Einführung in die Integralrechnung - Mathematikundschule.de

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�� · �� · �� nutzen, da für die ersten 10 � unter Vernachlässigung des Windwiderstandes angenommen werden kann, dass Felix Baumgartner mit konstanter Erdbeschleunigung beschleunigt. Um die Beziehung zwischen der Geschwindigkeit und Beschleunigung auch anhand des Graphen des Be- schleunigungsverlaufes zu verdeutlichen, sollen die Schülerinnen und Schüler dann ar- beitsteilig in der Gruppe den Flächeninhalt, den der Graph (Zeit � Beschleunigung) mit der �-Achse bis zu einem bestimmten Zeitpunkt einschließt, bestimmen und ihn mit der berechneten Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt vergleichen. Anschließend soll der Sachverhalt (Zeit � Geschwindigkeit) graphisch dargestellt werden. Danach sollen die Schülerinnen und Schüler Funktionsgleichungen für den Beschleunigungsverlauf und den Geschwindigkeitsverlauf in Abhängigkeit von der Zeit bestimmen. Dies kann entweder aus den beiden Graphen (Zeit � Beschleunigung und Zeit � Geschwindigkeit) oder anhand der berechneten Werte erfolgen. Die Schülerinnen und Schüler haben somit insgesamt im ersten Aufgabenteil erarbeitet, dass bei konstanter Beschleunigung die Geschwindigkeit linear ansteigt und dass die Ge- schwindigkeit zu bestimmten Zeitpunkten dem Flächeninhalt entspricht, den der Graph des Beschleunigungsverlaufs mit der �-Achse bis zu diesem Zeitpunkt einschließt. Even- tuell haben sie auch schon erkannt, dass die Beschleunigungsfunktion die Ableitungs- funktion der Geschwindigkeitsfunktion ist. Im Folgenden soll aus den im ersten Aufgabenteil bestimmten Geschwindigkeiten die zurückgelegte Strecke zu bestimmten Zeitpunkten berechnet werden. Allen Schülerinnen und Schülern wird wahrscheinlich der Zusammenhang "��ü�� · ��" bekannt sein. Jedoch sollten sie anhand des Graphen des Ge- schwindigkeitsverlaufs erkennen, dass die Geschwindigkeit nicht konstant ist, sondern linear ansteigt und somit die bekannte Formel nicht verwendet werden kann. Infolge des- sen sollten sie das im ersten Aufgabenteil zusätzlich verwendete Verfahren, die Ge- schwindigkeit auch über die Flächenberechnung unterhalb des Graphen zum Beschleuni- gungsverlaufs zu bestimmen, auf diese Situation übertragen und die zurückgelegte Stre- cke über die Flächenberechnung unterhalb des Graphen zum Geschwindigkeitsverlauf bestimmen. Falls die Schülerinnen und Schüler Probleme haben einen Lösungsansatz für diese Aufgabenstellung zu finden, werden ihnen Hilfekarten zur Verfügung gestellt. An- hand der berechneten Strecken sollen die Schülerinnen und Schüler dann den Sachver- halt (Zeit � Strecke) graphisch darstellen und anschließend eine Funktionsgleichung bestimmen. Anhand des Graphen werden die Schülerinnen und Schüler wahrscheinlich erkennen, dass der Verlauf der zurückgelegten Strecke in Abhängigkeit von der Zeit para- belförmig ist. Somit werden sie zur Bestimmung der Funktionsgleichung den allgemeinen Ansatz quadratischer Funktionen �� ·� � ��·�� wählen und die Parameter �, �, � durch Einsetzen von drei Punkten und anschließendem Lösen des linearen Gleichungssys- tems bestimmen. Sollten die Schülerinnen und Schüler Probleme bei der Bestimmung der Funktionsgleichung haben, so können sie auch hier Hilfekarten erhalten. Im Anschluss daran sollen sich die Schülerinnen und Schüler Gedanken über den Zusammenhang zwi- 4
schen den Funktionsgleichungen machen, was später nach der Präsentationsphase disku- tiert und vertieft werden soll. Die Schülerinnen und Schüler haben somit insgesamt im zweiten Aufgabenteil erarbeitet, dass bei linear steigender Geschwindigkeit die zurückgelegte Strecke zu bestimmten Zeitpunkten quadratisch zunimmt und dass die zurückgelegte Strecke anhand des Flä- cheninhalts, den der Graph des Geschwindigkeitsverlaufs mit der �-Achse bis zu diesem Zeitpunkt einschließt, bestimmt werden kann. Zudem sollten sie beim Betrachten der drei aufgestellten Funktionsgleichungen erkennen, dass die Beschleunigungsfunktion die Ableitungsfunktion der Geschwindigkeitsfunktion und die Geschwindigkeitsfunktion die Ableitungsfunktion der Funktion, die die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von Zeit beschreibt, ist. Dann sollen die Schülerinnen und Schüler sich auf die Präsentation vorbereiten. Dazu erhalten sie Koordinatensysteme auf Folie, in denen sie die Graphen zeichnen können. Die Gruppe, die präsentieren soll, wird per Zufallsgenerator ausgewählt. Da alle Gruppen das gleiche Thema bearbeitet haben, sollen die anderen Gruppen kommentieren und er- gänzen. Anderen Lösungen oder Lösungswege können auch noch vorgestellt werden. Die Gruppenzusammensetzung wird vor der Stunde vorgegeben, so dass die Gruppen hete- rogen zusammengesetzt sind. So können die stärkeren Schülerinnen und Schüler die schwächeren unterstützen. Im Anschluss an die Präsentationsphase sollen die drei Funk- tionsgleichungen an der Tafel notiert werden und der Zusammenhang, falls noch nicht genügend in der Präsentationsphase geschehen, herausgearbeitet werden. Hier soll auch der Begriff „Aufleiten“ als Umkehrung des Ableitens erarbeitet werden. Dies kann im zweiten Schritt auch noch an Hand der allgemeinen Funktionsgleichungen für die Sachzu- sammenhänge verdeutlicht werden: Aufleiten Beschleunigung: � � 9,8 � � � � �� Geschwindigkeit: �� 9,8 · � �� ·�� Zurückgelegte Strecke: �� 4,9·�� ·�� Sollte sich im Verlauf der Unterrichtsstunde herausstellen, dass nicht genügend Zeit zur Bearbeitung des zweiten Aufgabenteils vorhanden ist, so wird eine Zwischensicherung nach der Bearbeitung des ersten Aufgabenteils vorgenommen. Die Schülerinnen und Schüler präsentieren dann ihre Ergebnisse des ersten Aufgabenteils und es wird zunächst nur der Zusammenhang zwischen der Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsfunktion erarbeitet. Für diesen Fall sind auch das Stundenziel und die Teilziele formuliert worden. Somit sind die Teilziele, die im zweiten Aufgabenteil erreicht werden sollen, als Eventual- ziele formuliert worden. Sollte sich im Verlauf der Unterrichtsstunde herausstellen, dass nicht genügend Zeit für die Bearbeitung des Aufgabenteils 2c) vorhanden ist, d.h. zur Bestimmung der Funkti- onsgleichung zum Verlauf der zurückgelegten Strecke in Abhängigkeit von der Zeit, wird den Schülerinnen und Schülern die Funktionsgleichung �� ·�� vorgegeben und sie sollen überprüfen, ob diese Gleichung für ihre bestimmten Werte zutrifft. 5 Ableiten
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