1(f) & ƒ;f) mb.! V bbbbbbbbbbb` bbbbbbbbbbbX ... - Mathematik

12.26 Behauptung:
(i) Sind X; Y ua, beide 2 L 1 =) EXY = EX ¡ EY
(ii) Seien X reelle ZV, G S und X 1 (B); G ua. =) E G X = EX [P ].
Beweis:
(i) Fubini
(ii) G 2 G =) 1 G ; X ua =) E 1 G X = P (G)EX = R G
(EX)dP x 8 G 2 G
12.27 F
X; Y k-dim. ZV., ua.
Ee iht;X+Y i = Ee iht;xi ¡ Ee iht;yi ; t 2 R k
d.h.: ' X+Y (t) = ' X (t) ¡ ' Y (t); t 2 R k
Q ! ' Q ist injektiver Halbgruppen-Homomorphismus (P R k; £) ! (C C (R k ); ¡)
bzw. (fc:F:R k ! Cg; ¡) bilden 1 Gruppe, Einheitsel.1.
2
12.28 B
(i) 12.25 (ii) mittels c.F. X N(0; 1) =) X + N(; 2 )
' N (; 2 ) (t) = e it e 2 t 2 =2
=) ' N (1 ; 2 1 )£N ( 2; 2 2 ) = ei( 1+ 2 )t e (2 1 +2 2 )t2 =2
= ' N (1 + 2 ; 2 1 +2 2 )
(ii) Sind Y 1 ; Y 2 mit ' Y1 +Y 2
= ' Y1 ¡ ' Y2 , so folgt i.a. nicht die Ua von Y 1 ; Y 2 , z. B.
12.29 Bem.
Y i Ca(1)(d.h. P Y i
(d) = 1
1
1+ 2
(d)) ua
=) ' Y1 (t) = e jtj =) ' Y1 +Y 2
(t) = e 2jtj = ' 2Y1 (t)
(i) "
Keine voreiligen Schlusse\ i. Z. mit c.F. und Ua - man erlebt oft "
Uberraschungen\.
(ii) Eine wichtige Frage lautet wie folgt:
X reelle ZV; 9?X 1 ; : : : ; X n , u.i.v., mit P
nP
X j
= P X ?
j=1
Formal ist dies i.w. die Frage, ob ' X eine n-te Wurzel hat. Antwort: ncht immer,
aber man kann die Verteilungen, fur die das 8 n 2 N geht, charakterisieren (Levy,
Chinchin); man nennt sie unendlich teilbar:
z. B. X N(0; 1); ' X (t) = e t2 =2
= (e t2 =2n ) n
d.h. N(0; 1) = N(0; 1 n )£n