B. das Volumen V
2
der Schachtel) berechnen lässt, heißt auch Hauptbedingung ( V = l ⋅ h, l : Länge
und Breite der quadratischen Grundfläche der Schachtel, h : Höhe).
Da die zu maximierende oder minimierende Zielgröße in der Hauptbedingung
meistens von mehreren Variablen abhängt, versucht man eine Beziehung (Nebenbedingung)
zwischen den Variablen herzustellen (bei der Schachtel: l+ 2h= b, b:
Länge der Pappe).
Löst man die gefundene Nebenbedingung nach einer der Variablen auf und setzt
das Ergebnis in die Hauptbedingung ein, so erhält man die zu optimierende Zielgröße
als Funktion in Abhängigkeit von nur einer Variablen (bei der Schachtel
2
z.B.: V = ( b−2 h) ⋅ h= f( h)
).
Von dieser Funktion, die aufgrund der jeweiligen Sachsituation zumeist einen eingeschränkten
Definitionsbereich hat (0≤ h≤ 0,5b), kann man dann mit Mitteln der
Differentialrechnung den Extrempunkt berechnen.
A1: Ein rechteckiges Stück Pappe mit den Seitenlängen 16 cm und 10 cm wird
jeweils an den Ecken parallel zu den Seiten eingeschnitten und anschließend zu
einer oben offenen Schachtel gefaltet, deren Volumen möglichst groß werden soll.
A2: Formuliere jeweils eine Aufgabe und berechne ggf. den gesuchten extremalen
Wert der entsprechenden Zielgröße. Handelt es sich jeweils um ein Minimum oder
Maximum
A3: Auf der nächsten Seite (Blatt 41) befindet sich ein Antwortschreiben der Firma
Coca Cola an einen Mathematiklehrer (vgl. www.mathekiste.de). Um welche
Problemstellung(en) handelt es sich Führe die betreffenden Rechnungen durch
und kommentiere schriftlich.
A4: Ein Volumen von 1 Liter soll verpackt werden. Welche Körperformen sind
möglich Bei welcher wird am wenigsten Material verbraucht
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