1(f) & ƒ;f) mb.! V bbbbbbbbbbb` bbbbbbbbbbbX ... - Mathematik

12.5 Eigenschaften und Rechenregeln fur bedingte Erwartungen
Sei G S; X n ; X; Y etc. Zufallsvariable, alle 2 M R+
(; S) [ L 1 (; S; P ), wenn nichts anderes
vorausgesetzt wird. Dann gilt:
(i) X 2 M R+
(; S) [ L 1 (; G; P ) =) E G X = X[P ]
(ii) X Y [P ] =) E G X E G Y [P ] (Isotonie)
(iii) E G (X + Y ) = E G X + E G Y [P ] (Linearitat) fur X; Y 2 L 1
(iv) jE G Xj E G jXj
(v) fX n : n 2 Ng M R+
, isoton %
=) sup E G X n = E G sup X n [P ]
n2N
n2N
(bedingte Version des Satzes von Beppo Levi)
(vi) fX n : n 2 Ng L 1 ; 9 X := lim
n!1 X n[P ]9 Y 2 L 1 mit jX n j Y [P ]8 n2N
=) R jE G X n E G XjdP ! 0; n ! 1
(bedingte Version des Satzes von Lebesgue)
Beweis:
(i) bis (iii): Allgemein gilt fur f 2 M R+
(G) [ L 1 (G; ):
f = 0[]
womit (i), (ii) und (iii) gezeigt werden.
Z
G
fd = 0; 8 G 2 G;
(iv) X jXj; X jXj =) ¦E G (X) E G (jXj) [P ] nach (ii) und (iii)
(v) nach (ii) ist fE G (X n ) : n 2 Ng isoton [P ]
R R 1G E G (sup X n ) = 1 G sup X n =
n2N
n2N "
B.Levi[P]
= sup
n2NR
1G X n = sup R 1 G E G (X n ) =
"
B.Levi[P]
= R 1 G sup E G (X n ); 8 G 2 G
(vi) 0 R jE G X n E G Xj
(iv)
#
R E G jX n Xj = R jX n Xj ! 0
Bemerkung: E G j L 1 ist eine lineare Abbildung L 1 (S; P ) ! L 1 (G; P )
12.6 Behauptung
Seien entweder
(i) X 2 M R+
(G); Y 2 M R+
(S), oder
(ii) X 2 M b (G); Y 2 L 1 (S; P )
=) E G XY = XE G Y