Skript - Grundbegriffe der Informatik (Wintersemester 2009/2010)

sich dann z. B. fragen, wie sich Funktionswerte ändern, wenn man Argumente
durch andere, aber äquivalente ersetzt.
17.2.1 Verträglichkeit von Relationen mit Operationen
Um den Formalismus nicht zu sehr aufzublähen, beschränken wir uns in diesem
Unterabschnitt auf die zwei am häufigsten vorkommenden einfachen Fälle.
Es sei ≡ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M und f : M → M eine
Abbildung. Man sagt, dass ≡ mit f verträglich ist, wenn für alle x 1 , x 2 ∈ M gilt:
verträglich
x 1 ≡ x 2 =⇒ f (x 1 ) ≡ f (x 2 ) .
Ist ⊓⊔ eine binäre Operation auf einer Menge M, dann heißen ≡ und ⊓⊔ verträglich ,
wenn für alle x 1 , x 2 ∈ M und alle y 1 , y 2 ∈ M gilt:
verträglich
x 1 ≡ x 2 ∧ y 1 ≡ y 2 =⇒ x 1 ⊓⊔ y 1 ≡ x 2 ⊓⊔ y 2 .
Ein typisches Beispiel sind wieder die Äquivalenzrelationen „modulo n“. Diese
Relationen sind mit Addition, Subtraktion und Multiplikation verträglich. Ist etwa
dann ist zum Beispiel
x 1 ≡ x 2 (mod n) also x 1 − x 2 = kn
und y 1 ≡ y 2 (mod n) also y 1 − y 2 = mn
(x 1 + y 1 ) − (x 2 + y 2 ) = (x 1 − x 2 ) + (y 1 − y 2 ) = (k + m)n .
Mit anderen Worten ist dann auch
x 1 + y 1 ≡ x 2 + y 2 (mod n) .
Eine Äquivalenzrelation, die mit allen gerade interessierenden Funktionen oder/und
Operationen verträglich ist, nennt man auch eine Kongruenzrelation.
Auch die Nerode-Äquivalenzen haben eine solche Eigenschaft. Sei w ′ ∈ A ∗ ein
beliebiges Wort und sei f w ′ : A ∗ → A ∗ die Abbildung, die w ′ an ihr Argument
anhängt, also f w ′(v) = vw ′ . Wir behaupten, dass ≡ L mit allen f w ′ verträglich ist.
d. h.:
∀w 1 , w 2 ∈ A ∗ : w 1 ≡ L w 2 =⇒ w 1 w ′ ≡ L w 2 w ′
Kongruenzrelation
Wir müssen zeigen: Wenn w 1 ≡ L w 2 ist, dann ist auch w 1 w ′ ≡ L w 2 w ′ . Gehen wir
also davon aus, dass für alle w ∈ A ∗ gilt: w 1 w ∈ L ⇐⇒ w 2 w ∈ L. Wir müssen
gbi:skript:17 181 c○ worsch 2008–2010