1(f) & ƒ;f) mb.! V bbbbbbbbbbb` bbbbbbbbbbbX ... - Mathematik

Anmerkung: Wir verwendeten folgende schon im Beweis von 7.27 "
versteckte\ Tatsache:
Sind f; g : (; S) ! (R; B) und ist -nit auf S, so gilt
Beweis:
f = g []
Z
A
fd =
Z
A
dg 8 A 2 S:
Sei oBdA ff > gg > 0, und fC n : n 2 Ng eine Zerlegung von mit (C n ) < 1 8 n.
Wegen ff > gg S = C n \ ff > gg existiert n mit 1 > (C n \ ff > gg) > 0. Weiters ist
n2N
d
g(!) < 1 fur ! 2 ff > gg, und ff > gg S = ff > gg \ fg mg, also 9 n; m mit
m2N
C n \ ff > g; g mg
| {z }
=:A
R
Somit ist gd m ¡ R R (C n ) < 1, und fd > gd (die -Finitheit von sowie die
A
A A
Einschrankung auf fg mg haben den alleinigen Zweck, die Situation 1 A f > 1 A g und
R
A
R fd = gd = +1 auszuschlieen!).
A
12.13 F
Seien (X i ; F i ) gegeben, (; S) = (X 1 ¢ X 2 ; F 1 F 2 ), und P eine Wahrscheinlichkeit auf S.
Sei H 2 Semi-Ring, jH 2 j @ 0 und F 2 = (H 2 );
Sei C 2 2 X 2
; und P X 2
auf H 2 C 2 -stetig, wobei X i = pr i ; i = 1; 2 ist.
Dann 9 p X 2jX 1
mit P X 1X 2
= P X 1 p
X 2 jX 1
.
Beweis
Def. S i := Xi 1 (F i ); X 1 (C 2 2) ist ;, S 2 = (X 1 (H 2 2)); X 1 (H 2 2) ist Semi-Ring, jX 1 (H 2 2)j
@ 0 . (alles wg. Urbildtreue), und P ist auf X 1 (H 2 2) X 1 (C 2 2)-stetig.
> 0
=: p, wg. 12.8 kann man p(!; S 2 ) =: g S2 X 1 (!) schrei-
Nun wahle gema 12.11 p S 2jS 1
ben.
Fur A i 2 S i ist A 1 ¢ A 2 = (A| 1
{z
¢ X}
2
P (A 1 ¢A 2 ) = P (S 1 \S 2 )
Def.v.p
#
=
| {z }
S 1
) \ (X 1 ¢ A 2
R
S 2
), also
S 1
p(!; S 2 )P (dw) = R S 1
g S2 X 1 dP =
"
I.T.
R
A 1
g S2 (x 1 )P X 1
(dx 1 ):
Somit erfullt p X 2jX 1
(x 1 ; A 2 ) := g X
1
2 (A 2) (x 1) alle Anforderungen an einen UK.
(Hier geht die Bijektion F 2 ! X 1
2 (F 2) bei Projektionen wesentlich ein!)
12.14 Bemerkung (Vs. 12.11)
Sei p = p S 2jS 1
P
; t := m
Z
S 1
1
j ¡ 1 S2j , wobei S 2j paarweise disjunkt 2 S sind, dann gilt fur S 1 2 S 1 :
tdP = X j
j
Z
1 S2j dP
S
|
1
{z }
= R
S 1
g S2j dP
=
Z
S 1
X
j
j p(!; S 2j ) P (d!); 8 S 1