1(f) & ƒ;f) mb.! V bbbbbbbbbbb` bbbbbbbbbbbX ... - Mathematik

Hat E T die PE, so gilt
P
\ s2S
E s
!
= P \ t2T
E 0 t
!
= Y t2T
P (E 0 t) = Y t2S
jT j jsj
P (E t ) ¡ 1
woraus ) folgt; ( ist trivial.
(ii) ohne Vs. in (i) muss Aussage (i) nicht richtig sein. Seien A; B 2 S; P (A); P (B) > 0,
und C = ;, dann ist P (A\B\C) = P (A)P (B)P (;), aber nicht notwendig P (A\B) =
P (A)P (B), d.h. die PE reicht i.a. nicht zur Ua.
(iii) "
paarweise\ Ua reicht i.a. nicht fur Ua:
Sei = f1234g; P (fig) = 1 4 ; A 1 = f12g; A 2 = f23g; A 3 = f13g =) P (A i \ A j ) =
P (A i )P (A j ); i 6= j; aber P
T 3 3Q
A i 6=
i=1
i=1
P (A i )
(iv) Ist E T ua und G t E t ; t 2 T , so ist auch G T
= fG t : t 2 Tg ua (trivial).
(v) Sind X j : (; S) ! (X j ; F j ); 1 j n, so sind X 1 ; : : : ; X n ua P X 1;:::X n
= n N
P
0
\
@ n
j=1
und die linke Seite = n Q
ist.
1
fX j 2 F j gA = Pf(X1 ; : : : X n ) 2
j=1
(vi) Sei nun (; S) =
N
P := n Q j , dann gilt
j=1
nQ
j=1
nY
j=1
F j g = P X 1;:::;X n
n Y
j=1
F j
PfX j 2 F j g genau dann, wenn die rechte Seite = n Q
X j ;
nN
j=1
F j
!
j=1
j=1
P X j
:
P X 1
(F j )
; Q j jeweils eine Wahrscheinlichkeit auf F j und
P (pr 1
j
(F j )) = P (X 1 ¢ : : : ¢ X j 1 ¢ F j ¢ X j 1 ¢ : : : ¢ X n ) = Q j (F j );
setzt man X j = pr j in (v), so erkennt man, dass fpr j : j = 1; : : : ; ng ua sind.
Dies beantwortet zugleich die Frage, ob es zu gegebenen Wahrscheinlichkeiten Q j auf
F j ; 1 j n einen Wahrscheinlichkeitsraum (; S; P ) und darauf ua ZV-e X 1 ; : : : ; X n
mit P X j
= Q j gibt. (Die analoge Frage fur 1 viele ZV-e behandeln wir spater)
12.18 B, D
(i) fM 2 S : P (M) = 1 oder 0g =: T P ist eine -Algebra, die sogenannte P -triviale -Algebra.
(ii) T P ; S sind ua: sei A 2 T P ; B 2 S, dann ist entweder P (A) = 0 =) P (A \ B) = 0;
oder P (A) = 1 =) P (A \ B) = P (B) P (A c \ B) in beiden Fallen gilt P (A \ B) =
| {z }
=0
P (A) ¡ P (B). Insbesondere ist T P von sich selbst ua.