1(f) & ƒ;f) mb.! V bbbbbbbbbbb` bbbbbbbbbbbX ... - Mathematik

wiederholen (12.1) fur Y = 1 M ; M 2 S:
P (G \ M) = R G
1 M dP = : : : = R G
g M XdP (g M := g 1M ); G 2 X 1 (B)
=)
"
i.T.
0 R g M dP X 1; B 2 B =) 0 g M 1 [P X ]
B
M j 2 S; j 2 N; paarweise disjunkt
=) R G
1 [Mj = P j
=) g [Mj = P j
R
G
1 Mj = P j
R
B
g Mj [P X ]; usw. [ U]
g Mj dP X = R B
(g [Mj )dP X
wobei die Ausnahmemenge von fM j : j 2 Ng abhangen kann! Konnte man das beheben,
ware (!; M) 7! g M (X(!)) so etwas wie ein UK. Dieselbe Rechnung fur M 2 Y 1 (B) unter
Vs. P XY = P X p liefert mit M := Y 1 (D):
P (G \ M) = R 1 X 1 (B) 1 Y
R R 1 (D) dP = P X (dx)1 B (x) p(x; dy)1 D (y)
| {z }
=p(x;D)=g D (x)
=) D 7! g D (X(!)) ist eine Wahrscheinlichkeit auf B:
Wir formulieren zunachst etwas abstrakt, aber strukturell einfacher
12.10 D: (; S; P ) gegeben, S i S; i = 1; 2
(i) S 1 heie "
Start--Algebra\
S 2 heie "
Ziel--Algebra\
(ii) eine Abbildung p S 2jS 1
: ¢ S 2 ! [0; 1] mit
S 2 7 ! p S 2jS 1
(!; S 2 ) ist Wahrscheinlichkeit auf S 2
! 7 ! p S 2jS 2
(!; S 2 ) ist (S 1 ; B) mb.
heie ein "
bedingtes Wahrscheinlichkeitsma\ (b.W.)
12.11 Behauptung (Ex. b. Wahrscheinlichkeitsma)
Seien (; S; P ); S i S; i = 1; 2 gegeben, sowie
(a) S 2 = (H), wobei H ein Semi-Ring mit jHj @ 0 und Ausschopfeigenschaft (s. 3.13)
ist.
(b) C 2 eine ;-Klasse derart, dass Pj H C-stetig ist.
Dann 9 b. Wahrscheinlichkeitsma p = p S 2jS 1
mit
p(¡; S 2 ) = P S 1
(S 2 )(¡)[P ]
(c) Ist ~p ein weiteres b. Wahrscheinlichkeitsma mit (12.13), so gilt ~p(!; S 2 ) = p(!; S 2 )8 ! =2
M; S 2 2 S 2 , wobei M 2 N (P ) ist.