Klausur - Willkommen auf dem Materialienserver der Ludwig ...

Mathematik-Klausur Nr. 3 (mit CAS)NAME:_____________________________________________Klasse: BG 11EDDatum: 03.05.2007Punkte erreicht von Punkten NOTENPUNKTE: ∅ = 5,4; σ = 4,51) Gegeben ist die Funktion f durch f( x)= x + . Gib den Definitionsbereich von fxan und untersuche f auf strenge Monotonie. Begründe deine Angaben und begründeauch, warum drei Intervalle angegeben werden müssen.2 22) Gegeben ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades durch f(x) = –x 3 + 2x 2 + 8x.a) Gib die drei Nullstellen von f an.b) Wie lauten die Gleichungen der 3 Tangenten an den Graphen von f in den Punkten,deren x-Wert jeweils in der Mitte von 2 Nullstellen liegt?c) Berechne die jeweilige Nullstelle der jeweiligen Tangente und überprüfe, ob siejeweils mit der 3. Nullstelle von f identisch ist.3) Die Normale im Punkt P(3/2) der Parabel mit der Gleichung y = (x – 2) 2 + 1 bildetmit der x- und y-Achse ein rechtwinkliges Dreieck. Erstelle eine Skizze undschraffiere dieses Dreieck. Wie lautet die Gleichung der Normalen? Beschreibe kurz,mit welchen Schritten man den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen kann. Wie großist er?4) An einem Herbsttag wird die Oberflächentemperatur eines Sees gemessen.Uhrzeit 3 12 18 24Temperatur in °C 16,75 17,56 19 16,12a) Beschreibe den Verlauf der Oberflächentemperatur durch eine ganzrationaleFunktion dritten Grades (Definitionsbereich [0;24]).b) Bestimme den jeweiligen Zeitpunkt, bei dem der See die höchste bzw. niedrigsteTemperatur hatte.c) Wann änderte sich die Oberflächentemperatur am stärksten? Wie groß war diesemaximale Änderung (in °C pro Stunde)?d) Um wie viel °C hat sich der See an diesem Tag abgekühlt?5) Gegeben ist die Funktionenschar f t durch ft( x) = tx − 2x+ . Skizziere jeweilsteinen Graphen für t>0 und t

Mathematik-Klausur Nr. 3 (ohne CAS)NAME:_____________________________________________Klasse: BG 11EDDatum: 08.05.2007Punkte erreicht von Punkten NOTENPUNKTE: ∅ = 7,8; σ = 5,11) Untersuche die Funktion f mit f(x) = 41 x 4 – 34 x 3 + 2x 2 durch entsprechendeRechnungen auf strenge Monotonie.2) Untersuche die Funktion f mit f(x)= x 4 – 24x 2 durch entsprechende Rechnungen aufKrümmungsverhalten.3) Berechne die Koordinaten der Tief- bzw. Hochpunkte des Graphen der Funktion fmit f(x) = – 1 4 x4 + 3 2 x2 – 2.4) Berechne die Gleichung der Normalen im Wendepunkt der Funktion f mitf(x) = –x 3 + 3x – 2. Unter welchem Winkel schneidet diese Wendenormale die y-Achse?5) Berechne die Gleichung der Tangenten an den Graphen von f mit f(x) = x 3 – x imPunkt P(u/f(u)). Für welchen Wert von u schneidet diese Tangente die y-Achse imPunkt (0/16)?6) Berechne die Werte für k∈R so, dass die Schar mit der Gleichung1f k (x) = x 3 – kx 2 + x einen Terrassenpunkt, also einen Wendepunkt mit der Steigung30, hat.7) Gegeben ist die Funktionenschar f t durch f t (x) = x 3 + 6x 2 – 3tx, t∈R. Für welcheWerte von t gibt es zwei bzw. keinen Extrempunkt. Begründe, dass es keinen Wert fürt∈R gibt, so dass der Graph von f t genau einen Extrempunkt besitzt.8) Gegeben ist der Graph derAbleitung f’ einer ganzrationalen Funktion (sieheRückseite). Skizziere den möglichen Verlauf der Graphen von f und von f’’ in denvorgegebenen Koordinatensystemen.-B2-

Rückseite von Nr. 3 (ohne CAS):zu 8)-B3-

Mathematik-Klausur Nr. 4 (ohne CAS)Klasse: BG 11EDDatum: 26.06.2007NAME:_____________________________________________Punkte erreicht von Punkten NOTENPUNKTE: ∅ = 6,4; σ = 4,7Aufgabe 1:Gegeben sind die Funktionen f t durch1ft(x) = − x 4 t+ x3 ; D=R und t∈R.8 2a) Untersuche die Graphen von f t auf Randverhalten, Schnittpunkte mit der x-Achse undExtrempunkte und skizziere jeweils einen Graphen der Schar für t > 0 bzw. t < 0.b) Berechne die Gleichung derjenigen Kurve, auf der alle von O(0/0) verschiedenen Wendepunkteder Schar f t liegen.c) Berechne die Gleichung der schiefen Wendetangenten der Kurven von f a .Aufgabe 2:Für k∈R ist f k (x) gegeben durch f k (x) = -x 3 + kx 2 + (k – 1)x.a) Zeige rechnerisch, dass sich alle Funktionsgraphen in genau zwei Punkten schneiden. Wielauten deren Koordinaten?b) Bestimme k so, dass f k an der Stelle 3 einen Extrempunkt hat.Aufgabe 3:Aus einem rechteckigen Stück Pappe mit den Seitenlängen 40 cm und 25 cm soll man einenKasten ohne Deckel herstellen, indem man an jeder Ecke ein Quadrat ausschneidet und dieentstehenden Seitenflächen nach oben biegt. Der Kasten soll ein möglichst großes Volumenhaben. Wie groß muss man Grundfläche A (in cm 2 ) und die Höhe h (in cm) wählen?Aufgabe 4:Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x - 3) 2 + 2,5 für 0≤ x ≤ 3. Von allen achsenparallelenRechtecken mit dem Ursprung als einem Eckpunkt und dem Punkt P(x/f(x)) als gegenüberliegendem Eckpunkt ist dasjenige mit maximalem Flächeninhalt zu bestimmen.-B4-