1(f) & ƒ;f) mb.! V bbbbbbbbbbb` bbbbbbbbbbbX ... - Mathematik

W. Sendler Sommersemester 2007
T. Kalmes 11.07.2007
x 12 Bedingen
Seien X; Y reelle ZV-e auf (; S; P ), gelte (£) P XY = P X p (p = p Y jX haug so notiert)
Falls 9 R : p(x; dy) ¡ y =: E X=x (Y ) (auch: E(Y jX = x))
R
Mit g(x) := E X=x (Y ) gilt gema 9.8
g(B; B) mb. =) g X (X 1 (B) S; B) mb.!
Sei G = X 1 (B); B 2 B, dann liefert der Int.-Trf.-Satz.
(12:1)
8
><
>:
R R R Y dG = 1 X 1 (B) Y dP = 1 B (x)yP XY (dx; dy) =
R 2
G
=
"
Vs.
R
R
Z
P X (dx)1 B (x)
R
= g XdP (g = g y )
G
p(x; dy) ¡ y
R
| {z }
g(x)
=
"
I.T.
R
(1 B X)(g | {z }
X)dP =
1 X 1 (B)
Fazit:
Vs. P XY = P X p (*) liefert (12.1). Wir erheben (12.1) zum Prinzip und zeigen
- zunachst die Existenz von g ohne Vs. (*), zeigen Rechenregeln dafur.
- sodann die Vs. (*) unter gewissen Annahmen
- schlielich den Zusammenhang zwischen beiden Konzepten.
12.2 D
Gegeben (; S; P ); G -A. S; X 2 M R+
[ L 1 (S; P )
(i) eine ZV U 2 M R R R
(G) mit XdP = UdP 8 G 2 G heit eine bedingte Erwartung von X unter G:
G
G
(bE), Symb.: U = E G X
(ii) Ist X = 1 A ; A 2 S, heit E G 1 A =: P G (A) eine bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter G
12.3 Bemerkung
E G X liegt nur [Pj G ] fest: wir verstehen unter E G X eine ZV., nicht deren Aquivalenzklasse,
was unproblematisch ist, solange hochstens abzahlbar viele ZV-e verrechnet werden.
12.4 Existenz der bE
G
Fur X 2 M R+
deniert d := XdP; U := dj G
dP j G
=) R R XdP = (G) = UdPj G =
R
G
G
UdP =) U = E G X bzw. fur X + ; X im Falle X 2 L 1 ; E G X = E G X + E G X . Wegen
7.27 (iii) gilt: sind E G X; (E G X) 0 zwei ZV. gema 12.2, folgt E G X = (E G X) 0 [P ]. (Dies
rechtfertigt die Verwendung des Symbols E G X!)

12.5 Eigenschaften und Rechenregeln fur bedingte Erwartungen
Sei G S; X n ; X; Y etc. Zufallsvariable, alle 2 M R+
(; S) [ L 1 (; S; P ), wenn nichts anderes
vorausgesetzt wird. Dann gilt:
(i) X 2 M R+
(; S) [ L 1 (; G; P ) =) E G X = X[P ]
(ii) X Y [P ] =) E G X E G Y [P ] (Isotonie)
(iii) E G (X + Y ) = E G X + E G Y [P ] (Linearitat) fur X; Y 2 L 1
(iv) jE G Xj E G jXj
(v) fX n : n 2 Ng M R+
, isoton %
=) sup E G X n = E G sup X n [P ]
n2N
n2N
(bedingte Version des Satzes von Beppo Levi)
(vi) fX n : n 2 Ng L 1 ; 9 X := lim
n!1 X n[P ]9 Y 2 L 1 mit jX n j Y [P ]8 n2N
=) R jE G X n E G XjdP ! 0; n ! 1
(bedingte Version des Satzes von Lebesgue)
Beweis:
(i) bis (iii): Allgemein gilt fur f 2 M R+
(G) [ L 1 (G; ):
f = 0[]
womit (i), (ii) und (iii) gezeigt werden.
Z
G
fd = 0; 8 G 2 G;
(iv) X jXj; X jXj =) ¦E G (X) E G (jXj) [P ] nach (ii) und (iii)
(v) nach (ii) ist fE G (X n ) : n 2 Ng isoton [P ]
R R 1G E G (sup X n ) = 1 G sup X n =
n2N
n2N "
B.Levi[P]
= sup
n2NR
1G X n = sup R 1 G E G (X n ) =
"
B.Levi[P]
= R 1 G sup E G (X n ); 8 G 2 G
(vi) 0 R jE G X n E G Xj
(iv)
#
R E G jX n Xj = R jX n Xj ! 0
Bemerkung: E G j L 1 ist eine lineare Abbildung L 1 (S; P ) ! L 1 (G; P )
12.6 Behauptung
Seien entweder
(i) X 2 M R+
(G); Y 2 M R+
(S), oder
(ii) X 2 M b (G); Y 2 L 1 (S; P )
=) E G XY = XE G Y

Beweis:
(i) G £ 2 G R R R R fest: 1 G £Y = Y = E G Y = 1 G £E G Y
G
G\G £ G\G £ G
=) 1 G £E G Y = E G (1 G £Y ) [P ]
weiter mit Standardschluss, sowie 11.4 (iii) und (i) (U).
(ii) Vs. =) XY 2 L 1 ; also X = X + X ; Y = Y + Y
12.7 Behauptung ( "
Idempotenz von E G \)
Sei G 1 G 2 S; X 2 M R+
[ L 1 (S; P )
=) E G 1
X = E G 1
(E G 2
X) = E G 2
(E G 1
X)
Beweis G 1 2 G 1 =) R G 1
X = R G 1
E G 2
X, sowie 11.4(i).
Eine Art "
Umkehrung\ von 5.14 (iii) stellt folgendes dar:
12.8 Lemma ( "
Faktorisierung messbarer Abbildungen\)
T : (; S) ! ( 0 ; S 0 ), sei G T 1 (S 0 ); Z : ! R, dann:
Z : (; G) ! (R; B) 9 g : ( 0 ; S 0 ) ! (R; B) : Z = g T
Beweis: : Standardschluss
P
(i) Z = n
j=1
deniere: g := P j
(ii) Z 0 =) Z = sup
1 Gj j ; G j paarweise disjunkt 2 G =) 9 S 0 j 2 S 0 : G j = T 1 (S 0 j )
n
j 1 S =) g T = Z
Z n = sup g n T = (sup g n ) T
Z n wie in (i), (Z n ) ", setze g := sup
n
n
g n
(iii) Z = Z + Z : Z + = g 1 T; Z := g 2 T deniere g :=
n
g1 g 2 ; wo deniert
0 sonst.
12.9 Behauptung ( "
Faktorisierung der b.E.\)
Sei T : (; S) ! ( 0 ; S 0 ); X 2 M R+
(S) [ L 1 , dann gilt:
(i) 9 g : ( 0 ; S 0 ) ! (R; B) mit E T 1 (S 0 )
X = g T [P ]
Symb.: g(t) := E T =t X
(ii) g ist [P T ]-eindeutig.
n
Beweis
(i) wegen 12.8
(ii) g T 2 M R+
(T 1 (S 0 )) und g erfullt
R
T 1 (A 0 )
g T dP =
R
T 1 (A 0 )
~g : ( 0 ; S 0 ) ! (R) eine weitere Abbildung mit dieser Eigenschaft.
=)
"
Int.Trf.
R
A 0 ~gdP T = R A 0 gdP T 8 A 0 2 S 0
(wieder mittels Beweis zu 7.27 (iii))
XdP 8 A 0 2 S 0 . Sei

wiederholen (12.1) fur Y = 1 M ; M 2 S:
P (G \ M) = R G
1 M dP = : : : = R G
g M XdP (g M := g 1M ); G 2 X 1 (B)
=)
"
i.T.
0 R g M dP X 1; B 2 B =) 0 g M 1 [P X ]
B
M j 2 S; j 2 N; paarweise disjunkt
=) R G
1 [Mj = P j
=) g [Mj = P j
R
G
1 Mj = P j
R
B
g Mj [P X ]; usw. [ U]
g Mj dP X = R B
(g [Mj )dP X
wobei die Ausnahmemenge von fM j : j 2 Ng abhangen kann! Konnte man das beheben,
ware (!; M) 7! g M (X(!)) so etwas wie ein UK. Dieselbe Rechnung fur M 2 Y 1 (B) unter
Vs. P XY = P X p liefert mit M := Y 1 (D):
P (G \ M) = R 1 X 1 (B) 1 Y
R R 1 (D) dP = P X (dx)1 B (x) p(x; dy)1 D (y)
| {z }
=p(x;D)=g D (x)
=) D 7! g D (X(!)) ist eine Wahrscheinlichkeit auf B:
Wir formulieren zunachst etwas abstrakt, aber strukturell einfacher
12.10 D: (; S; P ) gegeben, S i S; i = 1; 2
(i) S 1 heie "
Start--Algebra\
S 2 heie "
Ziel--Algebra\
(ii) eine Abbildung p S 2jS 1
: ¢ S 2 ! [0; 1] mit
S 2 7 ! p S 2jS 1
(!; S 2 ) ist Wahrscheinlichkeit auf S 2
! 7 ! p S 2jS 2
(!; S 2 ) ist (S 1 ; B) mb.
heie ein "
bedingtes Wahrscheinlichkeitsma\ (b.W.)
12.11 Behauptung (Ex. b. Wahrscheinlichkeitsma)
Seien (; S; P ); S i S; i = 1; 2 gegeben, sowie
(a) S 2 = (H), wobei H ein Semi-Ring mit jHj @ 0 und Ausschopfeigenschaft (s. 3.13)
ist.
(b) C 2 eine ;-Klasse derart, dass Pj H C-stetig ist.
Dann 9 b. Wahrscheinlichkeitsma p = p S 2jS 1
mit
p(¡; S 2 ) = P S 1
(S 2 )(¡)[P ]
(c) Ist ~p ein weiteres b. Wahrscheinlichkeitsma mit (12.13), so gilt ~p(!; S 2 ) = p(!; S 2 )8 ! =2
M; S 2 2 S 2 , wobei M 2 N (P ) ist.

Beweis
S
(i) H 1 ; : : : ; H k 2 H, paarweise disjunkt, mit k H i 2 H
i=1
=) 9 N(H 1 ; : : : ; H k ) 2 N (P; S 1 ) (s. 6.10 (iii)) so, dass
k
P S 1
[
H i (!) =
i=1
kX
i=1
P S 1
(H i )(!); ! =2 N(H 1 ; : : : ; H k )
Da wegen jHj @ 0 abzahlbar viele solche Situationen moglich sind, 9 N 2 N (P )
(nicht mehr von H 1 ; : : : ; H k abhangend), so dass obige Gleichung fur ! =2 N und 8
entsprechend Konstellationen von Mengen 2 H gilt. M.a.W.: P S 1
(¡)(!) ist n.n.a. auf
H 8 ! =2 N und wegen 12.5 (ii) kann uberdies P S 1
(¡)(!) 1 angenommen werden.
(ii) zu H 2 H 9 (G jH ) j2N H; (C jH ) j2N C mit G jH C jH H und P (G jH ) " P (H)
(3.20, 3.22 und Def. des sup), also P (HnG jH ) # 0 =) 9 Teilfolge (`) (j) mit
1 G`H
! 1 H [P ].
[Beweis: sei P (A n ) ! 0; n ! 1, wahle Teilfolge (n 0 ) (n) mit P n 0 P (A n 0) < 1,
wegen 1 An 0 P
m 0 n 0 1 Am 0 # 0 [P ] folgt 1 An 0 ! 0 [P ]; n 0 ! 1. Dies wende man nun
auf (HnG jH ) j2N an.]
Somit 9N H N (P ) \ S 1 so, dass P S 1
(G`H )(!) ! P S 1
(H)(!); 8 ! =2 N H .
Uberdies gilt gema (i) P S 1
(G)(!) P S 1
(H)(!); ! =2 N, falls G 2 H; G H, so
dass insgesamt folgt: fur ! =2 N [ N H ist P S 1
(H)(!) = sup P S 1
(G`H )(!), also auch
`
P S 1
(H)(!) = supfP S 1
(G)(!) : G 2 H : 9C 2 C mit G C Hg.
Dies geht 8H 2 S
H, und da N 1 := N H 2 N (P ) \ S 1 ist, folgt: H ! P S 1
(H)(!) ist
H2H
n.n.a. und C-stetig auf H 8 ! =2 N [ N 1 , kann also zu einem Prama auf r(H) (3.23),
und daher eindeutig zu einer Wahrscheinlichkeit p £ (!; ¡) auf F 2 fortgesetzt werden
(3.13).
Ist schlielich Q eine beliebig gegebene Wahrscheinlichkeit auf S 2 , so ist
S 2 ! p(!; S 2 ) :=
p £ (!; S 2 ); ! =2 N [ N 1
Q(S 2 )
fur jedes ! 2 eine Wahrscheinlichkeit auf S 2 .
sonst
(iii) fM 2 S 2 : ! ! p(!; M) ist (S 1 ; B)-mb.g =: D H und ist ein Dynkin-System U ,
also gilt D d(H) = F 2 (2.21).
Ebenso ist fur festgewahltes S 1
(£) fM 2 S 2 : R S 1
p(!; M)P (d!) = R S 1
P S 1
(M)(!)P (d!)(= P (S 1 \ M))g =: D S1
ein Dynkin-System U mit D S1 H, also D S1 F 2 .
Im Ergebnis gilt p(¡; S 2 ) = P S 1
(S 2 )(¡)[P ].
(iv) Ist ^p ein weiteres bedingtes Wahrscheinlichkeitsma, muss es ebenfalls die in (£) verwendeten
Integral-Gleichungen, und somit ^p(¡; S 2 ) = p(¡; S 2 )[P ] fur jedes S 2 2 S 2
erfullen, also insbesondere ^p(!; H) = p(!; H) 8 H2H und ! =2 ~ N, wobei
~N 2N (P ) \ S 1 und unabhangig von H ist.

Anmerkung: Wir verwendeten folgende schon im Beweis von 7.27 "
versteckte\ Tatsache:
Sind f; g : (; S) ! (R; B) und ist -nit auf S, so gilt
Beweis:
f = g []
Z
A
fd =
Z
A
dg 8 A 2 S:
Sei oBdA ff > gg > 0, und fC n : n 2 Ng eine Zerlegung von mit (C n ) < 1 8 n.
Wegen ff > gg S = C n \ ff > gg existiert n mit 1 > (C n \ ff > gg) > 0. Weiters ist
n2N
d
g(!) < 1 fur ! 2 ff > gg, und ff > gg S = ff > gg \ fg mg, also 9 n; m mit
m2N
C n \ ff > g; g mg
| {z }
=:A
R
Somit ist gd m ¡ R R (C n ) < 1, und fd > gd (die -Finitheit von sowie die
A
A A
Einschrankung auf fg mg haben den alleinigen Zweck, die Situation 1 A f > 1 A g und
R
A
R fd = gd = +1 auszuschlieen!).
A
12.13 F
Seien (X i ; F i ) gegeben, (; S) = (X 1 ¢ X 2 ; F 1 F 2 ), und P eine Wahrscheinlichkeit auf S.
Sei H 2 Semi-Ring, jH 2 j @ 0 und F 2 = (H 2 );
Sei C 2 2 X 2
; und P X 2
auf H 2 C 2 -stetig, wobei X i = pr i ; i = 1; 2 ist.
Dann 9 p X 2jX 1
mit P X 1X 2
= P X 1 p
X 2 jX 1
.
Beweis
Def. S i := Xi 1 (F i ); X 1 (C 2 2) ist ;, S 2 = (X 1 (H 2 2)); X 1 (H 2 2) ist Semi-Ring, jX 1 (H 2 2)j
@ 0 . (alles wg. Urbildtreue), und P ist auf X 1 (H 2 2) X 1 (C 2 2)-stetig.
> 0
=: p, wg. 12.8 kann man p(!; S 2 ) =: g S2 X 1 (!) schrei-
Nun wahle gema 12.11 p S 2jS 1
ben.
Fur A i 2 S i ist A 1 ¢ A 2 = (A| 1
{z
¢ X}
2
P (A 1 ¢A 2 ) = P (S 1 \S 2 )
Def.v.p
#
=
| {z }
S 1
) \ (X 1 ¢ A 2
R
S 2
), also
S 1
p(!; S 2 )P (dw) = R S 1
g S2 X 1 dP =
"
I.T.
R
A 1
g S2 (x 1 )P X 1
(dx 1 ):
Somit erfullt p X 2jX 1
(x 1 ; A 2 ) := g X
1
2 (A 2) (x 1) alle Anforderungen an einen UK.
(Hier geht die Bijektion F 2 ! X 1
2 (F 2) bei Projektionen wesentlich ein!)
12.14 Bemerkung (Vs. 12.11)
Sei p = p S 2jS 1
P
; t := m
Z
S 1
1
j ¡ 1 S2j , wobei S 2j paarweise disjunkt 2 S sind, dann gilt fur S 1 2 S 1 :
tdP = X j
j
Z
1 S2j dP
S
|
1
{z }
= R
S 1
g S2j dP
=
Z
S 1
X
j
j p(!; S 2j ) P (d!); 8 S 1

d.h.: P j
j p(¡; S 2j ) = E S 1
t(¡) [P ].
Durch Standardschluss ist dies auf Y
2 L 1 [ M R+
(S; P ) erweiterbar: R
Y (! 0 )p(!; d! 0 )
ergibt eine Version von E S 1
Y . (Eigentlich ist dies eine abstrakte Spielart von 9.9!)
12.15 Anwendung (bedingte Jensen-Ungleichung)
Sei X = (X 1 ; : : : X n ); D R; g : D ! R wie in 10.8; sei G S eine -Algebra, dann gilt
E G g X g(E G X) [P ]
Beweis:
def. G =: S 1 ; X 1 (B n ) =: S 2 , dann sind alle Vs. von 12.11 erfullt (!), verwende p = p S 2jS 1
und wende 10.8 "
!-weise\ an.
fur [P ] !.
(E G g X)(!) :=
Z
p(!; d! 0 )g X(! 0 )
"
10.8
Z
g(
p(!; d! 0 )X(! 0 ))
| {z }
=(E Gg X)(!)
Stochastische Unabhangigkeit (Ua)
Ist P XY = P X P Y , so gilt PfX 2 A; Y 2 Bg = PfX 2 Ag ¡ PfY 2 Bg. Allgemein kann
fur M; K 2 S vorkommen, dass P (M \ K) = P (M)P (K) gilt, woraus P (MjK) = P (M)
folgt, falls P (K) > 0 ist. D. h. : die Bedingung durch K hat auf die Wahrscheinlichkeit des
Eintrittes von M keinen Einuss, weswegen man auch sagt: K; M sind unabhangig. Genauer:
12.16 D
Sei (; S; P ) gegeben, E t S; t 2 T .
(i) fE 1 ; : : : ; E n g hat die Produkteigenschaft (PE), wenn
P
n\
t=1
E t
!
=
nY
t=1
P (E t ); E t 2 E t ; t = 1; : : : ; n gilt:
(ii) E T := fE t : t 2 Tg heit stochastisch unabhangig (ua), wenn E S fur jedes S T; jSj <
1, die PE hat.
(iii) X T := fX t : (; S) ! (X t ; F t ); t 2 Tg heit ua, wenn fXt
1 (F t ) : t 2 Tg ua ist.
Falls uberdies (X t ; F t ) = (X ; F) und P Xt = Q 8 t 2 T ist, nennt man X T unabhangig,
identisch verteilt (uiv, englisch: iid).
12.17 Bem.:
(i) Ist jTj < 1 und 2 E t 8 t 2 T , so gilt: E T ua E T hat P E. Ist namlich S T , so
gilt T
s2S
E s = T
t2T
E 0 t mit
E 0 t =
Et ; t 2 S
; t 2 TnS

Hat E T die PE, so gilt
P
\ s2S
E s
!
= P \ t2T
E 0 t
!
= Y t2T
P (E 0 t) = Y t2S
jT j jsj
P (E t ) ¡ 1
woraus ) folgt; ( ist trivial.
(ii) ohne Vs. in (i) muss Aussage (i) nicht richtig sein. Seien A; B 2 S; P (A); P (B) > 0,
und C = ;, dann ist P (A\B\C) = P (A)P (B)P (;), aber nicht notwendig P (A\B) =
P (A)P (B), d.h. die PE reicht i.a. nicht zur Ua.
(iii) "
paarweise\ Ua reicht i.a. nicht fur Ua:
Sei = f1234g; P (fig) = 1 4 ; A 1 = f12g; A 2 = f23g; A 3 = f13g =) P (A i \ A j ) =
P (A i )P (A j ); i 6= j; aber P
T 3 3Q
A i 6=
i=1
i=1
P (A i )
(iv) Ist E T ua und G t E t ; t 2 T , so ist auch G T
= fG t : t 2 Tg ua (trivial).
(v) Sind X j : (; S) ! (X j ; F j ); 1 j n, so sind X 1 ; : : : ; X n ua P X 1;:::X n
= n N
P
0
\
@ n
j=1
und die linke Seite = n Q
ist.
1
fX j 2 F j gA = Pf(X1 ; : : : X n ) 2
j=1
(vi) Sei nun (; S) =
N
P := n Q j , dann gilt
j=1
nQ
j=1
nY
j=1
F j g = P X 1;:::;X n
n Y
j=1
F j
PfX j 2 F j g genau dann, wenn die rechte Seite = n Q
X j ;
nN
j=1
F j
!
j=1
j=1
P X j
:
P X 1
(F j )
; Q j jeweils eine Wahrscheinlichkeit auf F j und
P (pr 1
j
(F j )) = P (X 1 ¢ : : : ¢ X j 1 ¢ F j ¢ X j 1 ¢ : : : ¢ X n ) = Q j (F j );
setzt man X j = pr j in (v), so erkennt man, dass fpr j : j = 1; : : : ; ng ua sind.
Dies beantwortet zugleich die Frage, ob es zu gegebenen Wahrscheinlichkeiten Q j auf
F j ; 1 j n einen Wahrscheinlichkeitsraum (; S; P ) und darauf ua ZV-e X 1 ; : : : ; X n
mit P X j
= Q j gibt. (Die analoge Frage fur 1 viele ZV-e behandeln wir spater)
12.18 B, D
(i) fM 2 S : P (M) = 1 oder 0g =: T P ist eine -Algebra, die sogenannte P -triviale -Algebra.
(ii) T P ; S sind ua: sei A 2 T P ; B 2 S, dann ist entweder P (A) = 0 =) P (A \ B) = 0;
oder P (A) = 1 =) P (A \ B) = P (B) P (A c \ B) in beiden Fallen gilt P (A \ B) =
| {z }
=0
P (A) ¡ P (B). Insbesondere ist T P von sich selbst ua.

12.19 Behauptung:
Sei E T ua =) fd(E t ) : t 2 Tg sind ua (d(E t ) = das von E t erzeugte Dynkin-System).
Bew. Oenbar reicht es, die Aussage fur jTj < 1 zu beweisen. Sei T = f1; : : : ; ng und
f1; j 1 ; : : : j k g T , dann ist
D 1 := fM 2 S : ffMg; E j2 ; : : : ; E jk g haben die PE g E 1
und ist ein Dynkin-System: da die fE j2 ; : : : E jk g die PE haben, gilt
P \
k\
`=2
E j`
k
= P E j`
=
\`=2
kY
`=2
P (E j`) = P ()
kY
`=2
P (E j`)
also ist 2 D 1 ; die Verikation von 2.6 (d2) und (d3) ist trivial. Somit haben fd(E 1 ); E j2 ; : : : E jk g
die PE, fur jede Auswahl der fj 2 ; : : : ; j n g Tnf1g; woraus die Ua von fd(E 1 ); E 2 ; : : : E n g
folgt. Nun verfahre man genauso fur die Indizes 2; 3; : : : n.
12.20 F
(i) Sei E T ua und E t \-stabil 8 t =) f(E t ) : t 2 Tg ua.
(ii) Sei uberdies T = S 2I
d
T ; T 6= ;, und sei S :=
S
(iii) Sind fX t : (; S) ! (X t ; F t )g =: X T ua und f t : (X t ; F t ) ! (Y t ; G t )
=) ff t X t : t 2 Tg sind ua.
E t =) fS : 2 Ig ist ua.
t2T
Beweis
(i) s. 2.20
(ii) Sei U := f T
t2S
E t : E t 2 E t ; t 2 S; S T ; jSj < 1g, =) S = (U )
Sind 1 ; : : : ; n 2 I und U j 2 U j , also U j =
Voraussetzung
\
n \
n n
\ j
P U j = P E j t i
=
j=1 j=1 i=1
n nY Y j
j=1 i=1
Tn j
P (E j t i
) =
E j t i
i=1
nY
j=1
mit t i 2 T j , dann gilt nach
n j
\
P
i=1
E j t j
=
nY
j=1
P (U j );
woraus die Ua von fU : 2 Ig folgt. Nun kann (i) angewendet werden, da die
U \-stabil sind.
(iii) (f t X t ) 1 (f 1
t (G t )) X 1
t
(F t ) und 12.17 (iv).
Sei (X ; +) eine additiv geschriebene Abel'sche Gruppe, F eine -Algebra in X , und (x; y) a !
x + y sei (F F; F)-mb. ( "
mb. Addition\). Sei g : (X ; F) ! (R; B) und Q = Q 1 q eine
disintegrierbare Wahrscheinlichkeit auf F F, dann gilt
(£)
R
X ¢X
g a dQ = R X
R Q 1 (dx) q(x; dy)g(x + y)
X
Fur g := 1 A und A x := fy 2 X : y + x 2 Ag; A 2 F, ist daher
Z
X
1 A (x + y)q(x; dy) = q(x; A x)

Ist speziell Q = Q 1 Q 2 , ergibt (£)
R
R
(12.21) Q a (A) = 1 A (x+y)Q(dx; dy) = Q 1 (dx)Q 2 (A x) =
X ¢X
X
"
Symmetrie
Insbesondere ist Q a eine Wahrscheinlichkeit auf F:
R
X
Q 2 (dx)Q 1 (A x).
12.22 D:
Q 1 ; Q 2 Wahrscheinlichkeiten auf F; (X ; +) Abel'sche Gruppe, mit messbarer Addition. Die
durch (12.21) denierte Wahrscheinlichkeit Q a heit Faltung von Q 1 und Q 2 .
Symb.: Q a = Q 1 £ Q 2 = Q 2 £ Q 1
12.23 F:
Seien X i : (; S) ! (X ; F); i = 1; 2; 3, ua, dann ist
(i) P X 1X 2
= P X 1 P
X 2
, und somit P X 1+X 2
= P X 1 £ P
X 2
. Wegen P (X 1+X 2 )+X 3
=
P X 1+(X 2 +X 3)
ist £ assoziativ (man beachte, dass mittels 12.20(ii) die Ua von X 1 und
X 2 + X 3 folgt, etc.). Somit ist PX := fQ : Q Wahrscheinlichkeit auf Fg; £) Abel'sche
Halbgruppe.
Allg. Symbol: Q 1 £ Q 2 £ : : : £ Q n = £ n j=1 Q j.
(ii) 0 ist Einheits-Element (PX ; £), denn sei Y 0 =) P Y = 0 , X + Y = X, und
Y 1 (F) = f;; g T P , also X; Y ua =) P X+Y = P X £ 0 = P X .
12.24 Spezialfall
X ; F) = (R k ; B k ); (R k ; +), und sei dQ i = f i d k =) d(Q 1 £ Q 2 ) = hd k mit
h(y) = R R k f 1 (x)f 2 (y x) k (dx)
Symb. h = f 1 £ f 2
Beweis:
(Q 1 £ Q 2 )(A) =
Fubini
#
=
Z
A
Z
Z
k (dz)
R k k (dx)f 1 (x)
Z
R k k (dx)f 1 (x)f 2 (z x)
(£) : x + y =: z =) y = z x;
=
Z
12.25 B
| {z }
(£) = k (dz)f 2 (z x)1 A (z)
R k
R k k (dy)f 2 (y)1 A (x + y)
Z
; 8 A 2 B k
'(y)
z }| {
(dy)f 2 ((x + y) x)1 A ( x + y)
' (dz)f 2 (z x)1 A (z) und ' = (Translationsinvarianz von k )
(i) Seien X; Y reelle ZV mit P X ; P Y = Z
PfX + Y = jg = P`2Z
PfX + Y = j; X = `g = P`
PfY = j `; X = `g
=
"
ua
P
PfY = j `gPfX = `g R =
`
R
P X (dx)P Y (fjg x)

(ii) X B i (1; p); Y B i (n; p), ua
PfX + Y = jg = p
= p j (1 p) n+1 j
n
j 1
n
n 1¡
p
j 1
¡
(1 p) j+1 + (1 p) n j p j (1 p)
¡ n j
+
n¡ ¡
=
n+1
; j = 0; 1; : : : ; n + 1.
=) Bi(1; p) £ Bi(n; p) = Bi(n + 1; p)
Induktion =) Bi(m; p) £ Bi(n; p) = Bi(m + n; p)
Spezialfall: Bi(n; p) = Bi(1; p) £n
(ii) X i N(p i ; i 2 ); i = 1; 2; ua.
Sei zunachst 1 = 2 = 0 =) P X 1 1
(d) = p
Z
lautet:
1
dx 1
Z
p
2
2
1
e x2 1 =22 1
dx 1
1
2 1 2
exp
Mit 2 := 2 1 + 2 2
j
j
2 2 i
1
p e (x 2 x 1 ) 2 =22 2
2
2
=
2
2 2 x2 + 1 2 1 x2 2
2 2x 1 2x 1 + 2 1 x2 1
2 2 1 2 2
wird der Zahler im Exponenten zu
e 2 =2 2 i d 12.24 fur diese Dichten
= (£)
2 (x 2 1
2 2 1
2 x 2x 1 + 2 1
2 x2 2) = 2 h
(x 1 2 1
2 x 2) 2 + ( 2 1
2 4 1
4 )x2 2
Nun ist x 2 fest, setze 2 1
2 x 2 =: c, es folgt
Z
(der Faktor von x 2 2 ist 2 1 4 1
2
dx 1 exp (x
2 2 1 c) 2 =
1 2 2
= 2 2 1 2 2
2
(£) =
p2 1 2
(wobei i := +
q 2 i ; := +p
2
ist).
r
2 2 1 2 2
, so dass insgesamt
1
2 1 2
=
Somit ist N(0; 2 1 ) £ N(0; 2 2 ) = N(0; 2 1 + 2 2 )
Da N( i ; 2 i ) = i
£ N(0; 2 i ) folgt
p = 2 1 2
;
2
1
p
2 2
¡ e
x 2 2 =2 2 :
N( 1 ; 2 1) £ N( 2 ; 2 2) = N( 1 + 2 ; 2 1
+ 2 2)
i
(iii) Sei dP X = fd; = Z
dP Y = gd
P X+Y (A) =
Z
R
d(dx)f(x) P Y (A x)
P R
= f(x) g(y x)dx
x2Z R
=
Z
R
R| {z }
R
= gd= g(y x)dy
A x A
g(x)dx P X (A x)
Eine weitere Vereinfachung ist hier nicht moglich.
P| {z }
= f P
(y)= f (z x)
y2A x z2A

12.26 Behauptung:
(i) Sind X; Y ua, beide 2 L 1 =) EXY = EX ¡ EY
(ii) Seien X reelle ZV, G S und X 1 (B); G ua. =) E G X = EX [P ].
Beweis:
(i) Fubini
(ii) G 2 G =) 1 G ; X ua =) E 1 G X = P (G)EX = R G
(EX)dP x 8 G 2 G
12.27 F
X; Y k-dim. ZV., ua.
Ee iht;X+Y i = Ee iht;xi ¡ Ee iht;yi ; t 2 R k
d.h.: ' X+Y (t) = ' X (t) ¡ ' Y (t); t 2 R k
Q ! ' Q ist injektiver Halbgruppen-Homomorphismus (P R k; £) ! (C C (R k ); ¡)
bzw. (fc:F:R k ! Cg; ¡) bilden 1 Gruppe, Einheitsel.1.
2
12.28 B
(i) 12.25 (ii) mittels c.F. X N(0; 1) =) X + N(; 2 )
' N (; 2 ) (t) = e it e 2 t 2 =2
=) ' N (1 ; 2 1 )£N ( 2; 2 2 ) = ei( 1+ 2 )t e (2 1 +2 2 )t2 =2
= ' N (1 + 2 ; 2 1 +2 2 )
(ii) Sind Y 1 ; Y 2 mit ' Y1 +Y 2
= ' Y1 ¡ ' Y2 , so folgt i.a. nicht die Ua von Y 1 ; Y 2 , z. B.
12.29 Bem.
Y i Ca(1)(d.h. P Y i
(d) = 1
1
1+ 2
(d)) ua
=) ' Y1 (t) = e jtj =) ' Y1 +Y 2
(t) = e 2jtj = ' 2Y1 (t)
(i) "
Keine voreiligen Schlusse\ i. Z. mit c.F. und Ua - man erlebt oft "
Uberraschungen\.
(ii) Eine wichtige Frage lautet wie folgt:
X reelle ZV; 9?X 1 ; : : : ; X n , u.i.v., mit P
nP
X j
= P X ?
j=1
Formal ist dies i.w. die Frage, ob ' X eine n-te Wurzel hat. Antwort: ncht immer,
aber man kann die Verteilungen, fur die das 8 n 2 N geht, charakterisieren (Levy,
Chinchin); man nennt sie unendlich teilbar:
z. B. X N(0; 1); ' X (t) = e t2 =2
= (e t2 =2n ) n
d.h. N(0; 1) = N(0; 1 n )£n