Der Winkelsummensatz im Dreieck

I. Datenvorspann:
Seminar für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen
Jülich
Unterrichtsentwurf zum 5. Unterrichtsbesuch
Studienreferendar: Tobias Bartels Email: T.Bartels83@gmx.de
Schule: Kreisgymnasium Heinsberg
Fach: Mathematik
Datum: 19/02/2010
Zeit: 10:20-11:05 (4. Stunde)
Raum: R IVg
Klasse/Kurs: 7g
Fachlehrer: -----
Fachleiterin:
Hauptseminarleiter:
II. Thema der Unterrichtsstunde: Der Winkelsummensatz im Dreieck – Beweis des
Winkelsummensatzes im Dreieck in arbeitsgleichen
Gruppen mit Hilfe der bekannten Winkelbeziehungen
III. Stundenziel: Die Schüler sollen anhand der „Zerreißprobe“ (Anle-
Teilziele:
gen der Ecken des Dreiecks zu einem gestreckten
Winkel) den Winkelsummensatz im Dreieck erkennen
und anschließend den Winkelsummensatzes im Drei-
eck in arbeitsgleichen Gruppen mit Hilfe der Winkel-
beziehungen beweisen.
Die Schülerinnen und Schüler sollen insbesondere
TZ1 den Winkelsummensatz im Dreieck anhand der „Zerreißprobe“ (Anlegen
der Ecken des Dreiecks zu einem gestreckten Winkel) erkennen/vermuten;
TZ2 das grundsätzliche Vorgehen beim Beweisen eines mathematischen Satzes
nachvollziehen (Text über den „Zahlenteufel“);
TZ3 die Winkelbeziehungen als mögliche Bausteine beim Beweis des Winkelsummensatzes
im Dreieck erkennen;
TZ4 den Winkelsummensatz im Dreieck mithilfe der Winkelbeziehungen beweisen;
1

TZ5 den Beweis präsentieren und erläutern bzw. die Lösung der anderen
Gruppe nachvollziehen und verstehen;
EZ1 den Winkelsummensatz für Vierecke durch Teilung eines Vierecks in zwei
Dreiecke aufstellen;
EZ2 den Winkelsummensatz für Fünfecke/Sechsecke durch Teilung eines Fünfecks/Sechsecks
in drei/vier Dreiecke aufstellen;
EZ3 den Winkelsummensatz für n-Ecke durch Teilung eines n-Ecks in n-2 Dreiecke
aufstellen.
IV. Die Unterrichtsreihe:
Thema der Unterrichtsreihe: Geometrie
Stellung der Stunde im Reihenkontext:
• Winkelbeziehungen erkunden 1 – Nebenwinkel und
Scheitelwinkel
• Übungsaufgaben
• Winkelbeziehungen erkunden 2 – Stufenwinkel und
Wechselwinkel
• Übungsaufgaben
• Begründen mithilfe der Winkelbeziehungen (Sind
zwei Geraden parallel?)
• Begründen mithilfe der Winkelbeziehungen (Winkeldetektive,
Parallelogramme untersuchen)
• DER WINKELSUMMENSATZ IM DREIECK – BEWEIS DES
WINKELSUMMENSATZES IM DREIECK IN ARBEITSGLEI-
CHEN GRUPPEN MIT HILFE DER WINKELBEZIEHUNGEN
• Winkelsummen in n-Ecken
• Übungsaufgaben
• Der Satz des Thales
V. Didaktische und unterrichtsmethodische Entscheidungen
Die Stunde beinhaltet das Erkennen bzw. die Vermutung sowie den Beweis des Winkelsum-
mensatzes im Dreieck
1
in arbeitsgleichen Gruppen mit Hilfe der Winkelbeziehungen. Die
Winkelbeziehungen wurden in den vorangegangenen Stunden erarbeitet und eingeübt.
Ziele und Aufgaben des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe I sind unter anderem
mathematisches Wissen funktional und flexibel sowie begründete mathematische Urteile
1
Der Winkelsummensatz im Dreieck ist Bestandteil des Themas „Geometrie am Dreieck“ in Jahrgangsstufe 7 des
schulinternen Lehrplans (G8). Voraussetzung sind Kenntnisse über die Winkelbeziehungen „Nebenwinkel“, „Scheitelwinkel“,
Stufenwinkel“ und „Wechselwinkel“.
2

abgeben zu können. 2 Die SuS sollen mathematische Gegenstände und Sachverhalte als
geistige Schöpfung verstehen und weiterentwickeln, die Mathematik also als Struktur er-
kennen. 3
Diese Kompetenzen bilden sich bei der Auseinandersetzung mit konkreten Fragestellungen
aus den Kernbereichen des Faches Mathematik heraus. Die zu erreichenden fachbezogenen
Kompetenzen unterteilen sich in die prozessbezogenen und inhaltsbezogenen Kompeten-
4
zen. Die inhaltsbezogenen Kompetenzen enthalten neben den Kompetenzen „Funktionen“,
„Arithmetik und Algebra“ und „Stochastik“ die Kompetenz „Geometrie“. Am Ende der Jahr-
gangsstufe 7/8 soll diese Kompetenz unter anderem soweit vorhanden sein, dass die SuS
neben dem Zeichnen von Dreiecken und Figuren auch Eigenschaften dieser Dreiecke bzw.
Figuren erarbeiten und kennen. 5
Der Winkelsummensatz in Dreiecken ist eine wichtige Er-
kenntnis bzgl. der Eigenschaften eines Dreiecks und ist Voraussetzung zum Finden bzw.
Beweisen von weiteren Eigenschaften (Winkelsummensätze) anderer Vielecke und eignet
sich damit besonders um die geforderten inhaltsbezogenen Kompetenzen der „Geometrie“
zu erlangen.
Die prozessbezogenen Kompetenzen sind „Argumentieren / Kommunizieren“, „Problemlö-
sen“, „Modellierern“ und „Werkzeuge“. Zum Beweis des Winkelsummensatzes im Dreieck
benötigen die SuS mehrere dieser prozessbezogenen Kompetenzen. Ein Beweis eines ma-
thematischen Satzes erfordert ein hohes Maß an „innermathematischer Problemlösekompe-
tenz“ und die Kompetenz des „Argumentierens/Kommunizierens“.
Beim Beweis des Winkelsummensatz im Dreieck geht es vor allem darum, aus einigen Spe-
zialfällen eine Verallgemeinerung auf alle Dreiecke zu beweisen. Besonders wichtig ist dabei
die Zurückführung auf Bekanntes. Zu Beginn hat jeder SuS als vorbereitende Hausaufgabe
ein Dreieck ausgeschnitten um möglichst viele Spezialfälle zu erhalten. Über die „Zerreiß-
probe“ (Abreißen der Ecken des Dreiecks und Zusammenlegen zu einem gestreckten Win-
kel) erkennen/vermuten die SuS anhand dieser Spezialfälle, dass die Winkelsumme im
Dreieck 180° beträgt. Die Zerreißprobe selbst kann in Einzelarbeit durchgeführt werden, da
jeder über ein selbst erstelltes Dreieck verfügt. Das Aufstellen der Vermutung kann in Part-
nerarbeit stattfinden, damit die SuS sich direkt über ihre Vermutung austauschen können.
Die Vermutung wird an der Tafel fixiert. Mehreren SuS ist im Vorfeld beim Zeichnen und
Winkelmessen bereits aufgefallen, dass die Winkelsumme 180° ergibt. Zur Selbstkontrolle
beim Winkelmessen durften die SuS daher diese Entdeckung bereits nutzen, ohne aber eine
Erklärung dazu erhalten zu haben (Winkelbeziehungen fehlten). Daher dient die Zerreißpro-
be eher der Motivation, diese Spezialfälle zu verallgemeinern.
Der Beweis beruht im Wesentlichen darauf, dass sich die Innenwinkel des Dreiecks beim
Einzeichnen einer parallelen Gerade zu einer Seite des Dreiecks durch den gegenüberlie-
genden Punkt der Seite über Wechselwinkel zu einem gestreckten Winkel zusammenführen
2 Vgl. Kernlehrplan Mathematik G8 S.11
3 Vgl. Kernlehrplan Mathematik G8 S.11
4 Vgl. Kernlehrplan Mathematik G8 S.11-12
5 Vgl. Kernlehrplan Mathematik G8 S.34
3

lassen. Die Begründung erfolgt dabei ausschließlich über die bereits bekannten Winkelbezie-
hungen „Nebenwinkel“, „Scheitelwinkel“, „Stufenwinkel“ und „Wechselwinkel“. Das Vorge-
hen bei einem innermathematischen Beweis, welchen die SuS selbst durchführen müssen,
ist den SuS relativ neu. Daher ist es wichtig den SuS vorher klar zu machen, dass man sich
bei einem Beweis immer auf bereits Bekanntes zurückbeziehen muss. Dies soll schülerge-
recht durch den kurzen Text über den „Zahlenteufel“ geschehen. Ein Beweis wird hier mit
der Überquerung eines Flusses verglichen, der sehr breit ist. Um diesen Fluss zu überque-
ren, können nur Steine im Fluss genutzt werden, die bereits sicher sind. Damit sind hier die
bekannten Winkelbeziehungen gemeint. Die Erarbeitung des Vorgehens bei einem Beweis
wird im Unterrichtsgespräch durchgeführt um alle SuS auf die bevorstehende Aufgabe vor-
zubereiten.
Die SuS sollen den Beweis möglichst selbstständig erarbeiten. Dies ist nicht von jedem ein-
zelnen Schüler zu leisten. Daher wird die Think-Pair-Share-Methode 6 genutzt. Es soll ge-
währleistet sein, dass möglichst jeder Schüler zumindest einige Grundgedanken oder Fragen
zum Beweis des Winkelsummensatzes beisteuern kann. Daher muss sich jeder Schüler zu-
nächst eigene Gedanken über einen möglichen Lösungsweg machen können (Think). An-
schließend sollen sich die Schüler in Kleingruppen über ihre Lösungsvorschläge informieren
und den Beweis gemeinsam zu Ende führen. Ebenso wird eine Präsentation auf Folie von
den Gruppen vorbereitet (Pair). Die Pair-Phase in Gruppen ist hier gegenüber der Partner-
oder Einzelarbeit besonders geeignet, da viele Ideen der einzelnen SuS zusammengetragen
werden können, die zusammen letztlich zum Ziel führen sollen. Zudem ist die Schüleraktivi-
tät bei dieser Sozialform sehr hoch. Die Erarbeitung in größeren Gruppen oder im Unter-
richtsgespräch ist hier weniger geeignet, da hier die Schüleraktivität einzelner SuS zurück
gehen könnte. Da sehr viele sehr starke aber auch viele schwächere SuS in der Klasse sind,
wird die Gruppenwahl von vornherein vom L festgelegt, damit gewährleistet ist, dass die
Gruppen homogen verteilt sind. Daraufhin werden die Lösungen notiert und den anderen
Gruppen in der Share-Phase präsentiert und erläutert. Dies erfordert ein hohes Maß an „Ar-
gumentations/Kommunikations“-Kompetenz. Die Lösung muss begründet und präsentiert
werden. Hinzu kommen mehrschrittige Argumentationen 7
, die besonders anspruchsvoll
sind. Letztlich wird mit dieser Methode auch die Teamfähigkeit trainiert. Die anderen Grup-
pen vollziehen den Beweis nach und bewerten die Lösung. Die Methode ist an geeigneten
Stellen geübt worden, wird aber noch nicht sicher beherrscht. Zudem fällt es den schwäche-
ren Schülern schwer, eine angemessene Präsentation zu erstellen. Da es sich um arbeits-
gleiche Gruppen handelt, ist die Präsentation einer bis zwei Gruppen ausreichend.
Während der gesamten Think-Pair-Share Phase steht den SuS ein Arbeitsblatt zur Verfü-
gung, welches alle notwendigen Informationen zu den jeweiligen Phasen enthält. Dadurch
hat das Arbeitsblatt eine zusätzliche Motivierungsfunktion und Aktivierungsfunktion . Ein
6
Vgl. [4] S.118ff
7
Vgl. Kernlehrplan Mathematik G8 S.33
8
Vgl. [4]
4
8

Arbeitsblatt aktiviert jeden Schüler persönlich, sich mit der Aufgabenstellung auseinander-
zusetzen. Zudem kann sich jeder Schüler jeder Zeit die Ausgangssituation und Fragestel-
lung vor Augen führen und bietet daher eine gute Zugangs- und Darstellungsmöglichkeit.
Das schwierigste an dem Beweis des Winkelsummensatz ist zu erkennen, dass zu einer Sei-
te des Dreiecks eine parallele Gerade durch den gegenüberliegenden Punkt des Dreiecks
gezogen werden muss. Die Fortführung des Beweises dürfte einigen SuS nicht allzu schwer
fallen, zumal die SuS den Beweis ab dieser Stelle bereits indirekt beim Bestimmen verschie-
dener Winkel in den Übungsaufgaben geführt haben.
Um den möglichen inhaltlichen Problemen dennoch gerecht zu werden, werden Tipps vorbe-
reitet. Probleme bei der Lösung sollen die SuS benennen. Passend zu dem Problem erhalten
die Gruppen vom Lehrer Lösungshilfen, die den Gruppen zur Verfügung gestellt werden
können. Dadurch wird den Schülern eine Hilfestellung gegeben, die den Schülern nicht zu
viel der Lösung verrät, jedoch genug Informationen zum jeweiligen Problem enthält, um mit
der Lösung der Aufgabe fortzufahren. Dadurch ist gewährleistet, dass jede Gruppe zu einem
Ergebnis kommen kann, ohne dass der Lehrer zu stark eingreifen muss. Bei speziellen Fra-
gen steht aber auch weiterhin der Lehrer zur Verfügung.
Da es schwierig ist, den Zeitaufwand für einen solchen Beweis einzuschätzen, werden mög-
liche Eventualziele angefügt. Sollte die Erarbeitung und Präsentation des Beweises zum
Winkelsummensatz schneller verlaufen als geplant (einigen SuS traue ich den Beweis in
sehr kurzer Zeit zu), so besteht die Möglichkeit, dass sich die SuS bereits den Winkelsum-
mensatz in Vierecken bis hin zu Vielecken erarbeiten. Eine sinnvolle Unterteilung in Teil-
schritte ist aufgrund der Aufgabenstruktur (siehe AB: Zusatzaufgaben) gegeben, so dass
hier mehrere Ausstiegsmöglichkeiten bestehen.
Minimalziel der Stunde soll es sein, die Beweisidee verstanden zu haben. Eine genaue Aus-
arbeitung des Beweises kann dann notfalls in der Hausaufgabe erfolgen.
5

VI. Literatur:
[1] Brandt, D. u.a.: Lambacher Schweizer 7 – Mathematik für Gymnasien (NRW), 1. Aufla-
ge; Klett, Stuttgart, 2007
[2] Lergenmüller, A.; Schmidt, G.: Mathematik Neue Wege 7 – Arbeitsbuch für Gymnasien,
1. Auflage; Schroedel, Braunschweig, 2007
[3] Klafki, W.: Perspektivenschema zur Unterrichtsplanung, 1980
[4] Barzel, Bärbel; Büchter, Andreas; Leuders, Timo: Mathematik – Methodik, Handbuch für
die Sekundarstufe I und II, Cornelsen Verlag, Berlin, 2007
[5] http://www.sowi-
online.de/methoden/dokumente/arbeitsblaetter_brettschneider.htm#kap2 , 06.01.2009
[6] Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes Nordrhein-Westfalen: Kernlehrplan
für das Gymnasium – Sekundarstufe I (G8) in Nordrhein-Westfalen - Mathematik,
Düsseldorf, Stand: 1. Auflage 2007
[7] Enzensberger, Hans Magnus: Der Zahlenteufel – Ein Kopfkissenbuch für alle, die Angst
vor der Mathematik haben, 5. Auflage, Deutscher Taschenbuchverlag, München, 2003
[8] Jansen, Herbert: Schulinterner Lehrplan (G8) des Kreisgymnasium Heinsberg, FK-
Beschluss vom 02.06.2008
[9] Mattes, Wolfgang: Methoden für den Unterricht, 2. Auflage, Schöningh Verlag, Pader-
born, 2004
IX. Materialanhang:
mögliches Tafelbild, Arbeitsblätter, Folien, geplanter Stundenverlauf
6

VIII. Mögliches Tafelbild:
Vermutung:
Die Winkelsumme in einem Dreieck
beträgt 180°.
Hinweis: Der Beweis wird von den
SuS auf Folie angefertigt.
Beweisbausteine
7
Beweis:
Zeichne eine parallele Gerade z.B.
zur Strecke c durch den Punkt C.
Winkel α und ε sind Wechselwinkel an
parallelen Geraden.
Winkel β und δ sind ebenfalls Wechselwinkel
an parallelen Geraden.
ε+γ+δ=180° (gestreckter Winkel)
Somit auch α+β+γ=180°.

VII. Geplanter Stundenverlauf:
PHASEN INHALTLICHE SCHWERPUNKTE / OPERATIONEN SOZIAL- und
Einstieg / Motivation
(TZ 1)
Orientierung
(TZ 2, 3)
Orientierung
Think-Phase
(TZ 4)
Erarbeitung
Pair-Phase
(TZ 4)
Sicherung
Share-Phase
(TZ 5)
Eventualphase
(EZ 1, EZ 2)
Eventualphase
(EZ 3)
Die SuS führen die „Zerreißprobe“ mit den zur Stunde
erstellten Dreiecken durch.
Dabei werden die drei Ecken des Dreiecks zu einem gestreckten
Winkel zusammengelegt.
Die SuS erkennen/vermuten, dass die Winkelsumme der
Innenwinkel 180° beträgt.
Die SuS lernen mithilfe des „Zahlenteufels“ altersgerecht
das Prinzip eines Beweises kennen und wiederholen dabei
die möglicherweise notwendigen Bausteine (hier:
Winkelbeziehungen) des Beweises.
Die SuS denken zunächst alleine über die Aufgabenstellung
nach und versuchen erste Lösungsansätze aufzustellen
oder Fragen zu notieren.
Die Schüler erarbeiten in arbeitsgleichen Gruppen den
Beweis zum Winkelsummensatz im Dreieck.
Die Gruppen präsentieren ihre Ergebnisse den anderen
Gruppen. Die anderen Gruppen hören zu und sollen den
Lösungsweg nachvollziehen und ggf. die Lösung ergänzen
und bei Fehlern verbessern.
Die SuS stellen einen Winkelsummensatz für Vierecke/Fünfecke/Sechsecke
auf.
Die SuS begründen, dass man durch den Term
180° .
(n-2) die Winkelsumme in jedem Vieleck mit n
Ecken berechnen kann.
HAUSAUFGABE ZUR STUNDE: ein beliebiges Dreieck ausschneiden
HAUSAUFGABE ZUR NÄCHSTEN STUNDE: Je nach Fortschritt EZ1, EZ2 oder EZ3
AKTIONSFORMEN
UG / EA / PA Dreiecke
aus Pappe,
Folie, Tafel
EA / UG
8
EA
MEDIEN ANMERKUNGEN ZUM LERNPROZESS
Arbeitsblatt,
Tafel
Arbeitsblatt
GA Arbeitsblatt,
Tipps
SV
Die SuS haben bereits beim Zeichnen verschiedener Dreiecke
vermutet, dass die Winkelsumme im Dreieck 180°
beträgt. Zur Selbstkontrolle beim Messen der Innenwinkel
im Dreieck durfte dies bereits genutzt werden, aber wurde
noch nicht bewiesen. Die Zerreißprobe dient daher nur zur
Motivation bzw. zur Hinführung zum Beweis des Winkelsummensatzes
im Dreieck.
Die SuS haben noch keine allgemeingültige Aussage
selbstständig bewiesen. Daher ist eine allgemeine Hilfestellung
zum grundsätzlichen Vorgehen notwendig.
Jeder Schüler soll die Möglichkeit bekommen, die Ausgangssituation
für sich zu verstehen und beginnt die Aufgabe
zu strukturieren.
Die Schüler sollen die Aufgaben selbstständig in ihren
Gruppen erarbeiten. Bei Problemen sollen die Schüler diese
benennen. Die Schüler erhalten für das jeweilige Problem
Tipps, die sich die SuS nach Bedarf aufdecken können.
Durch diese Hilfestellungen sollte es möglich sein, mit der
Lösung der Aufgabe fortzufahren.
Folie, Tafel Da es sich um arbeitsgleiche Gruppen handelt, reicht es,
eine oder zwei Gruppen vortragen zu lassen.
GA Arbeitsblatt Diese Phase dient der Hinführung zur Verallgemeinerung
des Winkelsummensatzes für n-Ecke. Der Winkelsummensatz
für Vierecke/Fünfecke/Sechsecke lässt sich aus dem
Winkelsummensatz für Dreiecke begründen.
Eine Aufteilung in verschiedene Phasen lässt sich je nach
verbliebener Zeit durchführen
GA
Arbeitsblatt Dieser Satz stellt die Verallgemeinerung für n-Ecke dar und
lässt sich mit den bereits gefundenen Ergebnissen begründen.

Der Winkelsummensatz im Dreieck
Notiere die Vermutung über die Winkelsumme in einem Dreieck.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Für die Beispiele, die vorgestellt wurden, gilt die Vermutung bereits. Wichtig ist nun zu
zeigen, dass die Vermutung für jedes beliebige Dreieck gilt.
Einzelarbeit: Überlege zunächst alleine, wie du an den Beweis herangehen würdest.
Gruppenarbeit: Tauscht euch untereinander aus und führt den Beweis zu Ende. Die unten
stehende Skizze kann euch helfen. Schreibt auch einige Stichpunkte zum Beweis auf.
Falls ihr keine Beweisidee findet oder ihr an einer Stelle nicht weiter kommt, holt euch einen
passenden Tipp beim Lehrer am Pult ab. Bereitet eine Präsentation eures Beweises vor.
Beweis: - _________________________________________________________________
- _________________________________________________________________
- _________________________________________________________________
- _________________________________________________________________
Präsentation: Stellt euren Beweis den anderen Gruppen vor.

Zusatzaufgabe:
1.
2.
a. Begründe mithilfe der beiden Vierecke, warum jedes Viereck die gleiche
Winkelsumme hat.
b. Formuliere einen Satz über die Winkelsumme in einem Viereck.
a. Bestimme die Winkelsumme der inneren Winkel im Fünfeck und Sechseck unter
Verwendung der unten stehenden Figuren.
b. Formuliere einen Satz über die Winkelsumme in einem Fünfeck bzw. Sechseck.

3.
a. Vervollständige die folgende Tabelle:
Anzahl der
Ecken der Figur
3
4
5
6
n ---
Winkelsumme Winkelsumme : 180°
b. Begründe, warum man mit dem Term 180° .
(n-2) die Winkelsumme in jedem
Vieleck mit n Ecken berechnen kann.

Der Winkelsummensatz im Dreieck
Beweis: - _________________________________________________________________
- _________________________________________________________________
- _________________________________________________________________
- _________________________________________________________________

Die Zerrreißprobe
Fällt euch etwas auf?

Der Zahlenteufel
Der Zahlenteufel stellt, ähnlich wie wir es gemacht haben, eine
Behauptung/Vermutung auf. Es entwickelt sich folgendes Gespräch:
Aus: Enzensberger, Hans Magnus: Der Zahlenteufel – Ein Kopfkissenbuch für alle, die Angst
vor der Mathematik haben, 3. Auflage, Deutscher Taschenbuchverlag, München, 2003,
S. 218-220

Wir finden keinen Ansatz!
��Hilfe 1
Der Winkelsummensatz im
Dreieck�
Hilfe 1
Hilfe 1a
Schaut euch nochmal die Aufgabe 2 „Bist du sicher“ auf S. 166 an.
Erklärt euch die Aufgabe gegenseitig
noch einmal mit eigenen Worten.
Klärt dabei miteinander, wie ihr die
Aufgabe verstanden habt und was
euch noch nicht klar ist.

Wir haben uns die Aufgabe aus
Hilfe 1 zwar angeschaut,
kommen aber dennoch nicht
weiter.
��Hilfe 2
Der Winkelsummensatz im
Dreieck�
Hilfe 2
Hilfe 1b
Zeichnet eine parallele Gerade zu einer Dreiecksseite durch den
gegenüberliegenden Eckpunkt.
Lassen sich Winkel mit Hilfe der Winkelbeziehungen wiederfinden?
Wie kann man mit dem
Taschenrechner aus den gegebenen
Punkten einen funktionalen
Zusammenhang vermuten?

��Hilfe 3
Wir haben jetzt eine
parallele Gerade zu einer
Dreiecksseite durch den
gegenüberliegenden
Eckpunkt gezeichnet.
Wir können aber keine
Winkelbeziehungen
feststellen.
Der Winkelsummensatz im
Dreieck�
Hilfe 3
Schaut euch nochmals die Winkelbeziehungen auf S. 164 an und
vergleicht nochmals mit eurer Lösung der Aufgabe 2 „Bist du sicher“
auf S. 166.
Hilfe 1c
Denkt noch mal über die letzten
Stunden nach, wie dort ein
funktionaler Zusammenhang vermutet
und anschließend die Funktion
bestimmt würde.

��Hilfe 4
Der Winkelsummensatz im
Dreieck�
Begründe mit
Hilfe 4
Wie hängt der Winkel
Hilfe der Winkelbeziehungen!
Hilfe 2
Notiert die Funktion, die den
Zusammenhang zwischen
Geschwindigkeit und Verbrauch
angibt. Überlegt mittels Graphen
welchem Punkt der
Geschwindigkeit mit dem
niedrigsten Benzinverbrauch
entspricht.
α und ε bzw. β und δ zusammen?

��Hilfe 5
Der Winkelsummensatz im
Dreieck�
Hilfe 5
Wie groß ist die Summe
Hilfe 3
Welche Aussage könnt ihr über die
Steigung des Graphen in dem zu
bestimmenden Punkt machen.
ε + γ + δ ? Begr

��Hilfe 6
Der Winkelsummensatz im
Dreieck�
�
Hilfe 6
Wenn ε + γ + δ = 180°, wie gro
Hilfe der Winkelbeziehungen!
Hilfe 4
Erinnert euch an die
Differentialrechnung. Welche
anschauliche Bedeutung hat die
Ableitung einer Funktion.
ß ist dann