Einführung in die Didaktik der Mathematik - idmthemen - PBworks
Einführung in die Didaktik der Mathematik - idmthemen - PBworks
Einführung in die Didaktik der Mathematik - idmthemen - PBworks
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
1<br />
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong><br />
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Markus Hohenwarter, JKU L<strong>in</strong>z
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong><br />
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
2<br />
Inhalte<br />
1. Was ist / soll<br />
<strong>Mathematik</strong>didaktik<br />
2. Warum <strong>Mathematik</strong>unterricht<br />
3. Lernziele im<br />
<strong>Mathematik</strong>unterricht<br />
4. Lehrpläne <strong>in</strong> Österreich<br />
5. Beispiel: Satzgruppe des<br />
Pythagoras<br />
6. Wie funktioniert Lernen<br />
7. Didaktische Pr<strong>in</strong>zipien<br />
8. Begriffe erarbeiten<br />
9. Sachverhalte erarbeiten<br />
10. Algorithmen erarbeiten<br />
11. Anwenden und Modellieren<br />
12. Problemlösen<br />
13. Rahmenbed<strong>in</strong>gungen des MU<br />
14. Unterrichtsplanung<br />
15. Computere<strong>in</strong>satz<br />
am Beispiel DMS<br />
16. Werkzeuge & Materialien
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
3<br />
Organisatorisches<br />
Prüfung<br />
Schriftliche Prüfung über <strong>die</strong> Inhalte <strong>der</strong> Vorlesung<br />
Besten Dank an<br />
Prof. Jürgen Roth (Universität Koblenz-Landau) für se<strong>in</strong>e<br />
Vorlesungsunterlagen „Fachdidaktische Grundlagen“, <strong>die</strong> als<br />
Grundlage für <strong>die</strong>se Folien <strong>die</strong>nten<br />
Prof. Karl Fuchs (Universität Salzburg) und Prof. Wolfgang<br />
Schlöglmann (JKU L<strong>in</strong>z) für ihre Vorlesungsunterlagen<br />
„E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>“<br />
Sigbjorn Hals (Norwegen) für se<strong>in</strong>e Beispiele zum Thema<br />
„Problem Solv<strong>in</strong>g“
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
4<br />
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Was ist / soll <strong>Mathematik</strong>didaktik
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
5<br />
Was ist <strong>Didaktik</strong><br />
<strong>Didaktik</strong><br />
gr. didaktikós „lehrhaft“, gr. didáske<strong>in</strong> „lehren“<br />
„Lehre vom Lehren und Lernen“<br />
Im engeren S<strong>in</strong>n: Theorie des Unterrichts<br />
Im weiteren S<strong>in</strong>n: Theorie und Praxis des Lehrens und Lernens<br />
<strong>Mathematik</strong>-<strong>Didaktik</strong><br />
Fachdidaktik für <strong>Mathematik</strong><br />
Lehre vom Lehren und Lernen mathematischer Inhalte<br />
Für uns: bezogen auf das Unterrichtsfach <strong>Mathematik</strong><br />
<strong>in</strong> <strong>der</strong> Unter- und Oberstufe (5. – 12. Schulstufe)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Erwartungen an <strong>die</strong><br />
<strong>Mathematik</strong>didaktik<br />
6<br />
Unterricht strukturieren<br />
S<strong>in</strong>nvolle Vermittlung von<br />
Inhalten<br />
Zeitmanagement<br />
Welche Inhalte wie lange<br />
Me<strong>die</strong>ne<strong>in</strong>satz<br />
Literaturverarbeitung<br />
Wahl <strong>der</strong> Sozialform<br />
(Gruppenarbeit, …)<br />
Unterrichtsmethoden<br />
Inhaltsspezifische<br />
Schülerschwierigkeiten<br />
Altersgerechte Methoden<br />
Praktische Beispiele<br />
Umgang mit <strong>in</strong>dividueller<br />
Begabung<br />
Interessante<br />
Unterrichtsgestaltung (Mathe<br />
soll nicht langweilig se<strong>in</strong>!)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
7<br />
Was ist <strong>Mathematik</strong>didaktik<br />
Wittmann: Grundfragen des <strong>Mathematik</strong>unterrichts. Vieweg, 1981 6 , S. 2<br />
<strong>Mathematik</strong><br />
Pädagogik<br />
<strong>Mathematik</strong>didaktik<br />
ist <strong>die</strong><br />
Bezugswissenschaft<br />
für <strong>Mathematik</strong>lehrkräfte<br />
Psychologie<br />
Unterrichtspraxis<br />
Schulwirklichkeit
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
8<br />
Bezugswissenschaften<br />
Pädagogik<br />
gr. paideia ”Erziehung”, gr. pais “K<strong>in</strong>d”, gr. age<strong>in</strong> “führen”<br />
Bildungswissenschaft und Erziehungswissenschaft<br />
Theorie und Praxis von Bildung und Erziehung<br />
Psychologie<br />
gr. psyche „Seele“, „Gemüt“<br />
empirische Wissenschaft, beschreibt und erklärt:<br />
Erleben, Empf<strong>in</strong>den und Verhalten des Menschen,<br />
se<strong>in</strong>e Entwicklung im Laufe des Lebens und<br />
dafür maßgebliche <strong>in</strong>nere und äußere Ursachen und Bed<strong>in</strong>gungen.<br />
(Wikipedia: Psychologie)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
9<br />
Deskriptiv & Normativ<br />
<strong>Mathematik</strong>didaktik ist <strong>die</strong> Wissenschaft<br />
von <strong>der</strong> Entwicklung praktikabler Kurse<br />
für das Lernen im Bereich <strong>Mathematik</strong> sowie<br />
<strong>der</strong> praktischen Durchführung und<br />
<strong>der</strong> empirischen Überprüfung <strong>der</strong> Kurse.<br />
<strong>Mathematik</strong>didaktik ist deskriptiv und normativ<br />
Deskriptiv: sie untersucht und beschreibt den<br />
<strong>Mathematik</strong>unterricht<br />
Normativ: sie trifft aber auch Aussagen darüber, wie <strong>der</strong><br />
<strong>Mathematik</strong>unterricht gestaltet werden soll
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
10<br />
Fragen <strong>der</strong> <strong>Didaktik</strong><br />
Führer: Pädagogik des <strong>Mathematik</strong>unterrichts. Vieweg, 1997, S. 14<br />
<strong>Didaktik</strong> ist <strong>der</strong> Versuch, folgende Frage im H<strong>in</strong>blick<br />
auf Lehren, Lernen und Unterricht zu beantworten:<br />
Wer<br />
soll was<br />
mit wem<br />
wie lange,<br />
wie <strong>in</strong>tensiv<br />
und mit welcher Hilfe<br />
zu welchem Zweck<br />
und warum<br />
tun
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
11<br />
Stoffdidaktik – Was<br />
Was ist <strong>der</strong> Stoff, wie lässt er sich behandeln<br />
Elementarmathematik<br />
Beispiel: Welche Beweise gibt es für den Satz des Pythagoras<br />
Analyse von Lernvoraussetzungen<br />
Beispiel: Welche stofflichen Voraussetzungen gibt es für <strong>die</strong><br />
Behandlung des Gleichsetzungsverfahrens für l<strong>in</strong>eare<br />
Gleichungssysteme<br />
Unterrichtsplanung: In welcher Reihenfolge baut man <strong>die</strong> D<strong>in</strong>ge<br />
auf, was ist unerlässlich, was optional<br />
Beispiel: Braucht man <strong>die</strong> b<strong>in</strong>omischen Formeln<br />
Entwicklung von Materialien<br />
Arbeitsblätter, Tests, Schulbücher, Lernsoftware
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
12<br />
Methodik – Wie<br />
Wie kann man e<strong>in</strong> mathematisches Thema unterrichten<br />
Wahl von E<strong>in</strong>stiegen, Sozialformen, Lernformen<br />
Stellung von Arbeitsaufträgen, Erklärungen<br />
Ergebnissicherung, Übungsformen<br />
Computere<strong>in</strong>satz<br />
Formen <strong>der</strong> Diagnose und Leistungsbeurteilung<br />
SE Methodik des <strong>Mathematik</strong>unterrichts<br />
Barzel, Büchter, Leu<strong>der</strong>s (2007):<br />
<strong>Mathematik</strong> Methodik - Handbuch<br />
für <strong>die</strong> Sekundarstufe I und II.<br />
Cornelsen Verlag, Berl<strong>in</strong>
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
13<br />
Lehr- und Lernforschung<br />
Was weiß man aus (empirischen) Untersuchungen zum Lernen<br />
von <strong>Mathematik</strong><br />
Bed<strong>in</strong>gungsfaktoren für hohe Lernfortschritte<br />
Leistungsstu<strong>die</strong>n (PISA, TIMMS,…)<br />
Schülervorstellungen, Lernschwierigkeiten<br />
Motivationslage, Geschlechterdifferenz
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
14<br />
Theorie und Praxis<br />
Wittmann: Grundfragen des <strong>Mathematik</strong>unterrichts. Vieweg, 1981, S. 7<br />
Sag Freund,<br />
was ist denn<br />
Theorie<br />
Wenn‘s stimmen soll<br />
und stimmt doch nie!<br />
Und was<br />
ist Praxis<br />
Frag nicht dumm!<br />
Wenn‘s stimmt und<br />
ke<strong>in</strong>er weiß warum.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
15<br />
<strong>Mathematik</strong>didaktische<br />
Forschung<br />
Schoenfeld: Purposes and Methods of Research <strong>in</strong> Mathematics Education, 2000<br />
Research <strong>in</strong> Mathematics education has two ma<strong>in</strong> purposes,<br />
one pure and one applied.<br />
Pure (Basic Science)<br />
To un<strong>der</strong>stand the nature of mathematical th<strong>in</strong>k<strong>in</strong>g, teach<strong>in</strong>g,<br />
and learn<strong>in</strong>g;<br />
Applied (Eng<strong>in</strong>eer<strong>in</strong>g):<br />
To use such un<strong>der</strong>stand<strong>in</strong>gs to improve mathematics<br />
<strong>in</strong>struction.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
16<br />
<strong>Mathematik</strong> und <strong>Didaktik</strong><br />
<strong>Mathematik</strong><br />
Bertrand Russell has def<strong>in</strong>ed mathematics as the science <strong>in</strong> which<br />
we never know what we are talk<strong>in</strong>g about or whether what we are<br />
say<strong>in</strong>g is true. Mathematics has been shown to apply widely <strong>in</strong><br />
many other scientific fields. Hence, most other scientists do not<br />
know what they are talk<strong>in</strong>g about or whether what they are say<strong>in</strong>g<br />
is true.<br />
Joel Cohen, “On the nature of mathematical proofs”<br />
<strong>Mathematik</strong>-<strong>Didaktik</strong><br />
There are no proofs <strong>in</strong> mathematics education.<br />
Henry Pollak
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
17<br />
What Works<br />
Schoenfeld: Purposes and Methods of Research <strong>in</strong> Mathematics Education, 2000<br />
Vorsicht bei "What Works" Fragen und Antworten<br />
Suppose one wants to address the question “Do students learn as<br />
much mathematics <strong>in</strong> large classes as <strong>in</strong> small classes”<br />
One must immediately ask, “What counts as mathematics How<br />
much weight will be placed (say) on problem solv<strong>in</strong>g, on<br />
model<strong>in</strong>g, or on the ability to communicate mathematically”<br />
Judgments concern<strong>in</strong>g the effectiveness of one form of <strong>in</strong>struction<br />
over another will depend on the answers to these questions.<br />
To put th<strong>in</strong>gs bluntly, a researcher has to know what to look for<br />
and what to take as evidence of it before be<strong>in</strong>g able to determ<strong>in</strong>e<br />
whether it is there.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
18<br />
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Warum <strong>Mathematik</strong>unterricht
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
19<br />
Beitrag zur Allgeme<strong>in</strong>bildung<br />
Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bilden<strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>unterricht. <strong>Mathematik</strong> lehren 33, 1989, S. 4ff<br />
Aufgaben allgeme<strong>in</strong>bilden<strong>der</strong> Schulen<br />
Lebensvorbereitung<br />
Stiftung kultureller Kohärenz<br />
Aufbau e<strong>in</strong>es Weltbildes<br />
Anleitung zum kritischen Vernunftgebrauch<br />
För<strong>der</strong>ung von Phantasie und Kreativität<br />
Entfaltung von Verantwortungsbereitschaft<br />
Stärkung des Schüler-Ichs
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
20<br />
Lebensvorbereitung<br />
Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bilden<strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>unterricht. <strong>Mathematik</strong> lehren 33, 1989, S. 4ff<br />
Arithmetik<br />
sicheres Beherrschen<br />
<strong>der</strong> Grundrechenarten<br />
Umgang mit Größen<br />
(und Größenordnungen)<br />
Beherrschen <strong>der</strong> Dezimalbrüche<br />
Prozentrechnung /<br />
Z<strong>in</strong>srechnung<br />
e<strong>in</strong> wenig Schlussrechnung /<br />
„Gefühl“ für Zahlen<br />
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> den Gebrauch<br />
von Technologie<br />
Geometrie<br />
elem. Formen- und Körperlehre<br />
visuelle Darstellung von Größen<br />
und -verhältnissen (Schaubil<strong>der</strong>,<br />
Diagramme)<br />
Elementare Stochastik<br />
Daten erfassen, darstellen und<br />
<strong>in</strong>terpretieren<br />
Aussagen über Wahrsche<strong>in</strong>lichkeiten<br />
treffen und verstehen<br />
Umgang<br />
des Lehrers mit Schülern<br />
<strong>der</strong> Schüler untere<strong>in</strong>an<strong>der</strong><br />
mit <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
21<br />
Stiftung kultureller Kohärenz<br />
Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bilden<strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>unterricht. <strong>Mathematik</strong> lehren 33, 1989, S. 4ff<br />
Volksschule und Unterstufe (Sekundarstufe I)<br />
Durchschnittliche Eltern müssen verstehen o<strong>der</strong> sich<br />
mit ihren K<strong>in</strong><strong>der</strong>n darüber verständigen können, was<br />
<strong>die</strong>se im Fach <strong>Mathematik</strong> lernen.<br />
Negativbeispiel<br />
Überstürzte E<strong>in</strong>führung <strong>der</strong> “Neuen <strong>Mathematik</strong>“<br />
(Stichwort: Mengenlehre)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
22<br />
Aufbau e<strong>in</strong>es Weltbildes<br />
Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bilden<strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>unterricht. <strong>Mathematik</strong> lehren 33, 1989, S. 4ff<br />
Umwelterschließung<br />
<strong>Mathematik</strong> als Strukturierungsmittel zum<br />
besseren und tieferen Verstehen <strong>der</strong> Umwelt.<br />
Anwendungsorientierung<br />
<strong>Mathematik</strong> als Mittel zum Problemlösen.<br />
Ausgang vom Problem<br />
Prozess <strong>der</strong> Mathematisierung und Modellierung<br />
„Der zentrale Beitrag des <strong>Mathematik</strong>unterrichts zum Aufbau e<strong>in</strong>es<br />
Weltbildes liegt <strong>in</strong> <strong>der</strong> Ermöglichung von Erfahrungen, wie<br />
<strong>Mathematik</strong> als Strukturierungsmittel zur Deutung, zum besseren<br />
Verständnis und zur Beherrschung primär nicht-mathematischer<br />
Phänomene herangezogen werden kann.“
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
23<br />
Anleitung zum kritischen<br />
Vernunftgebrauch<br />
Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bilden<strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>unterricht. <strong>Mathematik</strong> lehren 33, 1989, S. 4ff<br />
„Verstehen lehren“ (Wagensche<strong>in</strong>)<br />
„sokratische Gespräche“<br />
Reflexion<br />
„Sprechen über <strong>Mathematik</strong>“<br />
Was wäre wenn … <br />
Verstehen des<br />
Verstehbaren ist e<strong>in</strong><br />
Menschenrecht.<br />
Propädeutik des mathematischen Modellierens<br />
<strong>Mathematik</strong> ist e<strong>in</strong>e von Menschen gedanklich konstruierte<br />
„Wirklichkeit“, <strong>die</strong> trotzdem ke<strong>in</strong>en willkürlichen Charakter hat,<br />
son<strong>der</strong>n von Notwendigkeiten geprägt ist und „Entdeckungen“<br />
zulässt.<br />
Es gibt e<strong>in</strong>e Übere<strong>in</strong>stimmung zwischen unserem mathematischen<br />
Denken und unseren Alltagserfahrungen.<br />
Nicht alles, was wichtig ist <strong>in</strong> <strong>der</strong> Welt, lässt sich mathematisch<br />
modellieren.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
24<br />
Spielerischer Umgang mit <strong>Mathematik</strong><br />
Konkretes Arbeiten mit Material<br />
„Be-greifen“<br />
Problemlösen<br />
Beschäftigung mit Problemaufgaben<br />
(alle<strong>in</strong>, mit Partner, <strong>in</strong> <strong>der</strong> Gruppe)<br />
Phantasie und<br />
Kreativität för<strong>der</strong>n<br />
Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bilden<strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>unterricht. <strong>Mathematik</strong> lehren 33, 1989, S. 4ff<br />
„Im günstigsten Falle werden Phantasie und Kreativität,<br />
vergleichbar ihrer Rolle <strong>in</strong> künstlerisch-schöpferischen Prozessen,<br />
als schweifend-kontrolliertes Erkunden von Möglichkeiten im<br />
Rahmen selbstgesetzter (strenger) Voraussetzungen ausgeübt.“
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
25<br />
Entfaltung von Verantwortung<br />
Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bilden<strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>unterricht. <strong>Mathematik</strong> lehren 33, 1989, S. 4ff<br />
Verantwortung für an<strong>der</strong>e<br />
gegenseitige Hilfe<br />
Beratung und Lösungskontrolle<br />
bei Partner- und Gruppenarbeit<br />
Übernahme von Funktionen e<strong>in</strong>es Tutors<br />
beim b<strong>in</strong>nendifferenzierten Unterricht<br />
Verantwortung für den eigenen Lernprozess<br />
Muss sich im Laufe e<strong>in</strong>es<br />
Schullebens sukzessive steigern.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
26<br />
Stärkung des Schüler-Ichs<br />
Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bilden<strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>unterricht. <strong>Mathematik</strong> lehren 33, 1989, S. 4ff<br />
Vertrauen <strong>in</strong> <strong>die</strong> Kraft des eigenen Denkens entwickeln<br />
Dies schließt <strong>die</strong> Fähigkeit zur Selbstkritik e<strong>in</strong>!<br />
Wichtig<br />
Erst durch e<strong>in</strong>e Ausbalancierung <strong>der</strong> genannten schulischen<br />
Aufgaben wird Allgeme<strong>in</strong>bildung möglich.<br />
Neben den genannten Aufgaben hat <strong>die</strong> Schule weitere<br />
Funktionen:<br />
Lebensraum, Testfeld für <strong>die</strong> Heranwachsenden<br />
„Aufbewahrende“ Funktion<br />
Funktion <strong>der</strong> „Auslese“
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
27<br />
Grun<strong>der</strong>fahrungen (W<strong>in</strong>ter)<br />
W<strong>in</strong>ter : <strong>Mathematik</strong>unterricht und Allgeme<strong>in</strong>bildung. Mitteilungen <strong>der</strong> DMV, Nr. 2 (1996), S. 35-41<br />
Im Internet: http://blk.mat.uni-bayreuth.de/material/db/46/muundallgeme<strong>in</strong>bildung.pdf<br />
<strong>Mathematik</strong>unterricht sollte drei Grun<strong>der</strong>fahrungen ermöglichen:<br />
Ersche<strong>in</strong>ungen <strong>der</strong> Welt um uns, <strong>die</strong> uns alle angehen o<strong>der</strong><br />
angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er<br />
spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen,<br />
mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert <strong>in</strong><br />
Sprache, Symbolen, Bil<strong>der</strong>n und Formeln, als geistige<br />
Schöpfungen, als e<strong>in</strong>e deduktiv geordnete Welt eigener Art<br />
kennen zu lernen und zu begreifen,<br />
<strong>in</strong> <strong>der</strong> Ause<strong>in</strong>an<strong>der</strong>setzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten,<br />
<strong>die</strong> über <strong>die</strong> <strong>Mathematik</strong> h<strong>in</strong>aus gehen, (heuristische Fähigkeiten)<br />
zu erwerben.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
28<br />
<strong>Mathematik</strong> als …<br />
Vollrath: Grundlagen des <strong>Mathematik</strong>unterrichts <strong>in</strong> <strong>der</strong> Sek. Spektrum, 2001, S. 10ff<br />
allgeme<strong>in</strong>bildendes Fach<br />
Entfaltung <strong>der</strong> Persönlichkeit<br />
Umwelterschließung<br />
Teilhabe an <strong>der</strong> Gesellschaft<br />
Vermittlung von Normen und<br />
Werten<br />
qualifizierendes Fach<br />
Berufsreife<br />
Hochschulreife<br />
authentisches Fach<br />
Was ist <strong>Mathematik</strong><br />
Wie entsteht <strong>Mathematik</strong><br />
Was kann man mit <strong>Mathematik</strong><br />
anfangen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
29<br />
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Lernziele im <strong>Mathematik</strong>unterricht
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
30<br />
Allgeme<strong>in</strong>e Ziele<br />
Bigalke In: Wittmann: Grundfragen des <strong>Mathematik</strong>unterrichts. Vieweg, 1981, S. 2<br />
Allgeme<strong>in</strong>e Ziele des <strong>Mathematik</strong>unterrichts<br />
För<strong>der</strong>ung des wissenschaftlichen Denkens und Arbeitens<br />
För<strong>der</strong>ung des logischen Denkens<br />
För<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Bereitschaft und Fähigkeit zum Argumentieren,<br />
Kritisieren und Urteilen<br />
För<strong>der</strong>ung geistiger Initiative, Phantasie und Kreativität<br />
För<strong>der</strong>ung des Anschauungsvermögens<br />
För<strong>der</strong>ung des sprachlichen Ausdrucksvermögens<br />
För<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Fähigkeit, <strong>Mathematik</strong> anwenden zu können.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
31<br />
Lernzielhierarchie<br />
Lehrpläne<br />
Standards<br />
Lernziele<br />
Unterrichtsfach<br />
<strong>Mathematik</strong><br />
Inhalte des<br />
<strong>Mathematik</strong>unterrichts<br />
Allg. Ziele<br />
Grobziele<br />
Fe<strong>in</strong>ziele<br />
Lehrer<strong>in</strong><br />
Lehrer
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
32<br />
Taxonomie <strong>der</strong> Lernziele<br />
nach Bloom<br />
Zech: Grundkurs <strong>Mathematik</strong>didaktik. Beltz Pädagogik, 1998, S. 66ff<br />
kognitive Lernziele<br />
kognitiv (lat.)<br />
<strong>die</strong> Erkenntnis betreffend<br />
affektive Lernziele<br />
affektiv (lat.)<br />
das Gefühl betreffend<br />
psychomotorische Lernziele<br />
psychomotorisch (lat.)<br />
vom Gehirn gesteuerte<br />
Bewegungen betreffend<br />
Taxonomie [griechisch táxis „(An)ordnung“ und nómos „Gesetz“]
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
33<br />
Kognitive Lernziele Bloom<br />
K<br />
O<br />
M<br />
P<br />
L<br />
E<br />
X<br />
I<br />
T<br />
Ä<br />
T<br />
Zech: Grundkurs <strong>Mathematik</strong>didaktik. Beltz Pädagogik, 1998, S. 66ff<br />
Wissen<br />
Kenntnis von Fakten o<strong>der</strong> Verfahren<br />
Verstehen<br />
Informationen aufnehmen, übertragen,<br />
<strong>in</strong>terpretieren und verallgeme<strong>in</strong>ern<br />
Anwenden<br />
allgeme<strong>in</strong>e Regeln und Verfahren<br />
<strong>in</strong> speziellen Situationen anwenden<br />
Analyse<br />
Informationen so <strong>in</strong> Teile zerlegen, dass<br />
Beziehungen und Strukturen deutlich werden<br />
Synthese<br />
Teile zu e<strong>in</strong>em neuen Ganzen zusammensetzen<br />
Bewertung<br />
Materialien und Methoden beurteilen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Operationalisierung<br />
von Lernzielen (Mager)<br />
34<br />
Kriterien<br />
E<strong>in</strong>deutige Beschreibung des angestrebten Verhaltens<br />
Angabe <strong>der</strong> Voraussetzungen und Bed<strong>in</strong>gungen<br />
unter denen das Verhalten gezeigt werden muss<br />
Angabe e<strong>in</strong>es Beurteilungsmaßstabes<br />
für <strong>die</strong> Güte des Endverhaltens<br />
(Insbeson<strong>der</strong>e Angabe, e<strong>in</strong>es noch akzeptablen Verhaltens.)<br />
Anliegen<br />
Lernerfolg objektiv überprüfbar machen<br />
Lernenden offen legen, was sie nach<br />
dem Unterricht können sollen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Operationalisierung<br />
von Lernzielen (Mager)<br />
35<br />
Vorteile<br />
Wirkt dem Missverständnis<br />
von Lernenden entgegen,<br />
dass Inhalte mehr o<strong>der</strong> weniger<br />
auswendig gelernt werden<br />
sollen.<br />
Schüler lernen effektiver,<br />
wenn sie wissen, was sie<br />
lernen sollen.<br />
Der Lehrer kann besser<br />
zwischen leistungsstärkeren<br />
und leistungsschwächeren<br />
Schülern differenzieren.<br />
Gerade wichtige Lernziele<br />
sollten genau spezifiziert<br />
werden.<br />
Nachteile<br />
Präzisierte (vorgegebene)<br />
Lernziele schränken <strong>die</strong><br />
Lehrfreiheit des Unterrichtenden<br />
erheblich e<strong>in</strong>.<br />
Energisch zielbestimmter<br />
Unterricht nimmt den Lernenden<br />
<strong>die</strong> Mitbestimmungsmöglichkeit.<br />
Das leicht prüfbare ist oft auch<br />
das weniger wichtige Wissen<br />
und Können.<br />
Beobachtbares wird zu stark<br />
betont Gefahr an<strong>der</strong>e nicht<br />
beobachtbare Ziele aus den<br />
Augen zu verlieren.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
36<br />
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Lehrpläne <strong>in</strong> Österreich
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
37<br />
Lehrplanstruktur<br />
Allgeme<strong>in</strong>bildende (AHS) und berufsbildende (BHS) höhere Schulen<br />
AHS: Gymnasium, Realgymnasium, Oberstufenrealgym. (ORG)<br />
BHS: Berufsbildende Oberstufenschulen wie HAK, HTL, etc.<br />
Struktur <strong>der</strong> Lehrpläne<br />
1. Allgeme<strong>in</strong>es Bildungsziel (vgl. „Warum <strong>Mathematik</strong>unterricht“)<br />
2. Allgeme<strong>in</strong>e didaktische Grundsätze<br />
3. Schul- und Unterrichtsplanung<br />
4. Stundentafel<br />
5. Lehrpläne <strong>der</strong> e<strong>in</strong>zelnen Unterrichtsgegenstände<br />
Quellen<br />
Unterrichtsm<strong>in</strong>isterium: www.bmukk.gv.at<br />
Bildung und Schulen, Unterricht und Schule, Lehrpläne<br />
AHS und HS: www.geme<strong>in</strong>samlernen.at
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
38<br />
Teil 1: Allgeme<strong>in</strong>es Bildungsziel<br />
HTL Elektrotechnik<br />
http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
39<br />
Teil 2: Didaktische Grundsätze<br />
http://www.geme<strong>in</strong>samlernen.at/<br />
Der Lehrplan gibt Ziele vor. Im S<strong>in</strong>ne ihrer eigenständigen und<br />
verantwortlichen Unterrichts- und Erziehungsarbeit haben <strong>die</strong><br />
Lehrer<strong>in</strong>nen und Lehrer ...<br />
<strong>die</strong> Auswahl <strong>der</strong> Unterrichts<strong>in</strong>halte und Unterrichtsverfahren zur<br />
Erreichung <strong>die</strong>ser Ziele vorzunehmen,<br />
im Unterricht Lernsituationen zu gestalten und Lernprozesse<br />
e<strong>in</strong>zuleiten und zu unterstützen,<br />
vielfältige Zugänge zum Wissen zu eröffnen und auch selbst<br />
Informationen anzubieten,<br />
Gelegenheiten zu schaffen, Können zu entwickeln und<br />
anzuwenden sowie Erfahrungen und E<strong>in</strong>drücke zu gew<strong>in</strong>nen.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
40<br />
Didaktische Grundsätze<br />
http://www.geme<strong>in</strong>samlernen.at/<br />
Bei <strong>der</strong> Planung und Durchführung des Unterrichts s<strong>in</strong>d<br />
<strong>in</strong>sbeson<strong>der</strong>e folgende Grundsätze zu beachten ...<br />
Anknüpfen an <strong>die</strong> Vorkenntnisse und Vorerfahrungen <strong>der</strong><br />
Schüler<strong>in</strong>nen und Schüler<br />
Interkulturelles Lernen<br />
Integration<br />
För<strong>der</strong>ung durch Differenzierung und Individualisierung<br />
För<strong>der</strong>unterricht<br />
Stärken von Selbsttätigkeit und Eigenverantwortung<br />
Herstellen von Bezügen zur Lebenswelt<br />
Bewusste Koedukation und geschlechtssensible Pädagogik<br />
Sicherung des Unterrichtsertrages und Rückmeldungen;<br />
Leistungsbeurteilung
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Individualisierung<br />
För<strong>der</strong>unterricht<br />
41<br />
För<strong>der</strong>ung durch Differenzierung und Individualisierung<br />
Differenzierte Lernangebote und Zugänge<br />
Individuelle Arbeitszeit<br />
Unterschiedlicher Betreuungsbedarf<br />
Stärken und Schwächen bewusst machen<br />
Sozialformen: E<strong>in</strong>zel-, Partner-, Gruppenarbeit<br />
Offenes Lernen, Wahlmöglichkeiten<br />
För<strong>der</strong>unterricht<br />
Zusätzliches Lernangebot für schwache Schüler<br />
Wie<strong>der</strong>holung und E<strong>in</strong>übung des Stoffes<br />
Ke<strong>in</strong>e Erweiterung, Ergänzung o<strong>der</strong> Vertiefung!
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Selbsttätigkeit<br />
Lebenswelt<br />
42<br />
Stärken von Selbsttätigkeit und Eigenverantwortung<br />
Projektartige und offene Lernformen<br />
Selbstständige Formen des Lernens<br />
Kritisches und eigenverantwortliches Denken<br />
Schüler sollen sich selbst e<strong>in</strong>schätzen lernen<br />
Vermittlung von Lerntechniken<br />
Herstellen von Bezügen zur Lebenswelt<br />
Zeit- und lebensnahe Themen<br />
Begegnungen mit Fachleuten, außerschulische Lernorte
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Sicherung des<br />
Unterrichtsertrages<br />
43<br />
Sicherung des Unterrichtsertrages und Rückmeldungen<br />
Außerschulische „Nachhilfe“ sollte nicht notwendig se<strong>in</strong><br />
Zusammenhang zwischen Neuem und bereits Gelerntem<br />
Hausübungen<br />
Detaillierte Rückmeldung über erreichte Leistung<br />
Leistungsbeurteilung<br />
Gesamtkonzept <strong>der</strong> Rückmeldung und Leistungsfeststellung muss<br />
Schülern und Erziehungsberechtigten bekannt gegeben werden<br />
Mehr zur Leistungsfeststellung im Rahmen <strong>der</strong> Übungsphase des<br />
2. Stu<strong>die</strong>nabschnitts <strong>in</strong> den Lehrveranstaltungen<br />
„PS Unterrichten und Beurteilen“ (Pädagogik) und<br />
„SE Schulpraktisches Sem<strong>in</strong>ar II“ (<strong>Mathematik</strong> <strong>Didaktik</strong>)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Teil 3: Schul- und<br />
Unterrichtsplanung<br />
44<br />
Schul- und Unterrichtsplanung<br />
Unterrichtsplanung <strong>der</strong> Lehrer<strong>in</strong>nen und Lehrer<br />
Kern- und Erweiterungsbereich<br />
Schulautonome Lehrplanbestimmungen<br />
Leistungsfeststellung<br />
Fächerverb<strong>in</strong>den<strong>der</strong> und fächerübergreifen<strong>der</strong> Unterricht<br />
Gestaltung <strong>der</strong> Nahtstellen<br />
Öffnung <strong>der</strong> Schule<br />
Betreuungsplan für ganztägige Schulformen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Fächerübergreifen<strong>der</strong> Unterricht<br />
Nahtstellen<br />
45<br />
Fächerübergreifen<strong>der</strong> Unterricht<br />
Erwünscht aber <strong>in</strong> Praxis oft schwierig<br />
Zeit: zwei Lehrpersonen notwendig<br />
Richtige Kolleg<strong>in</strong> für Zusammenarbeit<br />
Ausnahme: Personalunion<br />
Team Teach<strong>in</strong>g<br />
z.B. bei Kooperation Oberstufenschule - neue Mittelschule<br />
Gestaltung <strong>der</strong> Nahtstellen<br />
Übergang von Volksschule <strong>in</strong>s Gymnasium (Klassenvorstand)<br />
Leistungsfeststellung erst nach E<strong>in</strong>gewöhnungsphase<br />
Übertritt von 4. Klasse Gymnasium <strong>in</strong> BORG, HTL, HAK, usw.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
46<br />
Unterrichtsplanung<br />
Unterrichtsplanung <strong>der</strong> Lehrer<strong>in</strong>nen und Lehrer<br />
Aufgrund des Lehrplans und schulautonomer<br />
Lehrplanbestimmungen<br />
Kernbereich und allgeme<strong>in</strong>es Bildungsziel verb<strong>in</strong>dlich<br />
Erweiterungsbereich auch fächerübergreifend<br />
Unterrichtsplanung umfasst<br />
Lang-, mittel- und kurzfristige Planung<br />
Gewichtung <strong>der</strong> Ziele und Inhalte<br />
Methoden<br />
Lehrmittel und Me<strong>die</strong>n<br />
Mehr dazu im Kapitel „Unterrichtsplanung“
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
47<br />
Kern- und Erweiterungsbereich<br />
Kern- und Erweiterungsbereich<br />
<strong>in</strong> <strong>der</strong> AHS Unterstufe, also 5.-8. Schulstufe<br />
Kernbereich<br />
2/3 <strong>der</strong> Unterrichtszeit für Kernbereich<br />
Inhalte festgelegt im Abschnitt „Lehrstoff“ des AHS Lehrplans<br />
Kernbereich und allgeme<strong>in</strong>es Bildungsziel verb<strong>in</strong>dlich<br />
Erweiterungsbereich<br />
1/3 <strong>der</strong> Unterrichtszeit für Erweiterungsbereich<br />
Schwerpunkte <strong>der</strong> Schule und/o<strong>der</strong> <strong>der</strong> Lehrkraft<br />
Erweiterungsbereich auch fächerübergreifend
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Teil 4: Stundentafel<br />
Gymnasium Unterstufe<br />
48<br />
Gymnasium Unterstufe<br />
Schulautonome<br />
Lehrplanbestimmungen<br />
13-18 Wochenstunden<br />
M<strong>in</strong>. 13 Stunden<br />
4, 3, 3, 3<br />
Ke<strong>in</strong>e Schulautonomie:<br />
14 Stunden<br />
4, 4, 3, 3<br />
Max. 18 Stunden<br />
5, 5, 4, 4
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Stundentafel<br />
Realgymnasium Unterstufe<br />
49<br />
Realgymnasium<br />
Schulautonome<br />
Lehrplanbestimmungen<br />
Gesamtstundenrahmen<br />
14-20 Wochenstunden<br />
M<strong>in</strong>. 14 Stunden<br />
4, 4, 3, 3<br />
Max. 20 Stunden<br />
5, 5, 5, 5<br />
Wirtschaftskundliches<br />
Realgymnasium<br />
13-18 Wochenstunden<br />
wie AHS Unterstufe
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Stundentafel<br />
AHS Oberstufe<br />
50<br />
AHS Oberstufe<br />
M<strong>in</strong>d. 2 Wochenstunden<br />
pro Klasse<br />
Gymnasium Oberstufe<br />
M<strong>in</strong>d. 11 Stunden<br />
Klassisch 12: 3, 3, 3, 3<br />
Gymansium Oberstufe<br />
Realgymnasium Oberstufe<br />
M<strong>in</strong>d. 13 Stunden<br />
Klassisch 14: 4, 4, 3, 3<br />
ORG Oberstufe<br />
M<strong>in</strong>d. 12-13 Stunden
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
51<br />
Stundentafel<br />
HTL Elektrotechnik<br />
http://www.htl.at/de/home/lehrplaene.html
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
52<br />
Stundentafel HAK<br />
Handelsakademie<br />
http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
53<br />
Stundentafel BAKIP<br />
K<strong>in</strong><strong>der</strong>gartenpädagogik<br />
http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
54<br />
Stundentafeln<br />
Unterstufe: 5.-8. Schulstufe<br />
Gesamtstunden <strong>Mathematik</strong><br />
Gymnasium Unterstufe 13 – 18<br />
Realgymnasium Unterstufe 14 – 20<br />
Oberstufe: 9.-13. Schulstufe<br />
Gesamtstunden <strong>Mathematik</strong><br />
Gymnasium Oberstufe M<strong>in</strong>d. 11<br />
Realgymnasium Oberstufe M<strong>in</strong>d. 13<br />
HTL Elektrotechnik 16<br />
HAK 10<br />
BAKIP 8
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
55<br />
AHS Unterstufe<br />
Fachlehrplan <strong>Mathematik</strong><br />
AHS Unterstufenlehrplan <strong>Mathematik</strong> 2000, http://www.bmukk.gv.at/<br />
Struktur<br />
Bildungs- und Lehraufgabe<br />
Didaktische Grundsätze<br />
Lehrstoff<br />
Lehrstoffe<strong>in</strong>teilung für alle Klassen <strong>der</strong> AHS Unterstufe<br />
Arbeiten mit Zahlen und Maßen<br />
Arbeiten mit Variablen<br />
Arbeiten mit Figuren und Körpern<br />
Arbeiten mit Modellen, Statistik
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
56<br />
Mathematische Grundtätigkeiten<br />
AHS Unterstufe<br />
Bildungs- und Lehraufgabe<br />
Produktives Arbeiten: Analysieren, Verallgeme<strong>in</strong>ern, Anwenden<br />
Argumentieren: Def<strong>in</strong>ieren, Beweisen<br />
Kritisches Denken: Überprüfen von Vermutungen<br />
Darstellen und Interpretieren<br />
AHS Unterstufenlehrplan <strong>Mathematik</strong> 2000, http://www.bmukk.gv.at/<br />
Beitrag zu den Aufgabenbereichen <strong>der</strong> Schule<br />
Ersche<strong>in</strong>ungen <strong>der</strong> Welt um uns <strong>in</strong> fachbezogener Art<br />
wahrzunehmen und zu verstehen<br />
Problemlösefähigkeiten zu erwerben, <strong>die</strong> über <strong>die</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
h<strong>in</strong>ausgehen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
57<br />
AHS Unterstufe<br />
Didaktische Grundsätze<br />
Didaktische Grundsätze für <strong>Mathematik</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> AHS Unterstufe<br />
Situationsbezogenes und verständnisvolles Lernen<br />
Unterrichtsformen<br />
Motivation<br />
Unterrichten <strong>in</strong> Phasen, Vernetzung, Querverb<strong>in</strong>dungen<br />
Individualisierung und Differenzierung<br />
Lesen mathematischer Texte, Fachsprache<br />
Aufgabenstellungen<br />
Arbeiten mit dem Taschenrechner und dem Computer<br />
Historische Betrachtungen<br />
AHS Unterstufenlehrplan <strong>Mathematik</strong> 2000, http://www.bmukk.gv.at/
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
58<br />
Spiralpr<strong>in</strong>zip<br />
Spiralpr<strong>in</strong>zip als<br />
Leitpr<strong>in</strong>zip des AHS<br />
Unterstufenlehrplans<br />
Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bildung und <strong>Mathematik</strong>, Beltz, 1996, S. 173-182<br />
Pr<strong>in</strong>zip<br />
des vorwegnehmenden Lernens<br />
<strong>der</strong> Fortsetzbarkeit<br />
Zentrale Ideen des MU<br />
Zahl<br />
Messen<br />
funktionaler<br />
Zusammenhang<br />
räumliches<br />
Strukturieren<br />
Daten und Zufall<br />
Algorithmus<br />
mathematisches<br />
Modellieren
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
59<br />
AHS Unterstufe Lehrstoff<br />
Kernbereich<br />
AHS Unterstufenlehrplan <strong>Mathematik</strong> 2000, http://www.bmukk.gv.at/<br />
Zahlen & Maße Variablen Figuren & Körper Modelle & Statistik<br />
1<br />
• Natürliche Zahlen<br />
• Brüche & Dezimalzahlen<br />
• Umwandeln von Maßen<br />
• E<strong>in</strong>fache l<strong>in</strong>eare Gleichungen<br />
und Formeln<br />
• Rechteck (Fläche, Umfang)<br />
• Qua<strong>der</strong> (Netz, Volumen,<br />
Oberfläche)<br />
• Kreis, W<strong>in</strong>kel zeichnen<br />
• Direkte Proportionalität<br />
(Zeit-Weg)<br />
• Tabellen für Daten<br />
2<br />
• Teilbarkeitsregeln<br />
• Bruchrechnen<br />
• Prozentrechnen<br />
• L<strong>in</strong>eare Gleichung mit e<strong>in</strong>er<br />
Variablen lösen<br />
• Dreiecke, Vierecke und<br />
regelmäßige Vielecke<br />
konstruieren<br />
• Kongruente Figuren<br />
• Strecken- und<br />
W<strong>in</strong>kelsymmetrale<br />
• Indirekte Proportionalität<br />
• Relative Häufigkeiten<br />
• Graphische Darstellungen<br />
3<br />
• Negative Zahlen,<br />
Zahlengerade<br />
• Koord<strong>in</strong>atensystem<br />
• Potenzschreibweise<br />
• L<strong>in</strong>eare Gleichungen mit e<strong>in</strong>er<br />
Variablen<br />
• Graphische Darstellungen<br />
• Ähnliche Figuren<br />
• Fläche von Dreiecken,<br />
Vierecken<br />
• Prisma, Pyramide<br />
(Volumen, Oberfläche)<br />
• Pythagoras <strong>in</strong> Ebene<br />
• L<strong>in</strong>eares Wachstum<br />
• Diagramme<br />
4<br />
• Irrationale Zahlen<br />
• Genauigkeit<br />
• L<strong>in</strong>eare Gleichungssysteme<br />
mit zwei Variablen<br />
• Funktionale Abhängigkeiten<br />
und Intuitiver Funktionsbegriff<br />
• Pythagoras im Raum<br />
• Kreis: Umfang und Fläche<br />
• Kreisbogen<br />
• Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong>, Kegel, Kugel<br />
• Mittelwert, Median, Quartil<br />
• Streudiagramm
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
AHS Oberstufe<br />
Bildungs- und Lehraufgabe<br />
60<br />
AHS Oberstufenlehrplan <strong>Mathematik</strong> 2004, http://www.bmukk.gv.at/<br />
Mathematische Kompetenzen<br />
äußern sich im Ausführen von mathematischen Aktivitäten:<br />
Darstellend – <strong>in</strong>terpretierendes Arbeiten<br />
Übersetzung zwischen Alltagssprache und Sprache <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Innermathematischer Wechsel von Darstellungsformen<br />
Formal – operatives Arbeiten<br />
Algorithmen, Rechenmethoden<br />
Experimentell – heuristisches Arbeiten<br />
Suchen nach Gesetzmäßigkeiten, Variation von Parametern<br />
Aufstellen von <strong>in</strong>duktiv gewonnenen Vermutungen<br />
Kritisch – argumentatives Arbeiten<br />
Argumentieren, Begründen<br />
Beweisen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
AHS Oberstufe<br />
Didaktische Grundsätze<br />
61<br />
AHS Oberstufenlehrplan <strong>Mathematik</strong> 2004, http://www.bmukk.gv.at/<br />
Didaktische Grundsätze für <strong>Mathematik</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> AHS Oberstufe<br />
Lernen <strong>in</strong> anwendungsorientierten Kontexten<br />
Lernen <strong>in</strong> Phasen<br />
Heuristische Phase: anschaulich, <strong>in</strong>tuitiv<br />
Exaktifizierende Phase: vertiefend, verallgeme<strong>in</strong>ernd<br />
Lernen im sozialen Umfeld<br />
Lernen unter vielfältigen Aspekten<br />
Lernen mit <strong>in</strong>struktionaler Unterstützung<br />
Lernen mit medialer Unterstützung<br />
Bücher, Zeitschriften, elektronische Me<strong>die</strong>n, Internet<br />
Lernen mit technologischer Unterstützung<br />
Computeralgebra-Systeme<br />
Dynamische Geometrie-Software<br />
Tabellenkalkulation
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
62<br />
Lehrstoff verb<strong>in</strong>dlich<br />
AHS Oberstufe<br />
Lehrstoff<br />
Kursive Inhalte nur bei 4 (o<strong>der</strong> mehr) Pflichtstunden <strong>Mathematik</strong><br />
Stundentafeln <strong>Mathematik</strong><br />
AHS Oberstufenlehrplan <strong>Mathematik</strong> 2004, http://www.bmukk.gv.at/<br />
Gymnasium: m<strong>in</strong>d. 11 Stunden, klassisch: 3, 3, 3, 3<br />
Realgymnasium: m<strong>in</strong>d. 13 Stunden, klassisch: 4, 4, 3, 3<br />
5. Klasse 6. Klasse 7. Klasse 8. Klasse<br />
• Zahlen und<br />
Rechengesetze<br />
• Gleichungen und<br />
Gleichungssysteme (2)<br />
• Funktionen<br />
• Trigonometrie<br />
• Vektoren und<br />
analytische Geometrie<br />
<strong>der</strong> Ebene<br />
• Potenzen, Wurzeln,<br />
Logarithmen<br />
• Folgen<br />
• Gleichungen,<br />
Ungleichungen,<br />
Gleichungssysteme (3)<br />
• Reelle Funktionen<br />
• Analytische Geometrie des<br />
Raumes<br />
• Stochastik (W-keiten)<br />
• Algebraische<br />
Gleichungen und<br />
komplexe Zahlen<br />
• Differentialrechnung<br />
• Nichtl<strong>in</strong>eare analytische<br />
Geometrie<br />
(Kegelschnitte)<br />
• Stochastik (Verteilungen)<br />
• Integralrechnung<br />
• Dynamische Prozesse<br />
• Stochastik (Hypothesen)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
63<br />
Struktur<br />
Bildungs- und Lehraufgabe<br />
I. und II. Jahrgang für alle HTL gleich<br />
HTL<br />
Angewandte <strong>Mathematik</strong><br />
III. – V. Jahrgang speziell für jeweilige Fachrichtung<br />
http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/<br />
I. Jahrgang II. Jahrgang<br />
Algebra: Terme, Vektoren, l<strong>in</strong>eare<br />
Gleichungen, Ungleichungen<br />
Numerisches Rechnen:<br />
Zahlendarstellung, Abschätzen von<br />
Ergebnissen<br />
Funktionen: Interpolation,<br />
direkte/<strong>in</strong>direkte Proportionalität<br />
Geometrie: Planimetrie, Stereometrie,<br />
Trigonometrie<br />
Algebra und Geometrie: Vektoren, quadratische<br />
Gleichungen, Exponentialgleichungen, Komplexe<br />
Zahlen, Trigonometrie<br />
Funktionen: quadratische Funktionen, Potenz- und<br />
Wurzelfunktionen, Exponential- und logarithmische<br />
Funktionen, trigon. Summensätze<br />
Wirtschaftsmathematik: Z<strong>in</strong>sesz<strong>in</strong>srechnung,<br />
l<strong>in</strong>eare Optimierung<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeitsrechnung und Statistik:<br />
Häufigkeitsverteilung, Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
64<br />
Stundentafel Angewandte <strong>Mathematik</strong><br />
HTL Elektrotechnik: 16 Stunden, klassisch: 4, 4, 3, 3, 2<br />
HTL Elektrotechnik<br />
Lehrstoff<br />
http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/<br />
III. Jahrgang IV. Jahrgang V. Jahrgang<br />
Analysis: Folgen,<br />
Grenzwert, Stetigkeit,<br />
Differentialrechnung,<br />
Integralrechnung,<br />
Funktionen <strong>in</strong> zwei<br />
Variablen<br />
Numerische <strong>Mathematik</strong>:<br />
Fehlerabschätzung,<br />
numerische Methoden zum<br />
Gleichungslösen,<br />
Interpolation<br />
Analysis: Potenzreihen,<br />
Fourierreihen,<br />
Differentialgleichungen<br />
L<strong>in</strong>eare Algebra und<br />
analytische Geometrie:<br />
Matrizen, Determ<strong>in</strong>anten,<br />
Geraden und Ebenen,<br />
Kegelschnitte, Algebraische<br />
Strukturen<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeitsrechnung<br />
und Statistik: Verteilungen,<br />
Statistik, Korrelation,<br />
Regression,<br />
Qualitätsmanagement<br />
Aktuelle Themen <strong>der</strong><br />
angewandten <strong>Mathematik</strong> mit<br />
beson<strong>der</strong>er Berücksichtigung<br />
<strong>der</strong> Fachrichtung
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
65<br />
HAK<br />
<strong>Mathematik</strong><br />
http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/<br />
II. Jahrgang III. Jahrgang IV. Jahrgang V. Jahrgang<br />
Basis<br />
(Pflicht)<br />
Zahlensysteme, Terme,<br />
Potenzen<br />
Funktionen<br />
Gleichungen,<br />
Ungleichungen<br />
Matrizen<br />
Statistik, Trendl<strong>in</strong>ie<br />
Trigonometrie<br />
Wachstumsprozesse<br />
Rekursive Folgen<br />
Differenzengleichungen<br />
Z<strong>in</strong>sesz<strong>in</strong>srechnung,<br />
Rentenrechnung<br />
Differenzialrechnung<br />
Kosten- und<br />
Preistheorie<br />
Integralbegriff<br />
Rentabilitätsrechnung<br />
Investitionsrechnung<br />
Statistik<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeitsr<br />
echnung<br />
Erweiterung<br />
Ungleichungssysteme<br />
Vektoren<br />
Dynamische Systeme<br />
Kryptografie<br />
Co<strong>die</strong>rungstheorie<br />
Integralrechnung<br />
Aktienanalyse<br />
Komb<strong>in</strong>atorik<br />
Wirtschaftliche<br />
Modelle<br />
L<strong>in</strong>eare Optimierung<br />
Firmenkonnex<br />
F<strong>in</strong>anzmathematik<br />
Investitionsrechnung<br />
Expliziter IT Bezug; Stundentafel: 10 Stunden: 0, 3, 2, 3, 2
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
66<br />
BAKIP<br />
<strong>Mathematik</strong><br />
http://www.abc.berufsbildendeschulen.at/<br />
1. Klasse 2. Klasse 3. Klasse 4. Klasse<br />
Mengenlehre:<br />
Zahlenmengen,<br />
Exponenten,<br />
Termumformungen<br />
Gleichungen und<br />
Ungleichungen: l<strong>in</strong>eare<br />
Gleichungen,<br />
Bruchgleichungen,<br />
quadratische<br />
Gleichungen,<br />
Koord<strong>in</strong>atensystem<br />
Figuren <strong>in</strong> <strong>der</strong> Ebene:<br />
Flächenberechnungen,<br />
Pythagoras, Ähnlichkeit<br />
Körper im Raum:<br />
Oberfläche und Volumen<br />
Vektoren<br />
Potenzen: mit Exponenten<br />
aus Q, Rechnen mit<br />
Wurzeln<br />
Funktionen: l<strong>in</strong>eare<br />
Funktionen,<br />
Potenzfunktionen,<br />
Wurzelfunktionen<br />
Systeme von l<strong>in</strong>earen<br />
Gleichungen:<br />
zwei Gleichungen mit zwei<br />
Variablen, drei<br />
Gleichungen mit drei<br />
Variablen<br />
Folgen: monotone und<br />
beschränkte, Konvergenz<br />
und Divergenz<br />
Reihen<br />
W<strong>in</strong>kelfunktionen:<br />
Graphen, Auflösung von<br />
rechtw<strong>in</strong>keligen und<br />
schiefw<strong>in</strong>keligen<br />
Dreiecken<br />
Exponential-und<br />
Logarithmusfunktion:<br />
e<strong>in</strong>fache Exponentialund<br />
logarithmische<br />
Gleichungen<br />
Differentialrechnung:<br />
Differentialquotient,<br />
Differentiationsregeln<br />
Kurvendiskussionen,<br />
Extremwertaufgaben<br />
Integralrechnung<br />
Statistik<br />
Datenpräsentation,<br />
Mittelwerte,<br />
Streuungsmaße,<br />
Normalverteilung,<br />
Korrelation<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeitsrechnung:<br />
Baumdiagramm,<br />
B<strong>in</strong>om<strong>in</strong>alverteilung<br />
Stundentafel: 8 Stunden: 2, 2, 2, 2, 0
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
67<br />
Beispiel: Spiegelbild<br />
Fragestellung<br />
Wie verhält sich <strong>der</strong> Abstand<br />
zwischen den beiden L<strong>in</strong>ien zur<br />
Höhe Ihres Kopfs<br />
Wie verän<strong>der</strong>t sich <strong>die</strong>ser Abstand<br />
mit unterschiedlicher Entfernung<br />
zum Spiegel<br />
Wie groß muss <strong>der</strong> Spiegel se<strong>in</strong>,<br />
damit Sie sich ganz im Spiegel<br />
sehen können<br />
Lehrplanbezug<br />
F<strong>in</strong>den Sie e<strong>in</strong>en geeigneten<br />
Lehrplanbezug für <strong>die</strong>ses Beispiel<br />
Spiegelbild<br />
Punkt im Spiegel<br />
Spiegelbild
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
68<br />
Punkt im Spiegel
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
69<br />
Spiegelbild
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
70<br />
Ziele <strong>der</strong> standardisierten Reifeprüfung<br />
Standardisierte Reifeprüfung<br />
„Zentralmatura“<br />
höchstmögliche Transparenz und Vergleichbarkeit <strong>der</strong><br />
Prüfungsanfor<strong>der</strong>ungen,<br />
Objektivität, Vergleichbarkeit und somit Fairness <strong>der</strong><br />
Beurteilungsverfahren,<br />
<strong>die</strong> nachhaltige Absicherung von Kompetenzen,<br />
zuverlässige Aussagen über tatsächlich erworbenes Wissen und<br />
Können,<br />
erhöhte Stu<strong>die</strong>rfähigkeit,<br />
<strong>die</strong> europaweite Vergleichbarkeit von Abschlüssen,<br />
<strong>die</strong> Vere<strong>in</strong>fachung und Vere<strong>in</strong>heitlichung von Bestimmungen.<br />
https://www.bifie.at/srdp
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Standardisierte Reifeprüfung<br />
<strong>Mathematik</strong> AHS ab 2014/15<br />
71<br />
https://www.bifie.at/node/1442<br />
Grundkompetenzen zu vier Inhaltsbereichen<br />
Algebra und Geometrie<br />
Funktionale Abhängigkeiten<br />
Analysis<br />
Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit und Statistik<br />
Struktur <strong>der</strong> schriftlichen Reifeprüfung AHS <strong>Mathematik</strong><br />
Teil-1-Aufgaben (ca. 20 Aufgaben, 120 m<strong>in</strong>)<br />
Kurze Aufgaben zu Grundkompetenzen<br />
ke<strong>in</strong>e Hilfsmittel erlaubt<br />
Teil-2-Aufgaben (ca. 5 Aufgaben, 150 m<strong>in</strong>)<br />
Umfangreichere kontextbezogene und <strong>in</strong>nermathematische Aufgaben<br />
Formelsammlung & Technologie erlaubt<br />
Ab 2018: M<strong>in</strong>destanfor<strong>der</strong>ungen an Technologie: dynamische<br />
Geometrie (DGS), Tabellenkalkulation (TK), Computeralgebra (CAS)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Standardisierte Reifeprüfung<br />
<strong>Mathematik</strong> BHS ab 2014/15<br />
72<br />
https://www.bifie.at/node/81<br />
Grundkompetenzen zu Inhaltsbereichen<br />
Zahlen und Maße<br />
Algebra und Geometrie<br />
Funktionale Zusammenhänge<br />
Analysis<br />
Stochastik<br />
Struktur <strong>der</strong> schriftlichen Reifeprüfung BHS <strong>Mathematik</strong><br />
Teil A: schulformübergreifend<br />
m<strong>in</strong>d. 4 Aufgaben mit je 2-4 Teilaufgaben<br />
Schwerpunkt auf Interpretieren, Dokumentieren, Anspruchsvolles<br />
Operieren und Technologiee<strong>in</strong>satz<br />
Teil B: schulform- bzw. clusterspezifisch<br />
2 bis 3 komplexe Aufgaben<br />
Schwerpunkt auf Modellieren, Transferieren und Argumentieren
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
73<br />
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Beispiel – Satzgruppe<br />
des Pythagoras
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
74<br />
Satz des Pythagoras entdecken<br />
Heuristik<br />
altgr. heurísko „ich f<strong>in</strong>de“; heuriske<strong>in</strong>, „(auf-)f<strong>in</strong>den“, „entdecken“<br />
Die Kunst, mit begrenztem Wissen und wenig Zeit zu guten<br />
Lösungen zu kommen (Wikipedia)<br />
Satz des Pythagoras<br />
Bewege den Punkt C!<br />
Berechne <strong>die</strong> Summe <strong>der</strong><br />
Flächen<strong>in</strong>halte <strong>der</strong> beiden<br />
grünen Quadrate und<br />
notiere de<strong>in</strong><br />
Rechenergebnis!<br />
Wie<strong>der</strong>hole <strong>die</strong>se Vorgänge 5-mal!
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
75<br />
Satzgruppe des Pythagoras<br />
Satzgruppe des Pythagoras<br />
C<br />
Bezieht sich auf rechtw<strong>in</strong>klige Dreiecke.<br />
Zu ihr gehören:<br />
Satz des Pythagoras<br />
b<br />
q<br />
h<br />
p<br />
a<br />
Höhensatz<br />
Kathetensatz<br />
A<br />
D<br />
c<br />
B<br />
Satz des Pythagoras<br />
Bei jedem rechtw<strong>in</strong>kligen Dreieck ist <strong>die</strong><br />
Summe <strong>der</strong> Flächen<strong>in</strong>halte <strong>der</strong> Quadrate<br />
über den Katheten gleich dem Flächen<strong>in</strong>halt<br />
des Quadrates über <strong>der</strong> Hypotenuse.<br />
b²<br />
A<br />
b<br />
C<br />
c<br />
a<br />
a²<br />
B<br />
a 2 + b 2 = c 2<br />
c²<br />
E<strong>in</strong>ige Beweise später
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
76<br />
Höhensatz und Kathetensatz<br />
Höhensatz<br />
C<br />
Bei jedem rechtw<strong>in</strong>kligen Dreieck hat das<br />
Höhenquadrat denselben Flächen<strong>in</strong>halt wie<br />
das Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.<br />
h 2 = p q<br />
A<br />
h²<br />
q<br />
h<br />
D<br />
p<br />
pq<br />
B<br />
Kathetensatz<br />
Bei jedem rechtw<strong>in</strong>kligen Dreieck hat e<strong>in</strong><br />
Kathetenquadrat denselben Flächen<strong>in</strong>halt<br />
wie das Rechteck aus <strong>der</strong> Hypotenuse und<br />
dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.<br />
b²<br />
a²<br />
a 2 = c p und b 2 = c q<br />
cq<br />
cp
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Höhen- und Kathetensatz<br />
Beweise<br />
77<br />
Beweis mittels Ähnlichkeit<br />
⇒<br />
Höhensatz<br />
q : h = h : p ⇒ h 2 = p q<br />
Kathetensatz<br />
q : b = b : c ⇒ b 2 = c q<br />
p : a = a : c ⇒ a 2 = c p
Logische Struktur <strong>der</strong><br />
Satzgruppe<br />
http://www.dmuw.de/materialien/unterrichtsmaterial/pythagoras/<br />
Logische Abhängigkeit <strong>der</strong> Sätze<br />
Satz des Pythagoras ⇔ Kathetensatz<br />
Satz des Pythagoras ⇒ Höhensatz<br />
Kathetensatz ⇒ Höhensatz<br />
Höhensatz Satz des Thales ⇒ Satz des Pythagoras<br />
Höhensatz Satz des Thales ⇒ Kathetensatz<br />
A<br />
b²<br />
b<br />
C<br />
a<br />
c<br />
c²<br />
a²<br />
B<br />
<br />
b²<br />
cq<br />
cp<br />
a²<br />
<br />
<br />
A<br />
h²<br />
q<br />
C<br />
h<br />
D<br />
p<br />
pq<br />
B<br />
<br />
A<br />
C<br />
M<br />
B<br />
Begriffe notwendig / h<strong>in</strong>reichend<br />
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
A ⇒ B bedeutet “A ist h<strong>in</strong>reichend für B“<br />
bzw. „B ist notwendig für A“ (d.h. ¬B ⇒ ¬A)<br />
78
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
79<br />
Kathetensatz ⇒ Pythagoras<br />
Kathetensatz ⇒ Pythagoras<br />
Gegeben: a 2 = c p und b 2 = c q<br />
C<br />
Zu zeigen: a 2 + b 2 = c 2<br />
A<br />
b<br />
q<br />
D<br />
h<br />
c<br />
p<br />
a<br />
B
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
80<br />
Pythagoras ⇒ Kathetensatz<br />
Pythagoras ⇒ Kathetensatz<br />
Gegeben: a 2 + b 2 = c 2<br />
C<br />
Zu zeigen: a 2 = c p und b 2 = c q<br />
A<br />
b<br />
q<br />
D<br />
h<br />
c<br />
p<br />
a<br />
B
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
81<br />
Pythagoras ⇒ Höhensatz<br />
Pythagoras ⇒ Höhensatz<br />
Gegeben: a 2 + b 2 = c 2<br />
C<br />
Zu zeigen: h 2 = p q<br />
A<br />
b<br />
q<br />
D<br />
h<br />
c<br />
p<br />
a<br />
B
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Höhensatz Thales<br />
⇒ Pythagoras<br />
82<br />
Höhensatz Thales ⇒ Pythagoras<br />
Gegeben: h 2 = p q, Satz von Thales<br />
Zu zeigen: a 2 + b 2 = c 2
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
83<br />
Kathetensatz ⇒ Höhensatz<br />
Kathetensatz ⇒ Höhensatz<br />
Gegeben: a 2 = c p und b 2 = c q<br />
Zu zeigen: h 2 = p q<br />
Mehrfache Anwendung des<br />
Kathetensatzes auf (Teil-)Dreiecke
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Höhensatz Thales<br />
⇒ Kathetensatz<br />
84<br />
Höhensatz Thales ⇒ Kathetensatz<br />
Gegeben: h 2 = p q, Thales<br />
Zu zeigen: b 2 = c q<br />
(a 2 = c p analog)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
85<br />
Umkehrsatz des Pythagoras<br />
Umkehrung des Satzes von Pythagoras<br />
Ägyptische Seilspanner (Harpedonapten)<br />
a 2 + b 2 = c 2 ⇒ a, b und c bilden e<strong>in</strong> rechtw<strong>in</strong>kliges Dreieck<br />
Pythagoräische Tripel<br />
Umkehrsatz nicht immer wahr!<br />
Wenn Sonntag ist, dann ist schulfrei.<br />
a, b ungerade ⇒ a + b gerade
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Beweismöglichkeiten<br />
Satzgruppe des Pythagoras<br />
86<br />
Lehrplan 4. Klasse AHS: Arbeiten mit Figuren und Körpern<br />
den Lehrsatz des Pythagoras für Berechnungen <strong>in</strong> ebenen<br />
Figuren und <strong>in</strong> Körpern nutzen können<br />
e<strong>in</strong>e Begründung des Lehrsatzes des Pythagoras verstehen<br />
E<strong>in</strong>ige Beweismethoden für <strong>die</strong> Satzgruppe des Pythagoras<br />
1. Kongruenzbeweis<br />
2. Abbildungsbeweis<br />
3. Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Zerlegungsgleichheit<br />
4. Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Ergänzungsgleichheit<br />
5. Arithmetischer Beweis<br />
6. Ähnlichkeitsbeweis<br />
7. Methoden <strong>der</strong> analytischen Geometrie<br />
http://youtu.be/8mqsT3LhitY
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Beweismöglichkeiten<br />
Satzgruppe des Pythagoras<br />
87<br />
(1) Kongruenzbeweis<br />
Euklid:<br />
Die Elemente<br />
H<br />
C<br />
G<br />
F<br />
( I ) AC BF A = CBF<br />
A<br />
ABF<br />
( II ) CL 1 BE A<br />
L 1<br />
=<br />
EB<br />
A<br />
CEB<br />
(III) Zu zeigen : ABF @ CEB<br />
(1) |AB| =<br />
|EB|<br />
(Hypotenuse c)<br />
(2) |FBA| = |CBE| (90 + b )<br />
(3) |BF| = |BC| (Kathete a)<br />
J<br />
A<br />
L1<br />
B<br />
( I ),(<br />
II ),(<br />
III )<br />
SWS<br />
<br />
<br />
ABF<br />
A<br />
@<br />
ABF =<br />
A =<br />
CBF<br />
A<br />
L<br />
a 2 c <br />
1 BE<br />
= |L<br />
1<br />
B|<br />
Analog ergibt sich :<br />
2 = c |AL |<br />
b<br />
1<br />
CEB<br />
A<br />
CEB<br />
( Kathetensatz 1. Teil)<br />
( Kathetensatz 2. Teil)<br />
D<br />
L2<br />
E<br />
a 2 + b 2 = c |L 1 B| + c |AL 1 |<br />
= c (|L 1 B| + |AL 1 |) = c c = c 2
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Beweismöglichkeiten<br />
Satzgruppe des Pythagoras<br />
88<br />
(2) Abbildungsbeweis<br />
Scherung
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Beweismöglichkeiten<br />
Satzgruppe des Pythagoras<br />
89<br />
(3) Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Zerlegungsgleichheit<br />
Stuhl <strong>der</strong> Braut<br />
Zerlegung des Hypotenusenquadrats
Beweismöglichkeiten<br />
Satzgruppe des Pythagoras<br />
(3) Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Zerlegungsgleichheit<br />
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Zerlegung des Hypotenusenquadrats<br />
90
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Beweismöglichkeiten<br />
Satzgruppe des Pythagoras<br />
91<br />
(3) Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Zerlegungsgleichheit<br />
Zerlegung e<strong>in</strong>es Kathetenquadrats
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Beweismöglichkeiten<br />
Satzgruppe des Pythagoras<br />
92<br />
(4) Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Ergänzungsgleichheit<br />
Alt<strong>in</strong>discher Ergänzungsbeweis<br />
IV<br />
III<br />
IV<br />
III<br />
I<br />
I<br />
c²<br />
II<br />
II<br />
a²<br />
b²
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Beweismöglichkeiten<br />
Satzgruppe des Pythagoras<br />
93<br />
(5) Arithmetischer Beweis<br />
E<strong>in</strong> Beweis wird hier „arithmetisch“ genannt, wenn<br />
(evtl. anhand e<strong>in</strong>er vorliegenden Figur) re<strong>in</strong> algebraische<br />
Umformungen durchgeführt werden.<br />
Kathetensatz ⇒ Satz des Pythagoras<br />
a<br />
<br />
2 2<br />
= = <br />
a<br />
c p<br />
2<br />
+<br />
b<br />
2<br />
=<br />
=<br />
b<br />
c<br />
c p + c q<br />
( )<br />
c p + q<br />
q<br />
b²<br />
a²<br />
= c c = c 2<br />
cq cp
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Beweismöglichkeiten<br />
Satzgruppe des Pythagoras<br />
94<br />
(5) Arithmetischer Beweis Beweis von J.A. Garfield (1881 Präsident <strong>der</strong> U.S.A.)<br />
Fläche A Tr des Trapezes:<br />
(1)<br />
A<br />
Trapez<br />
=<br />
=<br />
A<br />
D<br />
1<br />
2<br />
I<br />
+<br />
A<br />
D<br />
II<br />
+<br />
1<br />
ab + ab +<br />
2<br />
A<br />
D<br />
1<br />
2<br />
III<br />
c<br />
2<br />
a<br />
I<br />
c<br />
III<br />
c<br />
II<br />
b<br />
= ab +<br />
1<br />
2 c<br />
a + b<br />
(2) A = +<br />
Trapez 2<br />
2<br />
( a b )<br />
b<br />
a<br />
( 1 ), ( 2 )<br />
1 2<br />
ab +<br />
2<br />
c =<br />
2<br />
a +<br />
1 ( ) 2<br />
b<br />
<br />
=<br />
1<br />
2<br />
( a + b ) 2<br />
( a b ) 2<br />
2<br />
2 ab + c = +<br />
<br />
2 2<br />
2 ab + c = a + 2 ab +<br />
b<br />
2<br />
<br />
2 2<br />
c = a +<br />
b<br />
2
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Beweismöglichkeiten<br />
Satzgruppe des Pythagoras<br />
95<br />
(6) Ähnlichkeitsbeweis<br />
D ABC<br />
~<br />
D ACD<br />
~<br />
D BCD<br />
(ww)<br />
h<br />
p<br />
q<br />
= h<br />
<br />
h 2<br />
= q p<br />
Höhensatz<br />
<br />
b<br />
q<br />
a<br />
p<br />
c<br />
= b<br />
c<br />
= a<br />
<br />
<br />
b 2<br />
a 2<br />
= c q<br />
= c p<br />
Kathetensatz<br />
(7) Methoden <strong>der</strong> analytischen Geometrie
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Auswahlkriterien für<br />
Beweismethoden<br />
96<br />
Eigentätigkeit<br />
Großteil <strong>der</strong> Schüler soll <strong>in</strong> <strong>der</strong><br />
Lage se<strong>in</strong>, durch Eigentätigkeit,<br />
den Beweis o<strong>der</strong> <strong>die</strong><br />
entscheidende Beweisidee<br />
selbst zu entdecken bzw. e<strong>in</strong>en<br />
wesentlichen Beitrag dazu zu<br />
leisten<br />
Vielfalt<br />
Schüler sollen unterschiedliche<br />
Beweismethoden kennen lernen<br />
Anschauen und Begreifen<br />
Beweis lässt sich gut<br />
visualisieren o<strong>der</strong> enaktiv<br />
erarbeiten.<br />
Verständnis för<strong>der</strong>n<br />
Beweis ist leicht durchschaubar<br />
Beweis erleichtert e<strong>in</strong>e wichtige<br />
Erkenntnis<br />
Beispiel:<br />
Satzgruppe des<br />
Pythagoras: Aussagen<br />
über Flächen<strong>in</strong>halte<br />
Sollte beim Beweis<br />
direkt erkennbar se<strong>in</strong>
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Anwendungen<br />
Satzgruppe des Pythagoras<br />
97<br />
Ebene Geometrie<br />
Berechnungen<br />
Diagonale des Rechtecks<br />
Höhe & Flächen<strong>in</strong>halt e<strong>in</strong>es<br />
gleichseitigen Dreiecks<br />
Abstand zweier Punkte<br />
(im Koord<strong>in</strong>atensystem)<br />
Kreistangenten und Sehnen<br />
Reguläre n-Ecke<br />
Kos<strong>in</strong>ussatz<br />
Konstruktionen<br />
Flächenverwandlung<br />
Strecken <strong>der</strong> Länge<br />
n<br />
Raumgeometrie<br />
Berechnungen<br />
Raumdiagonalen<br />
Längen im Raum
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Anwendungen<br />
Satzgruppe des Pythagoras<br />
98<br />
Verwandlung e<strong>in</strong>es Rechtecks <strong>in</strong> e<strong>in</strong> <strong>in</strong>haltsgleiches Quadrat<br />
Kathetensatz<br />
Man geht von <strong>der</strong> Figur<br />
zum Kathetensatz aus.<br />
Kann man das Quadrat <strong>der</strong><br />
Figur konstruieren, wenn man<br />
das Rechteck hat<br />
Konstruktion <strong>der</strong> entsprechenden Kathete.<br />
Welche Schritte s<strong>in</strong>d notwendig
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Anwendungen<br />
Satzgruppe des Pythagoras<br />
99<br />
Verwandlung e<strong>in</strong>es Rechtecks <strong>in</strong> e<strong>in</strong> <strong>in</strong>haltsgleiches Quadrat<br />
Kathetensatz<br />
<br />
q<br />
0 l = 3,1 10<br />
0 b = 5,4 10<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
l<br />
<br />
Höhensatz<br />
<br />
<br />
c<br />
<br />
<br />
b
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Lernpfade zum<br />
Satz des Pythagoras<br />
100<br />
Me<strong>die</strong>nvielfalt im <strong>Mathematik</strong>unterricht<br />
Pythagoras-Lernpfade auf<br />
http://www.austromath.at/me<strong>die</strong>nvielfalt/<br />
3. Klasse: ebene Figuren, 4. Klasse: Raumgeometrie<br />
Siehe <strong>in</strong>sbeson<strong>der</strong>e Didaktische Kommentare, z.B.<br />
Stationenbetrieb zu Pythagoras im Raum<br />
Expertengruppen zu Höhen- und Kathetensatz
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
101<br />
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Wie funktioniert Lernen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
102<br />
Was ist Lernen<br />
Nach Zimbardo: Psychologie. Spr<strong>in</strong>ger-Verlag, 1995<br />
Lernen …<br />
ist e<strong>in</strong> Prozess, <strong>der</strong> zu relativ stabilen Verän<strong>der</strong>ungen<br />
im Verhalten o<strong>der</strong> Verhaltenspotential führt.<br />
baut auf Erfahrung auf.<br />
ist nicht direkt zu beobachten.<br />
muss aus den Verän<strong>der</strong>ungen des beobachtbaren Verhaltens<br />
erschlossen werden.<br />
Wissen<br />
deklaratives Wissen<br />
(Wissen über Sachverhalte)<br />
prozedurales Wissen<br />
(Wissen über Fertigkeiten)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
103<br />
Lernparadigmen<br />
Kategorie Behaviourismus Kognitivismus Konstruktivismus<br />
Hirn ist e<strong>in</strong><br />
passiver Behälter<br />
Informationsverarbeitendes<br />
"Gerät"<br />
<strong>in</strong>formationell<br />
geschlossenes<br />
System<br />
Wissen wird abgelagert verarbeitet konstruiert<br />
Wissen ist<br />
Lernziele<br />
e<strong>in</strong>e korrekte Input-<br />
Output-Relation<br />
richtige Antworten<br />
e<strong>in</strong> adäquater<br />
<strong>in</strong>terner Verarbeitungsprozess<br />
richtige Methoden<br />
zur<br />
Antwortf<strong>in</strong>dung<br />
mit e<strong>in</strong>er Situation<br />
operieren zu können<br />
komplexe Situationen<br />
bewältigen<br />
Paradigma Stimulus-Response Problemlösung Konstruktion<br />
Strategie<br />
lehren<br />
beobachten<br />
und helfen<br />
kooperieren<br />
Lehrer ist Autorität Tutor Coach, Tra<strong>in</strong>er
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
104<br />
Überblick über Lerntheorien<br />
Behaviouristische Lerntheorien<br />
Klassisches / operantes Konditionieren (Pawlow, Watson, Sk<strong>in</strong>ner)<br />
Lernen durch Versuch und Irrtum (Thorndike)<br />
Kognitivistische Lerntheorien<br />
Modelllernen (Bandura)<br />
Äquilibrationsmodell (Piaget)<br />
Stufenmodell <strong>der</strong> kognitiven Entwicklung<br />
S<strong>in</strong>nvolle-rezeptives Lernen (Ausubel)<br />
Entdeckendes Lernen (Bruner)<br />
Konstruktivistische Lerntheorien<br />
Radikaler Konstruktivismus (von Glasersfeld)<br />
Gemäßigter Konstruktivismus (Piaget, Bruner, Mandl)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
105<br />
Klassisches Kontitionieren<br />
(Pawlow)<br />
Pawlowscher Hund<br />
1. Futter Speichel fließt<br />
2. Glocke ke<strong>in</strong> Speichel<br />
3. Futter + Glocke Speichel<br />
(mehrmals wie<strong>der</strong>holt)<br />
4. Glocke Speichel<br />
Ergebnis<br />
Immer wenn <strong>die</strong> Glocke kl<strong>in</strong>gelt, läuft dem Hund das „Wasser im<br />
Mund“ zusammen. Er wurde auf <strong>die</strong> Glocke konditioniert.<br />
Dieses Pr<strong>in</strong>zip f<strong>in</strong>det z.B. <strong>in</strong> <strong>der</strong> Werbung Anwendung<br />
Attraktive Frau + Auto Aufmerksamkeit
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
106<br />
Operantes Konditionieren<br />
(Sk<strong>in</strong>ner)<br />
Erwartete Konsequenzen bestimmen das Verhalten<br />
Tiere und Menschen können sehr gut zwischen Belohnung und<br />
Bestrafung unterscheiden<br />
Arten von Verstärkern<br />
Materielle Verstärker (Geld)<br />
Soziale Verstärker (Lob, Anerkennung)<br />
Aktivitätsverstärker (Tun, was Spaß macht)<br />
Arten <strong>der</strong> Verhaltenskontrolle / -manipulation<br />
Etwas Gutes erhalten (positive Verstärkung)<br />
Etwas Negatives bleibt erspart (negative Verstärkung)<br />
Etwas Negatives erhalten (Bestrafung durch aversive Reize)<br />
Etwas Gutes wird entzogen (Bestrafung durch Verstärkerentzug)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
107<br />
Operantes Konditionieren<br />
(Sk<strong>in</strong>ner)<br />
Sk<strong>in</strong>nerbox<br />
Ziel: Ratte soll lernen, e<strong>in</strong>en Hebel zu betätigen<br />
Ratte erhält Stromschläge, bis sie den Hebel betätigt<br />
Stromfluss endet (negative Verstärkung)<br />
Ratte betätigt den Hebel<br />
Erhält Futter (positive Verstärkung)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
108<br />
Modelllernen<br />
(Bandura)<br />
„Rocky-Experiment“ (Bandura, Walters 1965)<br />
Vierjährige K<strong>in</strong><strong>der</strong> sehen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Film, wie e<strong>in</strong> Erwachsener<br />
(„Rocky“) mit e<strong>in</strong>em Baseballschläger auf e<strong>in</strong>e Plastikpuppe<br />
e<strong>in</strong>schlägt.<br />
Kurz darauf werden <strong>die</strong> K<strong>in</strong><strong>der</strong> <strong>in</strong> e<strong>in</strong> an<strong>der</strong>es Zimmer geführt, <strong>in</strong><br />
dem auch <strong>die</strong>se Puppe und e<strong>in</strong> Baseballschläger liegen.<br />
Unterschied Aneignung – Ausführung: Vorbild-Verhalten wird<br />
gleichermaßen erlernt, aber je nach Folgen unterschiedlich<br />
reproduziert (siehe Wikipedia für Details)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
109<br />
Modelllernen<br />
(Bandura)<br />
Def<strong>in</strong>ition<br />
Modell- o<strong>der</strong> Beobachtungslernen<br />
ist Bee<strong>in</strong>flussung von<br />
Verhaltensweisen durch<br />
Beobachtung e<strong>in</strong>es Modells<br />
(Vorbilds), das real (z. B. als<br />
Person) o<strong>der</strong> symbolisch (z. B.<br />
als Text) gegeben se<strong>in</strong> kann.<br />
Anwendung<br />
bei komplexen<br />
Verhaltensweisen im Bereich<br />
des sprachlichen und sozialen<br />
Verhaltens<br />
Mögliche Effekte<br />
Aneignung neuer kognitiver<br />
Fähigkeiten & Verhaltensmuster<br />
Hemmung bzw. Enthemmung von<br />
gelernten Verhaltensweisen<br />
Abhängig von den am Modell<br />
beobachteten Konsequenzen<br />
Reaktionserleichterung<br />
Verhalten des Modells <strong>die</strong>nt als<br />
Auslöser für <strong>die</strong> Ausführung des<br />
gleichen Verhaltens.<br />
Verän<strong>der</strong>ung des emotionalen<br />
Erregungsniveaus<br />
durch Beobachtung emotionaler<br />
Inhalte beim Modell<br />
Stimulus<strong>in</strong>tensivierung<br />
Modell lenkt <strong>die</strong> Aufmerksamkeit des<br />
Beobachters auf spezifische Stimuli,<br />
<strong>die</strong> vom Beobachter <strong>in</strong> Zukunft<br />
häufiger verwendet bzw. beachtet<br />
werden.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
110<br />
Modelllernen<br />
(Bandura)<br />
Regelfall<br />
Modellverhalten wird weitgehend<br />
<strong>in</strong> <strong>der</strong> dargebotenen<br />
Art übernommen.<br />
Son<strong>der</strong>fälle<br />
abstrakte Modellierung<br />
Übernahme von Regeln o<strong>der</strong><br />
Pr<strong>in</strong>zipien, <strong>die</strong> dem Modellverhalten<br />
zugrunde liegen<br />
Erkennen von Merkmalen<br />
e<strong>in</strong>er Situation<br />
Abstraktion <strong>der</strong><br />
Geme<strong>in</strong>samkeiten<br />
<strong>in</strong> Form von Regeln<br />
Anwendung <strong>der</strong> Regeln <strong>in</strong><br />
neuen situativen Fel<strong>der</strong>n<br />
Kreative Modellierung<br />
E<strong>in</strong>flüsse mehrerer Modelle<br />
werden zu neuen Komb<strong>in</strong>ationen<br />
zusammengeführt.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
111<br />
Modelllernen<br />
(Bandura)<br />
Prozesse beim Modelllernen<br />
Aneignung (Akquisition)<br />
Aufmerksamkeitsprozesse<br />
Gedächtnis- /<br />
Behaltensprozesse<br />
Ausführung (Performanz)<br />
motorische<br />
Reproduktionsprozesse<br />
Verstärkungs- /<br />
Motivationsprozesse<br />
Modelle im Unterricht<br />
Lehrer<br />
Mitschüler<br />
Eltern<br />
Modelllernen<br />
schnelle und effiziente<br />
Art <strong>der</strong> Übernahme von<br />
Verhaltensweisen<br />
<strong>in</strong>sbeson<strong>der</strong>e bei<br />
komplexen Verhaltensnormen<br />
Rolle im / für den MU<br />
Rationales Argumentieren<br />
Problemlösen<br />
Mathematisieren / Modellieren<br />
E<strong>in</strong>stellung zur <strong>Mathematik</strong>
Äquilibrationsmodell<br />
(Piaget)<br />
Kognitive Entwicklung<br />
durch Anpassung (Adaption)<br />
Assimilation<br />
Akkomodation<br />
Bei <strong>der</strong> Assimilation wird <strong>die</strong><br />
Information, <strong>die</strong> das Individuum<br />
aufnimmt, so verän<strong>der</strong>t, dass sie<br />
sich <strong>in</strong> vorhandene kognitive<br />
Schemata e<strong>in</strong>fügt.<br />
Äquilibrationspr<strong>in</strong>zip<br />
Bedürfnis, Gleichgewicht zwischen <strong>der</strong> wahrgenommenen Umwelt und<br />
den eigenen kognitiven Strukturen herzustellen bzw. zu erhalten.<br />
Erfahrung e<strong>in</strong>es „Ungleichgewichtes“ (fehlschlagende Assimilationsversuche,<br />
Wi<strong>der</strong>sprüche zwischen versch. Assimilationsversuchen, kognitive<br />
Konflikte) führt zum Aufbau immer komplexerer Strukturen.<br />
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Bei <strong>der</strong> Akkomodation werden <strong>die</strong><br />
Schemata verän<strong>der</strong>t, um <strong>der</strong> Information<br />
angemessen zu se<strong>in</strong> o<strong>der</strong> um<br />
nicht im Wi<strong>der</strong>spruch zu an<strong>der</strong>en<br />
Schemata bzw. <strong>der</strong> Gesamtstruktur<br />
zu stehen.<br />
112
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Stufen <strong>der</strong> kognitiven<br />
Entwicklung (Piaget)<br />
113<br />
Sensomotorisches Stadium (0 – ca. 2 Jahre)<br />
Reiz und (motorische) Reaktion bilden e<strong>in</strong>e E<strong>in</strong>heit<br />
Präoperationales Stadium (ca. 2 – ca. 7 Jahre)<br />
Zentrierung: Nur e<strong>in</strong> Merkmal kann gleichzeitig<br />
berücksichtigt werden.<br />
Egozentrismus: Schwierigkeit sich etwas aus <strong>der</strong><br />
Sicht e<strong>in</strong>es an<strong>der</strong>en vorzustellen.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Stufen <strong>der</strong> kognitiven<br />
Entwicklung (Piaget)<br />
114<br />
Konkret-operationales Stadium (ca. 7 – ca. 12 Jahre)<br />
Überw<strong>in</strong>dung des Egozentrismus<br />
Dezentrierung: Verschiedene Aspekte e<strong>in</strong>es Sachverhaltes<br />
können gleichzeitig berücksichtigt werden.<br />
Verständnis für Erhaltung bei Transformationen<br />
Masse<br />
Volumen<br />
Flächen<strong>in</strong>halt<br />
Anzahl
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Stufen <strong>der</strong> kognitiven<br />
Entwicklung (Piaget)<br />
115<br />
Konkret-operationales Stadium (ca. 7 – ca. 12 Jahre)<br />
Reversibilität: Beobachtete Abläufe bzw. ausgeführte<br />
Handlungen können gedanklich umgekehrt werden.<br />
Schlussfolgerndes Denken bei konkreten Problemen<br />
Fähigkeit zur Abstraktion fehlt (zum Großteil)<br />
Denken ist noch stark an konkrete Vorstellungen gebunden<br />
(unmittelbare Anschauung o<strong>der</strong> Erfahrungen)<br />
Denkhandlungen s<strong>in</strong>d bereits „Operationen“, also<br />
kompositionsfähig (zusammensetzbar) und<br />
reversibel (umkehrbar)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Stufen <strong>der</strong> kognitiven<br />
Entwicklung (Piaget)<br />
116<br />
Konkret-operationales Stadium (ca. 7 – ca. 12 Jahre)<br />
Hans ist größer als He<strong>in</strong>z, Hans ist kle<strong>in</strong>er als Horst. Wer ist <strong>der</strong> kle<strong>in</strong>ste<br />
Wer ist <strong>der</strong> kle<strong>in</strong>ste
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Stufen <strong>der</strong> kognitiven<br />
Entwicklung (Piaget)<br />
117<br />
Formal-operationales Stadium (ab ca. 12 Jahre)<br />
Denken wird abstrakter<br />
(nicht mehr an konkrete Vorstellungen gebunden)<br />
Fähigkeit zum hypothetisch-deduktiven<br />
Schließen („Wenn … und … gilt, dann gilt …“)<br />
Variablenkontrolle: Bei <strong>der</strong> Kausalanalyse von Ereignissen können<br />
verschiedene Faktoren systematisch variiert werden.<br />
Logische Verknüpfungen zwischen verschiedenen<br />
Aussagen werden hergestellt (Aussagenlogik, formales<br />
Schließen). Im Beispiel: Wenn a < b und b < c, dann a < c.<br />
Reversibles Denken ist möglich.<br />
Inversion (Umkehrung e<strong>in</strong>er Operation)<br />
Reziprozität (Kompensation e<strong>in</strong>er Operation)<br />
15 Cent 1 Cent
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Stufen <strong>der</strong> kognitiven<br />
Entwicklung<br />
118<br />
Bei e<strong>in</strong>em Kartenspiel wurde je<strong>der</strong> Karte auf e<strong>in</strong>er Seite e<strong>in</strong>e Zahl<br />
und auf <strong>der</strong> an<strong>der</strong>en Seite e<strong>in</strong> Buchstabe aufgedruckt.<br />
Es gilt folgende Regel:<br />
Wenn <strong>der</strong> Buchstabe auf e<strong>in</strong>er Karte e<strong>in</strong> Vokal ist, dann ist <strong>die</strong> Zahl<br />
auf <strong>der</strong> an<strong>der</strong>en Seite <strong>der</strong> Karte e<strong>in</strong>e gerade Zahl.<br />
Welche <strong>der</strong> folgenden Karten müssen umgedreht werden um zu<br />
überprüfen ob <strong>die</strong> Regel e<strong>in</strong>gehalten wurde<br />
E K 4 7
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Piagets empirische<br />
Hauptresultate<br />
119<br />
Die k<strong>in</strong>dliche Entwicklung verläuft<br />
etappenweise, d. h. <strong>in</strong> Stufen.<br />
Sensomotorisches Stadium (0 – ca. 2 Jahre)<br />
Präoperationales Stadium (ca. 2 – ca. 7 Jahre)<br />
Konkret-operationales Stadium (ca. 7 – ca. 12 Jahre)<br />
Formal-operationales Stadium (ab ca. 12 Jahre)<br />
sequentiell, d. h. alle K<strong>in</strong><strong>der</strong> durchlaufen <strong>die</strong> Sta<strong>die</strong>n<br />
(Stufen) <strong>in</strong> gleicher Reihenfolge.<br />
Übergang von e<strong>in</strong>em Stadium zum nächsten bedeutet<br />
we<strong>der</strong> das Aufgeben bereits erworbener Schemata,<br />
noch bloßes H<strong>in</strong>zufügen weiterer Schemata,<br />
Reorganisation <strong>der</strong> verfügbaren Schemata bzgl.<br />
neuer effektiverer Organisationsformen.<br />
Wichtig: Es s<strong>in</strong>d erhebliche zeitliche Verschiebungen möglich!
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
120<br />
S<strong>in</strong>nvoll-rezeptives Lernen<br />
(Ausubel)<br />
Die vier<br />
Grundformen<br />
des Lernens<br />
nach Ausubel<br />
rezeptiv<br />
(fertig dargeboten)<br />
entdeckend<br />
(selbst erarbeitet)<br />
mechanisch<br />
(nicht <strong>in</strong>haltlich)<br />
Dargebotene<br />
Informationen werden<br />
wortwörtlich gelernt<br />
und nicht mit<br />
Vorwissen assimiliert.<br />
Vom Lernenden<br />
entdeckter Sachverhalt<br />
wird wortwörtlich<br />
gelernt und nicht mit<br />
Vorwissen assimiliert.<br />
s<strong>in</strong>nvoll<br />
(<strong>in</strong>haltlich, zufallsfrei)<br />
Dargebotene<br />
Informationen werden<br />
<strong>in</strong>haltlich gelernt und<br />
mit Vorwissen<br />
assimiliert.<br />
Vom Lernenden<br />
entdeckter Sachverhalt<br />
wird <strong>in</strong>haltlich gelernt<br />
und mit Vorwissen<br />
assimiliert.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
121<br />
S<strong>in</strong>nvoll-rezeptives Lernen<br />
(Ausubel)<br />
S<strong>in</strong>nvolles Lernen<br />
<strong>in</strong>haltlich (nicht wortwörtlich)<br />
zufallsfreie Anglie<strong>der</strong>ung an das<br />
Vorwissen (Assimilation)<br />
untergeordnet (progressive<br />
Wissensdifferenzierung)<br />
übergeordnet<br />
Mechanisches Lernen<br />
Lernen verbaler Ketten<br />
Auswendiglernen<br />
Rezeptives Lernen<br />
Lernmaterial wird fertig<br />
dargeboten<br />
Entdeckendes Lernen (EL)<br />
Lernmaterial muss vom<br />
Lernenden erarbeitet werden,<br />
wird nicht fertig vorgegeben<br />
S<strong>in</strong>nvoll-rezeptives Lernen<br />
<strong>in</strong>haltliche Assimilation<br />
(Orientierung an Vorwissen, zunächst<br />
alltagssprachliche Formulierungen)<br />
aktiver Prozess<br />
Advance Organizer (!)<br />
Post Organizer<br />
besser als EL für den Erwerb<br />
von Sachwissen und größeren<br />
Stoffgebiete geeignet<br />
(ökonomischer)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
122<br />
S<strong>in</strong>nvoll-rezeptives Lernen<br />
(Ausubel)<br />
1. An vertraute Vorstellungen anschließen<br />
Alltagsbegriffe<br />
vertraute Grundbegriffe<br />
2. „Verständniskerne“ bilden & formulieren<br />
<strong>in</strong> Umgangssprache<br />
3. Unterrichts<strong>in</strong>halte vorstrukturieren<br />
kurze Vorschau auf Thema und Zielsetzung (advance organizer)<br />
Vorbereitung e<strong>in</strong>es „Verständniskerns“<br />
4. Progressiv ausdifferenzieren<br />
„roten Faden“ bewusst halten<br />
5. Integrativ verb<strong>in</strong>den und abgrenzen<br />
6. Beachten <strong>der</strong> Vergessenstendenz<br />
anschauliche Zusammenfassungen (post organizer)<br />
wie<strong>der</strong>holte Verständnisaufgaben<br />
S<strong>in</strong>nvolles<br />
Lernen<br />
Anknüpfen<br />
an <strong>die</strong> kognitive<br />
Struktur des<br />
Lernenden
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
123<br />
Entdeckendes Lernen<br />
(Bruner)<br />
„Das Ziel, das wir uns als Lehrer stellen, ist, dem Schüler nach besten Kräften e<strong>in</strong><br />
fun<strong>die</strong>rtes Verständnis des Gegenstandes zu vermitteln und ihn so gut wir können<br />
zu e<strong>in</strong>em selbständigen und spontanen Denker zu machen, dass er am Ende <strong>der</strong><br />
Schulzeit alle<strong>in</strong> weiterkommen wird.“ Bruner<br />
Lernen ist aktive<br />
Informationsaufnahme<br />
Informationsverarbeitung<br />
Informationsspeicherung<br />
Prozesse des Lernvorgangs<br />
Wissenserwerb<br />
Wissenstransformation<br />
Bewertung von Wissen<br />
Intellektuelle<br />
Entwicklung<br />
Wissensrepräsentation<br />
• enaktiv (handelnd)<br />
• ikonisch (bildhaft)<br />
• symbolisch<br />
Lernprozess
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
124<br />
Entdeckendes Lernen<br />
(Bruner)<br />
Entdeckendes Lernen<br />
eigenständige, <strong>in</strong>duktive<br />
Organisation<br />
sprachliche Assimilation<br />
Ziele des Lernens<br />
Verständnis<br />
Problemlösefähigkeit erwerben<br />
<strong>in</strong>tuitives, selbständiges,<br />
spontanes Denken<br />
Transferför<strong>der</strong>ung<br />
spezieller Transfer<br />
allgeme<strong>in</strong>er Transfer<br />
general ideas<br />
<strong>in</strong>duktive & deduktive<br />
Denkvorgänge<br />
Problemlösefähigkeit<br />
Problemlösestrategien<br />
Problemlösetechniken<br />
lernen wie man lernt<br />
Intuitives Denken<br />
spontan / sprunghaft<br />
nonverbal<br />
Intr<strong>in</strong>sische Motivation<br />
„Kompetenzmotivation“<br />
Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> m<strong>in</strong>imalen Hilfe<br />
kaum ergebnisorientierte Hilfe<br />
hauptsächlich motivations- und<br />
prozessorientierte Hilfe
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
125<br />
Entdeckendes Lernen<br />
(Bruner)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
126<br />
Konstruktivismus<br />
Steht <strong>in</strong> enger Verb<strong>in</strong>dung zum kognitiven Ansatz<br />
Jedes Individuum konstruiert e<strong>in</strong> <strong>in</strong>dividuelles<br />
und subjektives Bild se<strong>in</strong>er Umwelt<br />
Aufgrund verschiedenster Erfahrungen entsteht<br />
e<strong>in</strong>e <strong>in</strong>dividuelle kognitive Landkarte <strong>der</strong> Welt<br />
Diese Wirklichkeitskonstruktionen bee<strong>in</strong>flussen<br />
unwillkürlich<br />
was das Individuum sieht,<br />
wie es das Gesehene bewertet,<br />
welche Verhaltenspläne es entwickelt und<br />
wie es sich dann tatsächlich verhält.<br />
Es gibt demnach nicht e<strong>in</strong>e für alle gültige Wirklichkeit,<br />
son<strong>der</strong>n viele subjektive und <strong>in</strong>dividuelle Wirklichkeiten
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
127<br />
Aktive Wissenskonstruktion<br />
Wissen …<br />
wird nicht e<strong>in</strong>fach rezeptiv übernommen<br />
wird aktiv erworben,<br />
abhängig von Vorwissen, Motivation und E<strong>in</strong>stellung des E<strong>in</strong>zelnen<br />
ist Ergebnis sozialer Konstruktionsprozesse<br />
bedeutungsvolles Handeln und Selbstständigkeit s<strong>in</strong>d zentrale<br />
Grundlagen allen Lernens<br />
stellt ke<strong>in</strong>e bloße Reflexion e<strong>in</strong>er außerhalb des<br />
Menschen existierenden, objektiven "Realität" dar<br />
ist e<strong>in</strong> subjektives "Konstrukt", das <strong>in</strong>nerhalb des Individuums<br />
durch Erkenntnisprozesse geschaffen wird
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
128<br />
Lernen ist ke<strong>in</strong> …<br />
Lernen aus<br />
konstruktivistischer Sicht<br />
rezeptiver Vorgang, bei dem e<strong>in</strong>e objektiv bestimmbare und<br />
begrenzte Menge an Fakten und Regeln aus dem Kopf des<br />
Lehrenden <strong>in</strong> den des Lernenden "transportiert" wird<br />
Lernen ist e<strong>in</strong> …<br />
aktiver,<br />
selbstgesteuerter,<br />
konstruktiver,<br />
emotionaler,<br />
sozialer und<br />
situativer Prozess<br />
Mandl: Wissensaufbau aktiv gestalten. Schüler Wissen für Lehrer, 2006, S. 28-30
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
129<br />
Lernen ist e<strong>in</strong> …<br />
Mandl: Wissensaufbau aktiv gestalten. Schüler Wissen für Lehrer, 2006, S. 28-30<br />
aktiver Prozess<br />
Nur durch aktive Beteiligung<br />
des Lernenden wird Lernen<br />
möglich.<br />
selbstgesteuerter Prozess<br />
Der Lernende selbst übernimmt<br />
im Rahmen des Lernprozesses<br />
Steuerungs- und<br />
Kontrollprozesse.<br />
konstruktiver Prozess<br />
Neues Wissen kann nur<br />
erworben und genutzt werden,<br />
wenn es <strong>in</strong> <strong>die</strong> vorhandenen<br />
Wissensstrukturen e<strong>in</strong>gebaut<br />
und auf <strong>der</strong> Basis <strong>in</strong>dividueller<br />
Erfahrungen <strong>in</strong>terpretiert wird.<br />
emotionaler Prozess<br />
sowohl leistungsbezogene als<br />
auch soziale Emotionen<br />
bee<strong>in</strong>flussen das Lernen<br />
für <strong>die</strong> Lernmotivation ist <strong>die</strong><br />
emotionale Komponente<br />
beson<strong>der</strong>s wesentlich<br />
sozialer Prozess<br />
Lernen ist fast immer e<strong>in</strong><br />
<strong>in</strong>teraktives Geschehen<br />
und wird durch soziale<br />
Komponenten bee<strong>in</strong>flusst<br />
situativer Prozess<br />
Wissenserwerb erfolgt stets <strong>in</strong><br />
e<strong>in</strong>em spezifischen Kontext und<br />
ist mit <strong>die</strong>sem verbunden
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
130<br />
Lernen aus<br />
konstruktivistischer Sicht<br />
Mandl: Wissensaufbau aktiv gestalten. Schüler Wissen für Lehrer, 2006, S. 28-30<br />
E<strong>in</strong>e<br />
pragmatische<br />
Position zum<br />
Lehren und<br />
Lernen:
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
131<br />
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Didaktische Pr<strong>in</strong>zipien
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
132<br />
Didaktische Pr<strong>in</strong>zipien<br />
(unvollständige Liste)<br />
Pr<strong>in</strong>zipien<br />
Genetisches Pr<strong>in</strong>zip<br />
Sokratisches Pr<strong>in</strong>zip<br />
Exemplarisches Pr<strong>in</strong>zip<br />
Operatives Pr<strong>in</strong>zip<br />
Integrationspr<strong>in</strong>zip<br />
Pr<strong>in</strong>zip des<br />
aktiven Lernens<br />
(gelenkten) Entdeckenden<br />
Lernens<br />
Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong><br />
Realitätsnähe o<strong>der</strong> Lebensnähe<br />
Beziehungshaltigkeit<br />
<strong>in</strong>tegrierten Wie<strong>der</strong>holung<br />
Isolation <strong>der</strong> Schwierigkeiten<br />
Selbsttätigkeit<br />
Variation<br />
adäquaten Visualisierung<br />
Variation <strong>der</strong><br />
Veranschaulichungsmittel
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
133<br />
Pr<strong>in</strong>zipien des<br />
Lernens und Lehrens<br />
Wittmann: Standard Number Representations <strong>in</strong> the Teach<strong>in</strong>g of Arithmetic. In: JMD, 19 (1998) 2/3, S.149-178<br />
Wissensentwicklung<br />
Entwicklungsstufen<br />
Repräsentationsformen<br />
Zone <strong>der</strong><br />
proximalen<br />
Entwicklung<br />
(<strong>in</strong>ter-)<br />
aktives<br />
ganzheitliches<br />
Lernen organisieren<br />
<strong>in</strong>teraktiver<br />
Zugang zu<br />
Repräsentationen<br />
grundlegende<br />
Repräsentationen<br />
auswählen<br />
Operatives<br />
Pr<strong>in</strong>zip<br />
natürliche<br />
Differenzierung<br />
(Epistemologie =<br />
Erkenntnistheorie)<br />
fundamentale<br />
Ideen<br />
Spiralpr<strong>in</strong>zip<br />
schrittweise<br />
Schematisierung<br />
Vorwissen<br />
& natürliche<br />
Neugier<br />
nutzen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
134<br />
Operatives Pr<strong>in</strong>zip<br />
Piaget<br />
Operationen s<strong>in</strong>d ver<strong>in</strong>nerlichte / gedachte Handlungen.<br />
Denken vollzieht sich <strong>in</strong> Operationen.<br />
Operationen s<strong>in</strong>d flexibel und beweglich, also:<br />
umkehrbar o<strong>der</strong> reversibel (Reversibilität),<br />
zusammensetzbar o<strong>der</strong> kompositionsfähig (Kompositionsfähigkeit)<br />
assoziativ (Assoziativität),<br />
d. h. man kann auf verschiedenen Wegen zum Ziel kommen.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
135<br />
Operatives Pr<strong>in</strong>zip<br />
Bruner<br />
Wissensrepräsentation<br />
• enaktiv (handelnd)<br />
• ikonisch (bildhaft)<br />
• symbolisch<br />
Piaget<br />
Stufen <strong>der</strong><br />
kognitiven<br />
Entwicklung<br />
Aebli<br />
Ver<strong>in</strong>nerlichungsstufen<br />
• konkrete Stufe<br />
• figurale Stufe<br />
• symbolische Stufe<br />
Pr<strong>in</strong>zipien<br />
• Stufengemäßheit<br />
(vgl. Piaget)<br />
• Aufbaupr<strong>in</strong>zip<br />
• Ver<strong>in</strong>nerlichung<br />
• Reflexion<br />
Operatives<br />
Pr<strong>in</strong>zip<br />
Pr<strong>in</strong>zip des<br />
operativen<br />
Durcharbeitens<br />
Variation<br />
• Darstellungsebene<br />
• „Unwesentliches“<br />
(Veranschaulichungsmittel,<br />
mathematische<br />
Variablen, Kontext, …)<br />
• Ausgangssituation<br />
(Was passiert mit … ,<br />
wenn … )<br />
• Lösungsweg<br />
• gesuchte Größen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
136<br />
Operatives Pr<strong>in</strong>zip<br />
Wittmann: Objekte - Operationen - Wirkungen: Das operative Pr<strong>in</strong>zip <strong>in</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong>didaktik. <strong>Mathematik</strong> lehren 11, 1985<br />
Objekte erfassen bedeutet,<br />
zu erforschen,<br />
wie sie konstruiert s<strong>in</strong>d<br />
wie sie sich verhalten, wenn<br />
auf sie Operationen ausgeübt<br />
werden.<br />
Im Erkenntnisprozess wird<br />
systematisch untersucht,<br />
welche Operationen ausführbar<br />
und wie sie verknüpft s<strong>in</strong>d,<br />
welche Eigenschaften und<br />
Beziehungen den Objekten<br />
durch Konstruktion aufgeprägt<br />
s<strong>in</strong>d,<br />
welche Wirkungen Operationen<br />
auf Eigenschaften und<br />
Beziehungen <strong>der</strong> Objekte<br />
haben.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
137<br />
Spiralpr<strong>in</strong>zip<br />
(an Leitideen orientiert)<br />
Heymann: Allgeme<strong>in</strong>bildung und <strong>Mathematik</strong>, Beltz, 1996, S. 173-182<br />
Pr<strong>in</strong>zip<br />
des vorwegnehmenden Lernens<br />
<strong>der</strong> Fortsetzbarkeit<br />
Zentrale Ideen des MU<br />
Zahl<br />
Messen<br />
räumliches<br />
Strukturieren<br />
funktionaler<br />
Zusammenhang<br />
Daten und Zufall<br />
Algorithmus<br />
mathematisches<br />
Modellieren
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
138<br />
Sokratisches Pr<strong>in</strong>zip<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Lehrpr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Mäeutik<br />
Hebammenkunst<br />
Ausgangspunkt<br />
Menon-Sokrates-Dialog<br />
Pädagogische Grundhaltung<br />
Nicht belehren, son<strong>der</strong>n beim eigenen<br />
Entdecken und Urteilen helfen.<br />
Sokratisches Pr<strong>in</strong>zip<br />
Lehrer <strong>in</strong>itiiert und steuert durch Fragen<br />
den Problemlöseprozess <strong>der</strong> Schüler<br />
Lehrer hilft den Schülern, sich Wissen<br />
selbst anzueignen und e<strong>in</strong> Verständnis<br />
zu entwickeln<br />
Fragend-entwickeln<strong>der</strong> Unterricht
Menon-Sokrates-Dialog<br />
Sokrates A A‘ = 2A<br />
a = 2 Fuß a‘ = <br />
Sklave a‘ = 2a = 4 Fuß<br />
Sokrates a‘ = 2a A‘ = <br />
Sklave A‘ = 2A<br />
Sokrates 4 Ausgangsquadrate<br />
Sklave A‘ = 4A<br />
Sokrates a‘ = a = 2 Fuß A‘ = A < 2A<br />
a‘ = 2a = 4 Fuß A‘ = 4A > 2A<br />
Sklave a‘ = 3 Fuß<br />
Sokrates a‘ = 3 Fuß A‘ = <br />
Sklave A‘ = 9 Fuß² > 8 Fuß² = 2A<br />
Sokrates Wie dann<br />
Sklave <br />
Sokrates …<br />
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Platon: Auszug aus dem „Menon – Sokrates – Dialog“<br />
a A<br />
a<br />
139
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
140<br />
Trichtermuster <br />
Bauersfeld, H. Kommunikationsmuster im <strong>Mathematik</strong>unterricht.<br />
In: Bauersfeld, Breidenbach (Hrsg.): Festschrift, Hannover, 1978, S. 158 – 170<br />
Lehrer<strong>in</strong>:<br />
Schüler<strong>in</strong>: (schweigt)<br />
Lehrer<strong>in</strong>:<br />
… da ist ke<strong>in</strong> bestimmter Monat angegeben, dann nimmt man 30 Tage<br />
und rechnet mit den 30 Tagen, und <strong>in</strong> a) ist ja <strong>die</strong> Wassermenge von<br />
e<strong>in</strong>em Tag schon angegeben. Und wie viel ist denn das für e<strong>in</strong>en Monat<br />
Na, du weißt, e<strong>in</strong> Monat hat 30 Tage.<br />
Schüler<strong>in</strong>: (bejahend) … Hm …<br />
Lehrer<strong>in</strong>:<br />
Und nun<br />
Schüler<strong>in</strong>: (schweigt)<br />
Lehrer<strong>in</strong>:<br />
Schüler<strong>in</strong>: (schweigt)<br />
Lehrer<strong>in</strong>:<br />
Schüler<strong>in</strong>: 30 Tage.<br />
Lehrer<strong>in</strong>:<br />
E<strong>in</strong>e Stunde, du brauchst ja jetzt noch gar nicht zu sagen, wie viel e<strong>in</strong><br />
Tag hat, das musst du ja erst ausrechnen, also e<strong>in</strong> Tag hat x Hektoliter.<br />
Und dann kannst du x Hektoliter mal wie viel nehmen<br />
Na, wie viel haben wir gesagt für e<strong>in</strong>en Monat<br />
E<strong>in</strong>e Heilquelle hat e<strong>in</strong>e Ausschüttung<br />
von 200 hl pro Stunde. Welche<br />
Wassermenge liefert sie<br />
a) täglich,<br />
b) monatlich,<br />
c) jährlich<br />
Also x Hektoliter mal 30. Das wären <strong>die</strong> Hektoliter für e<strong>in</strong>en Monat.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
141<br />
Genetisches Pr<strong>in</strong>zip<br />
Wagensche<strong>in</strong>: Verstehen lehren. Beltz Verlag, We<strong>in</strong>heim und Basel, 1975 5<br />
Zentrales Anliegen<br />
Folge<br />
<strong>Mathematik</strong> nicht als<br />
Fertigprodukt lehren!<br />
Schüler sollen e<strong>in</strong>en E<strong>in</strong>blick <strong>in</strong><br />
den Prozess <strong>der</strong> Entstehung<br />
von <strong>Mathematik</strong> erhalten.<br />
(Genese = Entstehung, Entwicklung)<br />
Unterricht nach genetischem<br />
Pr<strong>in</strong>zip ist problemlösen<strong>der</strong><br />
Unterricht<br />
Begriffe werden als Antworten<br />
auf Fragen mit bzw. von den<br />
Schülern entwickelt
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
142<br />
Erdumfangsbestimmung<br />
(Eratosthenes)<br />
http://www.grenzste<strong>in</strong>.de/era/eratosthenes.html<br />
Jedes Jahr am 21. Juni wirft <strong>der</strong> Obelisk auf dem<br />
Marktplatz <strong>in</strong> Assuan (damals Syene) <strong>in</strong> Oberägypten<br />
zur Mittagszeit ke<strong>in</strong>en Schatten. Die Sonne steht also<br />
zu <strong>die</strong>ser Zeit genau senkrecht über <strong>die</strong>sem Obelisk.<br />
Zur gleichen Zeit wirft <strong>der</strong> Obelisk auf dem Marktplatz<br />
im 5000 Sta<strong>die</strong>n (ca. 1000 km) nördlich von Assuan<br />
liegenden Alexandria e<strong>in</strong>en deutlich erkennbaren<br />
Schatten.<br />
Eratosthenes hat den W<strong>in</strong>kel gemessen, den <strong>die</strong> Sonnenstrahlen mit dem<br />
Obelisken <strong>in</strong> Alexandria e<strong>in</strong>schlossen. Der W<strong>in</strong>kel betrug 1/50 des<br />
Vollw<strong>in</strong>kels.<br />
Wie konnte Eratosthenes damit den Erdumfang bestimmen<br />
Welches Ergebnis erhielt er<br />
Umfang<br />
<strong>der</strong> Erde<br />
Libyen<br />
Alexandria<br />
Ägypten<br />
Assuan<br />
(Syene)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
143<br />
Erdumfangsbestimmung<br />
(Eratosthenes)<br />
http://www.grenzste<strong>in</strong>.de/era/eratosthenes.html<br />
Bogenlänge und W<strong>in</strong>kel<br />
Verdoppelt man den W<strong>in</strong>kel α,<br />
so verdoppelt sich auch <strong>die</strong><br />
Bogenlänge b<br />
α : 360 = 1 : 50 = b : x<br />
Syene - Alexandria:<br />
b = 1000 km<br />
Erdumfang<br />
1 : 50 = 1000 : x<br />
Erdumfang:<br />
x = 50.000 km<br />
Tatsächlicher Erdumfang:<br />
ca. 40.000 km<br />
Horologium
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong><br />
Beziehungshaltigkeit<br />
144<br />
Grundlage<br />
Wissen wird im Gedächtnis als<br />
Netzwerk von Beziehungen<br />
gespeichert.<br />
Neues Wissen heißt e<strong>in</strong>glie<strong>der</strong>n<br />
<strong>in</strong> und erweitern von bereits<br />
vorhandene(n) Begriffsnetze(n).<br />
Stichworte<br />
Ausgehen von den<br />
Vorerfahrungen <strong>der</strong> Schüler<br />
kumulatives Lernen<br />
Kompetenzentwicklung<br />
erfahrbar machen<br />
Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Lebensnähe<br />
fachübergreifendes Lernen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
145<br />
Pr<strong>in</strong>zip des produktiven Übens<br />
Produktives (s<strong>in</strong>nvolles) Üben<br />
ist ke<strong>in</strong>e isolierte Tätigkeit,<br />
ist mit E<strong>in</strong>sicht verbunden,<br />
f<strong>in</strong>det regelmäßig statt,<br />
wird <strong>in</strong> <strong>die</strong> Erarbeitung<br />
neuer Inhalte <strong>in</strong>tegriert,<br />
geschieht <strong>in</strong> herausfor<strong>der</strong>nden<br />
und anregenden Kontexten,<br />
orientiert sich an dem was<br />
wirklich gebraucht wird.<br />
Gegensatz: Stereotypes Üben<br />
geht nicht auf Fehlerursachen e<strong>in</strong>,<br />
bietet ke<strong>in</strong>e konstruktive Hilfe,<br />
trägt zur Verfestigung von Denkfehlern<br />
bei.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Offene Aufgabe:<br />
Qua<strong>der</strong> kippen<br />
146<br />
E<strong>in</strong> Glasqua<strong>der</strong> wird teilweise mit Wasser gefüllt,<br />
auf e<strong>in</strong>en Tisch gestellt und um e<strong>in</strong>e se<strong>in</strong>er<br />
Bodenkanten gekippt.<br />
Die Grenzflächen des Wassers nehmen beim<br />
Kippen verschiedene geometrische Formen an,<br />
<strong>die</strong> sich auch <strong>in</strong> ihren Ausmaßen verän<strong>der</strong>n.<br />
Versuche, so viele unverän<strong>der</strong>liche<br />
Beziehungen wie möglich bezüglich <strong>die</strong>ser<br />
Formen und <strong>der</strong>en Ausmaße zu f<strong>in</strong>den.<br />
Notiere de<strong>in</strong>e<br />
Entdeckungen<br />
und versuche sie<br />
zu begründen.<br />
b·c = const.<br />
a + b = const.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
147<br />
Aufgabenvariation (Strategien)<br />
Schupp: Variatio delectat! Der <strong>Mathematik</strong>unterricht, Jahrgang 49, Heft 4, 2003, S. 4-12 und 53
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Aufgabenvariation:<br />
Überlappende Quadrate<br />
148<br />
Überlappende Quadrate<br />
Bestimme <strong>die</strong> Größe <strong>der</strong> Schnittfläche EMFD!<br />
Was ist <strong>der</strong> größte (kle<strong>in</strong>ste) Wert, den <strong>die</strong>se<br />
Überlappungsfläche annehmen kann<br />
E<strong>in</strong>ige Variationsmöglichkeiten<br />
Schlussfolgern: Was gilt für <strong>die</strong> Gesamtfläche<br />
aus den beiden Quadraten<br />
Begriff abän<strong>der</strong>n: Umfang statt Fläche<br />
Verallgeme<strong>in</strong>ern:<br />
Zweites Quadrat hat Kantenlänge b.<br />
Der Drehpunkt ist nicht M.<br />
Analogisieren: Kreise statt Quadrate<br />
usw.<br />
Vgl. Pythagoras<br />
Beweis
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
149<br />
Vollrath: Grundlagen des <strong>Mathematik</strong>unterrichts <strong>in</strong> <strong>der</strong> Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S. 217-234<br />
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Begriffe erarbeiten
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
150<br />
Begriffe<br />
Bauste<strong>in</strong>e des Wissens<br />
charakterisieren Objektklassen<br />
verdichten Informationen<br />
Grundlage sprachlicher Kommunikation<br />
bee<strong>in</strong>flussen <strong>die</strong> Gedächtnisleistung<br />
bee<strong>in</strong>flussen das Problemlösen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
151<br />
Begriffe und Problemlösen<br />
Quelle von Problemstellungen<br />
Mittel zum Präzisieren von<br />
Problemstellungen<br />
Lösungshilfen für Probleme<br />
Lösungen von Problemen<br />
Mittel zur Sicherung von<br />
Problemlösungen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
152<br />
Rolle von Begriffen<br />
Leitbegriff e<strong>in</strong>es Themenstrangs<br />
z. B. Symmetrie, Funktion, Wahrsche<strong>in</strong>lichkeit, Figur, …<br />
Schlüsselbegriff e<strong>in</strong>er Unterrichtssequenz<br />
z. B. Bruch, Proportionalität, Symmetrische Vierecke, …<br />
Zentraler Begriff e<strong>in</strong>er Unterrichtse<strong>in</strong>heit<br />
Begriff, <strong>der</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> Unterrichtse<strong>in</strong>heit erarbeitet wird.<br />
Arbeitsbegriff<br />
Benennung, um über Sachverhalte überhaupt<br />
ohne Umschreibung sprechen zu können.<br />
Arbeitsbegriffe werden im Unterricht durch den Gebrauch vertraut.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Stufen des (Leit-)<br />
Begriffsverständnisses<br />
153<br />
Vollrath: Methodik des Begriffslehrens im MU. Ernst Klett Verlag, 1984, S. 215-217<br />
Intuitives Begriffsverständnis<br />
Begriff als Phänomen<br />
Beispiele kennen<br />
Inhaltliches Begriffsverständnis<br />
Begriff als Träger von Eigenschaften<br />
Eigenschaften kennen<br />
Diff‘barkeit<br />
Integriertes Begriffsverständnis<br />
Begriff als Teil e<strong>in</strong>es Begriffsnetzes<br />
Beziehungen von Eigenschaften untere<strong>in</strong>an<strong>der</strong><br />
und Beziehungen zu an<strong>der</strong>en Begriffen kennen<br />
Strukturelles Begriffsverständnis<br />
Begriff als strukturierbares Objekt<br />
Begriffe als Objekte, <strong>die</strong> verknüpft werden können.<br />
y<br />
8<br />
-3 -2 -1 1 2 3<br />
-1<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
x<br />
f · g
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Modelle langfristigen<br />
Begriffslernens<br />
154<br />
Lernen als Ersteigen von Stufen<br />
Reflexion und Analyse bereits erworbenen Wissens<br />
führt zu Wissen höherer Qualität. Höhere Stufe<br />
Lernen durch Erweiterung<br />
Neue Objekte beseitigen Grenzen, auf <strong>die</strong> man beim<br />
Operieren mit den bisherigen Objekten stößt.<br />
Vertrautes wird nun <strong>in</strong> neuem Licht gesehen.<br />
Z.B. Erweiterung von Zahlenmengen: rational, reell, komplex
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
155<br />
Verstehen e<strong>in</strong>es Begriffs<br />
Lernende haben e<strong>in</strong>en Begriff verstanden, wenn sie<br />
Bezeichnung des Begriffs kennen,<br />
Beispiele angeben und jeweils begründen können,<br />
warum es sich um e<strong>in</strong> Beispiel handelt,<br />
begründen können, weshalb etwas<br />
nicht unter e<strong>in</strong>en Begriff fällt,<br />
charakteristische Eigenschaften des Begriffs kennen,<br />
Ober-, Unter- und Nachbarbegriffe kennen,<br />
mit dem Begriff arbeiten können<br />
(z. B. im Rahmen von Problemlösungen)
Erarbeiten e<strong>in</strong>es Begriffs<br />
Erfahrungen zum Begriff sammeln<br />
Handlungen (enaktive Repräsentation)<br />
Objekte darbieten<br />
Beispiele für Begriffe (ikonische Repräsentation)<br />
Merkmale entdecken<br />
Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Variation<br />
Pr<strong>in</strong>zip des Kontrasts<br />
Sprache (benennen, beschreiben)<br />
Def<strong>in</strong>ition erarbeiten<br />
Genetische Def<strong>in</strong>ition<br />
Charakterisierende Def<strong>in</strong>ition<br />
Oberbegriff angeben<br />
Def<strong>in</strong>ierende Eigenschaft notwendige & h<strong>in</strong>reichende Bed<strong>in</strong>gung<br />
Kritisch Reflektieren<br />
Def<strong>in</strong>ition durch möglichst „schwache“ For<strong>der</strong>ung<br />
Bezeichnung: Herkunft / evtl. Abgrenzung gegen Umgangssprache<br />
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
156
Unterrichtsphasen<br />
(bei zentralen Begriffen)<br />
E<strong>in</strong>stieg<br />
An e<strong>in</strong>em geeigneten Problemkontext werden<br />
erste Vorstellungen vom Begriff entwickelt.<br />
Erarbeitung<br />
Umfang & Inhalt des Begriffs herausarbeiten<br />
Sicherung<br />
Ergebnisse festhalten<br />
mit Hilfe geeigneter Aufgaben überprüfen,<br />
ob <strong>der</strong> Begriff erfasst ist und etwa gegen<br />
an<strong>der</strong>e Begriffe abgegrenzt werden kann<br />
(z. B. Frage nach Beispielen und Gegenbeispielen)<br />
Vertiefung (Transfer)<br />
Querverb<strong>in</strong>dungen zu an<strong>der</strong>en Begriffen herstellen<br />
Spezialfälle (<strong>in</strong>sbeson<strong>der</strong>e Grenzfälle) betrachten<br />
(z. B. auch Variation <strong>der</strong> def<strong>in</strong>ierenden Eigenschaften)<br />
Anwendungen, …<br />
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Verankerung<br />
<strong>in</strong> kognitiver<br />
Struktur<br />
157
Beispiel: Tangente<br />
an e<strong>in</strong>en Kreis<br />
E<strong>in</strong>stieg<br />
Wie viele Punkte können<br />
e<strong>in</strong> Kreis und e<strong>in</strong>e Gerade<br />
geme<strong>in</strong>sam haben<br />
Erarbeitung<br />
Tangente, 1 Berührpunkt,<br />
Sekante, 2 Schnittpunkte,<br />
Passante, ke<strong>in</strong>e gem. Punkte.<br />
Sicherung: Tangente zeichnen!<br />
Vertiefung:<br />
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Besitzt <strong>die</strong> Figur aus Kreis und<br />
Tangente e<strong>in</strong>e Symmetrieachse<br />
Ja! Tangente steht senkrecht<br />
zum Berührpunktradius.<br />
Wie kann man <strong>die</strong> Tangente konstruieren<br />
k<br />
M<br />
B<br />
t<br />
158
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Beispiel: Tangente<br />
an e<strong>in</strong>en Kreis<br />
159<br />
Vertiefung:<br />
Wie viele Tangenten an den Kreis verlaufen durch den Punkt P<br />
Skizziere Sie!<br />
Wie kann man <strong>die</strong> Tangenten konstruieren<br />
M<br />
P
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
160<br />
Beispiel:<br />
Dreiecksgrundformen<br />
Roth: Dreiecksgrundformen. In: Praxis <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> Schule, Heft 12, Dezember 2006, 48. Jg., S. 21-25<br />
Grundverständnis <strong>der</strong> Begriffe<br />
gleichschenkliges Dreieck<br />
rechtw<strong>in</strong>kliges Dreieck<br />
spitzw<strong>in</strong>kliges Dreieck<br />
stumpfw<strong>in</strong>kliges Dreieck<br />
A<br />
C<br />
B<br />
Ziel: Erarbeitung e<strong>in</strong>er Verständnisgrundlage<br />
Begriffe als „bewegliche“ Strukturen aufbauen<br />
Begriffe flexibler verfügbar machen<br />
als mit statischen Prototypen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
161<br />
Gleichschenklige Dreiecke<br />
1) Bewege den Punkt C so, dass Dreiecke entstehen, <strong>die</strong><br />
a) gleichschenklig mit |AC| = |BC| s<strong>in</strong>d,<br />
b) gleichschenklig mit |AC| = |AB| s<strong>in</strong>d,<br />
c) gleichschenklig mit |BC| = |AB| s<strong>in</strong>d.<br />
2) Angabe von Kurven<br />
(Begründung)<br />
3) Wi<strong>der</strong>legen bzw. vertrauensbildende<br />
Maßnahme durch<br />
B<strong>in</strong>den von C an <strong>die</strong> Kurven.<br />
4) Beobachtung <strong>der</strong> Innenw<strong>in</strong>kel<br />
Basisw<strong>in</strong>kelsatz<br />
5) Gleichseitige Dreiecke<br />
75°<br />
3,6 cm<br />
<br />
A<br />
60°<br />
C<br />
<br />
5 cm<br />
4,5 cm<br />
b<br />
B<br />
45°
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
162<br />
Dreiecksgrundformen<br />
„Merkbild“<br />
http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
163<br />
Eckpunkt wan<strong>der</strong>t auf e<strong>in</strong>er<br />
Kurve<br />
http://www.juergen-roth.de/dynageo/dreiecksgrundformen/
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
164<br />
Vollrath: Grundlagen des <strong>Mathematik</strong>unterrichts <strong>in</strong> <strong>der</strong> Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S. 234-246<br />
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Sachverhalte erarbeiten
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
165<br />
Sachverhalte!<br />
Regeln für<br />
den Umgang mit<br />
mathematischen<br />
Objekten<br />
Eigenschaften<br />
von Begriffen<br />
Eigenschaften<br />
mathematischer<br />
Objekte<br />
Sachverhalte<br />
Beziehungen<br />
zwischen<br />
Begriffen<br />
Begründbare Aussagen<br />
Regeln<br />
Gesetze<br />
Sätze
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
166<br />
Didaktische Aufgaben<br />
Entdecken von Sachverhalten<br />
Induktiv o<strong>der</strong> deduktiv Hypothesen wi<strong>der</strong>legen<br />
Beispiel: „Quadrieren vergrößert.“<br />
Formulieren <strong>der</strong> Sachverhalte<br />
als mathematische Aussagen<br />
Begründen <strong>der</strong> Aussagen<br />
Logische Struktur (Voraussetzung,<br />
Behauptung) herausarbeiten<br />
Ziele des Begründens<br />
Wahrheit e<strong>in</strong>er Aussage sichern<br />
E<strong>in</strong>sicht <strong>in</strong> den Sachverhalt vermitteln<br />
2² = 4 > 2<br />
3² = 9 > 3<br />
4² = 16 > 4<br />
a² > a<br />
a R\[0;1]<br />
Fallunterscheidung<br />
Verstehen <strong>der</strong> Sachverhalte<br />
Ziel: Anregen von geistigen Prozessen, <strong>die</strong> zu<br />
(neuen) mathematischen Erkenntnissen führen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Verschiedene<br />
Begründungsweisen<br />
167<br />
Erfahren von<br />
Handlungsspielräumen<br />
und Sachzwängen<br />
Probieren<br />
Messen b + b + <br />
31° 44,5° 115° 180,5°<br />
51° 92° 35° 179°
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Verschiedene<br />
Begründungsweisen<br />
168<br />
Son<strong>der</strong>fall<br />
Beweis<br />
Parallelw<strong>in</strong>kel (2. AHS)<br />
Zwei Parallelw<strong>in</strong>kel s<strong>in</strong>d<br />
entwe<strong>der</strong> gleich groß o<strong>der</strong> sie<br />
ergänzen e<strong>in</strong>an<strong>der</strong> auf 180°.<br />
180 ° =<br />
+ b +
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Skizze e<strong>in</strong>er Unterrichtse<strong>in</strong>heit<br />
B<strong>in</strong>omische Formel<br />
169<br />
E<strong>in</strong>stieg:<br />
Erarbeitung:<br />
Ergebnis:<br />
Die Seitenlänge a e<strong>in</strong>es Quadrates wird um b vergrößert.<br />
Wie än<strong>der</strong>t sich <strong>der</strong> Flächen<strong>in</strong>halt des Quadrates<br />
( a + b )<br />
2<br />
( a + b )<br />
2<br />
=<br />
2<br />
( a + b ) =<br />
2<br />
a + 2ab<br />
B<strong>in</strong>omische Formel<br />
+ b<br />
2<br />
= ( a + b )·( a + b )<br />
= a<br />
2<br />
+ ab + ab + b<br />
2<br />
2<br />
= a + 2ab + b<br />
2<br />
2<br />
a 2ab<br />
Sicherung: (x + y) 2 , (x + 3) 2 , (5 + z) 2 , (a + 2b) 2 ,<br />
(x 2 + y 3 ) 2 , c 2 + 2cd + d 2 , …<br />
+<br />
b<br />
b<br />
a<br />
ab<br />
a²<br />
a<br />
b²<br />
ab<br />
+ 2 Probleme:<br />
(a+b)² = a²+b²<br />
(2xy+3vw)²<br />
b<br />
Vertiefung:<br />
Verwandle (a b)² <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e Summe.<br />
Lässt sich <strong>die</strong>se Aussage geometrisch deuten …
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
170<br />
Vertiefung:<br />
Skizze e<strong>in</strong>er Unterrichtse<strong>in</strong>heit<br />
B<strong>in</strong>omische Formel<br />
Verwandle (a b)² <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e Summe.<br />
Lässt sich <strong>die</strong>se Aussage geometrisch deuten …<br />
2<br />
( a + b ) =<br />
2<br />
( a - b ) =<br />
2<br />
a - b<br />
2 = ( b )· a - b<br />
2<br />
a + 2ab<br />
2<br />
a - 2ab<br />
Wie lässt sich <strong>die</strong> 3. b<strong>in</strong>omische<br />
Formel geometrisch darstellen<br />
a + ( )<br />
+ b<br />
2<br />
+ b<br />
2<br />
http://www.realmath.de/<strong>Mathematik</strong>/Mathepage/B<strong>in</strong>om<strong>in</strong>dexneu.html
Vollrath: Grundlagen des <strong>Mathematik</strong>unterrichts <strong>in</strong> <strong>der</strong> Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S. 246-252<br />
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Algorithmen erarbeiten<br />
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Algorithmus = (Lösungs-)Verfahren<br />
171
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
172<br />
Didaktische Aufgaben<br />
Verfahren<br />
Schrittfolgen, <strong>die</strong> abzuarbeiten s<strong>in</strong>d.<br />
Ziele: Die Schüler<br />
Alle Schritte begründen.<br />
(Beitrag zur Lösung verdeutlichen)<br />
Das verstandene (!) Verfahren<br />
durch Anwendung üben.<br />
eignen sich das Verfahren an (Primat des Verstehens)<br />
(d. h. sie verstehen es und können es anwenden)<br />
können zwischen dem Ziel und dem Weg dah<strong>in</strong> unterscheiden<br />
(Ziel: „+2 auf <strong>die</strong> an<strong>der</strong>e Seite br<strong>in</strong>gen“;<br />
Weg: „Auf beiden Seiten 2 subtrahieren.“)<br />
denken über Alternativen nach und versuchen,<br />
den gefundenen Algorithmus zu verbessern,<br />
notieren das Lösungsschema mit zunehmendem Alter<br />
als Algorithmus, <strong>der</strong> von Computern ausführbar ist.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Benötigte Vorkenntnisse<br />
und Fähigkeiten<br />
173<br />
Voraussetzungen für das Lernen e<strong>in</strong>es Verfahrens<br />
Beherrschung e<strong>in</strong>er Regelhierarchie<br />
Zur Sicherstellung s<strong>in</strong>d Wie<strong>der</strong>holungen nötig<br />
Beispiel für e<strong>in</strong>e<br />
Fähigkeitshierarchie<br />
Schriftliche Multiplikation<br />
mehrstelliger Zahlen<br />
mite<strong>in</strong>an<strong>der</strong><br />
Schriftliche Addition<br />
mehrstelliger Zahlen<br />
Schriftliche Multiplikation<br />
mehrstelliger Zahlen mit<br />
e<strong>in</strong>er e<strong>in</strong>stelligen Zahl<br />
E<strong>in</strong>spluse<strong>in</strong>s im Kopf<br />
Kle<strong>in</strong>es E<strong>in</strong>male<strong>in</strong>s im Kopf
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
174<br />
Euklidischer Algorithmus (ggT)<br />
http://www.juergen-roth.de/excel/<br />
72 = 1 51 + 21<br />
51 = 2 21 + 9<br />
21 = 2 9 + 3<br />
51<br />
9 = 3 3 + 0<br />
72
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
175<br />
Euklidischer Algorithmus (ggT)<br />
Der größte geme<strong>in</strong>same Teiler<br />
(ggT) zweier Zahlen lässt sich<br />
über <strong>die</strong> Primfaktorzerlegung<br />
o<strong>der</strong> den Euklidischen<br />
Algorithmus bestimmen.<br />
72<br />
= 1 +<br />
51<br />
= 1 +<br />
= 1 +<br />
21 1 1<br />
= 1 + = 1 +<br />
51 51 9<br />
2 +<br />
21 21<br />
1<br />
1<br />
= 1 +<br />
1<br />
2 + 2 +<br />
2 +<br />
2 +<br />
1<br />
21<br />
9<br />
1<br />
1<br />
2 +<br />
1<br />
9<br />
3<br />
= 1 +<br />
2 +<br />
3<br />
9<br />
1<br />
1<br />
2 +<br />
1<br />
3<br />
72<br />
ggT(72, 51) = 3<br />
51
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Heron-Verfahren<br />
(Wurzelberechnung)<br />
176<br />
Berechnungsgrundlage für Straßenre<strong>in</strong>igungsgebühren<br />
An <strong>die</strong> Straße grenzende Grundstückslänge<br />
(Frontmetermaßstab).<br />
Der Eigentümer von Grundstück B muss mehr bezahlen<br />
als <strong>der</strong> von Grundstück A, obwohl Grundstück A größer ist.<br />
Geme<strong>in</strong><strong>der</strong>at: Für e<strong>in</strong> größeres Grundstück mehr zahlen.<br />
Lösung: Quadratwurzelmaßstab als Bemessungsgrundlage<br />
Straßenre<strong>in</strong>igungsgebühren<br />
werden aus <strong>der</strong> Seitenlänge<br />
e<strong>in</strong>es zum Grundstück<br />
flächen<strong>in</strong>haltsgleichen<br />
Quadrats berechnet.<br />
Frage: Wie f<strong>in</strong>det man <strong>die</strong><br />
Seitenlänge <strong>die</strong>ses Quadrats<br />
A<br />
B
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
177<br />
Heron-Verfahren<br />
(Wurzelberechnung)<br />
http://www.juergen-roth.de/excel/<br />
Gesucht:<br />
A<br />
a 0<br />
= 4<br />
Anfangswert: a<br />
0<br />
a<br />
b =<br />
n<br />
n + 1<br />
=<br />
A<br />
a<br />
a<br />
n<br />
n<br />
+<br />
2<br />
b<br />
n<br />
b<br />
A<br />
a<br />
= =<br />
0<br />
0<br />
6<br />
b<br />
A<br />
a<br />
= =<br />
1<br />
1<br />
A = 24<br />
4 , 8<br />
a<br />
+ b<br />
2<br />
0 0<br />
a = =<br />
1<br />
5
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Schwierigkeiten und<br />
Überraschungen<br />
178
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
179<br />
Vollrath: Grundlagen des <strong>Mathematik</strong>unterrichts <strong>in</strong> <strong>der</strong> Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S. 255-263<br />
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Anwenden und Modellieren
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
180<br />
Anwenden!<br />
<strong>Mathematik</strong> anwenden<br />
<strong>in</strong>nermathematische<br />
Anwendung<br />
außermathematische<br />
Anwendung<br />
Ziel: Querverb<strong>in</strong>dungen<br />
zwischen<br />
mathematischen<br />
Gebieten herstellen<br />
Ziel: „Nutzen“<br />
<strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
verdeutlichen &<br />
motivieren<br />
1. Weg:<br />
E<strong>in</strong>stieg <strong>in</strong> neues<br />
Gebiet mit e<strong>in</strong>em<br />
„praktischen“<br />
Problem<br />
2. Weg:<br />
Anwendungsbeispiele<br />
nach<br />
Erarbeitung<br />
e<strong>in</strong>es Gebietes
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
181<br />
Geistige Abenteuerlust<br />
Es geht nicht um<br />
„frisierte“, also<br />
m<strong>in</strong>destens bere<strong>in</strong>igte<br />
o<strong>der</strong> e<strong>in</strong>gekleidete<br />
Sachaufgaben,<br />
son<strong>der</strong>n um <strong>die</strong><br />
Ause<strong>in</strong>an<strong>der</strong>setzung<br />
mit realen Problemen.<br />
Die Schüler sollen<br />
das Modellieren an<br />
e<strong>in</strong>fachen Beispielen<br />
selbst erfahren und<br />
darüber reflektieren<br />
können.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
182<br />
Beispiel: Standzyl<strong>in</strong><strong>der</strong><br />
Kann man <strong>die</strong> Flüssigkeit<br />
aus dem l<strong>in</strong>ken<br />
Standzyl<strong>in</strong><strong>der</strong> <strong>in</strong> den<br />
rechten Standzyl<strong>in</strong><strong>der</strong><br />
schütten, ohne dass er<br />
überläuft<br />
Modell: zwei kreisförmige<br />
Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong> mit R = 3r.<br />
V = R 2 π h = (3r) 2 π h<br />
= 9 r 2 π h<br />
Antwort: Ne<strong>in</strong>, dazu müsste <strong>der</strong> rechte<br />
Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong> m<strong>in</strong>d. 9mal so hoch wie <strong>der</strong><br />
Flüssigkeitsstand im l<strong>in</strong>ken Zyl<strong>in</strong><strong>der</strong> se<strong>in</strong>.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
183<br />
Modellierungskreislauf<br />
reales<br />
Modell<br />
Mathe-<br />
matisieren<br />
mathem.<br />
Modell<br />
Idealisieren<br />
Strukturieren<br />
Vere<strong>in</strong>fachen<br />
Präzisieren<br />
mathematische<br />
Überlegungen<br />
reale<br />
Situation<br />
Anwenden<br />
Interpretieren<br />
Vali<strong>die</strong>ren<br />
mathem.<br />
Resultate
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
184<br />
Beispiel: Luft-Nummer<br />
Viel heiße Luft br<strong>in</strong>gt e<strong>in</strong>en mit<br />
Sicherheit nach oben. Niemand weiß<br />
das besser als lan Ashpole. Der 43-<br />
jährige stand <strong>in</strong> England auf <strong>der</strong> Spitze<br />
e<strong>in</strong>es Heißluftballons. Die Luftnummer<br />
<strong>in</strong> 1500 Meter Höhe war noch <strong>der</strong><br />
ungefährlichste Teil <strong>der</strong> Aktion.<br />
Kritischer war <strong>der</strong> Start: Nur durch e<strong>in</strong><br />
Seil gesichert, musste sich Ashpole auf<br />
dem sich füllenden Ballon halten. Bei<br />
<strong>der</strong> Landung strömte dann <strong>die</strong> heiße<br />
Luft aus e<strong>in</strong>em Ventil direkt neben<br />
se<strong>in</strong>en Be<strong>in</strong>en vorbei. Doch außer<br />
leichten Verbrennungen trug <strong>der</strong><br />
Ballonfahrer ke<strong>in</strong>e Verletzungen davon.<br />
Wie viel Liter Luft s<strong>in</strong>d wohl <strong>in</strong><br />
<strong>die</strong>sem Heißluftballon
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
185<br />
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Problemlösen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
186<br />
<strong>Mathematik</strong> im Entstehen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
187<br />
<strong>Mathematik</strong> und Kochen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
188<br />
Was ist e<strong>in</strong> Problem<br />
A problem is a situation <strong>in</strong> which a person wants to reach<br />
a particular goal, is somehow blocked from reach<strong>in</strong>g that<br />
goal, but has the necessary motivation, knowledge and<br />
other resources to make a serious effort (not necessarily<br />
successful) at reach<strong>in</strong>g the goal (Willoughby, 1990).
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
189<br />
Strategien<br />
Vorwärtsarbeiten<br />
Was ist gegeben<br />
Was weiß ich über das Gegebene<br />
Was kann ich daraus ermitteln<br />
Rückwärtsarbeiten<br />
Invarianzpr<strong>in</strong>zip<br />
Was ist gesucht<br />
Was weiß ich über das Gesuchte<br />
Was benötige ich, um das Gesuchte zu ermitteln<br />
Was än<strong>der</strong>t sich nicht<br />
Was haben alle Objekte geme<strong>in</strong>sam<br />
Zerlegungspr<strong>in</strong>zip („divide et impera“)<br />
Welche Teilfragen s<strong>in</strong>d zu lösen<br />
Spezialisieren, Analogisieren, Konkretisieren
Heuristische Hilfsmittel<br />
x x² …<br />
Tabelle<br />
Ausprobieren!<br />
Welche Werte sollen <strong>in</strong> <strong>die</strong> Tabelle<br />
e<strong>in</strong>getragen werden<br />
n+(n+1)+(n+2)<br />
= 3n+3<br />
= 3(n+1)<br />
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Informative Figur<br />
Hilft beim Verständnis des Problems.<br />
Beim Zeichnen wird deutlich, welche<br />
Informationen zur Lösung benötigt werden.<br />
Was benötige ich, um das Gesuchte zu<br />
ermitteln<br />
Gleichung / Term<br />
Beziehungen <strong>der</strong> Informationen werden<br />
verknüpft dargestellt.<br />
Nicht immer notwendig!<br />
190
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
191<br />
Wie sucht man <strong>die</strong> Lösung<br />
Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995<br />
Erstens<br />
Du musst <strong>die</strong> Aufgabe verstehen.<br />
Zweitens<br />
Suche den Zusammenhang zwischen<br />
den Daten und <strong>der</strong> Unbekannten.<br />
Du musst vielleicht Hilfsaufgaben betrachten,<br />
wenn e<strong>in</strong> unmittelbarer Zusammenhang<br />
nicht gefunden werden kann.<br />
Du musst schließlich e<strong>in</strong>en Plan<br />
<strong>der</strong> Lösung erhalten.<br />
Drittens<br />
Führe de<strong>in</strong>en Plan aus.<br />
Viertens<br />
Prüfe <strong>die</strong> erhaltene Lösung.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
192<br />
Wie sucht man <strong>die</strong> Lösung<br />
Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
193<br />
Wie sucht man <strong>die</strong> Lösung<br />
Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995 4 , Umschlag<strong>in</strong>nenseite
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
194<br />
Wie sucht man <strong>die</strong> Lösung<br />
Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995 4 , Umschlag<strong>in</strong>nenseite
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
195<br />
Wie sucht man <strong>die</strong> Lösung<br />
Polya: Die Schule des Denkens. Francke Verlag,1995 4 , Umschlag<strong>in</strong>nenseite
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
196<br />
E<strong>in</strong>fache E<strong>in</strong>stiegsprobleme<br />
Roth: Onl<strong>in</strong>e-Spiele im <strong>Mathematik</strong>unterricht! In: <strong>Mathematik</strong> lehren, Heft 146, Februar 2008, S. 68-69<br />
http://www.gamecraft.de/get_gruppe.phpgruppe=ma
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
197<br />
Beispiel: Anzahl von Wegen<br />
Auf wie vielen Wegen kannst du von A nach B kommen,<br />
wenn du nur nach Norden o<strong>der</strong> Osten gehen darfst
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
198<br />
Beispiel: Anzahl von Wegen<br />
Hals: Problem Solv<strong>in</strong>g, 2010<br />
Auf wie vielen Wegen kannst du von A nach B kommen,<br />
wenn du nur nach Norden o<strong>der</strong> Osten gehen darfst<br />
1<br />
E<strong>in</strong>fachere<br />
Teilprobleme<br />
(Divide et impera)<br />
1 4<br />
1<br />
3 6<br />
1<br />
2 3<br />
4<br />
1 1<br />
1 1
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
199<br />
Beispiel: Anzahl von Wegen<br />
Auf wie vielen Wegen kannst du von A nach B kommen,<br />
wenn du nur nach Norden o<strong>der</strong> Osten gehen darfst<br />
Aufgabenvariation: Was passiert bei...<br />
1 1<br />
1 2 1<br />
1 3 3 1<br />
1 4 6 4 1<br />
...<br />
a) 8 x 8 Blöcken<br />
b) n x n Blöcken<br />
c) n x m Blöcken<br />
d) Drei Dimensionen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
200<br />
Beispiel: Dreiecksabstände<br />
Hals: Problem Solv<strong>in</strong>g, 2010<br />
Gleichseitiges Dreieck. Kannst du e<strong>in</strong>en<br />
Zusammenhang zwischen x, y, z und h f<strong>in</strong>den<br />
Beweise de<strong>in</strong>e Vermutung.<br />
Langweilig!
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
201<br />
Was ist e<strong>in</strong> Problem<br />
A problem is a situation <strong>in</strong> which a person wants to reach<br />
a particular goal, is somehow blocked from reach<strong>in</strong>g that<br />
goal, but has the necessary motivation, knowledge and<br />
other resources to make a serious effort (not necessarily<br />
successful) at reach<strong>in</strong>g the goal (Willoughby, 1990).
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
202<br />
Beispiel: Surfer<br />
Hals: Problem Solv<strong>in</strong>g, 2010<br />
Ella und Judith s<strong>in</strong>d exzellente Surfer. Sie möchten<br />
e<strong>in</strong>e Hütte auf ihrer dreieckigen Traum<strong>in</strong>sel bauen,<br />
wo es an zum<strong>in</strong>dest e<strong>in</strong>em <strong>der</strong> drei genau gleich<br />
langen Strände immer gute Surfbed<strong>in</strong>gungen gibt.<br />
Wo sollen sie ihre Hütte bauen,<br />
damit <strong>die</strong> Summe <strong>der</strong> Abstände<br />
zu den drei Stränden so kle<strong>in</strong><br />
wie möglich ist<br />
Kannst du beweisen, dass<br />
du richtig liegst
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
203<br />
Gleichseitiges Dreieck<br />
Wir beweisen, dass x + y + z = h<br />
Total area =<br />
Total area =<br />
s<br />
h<br />
2<br />
s x s y s <br />
+ +<br />
z<br />
2 2 2<br />
s x s y s z s <br />
+ + =<br />
h<br />
2 2 2 2<br />
s x+ s y + s z = s h<br />
x + y + z = h<br />
Satz von Viviani<br />
Geometrischer<br />
Beweis
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
204<br />
Beispiel: Surfer<br />
Unrealistisch, weil es ke<strong>in</strong>e dreieckigen Inseln gibt.<br />
Stimmt nicht!<br />
Svið<strong>in</strong>sey, Island
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
205<br />
Beispiel: Hubschrauber<br />
Zech: Grundkurs <strong>Mathematik</strong>didaktik. Beltz Verlag, We<strong>in</strong>heim, Basel, 1998, S. 319<br />
Zwei Orte A und B liegen 245 km vone<strong>in</strong>an<strong>der</strong> entfernt. In Ort A<br />
startet e<strong>in</strong> Auto <strong>in</strong> Richtung Ort B und legt durchschnittlich <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er<br />
Stunde 60 km zurück. Gleichzeitig startet <strong>in</strong> Ort B e<strong>in</strong> Auto <strong>in</strong><br />
Richtung Ort A und legt <strong>in</strong> <strong>der</strong> Stunde durchschnittlich 80 km<br />
zurück. Während <strong>die</strong> beiden Autos losfahren, startet gleichzeitig e<strong>in</strong><br />
Hubschrauber <strong>in</strong> Ort A. Der Hubschrauber fliegt mit e<strong>in</strong>er<br />
Durchschnittsgeschw<strong>in</strong>digkeit von 240 km/h <strong>in</strong> Richtung Ort B. In<br />
<strong>die</strong>ser Richtung fliegt er so lange, bis er auf das Auto aus B trifft. Er<br />
wendet ohne Zeitverlust und fliegt <strong>in</strong> Richtung Ort A, bis er auf das<br />
Auto, das <strong>in</strong> Ort A gestartet ist, trifft. Auf <strong>die</strong>se Weise fliegt <strong>der</strong><br />
Hubschrauber immer zwischen den beiden Autos h<strong>in</strong> und her, bis<br />
<strong>die</strong> Fahrzeuge sich treffen. Wie viele Kilometer legt <strong>der</strong><br />
Hubschrauber währenddessen zurück
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
206<br />
Beispiel: Hubschrauber<br />
240 km/h<br />
2<br />
2<br />
60 km/h 80 km/h<br />
245 km<br />
245 km<br />
km<br />
140 h<br />
=<br />
1,75 h<br />
km<br />
240 1,75 h = 420 km<br />
h
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
207<br />
Beispiel: Hubschrauber
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
208<br />
Beispiel: Hubschrauber
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
209<br />
Beispiel: Hubschrauber
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
210<br />
Beispiel: Hubschrauber
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
211<br />
Beispiel: Hubschrauber
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
212<br />
Beispiel: Hubschrauber
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
213<br />
Hilfen beim Problemlösen<br />
Zech: Grundkurs <strong>Mathematik</strong>didaktik. Beltz,1998, S. 315<br />
So wenig wie möglich, aber so viel wie nötig.<br />
Motivationshilfen<br />
Rückmeldungshilfen<br />
Allgeme<strong>in</strong>strategische Hilfen<br />
Inhaltsorientierte strategische Hilfen<br />
Inhaltliche Hilfen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
214<br />
Hilfen beim Problemlösen<br />
Zech: Grundkurs <strong>Mathematik</strong>didaktik. Beltz,1998, S. 319<br />
Motivationshilfen<br />
Rückmeldungshilfen<br />
Allgeme<strong>in</strong>strategische<br />
Hilfen<br />
Inhaltsorientierte<br />
strategische<br />
Hilfen<br />
Inhaltliche<br />
Hilfen<br />
Die Aufgabe ist<br />
nicht schwer.<br />
Du bist auf<br />
e<strong>in</strong>em richtigen<br />
Weg.<br />
Lies <strong>die</strong> Aufgabe<br />
genau durch.<br />
Versuche de<strong>in</strong>e<br />
Kenntnisse zu …<br />
anzuwenden.<br />
Zeichne folgende<br />
Hilfsl<strong>in</strong>ie e<strong>in</strong>.<br />
Du kannst das<br />
schaffen.<br />
Du stehst kurz<br />
vor <strong>der</strong> Lösung.<br />
Notiere<br />
gegebene Daten.<br />
Versuche<br />
graphisch zu<br />
lösen.<br />
Denk an den<br />
Zusammenhang<br />
…<br />
Man braucht<br />
nicht viel Zeit zur<br />
Lösung.<br />
Da musst du<br />
noch e<strong>in</strong>mal<br />
nachrechnen<br />
Erstelle e<strong>in</strong>e<br />
Skizze.<br />
Überprüfe <strong>die</strong><br />
Größenordnung<br />
<strong>der</strong> Ergebnisse.<br />
Versuche aus<br />
den gegebenen<br />
Größen … <strong>die</strong><br />
fehlende zu<br />
berechnen.<br />
Man f<strong>in</strong>det<br />
schnell<br />
Lösungsideen.<br />
Mach weiter so.<br />
Überprüfe de<strong>in</strong>en<br />
Lösungsweg.<br />
Überprüfe <strong>die</strong><br />
Ergebnisse am<br />
Text.<br />
Jetzt weißt<br />
du …, also …!
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Anfor<strong>der</strong>ungsniveau<br />
von Problemen<br />
215<br />
Anschaulichkeit bzw.<br />
Abstraktionsgrad<br />
Formalisierungs- bzw.<br />
Mathematisierungsgrad<br />
Bekanntheit<br />
Komplexität
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
216<br />
Lernen von Heurismen<br />
Bru<strong>der</strong>: Lernen geeignete Fragen zu stellen – Heuristik im MU. In: <strong>Mathematik</strong> lehren 115, Dezember 2002, S. 4-8<br />
Schritte beim Lernen von heuristischen Strategien<br />
Implizite Gewöhnung an heuristische Vorgehensweisen und<br />
zugehörige typische Fragestellungen<br />
Strategie an Hand von Musteraufgaben explizit vorstellen<br />
Übungsphase mit Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeit,<br />
<strong>in</strong> denen <strong>die</strong> neue Strategie bewusst angewandt werden soll.<br />
Anstreben e<strong>in</strong>er unterbewussten flexiblen Strategieanwendung<br />
Reflexionsphase: Beschreibung mit heuristischer Fragetechnik
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
217<br />
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Rahmenbed<strong>in</strong>gungen des<br />
<strong>Mathematik</strong>unterrichts
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
218<br />
Anthropogene Bed<strong>in</strong>gungen<br />
Alter <strong>der</strong> Schüler (S) und<br />
Lehrer (L)<br />
Entwicklungsstand (S)<br />
Geschlecht (S)<br />
allgeme<strong>in</strong>es Interesse (S/L)<br />
E<strong>in</strong>stellung zur <strong>Mathematik</strong><br />
(S/L)<br />
Begabung / Intelligenz (S)<br />
Leistungsstand und<br />
Lernvoraussetzungen (S)<br />
Lerntempo (S)<br />
Mitarbeit (S)<br />
Zech: Grundkurs <strong>Mathematik</strong>didaktik. Beltz Pädagogik, 1998 9 , S. 36<br />
Diszipl<strong>in</strong> (S)<br />
fachliche und didaktische<br />
Kompetenz (L)<br />
Engagement für Schüler und<br />
Unterricht (L)<br />
Klassenatmosphäre<br />
Gruppierungen<br />
<strong>in</strong>nerhalb <strong>der</strong> Klasse<br />
Arbeitsstil <strong>der</strong> Klasse<br />
…<br />
Heftführung,<br />
Gruppenarbeit,<br />
Hausaufgaben …
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
219<br />
Soziokulturelle Bed<strong>in</strong>gungen<br />
Schultyp<br />
Stadt- o<strong>der</strong> Landschule<br />
Größe <strong>der</strong> Schule<br />
Größe <strong>der</strong> Klasse<br />
Relation Jungen ↔ Mädchen<br />
soziale Herkunft (S),<br />
Berufe <strong>der</strong> Eltern<br />
häusliches Milieu,<br />
familiäre Situation<br />
Vorgeschichte <strong>der</strong> Klasse<br />
frühere L.<br />
ausgefallener Unterricht …<br />
Lehr- & Unterrichtspläne<br />
Zech: Grundkurs <strong>Mathematik</strong>didaktik. Beltz Pädagogik, 1998 9 , S. 36<br />
<strong>in</strong>nerschulische<br />
Organisationsform<br />
Vertiefen<strong>der</strong> Zweig,<br />
Wahlpflichtfach, ...<br />
Beson<strong>der</strong>heiten personeller<br />
o<strong>der</strong> materieller Ausstattung<br />
Lehrbuch, Me<strong>die</strong>n, Projektor, …<br />
räumliche Gegebenheiten<br />
Architektonische Gestaltung<br />
Gruppenräume …<br />
Sitzordnung<br />
zeitlicher Rahmen<br />
Stundenplan
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
220<br />
Faktoren für den Lernerfolg<br />
Gerhard Roth: Wie Lernen gel<strong>in</strong>gt, Bremen 2010<br />
Faktoren für den Lernerfolg<br />
Persönlichkeit, Kompetenz und Vertrauenswürdigkeit des<br />
Lehrenden<br />
Aufbereitung des Stoffes durch den Lehrenden<br />
Persönlichkeitseigenschaften des Lernenden: Intelligenz,<br />
Motivation und Fleiß<br />
Aufmerksamkeit<br />
Vorwissen und Anschlussfähigkeit des Stoffes<br />
Wie<strong>der</strong>holung des Stoffes
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
221<br />
Lehrerpersönlichkeit<br />
Gerhard Roth: Wie Lernen gel<strong>in</strong>gt, Bremen 2010<br />
Wissensvermittlung ist e<strong>in</strong>e Sache des Vertrauens <strong>in</strong> den<br />
Lehrenden<br />
Soll ich mich darauf verlassen, dass das, was <strong>der</strong> Lehrende<br />
erzählt, stimmt<br />
Nur <strong>der</strong>jenige Lehrer, <strong>der</strong> vertrauenswürdig und kompetent wirkt,<br />
ist e<strong>in</strong> guter Lehrer.<br />
Persönlichkeitseigenschaften des Lehrenden<br />
Fachliche Kompetenz<br />
Selbstvertrauen<br />
Gerechtigkeit<br />
Glaubwürdigkeit<br />
Fe<strong>in</strong>fühligkeit
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
222<br />
Vertrauenswürdigkeit<br />
Gerhard Roth: Wie Lernen gel<strong>in</strong>gt, Bremen 2010<br />
Die Vertrauenswürdigkeit e<strong>in</strong>es Menschen hängt von wenigen,<br />
automatisierten und mehrheitlich unbewusst wirkenden Faktoren<br />
ab:<br />
Blick und Länge des Blickkontakts<br />
Augenstellung und Mundw<strong>in</strong>kelstellung<br />
Gestik<br />
Schulter-und Körperhaltung<br />
Stimme, Sprachmelo<strong>die</strong> und Sprachführung
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
223<br />
Schülerpersönlichkeit<br />
Gerhard Roth: Wie Lernen gel<strong>in</strong>gt, Bremen 2010<br />
Wichtige Persönlichkeitseigenschaften des Lernenden<br />
Intelligenz<br />
Motivation & Fleiß<br />
Aufmerksamkeit<br />
Intelligenz<br />
„Intelligenz ist <strong>die</strong> Fähigkeit, sich <strong>in</strong> neuen Situationen aufgrund<br />
von E<strong>in</strong>sicht zurechtzuf<strong>in</strong>den, Aufgaben mithilfe des Denkens zu<br />
lösen, wobei nicht auf e<strong>in</strong>e bereits vorliegende Lösungen zugrückgegriffen<br />
werden kann, son<strong>der</strong>n <strong>die</strong>se erst aus <strong>der</strong> Erfassung von<br />
Beziehungen abgeleitet werden muss“. (Stern und Neubauer,<br />
2007)<br />
Kurz: Intelligenz ist kreatives Problemlösen unter Zeitdruck
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
224<br />
Verteilung <strong>der</strong> Intelligenzleistung (IQ)<br />
Normal <strong>in</strong>telligent: IQ 85-115 (68%)<br />
Hochbegabt: IQ > 115 (14%)<br />
Intelligenzentwicklung<br />
Die Varianz <strong>der</strong> Intelligenz<br />
<strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Population geht nur<br />
zum Teil auf erbliche Faktoren zurück<br />
mit ca. 15 Jahren<br />
weitgehend abgeschlossen<br />
Verteilung <strong>der</strong><br />
Intelligenzleistung (IQ)<br />
Gerhard Roth: Wie Lernen gel<strong>in</strong>gt, Bremen 2010<br />
Man nimmt an, dass Umwelte<strong>in</strong>flüsse e<strong>in</strong>e maximale Auswirkung im<br />
Bereich von 20 IQ-Punkten haben<br />
Beispiel: E<strong>in</strong> „angeborener“ IQ von 100 kann sich unter guten<br />
Bed<strong>in</strong>gungen (För<strong>der</strong>ung) zu e<strong>in</strong>em IQ von 110 entwickeln o<strong>der</strong><br />
unter negativen Bed<strong>in</strong>gungen auf 90 zurück fallen.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
225<br />
Intelligenz, Schulerfolg<br />
& För<strong>der</strong>ung<br />
Zusammenhang zwischen Intelligenz und Leistung bzw. Erfolg<br />
Der Intelligenzgrad ist <strong>der</strong> beste Prädiktor für schulischen Erfolg<br />
(gemessen an den Schulnoten).<br />
Schulnoten s<strong>in</strong>d wie<strong>der</strong>um <strong>der</strong> beste Prädiktor für den Stu<strong>die</strong>nund<br />
Berufserfolg.<br />
Allerd<strong>in</strong>gs liegt <strong>der</strong> E<strong>in</strong>fluss des Intelligenzgrades auf den schulischen<br />
Erfolg „nur“ bei ca. 30-50% und s<strong>in</strong>kt bei höheren Ausbildungsstufen<br />
auf ca. 20-30%, hat aber immer noch <strong>die</strong> relativ beste<br />
Vorhersagekraft.<br />
För<strong>der</strong>ung<br />
Gerhard Roth: Wie Lernen gel<strong>in</strong>gt, Bremen 2010<br />
Positive frühk<strong>in</strong>dliche B<strong>in</strong>dungserfahrung und frühe sensorische,<br />
kognitive und kommunikative Erfahrungen.<br />
Langjähriger Schulbesuch verbunden mit vielseitiger kognitiver,<br />
musischer und körperlicher Anregung und nachhaltigem Üben.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
226<br />
Motivation & Fleiß<br />
Gerhard Roth: Wie Lernen gel<strong>in</strong>gt, Bremen 2010<br />
Neben Intelligenz s<strong>in</strong>d Motivation und Fleiß <strong>die</strong> wichtigsten<br />
Bed<strong>in</strong>gungen für den Lernerfolg.<br />
Motivation zum Lernen und Fleiß s<strong>in</strong>d wie Intelligenz teils abhängig<br />
von <strong>der</strong> Persönlichkeit (Gewissenhaftigkeit, Ausdauer,<br />
Zielorientierung, Belohnungserwartung), teils s<strong>in</strong>d sie umweltabhängig,<br />
<strong>in</strong>sbeson<strong>der</strong>e von prägenden Faktoren <strong>in</strong> K<strong>in</strong>dheit und<br />
früher Jugend wie e<strong>in</strong>em lernbegünstigenden und <strong>in</strong>tellektuell<br />
offenem Familienklima, dem Vorbild <strong>der</strong> Eltern, Ermutigung und<br />
frühen Lernerfolgen.<br />
Dies erklärt, warum Motivation und Fleiß signifikant mit dem<br />
Bildungsgrad <strong>der</strong> Eltern korrelieren.<br />
Die E<strong>in</strong>stellung zum Fleiß ist <strong>in</strong> Deutschland (und Österreich)<br />
deutlich geschlechts-spezifisch ausgeprägt: bei Mädchen wird<br />
Fleiß „toleriert“, bei Buben gilt er als „uncool“. Dies drückt<br />
signifikant <strong>die</strong> Schulleistung <strong>der</strong> Buben.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
227<br />
Episodisches Gedächtnis<br />
Gerhard Roth: Wie Lernen gel<strong>in</strong>gt, Bremen 2010<br />
Lernen geschieht primär<br />
über das episodischkontextuelle<br />
Gedächtnis, d.h. über<br />
Inhalte, <strong>die</strong> mit mir und<br />
me<strong>in</strong>er Umgebung zu<br />
tun haben.<br />
Abstraktes Wissen ist<br />
kontextlos und deshalb<br />
schwer direkt zu<br />
vermitteln.<br />
Abstraktes Wissen entsteht normalerweise über e<strong>in</strong>e Filterung<br />
episodischen Wissens durch zunehmenden Fortfall des Kontextes.<br />
Daher ist es gut, Inhalte „lebensnah“ und kontextreich darzubieten.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
228<br />
„Hirngerechte“ Darbietung des Stoffes<br />
„Hirngerechte“ Darbietung<br />
des Stoffes<br />
Kurze E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> den Inhalt und Überprüfen des Vorwissens.<br />
Unterteilung des Stoffes <strong>in</strong> kurze, <strong>in</strong>haltlich zusammenhängende<br />
Abschnitte von maximal 5 M<strong>in</strong>uten. Dann e<strong>in</strong>e „Denkpause“, <strong>in</strong> <strong>der</strong><br />
kurz geklärt wird, ob alles verstanden wurde. Dann erst weiter.<br />
Zum Schluss Zusammenfassung des Vorgetragenen bzw.<br />
geme<strong>in</strong>sam Erarbeiteten<br />
Wie<strong>der</strong>holung <strong>in</strong> kürzeren und längeren Abständen ist wichtig, z.B.<br />
nach 6 Stunden, 24 Stunden, 2 Wochen und 6 Wochen.<br />
Nichts wird mit e<strong>in</strong>em Mal gelernt.<br />
Gerhard Roth: Wie Lernen gel<strong>in</strong>gt, Bremen 2010<br />
(Vergleiche s<strong>in</strong>nvoll-rezeptives Lernen nach Ausubel)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
229<br />
Merkmale guten Unterrichts<br />
Hilbert Meyer<br />
Vorbereitete<br />
Umgebung<br />
Klare Strukturierung<br />
Hoher Anteil<br />
echter<br />
Lernzeit<br />
Leistungserwartung<br />
transparent<br />
Lernför<strong>der</strong>liches<br />
Klima<br />
Intelligentes<br />
Üben<br />
Inhaltliche<br />
Klarheit<br />
Methodenvielfalt<br />
Individuelles<br />
För<strong>der</strong>n<br />
S<strong>in</strong>nstiftendes<br />
Kommunizieren
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
230<br />
Merkmale <strong>der</strong><br />
Unterrichtsqualität<br />
Andreas Helmke<br />
Passung:<br />
Umgang<br />
mit Heterogenität<br />
Führung &<br />
Zeitnutzung<br />
effizient<br />
Vielfältige<br />
Motivierung<br />
Strukturiert,<br />
klar, verständlich<br />
Lernför<strong>der</strong>liches<br />
Klima<br />
Konsoli<strong>die</strong>ren,<br />
sichern,<br />
<strong>in</strong>telligent<br />
üben<br />
an Ziel,<br />
Wirkung &<br />
Kompetenz<br />
orientiert<br />
Aktives &<br />
selbstständiges<br />
Lernen<br />
för<strong>der</strong>n<br />
S<strong>in</strong>nvolle<br />
Variation v.<br />
Methode &<br />
Sozialform<br />
Schülerorientierung<br />
Unterstützung
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
231<br />
Differenziert för<strong>der</strong>n<br />
Höhmann: Differenziert för<strong>der</strong>n. In: Guter Unterricht. Friedrich Jahresheft XXV, 2007, S. 56f
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
232<br />
Differenziert för<strong>der</strong>n<br />
Höhmann: Differenziert för<strong>der</strong>n. In: Guter Unterricht. Friedrich Jahresheft XXV, 2007, S. 56f
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
233<br />
Vollrath: Grundlagen des <strong>Mathematik</strong>unterrichts <strong>in</strong> <strong>der</strong> Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, S. 171-216<br />
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Unterrichtsplanung
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Unterrichtsplanung<br />
Leistungsbeurteilung<br />
234<br />
Unterrichtsplanung – Fachpraktische Übung, 1. Abschnitt<br />
PS Unterrichtsplanung (Pädagogik)<br />
SE Schulpraktisches Sem<strong>in</strong>ar I (<strong>Mathematik</strong> <strong>Didaktik</strong>)<br />
Leistungsbeurteilung – Übungsphase, 2. Abschnitt<br />
PS Unterrichten und Beurteilen (Pädagogik)<br />
SE Schulpraktisches Sem<strong>in</strong>ar II (<strong>Mathematik</strong> <strong>Didaktik</strong>): konkrete<br />
Informationen über <strong>die</strong> geltenden Bestimmungen und<br />
praktische Beispiele, z.B. geme<strong>in</strong>same Schularbeitskorrektur<br />
Wichtigste Frage dabei: Wie lassen sich <strong>die</strong> gesetzlichen<br />
Bestimmungen <strong>in</strong> <strong>der</strong> Praxis pädagogisch s<strong>in</strong>nvoll umsetzen<br />
Unterrichtspraktikum – nach Stu<strong>die</strong>nabschluss<br />
Spezieller Tag zur Leistungsbeurteilung im Fach <strong>Mathematik</strong><br />
Für Interessierte: Leistungsbeurteilungsverordnung (LBVO,<br />
bm:ukk)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
235<br />
Jahresplanung<br />
Jahresplanung nach jeweiligem Lehrplan<br />
Siehe Kapitel „Lehrpläne <strong>in</strong> Österreich“<br />
Zeitlicher Umfang <strong>der</strong> Behandlung von Themen<br />
Gefahr: Man hält sich bei e<strong>in</strong>zelnen Themen<br />
(zu Beg<strong>in</strong>n des Schuljahres) zu lange auf und hat<br />
am Ende zu wenig Zeit für wesentliche Gebiete.<br />
Bildung von Unterrichtssequenzen<br />
Entwicklung, Vertiefung, Erarbeitung, Erfassen<br />
von Zusammenhängen … benötigt mehrere<br />
zusammenhängende Unterrichtse<strong>in</strong>heiten.<br />
Anordnung <strong>der</strong> Unterrichtssequenzen<br />
Sachlogik<br />
Didaktische Pr<strong>in</strong>zipien
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
236<br />
Beispiel: Jahresstoffverteilung<br />
2. Klasse Gymnasium<br />
Sandra Reichenberger, Gymnasium Dachsberg, 2009/10<br />
September I.Teilbarkeit natürlicher Zahlen 1. Teiler, Vielfache<br />
2. Teilbarkeitsregeln<br />
3. Primzahlen<br />
4. ggT<br />
5. kgV<br />
Oktober II. Brüche und Bruchzahlen 1. Wie<strong>der</strong>holung (Erweitern und Kürzen)<br />
2. Bruch als angezeigte Division<br />
3. Bruchzahlen auf dem Zahlenstrahl<br />
4. Vergleichen und Ordnen von Bruchzahlen<br />
III. Das Koord<strong>in</strong>atensystem<br />
1. Punkte und Geraden im Koord<strong>in</strong>atensys.<br />
IV. Der W<strong>in</strong>kel<br />
1. Bezeichnungen - W<strong>in</strong>kelmaße<br />
2. Übertragen von W<strong>in</strong>keln<br />
3. Parallelw<strong>in</strong>kel und Normalw<strong>in</strong>kel<br />
November V. Das Dreieck 1. Bezeichnungen und W<strong>in</strong>kelsumme<br />
2. Dreiecke mit beson<strong>der</strong>en Eigenschaften<br />
3. Dreieckskonstruktionen<br />
4. Flächen<strong>in</strong>halt rechtw<strong>in</strong>keliger Dreiecke<br />
5. Beson<strong>der</strong>e L<strong>in</strong>ien und Punkte<br />
Dezember II. Brüche und Bruchzahlen 5. Ad<strong>die</strong>ren und Subtrahieren<br />
6. Multiplzieren und Divi<strong>die</strong>ren<br />
Jänner<br />
7. Verb<strong>in</strong>dung <strong>der</strong> Grundrechnungsarten<br />
VI. Symmetrie<br />
1. Symmetrische Figuren<br />
2. Streckensymmetrale<br />
3. W<strong>in</strong>kelsymmetrale
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
237<br />
Februar VII. Gleichungen und Formeln 1. Lösen von Gleichungen<br />
2. Arbeiten mit Formeln<br />
März<br />
VIII. Vierecke und Vielecke<br />
Beispiel: Jahresstoffverteilung<br />
2. Klasse Gymnasium<br />
Sandra Reichenberger, Gymnasium Dachsberg, 2009/10<br />
1. Allgeme<strong>in</strong>e Vierecke<br />
2. Parallelogramm<br />
3. Trapez<br />
4. Deltoid<br />
5. Vielecke<br />
IX. Direkte und <strong>in</strong>direkte Proportionalität<br />
1. Direkte Proportionalität<br />
April<br />
Mai<br />
Juni<br />
Juli<br />
X. Prozentrechnung<br />
XI. Regelmäßige Vielecke<br />
XII. Das Prisma<br />
XIII. Statistik<br />
XV. Projekt<br />
2. Indirekte Proportionalität<br />
3. Vermischte Aufgaben<br />
1. Grafische Darstellung<br />
2. Rechnen mit Prozenten<br />
1. Konstruktion<br />
1. Eigenschaften und Formen<br />
2. Netz und Oberfläche<br />
3. Raum<strong>in</strong>halt<br />
1. Relative Häufigkeit<br />
2. Datendarstellung und Manipulation
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
238<br />
Unterrichtssequenz<br />
Entscheidung über <strong>die</strong> Didaktische Konzeption<br />
H<strong>in</strong>tergrundtheorie (Beispiel: Bruchrechnung)<br />
„Roter Faden“ (Schlüsselbegriff, durchgängige<br />
Problemstellung, durchgängige Methode)<br />
Auswahl <strong>der</strong> Inhalte<br />
Welche Begriffe, Sachverhalte, Verfahren, Anwendungen<br />
und Probleme sollen wie ausführlich bearbeitet werden<br />
„Lehre nichts, was dem Schüler dann, wenn er es lernt, noch nichts ist,<br />
und lehre nichts, was dem Schüler später nichts mehr ist!“ (Diesterweg)<br />
Anordnung/Verteilung <strong>der</strong> Inhalte<br />
Genetisches Pr<strong>in</strong>zip, operatives Pr<strong>in</strong>zip, Pr<strong>in</strong>zip <strong>der</strong> Isolation<br />
<strong>der</strong> Schwierigkeiten, „Vom Leichteren zum Schwereren“<br />
Unterrichtse<strong>in</strong>heiten nicht überladen<br />
Gründlich beg<strong>in</strong>nen und tragfähige Vorstellungen aufbauen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
239<br />
Unterrichtse<strong>in</strong>heit<br />
E<strong>in</strong>stieg<br />
Erarbeitung<br />
Sicherung<br />
Vertiefung<br />
Ergebnisse<br />
festhalten<br />
Erreichen <strong>der</strong><br />
Lernziele mit<br />
Hilfe geeigneter<br />
Aufgaben<br />
überprüfen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
240<br />
Unterrichtse<strong>in</strong>heit<br />
E<strong>in</strong>stiege sollen<br />
<strong>die</strong> Schüler motivieren, sich mit mathematischen Fragestellungen<br />
ause<strong>in</strong>an<strong>der</strong> zu setzen<br />
den Unterricht von Beg<strong>in</strong>n an problemorientiert ausrichten<br />
den Unterrichtsverlauf (vor-)strukturieren<br />
Übungen sollen<br />
neue Entdeckungen zulassen<br />
problemorientiert se<strong>in</strong><br />
das operative Pr<strong>in</strong>zip berücksichtigen (Variation von<br />
Darstellungsebene und Ausgangssituation)<br />
produktiv se<strong>in</strong> (d.h. möglichst mit praktischen Tätigkeiten<br />
verbunden)<br />
anwendungsorientiert se<strong>in</strong> (d.h. Sachsituationen mit e<strong>in</strong>beziehen<br />
und praktische Erfahrungen vermitteln)
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Grundfragen <strong>der</strong><br />
Unterrichtsplanung<br />
241<br />
Wie ist <strong>die</strong> fachliche Struktur des Themas<br />
Wie kann das Thema erarbeitet werden<br />
Welche Voraussetzungen (Wissen & Fähigkeiten)<br />
müssen <strong>die</strong> Schüler mitbr<strong>in</strong>gen<br />
Welche Lernziele sollen erreicht werden<br />
Wie sollen <strong>die</strong> Schüler motiviert werden<br />
Wie soll <strong>der</strong> E<strong>in</strong>stieg <strong>in</strong> das Thema erfolgen<br />
Welche Repräsentationsformen s<strong>in</strong>d angemessen<br />
Welche Me<strong>die</strong>n sollen e<strong>in</strong>gesetzt werden<br />
In welchen Sozialformen soll gearbeitet werden<br />
Welcher Grad <strong>der</strong> Selbsttätigkeit wird angestrebt<br />
Wie soll geübt und vertieft werden
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Sozialformen und<br />
Selbsttätigkeitsgrad<br />
242<br />
Sozialform<br />
Selbsttätigkeit<br />
Instruktion<br />
gelenktes<br />
Entdecken<br />
nur Impulse<br />
Klassen- bzw.<br />
Frontalunterricht<br />
Lehrervortrag<br />
Freies<br />
Unterrichtsgespräch<br />
Fragendentwickeln<strong>der</strong><br />
Unterricht<br />
Gruppenarbeit<br />
Gruppen<strong>in</strong>struktion<br />
…<br />
…<br />
Partnerarbeit<br />
Partner<strong>in</strong>struktion<br />
…<br />
…<br />
E<strong>in</strong>zelarbeit<br />
Individualisierte<br />
Instruktion<br />
…<br />
…
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Beispiel: Unterrichtssequenz<br />
Flächen<strong>in</strong>halte, 3. Klasse AHS<br />
243<br />
Inhalte<br />
Flächen<strong>in</strong>halt des Dreiecks<br />
Flächen<strong>in</strong>halt des Parallelogramms<br />
Flächen<strong>in</strong>halt des Trapezes<br />
<strong>in</strong>haltsgleiche Figuren<br />
Querverb<strong>in</strong>dung zu b<strong>in</strong>omischen Formeln<br />
Lehrplan AHS Unterstufe<br />
3.3 Arbeiten mit Figuren und Körpern<br />
Formeln für Flächen<strong>in</strong>halte von Dreiecken und Vierecken<br />
begründen und damit Flächen<strong>in</strong>halte berechnen können
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
244<br />
Themenkreis Flächen<strong>in</strong>halt<br />
Flächen<strong>in</strong>halt!<br />
Axiome des<br />
Flächen<strong>in</strong>halts<br />
Flächenmessung<br />
Flächenvergleich<br />
Seitenlängen<br />
aus N<br />
Ergänzungsgleichheit<br />
Zerlegungsgleichheit<br />
Seitenlängen<br />
aus Q +<br />
Seitenlängen<br />
aus R +
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Stufen beim<br />
Erarbeiten von Größen<br />
245<br />
1. Stufe: Erfahrungen <strong>in</strong> Sach- und Spielsituationen sammeln<br />
2. Stufe: Direktes Vergleichen von Repräsentanten<br />
3. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe selbst gewählter<br />
Maße<strong>in</strong>heiten<br />
e<strong>in</strong> drittes Objekt als Vermittler benutzen<br />
e<strong>in</strong> Objekt als selbst gewählte E<strong>in</strong>heit benutzen<br />
4. Stufe: Indirektes Vergleichen mit Hilfe standardisierter<br />
Maße<strong>in</strong>heiten, Messen mit verschiedenen Messgeräten<br />
5. Stufe: Umrechnen: Verfe<strong>in</strong>ern und Vergröbern <strong>der</strong> Maße<strong>in</strong>heiten<br />
6. Stufe: Aufbau von Größenvorstellungen (!!)<br />
7. Stufe: Rechnen mit Größen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
246<br />
Axiome des Flächen<strong>in</strong>halts<br />
Nichtnegativität<br />
Die Maßzahl A des Flächen<strong>in</strong>halts ist nichtnegativ. (A 0)<br />
Normierung<br />
E<strong>in</strong> Quadrat <strong>der</strong> Seitenlänge 1 LE<br />
hat den Flächen<strong>in</strong>halt A = 1 LE 2 .<br />
Additivität<br />
Der Flächen<strong>in</strong>halt e<strong>in</strong>er Figur ist gleich <strong>der</strong> Summe <strong>der</strong><br />
Flächen<strong>in</strong>halte <strong>der</strong> Teilfiguren, <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>die</strong> Fläche zerlegt<br />
werden kann.<br />
Kongruenz<br />
Kongruente Figuren haben denselben Flächen<strong>in</strong>halt.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Rechtecksflächen<strong>in</strong>halt<br />
(a, b N)<br />
247<br />
Flächenmessung<br />
Auslegen mit E<strong>in</strong>heitsquadraten.<br />
b Reihen, zu je a E<strong>in</strong>heitsquadraten A = a · b<br />
b<br />
1 LE²<br />
a
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Flächengleiche Figuren:<br />
Tangram<br />
248
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
249<br />
Flächen<strong>in</strong>haltsbestimmung<br />
Rechteck<br />
Flächenmessung, d. h. Auslegen mit E<strong>in</strong>heitsquadraten<br />
Dreieck<br />
Flächenvergleich<br />
mit dem Rechteck<br />
Vieleck<br />
Fläche des Rechtecks:<br />
A Rechteck = g * h<br />
Formel<br />
deshalb ist <strong>die</strong><br />
Fläche des Dreiecks<br />
A Dreieck = 1/2 * g * h<br />
Regler nach rechts ziehen<br />
-----------------><br />
Triangulierung<br />
(E<strong>in</strong>teilen <strong>in</strong> Dreiecke)<br />
A<br />
g<br />
C<br />
h<br />
Das Dreieck kann an den Eckpunkten<br />
verän<strong>der</strong>t werden<br />
B<br />
A<br />
C<br />
h<br />
Regler nach rechts ziehen<br />
--------------><br />
R<br />
B<br />
Kreis (4. Klasse AHS)<br />
E<strong>in</strong>schachtelung
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
250<br />
Kreis<strong>in</strong>haltsbestimmung
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Fläche e<strong>in</strong>es Kont<strong>in</strong>ents<br />
(Antarktis)<br />
251<br />
Schätze <strong>die</strong> Fläche<br />
<strong>der</strong> Antarktis, <strong>in</strong>dem<br />
du den Maßstab <strong>der</strong><br />
Karte benutzt.<br />
Schreibe de<strong>in</strong>e<br />
Rechnung auf und<br />
erkläre, wie du zu<br />
de<strong>in</strong>er Schätzung<br />
gekommen bist.<br />
Du kannst <strong>in</strong> <strong>der</strong><br />
Karte zeichnen, wenn<br />
dir das bei de<strong>in</strong>er<br />
Schätzung hilft.<br />
Kilometer<br />
PISA-Aufgabe 0<br />
200 400 600 800<br />
1000
Idee: Mit E<strong>in</strong>heitsfläche<br />
„auslegen“<br />
Schätze <strong>die</strong> Fläche<br />
<strong>der</strong> Antarktis, <strong>in</strong>dem<br />
du den Maßstab <strong>der</strong><br />
Karte benutzt.<br />
Schreibe de<strong>in</strong>e<br />
Rechnung auf und<br />
erkläre, wie du zu<br />
de<strong>in</strong>er Schätzung<br />
gekommen bist.<br />
Du kannst <strong>in</strong> <strong>der</strong><br />
Karte zeichnen, wenn<br />
dir das bei de<strong>in</strong>er<br />
Schätzung hilft.<br />
Kilometer<br />
PISA-Aufgabe 0<br />
200 400 600 800<br />
1000<br />
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Fläche mit Schelfeistafeln: 13 975 000 km 2<br />
252
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
253<br />
Parallelogramm<br />
D<br />
C<br />
A<br />
B<br />
D<br />
C<br />
A<br />
B
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Flächen<strong>in</strong>haltsbestimmung<br />
am Trapez<br />
254
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
255<br />
Projekte<br />
Ludwig: Projekte im <strong>Mathematik</strong>unterricht des Gymnasiums. Franzbecker, 1998<br />
Projektthemen sollen …<br />
aus den Inhalten <strong>der</strong><br />
Jahrgangsstufe erwachsen.<br />
möglichst mehrere<br />
mathematische Themen<br />
mite<strong>in</strong>an<strong>der</strong> verb<strong>in</strong>den und<br />
früher behandelte Inhalte<br />
e<strong>in</strong>beziehen.<br />
möglichst Verb<strong>in</strong>dungen zu<br />
an<strong>der</strong>en Fächern herstellen.<br />
e<strong>in</strong>en Bezug zum Leben haben.<br />
fachliche und historische<br />
H<strong>in</strong>tergründe erhellen können.<br />
Möglichkeiten zur Entfaltung<br />
von Ideen und zu selbstständiger<br />
Tätigkeit bieten.<br />
unterschiedliche Interessen und<br />
Fähigkeiten ansprechen.<br />
<strong>die</strong> Beschaffung notwendiger<br />
Informationen<br />
durch <strong>die</strong> Schüler erlauben.<br />
ergiebig se<strong>in</strong>, also Arbeit <strong>in</strong><br />
mehreren Gruppen<br />
ermöglichen und E<strong>in</strong>sichten<br />
vermitteln.<br />
so gestaltet se<strong>in</strong>, dass am Ende<br />
etwas vorgezeigt werden kann.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
256<br />
Projektorganisation<br />
Projektorganisation<br />
Zeitraum (benötigt / zur Verfügung stehend)<br />
Gruppen<br />
Präsentation<br />
Materialien<br />
Kosten (evtl. Sponsor<strong>in</strong>g)<br />
Beispiel<br />
E<strong>in</strong>parken, Oberstufe<br />
http://atfd.pbworks.com/Unterrichtse<strong>in</strong>heiten<br />
SE Aktuelle Themen <strong>der</strong> Fachdidaktik
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
257<br />
Methodik – Wie<br />
Wie kann man e<strong>in</strong> mathematisches Thema unterrichten<br />
Wahl von E<strong>in</strong>stiegen, Sozialformen, Lernformen<br />
Stellung von Arbeitsaufträgen, Erklärungen<br />
Ergebnissicherung, Übungsformen<br />
Computere<strong>in</strong>satz<br />
Formen <strong>der</strong> Diagnose und Leistungsbeurteilung<br />
SE Methodik des <strong>Mathematik</strong>unterrichts<br />
Barzel, Büchter, Leu<strong>der</strong>s (2007):<br />
<strong>Mathematik</strong> Methodik - Handbuch<br />
für <strong>die</strong> Sekundarstufe I und II.<br />
Cornelsen Verlag, Berl<strong>in</strong>
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Computere<strong>in</strong>satz am Beispiel<br />
DMS <strong>in</strong> <strong>der</strong> Sekundarstufe 1<br />
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Dynamisches <strong>Mathematik</strong>system (DMS)<br />
258
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
259<br />
DMS <strong>in</strong> <strong>der</strong> Sekundarstufe 1<br />
DMS <strong>in</strong> <strong>der</strong> Sekundarstufe 1 – Wozu und wie<br />
Dynamische <strong>Mathematik</strong>systeme (DMS)<br />
Wozu DMS im <strong>Mathematik</strong>unterricht<br />
Ziele, Inhalte und Beispiele<br />
Wie sollte man DMS e<strong>in</strong>setzen<br />
Methodisches und Organisatorisches
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
260<br />
Computerwerkzeuge<br />
Computerwerkzeuge<br />
Flexibel e<strong>in</strong>setzbare<br />
Universalwerkzeuge<br />
Nutzer entscheidet,<br />
welche Funktion<br />
er wozu e<strong>in</strong>setzt.<br />
Computerwerkzeuge für das Fach <strong>Mathematik</strong><br />
Dynamische Geometriesysteme (DGS): Cabri<br />
Tabellenkalkulationsprogramme (TKP): Excel, Libre Office Calc<br />
Computeralgebrasysteme (CAS): Derive<br />
Dynamische <strong>Mathematik</strong>systeme (DMS)<br />
DMS = DGS + TKP + CAS<br />
GeoGebra
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
261<br />
DMS ist …<br />
Experimentierumgebung<br />
Vermutungen<br />
aufstellen<br />
überprüfen<br />
korrigieren<br />
Erkenntnisse gew<strong>in</strong>nen<br />
funktionale Zusammenhänge<br />
erfahren<br />
Kommunikationsmittel<br />
Darstellung / Visualisierung<br />
Fokussierung auf Wesentliches<br />
Repräsentationen vernetzen<br />
Dynamik (Denkprozesse<br />
anstoßen / vermitteln<br />
Heuristisches Hilfsmittel<br />
Rout<strong>in</strong>edenkprozesse<br />
auslagern<br />
Gedächtnis entlasten<br />
(Parameter-)Variation<br />
Interaktion Computer ↔<br />
Nutzer<br />
Kontroll<strong>in</strong>stanz<br />
Modellierungswerkzeug<br />
Manipulation komplexer<br />
Modelle<br />
Verarbeitung realistischer<br />
Daten
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
262<br />
DMS: Systematisch Variieren<br />
Roth: Systematische Variation. In: <strong>Mathematik</strong> lehren, Heft 146, 2008, S. 17-21
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
263<br />
Beispiel: Flächen<strong>in</strong>halt<br />
Bifie: Bildungsstandards, Freigegebene Items aus <strong>der</strong> Pilotierung 2011 – <strong>Mathematik</strong> 8, https://www.bifie.at/node/460
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
264<br />
Vierecke und funktionale<br />
Zusammenänge<br />
http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/trapezflaeche_funktional.html<br />
Ziele<br />
Form erkunden − Begriffe bilden<br />
S<strong>in</strong>nvolle Termumformungen<br />
Grenzfälle untersuchen<br />
Formeln <strong>in</strong>terpretieren<br />
Funktionale Zusammenhänge<br />
entdecken und untersuchen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
265<br />
Begriffshierarchie<br />
und Vernetzung<br />
http://www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/trapezflaeche_funktional.html
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
266<br />
Beispiel:<br />
Rettungshubschrauber<br />
Bifie: Freigegebene Items aus <strong>der</strong> Pilotierung 2011 – <strong>Mathematik</strong> 8, https://www.bifie.at/node/460
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
267<br />
Libellen und <strong>Mathematik</strong>
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
268<br />
Wozu DMS im Unterricht<br />
Inhalte<br />
Begriffsbildung<br />
Sachverhalte<br />
Verfahren<br />
Modellieren<br />
Problemlösen<br />
E<strong>in</strong>satz<br />
Visualisieren<br />
Entdecken und Erarbeiten<br />
Vernetzen (Inhalte und<br />
Repräsentationsformen)<br />
Selbständiges Üben & Vertiefen<br />
Lernpfade<br />
Themen<br />
Ziele<br />
Geometrie<br />
Algebra<br />
Stochastik<br />
Analysis<br />
Analytische Geometrie / LA<br />
planen, analysieren,<br />
argumentieren (weniger Kalkül)<br />
selbsttätig-entdeckend lernen<br />
kreativ und produktiv arbeiten<br />
authentische Probleme lösen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Grundvorstellungen zur<br />
Addition von Brüchen<br />
269
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Grundvorstellungen zur<br />
Addition von Brüchen<br />
270
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Grundvorstellungen zur<br />
Addition von Brüchen<br />
271
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
272<br />
Grundvorstellungen zur<br />
Addition von Brüchen<br />
http://www.dms.uni-landau.de/mathelabor/stationen/mathematik_und_kunst/sites/seite_3_02.html
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
DMS: Potential für<br />
Problemlösen / Beweisen<br />
273<br />
Problemlösen<br />
Voraussetzungen<br />
durchschauen<br />
Ideen f<strong>in</strong>den<br />
Erfassen notwendiger<br />
Fallunterscheidungen<br />
Verwendete Heurismen<br />
rückblickend analysieren<br />
Beweisen<br />
Entdecken <strong>der</strong><br />
Gesetzmäßigkeiten<br />
Beziehungen zwischen<br />
Voraussetzungen und<br />
Behauptungen erschließen<br />
Beweisideen<br />
Erarbeiten<br />
Vermitteln<br />
überblicksartig<br />
wie<strong>der</strong>holen<br />
Präformale Beweise führen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Satz des Pythagoras:<br />
Scherungsbeweis<br />
274
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
275<br />
Problemlösen<br />
Polya (1945/49)<br />
Verstehen <strong>der</strong> Aufgabe<br />
Ausdenken e<strong>in</strong>es Plans<br />
Ausführen des Plans<br />
Rückschau<br />
Beweisen Sie:<br />
Die W<strong>in</strong>kelsymmetrale des rechten<br />
W<strong>in</strong>kels <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em rechtw<strong>in</strong>kligen<br />
Dreieck halbiert das Quadrat über<br />
<strong>der</strong> Hypotenuse.
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
276<br />
Problemlösen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Wie sollte man<br />
DMS e<strong>in</strong>setzen<br />
277<br />
DMS
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Drei Stufen <strong>der</strong><br />
Fokussierungshilfen<br />
278<br />
Konfiguration vollständig vorgegeben<br />
Fokussierungshilfen für alle wesentlichen Aspekte<br />
(z. B. Farbgebung, L<strong>in</strong>ienstärken, Mitführung von Messwerten …)<br />
Elemente können evtl. e<strong>in</strong>- und ausgeblendet werden<br />
Variationsmöglichkeiten evtl. bewusst e<strong>in</strong>geschränkt<br />
Verän<strong>der</strong>bare (Teil-)Konfiguration vorgegeben<br />
kann / muss ergänzt o<strong>der</strong> verän<strong>der</strong>t werden<br />
nur e<strong>in</strong>zelne Fokussierungshilfen vorhanden<br />
Leere, unstrukturierte DMS-Datei<br />
DMS wird selbstständig und ohne Vorgaben benutzt
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
279<br />
Me<strong>die</strong>n vernetzen
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
280<br />
E<strong>in</strong>führung <strong>in</strong> <strong>die</strong> <strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Werkzeuge & Materialien
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
281<br />
GeoGebra<br />
http://www.geogebra.org<br />
GeoGebra = Geometrie + Algebra<br />
Interaktive dynamische Verb<strong>in</strong>dung von<br />
ikonischer & symbolischer Darstellungsform<br />
(vgl. Bruner & operatives Pr<strong>in</strong>zip)<br />
Open Source, kostenlos verfügbar von<br />
www.geogebra.org<br />
Dynamische Geometrie,<br />
Tabellenkalkulation, Computeralgebra<br />
Speziell für den <strong>Mathematik</strong>unterricht<br />
entwickelt<br />
Freie Onl<strong>in</strong>e-Unterrichtsmaterialien<br />
GeoGebraTube, www.geogebratube.org<br />
Creative Commons Share-Alike Lizenz
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
282<br />
Maxima & Open Office Calc<br />
Maxima<br />
Computeralgebra<br />
Open Source<br />
http://wxmaxima.sourceforge.net<br />
Libre Office Calc<br />
Tabellenkalkulation<br />
Open Source<br />
http://www.libreoffice.org/
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
283<br />
Empfohlene Webseiten<br />
Fachportale<br />
Lehrer Onl<strong>in</strong>e, Fachportal <strong>Mathematik</strong><br />
ZUM, Fachportal <strong>Mathematik</strong><br />
Schule.at, Fachportal <strong>Mathematik</strong><br />
NCTM Illum<strong>in</strong>ations, "Lessons" für alle Altersstufen<br />
Themensammlungen<br />
Me<strong>die</strong>nvielfalt im MU, <strong>in</strong>teraktive Lernpfade<br />
<strong>Mathematik</strong> Labor, Materialien für Projekte<br />
MathePrisma, <strong>in</strong>teraktive Lernumgebungen<br />
Interaktive Übungen & Arbeitsblätter<br />
Realmath, <strong>in</strong>teraktive Übungen<br />
GeoGebraTube, dynamische Arbeitsblätter
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
284<br />
Bücher & Zeitschriften<br />
Zeitschriften<br />
mathematik lehren<br />
PM - Praxis <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong> Schule<br />
Der <strong>Mathematik</strong>unterricht<br />
Zeitschriften zum <strong>Mathematik</strong>unterricht<br />
http://www.juergen-roth.de/zeitschriften.html<br />
Siehe Fachbibliothek <strong>Mathematik</strong><br />
Science Park 2, 3. Stock<br />
Zeitschriftenaufstellung<br />
Bücher<br />
Bücher zur <strong>Mathematik</strong>didaktik<br />
http://www.juergenroth.de/literatur_zur_mathematikdidaktik.html
<strong>Didaktik</strong> <strong>der</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
285<br />
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!<br />
Viel Erfolg im weiteren Studium!