Einführung in die Integralrechnung - Mathematikundschule.de

Seminar für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen Jülich
I. Datenvorspann:
Unterrichtsentwurf zum 3. Unterrichtsbesuch im Fach Mathematik
Studienreferendar/-in: Nadine Boymans Email: boymans.rvs@web.de
Schule: Kreisgymnasium Heinsberg
Fach: Mathematik
Datum: 29.01.2013
Zeit: 10.30 – 11.30 Uhr
Raum: 1203
Klasse/Kurs: Q1 Gk
Fachlehrer/-in:
Fachleiter/-in:
II. Thema der Unterrichtsstunde:
Der Rekordsprung von Felix Baumgartner - Einführung in die Integralrechnung durch die
Untersuchung der Wirkung der Beschleunigung von Felix Baumgartner auf seine Ge-
schwindigkeit in einer kooperativen Lernform
III. Stundenziel:
Die Schülerinnen und Schüler können die Wirkung einer konstanten Beschleunigung über
einen gewissen Zeitraum auf die Geschwindigkeit erklären und den Zusammenhang auch
funktional deuten.
Teilziele: Die Schülerinnen und Schüler sollen
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TZ2
TZ3
Informationen aus dem Kontext des Rekordsprungs von Felix Baumgartner
nutzen, um den Sachverhalt (Zeit � Beschleunigung) graphisch darzustellen.
(Problemlösekompetenz)
die Geschwindigkeit zu bestimmten Zeitpunkten aus der konstanten Beschleunigung
über diesen Zeitraum berechnen.
(Idee des funktionalen Zusammenhangs)
die berechnete Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt als Fläche,
die der Graph der Beschleunigungsfunktion mit x-Achse bis zu diesem Zeitpunkt
einschließt, deuten.
(Idee des Messens)
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TZ4
TZ5
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TZ7
EZ1
EZ2
EZ3
EZ4
den Geschwindigkeitsverlauf graphisch darstellen.
(Idee des funktionalen Zusammenhangs)
eine Funktionsgleichung für den Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsverlauf
aufstellen.
(Idee des funktionalen Zusammenhangs)
erkennen, dass die Beschleunigungsfunktion die Ableitungsfunktion der Geschwindigkeitsfunktion
ist.
(Idee des funktionalen Zusammenhangs)
ihre in der Gruppenarbeitsphase erarbeiteten Lösungen dem Kurs vorstellen.
(Präsentations- und Argumentationskompetenz)
die zurückgelegte Strecke zu bestimmten Zeitpunkten anhand der Fläche, die
der Graph der Geschwindigkeitsfunktion mit der x-Achse einschließt, berechnen.
(Idee des Messens)
den Verlauf der zurückgelegten Strecke in Abhängigkeit von der Zeit graphisch
darstellen.
(Idee des funktionalen Zusammenhangs)
eine Funktionsgleichung für den Verlauf der zurückgelegten Strecke in Abhängigkeit
von der Zeit aufstellen.
(Idee des funktionalen Zusammenhangs)
erkennen, dass die Geschwindigkeitsfunktion die Ableitungsfunktion der
Funktion, die den Verlauf der zurückgelegten Strecke beschreibt, ist.
(Idee des funktionalen Zusammenhangs)
IV. Die Unterrichtsreihe:
Thema der Unterrichtsreihe:
Integralrechnung
Stellung der Stunde im Reihenkontext:
1. Einführung in die Integralrechnung – Untersuchung von Wirkungen
(29.01.2013)
2. Aufleiten – Die Umkehrung des Ableitens (05.02.2013)
3. Flächeninhalt krummlinig begrenzter Flächen (15.02.2013)
V. Didaktische und unterrichtsmethodische Entscheidungen
Das Thema „Integralrechnung“ ist an Gymnasien in der Jahrgangsstufe Q1 oder Q2 so-
wohl im Leistungskurs als auch im Grundkurs vorgesehen. In den Richtlinien und Lehr-
plänen für die Sekundarstufe II Gymnasium/Gesamtschule Mathematik [1] findet sich die
Integralrechnung insbesondere in der Idee des Messens, des funktionalen Zusammen-
hangs und des Algorithmus wieder. So wird im Hinblick auf die Idee des Messens der Be-
griff des Flächeninhaltes über viele Schuljahre hinweg entfaltet: „Ausgehend von Verglei-
chen von Rechtecksflächen mit Einheitsflächen, über Dreiecks- und Vielecksflächen bis
2

hin zu krummlinig begrenzten Flächen“ [1], für die in dieser Unterrichtsreihe ein Mess-
verfahren entwickelt wird. Im Hinblick auf die Idee des funktionalen Zusammenhangs
sollte den Schülerinnen und Schülern deutlich werden, dass Naturgesetze ohne die For-
mulierung funktionaler Zusammenhänge nicht denkbar sind. So sollen in der Integral-
rechnung die Wirkungen fortgesetzter Änderungen untersucht werden und im Vorder-
grund stehen, was auch der Schwerpunkt der heutigen Stunde ist. So sollte deutlich wer-
den, „dass der Integralbegriff Grundlage vieler Begriffsbildungen in anderen Fächern
ist“.[1] Auch aufgrund der zunehmenden Verbreitung von Computeralgebra-Systemen
wird in den Richtlinien und Lehrplänen gefordert, dass sich der Unterrichtsschwerpunkt
vom Kalkül zu sinnvollen Anwendungen und zu Modellierungen in Sachzusammenhängen
verschieben sollte. Stichpunktartig geben die Richtlinien und Lehrpläne folgende Inhalte
für die Integralrechnung im Grundkurs vor:
- Produktsummen, Untersuchung von Wirkungen
- Stammfunktion, bestimmtes Integral, Eigenschaften bestimmter Integrale
- Integralfunktion, Hauptsatz (mit anschaulichem Stetigkeitsbegriff)
- Flächenberechnung durch Integration
- Ein Verfahren zur numerischen Integration [1]
Die heutige Stunde ist die Einstiegsstunde in die Integralrechnung. Aufgrund der hervor-
gehobenen Bedeutung der Untersuchung von Wirkungen fortgesetzter Änderungen in den
Richtlinien und Lehrplänen, sollen die Schülerinnen und Schüler in der heutigen Stunde
die Wirkung der Beschleunigung von Felix Baumgartner bei seinem Rekordsprung auf
seine Geschwindigkeit und die Wirkung seiner Geschwindigkeit auf die zurückgelegte
Strecke untersuchen. Im Sinne der Gegenwartsbedeutung Klafkis wurde der Kontext des
Rekordsprungs von Felix Baumgartner gewählt, da er vermutlich allen Schülerinnen und
Schüler durch die Presse und Medien bekannt und somit motivierend ist.
Zu Beginn der Stunde wird ein Videoausschnitt des Rekordsprungs von Felix Baumgart-
ner gezeigt. Die Anmerkungen der Schülerinnen und Schüler zum Videoausschnitt wer-
den dann gesammelt und es wird die Fragestellung für die weitere Arbeit „Wie schnell
war Felix Baumgartner zu bestimmten Zeitpunkten?“ erarbeitet. Dann wird den Schüle-
rinnen und Schüler das weitere Vorgehen für die Erarbeitungsphase erklärt. Nach dem
Think-Pair-Share Verfahren sollen die Schülerinnen und Schüler sich zunächst in Einzel-
arbeit mit Hilfe eines Arbeitsblattes noch einmal den Kontext durchlesen und in die zur
Klärung der Fragestellung benötigten theoretischen Hintergründe aus der Physik einar-
beiten. Danach sollen sie den Sachverhalt (Zeit � Beschleunigung) graphisch darstellen.
In dieser Einzelarbeitsphase haben die Schülerinnen und Schüler die Möglichkeit sich in
Ruhe in das Thema einzuarbeiten. An die Einzelarbeitsphase schließt sich eine Gruppe-
narbeitsphase an. Hier sollen die Schülerinnen und Schüler zunächst Fragen klären, die in
der Einzelarbeitsphase aufgetreten sind und dann ihre Ergebnisse austauschen. Im An-
schluss daran sollen die Schülerinnen und Schüler die Geschwindigkeit von Felix Baum-
gartner arbeitsteilig zu verschiedenen Zeitpunkten berechnen. Hierzu können sie die an-
gegebene Formel
3

��������������� � �������������� · ���� �� � � · �� nutzen, da für die ersten
10 � unter Vernachlässigung des Windwiderstandes angenommen werden kann, dass
Felix Baumgartner mit konstanter Erdbeschleunigung beschleunigt. Um die Beziehung
zwischen der Geschwindigkeit und Beschleunigung auch anhand des Graphen des Be-
schleunigungsverlaufes zu verdeutlichen, sollen die Schülerinnen und Schüler dann ar-
beitsteilig in der Gruppe den Flächeninhalt, den der Graph (Zeit � Beschleunigung) mit
der �-Achse bis zu einem bestimmten Zeitpunkt einschließt, bestimmen und ihn mit der
berechneten Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt vergleichen. Anschließend soll der
Sachverhalt (Zeit � Geschwindigkeit) graphisch dargestellt werden. Danach sollen die
Schülerinnen und Schüler Funktionsgleichungen für den Beschleunigungsverlauf und den
Geschwindigkeitsverlauf in Abhängigkeit von der Zeit bestimmen. Dies kann entweder
aus den beiden Graphen (Zeit � Beschleunigung und Zeit � Geschwindigkeit) oder an-
hand der berechneten Werte erfolgen.
Die Schülerinnen und Schüler haben somit insgesamt im ersten Aufgabenteil erarbeitet,
dass bei konstanter Beschleunigung die Geschwindigkeit linear ansteigt und dass die Ge-
schwindigkeit zu bestimmten Zeitpunkten dem Flächeninhalt entspricht, den der Graph
des Beschleunigungsverlaufs mit der �-Achse bis zu diesem Zeitpunkt einschließt. Even-
tuell haben sie auch schon erkannt, dass die Beschleunigungsfunktion die Ableitungs-
funktion der Geschwindigkeitsfunktion ist.
Im Folgenden soll aus den im ersten Aufgabenteil bestimmten Geschwindigkeiten die
zurückgelegte Strecke zu bestimmten Zeitpunkten berechnet werden. Allen Schülerinnen
und Schülern wird wahrscheinlich der Zusammenhang "���ü��������� ������� �
��������������� · ����" bekannt sein. Jedoch sollten sie anhand des Graphen des Ge-
schwindigkeitsverlaufs erkennen, dass die Geschwindigkeit nicht konstant ist, sondern
linear ansteigt und somit die bekannte Formel nicht verwendet werden kann. Infolge des-
sen sollten sie das im ersten Aufgabenteil zusätzlich verwendete Verfahren, die Ge-
schwindigkeit auch über die Flächenberechnung unterhalb des Graphen zum Beschleuni-
gungsverlaufs zu bestimmen, auf diese Situation übertragen und die zurückgelegte Stre-
cke über die Flächenberechnung unterhalb des Graphen zum Geschwindigkeitsverlauf
bestimmen. Falls die Schülerinnen und Schüler Probleme haben einen Lösungsansatz für
diese Aufgabenstellung zu finden, werden ihnen Hilfekarten zur Verfügung gestellt. An-
hand der berechneten Strecken sollen die Schülerinnen und Schüler dann den Sachver-
halt (Zeit � Strecke) graphisch darstellen und anschließend eine Funktionsgleichung be-
stimmen. Anhand des Graphen werden die Schülerinnen und Schüler wahrscheinlich er-
kennen, dass der Verlauf der zurückgelegten Strecke in Abhängigkeit von der Zeit para-
belförmig ist. Somit werden sie zur Bestimmung der Funktionsgleichung den allgemeinen
Ansatz quadratischer Funktionen ���� ��·� � ��·��� wählen und die Parameter �, �, �
durch Einsetzen von drei Punkten und anschließendem Lösen des linearen Gleichungssys-
tems bestimmen. Sollten die Schülerinnen und Schüler Probleme bei der Bestimmung der
Funktionsgleichung haben, so können sie auch hier Hilfekarten erhalten. Im Anschluss
daran sollen sich die Schülerinnen und Schüler Gedanken über den Zusammenhang zwi-
4

schen den Funktionsgleichungen machen, was später nach der Präsentationsphase disku-
tiert und vertieft werden soll.
Die Schülerinnen und Schüler haben somit insgesamt im zweiten Aufgabenteil erarbeitet,
dass bei linear steigender Geschwindigkeit die zurückgelegte Strecke zu bestimmten
Zeitpunkten quadratisch zunimmt und dass die zurückgelegte Strecke anhand des Flä-
cheninhalts, den der Graph des Geschwindigkeitsverlaufs mit der �-Achse bis zu diesem
Zeitpunkt einschließt, bestimmt werden kann. Zudem sollten sie beim Betrachten der
drei aufgestellten Funktionsgleichungen erkennen, dass die Beschleunigungsfunktion die
Ableitungsfunktion der Geschwindigkeitsfunktion und die Geschwindigkeitsfunktion die
Ableitungsfunktion der Funktion, die die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von Zeit
beschreibt, ist.
Dann sollen die Schülerinnen und Schüler sich auf die Präsentation vorbereiten. Dazu
erhalten sie Koordinatensysteme auf Folie, in denen sie die Graphen zeichnen können.
Die Gruppe, die präsentieren soll, wird per Zufallsgenerator ausgewählt. Da alle Gruppen
das gleiche Thema bearbeitet haben, sollen die anderen Gruppen kommentieren und er-
gänzen. Anderen Lösungen oder Lösungswege können auch noch vorgestellt werden. Die
Gruppenzusammensetzung wird vor der Stunde vorgegeben, so dass die Gruppen hete-
rogen zusammengesetzt sind. So können die stärkeren Schülerinnen und Schüler die
schwächeren unterstützen. Im Anschluss an die Präsentationsphase sollen die drei Funk-
tionsgleichungen an der Tafel notiert werden und der Zusammenhang, falls noch nicht
genügend in der Präsentationsphase geschehen, herausgearbeitet werden. Hier soll auch
der Begriff „Aufleiten“ als Umkehrung des Ableitens erarbeitet werden. Dies kann im
zweiten Schritt auch noch an Hand der allgemeinen Funktionsgleichungen für die Sachzu-
sammenhänge verdeutlicht werden:
Aufleiten
Beschleunigung: � � 9,8 � � � � ��� � � �� ���
Geschwindigkeit: ���� � 9,8 · � ���� ��·������� Zurückgelegte Strecke: ���� �4,9·�� ���� � �
� �·��
Sollte sich im Verlauf der Unterrichtsstunde herausstellen, dass nicht genügend Zeit zur
Bearbeitung des zweiten Aufgabenteils vorhanden ist, so wird eine Zwischensicherung
nach der Bearbeitung des ersten Aufgabenteils vorgenommen. Die Schülerinnen und
Schüler präsentieren dann ihre Ergebnisse des ersten Aufgabenteils und es wird zunächst
nur der Zusammenhang zwischen der Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsfunktion
erarbeitet. Für diesen Fall sind auch das Stundenziel und die Teilziele formuliert worden.
Somit sind die Teilziele, die im zweiten Aufgabenteil erreicht werden sollen, als Eventual-
ziele formuliert worden.
Sollte sich im Verlauf der Unterrichtsstunde herausstellen, dass nicht genügend Zeit für
die Bearbeitung des Aufgabenteils 2c) vorhanden ist, d.h. zur Bestimmung der Funkti-
onsgleichung zum Verlauf der zurückgelegten Strecke in Abhängigkeit von der Zeit, wird
den Schülerinnen und Schülern die Funktionsgleichung ���� � �
� �·�� vorgegeben und sie
sollen überprüfen, ob diese Gleichung für ihre bestimmten Werte zutrifft.
5
Ableiten

VI. Literatur:
[1] Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen (2005):
Richtlinien und Lehrpläne für die Sekundarstufe II – Gymnasium/Gesamtschule in
Nordrhein-Westfalen – Mathematik
6

VII. Geplanter Stundenverlauf:
Einstieg
PHASEN INHALTLICHE SCHWERPUNKTE / OPERATIONEN SOZIAL- und
Erarbeitungsphase
Videoausschnitt zum Rekordsprung von Felix
Baumgartner
Fragestellung: „Wie schnell war Felix Baumgartner
zu bestimmten Zeitpunkten?“
Lehrerin erklärt weiteres Vorgehen
SuS lesen sich in Einzelarbeit in den Kontext und
die Theorie ein (siehe AB)
SuS bearbeiten in Einzelarbeit Aufgabenteil 1a) in
Einzelarbeit
SuS tauschen ihre Ergebnisse zu Aufgabenteil 1a)
in der Gruppe aus
SuS bearbeiten Aufgabe 1b)-2c) in der Gruppe
AKTIONSFORMEN
Plenum Beamer/
Videoausschnitt
Plenum
Einzelarbeit
Gruppenarbeit
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MEDIEN ANMERKUNGEN ZUM LERNPROZESS
OHP/Folie
Arbeitsblatt
Der Videoausschnitt soll als motivierender Einstieg
dienen und die SuS in ihrer Lebenswelt abholen.
Im Unterrichtsgespräch wird die Fragestellung für
den Arbeitsauftrag erarbeitet.
Lehrerin sorgt für Methodentransparenz.
Die SuS müssen sich zunächst in Einzelarbeit in das
Thema (Kontext und Theorie) einarbeiten und anschließend
den Sachverhalt (Zeit � Beschleunigung)
graphisch darstellen.
Die SuS schulen ihre Kommunikationskompetenz,
indem sie ihre Lösung in der Gruppe vorstellen und
vergleichen.
Die Schüler untersuchen die Wirkung einer konstanten
Beschleunigung auf die Geschwindigkeit.
(Sie berechnen aus der konstanten Beschleunigung
die Geschwindigkeit zu bestimmten Zeitpunkten. Sie
stellen den Sachverhalt Zeit � Beschleunigung graphisch
dar. Sie stellen Funktionsgleichungen für den
Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsverlauf auf
und interpretieren den Zusammenhang.)
Die Schüler untersuchen die Wirkung einer linear
steigenden Geschwindigkeit auf die zurückgelegte
Strecke.
(Sie berechnen aus der konstant steigenden Geschwindigkeit
die zurückgelegte Strecke zu bestimm-

PHASEN INHALTLICHE SCHWERPUNKTE / OPERATIONEN SOZIAL- und
Ergebnis/
Sicherung
SuS übertragen ihre graphischen Darstellungen
und entsprechenden Funktionsgleichungen auf
eine Folie und bereiten sich auf eine Präsentation
vor
Eine Gruppe präsentiert ihre Ergebnisse. Die anderen
Gruppen kommentieren und ergänzen.
Sicherung des Zusammenhanges der Beschleunigungsfunktion,
Geschwindigkeitsfunktion und der
Funktion für die zurückgelegte Strecke und Erarbeitung
des Begriffes „Aufleiten“.
AKTIONSFORMEN
Plenum
8
MEDIEN ANMERKUNGEN ZUM LERNPROZESS
Folie
OHP/
Folie
Tafel
ten Zeitpunkten. Sie stellen den Sachverhalt Zeit �
zurückgelegte Strecke graphisch dar. Sie stellen eine
Funktionsgleichung für die zurückgelegte Strecke in
Abhängigkeit von der Zeit auf und interpretieren den
Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeitsfunktion
und der Funktion für die zurückgelegte Strecke.)
Die SuS bereiten sich auf die Präsentation ihrer Ergebnisse
vor.
Die SuS schulen ihre Präsentations-und Argumentationsfähigkeit,
indem sie die Ergebnisse der Gruppenarbeit
vorstellen.
Die anderen SuS kommentieren und ergänzen den
Vortrag.
Der Zusammenhang zwischen der Beschleunigungsfunktion,
Geschwindigkeitsfunktion und der Funktion
für die zurückgelegte Strecke wird an der Tafel festgehalten.
Anhand dieses Zusammenhangs wird der
Begriff „Aufleiten“ erarbeitet.

VIII. Materialanhang:
Vorgehen:
1. Lest den Kontext und die theoretischen
Hintergründe auf Eurem Arbeitsblatt.
(EA)
2. Bearbeitet Aufgabe 1a. (EA)
3. Vergleicht kurz in der Vierer-
Gruppe Eure Ergebnisse zu Aufgabe
1a und klärt eventuell Fragen,
die in der Einzelarbeit aufgetreten
sind. (GA)
4. Bearbeitet in der Vierer-Gruppe
Aufgabe 1b-2c. (GA)
Bereitet Euch auf eine Präsentation
Eurer Ergebnisse vor. (GA)
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Felix Baumgartners Rekordsprung
Kontext:
Am 14.10.2012 schaffte der österreichische Extremsportler
Felix Baumgarner einen Sprung aus 39 km Höhe und
durchbrach somit im freien Fall die Schallmauer. Nach
knapp 5 Minuten von seinem Absprung aus der Kapsel er-
reichte er die Erde. Seine Geschwindigkeit betrug bis
zu 1342 ��/�.
Theorie:
Aus der Physik/Differentialrechnung ist über den Zusammenhang von Beschleunigung und
Geschwindigkeit bekannt:
- Bei konstanter Beschleunigung gilt:
��������������� � �������������� · ���� �� � � · ��
- Einheit der Beschleunigung: �/�²
- Einheit der Geschwindigkeit: �/�
- Die Erdbeschleunigung beträgt 9,8 �/�²
Arbeitsaufträge:
1) Für die ersten 10 Sekunden kann unter Vernachlässigung des Windwiderstandes angenommen
werden, dass Felix Baumgartner mit konstanter Erdbeschleunigung
(9,8 �/�²) beschleunigt.
a) Stellt den Sachverhalt (Zeit � Beschleunigung) graphisch dar. (EA)
b) Berechnet arbeitsteilig in der Gruppe die Geschwindigkeit von Felix Baumgartner
nach 2�, 4�, 6�, 8 � und 10s. (GA)
c) Berechnet arbeitsteilig in der Gruppe den Flächeninhalt, den der Graph
(Zeit � Beschleunigung) mit der �-Achse bis 2�, 4�, 6�, 8 � und 10s einschließt
und vergleicht mit euren berechneten Geschwindigkeiten. (GA)
d) Stellt den Sachverhalt (Zeit � Geschwindigkeit) graphisch dar. (GA)
e) Bestimmt anschließend jeweils eine Funktionsgleichung für den Beschleunigungsverlauf
und den Geschwindigkeitsverlauf in Abhängigkeit von der Zeit. (GA)
2) Aus dem in Aufgabenteil 1 bestimmten Graphen zum Geschwindigkeitsverlauf soll
nun die zurückgelegte Strecke nach den jeweiligen Zeitabschnitten berechnet werden.
a) Berechnet die zurückgelegte Strecke nach 2�, 4�, 6�, 8� und 10s.
(Falls Ihr Hilfe benötigt, könnt Ihr beim Lehrer Hilfekarten erhalten.) (GA)
b) Stellt den Sachverhalt (Zeit � Strecke) graphisch dar. (GA)
c) Bestimmt anschließend eine Funktionsgleichung für die zurückgelegte Strecke in
Abhängigkeit von der Zeit. (GA)
(Falls Ihr Hilfe benötigt, könnt Ihr beim Lehrer Hilfekarten erhalten.)
3) Betrachtet die Funktionsgleichungen der Beschleunigungsfunktion, Geschwindigkeitsfunktion
und der Funktion, die die zurückgelegte Strecke beschreibt. Was fällt Euch
auf? (GA)
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Geschwindigkeit (v) in m/s
Beschleunigung (a) in m/s²
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
11
Zeit (t) in s
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Zeit (t) in s

Strecke (s) in m
500
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Zeit (t) in s
12

Hilfekarten zu Aufgabenteil 2a:
Wie sollen wir nur die zurückgelegte Strecke aus der Geschwindigkeit bestimmen? (1)
Welchen Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und zurückgelegter Strecke kennt Ihr?
Hilft Euch dieser Zusammenhang hier weiter? Wieso (nicht)?
Wie sollen wir nur die zurückgelegte Strecke aus der Geschwindigkeit bestimmen? (2)
Welche Verfahren zur Bestimmung der Geschwindigkeit aus der Beschleunigung habt Ihr in
Aufgabenteil 1 kennengelernt? Welches Verfahren könnt Ihr auf Eure Situation übertragen?
Wie bestimmt man nochmal den Flächeninhalt eines Dreiecks?
Für den Flächeninhalt � eines Dreiecks gilt: �� �·�
, wobei � die Grundseite des Dreiecks
�
und � die Höhe auf dieser Seite ist.
Hilfekarten zu Aufgabenteil 2c:
Wie sollen wir die Funktionsgleichung für die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit
von der Zeit bestimmen? (1)
Welche Form hat der Graph zum Sachverhalt (Zeit � zurückgelegte Strecke)?
Welche allgemeine Funktionsgleichung haben Graphen dieser Form?
Wie bestimmt man nochmal die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion anhand
gegebene Punkten?
Überlegt zunächst wie viele Punkte Ihr zur Bestimmung der Funktionsgleichung einer quadratischen
Funktion braucht?
Setzt dann die Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion ein
und löst das lineare Gleichungssystem. (Hierzu könnt Ihr auch Euren Taschenrechner benutzen!)
Wie löst man nochmal lineare Gleichungssysteme mit dem Taschenrechner?
1. Drückt zunächst [MATRX] und dann zweimal [>].
2. Drückt dann [A], um Matrix A auszuwählen.
3. Gebt nun die Anzahl der Zeilen und Spalten ein. (Hier: 3x4)
4. Gebt dann in der Matrix die entsprechenden Zahlen ein.
5. Drückt dann [2nd] [MODE] um zum Hauptbildschirm zurückzukehren.
6. Drückt dann [MATRX] [>], um ins MATRX MATH-Menü zu gelangen.
7. Drückt [^], um zum Ende des Menüs zu gelangen und wählt „B:rref“ mit [ENTER]
aus.
8. Drückt [MATRX] und wählt mit [ENTER] Matrix A aus.
9. Drückt dann [ ) ] und [ENTER]
10. Jetzt wird die reduzierte Ergebnismatrix angezeigt.
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Variante zu Aufgabenteil 2c:
Die Strecke kann auch bei konstanter Beschleunigung direkt aus der Beschleunigung mit Hilfe
der Formel:
���� � 1
2 �·��
bestimmt werden.
Überprüft, ob man mit Hilfe der Formel Eure berechneten Werte für die Strecke erhält.
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