1(f) & ƒ;f) mb.! V bbbbbbbbbbb` bbbbbbbbbbbX ... - Mathematik

Ist speziell Q = Q 1 Q 2 , ergibt (£)
R
R
(12.21) Q a (A) = 1 A (x+y)Q(dx; dy) = Q 1 (dx)Q 2 (A x) =
X ¢X
X
"
Symmetrie
Insbesondere ist Q a eine Wahrscheinlichkeit auf F:
R
X
Q 2 (dx)Q 1 (A x).
12.22 D:
Q 1 ; Q 2 Wahrscheinlichkeiten auf F; (X ; +) Abel'sche Gruppe, mit messbarer Addition. Die
durch (12.21) denierte Wahrscheinlichkeit Q a heit Faltung von Q 1 und Q 2 .
Symb.: Q a = Q 1 £ Q 2 = Q 2 £ Q 1
12.23 F:
Seien X i : (; S) ! (X ; F); i = 1; 2; 3, ua, dann ist
(i) P X 1X 2
= P X 1 P
X 2
, und somit P X 1+X 2
= P X 1 £ P
X 2
. Wegen P (X 1+X 2 )+X 3
=
P X 1+(X 2 +X 3)
ist £ assoziativ (man beachte, dass mittels 12.20(ii) die Ua von X 1 und
X 2 + X 3 folgt, etc.). Somit ist PX := fQ : Q Wahrscheinlichkeit auf Fg; £) Abel'sche
Halbgruppe.
Allg. Symbol: Q 1 £ Q 2 £ : : : £ Q n = £ n j=1 Q j.
(ii) 0 ist Einheits-Element (PX ; £), denn sei Y 0 =) P Y = 0 , X + Y = X, und
Y 1 (F) = f;; g T P , also X; Y ua =) P X+Y = P X £ 0 = P X .
12.24 Spezialfall
X ; F) = (R k ; B k ); (R k ; +), und sei dQ i = f i d k =) d(Q 1 £ Q 2 ) = hd k mit
h(y) = R R k f 1 (x)f 2 (y x) k (dx)
Symb. h = f 1 £ f 2
Beweis:
(Q 1 £ Q 2 )(A) =
Fubini
#
=
Z
A
Z
Z
k (dz)
R k k (dx)f 1 (x)
Z
R k k (dx)f 1 (x)f 2 (z x)
(£) : x + y =: z =) y = z x;
=
Z
12.25 B
| {z }
(£) = k (dz)f 2 (z x)1 A (z)
R k
R k k (dy)f 2 (y)1 A (x + y)
Z
; 8 A 2 B k
'(y)
z }| {
(dy)f 2 ((x + y) x)1 A ( x + y)
' (dz)f 2 (z x)1 A (z) und ' = (Translationsinvarianz von k )
(i) Seien X; Y reelle ZV mit P X ; P Y = Z
PfX + Y = jg = P`2Z
PfX + Y = j; X = `g = P`
PfY = j `; X = `g
=
"
ua
P
PfY = j `gPfX = `g R =
`
R
P X (dx)P Y (fjg x)