Skript - Grundbegriffe der Informatik (Wintersemester 2009/2010)

• Die lexikographische Ordnung ⊑ 1 , nach der Wörter im Lexika usw. sortiert
sind, kann man wie folgt definieren. Seien w 1 , w 2 ∈ A ∗ . Dann gibt es das
eindeutig bestimmte maximal lange gemeinsame Präfix von w 1 und w 2 , also
das maximal lange Wort v ∈ A ∗ , so dass es u 1 , u 2 ∈ A ∗ gibt mit w 1 = v u 1
und w 2 = v u 2 . Drei Fälle sind möglich:
1. Falls v = w 1 ist, gilt w 1 ⊑ 1 w 2 .
2. Falls v = w 2 ist, gilt w 2 ⊑ 1 w 1 .
3. Falls w 1 ̸= v ̸= w 2 , gibt es x, y ∈ A und u ′ 1 , u′ 2 ∈ A∗ mit
– x ̸= y und
– w 1 = v x u ′ 1 und w 2 = v y u ′ 2 .
Dann gilt w 1 ⊑ 1 w 2 ⇐⇒ x ⊑ A y.
Muss man wie bei einem Wörterbuch nur endlich viele Wörter ordnen, dann
ergibt sich zum Beispiel
a ⊑ 1 aa ⊑ 1 aaa ⊑ 1 aaaa
⊑ 1 ab ⊑ 1 aba ⊑ 1 abbb
⊑ 1 b ⊑ 1 baaaaaa ⊑ 1 baab
⊑ 1 bbbbb
Allgemein auf der Menge aller Wörter ist diese Ordnung aber nicht ganz so
„harmlos“. Wir gehen gleich noch darauf ein.
• Eine andere lexikographische Ordnung ⊑ 2 auf A ∗ kann man definieren vermöge
der Festlegungen: w 1 ⊑ 2 w 2 gilt genau dann, wenn
– entweder |w 1 | < |w 2 |
– oder |w 1 | = |w 2 | und w 1 ⊑ 1 w 2 gilt.
Diese Ordnung beginnt also z. B. im Falle A = {a, b} mit der naheliegenden
Ordnung ⊑ A so:
ε ⊑ 2 a ⊑ 2 b
⊑ 2 aa ⊑ 2 ab ⊑ 2 ba ⊑ 2 bb
⊑ 2 aaa ⊑ 2 · · · ⊑ 2 bbb
⊑ 2 aaaa
· · ·
⊑ 2 · · · ⊑ 2 bbbb
Wir wollen noch darauf hinweisen, dass die lexikographische Ordnung ⊑ 1 als
Relation auf der Menge aller Wörter einige Eigenschaften hat, an die man als
Anfänger vermutlich nicht gewöhnt ist. Zunächst einmal merkt man, dass die
Ordnung nicht vollständig ist. Die aufsteigende Kette
ε ⊑ 1 a ⊑ 1 aa ⊑ 1 aaa ⊑ 1 aaaa ⊑ 1 · · ·
gbi:skript:17 191 c○ worsch 2008–2010