Entdecken der Eulerschen Polyederformel - mathematikundschule.de

Seminar für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen Jülich
Unterrichtsentwurf zum 5. Unterrichtsbesuch
1 Datenvorspann
Studienreferendarin: Dr. Anne Schüller
Email: anne.schueller@matha.rwth-aachen.de
Schule: Gymnasium Zitadelle Jülich
Fach: Mathematik
Datum: 07.05.2013
Zeit: 07:50 – 08:35 (1. Stunde)
Raum: W25
Klasse/Kurs: 6c (30 Schüler, 18 Jungen, 12 Mädchen)
Fachlehrer:
Fachleiterin:
2 Thema der Stunde
Entdecken der Eulerschen Polyederformel durch Untersuchung bestimmter Eigenschaften von
regelmäßigen, selbst gebastelten Polyedern.
3 Stundenziel:
Die Schülerinnen und Schüler (SuS) sollen arbeitsteilig die Anzahl der Ecken, Kanten und
Flächen von selbst gebastelten Polyedern zählen, ihr Ergebnis in Gruppen zusammentragen
und hieraus einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der drei Größen herstellen.

4 Teilziele
Die SuS sollen...
TZ 1
TZ 2
TZ 3
TZ 4
TZ 5
TZ 6
TZ 7
(Eventualziel)
für das Thema der Stunde motiviert werden, indem die Lehrperson von einem
Geheimnis, welches Euler vor etwa 300 Jahren herausgefunden hat, berichtet.
ihr Vorwissen über Polyeder aktivieren, indem sie die sechs gebastelten
Polyeder mit dem zugehörigen Namen benennen.
einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen von
Polyedern entdecken, indem sie arbeitsteilig diese Größen von jeweils drei
Polyedern zählen, anschließend ihr Ergebnis zusammentragen und untersuchen.
den Eulerschen Polyedersatz kennenlernen, indem sie einen Merksatz für den
Zusammenhang formulieren.
herausfinden, dass der Eulersche Polyedersatz nur bei gleichmäßigen Polyedern
gilt, indem sie den Zusammenhang für einen Hexaeder mit „Loch“ prüfen.
den Unterschied zwischen den gebastelten Polyedern und dem Hexaeder mit
„Loch“ erkennen, indem sie das „Loch“ im Polyeder als Unterschied benennen.
den Eulerschen Polyedersatz vertiefen, indem sie hierfür eine mathematische
Formel bestimmen.
5 Die Unterrichtsreihe
Thema der Unterrichtsreihe: Körper
Stellung der Stunde im Reihenkontext:
Basteln von 6 Polyedern (fünf platonische Körper, ein archimedischer Körper; 2
wöchige Hausaufgabe)
Einführung: Polyeder in der Natur, Architektur und Kunst
Entdecken der Eulerschen Polyederformel durch Untersuchung bestimmter
Eigenschaften von regelmäßigen, selbst gebastelten Polyedern
Erarbeitung der Eigenschaften von platonischen Körpern durch Entdecken, welcher
der 6 gebastelten Körper „anders“ ist
Herleitung, warum es nur fünf platonische Körper gibt
2

6 Didaktische und unterrichtsmethodische Entscheidungen
Bei der Klasse, in der die heutige Stunde stattfinden wird, handelt es sich um eine sechste
Klasse im Fach Mathematik, die ich seit dem 18.04.2013 im Ausbildungsunterricht zwei
Stunden in der Woche unterrichte. Das Lernklima und die Klassengemeinschaft sind
größtenteils positiv. Bei einem Schüler in der Klasse wurde ADHS diagnostiziert. Aufgrund
seiner Hyperaktivität sitzt dieser Schüler alleine am Tisch. Dennoch lege ich Wert darauf,
dass er während einer Partnerarbeitsphase nicht alleine arbeitet. Weiter befindet sich in der
Lerngruppe ein Schüler, der sich schnell ablenken lässt und oft den Unterricht stört. Dieser
sitzt ebenfalls alleine. Insgesamt rotiert die Sitzordnung der Schüler wöchentlich.
Bezüglich der Unterrichtsvoraussetzungen ist darauf hinzuweisen, dass die SuS als
zweiwöchige Hausaufgabe die fünf platonischen Körper (Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder,
Dodekaeder und Ikosaeder) und einen archimedischen Körper (Kubo-Oktaeder) gebastelt
haben. Bereits in der vorangegangenen Stunde haben die SuS diese mitgebracht. Sie kennen
bereits die Namen dieser sechs Polyeder sowie den Begriff des Polyeders selbst. Weiter haben
sie Beispiele aus Kunst und Natur kennengelernt, in denen Polyeder vorkommen. Als neuen
Lerninhalt entdecken die SuS heute den Eulerschen Polyedersatz, der besagt, dass bei
regelmäßigen Polyedern die Formel „Anzahl der Flächen + Anzahl der Ecken – Anzahl der
Kanten = 2“ gilt.
Dabei steht nicht die Formel an sich im Vordergrund, sondern vielmehr die Entdeckung dieser
Formel durch die Untersuchung der selbst gebastelten Polyeder. Das Basteln und
anschließende Handtieren mit diesen Körpern verstärkt dabei das räumliche
Vorstellungsvermögen, welches im Geometrieunterricht eine wichtige Rolle spielt. Weiter
kommt der Entdeckung von mathematischen Zusammenhängen eine große Bedeutung zu.
Nach Winter ist das entdeckende Lernen eine für den Mathematikunterricht unabdingbare
Komponente und sollte daher regelmäßig mit den SuS geübt werden. 1 Somit hat das Thema
eine deutliche Gegenwartsbedeutung für die SuS. Die Geometrie spielt jedoch nicht nur in
der Jahrgangsstufe 6 eine wichtige Rolle, sondern wird immer wieder aufgegriffen und
vertieft. Somit ist ein gutes räumliches Vorstellungsvermögen auch für die schulische Zukunft
der SuS wichtig. Weiter ist ein gutes Vorstellungsvermögen auch für viele Berufe
unverzichtbar, wie beispielsweise in der Architektur oder Chirurgie, sodass das Thema
ebenfalls eine deutliche Zukunftsbedeutung hat. Zudem ist bei der Zukunftsbedeutung
ebenfalls der Aspekt des Entdeckens zu erwähnen, der bei dem Erwerb von mathematischen
1 Vgl. Winter. 1989.
3

Inhalten von großer Bedeutung ist. 2 Die Aneignung der Methode des Entdeckens ist dabei wie
oben bereits erwähnt, ein Prozess, der immer wieder geübt werden muss. Die Entdeckung der
Polyederformel hat demnach die von Klafki geforderte exemplarische Bedeutung.
Das fachliche Ziel dieser Stunde ist, dass die SuS den Polyedersatz selbst herleiten.
Hinsichtlich des Lehrplans lässt sich dies einerseits durch den fachlichen Inhalt „Geometrie“
legitimieren. Andererseits kann die Entdeckung der Formel dem fachlichen Inhalt „Probleme
lösen“ zugeordnet werden. Hier heißt es, dass die SuS inner- und außermathematische
Probleme erkunden, Problemlösestrategien wie beispielsweise das systematische Probieren
und das Schlussfolgern nutzen und verallgemeinern. 3 Die Entdeckung des Zusammenhangs
zwischen der Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen kann durchaus als innermathematisches
Problem gesehen werden, welches die SuS durch systematisches Probieren und
Schlussfolgern lösen können. Auch in dem schulinternen Curriculum der Zitadelle Jülich ist
das Entdecken des Polyedersatzes durch die Kategorie „Problemlösen“ begründet. 4
Da sich das Thema der Stunde nicht für einen problemorientierten Unterrichtseinstieg eignet,
habe ich mich dazu entschieden, den SuS als Stundeneinstieg den Erfinder des
Polyedersatzes Leonhard Euler anhand einer Folie vorzustellen. Neben wenigen
geschichtlichen Informationen, erfahren die SuS, dass Euler vor etwa 300 Jahren ein
Geheimnis über Polyeder herausgefunden hat. Dies soll die SuS für das Thema der Stunde
motivieren und bei ihnen die Neugier wecken, das Geheimnis (den Polyedersatz) zu lüften
und selbst herauszufinden.
Die didaktische Schwerpunktsetzung bei der Erarbeitung der Thematik orientiert sich an
der kooperativen Unterrichtsmethode „Think-Pair-Square-Share“ unter Verwendung einer
Gruppenexploration, welche sich nach Bärbel Barzel besonders für die Entdeckung
mathematischer Zusammenhänge eignet. 5 Der wesentliche Vorteil der Gruppenexploration
liegt darin, dass nicht alle SuS die Ecken, Kanten und Flächen aller Körper zählen müssen,
sondern dies arbeitsteilig geschieht und dann später in der Gruppe zusammengetragen wird.
Weiter orientiert sich die Entdeckung der Polyederformel an der Theorie der enaktiven,
ikonischen und symbolischen Darstellungsebenen, deren Berücksichtigung bei der
Vermittlung neuer Inhalte in besonderem Maße zu einem tiefen Verständnis führt. 6
2 Vgl. Winter. 1989.
3 Vgl. Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen (2007).
4 Vgl. Schulinternes Curriculum. S. 5.
5 Vgl. Barzel. 2011. S. 90.
6 Vgl. Leuders. 2011. S. 186 f.
4

In der Erarbeitungsphase bearbeiten die SuS zunächst gemäß der Think-Phase in
Einzelarbeit die erste Aufgabe des Arbeitsblattes. In dieser Aufgabe sind die sechs gebastelten
Polyeder abgebildet, welche die SuS richtig beschriften sollen. Die Abbilder der Polyeder
sind für die SuS neu, allerdings können sie sich an ihren gebastelten Polyedern, die bereits auf
dem Tisch stehen, orientieren. Die Aufgabe dient in erste Linie dazu, das Vorwissen der SuS
zu aktivieren. Zudem soll hier eine Brücke zwischen dem gebastelten dreidimensionalen
Modell und dem zweidimensionalen Abbild geschaffen werden, sodass die SuS die enaktive
und ikonische Ebene verbinden können. Da evtl. einige SuS nicht so gut mit den Namen der
Polyeder vertraut sind, können sie diese auf der Rückseite des Arbeitsblattes nachlesen und
müssen sie dann nur noch richtig zuordnen. Zur weiteren Binnendifferenzierung können
schnelle SuS eine Zusatzaufgabe bearbeiten, in der sie Eselsbrücken für die Polyedernamen
finden sollen.
Da die SuS in der nächsten Aufgabe die Polyeder-Abbildungen mit zugehörigem Namen in
einer Tabelle wiederfinden, wird diese Aufgabe nicht im Plenum gesichert. Die Eselsbrücken,
die einige SuS in der Zusatzaufgabe gefunden haben, werden ggf. am Ende der Stunde
vorgestellt. Da es bei Eselbrücken kein richtig oder falsch gibt, ist an dieser Stelle eine
Sicherung nicht notwendig.
In der Pair-Phase vergleichen die SuS zunächst die Polyedernamen mit ihrem Sitznachbarn.
Anschließend sollen sie zu zweit die Anzahl der Kanten, Ecken und Flächen von drei
vorgegebenen Polyedern zählen. Es ist ihnen freigestellt, ob sie die Größen ikonisch anhand
der Abbildungen aus Aufgabe 1 oder enaktiv anhand der gebastelten Polyeder zählen. Die
Ergebnisse sollen sie in einer Tabelle eintragen. Um zu gewährleisten, dass die Ergebnisse in
der richtigen Zeile der Tabelle eingetragen werden, ist in der Tabelle neben dem
Polyedernamen auch nochmal der Polyeder selbst abgebildet. Damit alle SuS die Tabelle
später noch präsent haben, bekommt jeder Schüler ein Arbeitsblatt.
In dieser Phase der Erarbeitung ist es wichtig, dass die SuS richtige Ergebnisse haben, da sie
andernfalls der Zusammenhang zwischen Kanten, Flächen und Ecken nicht entdecken
können. Daher werde ich in dieser Phase rumgehen und die SuS ggf. darauf hinweisen, dass
sie noch einmal nachzählen sollen. Zudem gebe ich ihnen den Tipp, dass sie die bereits
gezählten Größen auch farbig markieren können, um das Zählen zu vereinfachen. Falls die
SuS sich unsicher sind, können sie auch nach einer Lösungskarte fragen. Schnelle SuS
erhalten als Zusatzaufgabe, dass sie die Ecken, Kanten und Flächen von weiteren Körpern
zählen sollen.
5

Anschließend setzen sich die SuS in der Square-Phase derart in Vierergruppen zusammen,
dass sie die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen aller Körper vorliegen haben. Zunächst
tragen sie ihr Ergebnis zusammen. Die Ergebnisse werden erst später gesichert, da die
Arbeitsphase der Schüler nicht unterbrochen werden soll. Für die Sicherung schreiben zwei
Gruppen ihr Ergebnis und ihre anschließenden Überlegungen bezüglich des Zusammenhangs
zwischen Ecken, Kanten und Flächen auf Folie.
Für die Entdeckung des mathematischen Zusammenhangs, war es mir wichtig, dass die SuS
nicht nur zu zweit diskutieren, da diese Aufgabe ziemlich schwierig ist und daher eine
Diskussion zu viert eher zu einer Lösung führt. Weiter erhalten die SuS zur
Binnendifferenzierung den Hinweis, dass sie nach einer Tippkarte fragen können, falls sie
keine Idee haben. Ebenfalls haben die SuS an dieser Stelle zwei Zusatzaufgaben. Zunächst
sollen sie einen allgemeinen Merksatz formulieren. Da evtl. einige SuS direkt auf den
Zusammenhang stoßen, ist die zweite Zusatzaufgabe etwas umfangreicher. Hier sollen die
SuS ihre Vermutung an einem Fußball überprüfen, welcher ihnen als Modell zur Verfügung
gestellt wird.
In der anschließenden Share-Phase, in der die SuS wieder an ihren gewohnten Plätzen sitzen,
werden die Ergebnisse von den SuS am OHP vorgestellt. Ggf. wird das Ergebnis bezüglich
des Fußballs aus der Zusatzaufgabe auf der Folie ergänzt. Ausgehend von den Ergebnissen
formulieren die SuS einen Merksatz, wovon einer am OHP festgehalten wird. Durch die
Formulierung des Merksatzes erreichen die SuS die symbolische Repräsentationsebene.
Da der Eulersche Polyedersatz nur für gleichmäßige Polyeder (d.h. Polyeder ohne „Löcher“)
gilt, sollen die SuS in einer weiteren Erarbeitungsphase zu zweit die Formel an einem
Hexaeder mit Loch untersuchen. Zur besseren räumlichen Vorstellung eines solchen
Polyeders, wird dieser als Modell den SuS vorab präsentiert. Das Ergebnis wird anschließend
auf Folie ergänzt und der von den SuS formulierte Merksatz angepasst. Dazu sollen die SuS
den Unterschied zwischen dem gerade betrachteten Polyeder und den gebastelten Polyedern
benennen.
Sollte es zu zeitlichen Problemen kommen, könnte man die zweite Erarbeitungsphase auch in
die Hausaufgabe auslagern und am Anfang der nächsten Stunde aufgreifen.
In der Eventualphase sollen die SuS eine Formel für allgemeine gleichmäßige Polyeder mit
K Kanten, E Ecken und F Flächen angeben. Ggf. werden am Ende der Stunde die
Eselsbrücken, die die SuS in der ersten Zusatzaufgabe gefunden haben, vorgestellt.
Als Hausaufgabe sollen die SuS den Polyedersatz anwenden, indem sie zu einer gegebenen
Anzahl von jeweils zwei Größen die gesuchte Anzahl der dritten Größe ermitteln.
6

7 Literatur
[1] Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen:
Kernlehrplan für Gymnasium - Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen.
Ritterbach Verlag. 2007
[3] Bärbel Barzel. Andreas Büchter. Timo Leuders. Mathematik Methodik. Cornelsen.
2011
[4] Schulinternes Curriculum. Sekundarstufe I. Mathematik. 2009
[5] Timo Leuders. Mathematik Didaktik. Cornelsen. 2011
[6] Heinrich Winter. Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. Vieweg. 1989.
7

8 Geplanter Unterrichtsverlauf
Phasen Inhaltliche Schwerpunkte/ Operationen Sozial und
Aktionsformen
Einstieg
TZ 1
Die Lehrperson erzählt eine Geschichte über den Schweizer
Mathematiker Leonhard Euler.
Medien
Anmerkungen zum Lernprozess
LV OHP Die SuS sollen motiviert werden, das,
was Euler vor 300 Jahren
herausgefunden hat, selbst zu
entdecken.
Erarbeitung I
TZ 2
Die SuS beschriften die jeweiligen Körper mit dem richtigen
Namen (Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder,
Kubo-Oktaeder).
EA
AB, gebastelte
Polyeder
Das Vorwissen der SuS wird aktiviert.
Weiter wird hier die enaktive und
ikonisch Ebene verbunden.
TZ 3
Die SuS vergleichen die Polyedernamen, zählen arbeitsteilig
die Kanten, Flächen und Ecken von jeweils 3 Polyedern und
tragen die Ergebnisse in einer Tabelle ein.
PA
gebastelte
Polyeder, AB,
ggf. Lösungskarte
Damit das Zählen der Ecken, Kanten
und Flächen nicht zu lange dauert und
dadurch zu monoton wird, zählen die
SuS arbeitsteilig.
TZ 3
Die SuS tragen in Vierergruppen ihre Ergebnisse zusammen,
sodass die Anzahl der Ecken, Kanten und Flächen aller
gebastelten Polyeder bekannt sind. Anschließend diskutieren
sie über einen Zusammenhang zwischen den drei Größen.
8
GA
AB
ggf.
Hilfskarten
Da die Entdeckung der Polyederformel
für die SuS nicht einfach ist, bietet sich
hier eine Diskussion in Vierergruppen
an.
Sichtung Eine Gruppe präsentiert ihre Ergebnisse SV OHP Schulung der Präsentationskompetenz
Sicherung
TZ 4
Erarbeitung II
TZ 5
Sicherung
TZ 6
Die SuS formulieren einen Merksatz. UG OHP Der Merksatz soll von den SuS selbst
formuliert werden (Übergang zum
symbolischen Darstellungsmodus)
Die SuS zählen die Ecken, Kanten und Flächen von einem
Hexaeder mit „Loch“ und überprüfen, ob der Zusammenhang
auch für dieses Polyeder gilt.
Das Ergebnis der SuS wird am OHP festgehalten. Der
Unterschied zwischen dem Polyeder mit „Loch“ und den
gebastelten Polyedern wird herausgearbeitet und im Merksatz
PA
UG
AB, Polyeder-
Modell
OHP
Die SuS entdecken selbst, dass die
Regel nicht für alle Polyeder gilt.

Vertiefung
TZ 7
ergänzt.
Hausaufgabe zur Stunde: Keine
Die SuS ergänzen den Merksatz durch eine Formel für
gleichmäßige Polyeder mit E Ecken, K Kanten und F Flächen.
Hausaufgabe: Die SuS ermitteln zu zwei gegebene Größen die jeweils dritte Größe eines regelmäßigen Polyeders
UG OHP Abstraktionskompetenz wird geschult.
9

9 Anhang
Arbeitsblätter
Lösungen zum AB
Mögliche Lösungen zum Merksatz
Lösungskarte zu Aufgabe 2
Tippkarte zu Aufgabe 3
Hausaufgaben
Fotos der gebastelten Polyeder
Arbeitsblatt für die Einzelarbeit
Mathematik 6c (Sü) Eigenschaften von Polyedern 07.05.2013
Aufgabe 1
Beschrifte die jeweiligen Polyeder.
Tipp: Wenn du die Namen nicht mehr auswendig weißt, kannst du sie auf der Rückseite
nachlesen. Du musst sie dann nur noch richtig zuordnen.
______________________ ______________________ ______________________
______________________ ______________________ ______________________
Zusatzaufgabe
Suche Eselsbrücken, um dir die Namen besser zu merken.
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
10

Rückseite des Arbeitsblattes (Hinweis zur Einzelarbeit)
Hinweis zu Aufgabe 1:
Wir haben folgende Körper gebastelt:
- Tetraeder
- Hexaeder
- Oktaeder
- Dodekaeder
- Ikosaeder
- Kubo-Oktaeder
11

Arbeitsblatt für die Partnerarbeit (Gruppe A)
Aufgabe 2
Vergleicht Euer Ergebnis aus Aufgabe 1.
Zählt zu zweit die Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten des
- Tetraeders,
- Oktaeders und
- Ikosaeders.
Tragt Euer Ergebnis in die Tabelle ein.
Hinweis:
Falls ihr Euch nicht sicher seid, könnt ihr bei Frau Schüller eine Lösungskarte erfragen!
Körper
Tetraeder
Anzahl
Flächen
Anzahl
Ecken
Anzahl
Kanten
Oktaeder
Ikosaeder
Hexaeder
Dodekaeder
Kubo-Oktaeder
Zusatzaufgabe
Zählt die Kanten, Ecken und Flächen von weiteren Körpern und tragt sie in die
Tabelle ein.
12

Arbeitsblatt für die Partnerarbeit (Gruppe B)
Aufgabe 2
Vergleicht Euer Ergebnis aus Aufgabe 1.
Zählt zu zweit die Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten des
- Hexaeder,
- Dodekaeder und
- Kubo-Oktaeder.
Tragt Euer Ergebnis in die Tabelle ein.
Hinweis:
Falls ihr Euch nicht sicher seid, könnt ihr bei Frau Schüller eine Lösungskarte erfragen!
Körper
Tetraeder
Anzahl
Flächen
Anzahl
Ecken
Anzahl
Kanten
Oktaeder
Ikosaeder
Hexaeder
Dodekaeder
Kubo-Oktaeder
Zusatzaufgabe
Zählt die Kanten, Ecken und Flächen von weiteren Körpern und tragt sie in die
Tabelle ein.
13

Arbeitsblatt für die Gruppenarbeit
Aufgabe 3
Setzt Euch in Vierergruppen zusammen und ergänzt gemeinsam die Tabelle.
Überlegt euch anschließend gemeinsam mit Hilfe der Tabelle einen Zusammenhang/eine
Regel zwischen der Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten.
Hinweis:
Wenn ihr keine Idee habt, könnt ihr bei Frau Schüller nach einer Hilfekarte fragen.
Zusatzaufgabe 1
Formuliert gemeinsam einen Merksatz.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Zusatzaufgabe 2
Stimmt der Zusammenhang, den ihr entdeckt habt, auch für einen Fußball?
Ihr könnt Frau Schüller nach einem kleinen Fußball fragen und diesen auch bemalen.
Dann wird das Zählen einfacher
Körper Anzahl Flächen Anzahl Ecken Anzahl Kanten
Fußball
14

Arbeitsblatt für die Partnerarbeit
Aufgabe 4
Aus dem Hexaeder ist ein Loch rausgeschnitten worden.
Stimmt der Zusammenhang auch bei diesem Polyeder?
Zählt die Ecken, Flächen und Kanten.
Hinweis: Für das Zählen der Kanten ist es hilfreich, diese zu bemalen, damit keine Kante
doppelt gezählt wird.
Zusatzaufgabe
Wo liegen die Unterschiede zwischen dem Polyeder aus Aufgabe 4 und den von
Euch gebastelten Polyedern?
15

Lösungen zum AB
Aufgabe 1
Siehe Tabelle von Aufgabe 2.
Aufgabe 2, 3, 4 und Zusatzaufgabe „Fußball“
Körper
Tetraeder
Oktaeder
Ikosaeder
Hexaeder
Dodekaeder
Kubo-Oktaeder
Fußball
Hexaeder mit Loch
Anzahl
Flächen
Anzahl
Ecken
Anzahl
Kanten
4 4 6
8 6 12
20 12 30
6 8 12
12 20 30
14 12 24
32 60 90
16 16 32
Zusammenhang
4 + 4 = 6 + 2
oder
4 + 4 – 6 = 2
8 + 6 = 12 + 2
oder
8 + 6 – 12 = 2
20 + 12 = 30 + 2
oder
20 + 12 – 30 = 2
6 + 8 = 12 + 2
oder
6 + 8 – 12 = 2
12 + 20 = 30 + 2
oder
12 + 20 – 30 = 2
14 + 12 = 24 + 2
oder
14 + 12 – 24 = 2
32 + 60 = 90 + 2
oder
32 + 60 – 90 = 2
16 + 16 32 + 2
oder
16 + 16 – 32 2
16

Lösung zum Merksatz
Für Polyeder ohne Loch gilt:
Anzahl Ecken + Anzahl Flächen = Anzahl Kanten + 2
oder
Anzahl Ecken + Anzahl Flächen – Anzahl Kanten = 2
Lösungskarte zu Aufgabe 2 (Gruppe A)
Körper
Anzahl
Flächen
Anzahl
Ecken
Anzahl
Kanten
Tetraeder
4 4 6
Oktaeder
8 6 12
Ikosaeder
20 12 30
Lösungskarte zu Aufgabe 2 (Gruppe B)
Körper
Anzahl
Flächen
Anzahl
Ecken
Anzahl
Kanten
Hexaeder
6 8 12
Dodekaeder
12 20 30
Kubo-Oktaeder
14 12 24
17

Tippkarte zur Aufgabe 3
Ergänze passende Rechenzeichen:
Anzahl Flächen Anzahl Ecken Anzahl Kanten = ?
Hausaufgaben
Mathematik 6c (Sü) Hausaufgabe 07.05.2013
Aufgabe 1
Bestimme die fehlende Größe mit Hilfe der Polyederformel. Löse die Aufgabe mit Hilfe der Tabelle.
a.) Ein Polyeder ohne Loch besitzt 4 Flächen und 5 Ecken. Wie viele Kanten hat der Polyeder?
b.) Ein Polyeder ohne Loch besitzt 90 Kanten und 60 Ecken. Wie viele Flächen hat der Polyeder?
Aufgabe
Anzahl
Flächen
Anzahl
Ecken
Anzahl
Kanten
Rechnung
a.)
b.)
18

Fotos der gebastelten Polyeder
Abbildung 1: Hexaeder, Tetraeder
Abbildung 2: Hexaeder, Dodekaeder
Abbildung 3: Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder, Kubo-Oktaeder
19