Skript - Grundbegriffe der Informatik (Wintersemester 2009/2010)

– Wenn n ′ = u 1 , gilt eine analoge Überlegung.
– Wenn n ′ ∈ N0 ist, dann ist f ( ⊔ i x i ) = f (n ′ ) = n ′ + 1. Andererseits ist
die Kette der Funktionswerte f (x 0 ) ⊑ f (x 1 ) ⊑ f (x 2 ) ⊑ · · · ⊑ f (x i ) =
f (x i+1 ) = f (x i+2 ) = · · · = f (n ′ ) = n ′ + 1. Also ist f ( ⊔ i x i ) = ⊔ i f (x i ).
• Der einzige andere Fall ist: die Kette wird nicht konstant. Dann müssen alle
x i ∈ N0 sein, und die Kette wächst unbeschränkt. Das gleiche gilt dann auch
für die Kette der Funktionswerte. Also haben beide als Supremum u 1 und
wegen f (u 1 ) = u 1 ist f ( ⊔ i x i ) = ⊔ i f (x i ).
Der letzte Fall zeigt einem auch gleich schon, dass dagegen die folgende Funktion
g : N ′ → N ′ nicht stetig ist:
⎧
⎪⎨ x + 1 falls x ∈ N0
g(x) = u 2 falls x = u 1
⎪⎩
u 2 falls x = u 2
Der einzige Unterschied zu f ist, dass nun g(u 1 ) = u 2 . Eine unbeschränkt wachsende
Kette x 0 ⊑ x 1 ⊑ x 2 ⊑ · · · nichtnegativer ganzer Zahlen hat Supremem u 1 ,
so dass g( ⊔ i x i ) = u 2 ist. Aber die Kette der Funktionswerte g(x 0 ) ⊑ g(x 1 ) ⊑
g(x 2 ) ⊑ · · · hat Supremem ⊔ i g(x i ) = u 1 ̸= g( ⊔ i x i ).
Der folgende Satz ist eine abgeschwächte Version des sogenannten Fixpunktsatzes
von Knaster und Tarski.
17.5 Satz. Es sei f : D → D eine monotone und stetige Abbildung auf einer vollständigen
Halbordnung (D, ⊑) mit kleinstem Element ⊥. Elemente x i ∈ D seien wie folgt definiert:
x 0 = ⊥
∀i ∈ N0 : x i+1 = f (x i )
Dann gilt:
1. Die x i bilden eine Kette: x 0 ⊑ x 1 ⊑ x 2 ⊑ · · · .
2. Das Supremum x f = ⊔ i x i dieser Kette ist Fixpunkt von f , also f (x f ) = x f .
3. x f ist der kleinste Fixpunkt von f : Wenn f (y f ) = y f ist, dann ist x f ⊑ y f .
17.6 Beweis. Mit den Bezeichnungen wie im Satz gilt:
1. Dass für alle i ∈ N0 gilt x i ⊑ x i+1 , sieht man durch vollständige Induktion:
x 0 ⊑ x 1 gilt, weil x 0 = ⊥ das kleinste Element der Halbordnung ist. Und
wenn man schon weiß, dass x i ⊑ x i+1 ist, dann folgt wegen der Monotonie
von f sofort f (x i ) ⊑ f (x i+1 ), also x i+1 ⊑ x i+2 .
gbi:skript:17 189 c○ worsch 2008–2010