Skript - Grundbegriffe der Informatik (Wintersemester 2009/2010)

• Hängt man an beide Wörter w = a an, dann ist zwar w 1 w = aaa ∈ L,
aber w 2 w = abba /∈ L.
• Also sind die beiden Wörter nicht ≡ L -äquivalent.
4. w 1 = aba und w 2 = babb:
• Beide Wörter enthalten ba. Egal welches w ∈ A ∗ man anhängt, bleibt
das so, d. h. immer sind w 1 w /∈ L und w 2 w /∈ L.
• Also sind die beiden Wörter ≡ L -äquivalent.
5. w 1 = ab und w 2 = ba:
• Da w 1 ∈ L, aber w 2 /∈ L, zeigt schon das Suffix w = ε, dass die beiden
Wörter nicht ≡ L -äquivalent sind.
Die wesentliche Behauptung ist nun:
17.1 Lemma. Für jede formale Sprache L ist ≡ L eine Äquivalenzrelation.
17.2 Beweis. Man prüft nach, dass die drei definierenden Eigenschaften erfüllt sind.
• Reflexivität: Ist w 1 ∈ A ∗ , dann gilt für jedes w ∈ A ∗ offensichtlich: w 1 w ∈
L ⇐⇒ w 1 w ∈ L.
• Symmetrie: Für w 1 , w 2 ∈ A ∗ und alle w ∈ A ∗ gelte: w 1 w ∈ L ⇐⇒ w 2 w ∈ L.
Dann gilt offensichtlich auch immer w 2 w ∈ L ⇐⇒ w 1 w ∈ L.
• Transitivität: Es seien w 1 , w 2 , w 3 ∈ A ∗ und es möge gelten
∀w ∈ A ∗ : w 1 w ∈ L ⇐⇒ w 2 w ∈ L (17.1)
∀w ∈ A ∗ : w 2 w ∈ L ⇐⇒ w 3 w ∈ L (17.2)
Wir müssen zeigen: ∀w ∈ A ∗ : w 1 w ∈ L ⇐⇒ w 3 w ∈ L. Sei dazu ein beliebiges
w ∈ A ∗ gegeben. Falls w 1 w ∈ L ist, dann ist wegen (17.1) auch w 2 w ∈ L
und daher wegen (17.2) auch w 3 w ∈ L. Analog folgt aus w 1 w /∈ L der Reihe
nach w 2 w /∈ L und w 3 w /∈ L. Also gilt w 1 w ∈ L ⇐⇒ w 3 w ∈ L.
17.1.3 Äquivalenzklassen und Faktormengen
Für x ∈ M heißt {y ∈ M | x ≡ y} die Äquivalenzklasse von x. Man schreibt für
die Äquivalenzklasse von x mitunter [x] ≡ oder einfach [x], falls klar ist, welche
Äquivalenzrelation gemeint ist.
Für die Menge aller Äquivalenzklassen schreibt man M /≡ und nennt das
manchmal auch die Faktormenge oder Faserung von M nach ≡, also M /≡ = {[x] ≡ |
x ∈ M}.
Ist konkret ≡ die Äquivalenzrelation „modulo n“ auf den ganzen Zahlen, dann
schreibt man für die Faktormenge auch Zn.
Äquivalenzklasse
Faktormenge
Faserung
gbi:skript:17 179 c○ worsch 2008–2010